Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus
Miksi karusellin reunalla seisova lapsi kiitää paljon lujempaa kuin keskitangon vieressä seisova, vaikka molemmat tekevät kierroksen yhtä nopeasti?
Pohjatiedot
- Nopeus on vektori, jolla on suuruus ja suunta, ja tasaisessa liikkeessä kappale kulkee yhtä pitkän matkan jokaisessa yhtä pitkässä ajassaluku Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina
- Jos kappaleeseen vaikuttavien voimien summa on nolla, kappale on levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessäluku Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki
- Kiihtyvyys kertoo, kuinka nopeasti kappaleen nopeus muuttuuluku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 6.
Pohdinta
Leikkikentän karuselli pyörii tasaisesti. Aino seisoo aivan reunalla, Eetu keskitangon vieressä. Kumpikin tekee kierroksen samassa ajassa, mutta Aino tuntee tuulen kasvoillaan ja joutuu pitämään kaiteesta kaksin käsin kiinni, kun Eetu seisoo melkein rennosti. Kun Ainon ote lipsahtaa, hän putoaa hiekalle.
Jos karusellin kaikki kohdat tekevät kierroksen yhtä nopeasti, miksi reunalla liikutaan lujempaa, ja mihin suuntaan otteensa menettänyt lähtee?
Valinnainen Kertaa: liike ilman kokonaisvoimaa
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: naru katkeaa
Ennuste 2: reunalla vai keskellä
Tutki
Pyöritä naruun sidottua kiekkoa jäällä, katkaise naru ja vertaa nopeusvektoreita. Oikea tai alempi paneeli näyttää, miten nopeus muuttuu.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä radan säde $r$ ja kierrosaika $T$ ja paina Käynnistä. Sininen nuoli kiekon kohdalla on nopeus $\overline{v}$. Valinta Näytä aiemmat nopeudet jättää kuvaan kiekon paikat ja nopeudet kahdentoista yhtä pitkän aikavälin päästä viimeisen kierroksen ajalta. Kun kiekko kiertää, sama painike muuttuu muotoon Katkaise naru, joka päästää kiekon irti; kiekko pysähtyy kaukalon laitaan, ja lukemiin tulevat kulma $\alpha$ reitin ja narun suunnan välillä sekä vauhti $v_\text{irti}$ katkeamisen jälkeen. Paneeli Nopeuden muutos piirtää nopeuden $\overline{v}_1$ kahdestoistaosakierroksen takaa ja nykyisen nopeuden $\overline{v}_2$ samasta pisteestä; musta nuoli on nopeuden muutos $\Delta\overline{v}$. Kun muutat säädintä, kiekko palaa alkuun. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia, ei mitään lukemaa; hidas tahti auttaa valitsemaan katkaisukohdan.
Mallin oletukset
Kiekko liukuu vaakasuoralla jäällä ilman kitkaa ja ilmanvastusta. Naru pitää kiekon ympyräradalla, ja vauhti pysyy samana: liike on tasaista ympyräliikettä. Kun naru katkeaa, kiekkoon ei vaikuta vaakasuunnassa voimaa, joten se jatkaa suoraan tasaisella nopeudella. Pystysuorat voimat, paino ja jään tukivoima, kumoavat toisensa, eikä niitä piirretä. Paneelin Nopeuden muutos nuolilla on oma mittakaavansa: nopeusvektori piirretään aina yhtä pitkänä, joten paneeli näyttää suunnan muutoksen suhteessa vauhtiin. Kaikki luvut ovat mallin arvoja.
Laskennan selitys
Pyörimistaajuus on $f = \tfrac{1}{T}$ ja ratanopeus $v = \tfrac{2\pi r}{T}$. Kiekon paikka lasketaan joka hetki ympyrältä, jonka säde on $r$, niin että yksi kierros kestää ajan $T$. Kuljettu matka on $s = v t$, ja $N$ on täysien kierrosten määrä ennen katkeamista. Katkeamisen jälkeen paikka on katkeamiskohta plus $\overline{v}\,\Delta t$. Kulma $\alpha$ lasketaan kiekon todellisesta siirtymästä katkeamisen jälkeen ja narun suunnasta katkeamishetkellä, ja $v_\text{irti}$ on siirtymän pituus jaettuna kuluneella ajalla. Paneelin $|\Delta\overline{v}|$ on vektorin $\overline{v}_2 - \overline{v}_1$ pituus, kun nopeuksien väli on $\Delta t = \tfrac{T}{12}$.
Koe 1: naru katkeaa
Testaa ennuste 1. Kierrosaika pysyy vakiona. Valitse säde, paina Käynnistä ja sitten haluamassasi kohdassa samaa painiketta, jossa lukee nyt Katkaise naru. Katkaise naru selvästi eri kohdissa rataa, esimerkiksi kun kiekko on radan ylä- ja vasemmassa reunassa, ja tarkkaile, mihin suuntaan kiekko lähtee kussakin kohdassa. Kun kiekko on pysähtynyt laitaan, kirjaa mittaus: taulukkoon tulevat kulma $\alpha$ reitin ja narun suunnan välillä, ratanopeus $v$ ennen katkeamista ja vauhti $v_\text{irti}$ sen jälkeen. Tee mittaus eri katkaisukohdissa ainakin kahdella eri säteellä, jotta näet, riippuuko lähtösuunta katkaisukohdasta vai säteestä; säteen muuttaminen palauttaa kiekon alkuun.
Alkutila: radan säde $r$ = $2\,\text{m}$, kierrosaika $T$ = $4\,\text{s}$. Vakiona: kierrosaika $T$. Muutetaan: radan säde $r$.
| radan säde $r$ | $\alpha$ $(^\circ)$ | $v$ $(\text{m/s})$ | $v_\text{irti}$ $(\text{m/s})$ |
|---|
Koe 2: säde muuttuu
Testaa ennuste 2. Kierrosaika on $4{,}0\,\text{s}$ ja pysyy vakiona. Muuta vain sädettä ja kirjaa ratanopeus ainakin säteillä $1{,}0\,\text{m}$ ja $2{,}0\,\text{m}$, halutessasi myös $3{,}0\,\text{m}$. Käynnistä välillä ja vertaa sinisen nuolen pituutta.
Alkutila: radan säde $r$ = $1\,\text{m}$, kierrosaika $T$ = $4\,\text{s}$. Vakiona: kierrosaika $T$. Muutetaan: radan säde $r$.
| radan säde $r$ | $v$ $(\text{m/s})$ | $s$ $(\text{m})$ | $t$ $(\text{s})$ |
|---|
Valinnainen Koe 3: kierrosaika muuttuu
Pidä säde $2{,}0\,\text{m}$ vakiona ja muuta kierrosaikaa. Kirjaa pyörimistaajuus ja ratanopeus esimerkiksi kierrosajoilla $2\,\text{s}$, $4\,\text{s}$ ja $8\,\text{s}$. Miten ratanopeus muuttuu, kun kierrosaika kaksinkertaistuu?
Alkutila: radan säde $r$ = $2\,\text{m}$, kierrosaika $T$ = $2\,\text{s}$. Vakiona: radan säde $r$. Muutetaan: kierrosaika $T$.
| kierrosaika $T$ | $f$ (1/s) | $v$ $(\text{m/s})$ |
|---|
Johtopäätös: suunta ja ratanopeus
Kirjoita taulukoidesi perusteella: mihin suuntaan kiekko lähti, kun naru katkesi, ja muuttuiko sen vauhti? Miten ratanopeus riippui säteestä, kun kierrosaika pysyi samana? Miksi kiekon nopeus muuttuu ympyräradalla, vaikka vauhti on vakio?
Mallivastaus
Missä kohdassa tahansa naru katkesi, kiekon reitti muodosti narun suunnan kanssa kulman $90{,}0^\circ$: kiekko lähti radan tangentin suuntaan, ja sen vauhti pysyi samana kuin ratanopeus ennen katkeamista, esimerkiksi säteellä $2{,}0\,\text{m}$ $3{,}14\,\text{m/s}$. Kun kierrosaika oli $4{,}0\,\text{s}$, ratanopeus oli säteellä $1{,}0\,\text{m}$ $1{,}57\,\text{m/s}$ ja säteellä $2{,}0\,\text{m}$ $3{,}14\,\text{m/s}$: kaksinkertainen säde antoi kaksinkertaisen ratanopeuden, koska kehän pituus $2\pi r$ kaksinkertaistuu ja aika on sama. Ympyräradalla nopeuden suunta kääntyy koko ajan, joten nopeus muuttuu ($|\Delta\overline{v}|$ ei ole nolla), vaikka vauhti on vakio; katkeamisen jälkeen $\Delta\overline{v}$ oli nolla. Luvut ovat mallin arvoja, ja mallissa jäällä ei ole kitkaa.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Kappale on ympyräliikkeessä, kun sen rata on ympyrä: kappale pysyy koko ajan samalla etäisyydellä radan keskipisteestä. Tämä etäisyys on radan säde $r$. Karusellissa seisova lapsi, liikenneympyrää kiertävä auto ja Maata kiertävä satelliitti ovat ympyräliikkeessä tai lähes siinä. Jos kappale kulkee jokaisessa yhtä pitkässä ajassa yhtä pitkän matkan, sen nopeuden suuruus eli vauhti pysyy samana. Silloin liike on tasaista ympyräliikettä. Tässä luvussa tarkastellaan vain tasaista ympyräliikettä.
Nopeus osoittaa tangentin suuntaan
Nopeus on vektori $\overline{v}$, jolla on suuruus ja suunta. Nopeus osoittaa joka hetki siihen suuntaan, johon kappale on juuri sillä hetkellä liikkumassa. Ympyräradalla tämä suunta on radan tangentin suunta, joka on kohtisuorassa keskipisteestä piirrettyä sädettä vastaan. Kun kappale kiertää, tangentin suunta kääntyy koko ajan. Tasaisessa ympyräliikkeessä nopeusvektorit ovat siis kaikki yhtä pitkiä, mutta ne osoittavat eri suuntiin: nopeuden suuruus pysyy samana, mutta nopeus muuttuu.
Kun naru katkeaa
Naruun sidottu kiekko kiertää jäällä tappia. Naru vetää kiekkoa kohti tappia ja kääntää sen liikkeen suuntaa koko ajan. Jos naru katkeaa, kiekkoon ei enää vaikuta vaakasuunnassa voimaa: jään kitka oletetaan pieneksi, ja pystysuorat voimat, paino ja jään tukivoima, kumoavat toisensa. Newtonin ensimmäisen lain mukaan kiekko jatkaa silloin tasaista suoraviivaista liikettä sillä nopeudella, joka sillä oli katkeamishetkellä. Kiekko lähtee siis radan tangentin suuntaan, ei suoraan poispäin tapista. Samoin pyöritetyn sateenvarjon reunasta irtoavat vesipisarat lähtevät tangentin suuntaan.
Suunnan muutos on nopeuden muutos
Nopeuden muutos $\Delta\overline{v}$ nähdään, kun kaksi peräkkäistä nopeusvektoria piirretään alkamaan samasta pisteestä. Muutos $\Delta\overline{v}$ on se vektori, joka on lisättävä vektoriin $\overline{v}_1$, jotta saadaan $\overline{v}_2$. Ympyräradalla vektorit ovat yhtä pitkiä, mutta niiden suunnat eroavat, joten $\Delta\overline{v}$ ei ole nolla, kun aikaväli on lyhyempi kuin yksi kierros. Kiihtyvyys tarkoittaa nopeuden muutosta, ei pelkästään vauhdin muutosta. Tasaisessa ympyräliikkeessä kappale on siis kiihtyvässä liikkeessä, ja Newtonin toisen lain mukaan siihen vaikuttaa kokonaisvoima, joka ei ole nolla. Tämä kokonaisvoima osoittaa ympyrän keskipisteen puolelle eli radan sisäpuolelle, ei ulospäin. Kiihtyvyyden suuruus lasketaan luvussa Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö.
Ratanopeus
Tasaista ympyräliikettä kuvaa kierrosaika $T$, joka on aika, jossa kappale kiertää radan kerran. Sen käänteisluku on pyörimistaajuus $f$, joka kertoo, kuinka monta kierrosta kappale tekee aikayksikössä:
$$f = \frac{1}{T}$$
missä $f$ on pyörimistaajuus ($\tfrac{1}{\text{s}}$) ja $T$ kierrosaika ($\text{s}$). Kun kierrosaika on $T = 0{,}50\,\text{s}$, kappale tekee $2{,}0$ kierrosta sekunnissa eli $f = 2{,}0\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Pyörimistaajuus ilmoitetaan usein myös kierroksina minuutissa. Esimerkiksi $45\,\tfrac{1}{\text{min}}$ muunnetaan sijoittamalla $1\,\text{min} = 60\,\text{s}$, jolloin $45\,\tfrac{1}{\text{min}} = \tfrac{45}{60\,\text{s}} = 0{,}75\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
Yhdellä kierroksella kappale kulkee ympyrän kehän pituisen matkan $2\pi r$, ja siihen kuluu kierrosaika $T$. Koska vauhti on tasainen, nopeuden suuruus ympyräradalla eli ratanopeus on kuljettu matka jaettuna ajalla:
$$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f$$
missä $v$ on ratanopeus ($\text{m/s}$), $r$ radan säde ($\text{m}$), $T$ kierrosaika ($\text{s}$) ja $f$ pyörimistaajuus ($\tfrac{1}{\text{s}}$). Jälkimmäinen muoto saadaan, kun $\tfrac{1}{T}$ korvataan pyörimistaajuudella $f$.
Kaavasta näkyy alun kysymyksen vastaus. Karusellin kaikki kohdat tekevät kierroksen samassa ajassa $T$, mutta reunalla seisova lapsi kiertää suurempaa ympyrää. Ratanopeus on suoraan verrannollinen säteeseen, kun kierrosaika on sama: kaksi kertaa kauempana keskipisteestä seisova lapsi kulkee samassa ajassa kaksi kertaa pidemmän matkan, joten hänen ratanopeutensa on kaksinkertainen. Samalla säteellä taas kierrosajan puolittaminen kaksinkertaistaa ratanopeuden.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että tasaisessa ympyräliikkeessä nopeus ei muutu, koska nopeusmittari näyttää koko ajan samaa lukemaa. Mittari näyttää kuitenkin vain nopeuden suuruuden eli vauhdin. Nopeus on vektori, ja sen suunta kääntyy koko ajan, joten nopeus muuttuu ja kappale on kiihtyvässä liikkeessä. Ilman kokonaisvoimaa kappale ei pysyisi ympyräradalla vaan jatkaisi suoraan.
Toinen virhe on luulla, että narun katketessa kappale lentää suoraan poispäin keskipisteestä. Mikään voima ei työnnä kappaletta ulospäin. Kun naru lakkaa vetämästä, kappale jatkaa sen hetkisen nopeutensa suuntaan eli radan tangentin suuntaan.
Laskuissa tavallisia virheitä ovat halkaisijan sijoittaminen säteen paikalle kaavaan $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ ja pyörimistaajuuden sijoittaminen kierroksina minuutissa muuntamatta sitä kierroksiksi sekunnissa.
Tiivistelmä
- Ympyräliikkeessä kappaleen rata on ympyrä, jonka säde on $r$. Tasaisessa ympyräliikkeessä vauhti pysyy samana.
- Nopeus $\overline{v}$ on joka hetki radan tangentin suuntainen. Suunta muuttuu koko ajan, joten nopeus muuttuu ja kappale on kiihtyvässä liikkeessä, vaikka vauhti on vakio.
- Kun kappaleeseen ei enää vaikuta kokonaisvoimaa, se jatkaa suoraviivaisesti radan tangentin suuntaan.
- Kierrosaika $T$ on yhden kierroksen aika, ja pyörimistaajuus $f = \tfrac{1}{T}$ on kierrosten määrä aikayksikössä.
- Ratanopeus $v = \tfrac{2\pi r}{T} = 2\pi r f$ on suoraan verrannollinen säteeseen, kun kierrosaika on sama.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mallin arvoihin ja kaavaan $v = \tfrac{2\pi r}{T}$. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi Aino liikkuu karusellin reunalla lujempaa kuin Eetu, ja mihin suuntaan hän lähtee, kun hänen otteensa lipsahtaa?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Pesukoneen rummun halkaisija on $46\,\text{cm}$. Linkouksessa rumpu pyörii $1200$ kierrosta minuutissa. Kuinka suuri on rummun seinää vasten painuneen sukan ratanopeus?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Rummun halkaisija $d = 46\,\text{cm}$ ja pyörimistaajuus $f = 1200\,\tfrac{1}{\text{min}}$. Kysytään sukan ratanopeutta $v$.
Vaihe 2/7
Periaate. Sukka pyörii rummun seinällä rummun mukana, joten se on tasaisessa ympyräliikkeessä, jonka säde on rummun säde $r = \tfrac{d}{2}$. Yhdellä kierroksella sukka kulkee kehän pituisen matkan $2\pi r$, ja kierroksia on $f$ aikayksikössä, joten ratanopeus on $v = 2\pi r f$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Sijoitetaan säde halkaisijan avulla:
$$\begin{aligned} v &= 2\pi r f, \quad r = \frac{d}{2} \\ v &= \pi d f \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Halkaisija on
Pyörimistaajuus on
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} v &= \pi d f \\ &= \pi \cdot 0{,}46\,\text{m} \cdot 20\,\tfrac{1}{\text{s}} \\ &= 28{,}90\,\text{m/s} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Sukan ratanopeus on noin $29\,\text{m/s}$. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska halkaisija $46\,\text{cm}$ on annettu kahdella numerolla.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Rummun kehä on $\pi \cdot 0{,}46\,\text{m} \approx 1{,}45\,\text{m}$, ja rumpu pyörii $20$ kierrosta sekunnissa, joten sukka kulkee sekunnissa noin $20 \cdot 1{,}45\,\text{m} \approx 29\,\text{m}$. Kierrosaika on $T = \tfrac{1}{f} = 0{,}050\,\text{s}$, ja kaava
antaa saman $28{,}9\,\text{m/s}$. Se on noin
moottoritien nopeuden luokkaa, mikä sopii nopeaan linkoukseen.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
Maa kiertää Aurinkoa lähes ympyrärataa, jonka säde on $1{,}50 \cdot 10^{11}\,\text{m}$. Yksi kierros kestää $365$ vuorokautta. Kuinka suuri on Maan ratanopeus? Vastaa yksikössä km/s.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka pitkän matkan Maa kulkee yhdellä kierroksella, ja kuinka monta sekuntia on $365$ vuorokautta?
Vihje 2: mikä yhteys
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$, missä $T = 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\text{s}$.
Vihje 3: välivaihe
$T = 3{,}1536 \cdot 10^{7}\,\text{s}$, joten
Muunna lopuksi metrit kilometreiksi.
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 1{,}50 \cdot 10^{11}\,\text{m}$, kierrosaika $T = 365\,\text{vrk}$
Kysytty
Maan ratanopeus $v$ yksikössä $\text{km/s}$
Periaate
Maa kiertää Aurinkoa lähes ympyrärataa lähes tasaisella vauhdilla, joten sitä voidaan mallintaa tasaisena ympyräliikkeenä. Yhdellä kierroksella se kulkee radan kehän $2\pi r$ ajassa $T$.
Kaava
$$v = \frac{2\pi r}{T}$$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{m} = 0{,}001\,\text{km}$.
Sijoitus
Vastaus
$29{,}9\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten radan säteessä $1{,}50 \cdot 10^{11}\,\text{m}$.
Järkevyys
Radan kehä on noin $9{,}4 \cdot 10^{8}\,\text{km}$, ja vuodessa on noin $3{,}2 \cdot 10^{7}\,\text{s}$, joten vauhti on noin $30\,\text{km}$ sekunnissa eli yli $100\,000\,\text{km/h}$. Maa kulkee siis noin sata kertaa nopeammin kuin matkustajalentokone, mikä sopii planeetan rataan.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Karuselli tekee $15$ kierrosta minuutissa. Mikä on sen pyörimistaajuus yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$ ja kierrosaika?
Vastaus
$f$$= 15\,\tfrac{1}{\text{min}}$$= \dfrac{15}{60\,\text{s}}$$= 0{,}25\,\tfrac{1}{\text{s}}$$T$$= \dfrac{1}{f}$$= \dfrac{1}{0{,}25\,\tfrac{1}{\text{s}}}$$= 4{,}0\,\text{s}$ - Pyörivän levyn kohta A on $3{,}0\,\text{cm}$:n ja kohta B $9{,}0\,\text{cm}$:n päässä akselista. Kuinka moninkertainen on B:n ratanopeus A:n ratanopeuteen verrattuna?
Vastaus
Kolminkertainen. Kohdilla on sama kierrosaika, ja ratanopeus $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ on silloin suoraan verrannollinen säteeseen. Etäisyyksien suhde on siis ratanopeuksien suhde:
$\dfrac{9{,}0\,\text{cm}}{3{,}0\,\text{cm}}$$= 3{,}0$
1. Käsite
2. Ratanopeus
Kulmahiomakoneen laikan halkaisija on $125\,\text{mm}$, ja laikka pyörii $11\,000$ kierrosta minuutissa. Kuinka suuri on laikan reunan ratanopeus? Vastaa yksikössä m/s.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä on laikan säde metreinä, ja kuinka monta kierrosta laikka pyörii sekunnissa?
Vihje 2: mikä yhteys
$v = 2\pi r f$, missä $r = \tfrac{d}{2}$, eli $v = \pi d f$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
laikan halkaisija $d = 125\,\text{mm}$, pyörimistaajuus $f = 11\,000\,\tfrac{1}{\text{min}}$
Kysytty
laikan reunan ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Laikan reuna on tasaisessa ympyräliikkeessä, jonka säde on puolet halkaisijasta. Joka kierroksella reuna kulkee kehän pituisen matkan $2\pi r = \pi d$, ja kierroksia on $f$ aikayksikössä.
Kaava
$v = 2\pi r f$ ja $r = \tfrac{d}{2}$, josta
$$v = \pi d f$$
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$72{,}0\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten halkaisijassa $125\,\text{mm}$.
Järkevyys
Kehä on noin $0{,}4\,\text{m}$, ja laikka pyörii noin $180$ kierrosta sekunnissa, joten reuna kulkee noin $0{,}4\,\text{m} \cdot 180 \approx 72\,\text{m}$ sekunnissa eli noin $260\,\text{km/h}$. Hiomalaikoissa on merkintä suurimmasta sallitusta ratanopeudesta, tyypillisesti $80\,\text{m/s}$, joten tulos on uskottava.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä ja siirrä
Moukarinheittäjä pyörittää moukaria kahvasta ja päästää siitä irti. Ylhäältä katsottuna moukari kiertää ennen irrotusta lähes ympyrärataa.
Mihin suuntaan moukari lähtee irrotushetkellä, ja miksi heittäjän on osattava ajoittaa irrotus oikein, jotta moukari lentää sektoriin?
Mallivastaus
Moukarin nopeus on joka hetki radan tangentin suuntainen. Kun heittäjä päästää irti, vaijeri lakkaa vetämästä moukaria kohti keskipistettä, eikä vaakasuunnassa vaikuta enää voimaa (ilmanvastus on pieni). Newtonin ensimmäisen lain mukaan moukari jatkaa vaakasuunnassa irrotushetken nopeudella eli tangentin suuntaan, ei suoraan poispäin heittäjästä. Koska tangentin suunta kääntyy kierroksen aikana koko ajan, moukari lentää sektoriin vain, jos irrotus tapahtuu siinä kohdassa rataa, jossa tangentti osoittaa sektoriin.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Ympyräliike
- Liike, jossa kappaleen rata on ympyränmuotoinen.
- Ratanopeus
- Ympyrärataa pitkin liikkuvan kappaleen nopeuden suuruus.$$v = \dfrac{2\pi r}{T}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-1Ydintehtävä
Leikkikentän karusellin reunalla seisova lapsi kiertää ympyrärataa, jonka säde on $2{,}5\,\text{m}$. Karuselli tekee yhden kierroksen $6{,}0\,\text{s}$:ssa. Kuinka suuri on lapsen ratanopeus?
Vastaus
$2{,}6\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 2{,}5\,\text{m}$, kierrosaika $T = 6{,}0\,\text{s}$
Kysytty
lapsen ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Karuselli pyörii tasaisesti, joten lapsi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Yhdellä kierroksella hän kulkee kehän pituisen matkan $2\pi r$ ajassa $T$, joten ratanopeus on matka jaettuna ajalla.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$
Muunnokset
Ei tarvita: säde on metreinä ja aika sekunteina.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi \cdot 2{,}5\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}}$$= \dfrac{15{,}71\,\text{m}}{6{,}0\,\text{s}}$$= 2{,}618\,\text{m/s}$Vastaus
$2{,}6\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $2{,}5\,\text{m}$ ja kierrosajassa $6{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Kehä on noin $16\,\text{m}$, ja se kierretään kuudessa sekunnissa, joten vauhti on vajaat $3\,\text{m/s}$ eli noin $9\,\text{km/h}$: reipasta kävelyä nopeampi, mikä sopii karusellin reunalle.
- Tehtävä 3-2Ydintehtävä
Pöytätuulettimen siiven kärki on $0{,}20\,\text{m}$:n päässä akselista, ja siivet pyörivät pyörimistaajuudella $15\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Kuinka suuri on siiven kärjen ratanopeus?
Vastaus
$19\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kärjen etäisyys akselista $r = 0{,}20\,\text{m}$, pyörimistaajuus $f = 15\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Kysytty
siiven kärjen ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Siiven kärki on tasaisessa ympyräliikkeessä, jonka säde on kärjen etäisyys akselista. Jokaisella kierroksella kärki kulkee matkan $2\pi r$, ja kierroksia tulee $f$ sekunnissa, joten sekunnissa kuljettu matka on $2\pi r f$.
Kaava
$v = 2\pi r f$
Muunnokset
Ei tarvita: $\text{m} \cdot \tfrac{1}{\text{s}} = \text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= 2\pi \cdot 0{,}20\,\text{m} \cdot 15\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 1{,}257\,\text{m} \cdot 15\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 18{,}85\,\text{m/s}$Vastaus
$19\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $0{,}20\,\text{m}$ ja pyörimistaajuudessa $15\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
Järkevyys
Tarkistus toista tietä kierrosajan kautta:
$T$$= \dfrac{1}{f}$$= \dfrac{1}{15\,\tfrac{1}{\text{s}}}$$= 0{,}0667\,\text{s}$joten
$v$$= \dfrac{2\pi \cdot 0{,}20\,\text{m}}{0{,}0667\,\text{s}}$$= 18{,}85\,\text{m/s}$sama kuin edellä. Suuruusluokka sopii: kehä on noin $1{,}3\,\text{m}$, ja $15$ kierrosta sekunnissa antaa noin $19\,\text{m}$ sekunnissa eli noin $70\,\text{km/h}$.
- Tehtävä 3-3
Vanhan tuulimyllyn siivet tekevät tasaisessa tuulessa yhden kierroksen $4{,}0\,\text{s}$:ssa. Mikä on siipien pyörimistaajuus?
Vastaus
$0{,}25\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kierrosaika $T = 4{,}0\,\text{s}$
Kysytty
pyörimistaajuus $f$ yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$
Periaate
Pyörimistaajuus kertoo, kuinka monta kierrosta tehdään sekunnissa. Kun yksi kierros kestää ajan $T$, sekunnissa ehditään tehdä $\tfrac{1}{T}$ kierrosta, joten pyörimistaajuus on kierrosajan käänteisluku.
Kaava
$f = \dfrac{1}{T}$
Muunnokset
Ei tarvita: kierrosaika on sekunteina, joten $f$ saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{1}{4{,}0\,\text{s}}$$= 0{,}25\,\tfrac{1}{\text{s}}$Vastaus
$0{,}25\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kierrosajassa $4{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Kierros kestää $4\,\text{s}$, joten sekunnissa ehditään neljäsosa kierroksesta. Minuutissa siivet pyörivät $0{,}25 \cdot 60 = 15$ kierrosta, mikä on tavallinen tuulimyllyn tahti.
- Tehtävä 3-4
Jääkiekkoilija pyörittää kiekkoa narun päässä jäällä ympyrärataa, jonka säde on $1{,}5\,\text{m}$, ja kiekon ratanopeus on $3{,}0\,\text{m/s}$. Naru katkeaa.
Kuinka kaukana radan keskipisteestä kiekko on $2{,}0\,\text{s}$ katkeamisen jälkeen? Jää on kitkaton, ja kiekko ei osu mihinkään.
Vastaus
$6{,}2\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 1{,}5\,\text{m}$, ratanopeus $v = 3{,}0\,\text{m/s}$, aika katkeamisen jälkeen $t = 2{,}0\,\text{s}$
Kysytty
kiekon etäisyys $d$ radan keskipisteestä yksikössä $\text{m}$
Periaate
Kun naru katkeaa, kiekkoon ei vaikuta vaakasuunnassa voimaa, joten kiekko jatkaa suoraan katkeamishetken nopeudella. Nopeus on radan tangentin suuntainen eli kohtisuorassa sädettä vastaan, joten kiekko liikkuu tangentin suuntaan matkan $s = vt$. Keskipisteestä katkeamiskohtaan on matka $r$ ja siitä eteenpäin kohtisuoraan matka $s$, joten Pythagoraan lauseen mukaan $d^2 = r^2 + s^2$.
Kaava
$d = \sqrt{r^2 + (vt)^2}$
Muunnokset
Ei tarvita: säde on metreinä, aika sekunteina ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$.
Sijoitus
$d$$= \sqrt{(1{,}5\,\text{m})^2 + (3{,}0\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s})^2}$$= \sqrt{2{,}25\,\text{m}^2 + 36\,\text{m}^2}$$= 6{,}185\,\text{m}$Vastaus
$6{,}2\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten tiedoissa $1{,}5\,\text{m}$, $3{,}0\,\text{m/s}$ ja $2{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Kiekko kulkee suoraan $s = 6{,}0\,\text{m}$, ja etäisyys keskipisteestä on hieman tätä suurempi, koska lähtöpiste on jo $1{,}5\,\text{m}$:n päässä. Jos kiekko lähtisi säteen suuntaan ulospäin, etäisyys olisi $r + s = 7{,}5\,\text{m}$; tangentin suunnassa se jää tätä pienemmäksi, kuten tulos $6{,}2\,\text{m}$.
- Tehtävä 3-5
Kansainvälinen avaruusasema kiertää Maata lähes ympyrärataa, jonka säde on $6{,}78 \cdot 10^{6}\,\text{m}$. Yksi kierros kestää $5{,}55 \cdot 10^{3}\,\text{s}$. Kuinka suuri on avaruusaseman ratanopeus? Anna vastaus yksikössä m/s.
Vastaus
$7680\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radan säde $r = 6{,}78 \cdot 10^{6}\,\text{m}$, kierrosaika $T = 5{,}55 \cdot 10^{3}\,\text{s}$
Kysytty
avaruusaseman ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Asema kiertää Maata lähes ympyrärataa tasaisella vauhdilla, joten se on tasaisessa ympyräliikkeessä. Yhdellä kierroksella se kulkee ratansa kehän $2\pi r$ ajassa $T$.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$
Muunnokset
Ei tarvita: säde on metreinä ja aika sekunteina.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2\pi \cdot 6{,}78 \cdot 10^{6}\,\text{m}}{5{,}55 \cdot 10^{3}\,\text{s}}$$= \dfrac{4{,}260 \cdot 10^{7}\,\text{m}}{5{,}55 \cdot 10^{3}\,\text{s}}$$= 7676\,\text{m/s}$Vastaus
$7680\,\text{m/s}$
Eli $7{,}68 \cdot 10^{3}\,\text{m/s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten säteessä ja kierrosajassa.
Järkevyys
Kierrosaika on noin $93\,\text{min}$ eli puolitoista tuntia, ja radan kehä on noin $43\,000\,\text{km}$; matka jaettuna ajalla on noin $7{,}7\,\text{km}$ sekunnissa. Se on lähes $28\,000\,\text{km/h}$, mikä vastaa satelliittien tunnettua vauhtia matalalla radalla.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-6Ydintehtävä
Levysoittimella soitetaan singlelevyä, joka pyörii $45$ kierrosta minuutissa. Levyn reuna on $8{,}5\,\text{cm}$:n päässä levyn keskipisteestä. Kuinka suuri on levyn reunan ratanopeus?
Vastaus
$0{,}40\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pyörimistaajuus $f = 45\,\tfrac{1}{\text{min}}$, reunan etäisyys keskipisteestä $r = 8{,}5\,\text{cm}$
Kysytty
levyn reunan ratanopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Levyn reuna on tasaisessa ympyräliikkeessä, jonka säde on reunan etäisyys keskipisteestä. Joka kierroksella reuna kulkee matkan $2\pi r$, ja kierroksia on $f$ aikayksikössä.
Kaava
$v = 2\pi r f$
Muunnokset
$r$$= 8{,}5\,\text{cm}$$= 8{,}5 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}085\,\text{m}$$f$$= 45\,\tfrac{1}{\text{min}}$$= \dfrac{45}{60\,\text{s}}$$= 0{,}75\,\tfrac{1}{\text{s}}$Sijoitus
$v$$= 2\pi \cdot 0{,}085\,\text{m} \cdot 0{,}75\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 0{,}5341\,\text{m} \cdot 0{,}75\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 0{,}4006\,\text{m/s}$Vastaus
$0{,}40\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $8{,}5\,\text{cm}$ ja pyörimistaajuudessa $45\,\tfrac{1}{\text{min}}$.
Järkevyys
Levyn kehä on noin $53\,\text{cm}$, ja levy pyörii vajaan kierroksen sekunnissa, joten reuna kulkee noin $40\,\text{cm}$ sekunnissa. Se on hitaan kävelyn luokkaa, mikä sopii levysoittimeen. Ilman minuuttien muuntamista tulos olisi ollut $60$-kertainen.
- Tehtävä 3-7Ydintehtävä
Maailmanpyörän halkaisija on $40\,\text{m}$. Pyörän reunalla oleva gondoli kulkee ympyrärataa tasaisella vauhdilla $0{,}35\,\text{m/s}$. Kuinka kauan yksi kierros kestää? Anna vastaus minuutteina.
Vastaus
$6{,}0\,\text{min}$
Näytä ratkaisu
Annettu
halkaisija $d = 40\,\text{m}$, gondolin vauhti $v = 0{,}35\,\text{m/s}$
Kysytty
kierrosaika $T$ minuutteina
Periaate
Gondoli on tasaisessa ympyräliikkeessä, jonka säde on puolet halkaisijasta. Ratanopeus on kierroksen matka $2\pi r$ jaettuna kierrosajalla, joten kierrosaika saadaan ratkaisemalla se ratanopeuden kaavasta.
Kaava
$v = \dfrac{2\pi r}{T}$, josta $T = \dfrac{2\pi r}{v}$, missä $r = \dfrac{d}{2}$
Muunnokset
$r$$= \dfrac{40\,\text{m}}{2}$$= 20\,\text{m}$Lopuksi sekunnit muunnetaan minuuteiksi sijoittamalla $1\,\text{s} = \tfrac{1}{60}\,\text{min}$.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 20\,\text{m}}{0{,}35\,\text{m/s}}$$= \dfrac{125{,}66\,\text{m}}{0{,}35\,\text{m/s}}$$= 359{,}0\,\text{s}$$= 359{,}0 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{min}$$= 5{,}98\,\text{min}$Vastaus
$6{,}0\,\text{min}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten vauhdissa $0{,}35\,\text{m/s}$ ja halkaisijassa $40\,\text{m}$.
Järkevyys
Kehä on noin $126\,\text{m}$, ja gondoli kulkee sen noin kolmanneksen metrin sekuntivauhdilla, joten kierros vie noin $360\,\text{s}$. Maailmanpyörän kierros kestää tavallisesti muutamia minuutteja, joten tulos on uskottava.
- Tehtävä 3-8
Laboratoriosentrifugissa koeputken pohja on $9{,}5\,\text{cm}$:n päässä pyörimisakselista ja liikkuu ratanopeudella $45\,\text{m/s}$. Kuinka monta kierrosta minuutissa sentrifugi pyörii? Anna vastaus yksikössä 1/min.
Vastaus
$4{,}5 \cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\text{min}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
etäisyys akselista $r = 9{,}5\,\text{cm}$, ratanopeus $v = 45\,\text{m/s}$
Kysytty
pyörimistaajuus $f$ yksikössä $\tfrac{1}{\text{min}}$
Periaate
Koeputken pohja on tasaisessa ympyräliikkeessä. Sekunnissa se kulkee matkan $v$, ja yksi kierros on $2\pi r$, joten kierroksia sekunnissa on matka jaettuna yhden kierroksen pituudella.
Kaava
$v = 2\pi r f$, josta $f = \dfrac{v}{2\pi r}$
Muunnokset
$r$$= 9{,}5\,\text{cm}$$= 9{,}5 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}095\,\text{m}$Lopuksi
$1\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= \tfrac{1}{\frac{1}{60}\,\text{min}}$$= 60\,\tfrac{1}{\text{min}}$Sijoitus
$f$$= \dfrac{45\,\text{m/s}}{2\pi \cdot 0{,}095\,\text{m}}$$= \dfrac{45\,\text{m/s}}{0{,}5969\,\text{m}}$$= 75{,}39\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 75{,}39 \cdot 60\,\tfrac{1}{\text{min}}$$= 4523\,\tfrac{1}{\text{min}}$Vastaus
noin $4{,}5 \cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\text{min}}$ eli $4500$ kierrosta minuutissa, kaksi merkitsevää numeroa kuten ratanopeudessa $45\,\text{m/s}$ ja säteessä $9{,}5\,\text{cm}$.
Järkevyys
Kehä on noin $0{,}6\,\text{m}$, joten $45\,\text{m}$ sekunnissa on noin $75$ kierrosta sekunnissa. Laboratoriosentrifugit pyörivät tyypillisesti tuhansia kierroksia minuutissa, joten tulos on uskottava.
- Tehtävä 3-9
Tuulivoimalan lavan kärki on $52\,\text{m}$:n päässä akselista ja liikkuu ratanopeudella $65\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on ratanopeus samassa lavassa kohdassa, joka on $20\,\text{m}$:n päässä akselista?
Vastaus
$25\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kärjen etäisyys $r_1 = 52\,\text{m}$ ja ratanopeus $v_1 = 65\,\text{m/s}$, toisen kohdan etäisyys $r_2 = 20\,\text{m}$
Kysytty
kohdan ratanopeus $v_2$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Lapa on jäykkä, joten sen kaikki kohdat tekevät kierroksen samassa ajassa $T$. Kaavan $v = \tfrac{2\pi r}{T}$ mukaan ratanopeus on silloin suoraan verrannollinen etäisyyteen akselista.
Kaava
$T$$= \dfrac{2\pi r_1}{v_1}$$= \dfrac{2\pi r_2}{v_2}$josta $v_2 = \dfrac{r_2}{r_1}\, v_1$
Muunnokset
Ei tarvita: etäisyyksien yksikkö supistuu, ja vauhti on jo yksikössä $\text{m/s}$.
Sijoitus
$v_2$$= \dfrac{20\,\text{m}}{52\,\text{m}} \cdot 65\,\text{m/s}$$= 0{,}3846 \cdot 65\,\text{m/s}$$= 25{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$25\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyyksissä ja kärjen ratanopeudessa.
Järkevyys
Kohta on alle puolessa kärjen etäisyydestä, joten sen ratanopeus on alle puolet kärjen $65\,\text{m/s}$:sta. Kierrosaika on
$T$$= \tfrac{2\pi \cdot 52\,\text{m}}{65\,\text{m/s}}$$= 5{,}03\,\text{s}$ja $\tfrac{2\pi \cdot 20\,\text{m}}{5{,}03\,\text{s}} = 25\,\text{m/s}$ antaa saman tuloksen.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 3-10
Kaksi juoksijaa juoksee rinnakkain radan kaarteessa, joka on puoliympyrä.
Sisemmän juoksijan rata on ympyränkaari, jonka säde on $36{,}5\,\text{m}$, ja hänen vauhtinsa on $7{,}0\,\text{m/s}$. Ulomman juoksijan kaaren säde on $40{,}2\,\text{m}$, ja kaaret ovat samankeskiset.
Kuinka suuri vauhti ulommalla juoksijalla on oltava, jotta juoksijat pysyvät rinnakkain koko kaarteen ajan?
Vastaus
$7{,}7\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
sisempi kaari $r_1 = 36{,}5\,\text{m}$, sisemmän vauhti $v_1 = 7{,}0\,\text{m/s}$, ulompi kaari $r_2 = 40{,}2\,\text{m}$; kaaret ovat samankeskisiä puoliympyröitä
Kysytty
ulomman juoksijan vauhti $v_2$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Rinnakkain juoksevat ovat koko ajan samalla säteellä samasta keskipisteestä katsottuna, joten he juoksevat puoliympyrän samassa ajassa $t$. Kumpikin on tasaisessa ympyräliikkeessä, ja puolikkaan kierroksen matka on $\pi r$. Kun aika on sama, vauhti on suoraan verrannollinen säteeseen.
Kaava
$t$$= \dfrac{\pi r_1}{v_1}$$= \dfrac{\pi r_2}{v_2}$josta $v_2 = \dfrac{r_2}{r_1}\, v_1$
Muunnokset
Ei tarvita: säteiden yksikkö supistuu.
Sijoitus
$v_2$$= \dfrac{40{,}2\,\text{m}}{36{,}5\,\text{m}} \cdot 7{,}0\,\text{m/s}$$= 1{,}1014 \cdot 7{,}0\,\text{m/s}$$= 7{,}710\,\text{m/s}$Vastaus
$7{,}7\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten sisemmän juoksijan vauhdissa $7{,}0\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Ulompi kaari on noin $10\,\%$ pidempi, joten vauhdinkin on oltava noin $10\,\%$ suurempi. Kummallakin kaarteen kesto on
$t$$= \tfrac{\pi \cdot 36{,}5\,\text{m}}{7{,}0\,\text{m/s}}$$= 16{,}4\,\text{s}$koska rinnakkain pysyminen tarkoittaa, että molemmat saapuvat kaarteen loppuun yhtä aikaa. Kilpajuoksussa ulkoradan lähtöpaikka porrastetaan eteenpäin, jotta eripituiset kaaret tasoittuvat; tässä tehtävässä juoksijat lähtevät rinnakkain eikä porrastusta tarvita.
- Tehtävä 3-11
Auto ajaa liikenneympyrässä tasaisella vauhdilla $36\,\text{km/h}$. Kuinka suuri on auton nopeuden muutoksen suuruus $|\Delta\overline{v}|$ sinä aikana, kun auto kiertää neljänneksen ympyrästä? Anna vastaus yksikössä m/s.
Vastaus
$14\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vauhti $v = 36\,\text{km/h}$, auto kiertää neljänneksen ympyrästä
Kysytty
nopeuden muutoksen suuruus $|\Delta\overline{v}|$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Vauhti pysyy samana, mutta nopeus on aina radan tangentin suuntainen, kohtisuorassa sädettä vastaan. Neljänneskierroksella säde kääntyy $90^\circ$, joten myös nopeus kääntyy $90^\circ$: $\overline{v}_1$ ja $\overline{v}_2$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kun ne piirretään samasta pisteestä, muutos $\Delta\overline{v} = \overline{v}_2 - \overline{v}_1$ on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetit ovat $v$ ja $v$.
Kaava
$|\Delta\overline{v}|^2 = v^2 + v^2$, josta $|\Delta\overline{v}| = \sqrt{2}\, v$
Muunnokset
$v$$= 36\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$$= \dfrac{36 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 10\,\text{m/s}$Sijoitus
$|\Delta\overline{v}|$$= \sqrt{2} \cdot 10\,\text{m/s}$$= 14{,}14\,\text{m/s}$Vastaus
$14\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten vauhdissa $36\,\text{km/h}$.
Järkevyys
Vauhti ei muuttunut lainkaan, mutta nopeuden muutos on suurempi kuin itse vauhti, koska suunta kääntyi suoran kulman verran. Puolessa kierroksessa nopeus kääntyisi vastakkaiseksi, ja muutos olisi $2v = 20\,\text{m/s}$; neljänneskierroksen tulos on näiden välissä, kuten pitääkin.
- Tehtävä 3-12
Polkupyörän eturattaan säde on $10{,}0\,\text{cm}$ ja takarattaan säde $4{,}0\,\text{cm}$. Ketju liikkuu kummankin rattaan kehällä samalla ratanopeudella. Takaratas ja takapyörä pyörivät yhdessä, ja takapyörän säde on $0{,}34\,\text{m}$.
Pyöräilijä polkee niin, että eturatas pyörii pyörimistaajuudella $1{,}0\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
Kuinka suuri on pyörän vauhti, kun rengas ei luista maata vasten? Anna vastaus yksikössä km/h.
Vastaus
$19\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
eturattaan säde $r_\text{e} = 10{,}0\,\text{cm}$, takarattaan säde $r_\text{t} = 4{,}0\,\text{cm}$, takapyörän säde $R = 0{,}34\,\text{m}$, eturattaan pyörimistaajuus $f_\text{e} = 1{,}0\,\tfrac{1}{\text{s}}$; rengas ei luista
Kysytty
pyörän vauhti $u$ yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Ketju liikkuu molempien rattaiden kehällä samalla ratanopeudella $v_\text{k}$, joten $2\pi r_\text{e} f_\text{e} = 2\pi r_\text{t} f_\text{t}$. Takapyörä pyörii samalla taajuudella $f_\text{t}$ kuin takaratas. Kun rengas ei luista, renkaan maata koskettava kohta on hetkellisesti levossa maahan nähden, joten pyörä etenee yhdellä kierroksella renkaan kehän $2\pi R$ verran ja vauhti on $u = 2\pi R f_\text{t}$.
Kaava
$f_\text{t}$$= \dfrac{r_\text{e}}{r_\text{t}}\, f_\text{e}$$u = 2\pi R f_\text{t}$, josta
$u$$= 2\pi R\, \dfrac{r_\text{e}}{r_\text{t}}\, f_\text{e}$Muunnokset
Rattaiden säteiden yksikkö supistuu. Lopuksi
$1\,\text{m/s}$$= \dfrac{0{,}001\,\text{km}}{\frac{1}{3600}\,\text{h}}$$= 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$Sijoitus
$f_\text{t}$$= \dfrac{10{,}0\,\text{cm}}{4{,}0\,\text{cm}} \cdot 1{,}0\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 2{,}5\,\tfrac{1}{\text{s}}$$u$$= 2\pi \cdot 0{,}34\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 5{,}341\,\text{m/s}$$= 5{,}341 \cdot 3{,}6\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$$= 19{,}23\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$Vastaus
$19\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten takarattaan säteessä $4{,}0\,\text{cm}$ ja takapyörän säteessä $0{,}34\,\text{m}$.
Järkevyys
Yhdellä poljinkierroksella takapyörä pyörii $2{,}5$ kierrosta, ja yksi pyörän kierros vie noin $2{,}1\,\text{m}$ eteenpäin, joten sekunnissa edetään noin $5{,}3\,\text{m}$. Rauhallinen polkemistahti antaa tavallisen pyöräilyvauhdin noin $20\,\text{km/h}$, joten tulos on uskottava.
Valokuvat
- Manually powered carousel on a playground in Saint-Petersburg. Reda Kerbouche. lähde, CC BY-SA 4.0
