Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-1Ydintehtävä

   Sorkkarautaa käytetään vipuna naulan vetämiseen. Raudan tukipiste on vaakasuunnassa $0{,}050\,\text{m}$:n päässä naulasta, ja käsi painaa rautaa pystysuoraan alas $80\,\text{N}$:n voimalla vaakasuunnassa $0{,}60\,\text{m}$:n päässä tukipisteestä. Rauta on kevyt, joten sen paino voidaan jättää huomiotta.

   Kuinka suurella voimalla rauta vetää naulaa ylös, kun rauta on levossa?

   NTarkista
   Vastaus

   $960\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   käden voima $F_\text{k} = 80\,\text{N}$, varsi $r_\text{k} = 0{,}60\,\text{m}$ tukipisteestä; naulan varsi $r_\text{n} = 0{,}050\,\text{m}$ tukipisteestä; rauta on kevyt ja levossa

   Kysytty

   voima $F_\text{n}$, jolla rauta vetää naulaa, newtoneina

   Periaate

   Rauta pysyy levossa, joten momenttien summa tukipisteen suhteen on nolla. Voimakuviossa raudalla on käden voima $F_\text{k}$ alas, naulan voima $F_\text{n}$ alas toisella puolella tukipistettä ja tuen voima ylös tukipisteessä; tuen voiman varsi on nolla, joten se ei esiinny momenttiehdossa. Rauta on kevyt, joten sen painoa ei oteta huomioon. Käden voima kiertää rautaa yhteen suuntaan ja naulan voima toiseen.

   Kaava

   $F_\text{k} r_\text{k} - F_\text{n} r_\text{n} = 0$, josta

   $F_\text{n}$$= \dfrac{F_\text{k} r_\text{k}}{r_\text{n}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja varret metreinä.

   Sijoitus

   $F_\text{n}$$= \dfrac{80\,\text{N} \cdot 0{,}60\,\text{m}}{0{,}050\,\text{m}}$

   $= \dfrac{48\,\text{Nm}}{0{,}050\,\text{m}}$

   $= 960\,\text{N}$

   Vastaus

   $960\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten käden voimassa $80\,\text{N}$ ja varressa $0{,}60\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Naulan varsi on kaksitoistaosa käden varresta, $0{,}60 : 0{,}050 = 12$, joten naulaa vetävä voima on $12$-kertainen käden voimaan nähden: $12 \cdot 80\,\text{N} = 960\,\text{N}$. Vipu vahvistaa voimaa, kuten sorkkaraudan pitääkin.

2. Tehtävä 2-2Ydintehtävä

   Kevyt viivain on tuettu keskikohdastaan. Sen vasemmalla puolella $0{,}30\,\text{m}$:n päässä tukipisteestä riippuu punnus, jonka paino on $0{,}50\,\text{N}$.

   Kuinka suuri pystysuora voima tarvitaan alaspäin oikealla puolella $0{,}20\,\text{m}$:n päässä tukipisteestä, jotta viivain pysyy vaakasuorassa?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}75\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   punnuksen paino $F_1 = 0{,}50\,\text{N}$, varsi $r_1 = 0{,}30\,\text{m}$; kysytyn voiman varsi $r_2 = 0{,}20\,\text{m}$; kevyt viivain tuettu keskeltä

   Kysytty

   tarvittava voima $F_2$ newtoneina

   Periaate

   Viivain pysyy levossa, joten momenttien summa tukipisteen suhteen on nolla. Voimakuviossa viivaimeen vaikuttavat punnuksen voima $F_1$ alas vasemmalla, voima $F_2$ alas oikealla ja tuen voima ylös tukipisteessä, jonka varsi on nolla. Viivain on kevyt, joten sen painoa ei oteta huomioon. $F_1$ kiertää viivainta vastapäivään ja $F_2$ myötäpäivään.

   Kaava

   $F_1 r_1 - F_2 r_2 = 0$, josta $F_2 = \dfrac{F_1 r_1}{r_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: voima on newtoneina ja varret metreinä.

   Sijoitus

   $F_2$$= \dfrac{0{,}50\,\text{N} \cdot 0{,}30\,\text{m}}{0{,}20\,\text{m}}$

   $= 0{,}75\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}75\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Voima vaikuttaa lähempänä tukipistettä kuin punnus, joten sen on oltava punnuksen painoa suurempi, $0{,}30 : 0{,}20 = 1{,}5$-kertainen: $1{,}5 \cdot 0{,}50\,\text{N} = 0{,}75\,\text{N}$.

3. Tehtävä 2-3

   Kottikärryjen ja kuorman yhteinen paino on $620\,\text{N}$, ja yhteinen painopiste on vaakasuunnassa $0{,}400\,\text{m}$:n päässä pyörän akselista. Kahvat ovat vaakasuunnassa $1{,}20\,\text{m}$:n päässä akselista.

   Kuinka suurella pystysuoralla voimalla kärryjen työntäjän on nostettava kahvoista, jotta kärryt pysyvät levossa pyörän ja kahvojen varassa?

   NTarkista
   Vastaus

   $207\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kärryjen ja kuorman paino $G = 620\,\text{N}$, sen varsi akselista $r_G = 0{,}400\,\text{m}$; kahvojen varsi $r_F = 1{,}20\,\text{m}$

   Kysytty

   nostovoima $F$ newtoneina

   Periaate

   Kärryt ovat levossa, joten momenttien summa minkä tahansa pisteen suhteen on nolla. Voimakuviossa kärryihin vaikuttavat paino $G$ painopisteestä alas, nostovoima $F$ kahvoista ylös ja maan tukivoima pyörän kohdalta ylös. Momenttipisteeksi valitaan pyörän akseli, jolloin tuntematon tukivoima jää pois. Paino kiertää kärryjä myötäpäivään ja nostovoima vastapäivään.

   Kaava

   $F r_F - G r_G = 0$, josta $F = \dfrac{G r_G}{r_F}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: paino on newtoneina ja varret metreinä.

   Sijoitus

   $F$$= \dfrac{620\,\text{N} \cdot 0{,}400\,\text{m}}{1{,}20\,\text{m}}$

   $= 206{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   $207\,\text{N}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten pituuksissa $0{,}400\,\text{m}$ ja $1{,}20\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Kahvat ovat kolme kertaa niin kaukana akselista kuin painopiste, joten nostovoima on kolmasosa painosta: $620\,\text{N} : 3 \approx 207\,\text{N}$. Loput $413\,\text{N}$ kantaa pyörä.

4. Tehtävä 2-4

   Tasa-aineinen lankku, jonka massa on $12{,}0\,\text{kg}$, on vaakasuorassa kahden tuen varassa. Tuet ovat lankun päissä. Kuinka suuri on kummankin tuen tukivoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $58{,}9\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tasa-aineinen lankku $m = 12{,}0\,\text{kg}$; tuet lankun päissä; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kummankin tuen tukivoima $N$ newtoneina

   Periaate

   Lankku on levossa, joten voimien summa ja momenttien summa ovat nolla. Voimakuviossa lankkuun vaikuttavat paino $G$ keskeltä alas ja tukivoimat $N_1$ ja $N_2$ päistä ylös. Painopiste on keskellä, joten tuet ovat yhtä kaukana siitä, ja momenttiehto painopisteen suhteen, $N_1 r = N_2 r$, antaa $N_1 = N_2 = N$. Tukivoimat saadaan sitten voimien summasta.

   Kaava

   $N_1 + N_2 - G = 0$ ja $N_1 = N_2 = N$, joten $N = \dfrac{m g}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina.

   Sijoitus

   $N$$= \dfrac{12{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{2}$

   $= \dfrac{117{,}72\,\text{N}}{2}$

   $= 58{,}86\,\text{N}$

   Vastaus

   $58{,}9\,\text{N}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $12{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Tukivoimien summa $2 \cdot 58{,}86\,\text{N} = 117{,}7\,\text{N}$ on lankun paino. Noin $12\,\text{kg}$:n lankun paino on noin $120\,\text{N}$, joten kumpikin tuki kantaa noin $60\,\text{N}$.

5. Tehtävä 2-5

   Kevyen, $0{,}80\,\text{m}$:n pituisen tangon toisessa päässä on $2{,}0\,\text{kg}$:n ja toisessa päässä $6{,}0\,\text{kg}$:n punnus.

   Kuinka kaukana kevyemmästä punnuksesta tangon yhteinen painopiste on eli mistä kohdasta tanko on tuettava, jotta se pysyy vaakasuorassa?

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}60\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kevyt tanko $L = 0{,}80\,\text{m}$; punnukset $m_1 = 2{,}0\,\text{kg}$ kohdassa $x_1 = 0$ ja $m_2 = 6{,}0\,\text{kg}$ kohdassa $x_2 = 0{,}80\,\text{m}$

   Kysytty

   yhteisen painopisteen paikka $x_\text{pp}$ kevyemmästä punnuksesta mitattuna

   Periaate

   Tanko pysyy vaakasuorassa, kun se tuetaan yhteisen painopisteen kohdalta: silloin punnusten painojen momentit tukikohdan suhteen kumoavat toisensa. Voimakuviossa tankoon vaikuttavat punnusten voimat $m_1 g$ ja $m_2 g$ päistä alas ja tuen voima ylös tukikohdassa. Tanko on kevyt, joten sen painoa ei oteta huomioon.

   Kaava

   $x_\text{pp}$$= \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massojen yksikkö supistuu, ja pituus on metreinä.

   Sijoitus

   $x_\text{pp}$$= \dfrac{2{,}0\,\text{kg} \cdot 0\,\text{m} + 6{,}0\,\text{kg} \cdot 0{,}80\,\text{m}}{2{,}0\,\text{kg} + 6{,}0\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{4{,}8\,\text{kg}\cdot\text{m}}{8{,}0\,\text{kg}}$

   $= 0{,}60\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}60\,\text{m}$

   Kevyemmästä punnuksesta, kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa ja pituudessa.

   Järkevyys

   Painopiste on lähempänä raskaampaa punnusta, $0{,}20\,\text{m}$:n päässä siitä. Momentit tukikohdan suhteen kumoutuvat:

   $2{,}0\,\text{kg} \cdot 0{,}60\,\text{m}$

   $= 6{,}0\,\text{kg} \cdot 0{,}20\,\text{m}$

   $= 1{,}2\,\text{kg}\cdot\text{m}$

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 2-6Ydintehtävä

   Tasa-aineinen lankku, jonka pituus on $4{,}00\,\text{m}$ ja massa $25{,}0\,\text{kg}$, on vaakasuorassa kahden tuen varassa. Tuet ovat $0{,}50\,\text{m}$:n ja $3{,}00\,\text{m}$:n päässä lankun vasemmasta päästä.

   Kuinka suuri on vasemman tuen tukivoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $98{,}1\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lankku $L = 4{,}00\,\text{m}$, $m = 25{,}0\,\text{kg}$, painopiste kohdassa $2{,}00\,\text{m}$; tuet kohdissa $x_1 = 0{,}50\,\text{m}$ ja $x_2 = 3{,}00\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   vasemman tuen tukivoima $N_1$ newtoneina

   Periaate

   Lankku on levossa, joten momenttien summa minkä tahansa pisteen suhteen on nolla. Voimakuviossa lankkuun vaikuttavat paino $G$ keskeltä alas ja tukivoimat $N_1$ ja $N_2$ ylös. Momenttipisteeksi valitaan oikea tuki, jolloin tuntematon $N_2$ jää pois momenttiehdosta. Paino on oikean tuen vasemmalla puolella ja kiertää lankkua vastapäivään, $N_1$ myötäpäivään.

   Kaava

   $G r_G - N_1 r_1 = 0$, josta $N_1 = \dfrac{m g\, r_G}{r_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita, mutta varret lasketaan oikeasta tuesta:

   $r_G$$= 3{,}00\,\text{m} - 2{,}00\,\text{m}$

   $= 1{,}00\,\text{m}$

   $r_1$$= 3{,}00\,\text{m} - 0{,}50\,\text{m}$

   $= 2{,}50\,\text{m}$

   Sijoitus

   $N_1$$= \dfrac{25{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}00\,\text{m}}{2{,}50\,\text{m}}$

   $= \dfrac{245{,}25\,\text{Nm}}{2{,}50\,\text{m}}$

   $= 98{,}1\,\text{N}$

   Vastaus

   $98{,}1\,\text{N}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Voimien summasta

   $N_2$$= 245{,}25\,\text{N} - 98{,}1\,\text{N}$

   $= 147{,}15\,\text{N}$

   Painopisteen suhteen $N_1 \cdot 1{,}50\,\text{m} = 147{,}2\,\text{Nm}$ ja $N_2 \cdot 1{,}00\,\text{m} = 147{,}2\,\text{Nm}$: momentit kumoutuvat, ja kauempi tuki kantaa vähemmän, kuten pitääkin.

2. Tehtävä 2-7Ydintehtävä

   Ojan yli on asetettu tasa-aineinen $3{,}0\,\text{m}$:n pituinen ja $20\,\text{kg}$:n massainen lankku, jonka molemmat päät lepäävät maalla. Lankulla seisoo $70\,\text{kg}$:n henkilö $1{,}0\,\text{m}$:n päässä vasemmasta päästä.

   Kuinka suuri on lankun vasemman pään tukivoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $560\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lankku $L = 3{,}0\,\text{m}$, $m_\text{L} = 20\,\text{kg}$, painopiste keskellä; henkilö $m_\text{h} = 70\,\text{kg}$ kohdassa $1{,}0\,\text{m}$ vasemmasta päästä; tuet päissä; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   vasemman pään tukivoima $N_1$ newtoneina

   Periaate

   Lankku on levossa, joten momenttien summa minkä tahansa pisteen suhteen on nolla. Voimakuviossa lankkuun vaikuttavat sen paino $G_\text{L}$ keskeltä alas, henkilön voima $F_\text{h} = m_\text{h} g$ alas ja tukivoimat $N_1$ ja $N_2$ päistä ylös. Momenttipisteeksi valitaan oikea pää, jolloin $N_2$ jää pois. $G_\text{L}$ ja $F_\text{h}$ kiertävät lankkua sen ympäri vastapäivään, $N_1$ myötäpäivään.

   Kaava

   $m_\text{L} g\, r_\text{L} + m_\text{h} g\, r_\text{h} - N_1 L = 0$, josta

   $N_1$$= \dfrac{(m_\text{L} r_\text{L} + m_\text{h} r_\text{h})\, g}{L}$

   Muunnokset

   Ei tarvita, mutta varret lasketaan oikeasta päästä:

   $r_\text{L}$$= 1{,}5\,\text{m}$

   $r_\text{h}$$= 3{,}0\,\text{m} - 1{,}0\,\text{m}$

   $= 2{,}0\,\text{m}$

   Sijoitus

   Momentit ovat

   $m_\text{L} g\, r_\text{L}$$= 20\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}5\,\text{m}$

   $= 294{,}3\,\text{Nm}$

   $m_\text{h} g\, r_\text{h}$$= 70\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 2{,}0\,\text{m}$

   $= 1373{,}4\,\text{Nm}$

   yhteensä $1667{,}7\,\text{Nm}$. Siis

   $N_1$$= \dfrac{1667{,}7\,\text{Nm}}{3{,}0\,\text{m}}$

   $= 555{,}9\,\text{N}$

   Vastaus

   $560\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Kokonaispaino on $90\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 882{,}9\,\text{N}$, joten oikea pää kantaa $327\,\text{N}$. Vasen pää kantaa enemmän, koska henkilö seisoo lähempänä sitä.

3. Tehtävä 2-8

   Tasa-aineisen kirjahyllyn syvyys on $0{,}400\,\text{m}$ ja korkeus $1{,}80\,\text{m}$, ja sen painopiste on keskellä. Hyllyä kallistetaan eteenpäin niin, että se nojaa vain etureunaansa.

   Kuinka suuri on kallistuskulma pystysuoraan nähden, kun hylly on kaatumisen rajalla eli kun se kaatuisi itsestään, jos kulma kasvaisi vielä? Vastaa asteina.

   °Tarkista
   Vastaus

   $12{,}5^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hyllyn syvyys $d = 0{,}400\,\text{m}$, korkeus $h = 1{,}80\,\text{m}$, painopiste keskellä

   Kysytty

   kallistuskulma $\alpha$ pystysuoraan nähden kaatumisen rajalla, asteina

   Periaate

   Kuvassa kulma $\alpha$ on pystysuoran ja hyllyn korkeussuunnan eli etureunan välinen kulma, siis hyllyn kallistus pystysuoraan nähden. Etureunansa varassa oleva hylly pysyy paikallaan, kun painopisteen kautta kulkeva pystysuora osuu reunan taakse: silloin painon momentti reunan suhteen kääntää hyllyä takaisin. Raja on, kun painopiste on täsmälleen reunan yläpuolella, jolloin painon momentti reunan suhteen on nolla. Voimakuviossa hyllyyn vaikuttavat vain paino painopisteestä alas ja lattian tukivoima reunasta ylös.

   Kaava

   Rajalla painopisteestä etureunaan $P$ kulkeva jana on pystysuora. Painopiste on hyllyn keskellä, joten se on puolen korkeuden, $\tfrac{h}{2}$, päässä hyllyn pohjan keskikohdasta hyllyn korkeussuunnassa, ja pohjan keskikohta on puolen syvyyden, $\tfrac{d}{2}$, päässä reunasta $P$. Syntyy suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat $\tfrac{d}{2}$ ja $\tfrac{h}{2}$ ja jonka hypotenuusa on pystysuora jana. Painopisteen kohdalla pystysuoran ja kateetin $\tfrac{h}{2}$ välinen kulma on $\alpha$, koska kateetti $\tfrac{h}{2}$ on hyllyn etureunan suuntainen, ja kulman vastainen kateetti on $\tfrac{d}{2}$. Siis

   $\tan\alpha$$= \dfrac{d/2}{h/2}$

   $= \dfrac{d}{h}$

   josta $\alpha = \arctan\dfrac{d}{h}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kummankin pituuden yksikkö on metri, ja se supistuu.

   Sijoitus

   $\alpha$$= \arctan\dfrac{0{,}400\,\text{m}}{1{,}80\,\text{m}}$

   $= \arctan 0{,}2222$

   $= 12{,}53^\circ$

   Vastaus

   $12{,}5^\circ$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten mitoissa $0{,}400\,\text{m}$ ja $1{,}80\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Korkea ja kapea hylly kaatuu jo pienellä kallistuksella. Jos hylly olisi yhtä syvä kuin korkea, raja olisi $45^\circ$; syvyys on nyt alle neljäsosa korkeudesta, joten kulman on oltava paljon pienempi.

4. Tehtävä 2-9

   Kyynärvarsi on vaakasuorassa, ja kädessä on $5{,}0\,\text{kg}$:n kahvakuula $0{,}32\,\text{m}$:n päässä kyynärnivelestä. Kyynärvarren ja käden paino on $15\,\text{N}$, ja sen painopiste on $0{,}15\,\text{m}$:n päässä kyynärnivelestä. Hauislihas vetää kyynärvartta pystysuoraan ylös $0{,}040\,\text{m}$:n päässä kyynärnivelestä.

   Kuinka suuri on hauislihaksen voima?

   NTarkista
   Vastaus

   $450\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kahvakuula $m = 5{,}0\,\text{kg}$, varsi $r_\text{k} = 0{,}32\,\text{m}$; kyynärvarren paino $G_\text{v} = 15\,\text{N}$, varsi $r_\text{v} = 0{,}15\,\text{m}$; lihaksen varsi $r_\text{L} = 0{,}040\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hauislihaksen voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Kyynärvarsi on levossa, joten momenttien summa kyynärnivelen suhteen on nolla. Voimakuviossa kyynärvarteen vaikuttavat kahvakuulan voima $mg$ kämmenestä alas, kyynärvarren paino painopisteestään alas, lihaksen voima $F$ ylös ja kyynärnivelen voima, joka osoittaa alas, koska lihaksen voima on suurempi kuin painot yhteensä. Momenttipisteeksi valitaan nivel, jolloin tuntematon nivelen voima jää pois. Lihas kiertää kyynärvartta yhteen suuntaan, painot toiseen.

   Kaava

   $F r_\text{L} - m g\, r_\text{k} - G_\text{v} r_\text{v} = 0$, josta

   $F$$= \dfrac{m g\, r_\text{k} + G_\text{v} r_\text{v}}{r_\text{L}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: varret ovat metreinä ja massa kilogrammoina.

   Sijoitus

   Momentit ovat

   $m g\, r_\text{k}$$= 5{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 0{,}32\,\text{m}$

   $= 15{,}696\,\text{Nm}$

   $G_\text{v} r_\text{v}$$= 15\,\text{N} \cdot 0{,}15\,\text{m}$

   $= 2{,}25\,\text{Nm}$

   yhteensä $17{,}946\,\text{Nm}$. Siis

   $F$$= \dfrac{17{,}946\,\text{Nm}}{0{,}040\,\text{m}}$

   $= 448{,}65\,\text{N}$

   Vastaus

   $450\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Lihaksen varsi on vain kahdeksasosa kahvakuulan varresta, joten lihaksen voima on moninkertainen kuulan painoon $49\,\text{N}$ nähden: pelkkä kuula vaatii $8 \cdot 49\,\text{N} \approx 390\,\text{N}$, ja kyynärvarren paino lisää noin $56\,\text{N}$. Voimien summasta nivelen voima on alaspäin $448{,}65\,\text{N} - 49{,}05\,\text{N} - 15\,\text{N} = 384{,}6\,\text{N}$: nivel puristuu kokoon, kuten lihaksen vetäessä kyynärvartta ylös pitääkin.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 2-10

   Maalari asettaa tasa-aineisen lankun ($4{,}00\,\text{m}$, $20{,}0\,\text{kg}$) kahden pukin päälle niin, että pukit ovat $0{,}50\,\text{m}$:n ja $3{,}00\,\text{m}$:n päässä lankun vasemmasta päästä. Maalarin massa on $60{,}0\,\text{kg}$.

   Kuinka kauas lankun vasemmasta päästä maalari voi kävellä oikeanpuoleisen pukin yli ennen kuin lankku alkaa kaatua?

   mTarkista
   Vastaus

   $3{,}33\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lankku $L = 4{,}00\,\text{m}$, $m_\text{L} = 20{,}0\,\text{kg}$, painopiste $x_\text{L} = 2{,}00\,\text{m}$; pukit $x_1 = 0{,}50\,\text{m}$ ja $x_2 = 3{,}00\,\text{m}$ vasemmasta päästä; maalari $m_\text{m} = 60{,}0\,\text{kg}$

   Kysytty

   maalarin suurin etäisyys $x$ lankun vasemmasta päästä ennen kaatumista

   Periaate

   Lankku pysyy pukkien varassa, kunnes vasemman pukin tukivoima $N_1$ pienenee nollaan, koska pukki voi vain työntää ylöspäin. Voimakuviossa lankkuun vaikuttavat paino $G_\text{L}$ keskeltä alas, maalarin voima $m_\text{m} g$ alas ja tukivoimat ylös. Momenttipisteeksi valitaan oikea pukki: rajalla $N_1 = 0$, ja lankun painon momentti (vastapäivään) kumoaa maalarin momentin (myötäpäivään).

   Kaava

   $m_\text{L} g\,(x_2 - x_\text{L}) - m_\text{m} g\,(x - x_2) = 0$, josta

   $x$$= x_2 + \dfrac{m_\text{L}\,(x_2 - x_\text{L})}{m_\text{m}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $g$ ja massojen yksikkö supistuvat, ja pituudet ovat metreinä. Lankun painon varsi pukista on

   $x_2 - x_\text{L}$$= 3{,}00\,\text{m} - 2{,}00\,\text{m}$

   $= 1{,}00\,\text{m}$

   Sijoitus

   $x$$= 3{,}00\,\text{m} + \dfrac{20{,}0\,\text{kg} \cdot 1{,}00\,\text{m}}{60{,}0\,\text{kg}}$

   $= 3{,}00\,\text{m} + 0{,}333\,\text{m}$

   $= 3{,}333\,\text{m}$

   Vastaus

   $3{,}33\,\text{m}$

   Lankun vasemmasta päästä, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Rajalla lankun ja maalarin yhteinen painopiste on pukin kohdalla: massojen ja paikkojen tulojen summa on

   $20{,}0\,\text{kg} \cdot 2{,}00\,\text{m} + 60{,}0\,\text{kg} \cdot 3{,}333\,\text{m}$

   $= 240\,\text{kg}\cdot\text{m}$

   ja kokonaismassalla $80{,}0\,\text{kg}$ jaettuna saadaan $3{,}00\,\text{m}$. Maalari voi kävellä vain $0{,}33\,\text{m}$ pukin yli, koska hän on kolme kertaa lankkua raskaampi.

2. Tehtävä 2-11

   Liikkeen kyltti roikkuu vaakasuoran, tasa-aineisen tangon päässä. Tangon pituus on $1{,}20\,\text{m}$ ja massa $4{,}00\,\text{kg}$, ja sen toinen pää on kiinnitetty saranalla seinään.

   Kyltti, jonka massa on $8{,}00\,\text{kg}$, riippuu tangon uloimmasta päästä. Tangon uloimmasta päästä lähtee vaijeri seinään saranan yläpuolelle niin, että vaijerin ja tangon välinen kulma on $30{,}0^\circ$.

   Kuinka suuri on vaijerin jännitysvoima?

   NTarkista
   Vastaus

   $196\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tanko $L = 1{,}20\,\text{m}$, $m_\text{t} = 4{,}00\,\text{kg}$, painopiste keskellä; kyltti $m_\text{k} = 8{,}00\,\text{kg}$ uloimmassa päässä; vaijeri kiinnitetty seinään saranan yläpuolelle, ja sen ja tangon välinen kulma $\alpha = 30{,}0^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   vaijerin jännitysvoima $T$ newtoneina

   Periaate

   Tanko on levossa, joten momenttien summa saranan suhteen on nolla. Voimakuviossa tankoon vaikuttavat sen paino keskeltä alas, kyltin voima $m_\text{k} g$ uloimmasta päästä alas, vaijerin jännitysvoima $\overline{T}$ uloimmasta päästä vaijeria pitkin kohti seinää ja saranan voima. Momenttipisteeksi valitaan sarana, jolloin sen tuntematon voima jää pois. $\overline{T}$ jaetaan komponentteihin: tangon suuntainen komponentti kulkee saranan kautta eikä aiheuta momenttia, kohtisuora komponentti $T \sin\alpha$ kiertää tankoa ylös.

   Kaava

   $T \sin\alpha \cdot L - m_\text{t} g \cdot \tfrac{L}{2} - m_\text{k} g \cdot L$

   $= 0$

   josta

   $T$$= \dfrac{(\tfrac{1}{2} m_\text{t} + m_\text{k})\, g}{\sin\alpha}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massat ovat kilogrammoina, ja pituus $L$ supistuu.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{(2{,}00\,\text{kg} + 8{,}00\,\text{kg}) \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{\sin 30{,}0^\circ}$

   $= \dfrac{98{,}1\,\text{N}}{0{,}500}$

   $= 196{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $196\,\text{N}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Vaijerin pystykomponentti $T \sin 30{,}0^\circ = 98{,}1\,\text{N}$ on pienempi kuin tangon ja kyltin yhteinen paino $117{,}7\,\text{N}$; loput kantaa sarana. Loiva vaijeri vaatii suuren jännityksen: kulman lähestyessä nollaa $T$ kasvaisi rajatta.

3. Tehtävä 2-12

   Kaksi henkilöä kantaa vaakasuorassa tasa-aineista tukkia, jonka pituus on $5{,}00\,\text{m}$ ja massa $90{,}0\,\text{kg}$. Etummainen kantaja kannattelee tukin etupäätä, ja hän jaksaa nostaa enintään $300\,\text{N}$:n voimalla.

   Kuinka kaukana tukin takapäästä takimmaisen kantajan on kannateltava tukkia, jotta etummaisen kantajan voima on tasan $300\,\text{N}$?

   mTarkista
   Vastaus

   $1{,}21\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tukki $L = 5{,}00\,\text{m}$, $m = 90{,}0\,\text{kg}$, painopiste keskellä; etummaisen kantajan voima $F = 300\,\text{N}$ etupäässä; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   takimmaisen kantajan etäisyys $a$ tukin takapäästä

   Periaate

   Tukki on levossa, joten momenttien summa minkä tahansa pisteen suhteen on nolla. Voimakuviossa tukkiin vaikuttavat paino $G$ keskeltä alas ja kantajien voimat ylös. Momenttipisteeksi valitaan takimmainen kantaja, jolloin hänen tuntematon voimansa jää pois. Painopiste on kantajien välissä, joten paino ja etummaisen kantajan voima kiertävät tukkia vastakkaisiin suuntiin.

   Kaava

   $F\,(L - a) - m g\,(\tfrac{L}{2} - a) = 0$, josta

   $a$$= \dfrac{m g \cdot \tfrac{L}{2} - F L}{m g - F}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massa on kilogrammoina ja pituus metreinä. Paino on

   $G$$= 90{,}0\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 882{,}9\,\text{N}$

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $882{,}9\,\text{N} \cdot 2{,}50\,\text{m} - 300\,\text{N} \cdot 5{,}00\,\text{m}$

   $= 707{,}25\,\text{Nm}$

   ja nimittäjä $882{,}9\,\text{N} - 300\,\text{N} = 582{,}9\,\text{N}$. Siis

   $a$$= \dfrac{707{,}25\,\text{Nm}}{582{,}9\,\text{N}}$

   $= 1{,}213\,\text{m}$

   Vastaus

   $1{,}21\,\text{m}$

   Tukin takapäästä, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Takimmainen kantaa $882{,}9\,\text{N} - 300\,\text{N} = 582{,}9\,\text{N}$, ja painopisteen suhteen momentit kumoutuvat: $300\,\text{N} \cdot 2{,}50\,\text{m} = 750\,\text{Nm}$ ja $582{,}9\,\text{N} \cdot (2{,}50 - 1{,}213)\,\text{m} = 750\,\text{Nm}$. Takimmainen on lähempänä painopistettä ja kantaa enemmän.