Momentti: voiman kiertävä vaikutus
Miksi tiukkaan juuttunut pyöränmutteri aukeaa pitkällä avaimella, vaikka lyhyellä avaimella yhtä suuri voima ei saa sitä liikkumaan?
Pohjatiedot
- Voimalla on suuruus, suunta ja vaikutuskohtaluku Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki
- Vinon voiman komponentit saadaan sinin ja kosinin avullaluku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 2.
Pohdinta
Pyörän mutteri on juuttunut kiinni. Vedät lyhyen kiintoavaimen vartta kaikin voimin, eikä mutteri liikahdakaan. Kaverisi hakee avaimen, jonka varsi on kaksi kertaa pidempi, ja mutteri aukeaa, vaikka hän ei vedä yhtään sinua kovemmin.
Mikä ratkaisee, aukeaako mutteri, jos pelkkä voiman suuruus ei sitä ratkaise?
Valinnainen Kertaa: vinon voiman komponentti
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: otekohdan etäisyys
Ennuste 2: vetokulma
Tutki
Simulaatiossa avataan juuttunutta mutteria kiintoavaimella. Säädä käden voimaa, otekohtaa ja vetokulmaa ja kokeile, aukeaako mutteri.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä voimaa $F$, otekohdan etäisyyttä $d$ mutterin keskeltä ja kulmaa $\alpha$, jonka voima muodostaa varren jatkeen kanssa. Paina Väännä: mutteri joko aukeaa ja avain kääntyy, tai avain vain nytkähtää. Jokainen yritys piirtyy kuvaajaan kohtaan, jonka vaakakoordinaatti on voiman varsi $r$ ja pystykoordinaatti voima $F$: vihreä täytetty piste, kun mutteri aukesi, ja ontto rengas, kun se ei liikkunut. Punainen risti näyttää nykyisen asetuksen. Mutteri-valinta vaihtaa tiukassa ja ruosteessa olevan mutterin ja tyhjentää kuvaajan, samoin Alusta. Nopeus muuttaa vain kääntymisen tahtia. Ruutu Näytä voiman varsi piirtää akselista vaikutussuoralle kohtisuoran janan $r$. Lukemat ovat kuvan alla.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Mutteri voi vain kiertyä pultin ympäri, ja kiertoakseli kulkee mutterin keskeltä. Mutteri aukeaa, kun käden voiman momentti on vähintään se momentti, jonka mutterin kitka vaatii. Tätä arvoa ei näytetä, vaan se selvitetään kokeilemalla. Kaikki kulmat $0^\circ$–$180^\circ$ kiertävät mutteria aukeamissuuntaan eli vastapäivään. Avaimen paino jätetään huomiotta. Kääntyminen on vain kuva tuloksesta: simulaatio ei laske, kuinka nopeasti mutteri kiertyy.
Laskennan selitys
Voiman varsi on akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta, $r = d\sin\alpha$. Momentti on $M = Fr$ yksikössä $\text{Nm}$. Yritys onnistuu, kun $M$ on vähintään mutterin vaatima momentti.
Koe 1: pienin avaava voima
Alkutila valitsee tiukassa olevan mutterin ja kulman $\alpha = 90^\circ$. Valitse otekohta $d$, säädä voimaa $F$ ja paina Väännä, kunnes löydät pienimmän voiman, jolla mutteri aukeaa. Kirjaa mittaus vasta silloin. Toista ainakin etäisyyksillä $0{,}10\,\text{m}$, $0{,}15\,\text{m}$, $0{,}20\,\text{m}$ ja $0{,}30\,\text{m}$.
Alkutila: mutteri: tiukassa, kulma $\alpha$ = $90^\circ$, otekohta $d$ = $0{,}1\,\text{m}$, voima $F$ = $100\,\text{N}$. Vakiona: mutteri, kulma $\alpha$. Muutetaan: otekohta $d$.
| otekohta $d$ | voima $F$ | $M$ $(\text{Nm})$ | mutteri |
|---|
Laske taulukon rivin $d = 0{,}20\,\text{m}$ pienimmästä avaavasta voimasta momentti, jonka mutteri vaatii. Vastaa newtonmetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Voima on kohtisuorassa vartta vastaan. Kuinka pitkä on silloin voiman varsi?
Vihje 2: mikä yhteys
Kun $\alpha = 90^\circ$, varsi on $r = d$ ja momentti $M = Fd$.
Vihje 3: välivaihe
$M = F\cdot 0{,}20\,\text{m}$, missä $F$ on rivin pienin avaava voima.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta otekohta $d = 0{,}20\,\text{m}$ ja pienin avaava voima $F = 150\,\text{N}$ (mallin arvo); kulma $\alpha = 90^\circ$
Kysytty
momentti $M$, jonka mutteri vaatii, yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Mutteri kiertyy akselinsa ympäri, joten aukeamisen ratkaisee voiman momentti $M = Fr$. Pienimmällä avaavalla voimalla momentti on juuri se, jonka mutteri vaatii. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten varsi on koko etäisyys $d$.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d\sin 90^\circ = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$30\,\text{Nm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}20\,\text{m}$.
Järkevyys
Muiltakin riveiltä saadaan sama tulo: $300\,\text{N}\cdot 0{,}10\,\text{m} = 30\,\text{Nm}$ ja $100\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m} = 30\,\text{Nm}$. Mutteri siis todella vaatii tietyn momentin. Kuvaajassa vihreät rajapisteet osuvat käyrälle, jolla $Fr$ on vakio.
Koe 2: vetokulma muuttuu
Alkutila valitsee ruosteessa olevan mutterin, voiman $F = 200\,\text{N}$ ja otekohdan $d = 0{,}40\,\text{m}$. Muuta vain kulmaa $\alpha$ ja paina joka kulmalla Väännä. Kirjaa mittaus ainakin kulmilla $90^\circ$, $60^\circ$, $45^\circ$, $30^\circ$ ja $150^\circ$.
Alkutila: mutteri: ruosteessa, voima $F$ = $200\,\text{N}$, otekohta $d$ = $0{,}4\,\text{m}$, kulma $\alpha$ = $90^\circ$. Vakiona: mutteri, voima $F$, otekohta $d$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $r$ $(\text{m})$ | $M$ $(\text{Nm})$ | mutteri |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, mikä ratkaisee, aukeaako mutteri. Käytä sanoja voima, voiman varsi ja momentti, ja kerro, miksi vetokulma vaikuttaa tulokseen.
Mallivastaus
Kokeessa 1 pienin avaava voima oli mallin arvoissa $300\,\text{N}$ otekohdasta $0{,}10\,\text{m}$, $150\,\text{N}$ otekohdasta $0{,}20\,\text{m}$ ja $100\,\text{N}$ otekohdasta $0{,}30\,\text{m}$. Voima ei siis ole sama, mutta voiman ja etäisyyden tulo on joka kerta $30\,\text{Nm}$: mutterin aukeamisen ratkaisee voiman momentti $M = Fr$. Kokeessa 2 voima ja otekohta pysyivät samoina, mutta kulman pienentyessä vaikutussuora siirtyi lähemmäs akselia. Voiman varsi $r = d\sin\alpha$ lyheni $0{,}40\,\text{m}$:stä $0{,}20\,\text{m}$:iin kulmalla $30^\circ$, ja momentti putosi $80\,\text{Nm}$:stä $40\,\text{Nm}$:iin. Kulmalla $150^\circ$ momentti oli sama kuin kulmalla $30^\circ$, koska varsi on yhtä pitkä. Kuvaajassa saman mutterin yritykset jakautuvat samalla rajalla, koska aukeaminen riippuu vain tulosta $Fr$.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Voima voi muuttaa kappaleen liikettä, mutta se voi myös kiertää kappaletta. Kun kappale on kiinni akselissa, kuten ovi saranoissaan, mutteri pultissa tai keinulauta tuessaan, se ei pääse siirtymään vaan voi vain kiertyä akselin ympäri. Tätä akselia kutsutaan kiertoakseliksi. Voiman kykyä kiertää kappaletta kiertoakselin ympäri kutsutaan vääntövaikutukseksi, ja sen suuruutta mitataan momentilla (voiman momentti). Vääntövaikutus ei riipu pelkästään voiman suuruudesta. Siihen vaikuttavat myös voiman suunta ja se, mihin kohtaan kappaletta voima vaikuttaa.
Ovi ja voiman vaikutuskohta
Ovea on helppo avata työntämällä kahvasta, joka on kaukana saranoista. Jos samansuuruisella voimalla työnnetään läheltä saranaa, ovi kääntyy paljon vaikeammin. Jos taas työnnetään oven päästä oven suuntaisesti kohti saranaa, ovi ei käänny lainkaan, vaikka voima on yhtä suuri. Kuvan kolme voimaa $\overline{F}_1$, $\overline{F}_2$ ja $\overline{F}_3$ ovat siis yhtä suuria, mutta niiden vääntövaikutukset saranan suhteen ovat aivan erilaiset.
Voiman varsi
Vääntövaikutuksen ratkaisee voiman vaikutussuora eli suora, joka kulkee voiman vaikutuskohdan (avaimessa käden otekohdan) kautta voiman suuntaan. Voiman varsi $r$ on kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Kun voima on kohtisuorassa avaimen vartta vastaan, varsi on sama kuin vaikutuskohdan etäisyys $d$ akselista. Kun voima on vinossa, varsi on lyhyempi kuin $d$. Jos vaikutussuora kulkee kiertoakselin kautta, varsi on nolla, eikä voima kierrä kappaletta lainkaan. Siksi oven suuntainen voima $\overline{F}_3$ ei avaa ovea.
Voiman momentti
Voiman momentti kiertoakselin suhteen on voiman suuruuden ja voiman varren tulo:
$$M = F r$$
missä $M$ on voiman momentti ($\text{Nm}$), $F$ voiman suuruus ($\text{N}$) ja $r$ voiman varsi eli kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta ($\text{m}$). Momentin yksikkö on newtonmetri $\text{Nm}$. Se ei ole sama asia kuin energian yksikkö joule, vaikka molemmat ovat newtonin ja metrin tulo: momentissa etäisyys on kohtisuorassa voimaa vastaan, työssä se on voiman suuntainen siirtymä.
Kiertosuunta ja etumerkki
Momentilla on suuruuden lisäksi kiertosuunta. Tässä kirjassa vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen ja myötäpäivään kiertävä negatiivinen. Kun kappaleeseen vaikuttaa monta voimaa, niiden momentit lasketaan yhteen etumerkkeineen. Saadaan kokonaismomentti:
$$\Sigma M = M_1 + M_2 + M_3 + \ldots$$
missä $\Sigma M$ on kokonaismomentti ($\text{Nm}$) ja $M_1$, $M_2$, … yksittäisten voimien momentit saman valitun kiertoakselin suhteen ($\text{Nm}$). Jos kiinteän akselin ympäri kiertyvään, levossa olevaan kappaleeseen vaikuttava kokonaismomentti ei ole nolla, kappale alkaa kiertyä kokonaismomentin suuntaan. Milloin kappale pysyy paikallaan, tutkitaan tarkemmin luvussa Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit.
Vinon voiman varsi
Usein tiedetään vaikutuskohdan etäisyys $d$ kiertoakselista ja kulma $\alpha$, jonka voima muodostaa akselista vaikutuskohtaan kulkevan suoran (esimerkiksi avaimen varren jatkeen) kanssa. Akseli, vaikutuskohta ja varren kantapiste muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusa on $d$. Varsi on kulman $\alpha$ vastainen kateetti:
$$r = d\sin\alpha$$
missä $r$ on voiman varsi ($\text{m}$), $d$ vaikutuskohdan etäisyys kiertoakselista ($\text{m}$) ja $\alpha$ voiman ja varren jatkeen välinen kulma. Kun $\alpha = 90^\circ$, $r = d$ ja momentti on suurin. Kun $\alpha = 0^\circ$ tai $\alpha = 180^\circ$, $r = 0$.
Yleinen virhekäsitys
Momenttia ei saada kertomalla voima etäisyydellä vaikutuskohtaan, vaan etäisyydellä vaikutussuoraan. Etäisyys $d$ ja varsi $r$ ovat yhtä suuret vain, kun voima on kohtisuorassa akselista vaikutuskohtaan kulkevaa suoraa vastaan. Toinen virhe on ajatella, että pitkä avain lisää voimaa. Käden voima on sama, mutta pitkällä avaimella sen varsi on pidempi, joten momentti on suurempi. Mutterin aukeaminen ei vaadi tiettyä voimaa vaan tietyn momentin.
Tiivistelmä
- Voiman vääntövaikutusta kiertoakselin suhteen mitataan momentilla $M = Fr$, ja sen yksikkö on newtonmetri $\text{Nm}$.
- Voiman varsi $r$ on kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta, ei etäisyys vaikutuskohtaan.
- Vinon voiman varsi on $r = d\sin\alpha$. Voima, jonka vaikutussuora kulkee akselin kautta, ei kierrä kappaletta.
- Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen ja myötäpäivään kiertävä negatiivinen. Kokonaismomentti on momenttien summa etumerkkeineen.
- Jos akselin ympäri kiertyvään, levossa olevaan kappaleeseen vaikuttava kokonaismomentti ei ole nolla, kappale alkaa kiertyä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin. Mitä opit siitä, mikä tekee voimasta tehokkaan kiertäjän? Palaa myös alun mutteriin: miksi pitkä avain auttaa, vaikka käden voima ei kasva?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Juuttunutta mutteria avataan kiintoavaimella. Käsi tarttuu varteen $0{,}35\,\text{m}$:n etäisyydellä mutterin keskeltä, joka on kiertoakseli. Käsi vetää vartta $240\,\text{N}$:n voimalla, joka on $65^\circ$:n kulmassa varren jatkeeseen nähden ja kiertää mutteria aukeamissuuntaan. Mutteri aukeaa vasta, kun momentti on vähintään $80\,\text{Nm}$. Kuinka suuri on käden voiman momentti mutterin akselin suhteen, ja aukeaako mutteri?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $F = 240\,\text{N}$, $d = 0{,}35\,\text{m}$, $\alpha = 65^\circ$ ja mutterin vaatima momentti $80\,\text{Nm}$. Kysytään voiman momenttia $M$ ja sitä, riittääkö se.
Vaihe 2/7
Periaate. Mutteri voi vain kiertyä akselinsa ympäri, joten voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on vinossa varteen nähden, joten varsi $r$ on lyhyempi kuin etäisyys $d$: se saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, $r = d\sin\alpha$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Sijoitetaan varren lauseke momentin kaavaan:
$$\begin{aligned} M &= F r \\ M &= F d\sin\alpha \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten momentti saadaan newtonmetreinä.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} M &= F d\sin\alpha \\ &= 240\,\text{N}\cdot 0{,}35\,\text{m}\cdot\sin 65^\circ \\ &\approx 76{,}1\,\text{Nm} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Voiman momentti on $M \approx 76\,\text{Nm}$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten etäisyys $0{,}35\,\text{m}$. Se on pienempi kuin mutterin vaatima $80\,\text{Nm}$, joten mutteri ei aukea.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Jos sama voima vaikuttaisi kohtisuoraan vartta vastaan, varsi olisi koko $0{,}35\,\text{m}$ ja momentti $240\,\text{N}\cdot 0{,}35\,\text{m} = 84\,\text{Nm}$. Vino veto antaa vähemmän, koska $\sin 65^\circ \approx 0{,}91 < 1$. Mutteri aukeaisi siis samalla voimalla, jos vedettäisiin kohtisuoraan vartta vastaan.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Pysäköintialueen puomi on $3{,}00\,\text{m}$ pitkä, ja sen massa on $12{,}0\,\text{kg}$. Puomi kääntyy toisessa päässään olevan akselin ympäri, ja sen paino vaikuttaa puomin keskikohdassa. Puomi on nostettu $40^\circ$:n kulmaan vaakatasoon nähden.
Kuinka suuri on puomin painon momentti akselin suhteen? Vastaa newtonmetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Paino osoittaa suoraan alas. Kuinka kaukana akselista kulkee pystysuora vaikutussuora?
Vihje 2: mikä yhteys
Varsi on painon vaikutuskohdan vaakasuora etäisyys akselista: $r = 1{,}50\,\text{m}\cdot\cos 40^\circ$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
puomin pituus $3{,}00\,\text{m}$, massa $m = 12{,}0\,\text{kg}$, paino vaikuttaa keskikohdassa $d = 1{,}50\,\text{m}$:n päässä akselista, puomin kulma vaakatasoon $40^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
painon momentti $M$ akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Puomi voi vain kääntyä akselinsa ympäri, joten painon vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Paino osoittaa suoraan alas, joten sen varsi on akselin kohtisuora etäisyys pystysuorasta vaikutussuorasta eli vaikutuskohdan vaakasuora etäisyys akselista. Se on suorakulmaisessa kolmiossa kulman $40^\circ$ viereinen kateetti.
Kaava
$M = Gr$, missä $G = mg$ ja $r = d\cos 40^\circ$, joten $M = mgd\cos 40^\circ$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja pituus metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$135\,\text{Nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $12{,}0\,\text{kg}$ ja pituudessa $3{,}00\,\text{m}$.
Järkevyys
Vaakasuoran puomin painon varsi olisi koko $1{,}50\,\text{m}$ ja momentti $177\,\text{Nm}$. Nostettuna varsi lyhenee, joten momentti pienenee, ja pystyssä se olisi nolla. Kulman voi tarkistaa myös kaavalla $r = d\sin\alpha$: painon ja puomin jatkeen välinen kulma on $90^\circ + 40^\circ = 130^\circ$ ja $\sin 130^\circ = \cos 40^\circ$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Mikä on momentin yksikkö, ja mistä kahdesta suureesta momentti saadaan?
Vastaus
Momentin yksikkö on newtonmetri $\text{Nm}$. Momentti on voiman suuruuden ja voiman varren tulo $M = Fr$, joten siihen vaikuttavat sekä voima että se, kuinka kaukana akselista voiman vaikutussuora kulkee.
- Kumpi kiertää kappaletta tehokkaammin akselin suhteen: $100\,\text{N}$:n voima, jonka varsi on $0{,}20\,\text{m}$, vai $50\,\text{N}$:n voima, jonka varsi on $0{,}50\,\text{m}$?
Vastaus
Jälkimmäinen. Momentit ovat $100\,\text{N}\cdot 0{,}20\,\text{m} = 20\,\text{Nm}$ ja $50\,\text{N}\cdot 0{,}50\,\text{m} = 25\,\text{Nm}$. Pienempi voima kiertää tehokkaammin, koska sen varsi on pidempi.
- Avaimen vasen pää on mutterin ympärillä, ja varren oikeaa päätä painetaan suoraan alaspäin. Kiertääkö voima avainta myötä- vai vastapäivään, ja mikä on momentin etumerkki tämän luvun sopimuksella?
Vastaus
Varren oikea pää liikkuu alas, joten avain kiertyy myötäpäivään. Myötäpäivään kiertävä momentti on negatiivinen.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kuljettaja kääntää ohjauspyörää, jonka säde on $0{,}19\,\text{m}$. Vasen käsi vetää kehää kehän suuntaisesti $25\,\text{N}$:n voimalla, joka kiertää pyörää vastapäivään. Oikea käsi vaikuttaa kehään kehän suuntaisesti $15\,\text{N}$:n voimalla, joka kiertää pyörää myötäpäivään.
Kuinka suuri on käsien voimien kokonaismomentti ohjauspyörän akselin suhteen? Vastaa newtonmetreinä niin, että vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kehän suuntainen voima on kohtisuorassa sädettä vastaan. Kuinka pitkä on silloin voiman varsi?
Vihje 2: mikä yhteys
Kummankin voiman varsi on säde $0{,}19\,\text{m}$. Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen, myötäpäivään kiertävä negatiivinen.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
ohjauspyörän säde $R = 0{,}19\,\text{m}$, vasemman käden voima $F_1 = 25\,\text{N}$ vastapäivään, oikean käden voima $F_2 = 15\,\text{N}$ myötäpäivään, molemmat kehän suuntaisia
Kysytty
kokonaismomentti $\Sigma M$ akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$, vastapäivään positiivisena
Periaate
Ohjauspyörä kiertyy akselinsa ympäri, joten kunkin voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti. Kehän suuntainen voima on kohtisuorassa sädettä vastaan, joten sen varsi on säde. Kokonaismomentti on momenttien summa etumerkkeineen.
Kaava
$M_1 = F_1 R$ ja $M_2 = -F_2 R$, joten $\Sigma M = F_1 R - F_2 R$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja säde metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}9\,\text{Nm}$
Vastapäivään, kaksi merkitsevää numeroa kuten säteessä $0{,}19\,\text{m}$ ja voimissa.
Järkevyys
Molemmilla voimilla on sama varsi, joten kokonaismomentti on voimien erotuksen $10\,\text{N}$ ja säteen tulo: $10\,\text{N}\cdot 0{,}19\,\text{m} = 1{,}9\,\text{Nm}$. Suurempi voima kiertää vastapäivään, joten etumerkki on positiivinen: käsien voimat kiertävät pyörää yhdessä vastapäivään.
Harjoittele kokonaismomenttia tason 2 tehtävissä.
3. Selitä
Selitä momentin avulla, miksi oven kahva sijoitetaan oven reunaan kauas saranoista. Kerro myös, miksi ovi ei aukea, jos sitä työnnetään reunasta oven tasossa kohti saranoita.
Mallivastaus
Ovi voi vain kiertyä saranoiden kautta kulkevan kiertoakselin ympäri, joten sen kääntymisen ratkaisee voiman momentti $M = Fr$, jossa $r$ on akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Kun kahva on oven reunassa, kohtisuoran työnnön varsi on lähes koko oven leveys, esimerkiksi $0{,}8\,\text{m}$. Silloin pienikin voima antaa riittävän momentin, ja ovi kääntyy helposti. Lähellä saranoita varsi on lyhyt, joten sama voima antaa paljon pienemmän momentin. Jos ovea työnnetään reunasta oven tasossa kohti saranoita, voiman vaikutussuora kulkee kiertoakselin kautta. Varsi on nolla, joten momenttikin on nolla, eikä ovi käänny, vaikka voima olisi suuri.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Vääntövaikutus
- Voiman vaikutus, joka pyrkii kiertämään kappaletta.
- Kiertoakseli
- Suora, jonka ympäri kappale pyörii tai voisi pyöriä.
- Voiman vaikutussuora
- Suora, joka kulkee voiman vaikutuspisteen kautta voiman suuntaisesti.
- Kokonaismomentti
- Kappaleeseen vaikuttavien voimien momenttien summa valitun kiertoakselin suhteen.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-1Ydintehtävä
Mutteria kiristetään kiintoavaimella. Käsi vaikuttaa varteen $0{,}25\,\text{m}$:n etäisyydellä mutterin keskeltä $150\,\text{N}$:n voimalla, joka on kohtisuorassa vartta vastaan. Kuinka suuri on voiman momentti mutterin akselin suhteen?
Vastaus
$37{,}5\,\text{Nm} \approx 38\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F = 150\,\text{N}$ kohtisuoraan vartta vastaan, otekohdan etäisyys mutterin keskeltä $d = 0{,}25\,\text{m}$
Kysytty
voiman momentti $M$ mutterin akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Mutteri kiertyy akselinsa ympäri, joten voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten voiman varsi on koko etäisyys otekohtaan, $r = d$.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 150\,\text{N}\cdot 0{,}25\,\text{m}$$= 37{,}5\,\text{Nm}$Vastaus
$37{,}5\,\text{Nm} \approx 38\,\text{Nm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}25\,\text{m}$.
Järkevyys
Neljäsosametrin varrella momentti on neljäsosa voiman lukuarvosta: $150 : 4 \approx 38$. Tavallisen mutterin kiristysmomentti on kymmenien newtonmetrien luokkaa, joten tulos on uskottava.
- Tehtävä 1-2Ydintehtävä
Ovea avataan työntämällä kahvasta $12\,\text{N}$:n voimalla kohtisuoraan ovea vastaan. Kahva on $0{,}80\,\text{m}$:n päässä saranoista. Kuinka suuri on voiman momentti saranoiden suhteen?
Vastaus
$9{,}6\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
työntövoima $F = 12\,\text{N}$ kohtisuoraan ovea vastaan, kahvan etäisyys saranoista $d = 0{,}80\,\text{m}$
Kysytty
voiman momentti $M$ saranoiden suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Ovi kiertyy saranoiden kautta kulkevan kiertoakselin ympäri, joten työnnön vääntövaikutuksen kertoo sen momentti. Työntö on kohtisuorassa ovea vastaan, joten voiman varsi on kahvan etäisyys saranoista.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 12\,\text{N}\cdot 0{,}80\,\text{m}$$= 9{,}6\,\text{Nm}$Vastaus
$9{,}6\,\text{Nm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $12\,\text{N}$ ja etäisyydessä $0{,}80\,\text{m}$.
Järkevyys
Varsi on vähän alle metrin, joten momentin lukuarvo on vähän pienempi kuin voiman lukuarvo $12$. Jos sama voima vaikuttaisi $0{,}10\,\text{m}$:n päässä saranoista, momentti olisi vain $1{,}2\,\text{Nm}$, mikä selittää, miksi kahva on oven reunassa.
- Tehtävä 1-3
Polkupyörän akselimutteri on kiristettävä $45\,\text{Nm}$:n momenttiin. Avaimen otekohta on $0{,}30\,\text{m}$:n päässä mutterin keskeltä, ja voima on kohtisuorassa vartta vastaan. Kuinka suuri voima tarvitaan?
Vastaus
$150\,\text{N} = 1{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tarvittava momentti $M = 45\,\text{Nm}$, otekohdan etäisyys $d = 0{,}30\,\text{m}$, voima kohtisuoraan vartta vastaan
Kysytty
tarvittava voima $F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Mutterin kiristymisen ratkaisee momentti $M = Fr$. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten varsi on $r = d$, ja voima ratkaistaan momentin kaavasta.
Kaava
$M = Fd$, josta $F = \dfrac{M}{d}$
Muunnokset
Momentti on newtonmetreinä ja etäisyys metreinä, joten voima saadaan suoraan newtoneina.
Sijoitus
$F$$= \dfrac{45\,\text{Nm}}{0{,}30\,\text{m}}$$= 150\,\text{N}$Vastaus
$150\,\text{N} = 1{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten momentissa $45\,\text{Nm}$ ja etäisyydessä $0{,}30\,\text{m}$.
Järkevyys
Tarkistus: $150\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m} = 45\,\text{Nm}$. Voima vastaa noin $15\,\text{kg}$:n kappaleen painoa, minkä aikuinen jaksaa vetää kädellä. Puolet lyhyemmällä avaimella tarvittaisiin kaksinkertainen voima.
- Tehtävä 1-4
Kuvassa kiertoakselin $O$ ympäri kääntyvään sauvaan vaikuttaa kohdassa $P$ vaakasuora $40\,\text{N}$:n voima. Ruudukon yksi ruutu vastaa $0{,}10\,\text{m}$:ä. Lue kuvasta voiman varsi. Kuinka suuri on voiman momentti akselin $O$ suhteen?
Vastaus
$12\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vaakasuora voima $F = 40\,\text{N}$ kohdassa $P$; ruudukon yksi ruutu on $0{,}10\,\text{m}$
Kysytty
voiman momentti $M$ akselin $O$ suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Sauva kiertyy akselin $O$ ympäri, joten voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Varsi on akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta, ei sauvan pituus $OP$.
Kuvaajan lukeminen
Voima on vaakasuora, joten sen vaikutussuora on vaakasuora katkoviiva kohdan $P$ kautta. Akseli $O$ on kolme ruutua tämän suoran alapuolella, joten varsi on kolme ruutua. Sauva itse on kuvassa vinossa neljä ruutua oikealle ja kolme ylös, eli sen pituus on viisi ruutua, mutta se ei ole varsi.
Kaava
$M = Fr$
Muunnokset
Ruudut muunnetaan metreiksi:
$r$$= 3\cdot 0{,}10\,\text{m}$$= 0{,}30\,\text{m}$Sijoitus
$M$$= 40\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m}$$= 12\,\text{Nm}$Vastaus
$12\,\text{Nm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $40\,\text{N}$; ruudukosta varsi luetaan tarkasti kokonaisina ruutuina.
Järkevyys
Jos varreksi otettaisiin sauvan pituus $0{,}50\,\text{m}$, momentti olisi $20\,\text{Nm}$, mutta se pätisi vain kohtisuoralle voimalle. Vaakasuora voima vetää sauvaa osittain sen omaan suuntaan, joten momentti on pienempi. Sama tulos saadaan kaavalla $r = d\sin\alpha$: $0{,}50\,\text{m}\cdot\tfrac{3}{5} = 0{,}30\,\text{m}$.
- Tehtävä 1-5
Voiman suuruus on $60\,\text{N}$, ja sen momentti kiertoakselin suhteen on $18\,\text{Nm}$. Kuinka suuri on voiman varsi?
Vastaus
$0{,}30\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F = 60\,\text{N}$, momentti $M = 18\,\text{Nm}$
Kysytty
voiman varsi $r$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Momentti on voiman ja voiman varren tulo $M = Fr$. Kun momentti ja voima tunnetaan, varsi ratkaistaan samasta kaavasta.
Kaava
$M = Fr$, josta $r = \dfrac{M}{F}$
Muunnokset
Momentti on newtonmetreinä ja voima newtoneina, joten varsi saadaan suoraan metreinä: $\tfrac{\text{Nm}}{\text{N}} = \text{m}$.
Sijoitus
$r$$= \dfrac{18\,\text{Nm}}{60\,\text{N}}$$= 0{,}30\,\text{m}$Vastaus
$0{,}30\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten momentissa $18\,\text{Nm}$ ja voimassa $60\,\text{N}$.
Järkevyys
Tarkistus: $60\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m} = 18\,\text{Nm}$. Momentin lukuarvo on pienempi kuin voiman, joten varren on oltava alle metrin.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-6Ydintehtävä
Ovi avataan vetämällä kahvaan sidottua narua. Kahva on $0{,}75\,\text{m}$:n päässä saranoista, ja narun jännitysvoima on $40\,\text{N}$. Naru on $35^\circ$:n kulmassa oven tasoon nähden.
Kuinka suuri on narun voiman momentti saranoiden suhteen?
Vastaus
$17\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
narun jännitysvoima $F = 40\,\text{N}$, kahvan etäisyys saranoista $d = 0{,}75\,\text{m}$, narun kulma oven tasoon nähden $\alpha = 35^\circ$
Kysytty
narun voiman momentti $M$ saranoiden suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Ovi kiertyy saranoiden ympäri, joten narun vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Naru on vinossa ovea vastaan, joten varsi on lyhyempi kuin $d$. Oven taso kulkee saranoista kahvaan, joten kulma $35^\circ$ on voiman ja varren jatkeen välinen kulma, ja $r = d\sin\alpha$.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d\sin\alpha$, joten $M = Fd\sin\alpha$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 40\,\text{N}\cdot 0{,}75\,\text{m}\cdot\sin 35^\circ$$= 30\,\text{Nm}\cdot 0{,}5736$$= 17{,}21\,\text{Nm}$Vastaus
$17\,\text{Nm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $40\,\text{N}$ ja etäisyydessä $0{,}75\,\text{m}$.
Järkevyys
Kohtisuora veto antaisi $40\,\text{N}\cdot 0{,}75\,\text{m} = 30\,\text{Nm}$. Vino naru antaa vähemmän, koska $\sin 35^\circ \approx 0{,}57$ eli vähän yli puolet. Narun oven suuntainen osa vetää ovea kohti saranoita eikä kierrä sitä.
- Tehtävä 1-7Ydintehtävä
Pyöränmutteria avataan $85\,\text{N}$:n voimalla, joka on kohtisuorassa avaimen vartta vastaan. Otekohta on $35\,\text{cm}$:n päässä mutterin keskeltä. Kuinka suuri on voiman momentti mutterin akselin suhteen?
Vastaus
$30\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F = 85\,\text{N}$ kohtisuoraan vartta vastaan, otekohdan etäisyys $d = 35\,\text{cm}$
Kysytty
voiman momentti $M$ mutterin akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Mutteri kiertyy akselinsa ympäri, joten voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten varsi on koko etäisyys otekohtaan.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Etäisyys muunnetaan metreiksi, jotta momentti saadaan newtonmetreinä:
$d$$= 35\,\text{cm}$$= 35\cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}35\,\text{m}$Sijoitus
$M$$= 85\,\text{N}\cdot 0{,}35\,\text{m}$$= 29{,}75\,\text{Nm}$Vastaus
$30\,\text{Nm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $85\,\text{N}$ ja etäisyydessä $35\,\text{cm}$.
Järkevyys
Ilman muunnosta tulos olisi $2975$, mikä olisi sata kertaa liian suuri: senttimetrit on aina muunnettava metreiksi. Noin kolmasosametrin varrella momentti on noin kolmasosa voiman lukuarvosta, $85 : 3 \approx 28$, mikä on lähellä tulosta.
- Tehtävä 1-8
Vaakasuora lauta kääntyy vasemmassa päässään olevan akselin ympäri. Laudan oikeaan päähän, $0{,}50\,\text{m}$:n päähän akselista, vaikuttaa $30\,\text{N}$:n voima suoraan ylöspäin. Lisäksi $0{,}20\,\text{m}$:n päähän akselista vaikuttaa $40\,\text{N}$:n voima suoraan alaspäin.
Kuinka suuri on voimien kokonaismomentti akselin suhteen, kun vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen?
Vastaus
$7{,}0\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F_1 = 30\,\text{N}$ ylöspäin etäisyydellä $r_1 = 0{,}50\,\text{m}$ akselista, voima $F_2 = 40\,\text{N}$ alaspäin etäisyydellä $r_2 = 0{,}20\,\text{m}$; lauta on vaakasuora ja akseli sen vasemmassa päässä
Kysytty
kokonaismomentti $\Sigma M$ akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$, vastapäivään positiivisena
Periaate
Lauta kiertyy akselin ympäri, ja sen kiertymisen ratkaisee kokonaismomentti, joka on voimien momenttien summa etumerkkeineen. Molemmat voimat ovat pystysuoria ja lauta vaakasuora, joten varret ovat etäisyydet akselista. Akselin oikealla puolella ylöspäin vaikuttava voima kiertää lautaa vastapäivään, alaspäin vaikuttava myötäpäivään.
Kaava
$M_1 = F_1 r_1$ ja $M_2 = -F_2 r_2$, joten $\Sigma M = F_1 r_1 - F_2 r_2$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja etäisyydet metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma M$$= 30\,\text{N}\cdot 0{,}50\,\text{m} - 40\,\text{N}\cdot 0{,}20\,\text{m}$$= 15\,\text{Nm} - 8{,}0\,\text{Nm}$$= 7{,}0\,\text{Nm}$Vastaus
$7{,}0\,\text{Nm}$
Vastapäivään, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Laudan oman painon momentti jätetään huomiotta: lauta oletetaan kevyeksi voimiin verrattuna. Suurempi voima $40\,\text{N}$ ei ratkaise kiertosuuntaa, koska sen varsi on lyhyt. Pienemmän voiman momentti $15\,\text{Nm}$ on suurempi kuin $8{,}0\,\text{Nm}$, joten lauta alkaa kiertyä vastapäivään. Kokonaismomentti on positiivinen, kuten pitääkin.
- Tehtävä 1-9
Vesijohdon sulkuventtiilin vipu on $0{,}25\,\text{m}$ pitkä, ja venttiili kääntyy vasta $50\,\text{Nm}$:n momentilla. Vipua vedetään sen päästä niin, että voima on $60^\circ$:n kulmassa vivun jatkeeseen nähden.
Kuinka suuri voima tarvitaan?
Vastaus
$231\,\text{N} \approx 2{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tarvittava momentti $M = 50\,\text{Nm}$, vivun pituus eli otekohdan etäisyys akselista $d = 0{,}25\,\text{m}$, voiman ja vivun jatkeen välinen kulma $\alpha = 60^\circ$
Kysytty
tarvittava voima $F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Venttiilin kääntymisen ratkaisee momentti $M = Fr$. Voima on vinossa vipua vastaan, joten sen varsi on $r = d\sin\alpha$, lyhyempi kuin vivun pituus. Voima ratkaistaan momentin kaavasta.
Kaava
$M = Fd\sin\alpha$, josta $F = \dfrac{M}{d\sin\alpha}$
Muunnokset
Momentti on newtonmetreinä ja etäisyys metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F$$= \dfrac{50\,\text{Nm}}{0{,}25\,\text{m}\cdot\sin 60^\circ}$$= \dfrac{50\,\text{Nm}}{0{,}2165\,\text{m}}$$= 230{,}9\,\text{N}$Vastaus
$231\,\text{N} \approx 2{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten momentissa $50\,\text{Nm}$ ja pituudessa $0{,}25\,\text{m}$.
Järkevyys
Kohtisuoraan vetäen riittäisi $50\,\text{Nm} : 0{,}25\,\text{m} = 200\,\text{N}$. Vino veto vaatii enemmän, koska varsi on vain $\sin 60^\circ \approx 0{,}87$ kertaa vivun pituus: $200\,\text{N} : 0{,}87 \approx 230\,\text{N}$, sama kuin $231\,\text{N}$ pyöristysten tarkkuudella.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 1-10
Pyöräilijän jalka painaa poljinta suoraan alaspäin $500\,\text{N}$:n voimalla. Polkimen etäisyys kammen akselista on $0{,}175\,\text{m}$. Kampi osoittaa eteenpäin ja $45^\circ$ vaakatason alapuolelle.
Missä kammen asennossa sama voima antaisi suurimman momentin ja missä nollan? Kuinka suuri on jalan voiman momentti kammen akselin suhteen kammen ollessa tässä $45^\circ$:n asennossa?
Vastaus
$61{,}9\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jalan voima $F = 500\,\text{N}$ suoraan alaspäin, polkimen etäisyys akselista $d = 0{,}175\,\text{m}$, kampi $45^\circ$ vaakatason alapuolella
Kysytty
voiman momentti $M$ kammen akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$ sekä asennot, joissa momentti on suurin ja nolla
Periaate
Kampi kiertyy akselinsa ympäri, joten jalan voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on pystysuora, joten sen vaikutussuora on polkimen kautta kulkeva pystysuora, ja varsi on polkimen vaakasuora etäisyys akselista. Se on suurin, kun kampi on vaakasuorassa ($r = d$), ja nolla, kun kampi on pystysuorassa, koska silloin vaikutussuora kulkee akselin kautta. Asennossa $45^\circ$ vaakasuora etäisyys on kulman viereinen kateetti.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d\cos 45^\circ$, joten $M = Fd\cos 45^\circ$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 500\,\text{N}\cdot 0{,}175\,\text{m}\cdot\cos 45^\circ$$= 87{,}5\,\text{Nm}\cdot 0{,}7071$$= 61{,}87\,\text{Nm}$Vastaus
$61{,}9\,\text{Nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}175\,\text{m}$. Momentti on suurin, $87{,}5\,\text{Nm}$, kun kampi on vaakasuorassa eteenpäin, ja nolla, kun kampi osoittaa suoraan alas tai ylös.
Järkevyys
Tulos on vaakasuoran kammen momentin $87{,}5\,\text{Nm}$ ja nollan välissä, kuten pitää. Kaavalla $r = d\sin\alpha$ saadaan sama: voiman ja kammen jatkeen välinen kulma on $45^\circ$, ja $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$. Siksi pyöräilijä painaa poljinta voimakkaimmin kammen ollessa edessä vaakasuorassa eli ajosuuntaan osoittaessaan.
- Tehtävä 1-11
Aikuinen työntää puutarhaporttia kahvasta, $0{,}40\,\text{m}$:n päästä saranoista, $50\,\text{N}$:n voimalla kohtisuoraan porttia vastaan. Lapsi jaksaa työntää vain $20\,\text{N}$:n voimalla. Lapsikin työntää kohtisuoraan porttia vastaan.
Kuinka kaukana saranoista lapsen on työnnettävä, jotta hänen voimansa vääntövaikutus olisi yhtä suuri kuin aikuisen?
Vastaus
$1{,}0\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aikuisen voima $F_1 = 50\,\text{N}$ ja varsi $r_1 = 0{,}40\,\text{m}$, lapsen voima $F_2 = 20\,\text{N}$; molemmat työntävät kohtisuoraan porttia vastaan
Kysytty
lapsen työnnön etäisyys $r_2$ saranoista yksikössä $\text{m}$
Periaate
Vääntövaikutukset ovat yhtä suuret, kun momentit saranoiden suhteen ovat yhtä suuret. Kohtisuoran työnnön varsi on työntökohdan etäisyys saranoista, joten pienempi voima tarvitsee pidemmän varren.
Kaava
$F_2 r_2 = F_1 r_1$, josta $r_2 = \dfrac{F_1 r_1}{F_2}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja varsi metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$r_2$$= \dfrac{50\,\text{N}\cdot 0{,}40\,\text{m}}{20\,\text{N}}$$= \dfrac{20\,\text{Nm}}{20\,\text{N}}$$= 1{,}0\,\text{m}$Vastaus
$1{,}0\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimissa ja etäisyydessä $0{,}40\,\text{m}$.
Järkevyys
Lapsen voima on $\tfrac{2}{5}$ aikuisen voimasta, joten varren on oltava $\tfrac{5}{2}$-kertainen: $2{,}5\cdot 0{,}40\,\text{m} = 1{,}0\,\text{m}$. Tavallinen portti on noin metrin levyinen, joten lapsen on työnnettävä aivan portin reunasta.
- Tehtävä 1-12
Ristiavaimen varret ulottuvat $0{,}20\,\text{m}$:n päähän mutterin keskeltä kummallekin puolelle. Asentaja painaa vasemman varren päätä $120\,\text{N}$:n voimalla suoraan alaspäin ja vetää oikean varren päätä $120\,\text{N}$:n voimalla suoraan ylöspäin. Varret ovat vaakasuorassa.
Mikä on käsien voimien summa? Kuinka suuri on käsien voimien kokonaismomentti mutterin akselin suhteen?
Vastaus
$48\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kummankin käden voima $F = 120\,\text{N}$, vasen alaspäin ja oikea ylöspäin, kummankin vaikutuskohdan etäisyys mutterin keskeltä $d = 0{,}20\,\text{m}$; varret vaakasuorassa
Kysytty
käsien voimien summa ja kokonaismomentti $\Sigma M$ mutterin akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset, joten niiden summa on nolla eikä avain siirry. Kiertymisen ratkaisee kuitenkin kokonaismomentti. Molemmat voimat ovat pystysuoria ja varret vaakasuoria, joten kummankin varsi on $d$. Akselin vasemmalla puolella alaspäin ja oikealla puolella ylöspäin vaikuttava voima kiertävät molemmat vastapäivään, joten momentit ovat samanmerkkiset ja summautuvat.
Kaava
$\Sigma F = F - F$ ja $\Sigma M = Fd + Fd$, joten $\Sigma M = 2Fd$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja etäisyydet metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F$$= 120\,\text{N} - 120\,\text{N}$$= 0$$\Sigma M$$= 2\cdot 120\,\text{N}\cdot 0{,}20\,\text{m}$$= 48\,\text{Nm}$Vastaus
Voimien summa on nolla, ja kokonaismomentti on $48\,\text{Nm}$ vastapäivään, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}20\,\text{m}$.
Järkevyys
Yksi käsi saisi aikaan $24\,\text{Nm}$, joten kaksi samaan kiertosuuntaan vaikuttavaa kättä antaa kaksinkertaisen momentin. Koska voimien summa on nolla, avain vain kiertyy eikä työnnä pulttia sivulle, mikä on ristiavaimen etu yhdellä kädellä vääntämiseen verrattuna.