Momentti: voiman kiertävä vaikutus
Miksi tiukkaan juuttunut pyöränmutteri aukeaa pitkällä avaimella, vaikka lyhyellä avaimella yhtä suuri voima ei saa sitä liikkumaan?
Pohjatiedot
- Voimalla on suuruus, suunta ja vaikutuskohtaluku Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki
- Vinon voiman komponentit saadaan sinin ja kosinin avullaluku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 2.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Vääntövaikutus
- Voiman kyky kiertää kappaletta akselin ympäri. Se riippuu voiman suuruudesta, suunnasta ja siitä, mihin kohtaan voima vaikuttaa.
- Kiertoakseli
- Suora, jonka ympäri kappale kiertyy, esimerkiksi oven saranoiden kautta kulkeva suora.
- Voiman varsi
- Kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Mitä pidempi varsi, sitä helpommin voima kiertää kappaletta.
- Momentti
- Voiman vääntövaikutuksen suuruus: voima kertaa voiman varsi. Yksikkö on newtonmetri.
Pohdinta
Pyörän mutteri on juuttunut kiinni. Vedät lyhyen kiintoavaimen vartta kaikin voimin, mutta mutteri ei liiku. Kaverisi hakee avaimen, jonka varsi on kaksi kertaa pidempi. Mutteri aukeaa, vaikka kaverisi ei vedä yhtään sinua kovempaa.
Voiman suuruus ei yksin ratkaise, aukeaako mutteri. Mikä sen sitten ratkaisee?
Valinnainen Kertaa: vinon voiman komponentti
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: otekohdan etäisyys
Ennuste 2: vetokulma
Tutki
Simulaatiossa avataan juuttunutta mutteria kiintoavaimella. Säädä käden voimaa, otekohtaa ja vetokulmaa. Kokeile, aukeaako mutteri.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä voimaa $F$, otekohdan etäisyyttä $d$ mutterin keskeltä ja kulmaa $\alpha$ eli voiman ja varren jatkeen välistä kulmaa. Paina Väännä. Joko mutteri aukeaa ja avain kääntyy, tai avain vain nytkähtää. Jokainen yritys piirtyy kuvaajaan. Pisteen vaakakoordinaatti on voiman varsi $r$ ja pystykoordinaatti on voima $F$. Vihreä täytetty piste tarkoittaa, että mutteri aukesi. Ontto rengas tarkoittaa, että mutteri ei liikkunut. Punainen risti näyttää nykyisen asetuksen. Mutteri-valinta vaihtaa tiukassa ja ruosteessa olevan mutterin ja tyhjentää kuvaajan. Myös Alusta tyhjentää kuvaajan. Nopeus muuttaa vain kääntymisen tahtia. Ruutu Näytä voiman varsi piirtää akselista vaikutussuoralle kohtisuoran janan $r$. Lukemat ovat kuvan alla.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Mutteri voi vain kiertyä pultin ympäri. Kiertoakseli kulkee mutterin keskeltä. Mutteri aukeaa, kun käden voiman momentti on vähintään yhtä suuri kuin mutterin kitkan vaatima momentti. Tätä arvoa ei näytetä, vaan se selvitetään kokeilemalla. Kaikki kulmat $0^\circ$–$180^\circ$ kiertävät mutteria aukeamissuuntaan eli vastapäivään. Avaimen paino jätetään huomiotta. Kääntyminen on vain kuva tuloksesta. Simulaatio ei laske, kuinka nopeasti mutteri kiertyy.
Laskennan selitys
Voiman varsi on akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta, $r = d\sin\alpha$. Momentti on $M = Fr$ yksikössä $\text{Nm}$. Yritys onnistuu, kun $M$ on vähintään mutterin vaatima momentti.
Koe 1: pienin avaava voima
Alkutilassa on tiukassa oleva mutteri ja kulma $\alpha = 90^\circ$. Valitse otekohta $d$, säädä voimaa $F$ ja paina Väännä. Toista, kunnes löydät pienimmän voiman, jolla mutteri aukeaa. Kirjaa mittaus vasta silloin. Tee mittaus ainakin etäisyyksillä $0{,}10\,\text{m}$, $0{,}15\,\text{m}$, $0{,}20\,\text{m}$ ja $0{,}30\,\text{m}$.
Alkutila: mutteri: tiukassa, kulma $\alpha$ = $90^\circ$, otekohta $d$ = $0{,}1\,\text{m}$, voima $F$ = $100\,\text{N}$. Vakiona: mutteri, kulma $\alpha$. Muutetaan: otekohta $d$.
| otekohta $d$ | voima $F$ | $M$ $(\text{Nm})$ | mutteri |
|---|
Taulukon rivillä $d = 0{,}20\,\text{m}$ on pienin voima, jolla mutteri aukeaa. Laske sen avulla momentti, jonka mutteri vaatii. Vastaa newtonmetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Voima on kohtisuorassa vartta vastaan. Kuinka pitkä on silloin voiman varsi?
Vihje 2: mikä yhteys
Kun $\alpha = 90^\circ$, varsi on $r = d$ ja momentti $M = Fd$.
Vihje 3: välivaihe
$M = F\cdot 0{,}20\,\text{m}$, missä $F$ on rivin pienin avaava voima.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta otekohta $d = 0{,}20\,\text{m}$ ja pienin avaava voima $F = 150\,\text{N}$ (mallin arvo); kulma $\alpha = 90^\circ$
Kysytty
momentti $M$, jonka mutteri vaatii, yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Mutteri kiertyy akselinsa ympäri. Siksi aukeamisen ratkaisee voiman momentti $M = Fr$. Pienimmällä avaavalla voimalla momentti on juuri se, jonka mutteri vaatii. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten varsi on koko etäisyys $d$.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d\sin 90^\circ = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$30\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $0{,}20\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Muilta riveiltä saadaan sama tulo: $300\,\text{N}\cdot 0{,}10\,\text{m} = 30\,\text{Nm}$ ja $100\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m} = 30\,\text{Nm}$. Mutteri vaatii siis todella tietyn momentin. Kuvaajassa vihreät rajapisteet osuvat käyrälle, jolla $Fr$ on vakio.
Koe 2: vetokulma muuttuu
Alkutilassa on ruosteessa oleva mutteri, voima $F = 200\,\text{N}$ ja otekohta $d = 0{,}40\,\text{m}$. Muuta vain kulmaa $\alpha$. Paina joka kulmalla Väännä. Kirjaa mittaus ainakin kulmilla $90^\circ$, $60^\circ$, $45^\circ$, $30^\circ$ ja $150^\circ$.
Alkutila: mutteri: ruosteessa, voima $F$ = $200\,\text{N}$, otekohta $d$ = $0{,}4\,\text{m}$, kulma $\alpha$ = $90^\circ$. Vakiona: mutteri, voima $F$, otekohta $d$. Muutetaan: kulma $\alpha$.
| kulma $\alpha$ | $r$ $(\text{m})$ | $M$ $(\text{Nm})$ | mutteri |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, mikä ratkaisee, aukeaako mutteri. Käytä sanoja voima, voiman varsi ja momentti. Kerro myös, miksi vetokulma vaikuttaa tulokseen.
Mallivastaus
Kokeessa 1 pienin avaava voima oli mallin arvoissa $300\,\text{N}$ otekohdasta $0{,}10\,\text{m}$, $150\,\text{N}$ otekohdasta $0{,}20\,\text{m}$ ja $100\,\text{N}$ otekohdasta $0{,}30\,\text{m}$. Voima ei siis ole sama, mutta voiman ja etäisyyden tulo on joka kerta $30\,\text{Nm}$. Mutterin aukeamisen ratkaisee voiman momentti $M = Fr$. Kokeessa 2 voima ja otekohta pysyivät samoina. Kulman pienentyessä vaikutussuora siirtyi lähemmäs akselia. Voiman varsi $r = d\sin\alpha$ lyheni $0{,}40\,\text{m}$:stä $0{,}20\,\text{m}$:iin kulmalla $30^\circ$, ja momentti putosi $80\,\text{Nm}$:stä $40\,\text{Nm}$:iin. Kulmalla $150^\circ$ momentti oli sama kuin kulmalla $30^\circ$, koska varsi on yhtä pitkä. Kuvaajassa saman mutterin yritykset jakautuvat samalla rajalla, koska aukeaminen riippuu vain tulosta $Fr$.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Voima voi muuttaa kappaleen liikettä. Voima voi myös kiertää kappaletta. Joskus kappale on kiinni akselissa. Esimerkiksi ovi on kiinni saranoissaan, mutteri on pultissa ja keinulauta on tuessaan. Tällainen kappale ei pääse siirtymään pois. Se voi vain kiertyä akselin ympäri. Tätä akselia sanotaan kiertoakseliksi. Voiman kykyä kiertää kappaletta kiertoakselin ympäri sanotaan vääntövaikutukseksi. Vääntövaikutuksen suuruutta mitataan momentilla (voiman momentti). Vääntövaikutus ei riipu vain voiman suuruudesta. Siihen vaikuttavat myös voiman suunta ja se, mihin kohtaan kappaletta voima vaikuttaa.
Ovi ja voiman vaikutuskohta
Ovi aukeaa helposti, kun työnnät kahvasta, joka on kaukana saranoista. Jos työnnät samalla voimalla läheltä saranaa, ovi kääntyy paljon huonommin. Jos työnnät oven päästä oven suuntaisesti kohti saranaa, ovi ei käänny lainkaan. Voima on silloinkin yhtä suuri. Kuvan kolme voimaa $\overline{F}_1$, $\overline{F}_2$ ja $\overline{F}_3$ ovat siis yhtä suuria. Niiden vääntövaikutukset saranan suhteen ovat kuitenkin aivan erilaiset.
Voiman varsi
Vääntövaikutuksen ratkaisee voiman vaikutussuora. Vaikutussuora on suora, joka kulkee voiman vaikutuskohdan kautta voiman suuntaan. Avaimessa vaikutuskohta on kohta, josta käsi pitää avaimesta kiinni. Sitä sanotaan myös otekohdaksi. Voiman varsi $r$ on kiertoakselin lyhin etäisyys voiman vaikutussuorasta. Lyhin etäisyys mitataan kohtisuoraan vaikutussuoraa vastaan. Jos voima on kohtisuorassa avaimen vartta vastaan, varsi on yhtä pitkä kuin vaikutuskohdan etäisyys $d$ akselista. Jos voima on vinossa, varsi on lyhyempi kuin $d$. Jos vaikutussuora kulkee kiertoakselin kautta, varsi on nolla. Silloin voima ei kierrä kappaletta lainkaan. Siksi oven suuntainen voima $\overline{F}_3$ ei avaa ovea.
Voiman momentti
Voiman momentti kiertoakselin suhteen on voiman suuruuden ja voiman varren tulo:
$$M = F r$$
Kaavassa $M$ on voiman momentti ($\text{Nm}$), $F$ on voiman suuruus ($\text{N}$) ja $r$ on voiman varsi ($\text{m}$). Voiman varsi on kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Momentin yksikkö on newtonmetri $\text{Nm}$. Se ei ole sama asia kuin energian yksikkö joule. Molemmat ovat newtonin ja metrin tuloja, mutta niiden etäisyydet ovat erilaisia. Momentissa etäisyys on kohtisuorassa voimaa vastaan. Työssä etäisyys on voiman suuntainen siirtymä.
Kiertosuunta ja etumerkki
Momentilla on suuruuden lisäksi kiertosuunta. Tässä kirjassa vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen. Myötäpäivään kiertävä momentti on negatiivinen. Joskus kappaleeseen vaikuttaa monta voimaa. Silloin lasketaan voimien momentit yhteen etumerkkeineen. Tulosta sanotaan kokonaismomentiksi:
$$\Sigma M = M_1 + M_2 + M_3 + \ldots$$
Kaavassa $\Sigma M$ on kokonaismomentti ($\text{Nm}$). Luvut $M_1$, $M_2$, … ovat yksittäisten voimien momentit saman kiertoakselin suhteen ($\text{Nm}$). Oletetaan, että kappale on levossa ja se voi kiertyä kiinteän akselin ympäri. Jos kokonaismomentti ei ole nolla, kappale alkaa kiertyä kokonaismomentin suuntaan. Milloin kappale pysyy paikallaan, tutkitaan tarkemmin luvussa Kappaleen tasapaino: voimat ja momentit.
Vinon voiman varsi
Usein tiedetään kaksi asiaa. Ensimmäinen on vaikutuskohdan etäisyys $d$ kiertoakselista. Toinen on kulma $\alpha$. Se on kulma voiman ja sen suoran välillä, joka kulkee akselista vaikutuskohtaan. Esimerkiksi avaimen varren jatke on tällainen suora. Akseli, vaikutuskohta ja varren kantapiste muodostavat suorakulmaisen kolmion. Kolmion pisin sivu eli hypotenuusa on $d$. Varsi on kulman $\alpha$ vastainen kateetti:
$$r = d\sin\alpha$$
Kaavassa $r$ on voiman varsi ($\text{m}$), $d$ on vaikutuskohdan etäisyys kiertoakselista ($\text{m}$) ja $\alpha$ on voiman ja varren jatkeen välinen kulma. Kun $\alpha = 90^\circ$, niin $r = d$ ja momentti on suurin. Kun $\alpha = 0^\circ$ tai $\alpha = 180^\circ$, niin $r = 0$.
Yleinen virhekäsitys
Momenttia ei saada kertomalla voima etäisyydellä vaikutuskohtaan. Se saadaan kertomalla voima etäisyydellä vaikutussuoraan. Etäisyys $d$ ja varsi $r$ ovat yhtä suuret vain silloin, kun voima on kohtisuorassa akselista vaikutuskohtaan kulkevaa suoraa vastaan. Toinen virhe on ajatella, että pitkä avain lisää voimaa. Käden voima on sama. Pitkällä avaimella voiman varsi on kuitenkin pidempi, joten momentti on suurempi. Mutterin aukeaminen ei vaadi tiettyä voimaa vaan tietyn momentin.
Tiivistelmä
- Voiman vääntövaikutusta kiertoakselin suhteen mitataan momentilla $M = Fr$. Sen yksikkö on newtonmetri $\text{Nm}$.
- Voiman varsi $r$ on kiertoakselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Se ei ole etäisyys vaikutuskohtaan.
- Vinon voiman varsi on $r = d\sin\alpha$. Voima, jonka vaikutussuora kulkee akselin kautta, ei kierrä kappaletta.
- Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen ja myötäpäivään kiertävä negatiivinen. Kokonaismomentti on momenttien summa etumerkkeineen.
- Oletetaan, että kappale on levossa ja se voi kiertyä akselin ympäri. Jos kokonaismomentti ei ole nolla, kappale alkaa kiertyä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin. Mitä opit siitä, mikä tekee voimasta tehokkaan kiertäjän? Palaa myös alun mutteriin. Miksi pitkä avain auttaa, vaikka käden voima ei kasva?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Juuttunutta mutteria avataan kiintoavaimella. Käsi tarttuu varteen $0{,}35\,\text{m}$:n etäisyydellä mutterin keskeltä. Mutterin keskikohta on kiertoakseli. Käsi vetää vartta $240\,\text{N}$:n voimalla. Voima on $65^\circ$:n kulmassa varren jatkeeseen nähden, ja se kiertää mutteria aukeamissuuntaan. Mutteri aukeaa vasta, kun momentti on vähintään $80\,\text{Nm}$. Kuinka suuri on käden voiman momentti mutterin akselin suhteen? Aukeaako mutteri?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Tunnetut arvot ovat $F = 240\,\text{N}$, $d = 0{,}35\,\text{m}$ ja $\alpha = 65^\circ$. Mutterin vaatima momentti on $80\,\text{Nm}$. Kysytään voiman momenttia $M$ ja sitä, riittääkö se.
Vaihe 2/7
Periaate. Mutteri voi vain kiertyä akselinsa ympäri. Siksi voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on vinossa varteen nähden, joten varsi $r$ on lyhyempi kuin etäisyys $d$. Varsi saadaan suorakulmaisesta kolmiosta: $r = d\sin\alpha$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Sijoitetaan varren lauseke momentin kaavaan:
$$\begin{aligned} M &= F r \\ M &= F d\sin\alpha \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Muunnoksia ei tarvita. Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä, joten momentti tulee newtonmetreinä.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Sijoitetaan lukuarvot yksiköineen:
$$\begin{aligned} M &= F d\sin\alpha \\ &= 240\,\text{N}\cdot 0{,}35\,\text{m}\cdot\sin 65^\circ \\ &\approx 76{,}1\,\text{Nm} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Voiman momentti on $M \approx 76\,\text{Nm}$. Tuloksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $0{,}35\,\text{m}$ on kaksi. Momentti on pienempi kuin mutterin vaatima $80\,\text{Nm}$, joten mutteri ei aukea.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Oletetaan, että sama voima vaikuttaisi kohtisuoraan vartta vastaan. Silloin varsi olisi koko $0{,}35\,\text{m}$ ja momentti olisi $240\,\text{N}\cdot 0{,}35\,\text{m} = 84\,\text{Nm}$. Vino veto antaa vähemmän, koska $\sin 65^\circ \approx 0{,}91 < 1$. Mutteri aukeaisi siis samalla voimalla, jos vedettäisiin kohtisuoraan vartta vastaan.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Pysäköintialueen puomi on $3{,}00\,\text{m}$ pitkä, ja sen massa on $12{,}0\,\text{kg}$. Puomi kääntyy toisessa päässään olevan akselin ympäri. Sen paino vaikuttaa puomin keskikohdassa. Puomi on nostettu $40^\circ$:n kulmaan vaakatasoon nähden.
Kuinka suuri on puomin painon momentti akselin suhteen? Vastaa newtonmetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Paino osoittaa suoraan alas. Kuinka kaukana akselista kulkee pystysuora vaikutussuora?
Vihje 2: mikä yhteys
Varsi on painon vaikutuskohdan vaakasuora etäisyys akselista: $r = 1{,}50\,\text{m}\cdot\cos 40^\circ$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
puomin pituus $3{,}00\,\text{m}$, massa $m = 12{,}0\,\text{kg}$, paino vaikuttaa keskikohdassa $d = 1{,}50\,\text{m}$:n päässä akselista, puomin kulma vaakatasoon $40^\circ$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
painon momentti $M$ akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Puomi voi vain kääntyä akselinsa ympäri. Siksi painon vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Paino osoittaa suoraan alas. Sen varsi on akselin kohtisuora etäisyys pystysuorasta vaikutussuorasta eli vaikutuskohdan vaakasuora etäisyys akselista. Se on suorakulmaisessa kolmiossa kulman $40^\circ$ viereinen kateetti.
Kaava
$M = Gr$, missä $G = mg$ ja $r = d\cos 40^\circ$, joten $M = mgd\cos 40^\circ$
Muunnokset
Massa on kilogrammoina ja pituus metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$135\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massassa $12{,}0\,\text{kg}$ ja pituudessa $3{,}00\,\text{m}$ on kolme.
Järkevyys
Vaakasuoran puomin painon varsi olisi koko $1{,}50\,\text{m}$ ja momentti $177\,\text{Nm}$. Kun puomi nostetaan, varsi lyhenee ja momentti pienenee. Pystyssä momentti olisi nolla. Kulman voi tarkistaa myös kaavalla $r = d\sin\alpha$. Painon ja puomin jatkeen välinen kulma on $90^\circ + 40^\circ = 130^\circ$, ja $\sin 130^\circ = \cos 40^\circ$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Mikä on momentin yksikkö, ja mistä kahdesta suureesta momentti saadaan?
Vastaus
Momentin yksikkö on newtonmetri $\text{Nm}$. Momentti on voiman suuruuden ja voiman varren tulo $M = Fr$. Siihen vaikuttavat siis sekä voima että se, kuinka kaukana akselista voiman vaikutussuora kulkee.
- Kumpi kiertää kappaletta tehokkaammin akselin suhteen: $100\,\text{N}$:n voima, jonka varsi on $0{,}20\,\text{m}$, vai $50\,\text{N}$:n voima, jonka varsi on $0{,}50\,\text{m}$?
Vastaus
Jälkimmäinen. Momentit ovat $100\,\text{N}\cdot 0{,}20\,\text{m} = 20\,\text{Nm}$ ja $50\,\text{N}\cdot 0{,}50\,\text{m} = 25\,\text{Nm}$. Pienempi voima kiertää tehokkaammin, koska sen varsi on pidempi.
- Avaimen vasen pää on mutterin ympärillä. Varren oikeaa päätä painetaan suoraan alaspäin. Kiertääkö voima avainta myötäpäivään vai vastapäivään? Mikä on momentin etumerkki tämän luvun sopimuksella?
Vastaus
Varren oikea pää liikkuu alas, joten avain kiertyy myötäpäivään. Myötäpäivään kiertävä momentti on negatiivinen.
1. Käsite
2. Laskeminen
Kuljettaja kääntää ohjauspyörää, jonka säde on $0{,}19\,\text{m}$. Vasen käsi vetää kehää kehän suuntaisesti $25\,\text{N}$:n voimalla. Voima kiertää pyörää vastapäivään. Oikea käsi vaikuttaa kehään kehän suuntaisesti $15\,\text{N}$:n voimalla. Se kiertää pyörää myötäpäivään.
Kuinka suuri on käsien voimien kokonaismomentti ohjauspyörän akselin suhteen? Vastaa newtonmetreinä. Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kehän suuntainen voima on kohtisuorassa sädettä vastaan. Kuinka pitkä on silloin voiman varsi?
Vihje 2: mikä yhteys
Kummankin voiman varsi on säde $0{,}19\,\text{m}$. Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen, myötäpäivään kiertävä negatiivinen.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
ohjauspyörän säde $R = 0{,}19\,\text{m}$, vasemman käden voima $F_1 = 25\,\text{N}$ vastapäivään, oikean käden voima $F_2 = 15\,\text{N}$ myötäpäivään, molemmat kehän suuntaisia
Kysytty
kokonaismomentti $\Sigma M$ akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$, vastapäivään positiivisena
Periaate
Ohjauspyörä kiertyy akselinsa ympäri. Siksi kunkin voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti. Kehän suuntainen voima on kohtisuorassa sädettä vastaan, joten sen varsi on säde. Kokonaismomentti on momenttien summa etumerkkeineen.
Kaava
$M_1 = F_1 R$ ja $M_2 = -F_2 R$, joten $\Sigma M = F_1 R - F_2 R$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja säde metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}9\,\text{Nm}$
Vastapäivään. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska säteessä $0{,}19\,\text{m}$ ja voimissa on kaksi.
Järkevyys
Molemmilla voimilla on sama varsi. Kokonaismomentti on siksi voimien erotuksen $10\,\text{N}$ ja säteen tulo: $10\,\text{N}\cdot 0{,}19\,\text{m} = 1{,}9\,\text{Nm}$. Suurempi voima kiertää vastapäivään, joten etumerkki on positiivinen. Käsien voimat kiertävät pyörää yhdessä vastapäivään.
Harjoittele kokonaismomenttia tason 2 tehtävissä.
3. Selitä
Selitä momentin avulla, miksi oven kahva on oven reunassa kaukana saranoista. Kerro myös, miksi ovi ei aukea, kun sitä työnnetään reunasta oven tasossa kohti saranoita.
Mallivastaus
Ovi voi vain kiertyä saranoiden kautta kulkevan kiertoakselin ympäri. Siksi oven kääntymisen ratkaisee voiman momentti $M = Fr$. Siinä $r$ on akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Kun kahva on oven reunassa, kohtisuoran työnnön varsi on lähes koko oven leveys, esimerkiksi $0{,}8\,\text{m}$. Silloin pienikin voima antaa riittävän momentin, ja ovi kääntyy helposti. Lähellä saranoita varsi on lyhyt, joten sama voima antaa paljon pienemmän momentin. Oletetaan, että ovea työnnetään reunasta oven tasossa kohti saranoita. Silloin voiman vaikutussuora kulkee kiertoakselin kautta. Varsi on nolla, joten momenttikin on nolla. Ovi ei käänny, vaikka voima olisi suuri.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Vääntövaikutus
- Voiman vaikutus, joka pyrkii kiertämään kappaletta.
- Kiertoakseli
- Suora, jonka ympäri kappale pyörii tai voisi pyöriä.
- Voiman vaikutussuora
- Suora, joka kulkee voiman vaikutuspisteen kautta voiman suuntaisesti.
- Kokonaismomentti
- Kappaleeseen vaikuttavien voimien momenttien summa valitun kiertoakselin suhteen.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-1Ydintehtävä
Mutteria kiristetään kiintoavaimella. Käsi vaikuttaa varteen $0{,}25\,\text{m}$:n etäisyydellä mutterin keskeltä $150\,\text{N}$:n voimalla, joka on kohtisuorassa vartta vastaan. Kuinka suuri on voiman momentti mutterin akselin suhteen?
Vastaus
$37{,}5\,\text{Nm} \approx 38\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F = 150\,\text{N}$ kohtisuoraan vartta vastaan, otekohdan etäisyys mutterin keskeltä $d = 0{,}25\,\text{m}$
Kysytty
voiman momentti $M$ mutterin akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Mutteri kiertyy akselinsa ympäri. Siksi voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten voiman varsi on koko etäisyys otekohtaan, $r = d$.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 150\,\text{N}\cdot 0{,}25\,\text{m}$$= 37{,}5\,\text{Nm}$Vastaus
$37{,}5\,\text{Nm} \approx 38\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $0{,}25\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Varsi on neljäsosametri. Siksi momentin lukuarvo on neljäsosa voiman lukuarvosta: $150 : 4 \approx 38$. Tavallisen mutterin kiristysmomentti on kymmeniä newtonmetrejä. Tulos on siis uskottava.
- Tehtävä 1-2Ydintehtävä
Ovea avataan työntämällä kahvasta $12\,\text{N}$:n voimalla kohtisuoraan ovea vastaan. Kahva on $0{,}80\,\text{m}$:n päässä saranoista. Kuinka suuri on voiman momentti saranoiden suhteen?
Vastaus
$9{,}6\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
työntövoima $F = 12\,\text{N}$ kohtisuoraan ovea vastaan, kahvan etäisyys saranoista $d = 0{,}80\,\text{m}$
Kysytty
voiman momentti $M$ saranoiden suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Ovi kiertyy saranoiden kautta kulkevan kiertoakselin ympäri. Siksi työnnön vääntövaikutuksen kertoo sen momentti. Työntö on kohtisuorassa ovea vastaan, joten voiman varsi on kahvan etäisyys saranoista.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 12\,\text{N}\cdot 0{,}80\,\text{m}$$= 9{,}6\,\text{Nm}$Vastaus
$9{,}6\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimassa $12\,\text{N}$ ja etäisyydessä $0{,}80\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Varsi on vähän alle metrin. Siksi momentin lukuarvo on vähän pienempi kuin voiman lukuarvo $12$. Oletetaan, että sama voima vaikuttaisi $0{,}10\,\text{m}$:n päässä saranoista. Silloin momentti olisi vain $1{,}2\,\text{Nm}$. Siksi kahva on oven reunassa.
- Tehtävä 1-3
Polkupyörän akselimutteri on kiristettävä $45\,\text{Nm}$:n momenttiin. Avaimen otekohta on $0{,}30\,\text{m}$:n päässä mutterin keskeltä, ja voima on kohtisuorassa vartta vastaan. Kuinka suuri voima tarvitaan?
Vastaus
$150\,\text{N} = 1{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tarvittava momentti $M = 45\,\text{Nm}$, otekohdan etäisyys $d = 0{,}30\,\text{m}$, voima kohtisuoraan vartta vastaan
Kysytty
tarvittava voima $F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Mutterin kiristymisen ratkaisee momentti $M = Fr$. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten varsi on $r = d$. Voima ratkaistaan momentin kaavasta.
Kaava
$M = Fd$, josta $F = \dfrac{M}{d}$
Muunnokset
Momentti on newtonmetreinä ja etäisyys metreinä. Voima tulee suoraan newtoneina.
Sijoitus
$F$$= \dfrac{45\,\text{Nm}}{0{,}30\,\text{m}}$$= 150\,\text{N}$Vastaus
$150\,\text{N} = 1{,}5 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska momentissa $45\,\text{Nm}$ ja etäisyydessä $0{,}30\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Tarkistus: $150\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m} = 45\,\text{Nm}$. Voima vastaa noin $15\,\text{kg}$:n kappaleen painoa. Aikuinen jaksaa vetää sellaisella voimalla kädellä. Puolet lyhyemmällä avaimella tarvittaisiin kaksinkertainen voima.
- Tehtävä 1-4
Kuvassa sauva kääntyy kiertoakselin $O$ ympäri. Sauvaan vaikuttaa kohdassa $P$ vaakasuora $40\,\text{N}$:n voima. Ruudukon yksi ruutu vastaa $0{,}10\,\text{m}$:ä. Lue kuvasta voiman varsi. Kuinka suuri on voiman momentti akselin $O$ suhteen?
Vastaus
$12\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vaakasuora voima $F = 40\,\text{N}$ kohdassa $P$; ruudukon yksi ruutu on $0{,}10\,\text{m}$
Kysytty
voiman momentti $M$ akselin $O$ suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Sauva kiertyy akselin $O$ ympäri. Siksi voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Varsi on akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. Se ei ole sauvan pituus $OP$.
Kuvaajan lukeminen
Voima on vaakasuora, joten sen vaikutussuora on vaakasuora katkoviiva kohdan $P$ kautta. Akseli $O$ on kolme ruutua tämän suoran alapuolella. Varsi on siis kolme ruutua. Sauva itse on kuvassa vinossa: neljä ruutua oikealle ja kolme ylös. Sen pituus on viisi ruutua, mutta se ei ole varsi.
Kaava
$M = Fr$
Muunnokset
Ruudut muunnetaan metreiksi:
$r$$= 3\cdot 0{,}10\,\text{m}$$= 0{,}30\,\text{m}$Sijoitus
$M$$= 40\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m}$$= 12\,\text{Nm}$Vastaus
$12\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimassa $40\,\text{N}$ on kaksi. Varsi luetaan ruudukosta tarkasti kokonaisina ruutuina.
Järkevyys
Jos varreksi otettaisiin sauvan pituus $0{,}50\,\text{m}$, momentti olisi $20\,\text{Nm}$. Se pätisi vain kohtisuoralle voimalle. Vaakasuora voima vetää sauvaa osittain sen omaan suuntaan, joten momentti on pienempi. Kaava $r = d\sin\alpha$ antaa saman tuloksen: $0{,}50\,\text{m}\cdot\tfrac{3}{5} = 0{,}30\,\text{m}$.
- Tehtävä 1-5
Voiman suuruus on $60\,\text{N}$, ja sen momentti kiertoakselin suhteen on $18\,\text{Nm}$. Kuinka suuri on voiman varsi?
Vastaus
$0{,}30\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F = 60\,\text{N}$, momentti $M = 18\,\text{Nm}$
Kysytty
voiman varsi $r$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Momentti on voiman ja voiman varren tulo $M = Fr$. Kun momentti ja voima tunnetaan, varsi ratkaistaan samasta kaavasta.
Kaava
$M = Fr$, josta $r = \dfrac{M}{F}$
Muunnokset
Momentti on newtonmetreinä ja voima newtoneina. Varsi tulee suoraan metreinä: $\tfrac{\text{Nm}}{\text{N}} = \text{m}$.
Sijoitus
$r$$= \dfrac{18\,\text{Nm}}{60\,\text{N}}$$= 0{,}30\,\text{m}$Vastaus
$0{,}30\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska momentissa $18\,\text{Nm}$ ja voimassa $60\,\text{N}$ on kaksi.
Järkevyys
Tarkistus: $60\,\text{N}\cdot 0{,}30\,\text{m} = 18\,\text{Nm}$. Momentin lukuarvo on pienempi kuin voiman lukuarvo. Siksi varren täytyy olla alle metrin.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-6Ydintehtävä
Ovi avataan vetämällä kahvaan sidottua narua. Kahva on $0{,}75\,\text{m}$:n päässä saranoista, ja narun jännitysvoima on $40\,\text{N}$. Naru on $35^\circ$:n kulmassa oven tasoon nähden.
Kuinka suuri on narun voiman momentti saranoiden suhteen?
Vastaus
$17\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
narun jännitysvoima $F = 40\,\text{N}$, kahvan etäisyys saranoista $d = 0{,}75\,\text{m}$, narun kulma oven tasoon nähden $\alpha = 35^\circ$
Kysytty
narun voiman momentti $M$ saranoiden suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Ovi kiertyy saranoiden ympäri. Siksi narun vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Naru on vinossa ovea vastaan, joten varsi on lyhyempi kuin $d$. Oven taso kulkee saranoista kahvaan. Siksi kulma $35^\circ$ on voiman ja varren jatkeen välinen kulma, ja $r = d\sin\alpha$.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d\sin\alpha$, joten $M = Fd\sin\alpha$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 40\,\text{N}\cdot 0{,}75\,\text{m}\cdot\sin 35^\circ$$= 30\,\text{Nm}\cdot 0{,}5736$$= 17{,}21\,\text{Nm}$Vastaus
$17\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimassa $40\,\text{N}$ ja etäisyydessä $0{,}75\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Kohtisuora veto antaisi $40\,\text{N}\cdot 0{,}75\,\text{m} = 30\,\text{Nm}$. Vino naru antaa vähemmän, koska $\sin 35^\circ \approx 0{,}57$ eli vähän yli puolet. Narun voiman oven suuntainen osa vetää ovea kohti saranoita. Se ei kierrä ovea.
- Tehtävä 1-7Ydintehtävä
Pyöränmutteria avataan $85\,\text{N}$:n voimalla, joka on kohtisuorassa avaimen vartta vastaan. Otekohta on $35\,\text{cm}$:n päässä mutterin keskeltä. Kuinka suuri on voiman momentti mutterin akselin suhteen?
Vastaus
$30\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F = 85\,\text{N}$ kohtisuoraan vartta vastaan, otekohdan etäisyys $d = 35\,\text{cm}$
Kysytty
voiman momentti $M$ mutterin akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Mutteri kiertyy akselinsa ympäri. Siksi voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on kohtisuorassa vartta vastaan, joten varsi on koko etäisyys otekohtaan.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d$, joten $M = Fd$
Muunnokset
Etäisyys muunnetaan metreiksi, jotta momentti tulee newtonmetreinä:
$d$$= 35\,\text{cm}$$= 35\cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}35\,\text{m}$Sijoitus
$M$$= 85\,\text{N}\cdot 0{,}35\,\text{m}$$= 29{,}75\,\text{Nm}$Vastaus
$30\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimassa $85\,\text{N}$ ja etäisyydessä $35\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Ilman muunnosta tulos olisi $2975$. Se olisi sata kertaa liian suuri, joten senttimetrit täytyy aina muuntaa metreiksi. Varsi on noin kolmasosametri. Siksi momentti on noin kolmasosa voiman lukuarvosta: $85 : 3 \approx 28$. Se on lähellä tulosta.
- Tehtävä 1-8
Vaakasuora lauta kääntyy vasemmassa päässään olevan akselin ympäri. Laudan oikeassa päässä, $0{,}50\,\text{m}$:n päässä akselista, vaikuttaa $30\,\text{N}$:n voima suoraan ylöspäin. Lisäksi $0{,}20\,\text{m}$:n päässä akselista vaikuttaa $40\,\text{N}$:n voima suoraan alaspäin.
Kuinka suuri on voimien kokonaismomentti akselin suhteen? Vastapäivään kiertävä momentti on positiivinen.
Vastaus
$7{,}0\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voima $F_1 = 30\,\text{N}$ ylöspäin etäisyydellä $r_1 = 0{,}50\,\text{m}$ akselista, voima $F_2 = 40\,\text{N}$ alaspäin etäisyydellä $r_2 = 0{,}20\,\text{m}$; lauta on vaakasuora ja akseli sen vasemmassa päässä
Kysytty
kokonaismomentti $\Sigma M$ akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$, vastapäivään positiivisena
Periaate
Lauta kiertyy akselin ympäri. Kiertymisen ratkaisee kokonaismomentti. Se on voimien momenttien summa etumerkkeineen. Molemmat voimat ovat pystysuoria ja lauta on vaakasuora, joten varret ovat etäisyydet akselista. Akselin oikealla puolella ylöspäin vaikuttava voima kiertää lautaa vastapäivään. Alaspäin vaikuttava voima kiertää sitä myötäpäivään.
Kaava
$M_1 = F_1 r_1$ ja $M_2 = -F_2 r_2$, joten $\Sigma M = F_1 r_1 - F_2 r_2$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja etäisyydet metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma M$$= 30\,\text{N}\cdot 0{,}50\,\text{m} - 40\,\text{N}\cdot 0{,}20\,\text{m}$$= 15\,\text{Nm} - 8{,}0\,\text{Nm}$$= 7{,}0\,\text{Nm}$Vastaus
$7{,}0\,\text{Nm}$
Vastapäivään. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Laudan oman painon momentti jätetään huomiotta. Lauta oletetaan kevyeksi voimiin verrattuna. Suurempi voima $40\,\text{N}$ ei ratkaise kiertosuuntaa, koska sen varsi on lyhyt. Pienemmän voiman momentti $15\,\text{Nm}$ on suurempi kuin $8{,}0\,\text{Nm}$. Siksi lauta alkaa kiertyä vastapäivään. Kokonaismomentti on positiivinen, kuten pitääkin.
- Tehtävä 1-9
Vesijohdon sulkuventtiilin vipu on $0{,}25\,\text{m}$ pitkä, ja venttiili kääntyy vasta $50\,\text{Nm}$:n momentilla. Vipua vedetään sen päästä niin, että voima on $60^\circ$:n kulmassa vivun jatkeeseen nähden.
Kuinka suuri voima tarvitaan?
Vastaus
$231\,\text{N} \approx 2{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tarvittava momentti $M = 50\,\text{Nm}$, vivun pituus eli otekohdan etäisyys akselista $d = 0{,}25\,\text{m}$, voiman ja vivun jatkeen välinen kulma $\alpha = 60^\circ$
Kysytty
tarvittava voima $F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Venttiilin kääntymisen ratkaisee momentti $M = Fr$. Voima on vinossa vipua vastaan, joten sen varsi on $r = d\sin\alpha$. Varsi on lyhyempi kuin vivun pituus. Voima ratkaistaan momentin kaavasta.
Kaava
$M = Fd\sin\alpha$, josta $F = \dfrac{M}{d\sin\alpha}$
Muunnokset
Momentti on newtonmetreinä ja etäisyys metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F$$= \dfrac{50\,\text{Nm}}{0{,}25\,\text{m}\cdot\sin 60^\circ}$$= \dfrac{50\,\text{Nm}}{0{,}2165\,\text{m}}$$= 230{,}9\,\text{N}$Vastaus
$231\,\text{N} \approx 2{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{N}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska momentissa $50\,\text{Nm}$ ja pituudessa $0{,}25\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Kohtisuoraan vetäen riittäisi $50\,\text{Nm} : 0{,}25\,\text{m} = 200\,\text{N}$. Vino veto vaatii enemmän, koska varsi on vain $\sin 60^\circ \approx 0{,}87$ kertaa vivun pituus. Siksi $200\,\text{N} : 0{,}87 \approx 230\,\text{N}$. Se on sama kuin $231\,\text{N}$ pyöristysten tarkkuudella.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 1-10
Pyöräilijän jalka painaa poljinta suoraan alaspäin $500\,\text{N}$:n voimalla. Polkimen etäisyys kammen akselista on $0{,}175\,\text{m}$. Kampi osoittaa eteenpäin ja on $45^\circ$ vaakatason alapuolella.
Missä kammen asennossa sama voima antaisi suurimman momentin? Missä asennossa momentti olisi nolla? Kuinka suuri on jalan voiman momentti kammen akselin suhteen, kun kampi on tässä $45^\circ$:n asennossa?
Vastaus
$61{,}9\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jalan voima $F = 500\,\text{N}$ suoraan alaspäin, polkimen etäisyys akselista $d = 0{,}175\,\text{m}$, kampi $45^\circ$ vaakatason alapuolella
Kysytty
voiman momentti $M$ kammen akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$ sekä asennot, joissa momentti on suurin ja nolla
Periaate
Kampi kiertyy akselinsa ympäri. Siksi jalan voiman vääntövaikutuksen kertoo sen momentti $M = Fr$. Voima on pystysuora, joten sen vaikutussuora on polkimen kautta kulkeva pystysuora. Varsi on polkimen vaakasuora etäisyys akselista. Varsi on suurin, kun kampi on vaakasuorassa ($r = d$). Varsi on nolla, kun kampi on pystysuorassa, koska silloin vaikutussuora kulkee akselin kautta. Asennossa $45^\circ$ vaakasuora etäisyys on kulman viereinen kateetti.
Kaava
$M = Fr$ ja $r = d\cos 45^\circ$, joten $M = Fd\cos 45^\circ$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja etäisyys metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$M$$= 500\,\text{N}\cdot 0{,}175\,\text{m}\cdot\cos 45^\circ$$= 87{,}5\,\text{Nm}\cdot 0{,}7071$$= 61{,}87\,\text{Nm}$Vastaus
$61{,}9\,\text{Nm}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $0{,}175\,\text{m}$ on kolme. Momentti on suurin, $87{,}5\,\text{Nm}$, kun kampi on vaakasuorassa eteenpäin. Momentti on nolla, kun kampi osoittaa suoraan alas tai ylös.
Järkevyys
Tulos on vaakasuoran kammen momentin $87{,}5\,\text{Nm}$ ja nollan välissä, kuten pitää. Kaava $r = d\sin\alpha$ antaa saman tuloksen. Voiman ja kammen jatkeen välinen kulma on $45^\circ$, ja $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ$. Siksi pyöräilijä painaa poljinta voimakkaimmin, kun kampi on edessä vaakasuorassa eli osoittaa ajosuuntaan.
- Tehtävä 1-11
Aikuinen työntää puutarhaporttia kahvasta, joka on $0{,}40\,\text{m}$:n päässä saranoista. Hän työntää $50\,\text{N}$:n voimalla kohtisuoraan porttia vastaan. Lapsi jaksaa työntää vain $20\,\text{N}$:n voimalla. Lapsikin työntää kohtisuoraan porttia vastaan.
Kuinka kaukana saranoista lapsen on työnnettävä? Hänen voimansa vääntövaikutuksen pitää olla yhtä suuri kuin aikuisen.
Vastaus
$1{,}0\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aikuisen voima $F_1 = 50\,\text{N}$ ja varsi $r_1 = 0{,}40\,\text{m}$, lapsen voima $F_2 = 20\,\text{N}$; molemmat työntävät kohtisuoraan porttia vastaan
Kysytty
lapsen työnnön etäisyys $r_2$ saranoista yksikössä $\text{m}$
Periaate
Vääntövaikutukset ovat yhtä suuret, kun momentit saranoiden suhteen ovat yhtä suuret. Kohtisuoran työnnön varsi on työntökohdan etäisyys saranoista. Pienempi voima tarvitsee siis pidemmän varren.
Kaava
$F_2 r_2 = F_1 r_1$, josta $r_2 = \dfrac{F_1 r_1}{F_2}$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja varsi metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$r_2$$= \dfrac{50\,\text{N}\cdot 0{,}40\,\text{m}}{20\,\text{N}}$$= \dfrac{20\,\text{Nm}}{20\,\text{N}}$$= 1{,}0\,\text{m}$Vastaus
$1{,}0\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska voimissa ja etäisyydessä $0{,}40\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Lapsen voima on $\tfrac{2}{5}$ aikuisen voimasta. Siksi varren täytyy olla $\tfrac{5}{2}$-kertainen: $2{,}5\cdot 0{,}40\,\text{m} = 1{,}0\,\text{m}$. Tavallinen portti on noin metrin levyinen. Lapsen täytyy siis työntää aivan portin reunasta.
- Tehtävä 1-12
Ristiavaimen varret ulottuvat $0{,}20\,\text{m}$:n päähän mutterin keskeltä kummallekin puolelle. Asentaja painaa vasemman varren päätä $120\,\text{N}$:n voimalla suoraan alaspäin. Hän vetää oikean varren päätä $120\,\text{N}$:n voimalla suoraan ylöspäin. Varret ovat vaakasuorassa.
Mikä on käsien voimien summa? Kuinka suuri on käsien voimien kokonaismomentti mutterin akselin suhteen?
Vastaus
$48\,\text{Nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kummankin käden voima $F = 120\,\text{N}$, vasen alaspäin ja oikea ylöspäin, kummankin vaikutuskohdan etäisyys mutterin keskeltä $d = 0{,}20\,\text{m}$; varret vaakasuorassa
Kysytty
käsien voimien summa ja kokonaismomentti $\Sigma M$ mutterin akselin suhteen yksikössä $\text{Nm}$
Periaate
Voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset, joten niiden summa on nolla. Avain ei siirry sivulle. Kiertymisen ratkaisee kuitenkin kokonaismomentti. Molemmat voimat ovat pystysuoria ja varret vaakasuoria, joten kummankin varsi on $d$. Akselin vasemmalla puolella alaspäin vaikuttava voima kiertää vastapäivään. Akselin oikealla puolella ylöspäin vaikuttava voima kiertää myös vastapäivään. Momenteilla on siis sama etumerkki, ja ne summautuvat.
Kaava
$\Sigma F = F - F$ ja $\Sigma M = Fd + Fd$, joten $\Sigma M = 2Fd$
Muunnokset
Voimat ovat newtoneina ja etäisyydet metreinä. Muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Sigma F$$= 120\,\text{N} - 120\,\text{N}$$= 0$$\Sigma M$$= 2\cdot 120\,\text{N}\cdot 0{,}20\,\text{m}$$= 48\,\text{Nm}$Vastaus
Voimien summa on nolla, ja kokonaismomentti on $48\,\text{Nm}$ vastapäivään. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $0{,}20\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Yksi käsi saisi aikaan $24\,\text{Nm}$. Kaksi samaan suuntaan kiertävää kättä antaa siksi kaksinkertaisen momentin. Voimien summa on nolla, joten avain vain kiertyy. Se ei työnnä pulttia sivulle. Tämä on ristiavaimen etu yhdellä kädellä vääntämiseen verrattuna.