Värähtelyn suureet: jaksonaika, taajuus ja amplitudi
Miksi keinuvan lapsen liikkeen voi kertoa muutamalla luvulla, vaikka keinu on joka hetki eri kohdassa?
Pohjatiedot
- Kierrosaika $T$ on yhden kierroksen kesto, ja pyörimistaajuus $f = \tfrac{1}{T}$ on kierrosten määrä aikayksikössäluku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus
- $(t, x)$-kuvaaja näyttää kappaleen paikan ajan funktionaluku Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 5.
Pohdinta
Punnus riippuu jousesta laboratorion telineessä. Kun sitä vedetään vähän alaspäin ja päästetään irti, se alkaa pomppia ylös ja alas. Lattialla punnuksen alla on liiketunnistin, joka mittaa punnuksen paikan kaksikymmentä kertaa sekunnissa. Ruudulle piirtyy aaltoileva käyrä, joka näyttää toistavan itseään.
Millä luvuilla tällaisen liikkeen voi kuvata, ja miten ne saadaan käyrästä?
Valinnainen Kertaa: kierrosaika ja pyörimistaajuus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: mallin amplitudi
Ennuste 2: mallin jaksonaika
Tutki
Sovita sinikäyrä simuloituun mittaukseen. Säädä mallin amplitudia ja jaksonaikaa, kunnes sininen käyrä kulkee mustien pisteiden keskeltä.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Aineisto ja säädä mallin amplitudia $A$ ja jaksonaikaa $T$. Sininen käyrä on mallisi $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$, mustat pisteet simuloitu mittaus. Lukema Sovitusvirhe $d$ kertoo, kuinka kaukana pisteet ovat käyrästä keskimäärin: mitä pienempi $d$, sitä paremmin malli sopii. Käynnistä toistaa mittauksen $5\,\text{s}$: punnus liikkuu kuten mittauksessa, sininen kolmio sen vieressä näyttää mallin poikkeaman, ja katkoviiva kulkee kuvaajassa samaa hetkeä. Jos malli sopii, kolmio pysyy punnuksen kohdalla koko ajan. Lukemat $N$ ja $f$ koskevat mallia. Nopeus muuttaa vain toiston tahtia.
Mallin oletukset
Punnus värähtelee pystysuunnassa jousen varassa, ja ylöspäin on positiivinen suunta. Värähtely ei vaimene, ja ajanotto alkaa, kun punnus ohittaa tasapainoaseman ylöspäin. Jokainen aineisto on simuloitu mittaus: pisteet on laskettu sinimallista ja niihin on lisätty pieni satunnaiselta näyttävä virhe, enintään $0{,}25\,\text{cm}$, kuten oikeassa mittauksessa. Siksi pisteet eivät osu täsmälleen millekään sinikäyrälle, eikä sovitusvirhe ole koskaan nolla. Kaikki luvut ovat mallin ja simulaation arvoja, eivät mitattuja.
Laskennan selitys
Mittauspisteitä on $51$, kymmenesosasekunnin välein hetkestä $0$ hetkeen $5{,}0\,\text{s}$. Mallin poikkeama hetkellä $t$ on $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$, ja taajuus on $f = \tfrac{1}{T}$. Sovitusvirhe $d$ on pisteiden ja mallikäyrän pystysuorien etäisyyksien keskiarvo: jokaisesta pisteestä lasketaan $|x_i - A \sin\left(\tfrac{2\pi t_i}{T}\right)|$, ja ne lasketaan yhteen ja jaetaan pisteiden määrällä. $N$ on mallin täysien värähdysten määrä välillä $0$–$5{,}0\,\text{s}$ eli luvun $\tfrac{5{,}0\,\text{s}}{T}$ kokonaisosa. Lukema simuloitu mittaus on lähimmän mittauspisteen arvo.
Koe 1: amplitudin sovitus
Testaa ennuste 1. Mallin jaksonaika on aineiston oikea $1{,}60\,\text{s}$ ja pysyy vakiona. Muuta vain mallin amplitudia ja kirjaa sovitusvirhe $d$ ainakin arvoilla $3{,}0\,\text{cm}$, $6{,}0\,\text{cm}$ ja $12\,\text{cm}$. Millä amplitudilla käyrän huiput osuvat pisteiden huippuihin?
Alkutila: aineisto: aineisto 1, mallin amplitudi $A$ = $2\,\text{cm}$, mallin jaksonaika $T$ = $1{,}6\,\text{s}$. Vakiona: aineisto, mallin jaksonaika $T$. Muutetaan: mallin amplitudi $A$.
| mallin amplitudi $A$ | $d$ $(\text{cm})$ |
|---|
Koe 2: jaksonajan sovitus
Testaa ennuste 2. Mallin amplitudi on $6{,}0\,\text{cm}$ ja pysyy vakiona. Muuta vain mallin jaksonaikaa ja kirjaa ainakin arvot $0{,}80\,\text{s}$ ja $1{,}60\,\text{s}$. Katso, miten huippujen määrä muuttuu ja millä jaksonajalla sovitusvirhe on pienin.
Alkutila: aineisto: aineisto 1, mallin amplitudi $A$ = $6\,\text{cm}$, mallin jaksonaika $T$ = $0{,}8\,\text{s}$. Vakiona: aineisto, mallin amplitudi $A$. Muutetaan: mallin jaksonaika $T$.
| mallin jaksonaika $T$ | $N$ | $f$ $(\text{Hz})$ | $d$ $(\text{cm})$ |
|---|
Koe 3: sovita itse
Aineiston 3 amplitudia ja jaksonaikaa ei kerrota. Lue ensin kuvaajasta karkeat arvot: amplitudi pisteiden huippujen tasolta ja jaksonaika kahden täyden värähdyksen kestosta. Aseta ne malliin ja hienosäädä sitten kumpaakin, kunnes sovitusvirhe on pienin. Kirjaa jokainen yritys.
Alkutila: aineisto: aineisto 3, mallin amplitudi $A$ = $2\,\text{cm}$, mallin jaksonaika $T$ = $1\,\text{s}$. Vakiona: aineisto. Muutetaan: mallin jaksonaika $T$.
| mallin jaksonaika $T$ | $A$ $(\text{cm})$ | $f$ $(\text{Hz})$ | $d$ $(\text{cm})$ |
|---|
Mikä on aineiston 3 jaksonaika parhaan sovituksesi mukaan? Vastaa sekunteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Paras sovitus on se rivi, jolla sovitusvirhe $d$ on pienin. Jos se on yli $1\,\text{cm}$, käyrä ei vielä kulje pisteiden keskeltä.
Vihje 2: mikä yhteys
Lue kuvaajasta, missä kohdassa pisteet ohittavat tasapainoaseman ylöspäin toisen kerran. Se on yhden täyden värähdyksen kesto.
Vihje 3: välivaihe
Pisteet nousevat tasapainoaseman läpi hetkellä $0$ ja seuraavan kerran hieman yli hetken $2\,\text{s}$. Kokeile malliin arvoja sen läheltä ja katso, missä $d$ on pienin.
Näytä ratkaisu
Annettu
aineiston 3 simuloidut mittauspisteet ja omat sovitusyritykset taulukossa, malli $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$
Kysytty
aineiston jaksonaika $T$ sekunteina
Periaate
Malli sopii aineistoon sitä paremmin, mitä pienempi sovitusvirhe $d$ on. Paras sovitus on se mallin jaksonaika, jolla $d$ on pienin, kun amplitudikin on säädetty sopivaksi.
Kuvaajan lukeminen
Pisteet ohittavat tasapainoaseman ylöspäin hetkellä $0$ ja seuraavan kerran noin hetkellä $2{,}2\,\text{s}$, ja huiput ovat noin $8{,}5\,\text{cm}$:ssä. Kun malliin asetetaan $A = 8{,}5\,\text{cm}$ ja jaksonaikaa säädetään, $d$ pienenee jyrkästi arvon $2{,}20\,\text{s}$ kohdalla.
Kaava
Ei laskukaavaa: jaksonaika luetaan suoraan parhaan sovituksen riviltä, $T = T_\text{paras}$.
Muunnokset
Ei tarvita: säädin näyttää jaksonajan sekunteina.
Sijoitus
Paras rivi: $A = 8{,}5\,\text{cm}$, $T = 2{,}20\,\text{s}$, $f = 0{,}455\,\text{Hz}$ ja $d = 0{,}13\,\text{cm}$, joten $T = 2{,}20\,\text{s}$.
Vastaus
$2{,}2\,\text{s}$
Kahden merkitsevän numeron tarkkuudella, koska säätimen askel $0{,}05\,\text{s}$ ja pisteiden hajonta rajaavat tarkkuuden.
Järkevyys
Välille $0$–$5\,\text{s}$ mahtuu $\tfrac{5{,}0\,\text{s}}{2{,}2\,\text{s}} \approx 2{,}3$ värähdystä, eli kaksi täyttä huippua ja vähän päälle, kuten kuvaajassa. Sovitusvirhe $d = 0{,}13\,\text{cm}$ on samaa suuruusluokkaa kuin pisteiden virhe, enintään $0{,}25\,\text{cm}$, joten parempaa sovitusta ei voi odottaa. Luvut ovat simulaation arvoja.
Johtopäätös: mitä A ja T tekevät käyrälle
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miten amplitudi ja miten jaksonaika muuttavat mallikäyrää? Mistä kohdasta kuvaajaa amplitudi luetaan? Miten löysit aineiston 3 amplitudin ja jaksonajan, ja miksi sovitusvirhe ei mennyt nollaan?
Mallivastaus
Amplitudi muuttaa käyrää pystysuunnassa: aineistossa 1 arvolla $A = 6{,}0\,\text{cm}$ sovitusvirhe oli $0{,}13\,\text{cm}$, mutta arvolla $12\,\text{cm}$ $3{,}70\,\text{cm}$ ja arvolla $3{,}0\,\text{cm}$ $1{,}85\,\text{cm}$. Amplitudi luetaan siis tasapainoaseman tasolta huipun tasolle, ei huipusta pohjaan. Jaksonaika muuttaa käyrää vaakasuunnassa: arvolla $T = 0{,}80\,\text{s}$ väliin $0$–$5\,\text{s}$ mahtui $6$ täyttä värähdystä ja taajuus oli $1{,}25\,\text{Hz}$, arvolla $1{,}60\,\text{s}$ vain $3$ ja taajuus $0{,}625\,\text{Hz}$. Aineistossa 3 luin ensin karkeat arvot kuvaajasta ja hienosäädin, kunnes $d$ oli pienin: $A = 8{,}5\,\text{cm}$ ja $T = 2{,}20\,\text{s}$, $d = 0{,}13\,\text{cm}$. Sovitusvirhe ei mene nollaan, koska simuloiduissa pisteissä on pieni virhe kuten oikeissa mittauksissa. Luvut ovat simulaation arvoja.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Liike on jaksollista, kun se toistuu samanlaisena yhtä pitkin väliajoin. Tasaisesti pyörivä karuselli (luku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus), heilurikellon heiluri, keinu ja jousen varassa pomppiva punnus liikkuvat jaksollisesti. Kolme viimeistä ovat lisäksi värähtelyliikkeessä: kappale liikkuu edestakaisin tasapainoaseman molemmin puolin. Tasapainoasema on asema, jossa siihen paikalleen asetettu kappale pysyy levossa. Karusellin lapsi ei värähtele, vaikka liike on jaksollista, koska hän kiertää eikä liiku edestakaisin saman pisteen molemmin puolin.
Värähtelijän paikkaa kuvataan poikkeamalla $x$ eli kappaleen etäisyydellä tasapainoasemasta etumerkin kanssa. Tasapainoasemassa $x = 0$, ja toinen suunta valitaan positiiviseksi, jousen punnukselle esimerkiksi ylöspäin. Suurin poikkeama on amplitudi $A$. Se mitataan tasapainoasemasta ääriasemaan, ei ääriasemasta toiseen: ylimmän ja alimman aseman välinen etäisyys on $2A$. Tässä luvussa oletetaan, että värähtely ei vaimene, joten amplitudi pysyy samana.
Jaksonaika ja taajuus
Jaksonaika $T$ on yhden täyden värähdyksen kesto: aika, jonka kuluttua kappale on taas samassa paikassa ja liikkuu samaan suuntaan. Kun punnus lähtee tasapainoasemasta ylöspäin, se käy ylimmässä asemassa, palaa tasapainoasemaan, käy alimmassa asemassa ja palaa taas tasapainoasemaan. Tämä on yksi värähdys. Taajuus $f$ on täysien värähdysten määrä aikayksikössä. Jaksonaika ja taajuus vastaavat kierrosaikaa ja pyörimistaajuutta luvussa Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus: yksi värähdys vastaa yhtä kierrosta. Jaksonaika mitataan tarkimmin usean värähdyksen kestosta: jos $n$ värähdystä kestää ajan $t_n$, jaksonaika on $T = \tfrac{t_n}{n}$.
Värähtely kuvaajana
Kun poikkeama piirretään ajan funktiona, saadaan $(t, x)$-kuvaaja (luku Paikka, nopeus ja tasainen liike kuvaajina). Jaksollisen liikkeen kuvaaja toistuu samanlaisena jaksonajan välein. Jaksonaika luetaan kahden peräkkäisen huipun välistä tai kahden sellaisen tasapainoaseman ohituksen välistä, joissa kappale liikkuu samaan suuntaan. Peräkkäiset ohitukset ovat vain puolen jaksonajan päässä toisistaan, koska kappale ohittaa tasapainoaseman kerran mennessään ylös ja kerran tullessaan alas. Amplitudi luetaan tasapainoaseman tasolta $x = 0$ huipun tasolle.
Sinimuotoinen värähtely
Taajuus on jaksonajan käänteisluku, koska yhteen värähdykseen kuluu aika $T$ ja aikayksikössä ehditään tehdä $\tfrac{1}{T}$ värähdystä:
$$f = \frac{1}{T}$$
missä $f$ on taajuus ($\text{Hz}$) ja $T$ jaksonaika ($\text{s}$). Taajuuden yksikkö on hertsi, $1\,\text{Hz} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Kun jaksonaika on $T = 0{,}50\,\text{s}$, kappale tekee $2{,}0$ värähdystä sekunnissa eli $f = 2{,}0\,\text{Hz}$.
Monen värähtelijän $(t, x)$-kuvaaja on sinikäyrä. Näin on esimerkiksi jousen varassa värähtelevällä punnuksella ja pienin heilahduksin heiluvalla heilurilla; syy selviää myöhemmin kurssilla värähtelijään vaikuttavista voimista. Kun ajanotto aloitetaan hetkestä, jolloin kappale ohittaa tasapainoaseman positiiviseen suuntaan, poikkeama on
$$x = A \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = A \sin(2\pi f t)$$
missä $x$ on poikkeama tasapainoasemasta, $A$ amplitudi (samassa yksikössä kuin $x$), $t$ aika ($\text{s}$), $T$ jaksonaika ($\text{s}$) ja $f$ taajuus ($\text{Hz}$). Sinin argumentti on radiaaneina, joten laskin on asetettava radiaanitilaan.
Miksi juuri $2\pi \tfrac{t}{T}$?
Lauseke selviää ympyräliikkeestä. Piste kiertää tasaisesti vastapäivään ympyrää, jonka säde on $A$, kierrosajalla $T$, ja se lähtee vaakasuoran säteen oikeanpuoleisesta päästä, josta kulma $2\pi \tfrac{t}{T}$ mitataan. Ajassa $t$ piste kiertää osan $\tfrac{t}{T}$ kierroksesta. Koko kierros on $2\pi$ radiaania, joten säde kääntyy kulman $2\pi \tfrac{t}{T}$, ja pisteen korkeus keskipisteen tasosta on $A \sin\left(2\pi \tfrac{t}{T}\right)$. Pisteen korkeus värähtelee siis täsmälleen kuten värähtelijän poikkeama. Hetkellä $t = \tfrac{T}{4}$ kulma on $\tfrac{\pi}{2}$ ja $x = A$, hetkellä $\tfrac{T}{2}$ taas $x = 0$, hetkellä $\tfrac{3T}{4}$ $x = -A$ ja hetkellä $T$ jälleen $x = 0$.
Sinifunktion sovittaminen
Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen sinikäyrällä mittausepävarmuuden vuoksi. Sinifunktion sovittamisessa etsitään ne arvot $A$ ja $T$, joilla käyrä $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$ kulkee pisteiden joukon keskeltä. Käsin sovitettaessa amplitudi on puolet ylimpien ja alimpien pisteiden tasojen erotuksesta. Jaksonaika luetaan usean täyden värähdyksen kestosta ja jaetaan värähdysten määrällä, koska silloin lukemisen epätarkkuus jakautuu monelle jaksolle. Kuvan simuloiduissa pisteissä kolme värähdystä kestää $3{,}6\,\text{s}$, joten $T = \tfrac{3{,}6\,\text{s}}{3} = 1{,}2\,\text{s}$, ja amplitudi on noin $3{,}0\,\text{cm}$.
Graphical Analysis Pro sovittaa sinifunktion samasta valikosta kuin suoran: kuvaajatyökalujen Käyrän sovitus, jonka pudotusvalikosta valitaan sinifunktio (englanninkielisessä versiossa Sine). Ohjelman malli on $y = A \sin(Bt + C) + D$. Siinä $A$ on amplitudi ja $B = \tfrac{2\pi}{T}$, joten jaksonaika on $T = \tfrac{2\pi}{B}$. Vakio $D$ on tasapainoaseman lukema, esimerkiksi liiketunnistimen etäisyys punnukseen tasapainoasemassa. Vakio $C$ kertoo vaiheen hetkellä $t = 0$ eli sen, missä kohdassa värähdystä kappale oli ajanoton alkaessa. Kun ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta positiiviseen suuntaan, $C = 0$; tämän luvun tehtävissä ajanotto alkaa aina niin.
Yleinen virhekäsitys
Moni pitää amplitudina ylimmän ja alimman aseman välistä etäisyyttä. Amplitudi on kuitenkin suurin poikkeama tasapainoasemasta, joten se on puolet ääriasemien välisestä etäisyydestä. Jos punnus liikkuu $12\,\text{cm}$ ylimmästä asemasta alimpaan, amplitudi on $6{,}0\,\text{cm}$.
Kuvaajasta luettaessa yleinen virhe on mitata jaksonaika kahden peräkkäisen tasapainoaseman ohituksen välistä. Näiden välillä kappale liikkuu vastakkaisiin suuntiin, joten väli on vain puolet jaksonajasta. Täysi jakso on kahden peräkkäisen huipun välillä.
Laskuissa jaksonaika ja taajuus menevät helposti sekaisin. Mitä pidempi jaksonaika on, sitä pienempi on taajuus, koska $f = \tfrac{1}{T}$. Kun sinin arvo lasketaan, laskimen on oltava radiaanitilassa: esimerkin $\sin 2{,}618$ on asteina laskettuna noin $0{,}046$, ja poikkeamaksi tulisi virheellisesti noin $0{,}18\,\text{cm}$.
Tiivistelmä
- Jaksollinen liike toistuu samanlaisena yhtä pitkin väliajoin. Värähtelyliikkeessä kappale liikkuu edestakaisin tasapainoaseman molemmin puolin.
- Poikkeama $x$ on etäisyys tasapainoasemasta etumerkin kanssa. Amplitudi $A$ on suurin poikkeama, ja ääriasemien välinen etäisyys on $2A$.
- Jaksonaika $T$ on yhden täyden värähdyksen kesto, ja taajuus $f = \tfrac{1}{T}$ on värähdysten määrä aikayksikössä; yksikkö $1\,\text{Hz} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
- Kun ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta positiiviseen suuntaan, sinimuotoista värähtelyä kuvaa $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right) = A \sin(2\pi f t)$, argumentti radiaaneina.
- Sinifunktion sovittamisessa amplitudi ja jaksonaika valitaan niin, että käyrä kulkee mittauspisteiden joukon keskeltä; jaksonaika luetaan usean värähdyksen kestosta.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi taulukoihisi ja kaavaan $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$. Palaa sitten alun kysymykseen: millä luvuilla jousen varassa pomppivan punnuksen liike kuvataan, ja miten ne luetaan liiketunnistimen piirtämästä käyrästä?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Jousen varassa värähtelevä punnus käy ylimmillään $4{,}0\,\text{cm}$ tasapainoaseman yläpuolella ja alimmillaan yhtä paljon sen alapuolella. Punnus tekee $5$ täyttä värähdystä $3{,}0\,\text{s}$:ssa. Ajanotto aloitetaan, kun punnus ohittaa tasapainoaseman ylöspäin, ja ylöspäin on positiivinen suunta. Kuinka kaukana tasapainoasemasta punnus on hetkellä $t = 0{,}25\,\text{s}$, ja kummalla puolella?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Amplitudi $A = 4{,}0\,\text{cm}$ (suurin poikkeama tasapainoasemasta), värähdysten määrä $n = 5$, niiden kesto $t_n = 3{,}0\,\text{s}$ ja hetki $t = 0{,}25\,\text{s}$. Kysytään poikkeamaa $x$ hetkellä $t$.
Vaihe 2/7
Periaate. Punnus värähtelee jaksollisesti, ja oletetaan, että värähtely on sinimuotoista eikä vaimene. Ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta positiiviseen suuntaan, joten poikkeamaa kuvaa malli $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$. Jaksonaika on yhden värähdyksen kesto, joten se saadaan jakamalla viiden värähdyksen kesto viidellä.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} T &= \frac{t_n}{n} \\ x &= A \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: ajat ovat sekunteina, joten sinin argumentista tulee yksikötön luku radiaaneina, ja $x$ saadaan senttimetreinä kuten amplitudi. Laskin asetetaan radiaanitilaan.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} T &= \frac{t_n}{n} \\ &= \frac{3{,}0\,\text{s}}{5} = 0{,}60\,\text{s} \\ x &= A \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) \\ &= 4{,}0\,\text{cm} \cdot \sin\left(\frac{2\pi \cdot 0{,}25\,\text{s}}{0{,}60\,\text{s}}\right) \\ &= 4{,}0\,\text{cm} \cdot \sin 2{,}618 \\ &= 4{,}0\,\text{cm} \cdot 0{,}500 \\ &= 2{,}0\,\text{cm} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Punnus on $2{,}0\,\text{cm}$ tasapainoaseman yläpuolella, koska poikkeama on positiivinen. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla kuten amplitudi $4{,}0\,\text{cm}$ ja aika $3{,}0\,\text{s}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Jaksonaika on $0{,}60\,\text{s}$, joten punnus on ylimmässä asemassa hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}15\,\text{s}$ ja palaa tasapainoasemaan hetkellä $\tfrac{T}{2} = 0{,}30\,\text{s}$. Hetki $0{,}25\,\text{s}$ on näiden välissä, joten punnus on matkalla alaspäin ylimmästä asemasta tasapainoasemaan, ja poikkeaman täytyy olla nollan ja $4{,}0\,\text{cm}$:n välillä. Tulos $2{,}0\,\text{cm}$ täyttää tämän.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Lisätieto: vaihe
Sovella uuteen tilanteeseen
Kevyen kävelysillan kansi värähtelee pystysuunnassa, kun sillalla juostaan tahdissa. Värähtelyn amplitudi on $4{,}0\,\text{cm}$ ja taajuus $0{,}50\,\text{Hz}$, ja värähtely oletetaan sinimuotoiseksi ja vaimenemattomaksi.
Kuinka kaukana tasapainoasemasta kansi on $0{,}40\,\text{s}$ sen jälkeen, kun se ohitti tasapainoaseman ylöspäin? Vastaa senttimetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta ylöspäin, joten voit käyttää sinimallia. Kumpi muoto sopii, kun tiedät taajuuden?
Vihje 2: mikä yhteys
$x = A \sin(2\pi f t)$. Laske ensin argumentti $2\pi f t$ ja tarkista, että laskin on radiaanitilassa.
Vihje 3: välivaihe
$2\pi \cdot 0{,}50\,\text{Hz} \cdot 0{,}40\,\text{s} = 1{,}257$, joten $x = 4{,}0\,\text{cm} \cdot \sin 1{,}257$.
Näytä ratkaisu
Annettu
amplitudi $A = 4{,}0\,\text{cm}$, taajuus $f = 0{,}50\,\text{Hz}$, aika tasapainoaseman ohituksesta $t = 0{,}40\,\text{s}$
Kysytty
kannen poikkeama $x$ tasapainoasemasta senttimetreinä
Periaate
Kansi värähtelee sinimuotoisesti, ja aika lasketaan hetkestä, jolloin se ohitti tasapainoaseman positiiviseen suuntaan ylöspäin. Silloin poikkeamaa kuvaa sinimalli, jossa jaksonajan paikalla voi käyttää taajuutta, koska $\tfrac{1}{T} = f$.
Kaava
$$x = A \sin(2\pi f t)$$
Muunnokset
Ei tarvita: $\text{Hz} \cdot \text{s} = \tfrac{1}{\text{s}} \cdot \text{s}$ on yksikötön, joten argumentti on radiaaneja, ja $x$ saadaan senttimetreinä kuten $A$.
Sijoitus
Vastaus
$3{,}8\,\text{cm}$
Tasapainoaseman yläpuolella, kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $4{,}0\,\text{cm}$ ja taajuudessa $0{,}50\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Jaksonaika on $T = \tfrac{1}{f} = 2{,}0\,\text{s}$, joten kansi on ylimmässä asemassa hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}50\,\text{s}$. Hetki $0{,}40\,\text{s}$ on vähän ennen sitä, joten kansi on jo lähellä ylintä asemaa: poikkeama $3{,}8\,\text{cm}$ on vähän alle amplitudin $4{,}0\,\text{cm}$, kuten pitääkin.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Punnuksen poikkeama on $x = 3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi t}{0{,}50\,\text{s}}\right)$. Mikä on värähtelyn amplitudi, jaksonaika ja taajuus?
Vastaus
Mallia $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$ verrataan lausekkeeseen: amplitudi on $A = 3{,}0\,\text{cm}$ ja jaksonaika $T = 0{,}50\,\text{s}$. Taajuus on
$f$$= \dfrac{1}{T}$$= \dfrac{1}{0{,}50\,\text{s}}$$= 2{,}0\,\text{Hz}$ - Tasaisesti pyörivän karusellin reunalla seisovan lapsen liike on jaksollista. Miksi se ei ole värähtelyliikettä?
Vastaus
Liike on jaksollista, koska se toistuu samanlaisena jokaisella kierroksella. Värähtelyliikkeessä kappale liikkuu edestakaisin tasapainoaseman molemmin puolin, mutta karusellin lapsi kiertää ympyrää samaan suuntaan eikä liiku edestakaisin minkään aseman ympärillä.
1. Käsite
2. Taajuus kuvaajasta
Kuvaaja esittää heilurin punnuksen vaakasuoraa poikkeamaa ajan funktiona sinimallin mukaan. Mikä on heilurin taajuus? Vastaa hertseinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Etsi kuvaajasta kohdat, joissa käyrä ohittaa tasapainoaseman ylöspäin. Kuinka monta täyttä värähdystä kuvaajassa on?
Vihje 2: mikä yhteys
Lue usean täyden värähdyksen kesto ja jaa värähdysten määrällä: $T = \tfrac{t_n}{n}$. Sen jälkeen $f = \tfrac{1}{T}$.
Vihje 3: välivaihe
Käyrä nousee tasapainoaseman läpi hetkinä $0$, $1{,}8\,\text{s}$, $3{,}6\,\text{s}$ ja $5{,}4\,\text{s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajasta heilurin poikkeama $x$ ajan funktiona välillä $0$–$5{,}4\,\text{s}$
Kysytty
heilurin taajuus $f$ hertseinä
Periaate
Jaksonaika on yhden täyden värähdyksen kesto. Se luetaan tarkimmin usean värähdyksen kestosta ja jaetaan niiden määrällä, ja taajuus on jaksonajan käänteisluku.
Kuvaajan lukeminen
Käyrä lähtee nollasta ylöspäin ja ohittaa tasapainoaseman ylöspäin seuraavan kerran hetkinä $1{,}8\,\text{s}$, $3{,}6\,\text{s}$ ja $5{,}4\,\text{s}$. Kuvaajassa on siis $n = 3$ täyttä värähdystä ajassa $t_n = 5{,}4\,\text{s}$. Välissä olevat ohitukset hetkinä $0{,}9\,\text{s}$, $2{,}7\,\text{s}$ ja $4{,}5\,\text{s}$ tapahtuvat alaspäin.
Kaava
$T = \dfrac{t_n}{n}$ ja $f = \dfrac{1}{T}$, josta
$$f = \frac{n}{t_n}$$
Muunnokset
Ei tarvita: aika on sekunteina, joten taajuus saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}} = \text{Hz}$.
Sijoitus
Vastaus
$0{,}56\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luettu aika $5{,}4\,\text{s}$.
Järkevyys
Yksi värähdys kestää $1{,}8\,\text{s}$, joten sekunnissa ehditään vähän yli puoli värähdystä, mikä sopii tulokseen $0{,}56\,\text{Hz}$. Noin $0{,}8\,\text{m}$:n mittainen heiluri heilahtaa tällä tahdilla, joten tulos on uskottava.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Tulkitse sovitus
Liiketunnistin mittaa etäisyyden jousen varassa värähtelevään punnukseen. Oletetaan, että Graphical Analysis Pron sinisovitus $y = A \sin(Bt + C) + D$ antaa arvot $A = 0{,}052\,\text{m}$, $B = 7{,}85\,\tfrac{1}{\text{s}}$, $C = 0{,}01$ ja $D = 0{,}430\,\text{m}$.
Mitä kukin luku kertoo punnuksen liikkeestä, ja mikä on värähtelyn jaksonaika ja taajuus?
Mallivastaus
Amplitudi $A = 0{,}052\,\text{m} = 5{,}2\,\text{cm}$ on punnuksen suurin poikkeama tasapainoasemasta. Vakio $D = 0{,}430\,\text{m}$ on etäisyys tunnistimesta tasapainoasemaan, joten punnus liikkuu etäisyyksien $0{,}378\,\text{m}$ ja $0{,}482\,\text{m}$ välillä. Vakiosta $B = \tfrac{2\pi}{T}$ saadaan jaksonaika $T = \tfrac{2\pi}{7{,}85\,\tfrac{1}{\text{s}}} = 0{,}800\,\text{s}$ ja taajuus $f = \tfrac{1}{T} = 1{,}25\,\text{Hz}$. Vakio $C \approx 0$ kertoo vaiheen: hetkellä $t = 0$ punnus oli tasapainoasemassa ja liikkui positiiviseen suuntaan eli poispäin tunnistimesta, koska etäisyys alkoi kasvaa.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Jaksollinen liike
- Liike, jossa sama liiketila toistuu säännöllisin aikavälein.
- Värähtelijä
- Kappale tai systeemi, joka tekee värähdysliikettä.
- Amplitudi
- Värähtelijän suurin poikkeama tasapainoasemasta.
- Jaksonaika
- Yhteen kokonaiseen värähdykseen kuluva aika.$$T = \dfrac{1}{f}$$
- Taajuus
- Kokonaisten värähdysten lukumäärä aikayksikössä.$$f = \dfrac{1}{T}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 7-1Ydintehtävä
Jousen varassa värähtelevän punnuksen jaksonaika on $0{,}40\,\text{s}$. Mikä on värähtelyn taajuus?
Vastaus
$2{,}5\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jaksonaika $T = 0{,}40\,\text{s}$
Kysytty
värähtelyn taajuus $f$ yksikössä $\text{Hz}$
Periaate
Taajuus on täysien värähdysten määrä aikayksikössä. Kun yksi värähdys kestää ajan $T$, sekunnissa ehditään tehdä $\tfrac{1}{T}$ värähdystä, joten taajuus on jaksonajan käänteisluku.
Kaava
$f = \dfrac{1}{T}$
Muunnokset
Ei tarvita: jaksonaika on sekunteina, joten taajuus saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}} = \text{Hz}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{1}{0{,}40\,\text{s}}$$= 2{,}5\,\text{Hz}$Vastaus
$2{,}5\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $0{,}40\,\text{s}$.
Järkevyys
Tarkistus toiseen suuntaan: $2{,}5$ värähdystä sekunnissa tarkoittaa, että yksi värähdys kestää $\tfrac{1\,\text{s}}{2{,}5} = 0{,}40\,\text{s}$, kuten tehtävässä. Jousen varassa pomppiva punnus tekee usein muutaman värähdyksen sekunnissa, joten suuruusluokka sopii.
- Tehtävä 7-2Ydintehtävä
Kitaran kieli värähtelee taajuudella $196\,\text{Hz}$. Mikä on kielen värähtelyn jaksonaika? Anna vastaus millisekunteina.
Vastaus
$5{,}10\,\text{ms}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 196\,\text{Hz}$
Kysytty
jaksonaika $T$ millisekunteina
Periaate
Jaksonaika on yhden värähdyksen kesto, ja taajuus on värähdysten määrä sekunnissa. Ne ovat toistensa käänteislukuja, joten jaksonaika saadaan ratkaisemalla se taajuuden kaavasta.
Kaava
$f = \dfrac{1}{T}$, josta $T = \dfrac{1}{f}$
Muunnokset
$1\,\text{Hz} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$, joten jaksonaika saadaan sekunteina; lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{1}{196\,\tfrac{1}{\text{s}}}$$= 0{,}005102\,\text{s}$$= 0{,}005102 \cdot 1000\,\text{ms}$$= 5{,}102\,\text{ms}$Vastaus
$5{,}10\,\text{ms}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $196\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Arvio pyöreillä luvuilla: taajuudella $200\,\text{Hz}$ jaksonaika olisi $\tfrac{1}{200}\,\text{s} = 5\,\text{ms}$. Taajuus on vähän pienempi, joten jaksonaika on vähän pidempi, kuten $5{,}10\,\text{ms}$. Kielen värähtely on niin nopeaa, ettei sitä erota silmällä, mikä sopii millisekuntien luokkaan.
- Tehtävä 7-3
Kuvaaja esittää jousen varassa värähtelevän punnuksen poikkeamaa ajan funktiona. Mikä on värähtelyn amplitudi?
Vastaus
$2{,}5\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaaja punnuksen poikkeamasta $x$ ajan $t$ funktiona välillä $0$–$3{,}0\,\text{s}$
Kysytty
värähtelyn amplitudi $A$ senttimetreinä
Periaate
Amplitudi on suurin poikkeama tasapainoasemasta. Tasapainoasemassa $x = 0$, joten amplitudi luetaan katkoviivan $x = 0$ tasolta käyrän huipun tasolle, ei huipusta pohjaan.
Kuvaajan lukeminen
Käyrän huiput osuvat pystyakselin kohtaan $2$ ja $3$ välissä olevalle apuviivalle eli arvoon $x = 2{,}5\,\text{cm}$, ja pohjat vastaavasti arvoon $x = -2{,}5\,\text{cm}$. Huippu on siis $2{,}5\,\text{cm}$ tasapainoaseman yläpuolella.
Kaava
$A = x_\text{huippu} - 0$, eli $A = x_\text{huippu}$
Muunnokset
Ei tarvita: pystyakselin arvot ovat senttimetreinä.
Sijoitus
$A$$= 2{,}5\,\text{cm} - 0\,\text{cm}$$= 2{,}5\,\text{cm}$Vastaus
$2{,}5\,\text{cm}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska arvo luetaan puolen senttimetrin apuviivalta.
Järkevyys
Toinen reitti: huipun ja pohjan välinen etäisyys on $2{,}5\,\text{cm} - (-2{,}5\,\text{cm}) = 5{,}0\,\text{cm}$, ja amplitudi on puolet siitä, $2{,}5\,\text{cm}$. Arvo $5{,}0\,\text{cm}$ olisi ääriasemien väli $2A$.
- Tehtävä 7-4
Heilurikellon heiluri tekee $20$ täyttä heilahdusta $36\,\text{s}$:ssa. Mikä on heilurin jaksonaika?
Vastaus
$1{,}8\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
täysiä heilahduksia $n = 20$, niiden kesto $t_n = 36\,\text{s}$
Kysytty
heilurin jaksonaika $T$ sekunteina
Periaate
Jaksonaika on yhden täyden heilahduksen kesto. Kun heilahdukset ovat keskenään samanlaisia, yksi kestää $\tfrac{1}{n}$ osan kaikkien kestosta. Usean heilahduksen ajasta laskettu jaksonaika on tarkempi kuin yhden heilahduksen mittaus.
Kaava
$T = \dfrac{t_n}{n}$
Muunnokset
Ei tarvita: aika on sekunteina, ja heilahdusten määrä on yksikötön luku.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{36\,\text{s}}{20}$$= 1{,}8\,\text{s}$Vastaus
$1{,}8\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $36\,\text{s}$; heilahdusten määrä $20$ on laskettu tarkasti.
Järkevyys
Tarkistus kertomalla: $20 \cdot 1{,}8\,\text{s} = 36\,\text{s}$. Taajuus on $\tfrac{1}{1{,}8\,\text{s}} \approx 0{,}56\,\text{Hz}$, eli heiluri tekee hieman yli puoli heilahdusta sekunnissa, mikä sopii lattialla seisovan heilurikellon pitkään heiluriin.
- Tehtävä 7-5
Punnus värähtelee jousen varassa, ja värähtelyn amplitudi on $4{,}0\,\text{cm}$. Kuinka pitkän matkan punnus kulkee yhden jaksonajan aikana?
Vastaus
$16\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
amplitudi $A = 4{,}0\,\text{cm}$
Kysytty
yhden jaksonajan aikana kuljettu matka $s$ senttimetreinä
Periaate
Yhden täyden värähdyksen aikana punnus lähtee tasapainoasemasta, nousee ylimpään asemaan (matka $A$), laskee alimpaan asemaan (matka $2A$) ja palaa tasapainoasemaan (matka $A$). Kuljettu matka on näiden summa, vaikka punnus päätyy samaan paikkaan, josta se lähti.
Kaava
$s = A + 2A + A$, eli $s = 4A$
Muunnokset
Ei tarvita: amplitudi on senttimetreinä, ja vastaus pyydetään senttimetreinä.
Sijoitus
$s$$= 4 \cdot 4{,}0\,\text{cm}$$= 16\,\text{cm}$Vastaus
$16\,\text{cm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $4{,}0\,\text{cm}$.
Järkevyys
Ääriasemien väli on $2A = 8{,}0\,\text{cm}$, ja jakson aikana punnus kulkee sen kahdesti, ylös ja alas: $2 \cdot 8{,}0\,\text{cm} = 16\,\text{cm}$. Punnuksen siirtymä jakson aikana on kuitenkin nolla, koska se palaa lähtöpaikkaansa.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 7-6Ydintehtävä
Ilmatyynyradalla oleva vaunu on kiinnitetty kahden jousen väliin ja värähtelee radan suunnassa. Kuvaaja esittää vaunun poikkeamaa tasapainoasemasta ajan funktiona sinimallin mukaan.
Mikä on vaunun poikkeama tasapainoasemasta hetkellä $0{,}10\,\text{s}$?
Vastaus
$2{,}9\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaaja vaunun poikkeamasta $x$ ajan $t$ funktiona sinimallin mukaan, aika $t = 0{,}10\,\text{s}$
Kysytty
vaunun poikkeama $x$ tasapainoasemasta senttimetreinä hetkellä $t$
Periaate
Kuvaaja on sinikäyrä, joka lähtee tasapainoasemasta ylöspäin, joten poikkeamaa kuvaa malli $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$. Mallin kertoimet $A$ ja $T$ luetaan kuvaajasta, ja sen jälkeen poikkeama lasketaan haluttuna hetkenä.
Kuvaajan lukeminen
Huiput osuvat apuviivalle $x = 3{,}0\,\text{cm}$, joten $A = 3{,}0\,\text{cm}$. Käyrä ohittaa tasapainoaseman ylöspäin hetkinä $0$, $0{,}50\,\text{s}$ ja $1{,}0\,\text{s}$, joten yksi värähdys kestää $T = 0{,}50\,\text{s}$. Kuvaajasta ei voi lukea arvoa hetkellä $0{,}10\,\text{s}$ tarkasti, koska siinä ei ole apuviivaa, joten se lasketaan.
Kaava
$x$$= A \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$Muunnokset
Ei tarvita: aika on sekunteina ja amplitudi senttimetreinä. Laskin asetetaan radiaanitilaan.
Sijoitus
$x$$= 3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi \cdot 0{,}10\,\text{s}}{0{,}50\,\text{s}}\right)$$= 3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin 1{,}257$$= 3{,}0\,\text{cm} \cdot 0{,}951$$= 2{,}85\,\text{cm}$Vastaus
$2{,}9\,\text{cm}$
Tasapainoaseman positiivisella puolella, kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetuissa arvoissa $3{,}0\,\text{cm}$ ja $0{,}50\,\text{s}$.
Järkevyys
Vaunu on ääriasemassa hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}125\,\text{s}$, joten hetkellä $0{,}10\,\text{s}$ se on juuri ennen huippua ja poikkeaman pitää olla vähän alle amplitudin $3{,}0\,\text{cm}$, kuten $2{,}9\,\text{cm}$. Toinen reitti: $0{,}10\,\text{s}$ on $\tfrac{0{,}10}{0{,}50} = 0{,}20$ jaksonajasta eli $72^\circ$, ja $3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin 72^\circ = 2{,}85\,\text{cm}$.
- Tehtävä 7-7Ydintehtävä
Graphical Analysis Pron sinisovitus $y = A \sin(Bt + C) + D$ antoi värähtelevän punnuksen mittaukselle kertoimen $B = 12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Mikä on värähtelyn taajuus?
Vastaus
$2{,}01\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
sinisovituksen kerroin $B = 12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Kysytty
värähtelyn taajuus $f$ hertseinä
Periaate
Sovitusmallissa $y = A \sin(Bt + C) + D$ kerroin $B$ vastaa sinimallin lauseketta $\tfrac{2\pi}{T}$, koska yhden jaksonajan aikana sinin argumentti kasvaa $2\pi$:n verran. Jaksonajasta saadaan taajuus käänteislukuna.
Kaava
$B = \dfrac{2\pi}{T}$, josta $T = \dfrac{2\pi}{B}$, ja $f = \dfrac{1}{T}$, joten $f = \dfrac{B}{2\pi}$
Muunnokset
Ei tarvita: kerroin $B$ on yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$, joten taajuus saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}} = \text{Hz}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}}{2\pi}$$= \dfrac{12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}}{6{,}283}$$= 2{,}005\,\text{Hz}$Vastaus
$2{,}01\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kertoimessa $12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
Järkevyys
Arvio: $2\pi \approx 6{,}3$, ja $12{,}6$ on kaksi kertaa $6{,}3$, joten taajuuden pitää olla noin $2\,\text{Hz}$. Jaksonaika on silloin noin $0{,}50\,\text{s}$, mikä on tavallinen jousen varassa värähtelevälle punnukselle.
- Tehtävä 7-8
Ompelukoneen neula liikkuu ylös ja alas $900$ kertaa minuutissa. Mikä on neulan liikkeen jaksonaika? Anna vastaus millisekunteina.
Vastaus
$67\,\text{ms}$
Näytä ratkaisu
Annettu
neula liikkuu ylös ja alas $900$ kertaa minuutissa
Kysytty
neulan liikkeen jaksonaika $T$ millisekunteina
Periaate
Yksi ylös–alas-liike on yksi täysi värähdys, joten liikkeiden määrä aikayksikössä on taajuus. Jaksonaika on taajuuden käänteisluku. Taajuus muunnetaan ensin värähdyksiksi sekunnissa.
Kaava
$f = \dfrac{1}{T}$, josta $T = \dfrac{1}{f}$
Muunnokset
$f$$= 900\,\tfrac{1}{\text{min}}$$= \dfrac{900}{60\,\text{s}}$$= 15\,\text{Hz}$lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{1}{15\,\tfrac{1}{\text{s}}}$$= 0{,}06667\,\text{s}$$= 0{,}06667 \cdot 1000\,\text{ms}$$= 66{,}67\,\text{ms}$Vastaus
$67\,\text{ms}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska tahti $900$ kertaa minuutissa on ilmoitettu pyöreänä lukuna.
Järkevyys
Toinen reitti: minuutissa on $60\,000\,\text{ms}$, ja se jakautuu $900$ liikkeelle, joten yksi kestää $\tfrac{60\,000\,\text{ms}}{900} \approx 67\,\text{ms}$. Neula liikkuu siis noin $15$ kertaa sekunnissa, mikä sopii ompelukoneen nopeaan surinaan.
- Tehtävä 7-9
Liiketunnistin mittaa etäisyyden jousen varassa värähtelevään punnukseen. Pienin mitattu etäisyys on $32{,}0\,\text{cm}$ ja suurin $47{,}0\,\text{cm}$. Mikä on värähtelyn amplitudi?
Vastaus
$7{,}50\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pienin etäisyys tunnistimesta $d_\text{min} = 32{,}0\,\text{cm}$, suurin $d_\text{max} = 47{,}0\,\text{cm}$
Kysytty
värähtelyn amplitudi $A$ senttimetreinä
Periaate
Pienin ja suurin etäisyys ovat punnuksen ääriasemat. Niiden välinen etäisyys on kaksi kertaa amplitudi, koska tasapainoasema on ääriasemien puolivälissä ja amplitudi mitataan tasapainoasemasta ääriasemaan.
Kaava
$d_\text{max} - d_\text{min} = 2A$, josta
$A$$= \dfrac{d_\text{max} - d_\text{min}}{2}$Muunnokset
Ei tarvita: kumpikin etäisyys on senttimetreinä.
Sijoitus
$A$$= \dfrac{47{,}0\,\text{cm} - 32{,}0\,\text{cm}}{2}$$= \dfrac{15{,}0\,\text{cm}}{2}$$= 7{,}50\,\text{cm}$Vastaus
$7{,}50\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyyksien erotuksessa $15{,}0\,\text{cm}$.
Järkevyys
Tasapainoasema on etäisyydellä $\tfrac{32{,}0\,\text{cm} + 47{,}0\,\text{cm}}{2} = 39{,}5\,\text{cm}$. Siitä on $7{,}50\,\text{cm}$ kumpaankin ääriasemaan: $39{,}5\,\text{cm} - 7{,}50\,\text{cm} = 32{,}0\,\text{cm}$ ja $39{,}5\,\text{cm} + 7{,}50\,\text{cm} = 47{,}0\,\text{cm}$, kuten mitattiin.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 7-10
Punnus värähtelee sinimuotoisesti jaksonajalla $1{,}2\,\text{s}$, ja ajanotto alkaa, kun se ohittaa tasapainoaseman ylöspäin. Kuinka kauan kestää, ennen kuin punnus on ensimmäisen kerran puolen amplitudin korkeudella tasapainoaseman yläpuolella?
Vastaus
$0{,}10\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jaksonaika $T = 1{,}2\,\text{s}$, ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta ylöspäin, kysytty korkeus $x = \tfrac{A}{2}$
Kysytty
aika $t$, jonka kuluttua punnus on ensimmäisen kerran korkeudella $\tfrac{A}{2}$
Periaate
Värähtely on sinimuotoista, ja ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta positiiviseen suuntaan, joten $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$. Kun $x = \tfrac{A}{2}$, sinin arvo on $\tfrac{1}{2}$. Ensimmäinen kerta vastaa pienintä positiivista kulmaa, jolla sini on $\tfrac{1}{2}$. Suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kulma on $30^\circ$, vastainen kateetti on puolet hypotenuusasta, joten $\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$, ja koska $180^\circ = \pi$, kulma on $30^\circ = \tfrac{\pi}{6}$. Seuraava kulma $150^\circ$ osuisi vasta laskuvaiheeseen. Amplitudi supistuu, joten sitä ei tarvita.
Kaava
$\dfrac{A}{2}$$= A \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$josta $\dfrac{2\pi t}{T} = \dfrac{\pi}{6}$, joten $t = \dfrac{T}{12}$
Muunnokset
Ei tarvita: jaksonaika on sekunteina, ja kulma on radiaaneina.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{1{,}2\,\text{s}}{12}$$= 0{,}10\,\text{s}$Vastaus
$0{,}10\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $1{,}2\,\text{s}$.
Järkevyys
Punnus on ylimmässä asemassa hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}30\,\text{s}$. Puolet korkeudesta saavutetaan jo kolmasosassa tästä ajasta, koska punnus liikkuu nopeimmin tasapainoaseman kohdalla ja hidastuu ylintä asemaa kohti. Tarkistus:
$1{,}2\,\text{s} \cdot \tfrac{1}{12}$$= 0{,}10\,\text{s}$$\sin\left(\tfrac{2\pi \cdot 0{,}10}{1{,}2}\right)$$= \sin 0{,}524$$= 0{,}500$ - Tehtävä 7-11
Pystysuorassa tasossa pyörivään kiekkoon on kiinnitetty nappi $15\,\text{cm}$:n päähän akselista, ja kiekko pyörii tasaisesti $45$ kierrosta minuutissa.
Kiekkoa valaistaan sivulta kaukaa tulevalla vaakasuoralla, yhdensuuntaisella valolla, joten napin varjo liikkuu viereisellä seinällä ylös ja alas.
Kuinka kaukana varjo on liikkeensä keskikohdasta $0{,}20\,\text{s}$ sen jälkeen, kun se ohitti keskikohdan ylöspäin?
Vastaus
$12\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
napin etäisyys akselista $r = 15\,\text{cm}$, pyörimistaajuus $45\,\tfrac{1}{\text{min}}$, aika keskikohdan ohituksesta $t = 0{,}20\,\text{s}$
Kysytty
varjon etäisyys $x$ liikkeen keskikohdasta senttimetreinä
Periaate
Nappi on tasaisessa ympyräliikkeessä, ja vaakasuora valo heittää seinälle sen korkeuden akselin tasosta. Ympyräliikkeen pisteen korkeus värähtelee sinimuotoisesti: amplitudi on ympyrän säde ja taajuus on pyörimistaajuus. Valo tulee kaukaa ja on yhdensuuntaista, joten varjo on yhtä suuri kuin napin korkeus akselin tasosta. Aika lasketaan keskikohdan ohituksesta ylöspäin, joten käytetään sinimallia.
Kaava
$x = A \sin(2\pi f t)$, missä $A = r$, eli $x = r \sin(2\pi f t)$
Muunnokset
$f$$= 45\,\tfrac{1}{\text{min}}$$= \dfrac{45}{60\,\text{s}}$$= 0{,}75\,\text{Hz}$Sijoitus
$x$$= 15\,\text{cm} \cdot \sin(2\pi \cdot 0{,}75\,\text{Hz} \cdot 0{,}20\,\text{s})$$= 15\,\text{cm} \cdot \sin 0{,}9425$$= 15\,\text{cm} \cdot 0{,}8090$$= 12{,}14\,\text{cm}$Vastaus
$12\,\text{cm}$
Keskikohdan yläpuolella, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $15\,\text{cm}$ ja tahdissa $45\,\tfrac{1}{\text{min}}$.
Järkevyys
Jaksonaika on $\tfrac{1}{0{,}75\,\text{Hz}} = 1{,}33\,\text{s}$, joten varjo on ylimmillään hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}33\,\text{s}$. Hetkellä $0{,}20\,\text{s}$ se on vielä nousemassa, joten poikkeaman pitää olla vähän alle $15\,\text{cm}$, kuten $12\,\text{cm}$. Kiekko on kiertänyt $0{,}15$ kierrosta eli $54^\circ$, ja $\sin 54^\circ = 0{,}81$.
- Tehtävä 7-12
Kaksi punnusta värähtelee vierekkäin eri jousissa. Ensimmäisen jaksonaika on $0{,}60\,\text{s}$ ja toisen $0{,}90\,\text{s}$. Molemmat ohittavat tasapainoaseman ylöspäin samalla hetkellä.
Kuinka pian ne seuraavan kerran ohittavat tasapainoaseman ylöspäin yhtä aikaa? Värähtely ei vaimene.
Vastaus
$1{,}8\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jaksonajat $T_1 = 0{,}60\,\text{s}$ ja $T_2 = 0{,}90\,\text{s}$, molemmat ohittavat tasapainoaseman ylöspäin hetkellä $0$
Kysytty
lyhin aika $t$, jonka kuluttua ne ohittavat tasapainoaseman ylöspäin taas yhtä aikaa
Periaate
Ensimmäinen punnus ohittaa tasapainoaseman ylöspäin aina täyden jaksonajan välein, hetkinä $0{,}60\,\text{s}$, $1{,}20\,\text{s}$, $1{,}80\,\text{s}$, … ja toinen hetkinä $0{,}90\,\text{s}$, $1{,}80\,\text{s}$, … Etsitään lyhin aika, joka on kummankin jaksonajan kokonainen monikerta: kokonaisluvut $k$ ja $m$, joilla $k T_1 = m T_2$.
Kaava
$k T_1 = m T_2$, josta $\dfrac{k}{m} = \dfrac{T_2}{T_1}$, ja $t = k T_1$ pienimmällä kokonaisluvulla $k$
Muunnokset
Ei tarvita: kumpikin jaksonaika on sekunteina.
Sijoitus
$\dfrac{k}{m}$$= \dfrac{0{,}90\,\text{s}}{0{,}60\,\text{s}}$$= 1{,}5$$= \dfrac{3}{2}$joten
$k$$= 3$$t$$= 3 \cdot 0{,}60\,\text{s}$$= 1{,}80\,\text{s}$Vastaus
$1{,}8\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajoissa $0{,}60\,\text{s}$ ja $0{,}90\,\text{s}$.
Järkevyys
Ajassa $1{,}8\,\text{s}$ ensimmäinen tekee $\tfrac{1{,}8}{0{,}60} = 3$ ja toinen $\tfrac{1{,}8}{0{,}90} = 2$ täyttä värähdystä, joten molemmat ovat taas lähtötilassa. Aiemmin se ei onnistu: hetkellä $0{,}90\,\text{s}$ ensimmäinen on tehnyt vasta puolitoista värähdystä ja ohittaa tasapainoaseman alaspäin.
.jpg){kind=link}