Värähtelyn suureet: jaksonaika, taajuus ja amplitudi

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-1Ydintehtävä

   Jousen varassa värähtelevän punnuksen jaksonaika on $0{,}40\,\text{s}$. Mikä on värähtelyn taajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jaksonaika $T = 0{,}40\,\text{s}$

   Kysytty

   värähtelyn taajuus $f$ yksikössä $\text{Hz}$

   Periaate

   Taajuus kertoo, montako täyttä värähdystä ehtii tapahtua aikayksikössä. Yksi värähdys kestää ajan $T$, joten sekunnissa ehtii $\tfrac{1}{T}$ värähdystä. Taajuus on siis jaksonajan käänteisluku.

   Kaava

   $f = \dfrac{1}{T}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Jaksonaika on sekunteina, joten taajuus saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}} = \text{Hz}$.

   Sijoitus

   $f$$= \dfrac{1}{0{,}40\,\text{s}}$

   $= 2{,}5\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{Hz}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $0{,}40\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus toiseen suuntaan: $2{,}5$ värähdystä sekunnissa tarkoittaa, että yksi värähdys kestää $\tfrac{1\,\text{s}}{2{,}5} = 0{,}40\,\text{s}$, kuten tehtävässä. Jousen varassa pomppiva punnus tekee usein muutaman värähdyksen sekunnissa. Suuruusluokka sopii siis.

2. Tehtävä 7-2Ydintehtävä

   Kitaran kieli värähtelee taajuudella $196\,\text{Hz}$. Mikä on kielen värähtelyn jaksonaika? Anna vastaus millisekunteina.

   msTarkista
   Vastaus

   $5{,}10\,\text{ms}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taajuus $f = 196\,\text{Hz}$

   Kysytty

   jaksonaika $T$ millisekunteina

   Periaate

   Jaksonaika on yhden värähdyksen kesto. Taajuus on värähdysten määrä sekunnissa. Ne ovat toistensa käänteislukuja, joten jaksonaika ratkaistaan taajuuden kaavasta.

   Kaava

   $f = \dfrac{1}{T}$, josta $T = \dfrac{1}{f}$

   Muunnokset

   $1\,\text{Hz} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$, joten jaksonaika saadaan sekunteina; lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{1}{196\,\tfrac{1}{\text{s}}}$

   $= 0{,}005102\,\text{s}$

   $= 0{,}005102 \cdot 1000\,\text{ms}$

   $= 5{,}102\,\text{ms}$

   Vastaus

   $5{,}10\,\text{ms}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $196\,\text{Hz}$.

   Järkevyys

   Arvio pyöreillä luvuilla: taajuudella $200\,\text{Hz}$ jaksonaika olisi $\tfrac{1}{200}\,\text{s} = 5\,\text{ms}$. Taajuus on vähän pienempi, joten jaksonaika on vähän pidempi, kuten $5{,}10\,\text{ms}$. Kielen värähtely on niin nopeaa, ettei silmä erota sitä. Se sopii millisekuntien luokkaan.

3. Tehtävä 7-3

   Kuvaaja esittää jousen varassa värähtelevän punnuksen poikkeamaa ajan funktiona. Mikä on värähtelyn amplitudi?

   cmTarkista
   Vastaus

   $2{,}5\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaaja punnuksen poikkeamasta $x$ ajan $t$ funktiona välillä $0$–$3{,}0\,\text{s}$

   Kysytty

   värähtelyn amplitudi $A$ senttimetreinä

   Periaate

   Amplitudi on suurin poikkeama tasapainoasemasta. Tasapainoasemassa $x = 0$. Siksi amplitudi luetaan katkoviivan $x = 0$ tasolta käyrän huipun tasolle. Sitä ei lueta huipusta pohjaan.

   Kuvaajan lukeminen

   Käyrän huiput osuvat pystyakselin kohtaan $2$ ja $3$ välissä olevalle apuviivalle eli arvoon $x = 2{,}5\,\text{cm}$, ja pohjat vastaavasti arvoon $x = -2{,}5\,\text{cm}$. Huippu on siis $2{,}5\,\text{cm}$ tasapainoaseman yläpuolella.

   Kaava

   $A = x_\text{huippu} - 0$, eli $A = x_\text{huippu}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Pystyakselin arvot ovat senttimetreinä.

   Sijoitus

   $A$$= 2{,}5\,\text{cm} - 0\,\text{cm}$

   $= 2{,}5\,\text{cm}$

   Vastaus

   $2{,}5\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska arvo luetaan puolen senttimetrin apuviivalta.

   Järkevyys

   Toinen reitti: huipun ja pohjan välinen etäisyys on $2{,}5\,\text{cm} - (-2{,}5\,\text{cm}) = 5{,}0\,\text{cm}$, ja amplitudi on puolet siitä, $2{,}5\,\text{cm}$. Arvo $5{,}0\,\text{cm}$ olisi ääriasemien väli $2A$.

4. Tehtävä 7-4

   Heilurikellon heiluri tekee $20$ täyttä heilahdusta $36\,\text{s}$:ssa. Mikä on heilurin jaksonaika?

   sTarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   täysiä heilahduksia $n = 20$, niiden kesto $t_n = 36\,\text{s}$

   Kysytty

   heilurin jaksonaika $T$ sekunteina

   Periaate

   Jaksonaika on yhden täyden heilahduksen kesto. Heilahdukset ovat keskenään samanlaisia, joten yksi kestää $\tfrac{1}{n}$ osan kaikkien kestosta. Usean heilahduksen ajasta laskettu jaksonaika on tarkempi kuin yhden heilahduksen mittaus.

   Kaava

   $T = \dfrac{t_n}{n}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Aika on sekunteina, ja heilahdusten määrä on yksikötön luku.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{36\,\text{s}}{20}$

   $= 1{,}8\,\text{s}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten ajassa $36\,\text{s}$; heilahdusten määrä $20$ on laskettu tarkasti.

   Järkevyys

   Tarkistus kertomalla: $20 \cdot 1{,}8\,\text{s} = 36\,\text{s}$. Taajuus on $\tfrac{1}{1{,}8\,\text{s}} \approx 0{,}56\,\text{Hz}$, eli heiluri tekee hieman yli puoli heilahdusta sekunnissa, mikä sopii lattialla seisovan heilurikellon pitkään heiluriin.

5. Tehtävä 7-5

   Punnus värähtelee jousen varassa, ja värähtelyn amplitudi on $4{,}0\,\text{cm}$. Kuinka pitkän matkan punnus kulkee yhden jaksonajan aikana?

   cmTarkista
   Vastaus

   $16\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   amplitudi $A = 4{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   yhden jaksonajan aikana kuljettu matka $s$ senttimetreinä

   Periaate

   Yhden täyden värähdyksen aikana punnus lähtee tasapainoasemasta ja nousee ylimpään asemaan (matka $A$). Sitten se laskee alimpaan asemaan (matka $2A$) ja palaa tasapainoasemaan (matka $A$). Kuljettu matka on näiden summa. Punnus päätyy samaan paikkaan, josta se lähti, mutta matka on silti kertynyt.

   Kaava

   $s = A + 2A + A$, eli $s = 4A$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Amplitudi on senttimetreinä, ja vastaus pyydetään senttimetreinä.

   Sijoitus

   $s$$= 4 \cdot 4{,}0\,\text{cm}$

   $= 16\,\text{cm}$

   Vastaus

   $16\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $4{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Ääriasemien väli on $2A = 8{,}0\,\text{cm}$. Jakson aikana punnus kulkee sen kahdesti, ylös ja alas: $2 \cdot 8{,}0\,\text{cm} = 16\,\text{cm}$. Punnuksen siirtymä jakson aikana on kuitenkin nolla, koska se palaa lähtöpaikkaansa.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 7-6Ydintehtävä

   Ilmatyynyradalla oleva vaunu on kiinnitetty kahden jousen väliin, ja se värähtelee radan suunnassa. Kuvaaja esittää vaunun poikkeamaa tasapainoasemasta ajan funktiona sinimallin mukaan.

   Mikä on vaunun poikkeama tasapainoasemasta hetkellä $0{,}10\,\text{s}$?

   cmTarkista
   Vastaus

   $2{,}9\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaaja vaunun poikkeamasta $x$ ajan $t$ funktiona sinimallin mukaan, aika $t = 0{,}10\,\text{s}$

   Kysytty

   vaunun poikkeama $x$ tasapainoasemasta senttimetreinä hetkellä $t$

   Periaate

   Kuvaaja on sinikäyrä, joka lähtee tasapainoasemasta ylöspäin. Poikkeamaa kuvaa siis malli $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$. Ensin luetaan mallin kertoimet $A$ ja $T$ kuvaajasta. Sitten lasketaan poikkeama halutulla hetkellä.

   Kuvaajan lukeminen

   Huiput osuvat apuviivalle $x = 3{,}0\,\text{cm}$, joten $A = 3{,}0\,\text{cm}$. Käyrä ohittaa tasapainoaseman ylöspäin hetkinä $0$, $0{,}50\,\text{s}$ ja $1{,}0\,\text{s}$, joten yksi värähdys kestää $T = 0{,}50\,\text{s}$. Arvoa hetkellä $0{,}10\,\text{s}$ ei voi lukea kuvaajasta tarkasti, koska kohdassa ei ole apuviivaa. Siksi se lasketaan.

   Kaava

   $x$$= A \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Aika on sekunteina ja amplitudi senttimetreinä. Aseta laskin radiaanitilaan.

   Sijoitus

   $x$$= 3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{2\pi \cdot 0{,}10\,\text{s}}{0{,}50\,\text{s}}\right)$

   $= 3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin 1{,}257$

   $= 3{,}0\,\text{cm} \cdot 0{,}951$

   $= 2{,}85\,\text{cm}$

   Vastaus

   $2{,}9\,\text{cm}$

   Tasapainoaseman positiivisella puolella, kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetuissa arvoissa $3{,}0\,\text{cm}$ ja $0{,}50\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Vaunu on ääriasemassa hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}125\,\text{s}$. Hetkellä $0{,}10\,\text{s}$ se on juuri ennen huippua. Poikkeaman pitää siis olla vähän alle amplitudin $3{,}0\,\text{cm}$, kuten $2{,}9\,\text{cm}$. Toinen reitti: $0{,}10\,\text{s}$ on $\tfrac{0{,}10}{0{,}50} = 0{,}20$ jaksonajasta eli $72^\circ$, ja $3{,}0\,\text{cm} \cdot \sin 72^\circ = 2{,}85\,\text{cm}$.

2. Tehtävä 7-7Ydintehtävä

   Graphical Analysis Pron sinisovitus $y = A \sin(Bt + C) + D$ antoi värähtelevän punnuksen mittaukselle kertoimen $B = 12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Mikä on värähtelyn taajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $2{,}01\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sinisovituksen kerroin $B = 12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Kysytty

   värähtelyn taajuus $f$ hertseinä

   Periaate

   Sovitusmallissa $y = A \sin(Bt + C) + D$ kerroin $B$ vastaa sinimallin lauseketta $\tfrac{2\pi}{T}$. Yhden jaksonajan aikana sinin argumentti kasvaa $2\pi$:n verran. Jaksonajasta saadaan taajuus käänteislukuna.

   Kaava

   $B = \dfrac{2\pi}{T}$, josta $T = \dfrac{2\pi}{B}$, ja $f = \dfrac{1}{T}$, joten $f = \dfrac{B}{2\pi}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kerroin $B$ on yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$, joten taajuus saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}} = \text{Hz}$.

   Sijoitus

   $f$$= \dfrac{12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}}{2\pi}$

   $= \dfrac{12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}}{6{,}283}$

   $= 2{,}005\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $2{,}01\,\text{Hz}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten kertoimessa $12{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}}$.

   Järkevyys

   Arvio: $2\pi \approx 6{,}3$, ja $12{,}6$ on kaksi kertaa $6{,}3$, joten taajuuden pitää olla noin $2\,\text{Hz}$. Jaksonaika on silloin noin $0{,}50\,\text{s}$. Se on tavallinen jousen varassa värähtelevälle punnukselle.

3. Tehtävä 7-8

   Ompelukoneen neula liikkuu ylös ja alas $900$ kertaa minuutissa. Mikä on neulan liikkeen jaksonaika? Anna vastaus millisekunteina.

   msTarkista
   Vastaus

   $67\,\text{ms}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   neula liikkuu ylös ja alas $900$ kertaa minuutissa

   Kysytty

   neulan liikkeen jaksonaika $T$ millisekunteina

   Periaate

   Yksi ylös–alas-liike on yksi täysi värähdys. Liikkeiden määrä aikayksikössä on siis taajuus. Jaksonaika on taajuuden käänteisluku. Muunnetaan ensin taajuus värähdyksiksi sekunnissa.

   Kaava

   $f = \dfrac{1}{T}$, josta $T = \dfrac{1}{f}$

   Muunnokset

   $f$$= 900\,\tfrac{1}{\text{min}}$

   $= \dfrac{900}{60\,\text{s}}$

   $= 15\,\text{Hz}$

   lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{1}{15\,\tfrac{1}{\text{s}}}$

   $= 0{,}06667\,\text{s}$

   $= 0{,}06667 \cdot 1000\,\text{ms}$

   $= 66{,}67\,\text{ms}$

   Vastaus

   $67\,\text{ms}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska tahti $900$ kertaa minuutissa on ilmoitettu pyöreänä lukuna.

   Järkevyys

   Toinen reitti: minuutissa on $60\,000\,\text{ms}$, ja se jakautuu $900$ liikkeelle, joten yksi kestää $\tfrac{60\,000\,\text{ms}}{900} \approx 67\,\text{ms}$. Neula liikkuu siis noin $15$ kertaa sekunnissa. Se sopii ompelukoneen nopeaan surinaan.

4. Tehtävä 7-9

   Liiketunnistin mittaa etäisyyden jousen varassa värähtelevään punnukseen. Pienin mitattu etäisyys on $32{,}0\,\text{cm}$ ja suurin $47{,}0\,\text{cm}$. Mikä on värähtelyn amplitudi?

   cmTarkista
   Vastaus

   $7{,}50\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pienin etäisyys tunnistimesta $d_\text{min} = 32{,}0\,\text{cm}$, suurin $d_\text{max} = 47{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   värähtelyn amplitudi $A$ senttimetreinä

   Periaate

   Pienin ja suurin etäisyys ovat punnuksen ääriasemat. Tasapainoasema on ääriasemien puolivälissä, ja amplitudi mitataan tasapainoasemasta ääriasemaan. Siksi ääriasemien välinen etäisyys on kaksi kertaa amplitudi.

   Kaava

   $d_\text{max} - d_\text{min} = 2A$, josta

   $A$$= \dfrac{d_\text{max} - d_\text{min}}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kumpikin etäisyys on senttimetreinä.

   Sijoitus

   $A$$= \dfrac{47{,}0\,\text{cm} - 32{,}0\,\text{cm}}{2}$

   $= \dfrac{15{,}0\,\text{cm}}{2}$

   $= 7{,}50\,\text{cm}$

   Vastaus

   $7{,}50\,\text{cm}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyyksien erotuksessa $15{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Tasapainoasema on etäisyydellä $\tfrac{32{,}0\,\text{cm} + 47{,}0\,\text{cm}}{2} = 39{,}5\,\text{cm}$. Siitä on $7{,}50\,\text{cm}$ kumpaankin ääriasemaan: $39{,}5\,\text{cm} - 7{,}50\,\text{cm} = 32{,}0\,\text{cm}$ ja $39{,}5\,\text{cm} + 7{,}50\,\text{cm} = 47{,}0\,\text{cm}$, kuten mitattiin.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 7-10

   Punnus värähtelee sinimuotoisesti jaksonajalla $1{,}2\,\text{s}$. Ajanotto alkaa, kun punnus ohittaa tasapainoaseman ylöspäin. Kuinka kauan kestää, ennen kuin punnus on ensimmäisen kerran puolen amplitudin korkeudella tasapainoaseman yläpuolella?

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}10\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jaksonaika $T = 1{,}2\,\text{s}$, ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta ylöspäin, kysytty korkeus $x = \tfrac{A}{2}$

   Kysytty

   aika $t$, jonka kuluttua punnus on ensimmäisen kerran korkeudella $\tfrac{A}{2}$

   Periaate

   Värähtely on sinimuotoista, ja ajanotto alkaa tasapainoaseman ohituksesta positiiviseen suuntaan. Siksi $x = A \sin\left(\tfrac{2\pi t}{T}\right)$. Kun $x = \tfrac{A}{2}$, sinin arvo on $\tfrac{1}{2}$. Ensimmäinen kerta vastaa pienintä positiivista kulmaa, jolla sini on $\tfrac{1}{2}$. Suorakulmaisessa kolmiossa, jonka kulma on $30^\circ$, vastainen kateetti on puolet hypotenuusasta. Siis $\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$. Koska $180^\circ = \pi$, kulma on $30^\circ = \tfrac{\pi}{6}$. Seuraava kulma $150^\circ$ osuisi vasta laskuvaiheeseen. Amplitudi supistuu pois, joten sitä ei tarvita.

   Kaava

   $\dfrac{A}{2}$$= A \sin\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)$

   josta $\dfrac{2\pi t}{T} = \dfrac{\pi}{6}$, joten $t = \dfrac{T}{12}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Jaksonaika on sekunteina, ja kulma on radiaaneina.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{1{,}2\,\text{s}}{12}$

   $= 0{,}10\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}10\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $1{,}2\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Punnus on ylimmässä asemassa hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}30\,\text{s}$. Puolet korkeudesta saavutetaan jo kolmasosassa tästä ajasta. Punnus liikkuu nopeimmin tasapainoaseman kohdalla ja hidastuu ylintä asemaa kohti. Tarkistus:

   $1{,}2\,\text{s} \cdot \tfrac{1}{12}$$= 0{,}10\,\text{s}$

   $\sin\left(\tfrac{2\pi \cdot 0{,}10}{1{,}2}\right)$$= \sin 0{,}524$

   $= 0{,}500$
2. Tehtävä 7-11

   Pystysuorassa tasossa pyörivään kiekkoon on kiinnitetty nappi $15\,\text{cm}$:n päähän akselista. Kiekko pyörii tasaisesti $45$ kierrosta minuutissa.

   Kiekkoa valaistaan sivulta kaukaa tulevalla vaakasuoralla, yhdensuuntaisella valolla. Napin varjo liikkuu siksi viereisellä seinällä ylös ja alas.

   Kuinka kaukana varjo on liikkeensä keskikohdasta $0{,}20\,\text{s}$ sen jälkeen, kun se ohitti keskikohdan ylöspäin?

   cmTarkista
   Vastaus

   $12\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   napin etäisyys akselista $r = 15\,\text{cm}$, pyörimistaajuus $45\,\tfrac{1}{\text{min}}$, aika keskikohdan ohituksesta $t = 0{,}20\,\text{s}$

   Kysytty

   varjon etäisyys $x$ liikkeen keskikohdasta senttimetreinä

   Periaate

   Nappi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Vaakasuora valo heittää seinälle napin korkeuden akselin tasosta. Ympyräliikkeessä olevan pisteen korkeus värähtelee sinimuotoisesti. Amplitudi on ympyrän säde, ja taajuus on pyörimistaajuus. Valo tulee kaukaa ja on yhdensuuntaista, joten varjon etäisyys keskikohdasta on yhtä suuri kuin napin korkeus akselin tasosta. Aika lasketaan keskikohdan ohituksesta ylöspäin, joten käytetään sinimallia.

   Kaava

   $x = A \sin(2\pi f t)$, missä $A = r$, eli $x = r \sin(2\pi f t)$

   Muunnokset

   $f$$= 45\,\tfrac{1}{\text{min}}$

   $= \dfrac{45}{60\,\text{s}}$

   $= 0{,}75\,\text{Hz}$

   Sijoitus

   $x$$= 15\,\text{cm} \cdot \sin(2\pi \cdot 0{,}75\,\text{Hz} \cdot 0{,}20\,\text{s})$

   $= 15\,\text{cm} \cdot \sin 0{,}9425$

   $= 15\,\text{cm} \cdot 0{,}8090$

   $= 12{,}14\,\text{cm}$

   Vastaus

   $12\,\text{cm}$

   Keskikohdan yläpuolella, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $15\,\text{cm}$ ja tahdissa $45\,\tfrac{1}{\text{min}}$.

   Järkevyys

   Jaksonaika on $\tfrac{1}{0{,}75\,\text{Hz}} = 1{,}33\,\text{s}$, joten varjo on ylimmillään hetkellä $\tfrac{T}{4} = 0{,}33\,\text{s}$. Hetkellä $0{,}20\,\text{s}$ se on vielä nousemassa, joten poikkeaman pitää olla vähän alle $15\,\text{cm}$, kuten $12\,\text{cm}$. Kiekko on kiertynyt $0{,}15$ kierrosta eli $54^\circ$, ja $\sin 54^\circ = 0{,}81$.

3. Tehtävä 7-12

   Kaksi punnusta värähtelee vierekkäin eri jousissa. Ensimmäisen jaksonaika on $0{,}60\,\text{s}$ ja toisen $0{,}90\,\text{s}$. Molemmat ohittavat tasapainoaseman ylöspäin samalla hetkellä.

   Kuinka pian ne seuraavan kerran ohittavat tasapainoaseman ylöspäin yhtä aikaa? Värähtely ei vaimene.

   sTarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jaksonajat $T_1 = 0{,}60\,\text{s}$ ja $T_2 = 0{,}90\,\text{s}$, molemmat ohittavat tasapainoaseman ylöspäin hetkellä $0$

   Kysytty

   lyhin aika $t$, jonka kuluttua ne ohittavat tasapainoaseman ylöspäin taas yhtä aikaa

   Periaate

   Ensimmäinen punnus ohittaa tasapainoaseman ylöspäin aina täyden jaksonajan välein. Hetket ovat $0{,}60\,\text{s}$, $1{,}20\,\text{s}$, $1{,}80\,\text{s}$, … Toinen punnus ohittaa sen hetkinä $0{,}90\,\text{s}$, $1{,}80\,\text{s}$, … Etsitään lyhin aika, joka on kummankin jaksonajan kokonainen monikerta. Etsitään siis kokonaisluvut $k$ ja $m$, joilla $k T_1 = m T_2$.

   Kaava

   $k T_1 = m T_2$, josta $\dfrac{k}{m} = \dfrac{T_2}{T_1}$, ja $t = k T_1$ pienimmällä kokonaisluvulla $k$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kumpikin jaksonaika on sekunteina.

   Sijoitus

   $\dfrac{k}{m}$$= \dfrac{0{,}90\,\text{s}}{0{,}60\,\text{s}}$

   $= 1{,}5$

   $= \dfrac{3}{2}$

   joten

   $k$$= 3$

   $t$$= 3 \cdot 0{,}60\,\text{s}$

   $= 1{,}80\,\text{s}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajoissa $0{,}60\,\text{s}$ ja $0{,}90\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Ajassa $1{,}8\,\text{s}$ ensimmäinen tekee $\tfrac{1{,}8}{0{,}60} = 3$ ja toinen $\tfrac{1{,}8}{0{,}90} = 2$ täyttä värähdystä, joten molemmat ovat taas lähtötilassa. Aiemmin se ei onnistu. Hetkellä $0{,}90\,\text{s}$ ensimmäinen on tehnyt vasta puolitoista värähdystä, ja se ohittaa tasapainoaseman alaspäin.