Jousivoima ja jousen energia

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-1Ydintehtävä

   Kuntosalilaitteen kahva on kiinni palautusjousessa, jonka jousivakio on $250\,\text{N/m}$. Kuntoilija vetää kahvaa niin, että jousi venyy $0{,}12\,\text{m}$, ja pitää kahvaa paikallaan. Kuinka suuri on jousen voima kahvaan?

   NTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 250\,\text{N/m}$, venymä $x = 0{,}12\,\text{m}$, kahva levossa

   Kysytty

   jousen voiman suuruus $F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Jousen voima on harmoninen voima. Sen suuruus on suoraan verrannollinen venymään. Se osoittaa kohti tasapainoasemaa eli tässä jousen suuntaan takaisin laitetta kohti. Suuruuteen riittää lausekkeen itseisarvo.

   Kaava

   $F = -kx$, joten voiman suuruus on $|F| = kx$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $|F|$$= 250\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}12\,\text{m}$

   $= 30\,\text{N}$

   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Kohti laitetta, kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $0{,}12\,\text{m}$.

   Järkevyys

   $30\,\text{N}$ vastaa noin $3\,\text{kg}$:n painoa, mikä on kevyt mutta tuntuva vastus kuntolaitteessa. Yksikkö $\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot\text{m} = \text{N}$ on voiman yksikkö.

2. Tehtävä 8-2Ydintehtävä

   Trampoliinin reunan jousi venyy $0{,}050\,\text{m}$, kun sitä venyttää $450\,\text{N}$:n voima. Kuinka suuri on jousen jousivakio?

   N/mTarkista
   Vastaus

   $9000\,\text{N/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   venyttävä voima $F_\text{v} = 450\,\text{N}$, venymä $x = 0{,}050\,\text{m}$

   Kysytty

   jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

   Periaate

   Jousta venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään, kun jousta ei venytetä liikaa. Verrannollisuuskerroin on jousivakio. Se kertoo, montako newtonia tarvitaan yhtä venymämetriä kohti.

   Kaava

   $F_\text{v} = kx$, joten $k = \dfrac{F_\text{v}}{x}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{450\,\text{N}}{0{,}050\,\text{m}}$

   $= 9000\,\text{N/m}$

   Vastaus

   $9000\,\text{N/m}$

   Eli $9{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{N/m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $0{,}050\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Trampoliinin jousen täytyy olla jäykkä. Kun hyppääjä tulee alas, hän venyttää monta jousta yhtä aikaa, ja jokaista jousta venyttää satojen newtonien voima. Yhden senttimetrin venymään tarvitaan $90\,\text{N}$. Se on jäykkä jousi.

3. Tehtävä 8-3

   Kuntoilija venyttää käsijousta, jonka jousivakio on $180\,\text{N/m}$, niin että jousi venyy $0{,}15\,\text{m}$. Kuinka paljon jousen potentiaalienergiaa jouseen varastoituu?

   JTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 180\,\text{N/m}$, venymä $x = 0{,}15\,\text{m}$

   Kysytty

   jousen potentiaalienergia $E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Kun jousta venytetään, venyttävä voima tekee työtä. Työ varastoituu jouseen potentiaalienergiaksi. Voima kasvaa tasaisesti nollasta arvoon $kx$. Siksi energia on $(x, F_\text{v})$-kuvaajan kolmion pinta-ala.

   Kaava

   $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}kx^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 180\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}15\,\text{m})^2$

   $= \tfrac{1}{2}\cdot 180\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}0225\,\text{m}^2$

   $= 2{,}025\,\text{J}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $0{,}15\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Venymän lopussa voima on $180\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}15\,\text{m} = 27\,\text{N}$. Kolmion pinta-ala antaa saman tuloksen:

   $\tfrac{1}{2}\cdot 27\,\text{N}\cdot 0{,}15\,\text{m}$

   $\approx 2{,}0\,\text{J}$

   Energia vastaa noin $2\,\text{kg}$:n kappaleen nostamista $10\,\text{cm}$.

4. Tehtävä 8-4

   Kuvaajassa on jousta venyttävä voima $F_\text{v}$ jousen venymän $x$ funktiona. Lue kuvaajasta suoran kaksi pistettä. Kuinka suuri on jousen jousivakio?

   N/mTarkista
   Vastaus

   $60\,\text{N/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan suora, jousta venyttävä voima $F_\text{v}$ venymän $x$ funktiona

   Kysytty

   jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

   Periaate

   Venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään, $F_\text{v} = kx$, joten kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, ja sen kulmakerroin on jousivakio.

   Kuvaajan lukeminen

   Suora kulkee origon ja ruudukon pisteen $(0{,}20\,\text{m}$; $12\,\text{N})$ kautta. Valitaan nämä kaksi suoran pistettä. Ne ovat kaukana toisistaan, joten lukemisen epätarkkuus vaikuttaa tulokseen vähän.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta F_\text{v}}{\Delta x}$

   Muunnokset

   Kuvaajan arvot ovat newtoneina ja metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{12\,\text{N} - 0\,\text{N}}{0{,}20\,\text{m} - 0\,\text{m}}$

   $= 60\,\text{N/m}$

   Vastaus

   $60\,\text{N/m}$

   Vastaus annetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska kuvaajan ruudukosta arvot voi lukea kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Toinen suoran piste antaa saman tuloksen: kohdassa $0{,}10\,\text{m}$ voima on $6\,\text{N}$, ja $\tfrac{6\,\text{N}}{0{,}10\,\text{m}} = 60\,\text{N/m}$. Myös suuruusluokka on järkevä. Venymään $10\,\text{cm}$ tarvitaan $6\,\text{N}$. Se on noin $0{,}6\,\text{kg}$:n punnuksen paino. Näin suuren venymän voi mitata viivaimella.

5. Tehtävä 8-5

   Kalastajan jousivaa'an jousen jousivakio on $40\,\text{N/m}$. Kuinka paljon jousi venyy, kun $6{,}0\,\text{N}$:n voima venyttää sitä? Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}15\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 40\,\text{N/m}$, venyttävä voima $F_\text{v} = 6{,}0\,\text{N}$

   Kysytty

   venymä $x$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Jousta venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään. Kun voima ja jousivakio tunnetaan, venymä saadaan ratkaisemalla se lausekkeesta.

   Kaava

   $F_\text{v} = kx$, joten $x = \dfrac{F_\text{v}}{k}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \dfrac{6{,}0\,\text{N}}{40\,\text{N/m}}$

   $= 0{,}15\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}15\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $6{,}0\,\text{N}$ ja jousivakiossa $40\,\text{N/m}$.

   Järkevyys

   Jousivakio $40\,\text{N/m}$ tarkoittaa, että $4\,\text{N}$ venyttää jousta $10\,\text{cm}$, joten $6\,\text{N}$ venyttää sitä $15\,\text{cm}$. Yksikkö $\tfrac{\text{N}}{\text{N/m}} = \text{m}$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-6Ydintehtävä

   Jousta venytetään $8{,}0\,\text{cm}$, ja voimamittari näyttää silloin $6{,}0\,\text{N}$. Kuinka paljon jousen potentiaalienergiaa jouseen on varastoitunut?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}24\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   venymä $x = 8{,}0\,\text{cm}$, venyttävä voima $F_\text{v} = 6{,}0\,\text{N}$ venymän lopussa

   Kysytty

   jousen potentiaalienergia $E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Voimamittarin lukema on venyttävä voima. Siitä ja venymästä saadaan ensin jousivakio. Jousen potentiaalienergia on venyttävän voiman tekemä työ. Se on $(x, F_\text{v})$-kuvaajan kolmion pinta-ala.

   Kaava

   $F_\text{v} = kx$, joten $k = \dfrac{F_\text{v}}{x}$, ja $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}kx^2$

   Muunnokset

   $x$$= 8{,}0\,\text{cm}$

   $= 8{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}080\,\text{m}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{6{,}0\,\text{N}}{0{,}080\,\text{m}}$

   $= 75\,\text{N/m}$

   $E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 75\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}080\,\text{m})^2$

   $= 0{,}24\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}24\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $6{,}0\,\text{N}$ ja venymässä $8{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Kolmion pinta-ala antaa saman suoraan:

   $\tfrac{1}{2}F_\text{v}x$$= \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0\,\text{N}\cdot 0{,}080\,\text{m}$

   $= 0{,}24\,\text{J}$

   Jos puolikas unohtuisi, tulos olisi $0{,}48\,\text{J}$. Se olisi väärin, koska voima ei ollut koko matkan ajan $6{,}0\,\text{N}$. Voima kasvoi nollasta.

2. Tehtävä 8-7Ydintehtävä

   Lelupyssyn jousi puristetaan $6{,}0\,\text{cm}$. Silloin jouseen varastoituu jousen potentiaalienergiaa $0{,}90\,\text{J}$. Kuinka suuri on jousen jousivakio?

   N/mTarkista
   Vastaus

   $500\,\text{N/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   puristuma $x = 6{,}0\,\text{cm}$, jousen potentiaalienergia $E_\text{p} = 0{,}90\,\text{J}$

   Kysytty

   jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

   Periaate

   Puristetun jousen potentiaalienergia riippuu puristuman neliöstä, aivan kuten venytetyn jousen energia riippuu venymän neliöstä. Kun energia ja puristuma tunnetaan, jousivakio ratkaistaan energian lausekkeesta.

   Kaava

   $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}kx^2$, joten $k = \dfrac{2E_\text{p}}{x^2}$

   Muunnokset

   $x$$= 6{,}0\,\text{cm}$

   $= 6{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}060\,\text{m}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2\cdot 0{,}90\,\text{J}}{(0{,}060\,\text{m})^2}$

   $= \dfrac{1{,}80\,\text{J}}{0{,}0036\,\text{m}^2}$

   $= 500\,\text{N/m}$

   Vastaus

   $500\,\text{N/m}$

   Eli $5{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{N/m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa ja puristumassa.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $\tfrac{1}{2}\cdot 500\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}060\,\text{m})^2$

   $= 0{,}90\,\text{J}$

   Täysin puristettu jousi työntää $500\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}060\,\text{m} = 30\,\text{N}$:n voimalla. Lapsi jaksaa virittää lelupyssyn tällaista voimaa vastaan. Yksikkö

   $\tfrac{\text{J}}{\text{m}^2}$$= \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{m}^2}$

   $= \text{N/m}$
3. Tehtävä 8-8

   Jousi, jonka jousivakio on $150\,\text{N/m}$, on venytetty $3{,}0\,\text{cm}$. Venymä kasvatetaan $9{,}0\,\text{cm}$:iin. Kuinka paljon jousen potentiaalienergia kasvaa?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}54\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 150\,\text{N/m}$, alkuvenymä $x_1 = 3{,}0\,\text{cm}$, loppuvenymä $x_2 = 9{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   jousen potentiaalienergian kasvu $\Delta E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Jousen potentiaalienergia riippuu venymästä lepopituudesta, ei venymän muutoksesta. Energian kasvu on loppuenergian ja alkuenergian erotus. Kuvaajassa se on kahden kolmion pinta-alojen erotus.

   Kaava

   $\Delta E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}kx_2^2 - \tfrac{1}{2}kx_1^2$

   $= \tfrac{1}{2}k\left(x_2^2 - x_1^2\right)$

   Muunnokset

   $x_1$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   $x_2$$= 9{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}090\,\text{m}$

   Sijoitus

   $\Delta E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 150\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot\left((0{,}090\,\text{m})^2 - (0{,}030\,\text{m})^2\right)$

   $= 75\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}0072\,\text{m}^2$

   $= 0{,}54\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}54\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymissä.

   Järkevyys

   Alussa energia on $0{,}0675\,\text{J}$ ja lopussa $0{,}6075\,\text{J}$. Loppuenergia on yhdeksänkertainen, koska venymä kolminkertaistui. Jos laskisi $\tfrac{1}{2}k(\Delta x)^2$, tulos olisi vain $0{,}27\,\text{J}$. Se on liian vähän, koska viimeiset senttimetrit venytetään jo suurella voimalla.

4. Tehtävä 8-9

   Kuvaajassa on kahden jousen, A:n ja B:n, venyttävät voimat venymän funktiona. Määritä ensin jousen A jousivakio kuvaajasta. Jousta A venytetään $0{,}080\,\text{m}$. Kuinka paljon jousen potentiaalienergiaa jouseen varastoituu?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}19\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousten A ja B $(x, F_\text{v})$-kuvaajat; jousen A venymä $x = 0{,}080\,\text{m}$

   Kysytty

   jousen A potentiaalienergia $E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Jousen A jousivakio on sen kuvaajan kulmakerroin. Potentiaalienergia on venyttävän voiman työ, eli kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävä kolmio venymään $0{,}080\,\text{m}$ asti.

   Kuvaajan lukeminen

   Jyrkempi, yhtenäinen suora on jousen A. Se kulkee origon ja ruudukon pisteen $(0{,}10\,\text{m}$; $6{,}0\,\text{N})$ kautta, joten sen kulmakerroin on

   $k_\text{A}$$= \tfrac{6{,}0\,\text{N}}{0{,}10\,\text{m}}$

   $= 60\,\text{N/m}$

   Kaava

   $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}k_\text{A}x^2$, missä jousivakio $k_\text{A}$ on kuvaajan kulmakerroin

   Muunnokset

   Kuvaajan arvot ovat newtoneina ja metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}080\,\text{m})^2$

   $= \tfrac{1}{2}\cdot 60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}0064\,\text{m}^2$

   $= 0{,}192\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}19\,\text{J}$

   Vastaus annetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska kuvaajasta arvot voi lukea kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Kolmion pinta-alana: venymällä $0{,}080\,\text{m}$ jousen A voima on $60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}080\,\text{m} = 4{,}8\,\text{N}$, ja $\tfrac{1}{2}\cdot 4{,}8\,\text{N}\cdot 0{,}080\,\text{m} = 0{,}19\,\text{J}$. Loivemman jousen B energia samalla venymällä olisi pienempi, koska sen kolmio on matalampi.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 8-10

   Henkilöauto lepää neljän samanlaisen jousen varassa. Autoon nousee matkustajia, joiden yhteismassa on $300\,\text{kg}$. Silloin jouset puristuvat lisää $3{,}0\,\text{cm}$. Renkaiden joustoa ei huomioida. Oletetaan, että lisäkuorma jakautuu tasan neljälle jouselle.

   Kuinka suuri on yhden jousen jousivakio? Anna vastaus yksikössä $\text{kN/m}$.

   kN/mTarkista
   Vastaus

   $25\,\text{kN/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matkustajien massa $\Delta m = 300\,\text{kg}$, jousten lisäpuristuma $\Delta x = 3{,}0\,\text{cm}$, neljä samanlaista jousta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   yhden jousen jousivakio $k$ yksikössä $\text{kN/m}$

   Periaate

   Jouset ovat jo puristuneet auton oman painon takia. Harmonisessa voimassa voima on kuitenkin suoraan verrannollinen puristumaan. Siksi voiman muutos on verrannollinen puristuman muutokseen: $F_2 - F_1 = k(x_2 - x_1) = k\,\Delta x$. Auto on levossa sekä ennen matkustajia että niiden kanssa. Siksi jousten voimien lisäys kumoaa matkustajien painon. Kuorma jakautuu tasan, joten yksi jousi kantaa siitä neljäsosan.

   Kaava

   $4k\,\Delta x = \Delta m\, g$, joten $k = \dfrac{\Delta m\, g}{4\,\Delta x}$

   Muunnokset

   $\Delta x$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 3{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   lopuksi $1\,\text{kN/m} = 1000\,\text{N/m}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{300\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{4\cdot 0{,}030\,\text{m}}$

   $= \dfrac{2943\,\text{N}}{0{,}12\,\text{m}}$

   $= 24\,525\,\text{N/m}$

   $= 24{,}525\,\text{kN/m}$

   Vastaus

   $25\,\text{kN/m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten puristumassa $3{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Auton jousituksessa jousivakio on tavallisesti kymmeniä kilonewtoneita metriä kohti. Ajatellaan, että koko $1200\,\text{kg}$:n auto painaisi samoja jousia. Silloin jouset puristuisivat noin $12\,\text{cm}$. Se on uskottava matka, jonka jousitus voi joustaa. Auton omaa massaa ei tarvittu, koska laskussa ovat mukana vain voiman ja puristuman muutokset.

2. Tehtävä 8-11

   Hyppivässä lelussa on pystysuora jousi, jonka jousivakio on $200\,\text{N/m}$. Lelu painetaan pöytää vasten niin, että jousi puristuu $3{,}0\,\text{cm}$. Imukuppi pitää lelun paikallaan. Kun imukuppi irtoaa, jousi ponnauttaa $50\,\text{g}$:n lelun suoraan ylös. Oletetaan, että koko jousen potentiaalienergia muuttuu lelun painovoiman potentiaalienergiaksi. Ilmanvastus ja jousen massa jätetään huomiotta.

   Kuinka korkealle lelu nousee lähtökohdastaan?

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}18\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 200\,\text{N/m}$, puristuma $x = 3{,}0\,\text{cm}$, lelun massa $m = 50\,\text{g}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nousukorkeus $h$ lähtökohdasta yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Ilmanvastus ja jousen massa jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Lähtökohdassa lelu on levossa. Silloin energia on puristetun jousen potentiaalienergiaa. Korkeimmassa kohdassa lelu on hetken levossa. Silloin koko energia on painovoiman potentiaalienergiaa, kun nollataso on lähtökohdassa.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2}kx^2 = mgh$, joten $h = \dfrac{kx^2}{2mg}$

   Muunnokset

   $x$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   $m$$= 50\,\text{g}$

   $= 50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}050\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{200\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}030\,\text{m})^2}{2\cdot 0{,}050\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{0{,}18\,\text{J}}{0{,}981\,\text{N}}$

   $= 0{,}1835\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}18\,\text{m}$

   Eli noin $18\,\text{cm}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten puristumassa $3{,}0\,\text{cm}$ ja massassa $50\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Jousen energia on $0{,}090\,\text{J}$. Kun $50\,\text{g}$:n lelu nostetaan $18\,\text{cm}$, tarvitaan

   $0{,}050\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 0{,}1835\,\text{m}$

   $\approx 0{,}090\,\text{J}$

   Energiat ovat samat. Tällainen lelu hyppää tavallisesti muutamia kymmeniä senttimetrejä. Todellisuudessa osa energiasta menee jousen ja lelun värähtelyyn ja ilmanvastukseen. Siksi lelu nousee vähän matalammalle.

3. Tehtävä 8-12

   Kärry, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$, on vaakasuoralla kitkattomalla radalla kahden jousen välissä. Vasemman jousen toinen pää on kiinni vasemmassa seinässä ja oikean jousen toinen pää oikeassa seinässä. Tasapainoasemassa kumpikin jousi on lepopituudessaan. Vasemman jousen jousivakio on $30\,\text{N/m}$ ja oikean $50\,\text{N/m}$. Kärry siirretään $4{,}0\,\text{cm}$ oikealle ja päästetään irti.

   Kuinka suuri on kärryyn vaikuttava kokonaisvoima heti irti päästämisen jälkeen?

   NTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}50\,\text{kg}$, vasemman jousen jousivakio $k_1 = 30\,\text{N/m}$, oikean $k_2 = 50\,\text{N/m}$, poikkeama $x = 4{,}0\,\text{cm}$ oikealle, rata kitkaton; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kärryyn vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kärryyn vaikuttavat Maa, rata ja kaksi jousta. Vasen jousi on venynyt ja vetää kärryä vasemmalle. Oikea jousi on puristunut ja työntää kärryä vasemmalle. Kumpikin harmoninen voima osoittaa kohti tasapainoasemaa, joten voimat lasketaan yhteen. Pystysuunnassa paino ja tukivoima kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, $x$ oikealle ja $y$ ylös. Jousten voimat $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ osoittavat kumpikin vasemmalle.

   Kaava

   $x$:

   $\Sigma F$$= F_1 + F_2$

   $= -k_1x - k_2x$

   $= -(k_1 + k_2)\,x$

   ja kokonaisvoiman suuruus on $|\Sigma F| = (k_1 + k_2)\,x$

   Muunnokset

   $x$$= 4{,}0\,\text{cm}$

   $= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}040\,\text{m}$

   Sijoitus

   $|\Sigma F|$$= \left(30\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} + 50\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\right)\cdot 0{,}040\,\text{m}$

   $= 80\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}040\,\text{m}$

   $= 3{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{N}$

   Vasemmalle kohti tasapainoasemaa, kaksi merkitsevää numeroa kuten poikkeamassa $4{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Jouset yksinään antaisivat voimat $1{,}2\,\text{N}$ ja $2{,}0\,\text{N}$. Voimat ovat samansuuntaiset, joten summa $3{,}2\,\text{N}$ on suurempi kuin kumpikaan voima. Kokonaisvoima on harmoninen, samanlainen kuin yhden $80\,\text{N/m}$:n jousen voima. Kärryn massaa ei tarvittu.