Jousivoima ja jousen energia

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-1Ydintehtävä

   Kuntosalin laitteen kahva on kiinni palautusjousessa, jonka jousivakio on $250\,\text{N/m}$. Kuntoilija vetää kahvaa niin, että jousi venyy $0{,}12\,\text{m}$, ja pitää kahvaa paikallaan.

   Kuinka suuri on jousen voima kahvaan?

   NTarkista
   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 250\,\text{N/m}$, venymä $x = 0{,}12\,\text{m}$, kahva levossa

   Kysytty

   jousen voiman suuruus $F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Jousen voima on harmoninen voima: sen suuruus on suoraan verrannollinen venymään, ja se osoittaa kohti tasapainoasemaa eli tässä jousen suuntaan takaisin laitetta kohti. Suuruuteen riittää lausekkeen itseisarvo.

   Kaava

   $F = -kx$, joten voiman suuruus on $|F| = kx$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $|F|$$= 250\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}12\,\text{m}$

   $= 30\,\text{N}$

   Vastaus

   $30\,\text{N}$

   Kohti laitetta, kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $0{,}12\,\text{m}$.

   Järkevyys

   $30\,\text{N}$ vastaa noin $3\,\text{kg}$:n painoa, mikä on kevyt mutta tuntuva vastus kuntolaitteessa. Yksikkö $\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot\text{m} = \text{N}$ on voiman yksikkö.

2. Tehtävä 8-2Ydintehtävä

   Trampoliinin reunan jousi venyy $0{,}050\,\text{m}$, kun sitä venyttää $450\,\text{N}$:n voima. Kuinka suuri on jousen jousivakio?

   N/mTarkista
   Vastaus

   $9000\,\text{N/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   venyttävä voima $F_\text{v} = 450\,\text{N}$, venymä $x = 0{,}050\,\text{m}$

   Kysytty

   jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

   Periaate

   Jousta venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään, kun jousta ei venytetä liikaa. Verrannollisuuskerroin on jousivakio, joka kertoo, kuinka monta newtonia tarvitaan venymän metriä kohti.

   Kaava

   $F_\text{v} = kx$, joten $k = \dfrac{F_\text{v}}{x}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{450\,\text{N}}{0{,}050\,\text{m}}$

   $= 9000\,\text{N/m}$

   Vastaus

   $9000\,\text{N/m}$

   Eli $9{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{N/m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $0{,}050\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Trampoliinin jousen on oltava jäykkä, koska hyppääjän alastulo venyttää monta jousta yhtä aikaa satojen newtonien voimilla. Senttimetrin venymään tarvitaan $90\,\text{N}$, mikä tuntuu jäykältä jouselta.

3. Tehtävä 8-3

   Kuntoilija venyttää käsijousta, jonka jousivakio on $180\,\text{N/m}$, niin että jousi venyy $0{,}15\,\text{m}$. Kuinka paljon jousen potentiaalienergiaa jouseen varastoituu?

   JTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 180\,\text{N/m}$, venymä $x = 0{,}15\,\text{m}$

   Kysytty

   jousen potentiaalienergia $E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Kun jousta venytetään, venyttävä voima tekee työtä, joka varastoituu jouseen potentiaalienergiaksi. Voima kasvaa tasaisesti nollasta arvoon $kx$, joten energia on $(x, F_\text{v})$-kuvaajan kolmion pinta-ala.

   Kaava

   $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}kx^2$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 180\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}15\,\text{m})^2$

   $= \tfrac{1}{2}\cdot 180\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}0225\,\text{m}^2$

   $= 2{,}025\,\text{J}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymässä $0{,}15\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Venymän lopussa voima on $180\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}15\,\text{m} = 27\,\text{N}$. Kolmion pinta-ala antaa saman tuloksen:

   $\tfrac{1}{2}\cdot 27\,\text{N}\cdot 0{,}15\,\text{m}$

   $\approx 2{,}0\,\text{J}$

   Energia vastaa noin $2\,\text{kg}$:n kappaleen nostamista $10\,\text{cm}$.

4. Tehtävä 8-4

   Kuvaajassa on jousta venyttävä voima $F_\text{v}$ jousen venymän $x$ funktiona. Lue kuvaajasta kaksi suoran pistettä. Kuinka suuri on jousen jousivakio?

   N/mTarkista
   Vastaus

   $60\,\text{N/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan suora, jousta venyttävä voima $F_\text{v}$ venymän $x$ funktiona

   Kysytty

   jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

   Periaate

   Venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään, $F_\text{v} = kx$, joten kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, ja sen kulmakerroin on jousivakio.

   Kuvaajan lukeminen

   Suora kulkee origon ja ruudukon pisteen $(0{,}20\,\text{m}$; $12\,\text{N})$ kautta. Valitaan nämä kaksi kaukana toisistaan olevaa suoran pistettä, jolloin lukemisen epätarkkuus vaikuttaa vähän.

   Kaava

   $k$$= \dfrac{\Delta F_\text{v}}{\Delta x}$

   Muunnokset

   Kuvaajan arvot ovat newtoneina ja metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{12\,\text{N} - 0\,\text{N}}{0{,}20\,\text{m} - 0\,\text{m}}$

   $= 60\,\text{N/m}$

   Vastaus

   $60\,\text{N/m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, joilla kuvaajan ruudukon arvot voi lukea.

   Järkevyys

   Toinen suoran piste antaa saman: kohdassa $0{,}10\,\text{m}$ voima on $6\,\text{N}$, ja $\tfrac{6\,\text{N}}{0{,}10\,\text{m}} = 60\,\text{N/m}$. Suuruusluokka täsmää: $10\,\text{cm}$:n venymään tarvitaan $6\,\text{N}$, joka vastaa noin $0{,}6\,\text{kg}$:n punnuksen painoa, ja tällainen venymä on mitattavissa viivaimella.

5. Tehtävä 8-5

   Kalastajan jousivaa'an jousen jousivakio on $40\,\text{N/m}$. Kuinka paljon jousi venyy, kun sitä venyttää $6{,}0\,\text{N}$:n voima? Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}15\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 40\,\text{N/m}$, venyttävä voima $F_\text{v} = 6{,}0\,\text{N}$

   Kysytty

   venymä $x$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Jousta venyttävä voima on suoraan verrannollinen venymään. Kun voima ja jousivakio tunnetaan, venymä saadaan ratkaisemalla se lausekkeesta.

   Kaava

   $F_\text{v} = kx$, joten $x = \dfrac{F_\text{v}}{k}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \dfrac{6{,}0\,\text{N}}{40\,\text{N/m}}$

   $= 0{,}15\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}15\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $6{,}0\,\text{N}$ ja jousivakiossa $40\,\text{N/m}$.

   Järkevyys

   Jousivakio $40\,\text{N/m}$ tarkoittaa, että $4\,\text{N}$ venyttää jousta $10\,\text{cm}$, joten $6\,\text{N}$ venyttää sitä $15\,\text{cm}$. Yksikkö $\tfrac{\text{N}}{\text{N/m}} = \text{m}$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-6Ydintehtävä

   Jousta venytetään $8{,}0\,\text{cm}$, ja voimamittari näyttää silloin $6{,}0\,\text{N}$. Kuinka paljon jousen potentiaalienergiaa jouseen on varastoitunut?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}24\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   venymä $x = 8{,}0\,\text{cm}$, venyttävä voima $F_\text{v} = 6{,}0\,\text{N}$ venymän lopussa

   Kysytty

   jousen potentiaalienergia $E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Voimamittarin lukema on venyttävä voima. Siitä ja venymästä saadaan ensin jousivakio. Jousen potentiaalienergia on venyttävän voiman työ, $(x, F_\text{v})$-kuvaajan kolmion pinta-ala.

   Kaava

   $F_\text{v} = kx$, joten $k = \dfrac{F_\text{v}}{x}$, ja $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}kx^2$

   Muunnokset

   $x$$= 8{,}0\,\text{cm}$

   $= 8{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}080\,\text{m}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{6{,}0\,\text{N}}{0{,}080\,\text{m}}$

   $= 75\,\text{N/m}$

   $E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 75\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}080\,\text{m})^2$

   $= 0{,}24\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}24\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $6{,}0\,\text{N}$ ja venymässä $8{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Kolmion pinta-ala antaa saman suoraan:

   $\tfrac{1}{2}F_\text{v}x$$= \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0\,\text{N}\cdot 0{,}080\,\text{m}$

   $= 0{,}24\,\text{J}$

   Ilman puolikasta tulos olisi $0{,}48\,\text{J}$, mutta voima ei ollut koko matkaa $6{,}0\,\text{N}$, vaan kasvoi nollasta.

2. Tehtävä 8-7Ydintehtävä

   Lelupyssyn jousi puristetaan $6{,}0\,\text{cm}$, jolloin siihen varastoituu jousen potentiaalienergiaa $0{,}90\,\text{J}$. Kuinka suuri on jousen jousivakio?

   N/mTarkista
   Vastaus

   $500\,\text{N/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   puristuma $x = 6{,}0\,\text{cm}$, jousen potentiaalienergia $E_\text{p} = 0{,}90\,\text{J}$

   Kysytty

   jousivakio $k$ yksikössä $\text{N/m}$

   Periaate

   Puristetun jousen potentiaalienergia riippuu puristuman neliöstä samoin kuin venytetyn jousen energia venymästä. Kun energia ja puristuma tunnetaan, jousivakio ratkaistaan energian lausekkeesta.

   Kaava

   $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}kx^2$, joten $k = \dfrac{2E_\text{p}}{x^2}$

   Muunnokset

   $x$$= 6{,}0\,\text{cm}$

   $= 6{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}060\,\text{m}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{2\cdot 0{,}90\,\text{J}}{(0{,}060\,\text{m})^2}$

   $= \dfrac{1{,}80\,\text{J}}{0{,}0036\,\text{m}^2}$

   $= 500\,\text{N/m}$

   Vastaus

   $500\,\text{N/m}$

   Eli $5{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{N/m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa ja puristumassa.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $\tfrac{1}{2}\cdot 500\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}060\,\text{m})^2$

   $= 0{,}90\,\text{J}$

   Täysin puristettu jousi työntää $500\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}060\,\text{m} = 30\,\text{N}$:n voimalla, mikä sopii lelupyssylle, jonka lapsi jaksaa virittää. Yksikkö

   $\tfrac{\text{J}}{\text{m}^2}$$= \tfrac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{m}^2}$

   $= \text{N/m}$
3. Tehtävä 8-8

   Jousi, jonka jousivakio on $150\,\text{N/m}$, on venytetty $3{,}0\,\text{cm}$. Venymä kasvatetaan $9{,}0\,\text{cm}$:iin. Kuinka paljon jousen potentiaalienergia kasvaa?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}54\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 150\,\text{N/m}$, alkuvenymä $x_1 = 3{,}0\,\text{cm}$, loppuvenymä $x_2 = 9{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   jousen potentiaalienergian kasvu $\Delta E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Jousen potentiaalienergia riippuu venymästä lepopituuteen verrattuna, ei venymän muutoksesta. Kasvu on loppu- ja alkutilan energioiden erotus. Kuvaajassa se on kahden kolmion pinta-alojen erotus.

   Kaava

   $\Delta E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}kx_2^2 - \tfrac{1}{2}kx_1^2$

   $= \tfrac{1}{2}k\left(x_2^2 - x_1^2\right)$

   Muunnokset

   $x_1$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   $x_2$$= 9{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}090\,\text{m}$

   Sijoitus

   $\Delta E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 150\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot\left((0{,}090\,\text{m})^2 - (0{,}030\,\text{m})^2\right)$

   $= 75\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}0072\,\text{m}^2$

   $= 0{,}54\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}54\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymissä.

   Järkevyys

   Alussa energia on $0{,}0675\,\text{J}$ ja lopussa $0{,}6075\,\text{J}$, yhdeksänkertainen, koska venymä kolminkertaistui. Jos olisi laskettu $\tfrac{1}{2}k(\Delta x)^2$, tulos olisi vain $0{,}27\,\text{J}$, mikä on liian vähän: viimeiset senttimetrit venytetään jo suurella voimalla.

4. Tehtävä 8-9

   Kahden jousen A ja B jousta venyttävät voimat on esitetty venymän funktiona samassa kuvaajassa. Määritä ensin jousen A jousivakio kuvaajasta. Jousta A venytetään $0{,}080\,\text{m}$.

   Kuinka paljon jousen potentiaalienergiaa siihen varastoituu?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}19\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousten A ja B $(x, F_\text{v})$-kuvaajat; jousen A venymä $x = 0{,}080\,\text{m}$

   Kysytty

   jousen A potentiaalienergia $E_\text{p}$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Jousen A jousivakio on sen kuvaajan kulmakerroin. Potentiaalienergia on venyttävän voiman työ, eli kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävä kolmio venymään $0{,}080\,\text{m}$ asti.

   Kuvaajan lukeminen

   Jyrkempi, yhtenäinen suora on jousen A. Se kulkee origon ja ruudukon pisteen $(0{,}10\,\text{m}$; $6{,}0\,\text{N})$ kautta, joten sen kulmakerroin on

   $k_\text{A}$$= \tfrac{6{,}0\,\text{N}}{0{,}10\,\text{m}}$

   $= 60\,\text{N/m}$

   Kaava

   $E_\text{p} = \tfrac{1}{2}k_\text{A}x^2$, missä jousivakio $k_\text{A}$ on kuvaajan kulmakerroin

   Muunnokset

   Kuvaajan arvot ovat newtoneina ja metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E_\text{p}$$= \tfrac{1}{2}\cdot 60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}080\,\text{m})^2$

   $= \tfrac{1}{2}\cdot 60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}0064\,\text{m}^2$

   $= 0{,}192\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}19\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, joilla kuvaajan arvot voi lukea.

   Järkevyys

   Kolmion pinta-alana: venymällä $0{,}080\,\text{m}$ jousen A voima on $60\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}080\,\text{m} = 4{,}8\,\text{N}$, ja $\tfrac{1}{2}\cdot 4{,}8\,\text{N}\cdot 0{,}080\,\text{m} = 0{,}19\,\text{J}$. Loivemman jousen B energia samalla venymällä olisi pienempi, koska sen kolmio on matalampi.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 8-10

   Henkilöauto lepää neljän samanlaisen jousen varassa. Kun autoon nousee matkustajia, joiden yhteismassa on $300\,\text{kg}$, jouset puristuvat lisää $3{,}0\,\text{cm}$. Renkaiden joustoa ei huomioida. Oletetaan, että lisäkuorma jakautuu tasan neljälle jouselle.

   Kuinka suuri on yhden jousen jousivakio? Anna vastaus yksikössä $\text{kN/m}$.

   kN/mTarkista
   Vastaus

   $25\,\text{kN/m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matkustajien massa $\Delta m = 300\,\text{kg}$, jousten lisäpuristuma $\Delta x = 3{,}0\,\text{cm}$, neljä samanlaista jousta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   yhden jousen jousivakio $k$ yksikössä $\text{kN/m}$

   Periaate

   Jouset ovat puristuneet jo auton omasta painosta, mutta harmonisessa voimassa voima on suoraan verrannollinen puristumaan, joten voiman muutos on verrannollinen puristuman muutokseen: $F_2 - F_1 = k(x_2 - x_1) = k\,\Delta x$. Auto on levossa ennen ja jälkeen, joten jousten voimien lisäys kumoaa matkustajien painon. Kuorma jakautuu tasan, joten yksi jousi kantaa neljäsosan siitä.

   Kaava

   $4k\,\Delta x = \Delta m\, g$, joten $k = \dfrac{\Delta m\, g}{4\,\Delta x}$

   Muunnokset

   $\Delta x$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 3{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   lopuksi $1\,\text{kN/m} = 1000\,\text{N/m}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{300\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{4\cdot 0{,}030\,\text{m}}$

   $= \dfrac{2943\,\text{N}}{0{,}12\,\text{m}}$

   $= 24\,525\,\text{N/m}$

   $= 24{,}525\,\text{kN/m}$

   Vastaus

   $25\,\text{kN/m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten puristumassa $3{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Kymmenien kilonewtonien jousivakio metriä kohti on tavallinen auton jousituksessa. Jos koko $1200\,\text{kg}$:n auto kuormittaisi samoja jousia, ne olisivat puristuneet noin $12\,\text{cm}$, mikä on uskottava jousituksen liikevara. Auton omaa massaa ei tarvittu, koska vain voiman ja puristuman muutokset ovat mukana.

2. Tehtävä 8-11

   Hyppivässä lelussa on pystysuora jousi, jonka jousivakio on $200\,\text{N/m}$. Lelu painetaan pöytää vasten niin, että jousi puristuu $3{,}0\,\text{cm}$, ja imukuppi pitää sen paikallaan.

   Kun imukuppi irtoaa, jousi ponnauttaa $50\,\text{g}$:n lelun suoraan ylös. Oletetaan, että koko jousen potentiaalienergia muuttuu lelun painovoiman potentiaalienergiaksi; ilmanvastus ja jousen massa jätetään huomiotta.

   Kuinka korkealle lelu nousee lähtökohdastaan?

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}18\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 200\,\text{N/m}$, puristuma $x = 3{,}0\,\text{cm}$, lelun massa $m = 50\,\text{g}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nousukorkeus $h$ lähtökohdasta yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Ilmanvastus ja jousen massa jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Lähtökohdassa lelu on levossa, ja energia on puristetun jousen potentiaalienergiaa. Korkeimmassa kohdassa lelu on hetken levossa, joten koko energia on painovoiman potentiaalienergiaa, kun nollataso on lähtökohdassa.

   Kaava

   $\tfrac{1}{2}kx^2 = mgh$, joten $h = \dfrac{kx^2}{2mg}$

   Muunnokset

   $x$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   $m$$= 50\,\text{g}$

   $= 50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}050\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $h$$= \dfrac{200\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot(0{,}030\,\text{m})^2}{2\cdot 0{,}050\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{0{,}18\,\text{J}}{0{,}981\,\text{N}}$

   $= 0{,}1835\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}18\,\text{m}$

   Eli noin $18\,\text{cm}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten puristumassa $3{,}0\,\text{cm}$ ja massassa $50\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Jousen energia on $0{,}090\,\text{J}$, ja $50\,\text{g}$:n lelun nostamiseen $18\,\text{cm}$ tarvitaan

   $0{,}050\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 0{,}1835\,\text{m}$

   $\approx 0{,}090\,\text{J}$

   Muutaman kymmenen senttimetrin hyppy on tavallinen tällaiselle lelulle; todellisuudessa osa energiasta menee jousen ja lelun värähtelyyn ja ilmanvastukseen, joten lelu nousee vähän matalammalle.

3. Tehtävä 8-12

   Kärry, jonka massa on $0{,}50\,\text{kg}$, on vaakasuoralla kitkattomalla radalla kahden jousen välissä.

   Vasemman jousen toinen pää on kiinni vasemmassa seinässä ja oikean jousen oikeassa seinässä, ja tasapainoasemassa kumpikin jousi on lepopituudessaan. Vasemman jousen jousivakio on $30\,\text{N/m}$ ja oikean $50\,\text{N/m}$.

   Kärry siirretään $4{,}0\,\text{cm}$ oikealle ja päästetään irti. Kuinka suuri on kärryyn vaikuttava kokonaisvoima heti irti päästämisen jälkeen?

   NTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 0{,}50\,\text{kg}$, vasemman jousen jousivakio $k_1 = 30\,\text{N/m}$, oikean $k_2 = 50\,\text{N/m}$, poikkeama $x = 4{,}0\,\text{cm}$ oikealle, rata kitkaton; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kärryyn vaikuttava kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Kärryyn vaikuttavat Maa, rata ja kaksi jousta. Vasen jousi on venynyt ja vetää kärryä vasemmalle, oikea on puristunut ja työntää sitä vasemmalle: kumpikin harmoninen voima osoittaa kohti tasapainoasemaa, joten ne lasketaan yhteen. Pystysuunnassa paino ja tukivoima kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Kärry suorakulmiona, $x$ oikealle ja $y$ ylös. Jousten voimat $\overline{F}_1$ ja $\overline{F}_2$ osoittavat kumpikin vasemmalle.

   Kaava

   $x$:

   $\Sigma F$$= F_1 + F_2$

   $= -k_1x - k_2x$

   $= -(k_1 + k_2)\,x$

   ja kokonaisvoiman suuruus on $|\Sigma F| = (k_1 + k_2)\,x$

   Muunnokset

   $x$$= 4{,}0\,\text{cm}$

   $= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}040\,\text{m}$

   Sijoitus

   $|\Sigma F|$$= \left(30\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}} + 50\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\right)\cdot 0{,}040\,\text{m}$

   $= 80\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0{,}040\,\text{m}$

   $= 3{,}2\,\text{N}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{N}$

   Vasemmalle kohti tasapainoasemaa, kaksi merkitsevää numeroa kuten poikkeamassa $4{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Kumpikin jousi yksinään antaisi $1{,}2\,\text{N}$ ja $2{,}0\,\text{N}$, ja voimat ovat samansuuntaiset, joten summa $3{,}2\,\text{N}$ on suurempi kuin kumpikaan. Kokonaisvoima on harmoninen kuin yhden $80\,\text{N/m}$:n jousen voima; massaa ei tarvittu.