Jousivakion määrittäminen
Tutkimuskysymys: Miten jousen venymä riippuu jousta venyttävästä voimasta, ja kuinka suuri on jousen jousivakio?
Jousivaa'an, auton jousituksen ja trampoliinin toiminta perustuu siihen, että jousi venyy sitä enemmän, mitä suurempi voima sitä venyttää. Tässä tutkimuksessa selvität mittaamalla, millainen riippuvuus on, ja määrität jousivakion, joka kertoo jousen jäykkyyden. Mittaa, piirrä ja päättele itse: tämä sivu kertoo, mitä tutkitaan, ja tukee sinua niin paljon kuin valitsemasi työtapa lupaa.
Tässä tutkimuksessa opit
- määrittämään suureen kuvaajan kulmakertoimesta
- perustelemaan, miksi kuvaajan akseleiksi valitaan juuri tietyt suureet
- ilmoittamaan tuloksen epävarmuuksineen ja arvioimaan sen luotettavuutta
Vaativuus
- Voima ja venymä: fysiikka F1 · koe E1
- Värähtely ja menetelmien vertailu: fysiikka F2 · koe E2
F1–F3 kertoo, kuinka vaativaa fysiikkaa työ tarvitsee, E1–E3 kuinka vaativa mittaus ja analyysi on. Tuen määrän valitset itse alla.
Tässä työssä tarvitset näitä tietoja ja taitoja
Fysiikan tiedot
- välttämätön Voima vuorovaikutuksen mittana ja paino $G = mg$ (FY3)Levossa riippuva punnus vetää jousta voimalla, joka on yhtä suuri kuin sen paino $G = mg$.
- välttämätön Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki (FY4)Levossa olevaan kappaleeseen vaikuttavat voimat kumoavat toisensa, joten jousivoima on yhtä suuri kuin paino.
- välttämätön Jousivoiman laki (FY5: Harmoninen voima ja värähtelyliike)Laki antaa mallin, jota mittauksilla testataan; lyhyt selitys on tällä sivulla kohdassa Teoriaa lyhyesti.
- laajennukseen Jousen värähdysaika (FY5: Harmoninen voima ja värähtelyliike)Laajennuksessa tarvittava malli on selitetty laajennuksen alussa.
Kokeelliset taidot
- välttämätön Graafinen esitys ja suoran sovittaminen (FY1)Kuvaajan laatiminen, suoran sovittaminen ja kulmakertoimen tulkinta.
- välttämätön Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus (FY1)Mittausepävarmuus ja tuloksen ilmoittaminen muodossa $\bar{x} \pm \Delta x$.
- hyödyllinen Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi (FY1)Oman tutkimuksen suunnittelu ja työselostuksen rakenne.
TVT-taidot
- välttämätön Mittauspisteiden kuvaaja ja suoran sovitus ohjelmalla (Graphical Analysis Pro) (ohje: Mittauspisteiden kuvaaja, Suoran sovittaminen mittauspisteisiin, Kulmakertoimen ja vakiotermin tulkinta, Kulmakertoimen epävarmuus)Kulmakerroin ja sen epävarmuus saadaan sovituksesta.
Välineet
- kierrejousi
- statiivi ja varsi
- punnuksia ja punnusteline
- vaaka
- mittanauha tai viivain
- laajennukseen ajanottoväline tai liikeanturi
Turvallisuus
- Älä venytä jousta niin paljon, että se venyy pysyvästi.
- Pidä punnukset kiinni telineessä ja jalat poissa niiden alta; varmista, ettei statiivi kaadu.
Tutkimustehtävä
Selvitettävä: miten jousen venymä riippuu venyttävästä voimasta, noudattaako jousi jousivoiman lakia mittausalueellasi, ja kuinka suuri jousivakio on epävarmuuksineen.
Päätät itse: mittausjärjestelyn, käytettävät kuormat ja mittauspisteiden määrän, sen, mistä kohdasta pituus luetaan, kuvaajan akselit perusteluineen sekä tavan, jolla arvioit tuloksen epävarmuuden. Ohjatussa ja osittain ohjatussa työtavassa sivu antaa näihin tukea, itsenäisessä työtavassa perustelet valintasi itse.
Itsenäinen työtapa. Laajennus, jousivakion määrittäminen värähtelystä, kuuluu työhösi: vertaa lopuksi kahdella menetelmällä saatuja tuloksia.
Ennusta
Kirjoita ennusteesi vihkoon tai työselostuksen hypoteesiksi ennen kuin luet eteenpäin ja ennen kuin mittaat:
- Mitä tapahtuu venymälle, kun venyttävä voima kaksinkertaistuu?
- Millainen on kuvaaja, jossa pystyakselilla on voima $F$ ja vaaka-akselilla venymä $x$? Kulkeeko se origon kautta?
- Muuttuuko kulmakerroin, jos vaaka-akselille merkitään jousen pituus venymän sijasta?
- Millä kuormilla jousi voisi lakata noudattamasta lakia, ja mikä mittauksessasi on todennäköisesti suurin epävarmuuden lähde?
Perustele ennusteesi fysiikan avulla. Palaat siihen johtopäätöksissä.
Teoriaa lyhyesti
Kun jouseen ripustetaan kappale ja se on levossa, kappaleeseen vaikuttaa ylöspäin jousivoima $\overline{F}$ ja alaspäin paino $\overline{G}$. Koska kappale on levossa, voimat kumoavat toisensa, joten jousivoiman suuruus on yhtä suuri kuin painon suuruus: $F = G = mg$. Kappale vetää jousta yhtä suurella voimalla vastakkaiseen suuntaan (Newtonin III laki), joten punnusten massasta saadaan jousta venyttävä voima.
Jousen venymä $x$ on sen pituuden muutos: $x = l - l_0$, missä $l_0$ on jousen pituus ilman kuormaa ja $l$ pituus kuormitettuna. Monilla jousilla venymä on suoraan verrannollinen venyttävään voimaan, kun jousta ei venytetä liikaa. Tätä riippuvuutta kutsutaan jousivoiman laiksi eli Hooken laiksi:
$$F = kx$$
missä $F$ on jousivoiman suuruus, $x$ venymä ja $k$ jousivakio. Jousivakion yksikkö on $\text{N/m}$: se kertoo, kuinka monta newtonia tarvitaan venyttämään jousta yksi metri. Mitä suurempi $k$, sitä jäykempi jousi.
Jos jousivoiman laki pätee, voima venymän funktiona on origon kautta kulkeva suora, ja suoran kulmakerroin on jousivakio. Siksi jousivakio kannattaa määrittää kuvaajasta, ei yksittäisestä mittauksesta: kuvaaja näyttää, päteekö laki koko mittausalueella, ja suora tasoittaa yksittäisten mittausten satunnaisia virheitä.
Suunnittele
Ennen mittaamista päätä ja kirjaa ylös, mitä muutat, mitä mittaat ja mitä pidät vakiona.
Ohjattu. Muutat punnusten massaa $m$, joten venyttävä voima $F = mg$ muuttuu. Mittaat jousen pituuden $l$ jokaisella kuormalla ja lasket siitä venymän $x = l - l_0$. Vakiona pidät jousen, sen kiinnityskohdan ja tavan, jolla luet pituuden. Tee ainakin kuusi mittausta tasaisin välein.
Osittain ohjattu. Muuttuja on venyttävä voima. Päätä itse, kuinka suuria massoja käytät, montako mittauspistettä teet ja miten varmistat, että luet pituuden joka kerta samasta kohdasta. Kirjaa päätöksesi perusteluineen.
Mieti ainakin näitä:
- Mistä kohdasta jousen pituus luetaan, ja miten vältät katsomasta asteikkoa vinosti?
- Kuinka suuren kuorman jousi kestää venymättä pysyvästi? Kokeile varovasti ennen varsinaista mittaussarjaa.
- Kuuluuko punnustelineen massa venyttävään voimaan?
Vihje punnustelineeseen. Voit mitata venymän kahdella johdonmukaisella tavalla. Joko mittaat pituuden $l_0$ ilman telinettä ja lasket telineen massan mukaan voimaan, tai mittaat pituuden $l_0$ telineen kanssa ja lasket voimaksi vain lisätyt punnukset. Kummallakin tavalla suora kulkee origon kautta ja kulmakerroin on jousivakio. Jos sekoitat tavat, esimerkiksi mittaat $l_0$ ilman telinettä mutta jätät telineen massan pois voimasta, suoraan tulee vakiotermi. Valitse siis tapa ennen mittaamista ja pysy siinä.
Mittaa
Kirjaa alkuperäiset mittaustulokset taulukkoon heti mittauksen aikana. Laskemasi suureet saavat omat sarakkeensa mitattujen oikealle puolelle.
Voit käyttää esimerkiksi tällaista taulukkoa:
| $m\ (\text{kg})$ | $l\ (\text{m})$ | $F = mg\ (\text{N})$ | $x = l - l_0\ (\text{m})$ |
|---|---|---|---|
Lue pituus aina samasta kohdasta, esimerkiksi jousen alapään koukusta, myös pituutta $l_0$ mitatessasi, ja katso asteikkoa kohtisuoraan, ettei lukemaan tule näkemisvirhettä. Odota, että jousi on pysähtynyt, ennen kuin luet pituuden.
Muista mittausepävarmuus: kirjaa, kuinka tarkasti voit lukea pituuden asteikolta, ja merkitse se taulukkoon. Venymän epävarmuuteen vaikuttavat molemmat lukemat, sekä $l$ että $l_0$. Tarvitsetko apua? → Mittausepävarmuuden arvioiminen
Käsittele tulokset
Piirrä mittaustuloksista kuvaaja, josta jousivakio saadaan kulmakertoimena. Merkitse akseleille suureet ja yksiköt. Piirrä mittauspisteet, älä yhdistä niitä murtoviivalla, ja sovita pisteisiin suora. Tarvitsetko apua? → Suoran sovittaminen ja kulmakertoimen tulkinta
Valitse pystyakselille venyttävä voima $F$ ja vaaka-akselille venymä $x$.
Kirjoita sovitetun suoran yhtälö ja vastaa:
- Ovatko pisteet suoralla? Jos eivät, millä venymillä ne poikkeavat?
- Mikä suure on kulmakerroin, ja mikä on sen yksikkö?
- Kulkeeko suora origon kautta? Jos ei, mistä vakiotermi voi johtua?
Miksi juuri nämä akselit? Jousivoiman laki $F = kx$ on suoran yhtälö $y = kx$, kun pystyakselille valitaan $F$ ja vaaka-akselille $x$. Silloin kulmakerroin on suoraan jousivakio. Jos vaaka-akselille valitaan jousen pituus $l$ venymän sijasta, kulmakerroin pysyy samana, mutta suora ei kulje origon kautta, eikä kuvaaja enää näytä suoraan, että voima on verrannollinen venymään. Jos taas akselit vaihdetaan päittäin, kulmakerroin on $\dfrac{1}{k}$. Tiheäkierteisellä jousella pienimmät kuormat eivät välttämättä vielä venytä jousta, koska kierteet painavat toisiaan; jätä tällöin alku pois sovituksesta ja kerro se raportissa. Silloin suora ei kulje origon kautta, koska jousi alkaa venyä vasta tietyllä voimalla, mutta suoran kulmakerroin on silti jousivakio.
Kuvaajan sovitukseen käytä Graphical Analysis Pro -ohjelmaa. Ruukkilabran ohjeet: Suoran sovittaminen, Kulmakertoimen tulkinta ja Taulukko ja lasketut sarakkeet.
Epävarmuus ja luotettavuus
Ilmoita jousivakio muodossa $k = (k \pm \Delta k)\ \text{N/m}$ ja perustele, miten arvioit epävarmuuden $\Delta k$.
Kulmakertoimen epävarmuuden voit arvioida jommallakummalla tavalla:
- Sovitusohjelman keskivirhe. Monet ohjelmat ilmoittavat kulmakertoimen keskivirheen. Käytä sitä epävarmuutena $\Delta k$.
- Jyrkin ja loivin suora. Piirrä jyrkin ja loivin suora, jotka vielä sopivat pisteisiin niiden epävarmuuksien rajoissa. Määritä niiden kulmakertoimet $k_\text{max}$ ja $k_\text{min}$ ja arvioi epävarmuus vaihteluvälin puolikkaana: $\Delta k = \dfrac{k_\text{max} - k_\text{min}}{2}$.
Pyöristä $\Delta k$ yhteen merkitsevään numeroon ja $k$ samaan desimaaliin.
Pohdi sitten luotettavuutta konkreettisesti: mitkä olivat suurimmat epävarmuuden lähteet, olivatko ne satunnaisia vai systemaattisia, ja mihin suuntaan ne olisivat muuttaneet tulosta? Miten parantaisit mittausta?
Johtopäätökset
Vastaa tutkimuskysymykseen mittaustesi perusteella. Noudattaako jousi jousivoiman lakia koko mittausalueella? Viittaa kuvaajaan, esimerkiksi "kuvaajasta 1 nähdään, että …". Vertaa tulosta ennusteeseesi: mikä osui oikeaan ja mikä ei?
Raportoi
Kirjoita työstä työselostus FY10:n työselostuspohjalla ja käy läpi sen kaikki yhdeksän osaa. Kuvaajien ja tulosten esittämisessä auttaa ohje Kuvaajat ja tulokset työselostukseen. Tässä tutkimuksessa erityisen tärkeitä ovat nämä:
- Tausta ja teoria: jousivoiman laki, miksi $F = mg$ ja miksi valitsit juuri nämä akselit.
- Koejärjestely ja menetelmä: mitä muutit, mitä mittasit ja mitä pidit vakiona, myös miten käsittelit punnustelineen.
- Mittaustulokset: alkuperäinen pituus $l$ omassa sarakkeessaan ja johdetut suureet sen oikealla puolella.
- Tulos: $k = (k \pm \Delta k)\ \text{N/m}$ oikein pyöristettynä.
- Luotettavuus: konkreettiset epävarmuuden lähteet ja niiden vaikutuksen suunta.
Laajennus: jousivakio värähtelystä
Kun jouseen ripustettu kappale vedetään hieman alas ja päästetään irti, se värähtelee ylös ja alas. Yhteen edestakaiseen liikkeeseen kuluvaa aikaa kutsutaan värähdysajaksi $T$. Pienillä värähtelyillä värähdysaika riippuu kappaleen massasta ja jousivakiosta:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
missä $T$ on värähdysaika, $m$ värähtelevän kappaleen massa punnustelineineen ja $k$ jousivakio. Värähtelyliikettä käsitellään tarkemmin moduulissa FY5. Kun yhtälön molemmat puolet korotetaan toiseen, saadaan
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{k}\cdot m$$
joten värähdysajan neliö massan funktiona on suora, jonka kulmakerroin on $a = \dfrac{4\pi^2}{k}$. Jousivakio saadaan kulmakertoimesta: $k = \dfrac{4\pi^2}{a}$, ja sen suhteellinen epävarmuus on sama kuin kulmakertoimen: $\dfrac{\Delta k}{k} = \dfrac{\Delta a}{a}$.
Tee mittaukset usealla massalla ja määritä jousivakio tästäkin kuvaajasta. Vertaa kahdella menetelmällä saatuja jousivakioita epävarmuuksineen: mahtuvatko ne toistensa epävarmuusväleihin? Päällekkäiset välit tarkoittavat, että tulokset ovat sopusoinnussa, eivät sitä, että ne on todistettu samoiksi. Kumpi menetelmä vaikutti luotettavammalta, ja miksi?
Vihjeitä. Mittaa yhden värähdyksen sijasta esimerkiksi kymmenen värähdyksen aika ja jaa se kymmenellä: lähtö- ja pysäytyshetken epävarmuus jakautuu silloin kymmenelle värähdykselle. Pidä värähtely pienenä ja pystysuorana. Jousen oma massa värähtelee osittain mukana, ja se voi näkyä kuvaajassa vakioterminä. Kulmakerroin ei riipu siitä.
Arvioi omaa työtäsi
Arvioi työtäsi työselostuspohjan muistilistalla ja vastaa lisäksi:
- Pystyisikö toinen ryhmä toistamaan mittauksesi kuvauksesi perusteella?
- Perustuuko johtopäätöksesi kuvaajaan ja mittaustuloksiin vai siihen, mitä odotit?
- Mitä tekisit toisin, jos aloittaisit alusta?
Sovella: Ylioppilastutkinnon syksyn 2024 fysiikan kokeen tehtävässä 11 arvioidaan kuminauhalla tehdyn vastaavan kokeen työselostusta. Etsi sen jokaisesta numeroidusta kohdasta fysikaalisesti merkittävin virhe ja kerro, miten koe tai raportointi olisi pitänyt tehdä oikein. Tehtävä ja aineisto: Yle Abitreenit, fysiikka syksy 2024.
Opettajalle
Valmistelu. Valitse jousi ja punnukset niin, että kuuden mittauspisteen sarja mahtuu jousen kimmoiselle alueelle; kokeile suurin kuorma etukäteen. Tarkista, että statiivi on vakaa ja varsi kiinni. Laajennukseen tarvitaan ajanottoväline tai liikeanturi.
Tavallisia virhekäsityksiä ja ongelmia.
- Vaaka-akselille piirretään jousen pituus venymän sijasta: kulmakerroin on silti jousivakio, mutta suora ei kulje origon kautta eikä verrannollisuus näy suoraan. Jos voima ja venymä vaihtavat paikkaa, kulmakerroin on jousivakion käänteisluku.
- Jousivakio lasketaan yhdestä mittauspisteestä tai pisteittäin keskiarvona, eikä kuvaajan avulla.
- Massa sekoitetaan voimaan: grammat jätetään muuntamatta kilogrammoiksi tai painoa ei lasketa.
- Pisteet yhdistetään murtoviivalla eikä niihin sovitettu suoraa.
- Punnustelinettä käsitellään epäjohdonmukaisesti (pituus $l_0$ ilman telinettä, mutta telineen massa jätetään pois voimasta), mikä näkyy vakioterminä.
- Tiheäkierteisen jousen alkujännitys: pienimmät kuormat eivät vielä venytä jousta, joten alku jätetään sovituksesta pois.
- Laajennuksessa värähdysaika mitataan yhdestä värähdyksestä, jolloin reaktioajan osuus on suuri.
Eriyttäminen. Ohjattu työtapa sopii ensimmäiseksi kokeelliseksi työksi. Osittain ohjatussa opiskelija perustelee mittauspisteiden määrän ja lukutavan. Itsenäisessä työtavassa annetaan vain tutkimuskysymys ja välineet, ja laajennus kuuluu työhön.
Turvallisuus. Kuormitettu jousi ja putoavat punnukset ovat työn tärkeimmät riskit. Laajennuksessa värähtely pidetään pienenä, ettei punnus irtoa.
Yhteys ylioppilastehtävään. Syksyn 2024 tehtävän 11 virheellinen työselostus sopii johdantotehtäväksi ennen omaa mittausta tai työn jälkeen itsenäiseksi arvioinniksi. Mallivastauksia ei julkaista tällä sivulla.