Jousivärähtelijä ja heiluri

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-1Ydintehtävä

   Kappaleen massa on $0{,}80\,\text{kg}$. Se värähtelee jousen varassa kitkattomalla vaakasuoralla alustalla. Jousen jousivakio on $50\,\text{N/m}$. Kuinka suuri on värähtelyn jaksonaika?

   sTarkista
   Vastaus

   $0{,}79\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}80\,\text{kg}$, jousivakio $k = 50\,\text{N/m}$, alusta kitkaton

   Kysytty

   jaksonaika $T$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Alusta on kitkaton, joten liikkeen suunnassa kappaleeseen vaikuttaa vain jousen harmoninen voima $F = -kx$. Liike on silloin harmonista värähtelyä. Sen jaksonaika riippuu vain massasta ja jousivakiosta.

   Kaava

   $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina ja jousivakio yksikössä $\text{N/m}$, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}80\,\text{kg}}{50\,\text{N/m}}}$

   $= 2\pi\sqrt{0{,}016\,\text{s}^2}$

   $= 2\pi \cdot 0{,}1265\,\text{s}$

   $= 0{,}7948\,\text{s}$

   Vastaus

   $0{,}79\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}80\,\text{kg}$ ja jousivakiossa $50\,\text{N/m}$.

   Järkevyys

   Yksikkö:

   $\tfrac{\text{kg}}{\text{N/m}}$$= \tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}$

   $= \text{s}^2$

   joten neliöjuuresta tulee sekunteja. Alle sekunnin jaksonaika on tavallinen koulun jouselle ja alle kilogramman punnukselle. Värähdykset ehtii laskea silmällä.

2. Tehtävä 9-2Ydintehtävä

   Kirjahyllyn kulmaan on ripustettu koristeeksi heiluri, jonka pituus on $0{,}600\,\text{m}$. Heilurin kuula heilahtelee pienin heilahduksin. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka suuri on heilurin jaksonaika?

   sTarkista
   Vastaus

   $1{,}55\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   heilurin pituus $l = 0{,}600\,\text{m}$, pienet heilahdukset, ilmanvastus jätetään huomiotta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   jaksonaika $T$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Heiluri on matemaattinen heiluri: pieni kuula langan varassa ilman ilmanvastusta. Pienillä heilahduksilla painon radan suuntainen komponentti on verrannollinen poikkeamaan. Siksi liike on harmonista, ja jaksonaika riippuu vain pituudesta ja putoamiskiihtyvyydestä.

   Kaava

   $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$

   Muunnokset

   Pituus on metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}600\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}}$

   $= 2\pi\sqrt{0{,}06116\,\text{s}^2}$

   $= 2\pi \cdot 0{,}2473\,\text{s}$

   $= 1{,}554\,\text{s}$

   Vastaus

   $1{,}55\,\text{s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten pituudessa $0{,}600\,\text{m}$ ja putoamiskiihtyvyydessä $9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Noin metrin heilurin jaksonaika on noin $2\,\text{s}$. Pituus on $0{,}6$-kertainen, joten jaksonaika on $\sqrt{0{,}6} \approx 0{,}77$-kertainen. Se on noin $1{,}55\,\text{s}$, joten tulos sopii.

3. Tehtävä 9-3

   Lelussa $0{,}20\,\text{kg}$:n hahmo värähtelee jousen varassa. Jousen jousivakio on $80\,\text{N/m}$. Kuinka suuri on värähtelyn taajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}20\,\text{kg}$, jousivakio $k = 80\,\text{N/m}$

   Kysytty

   taajuus $f$ yksikössä $\text{Hz}$

   Periaate

   Hahmo värähtelee jousen harmonisen voiman vaikutuksesta, joten jaksonaika saadaan jousen ja kappaleen kaavasta. Taajuus on jaksonajan käänteisluku. Se kertoo, montako jaksoa tapahtuu sekunnissa.

   Kaava

   $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ ja $f = \dfrac{1}{T}$, joten

   $f$$= \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $f$$= \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{80\,\text{N/m}}{0{,}20\,\text{kg}}}$

   $= \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{400\,\tfrac{1}{\text{s}^2}}$

   $= \dfrac{20\,\tfrac{1}{\text{s}}}{2\pi}$

   $= 3{,}183\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{Hz}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$ ja jousivakiossa $80\,\text{N/m}$.

   Järkevyys

   Jaksonaika on $\tfrac{1}{3{,}2\,\text{Hz}} \approx 0{,}31\,\text{s}$, joten hahmo pomppii noin kolme kertaa sekunnissa. Se sopii kevyelle lelulle jäykän jousen varassa.

4. Tehtävä 9-4

   Koulun värähtelykokeessa jousen jousivakio on $120\,\text{N/m}$. Jousen päässä oleva kappale värähtelee kitkattomasti vaakasuoralla radalla. Värähtelyn amplitudi on $0{,}050\,\text{m}$. Kuinka suuri on värähtelyn energia?

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}15\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jousivakio $k = 120\,\text{N/m}$, amplitudi $A = 0{,}050\,\text{m}$, kitkaton värähtely

   Kysytty

   värähtelyn energia $E$ yksikössä $\text{J}$

   Periaate

   Kitkattomassa värähtelyssä mekaaninen energia säilyy. Ääriasennossa nopeus on nolla. Siksi koko energia on jousen potentiaalienergiaa poikkeamalla $A$.

   Kaava

   $E = \dfrac{1}{2}kA^2$

   Muunnokset

   Amplitudi on metreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $E$$= \dfrac{1}{2} \cdot 120\,\text{N/m} \cdot (0{,}050\,\text{m})^2$

   $= 60\,\text{N/m} \cdot 0{,}0025\,\text{m}^2$

   $= 0{,}15\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}15\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $0{,}050\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Yksikkö

   $\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \cdot \text{m}^2$$= \text{N}\cdot\text{m}$

   $= \text{J}$

   Jousen voima kasvaa nollasta arvoon

   $kA$$= 120\,\text{N/m} \cdot 0{,}050\,\text{m}$

   $= 6{,}0\,\text{N}$

   joten keskimääräinen voima on $3{,}0\,\text{N}$ ja työ matkalla $0{,}050\,\text{m}$ on $3{,}0\,\text{N} \cdot 0{,}050\,\text{m} = 0{,}15\,\text{J}$. Sama arvo vahvistaa tuloksen. Pienen värähtelyn energia on joulen osia.

5. Tehtävä 9-5

   Jousen varassa värähtelevän kappaleen amplitudi on $3{,}0\,\text{cm}$. Kitkaa ei ole. Kuinka pitkän matkan, metreinä, kappale kulkee yhden jakson aikana?

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}12\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   amplitudi $A = 3{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   yhden jakson aikana kuljettu matka $s$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Yhden jakson aikana kappale lähtee ääriasennosta, kulkee tasapainoaseman kautta toiseen ääriasentoon ja palaa takaisin. Ääriasento on amplitudin päässä tasapainoasemasta. Siksi jakso koostuu neljästä amplitudin pituisesta osasta.

   Kaava

   $s = 4A$

   Muunnokset

   $3{,}0\,\text{cm}$$= 3{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   Sijoitus

   $s$$= 4 \cdot 0{,}030\,\text{m}$

   $= 0{,}12\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}12\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $3{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Ääriasentojen välinen etäisyys on $2A = 6{,}0\,\text{cm}$. Jakson aikana se kuljetaan kahdesti, ensin yhteen suuntaan ja sitten toiseen: $2 \cdot 6{,}0\,\text{cm} = 12\,\text{cm}$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-6Ydintehtävä

   Tiedekeskuksen heilurin halutaan tekevän yhden täyden heilahduksen eli jakson tasan $1{,}50\,\text{s}$:ssa. Heilahdukset ovat pieniä, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka pitkä heilurin pitää olla?

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}559\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jaksonaika $T = 1{,}50\,\text{s}$, pienet heilahdukset, ilmanvastus jätetään huomiotta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   heilurin pituus $l$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Pienillä heilahduksilla heiluri on harmoninen värähtelijä. Sen jaksonaika riippuu vain pituudesta ja putoamiskiihtyvyydestä. Ratkaistaan pituus jaksonajan kaavasta.

   Kaava

   $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$, josta $T^2 = 4\pi^2\dfrac{l}{g}$ ja $l = \dfrac{gT^2}{4\pi^2}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $l$$= \dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot (1{,}50\,\text{s})^2}{4\pi^2}$

   $= \dfrac{22{,}07\,\text{m}}{39{,}48}$

   $= 0{,}5591\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}559\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $1{,}50\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus: pituudella $0{,}559\,\text{m}$ kaava antaa jaksonajaksi $1{,}50\,\text{s}$. Lisäksi noin metrin heilurin jaksonaika on noin $2\,\text{s}$. Heiluri, jonka jaksonaika on alle $2\,\text{s}$, on siis lyhyempi kuin metri.

2. Tehtävä 9-7Ydintehtävä

   Jousen varassa värähtelee $0{,}30\,\text{kg}$:n punnus. Jaksonaika halutaan kaksinkertaiseksi samalla jousella. Se tehdään lisäämällä punnukseen massaa. Kuinka paljon massaa pitää lisätä?

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}90\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   punnuksen massa $m_1 = 0{,}30\,\text{kg}$, jousi pysyy samana, jaksonaika kaksinkertaistuu: $T_2 = 2T_1$

   Kysytty

   lisättävä massa $\Delta m$ yksikössä $\text{kg}$

   Periaate

   Jousen ja kappaleen jaksonaika on verrannollinen massan neliöjuureen, kun jousivakio pysyy samana. Jaksonajan kaksinkertaistaminen vaatii siksi nelinkertaisen massan.

   Kaava

   $\dfrac{T_2}{T_1}$$= \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}$

   josta

   $m_2$$= \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2 m_1$

   $= 4m_1$

   $\Delta m = m_2 - m_1 = 3m_1$

   Muunnokset

   Massa on kilogrammoina, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\Delta m$$= 3 \cdot 0{,}30\,\text{kg}$

   $= 0{,}90\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}90\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}30\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Kokonaismassa on $1{,}20\,\text{kg}$, nelinkertainen alkuperäiseen nähden, ja $\sqrt{4} = 2$. Tavallinen virhe on kaksinkertaistaa massa. Silloin jaksonaika kasvaisi vain $\sqrt{2} \approx 1{,}4$-kertaiseksi.

3. Tehtävä 9-8

   Kitkattomalla ilmatyynyradalla oleva $0{,}40\,\text{kg}$:n vaunu on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on $25\,\text{N/m}$. Vaunu vedetään $8{,}0\,\text{cm}$ tasapainoasemasta ja päästetään irti levosta. Kuinka suuri on vaunun suurin nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}63\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}40\,\text{kg}$, jousivakio $k = 25\,\text{N/m}$, amplitudi $A = 8{,}0\,\text{cm}$, rata kitkaton, lähtö levosta

   Kysytty

   suurin nopeus $v_\text{max}$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Radalla ei ole kitkaa, joten värähtelijän mekaaninen energia säilyy. Ääriasennossa kaikki energia on jousen potentiaalienergiaa. Tasapainoasemassa kaikki energia on liike-energiaa, ja siellä nopeus on suurin.

   Kaava

   $\dfrac{1}{2}mv_\text{max}^2$$= \dfrac{1}{2}kA^2$

   josta $v_\text{max} = A\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

   Muunnokset

   $8{,}0\,\text{cm}$$= 8{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}080\,\text{m}$

   Sijoitus

   $v_\text{max}$$= 0{,}080\,\text{m} \cdot \sqrt{\dfrac{25\,\text{N/m}}{0{,}40\,\text{kg}}}$

   $= 0{,}080\,\text{m} \cdot 7{,}906\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   $= 0{,}6325\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}63\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Energiatarkistus:

   $\tfrac{1}{2} \cdot 25\,\text{N/m} \cdot (0{,}080\,\text{m})^2$

   $= 0{,}080\,\text{J}$

   $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}40\,\text{kg} \cdot (0{,}6325\,\text{m/s})^2$

   $= 0{,}080\,\text{J}$

   Vaunu liikkuu suurimmillaan vähän yli puoli metriä sekunnissa. Se on ilmatyynyradalla tavallista.

4. Tehtävä 9-9

   Maan pinnalla heilurin jaksonaika on $2{,}00\,\text{s}$. Sama heiluri viedään Marsiin, jossa putoamiskiihtyvyys on $3{,}71\,\text{m/s}^2$. Heilahdukset ovat pieniä. Kuinka suuri on heilurin jaksonaika Marsissa?

   sTarkista
   Vastaus

   $3{,}25\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jaksonaika Maassa $T_\text{M} = 2{,}00\,\text{s}$, $g_\text{M} = 9{,}81\,\text{m/s}^2$, Marsissa $g_\text{Mars} = 3{,}71\,\text{m/s}^2$, pienet heilahdukset

   Kysytty

   jaksonaika Marsissa $T_\text{Mars}$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Pienillä heilahduksilla heilurin jaksonaika on $2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$. Heilurin pituus pysyy samana. Siksi jaksonaika on kääntäen verrannollinen putoamiskiihtyvyyden neliöjuureen. Pituutta ei tarvitse laskea.

   Kaava

   $\dfrac{T_\text{Mars}}{T_\text{M}}$$= \sqrt{\dfrac{g_\text{M}}{g_\text{Mars}}}$

   josta

   $T_\text{Mars}$$= T_\text{M}\sqrt{\dfrac{g_\text{M}}{g_\text{Mars}}}$

   Muunnokset

   Kummankin putoamiskiihtyvyyden yksikkö on $\text{m/s}^2$. Yksikkö supistuu, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $T_\text{Mars}$$= 2{,}00\,\text{s} \cdot \sqrt{\dfrac{9{,}81\,\text{m/s}^2}{3{,}71\,\text{m/s}^2}}$

   $= 2{,}00\,\text{s} \cdot \sqrt{2{,}644}$

   $= 2{,}00\,\text{s} \cdot 1{,}626$

   $= 3{,}252\,\text{s}$

   Vastaus

   $3{,}25\,\text{s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $2{,}00\,\text{s}$ ja putoamiskiihtyvyydessä $3{,}71\,\text{m/s}^2$.

   Järkevyys

   Marsissa palauttava voima on pienempi, joten heiluri heilahtaa hitaammin ja jaksonaika kasvaa. Putoamiskiihtyvyys on noin kolmasosa Maan arvosta, ja $\sqrt{3} \approx 1{,}7$. Jaksonaika on siis noin $1{,}6$–$1{,}7$-kertainen.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 9-10

   Kappaleen massa on $0{,}50\,\text{kg}$. Se värähtelee kitkattomasti jousen varassa. Jousen jousivakio on $200\,\text{N/m}$ ja värähtelyn amplitudi $0{,}100\,\text{m}$. Kuinka suuri on kappaleen nopeus, kun se on $0{,}0500\,\text{m}$:n päässä tasapainoasemasta?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}7\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   massa $m = 0{,}50\,\text{kg}$, jousivakio $k = 200\,\text{N/m}$, amplitudi $A = 0{,}100\,\text{m}$, poikkeama $x = 0{,}0500\,\text{m}$, kitkaton värähtely

   Kysytty

   nopeus $v$ kohdassa $x$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Kitkattomassa värähtelyssä mekaaninen energia säilyy. Jokaisessa kohdassa liike-energian ja jousen potentiaalienergian summa on yhtä suuri kuin energia ääriasennossa, jossa nopeus on nolla. Kohdassa $x$ osa energiasta on vielä jousessa. Siksi nopeus on siellä pienempi kuin tasapainoasemassa.

   Kaava

   $\dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2}kx^2$$= \dfrac{1}{2}kA^2$

   josta $v^2 = \dfrac{k}{m}(A^2 - x^2)$ ja $v = \sqrt{\dfrac{k}{m}(A^2 - x^2)}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   Ensin

   $\dfrac{k}{m}$$= \dfrac{200\,\text{N/m}}{0{,}50\,\text{kg}}$

   $= 400\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$

   $A^2 - x^2$$= (0{,}100\,\text{m})^2 - (0{,}0500\,\text{m})^2$

   $= 0{,}00750\,\text{m}^2$

   joten

   $v$$= \sqrt{400\,\tfrac{1}{\text{s}^2} \cdot 0{,}00750\,\text{m}^2}$

   $= \sqrt{3{,}00\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

   $= 1{,}732\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $1{,}7\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Tasapainoasemassa nopeus olisi

   $A\sqrt{\tfrac{k}{m}}$$= 0{,}100\,\text{m} \cdot 20\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   $= 2{,}0\,\text{m/s}$

   Puolessa amplitudissa jousessa on vasta neljäsosa energiasta, koska $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}$. Liike-energiaa on siis kolme neljäsosaa, ja nopeus on $\sqrt{0{,}75} \approx 0{,}87$-kertainen eli $1{,}7\,\text{m/s}$. Nopeus ei siis ole puolet suurimmasta.

2. Tehtävä 9-11

   Auton massa on $1200\,\text{kg}$. Kun $80\,\text{kg}$:n matkustaja istuu autoon, auton kori painuu jousituksen varassa $3{,}0\,\text{cm}$ alemmas. Mallinnetaan koko auto matkustajineen yhtenä kappaleena yhden jousen varassa. Iskunvaimentimet jätetään huomiotta.

   Kuinka suuri on korin pystysuoran värähtelyn jaksonaika, kun auto ajaa kuoppaan matkustaja kyydissään?

   sTarkista
   Vastaus

   $1{,}4\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   matkustajan massa $m_\text{p} = 80\,\text{kg}$, auton massa $1200\,\text{kg}$, painuma $\Delta x = 3{,}0\,\text{cm}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; malli: yksi kappale yhden jousen varassa, ei vaimennusta

   Kysytty

   korin värähtelyn jaksonaika $T$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Tehtävässä on kaksi ideaa. Ensin lasketaan jousivakio. Kun matkustaja on istunut ja auto on taas levossa, jousen lisävoima on yhtä suuri kuin matkustajan paino. Siksi $k\Delta x = m_\text{p}g$. Sitten lasketaan jaksonaika. Pystysuorassa värähtelyssä paino siirtää vain tasapainoasemaa, joten jaksonaika on $2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}$. Tässä $m$ on koko värähtelevä massa eli auto ja matkustaja.

   Kaava

   $k = \dfrac{m_\text{p}g}{\Delta x}$ ja $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$, joten

   $T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{m\,\Delta x}{m_\text{p}g}}$

   Muunnokset

   $\Delta x$$= 3{,}0\,\text{cm}$

   $= 3{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}030\,\text{m}$

   värähtelevä massa

   $m$$= 1200\,\text{kg} + 80\,\text{kg}$

   $= 1280\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $k$$= \dfrac{80\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}030\,\text{m}}$

   $= 26\,160\,\text{N/m}$

   $T$$= 2\pi\sqrt{\dfrac{1280\,\text{kg}}{26\,160\,\text{N/m}}}$

   $= 2\pi\sqrt{0{,}04893\,\text{s}^2}$

   $= 2\pi \cdot 0{,}2212\,\text{s}$

   $= 1{,}390\,\text{s}$

   Vastaus

   $1{,}4\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten painumassa $3{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Autot keinuvat jousituksellaan noin sekunnin jaksoissa, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Todellisuudessa iskunvaimentimet vaimentavat värähtelyn yhteen tai kahteen heilahdukseen. Lisäksi jokaisella pyörällä on oma jousensa. Malli kertoo siis vain suuruusluokan.

3. Tehtävä 9-12

   Heilurikellon heiluri on $0{,}994\,\text{m}$ pitkä, ja kello käy keväällä täsmälleen oikein. Kesän helteellä heilurin tanko pitenee lämpölaajenemisen vuoksi $0{,}50\,\text{mm}$. Kello laskee heilahduksia ja olettaa jokaisen jakson yhtä pitkäksi kuin keväällä. Heilahdukset ovat pieniä.

   Kuinka monta sekuntia kello jätättää vuorokaudessa?

   sTarkista
   Vastaus

   $22\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   keväällä heilurin pituus $l = 0{,}994\,\text{m}$, kesällä pidempi $\Delta l = 0{,}50\,\text{mm}$, pienet heilahdukset, vuorokausi $t = 86\,400\,\text{s}$

   Kysytty

   kellon jätätys vuorokaudessa $\Delta t$ yksikössä $\text{s}$

   Periaate

   Pienillä heilahduksilla jaksonaika on $2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}$, joten pidempi heiluri heilahtaa hitaammin. Kello laskee jaksoja ja lisää jokaisesta kevään jaksonajan $T$, vaikka todellinen jakso kestää $T'$. Vuorokaudessa se ehtii tehdä vain $\tfrac{t}{T'}$ pidempää jaksoa $T'$. Siksi se näyttää aikaa $\tfrac{t}{T'}T$ ja jää jälkeen. Putoamiskiihtyvyys supistuu jaksonaikojen suhteesta.

   Kaava

   $\dfrac{T'}{T}$$= \sqrt{\dfrac{l + \Delta l}{l}}$

   $\Delta t = t - \dfrac{t}{T'}T$, josta

   $\Delta t$$= t\left(1 - \dfrac{T}{T'}\right)$

   $= t\left(1 - \sqrt{\dfrac{l}{l + \Delta l}}\right)$

   Muunnokset

   $\Delta l$$= 0{,}50\,\text{mm}$

   $= 0{,}50 \cdot 0{,}001\,\text{m}$

   $= 0{,}00050\,\text{m}$

   vuorokausi

   $t$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 86\,400\,\text{s}$

   Sijoitus

   $\Delta t$$= 86\,400\,\text{s} \cdot \left(1 - \sqrt{\dfrac{0{,}994\,\text{m}}{0{,}9945\,\text{m}}}\right)$

   $= 86\,400\,\text{s} \cdot (1 - 0{,}999\,749)$

   $= 86\,400\,\text{s} \cdot 0{,}000\,251$

   $= 21{,}7\,\text{s}$

   Välitulosta ei saa pyöristää. Jo pyöristys $1 - 0{,}9997 = 0{,}0003$ antaisi $26\,\text{s}$.

   Vastaus

   $22\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten pitenemisessä $0{,}50\,\text{mm}$.

   Järkevyys

   Pituus kasvaa suhteellisesti $\tfrac{0{,}50\,\text{mm}}{994\,\text{mm}} \approx 0{,}050\,\%$. Neliöjuuren vuoksi jaksonaika kasvaa noin puolet siitä eli $0{,}025\,\%$. Vuorokaudesta se on $0{,}00025 \cdot 86\,400\,\text{s} \approx 22\,\text{s}$. Siksi tarkoissa heilurikelloissa käytettiin heilureita, jotka kompensoivat lämpötilan muutoksia.