Ideaalikaasun tilanyhtälö $pV = nRT$

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 12-1Ydintehtävä

   Jääkaapin sisätilan tilavuus on $0{,}250\,\text{m}^3$. Kun ovi on ollut kiinni pitkään, kaapissa olevan ilman lämpötila on $278\,\text{K}$ ja paine $1{,}01 \cdot 10^5\,\text{Pa}$.

   Kuinka monta moolia ilmaa jääkaapissa on? Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$.

   molTarkista
   Vastaus

   $10{,}9\,\text{mol}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jääkaapin ilma, $V = 0{,}250\,\text{m}^3$, $T = 278\,\text{K}$, $p = 1{,}01 \cdot 10^5\,\text{Pa}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   ainemäärä $n$ mooleina

   Periaate

   Kaapin ilma on kiinteässä astiassa, ja sen paine, tilavuus ja lämpötila tunnetaan yhtä aikaa. Ideaalikaasun tilanyhtälö yhdistää nämä kolme ainemäärään, ja ilma käyttäytyy ideaalikaasun tavoin tavallisessa paineessa ja lämpötilassa.

   Kaava

   $pV = nRT$, josta $n = \dfrac{pV}{RT}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska tilavuus on kuutiometreinä, paine pascaleina ja lämpötila kelvineinä. Tällöin $\text{Pa}\cdot\text{m}^3 = \text{J}$, ja joulet supistuvat.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{1{,}01 \cdot 10^5\,\text{Pa} \cdot 0{,}250\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 278\,\text{K}}$

   $= 10{,}93\,\text{mol}$

   Vastaus

   $10{,}9\,\text{mol}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($0{,}250\,\text{m}^3$, $278\,\text{K}$, $1{,}01 \cdot 10^5\,\text{Pa}$ ja $R = 8{,}31$) on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Huoneenlämmössä ja normaalipaineessa litrassa ilmaa on noin $0{,}041\,\text{mol}$, joten $250\,\textsf{l}$ sisältää noin $250 \cdot 0{,}041 \approx 10\,\text{mol}$. Kylmässä ilmaa mahtuu hieman enemmän, koska $293\,\text{K} / 278\,\text{K} \approx 1{,}05$. Tulos $10{,}9\,\text{mol}$ on siis uskottava, ja ilman massa on noin $10{,}9\,\text{mol} \cdot 29\,\text{g/mol} \approx 0{,}32\,\text{kg}$.

2. Tehtävä 12-2Ydintehtävä

   Koripallon sisätilavuus on $0{,}00710\,\text{m}^3$, ja siinä on $0{,}460\,\text{mol}$ ilmaa. Liikuntasalin lämpötila on $293\,\text{K}$. Mikä on ilman paine pallon sisällä? Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Anna vastaus kilopascaleina.

   kPaTarkista
   Vastaus

   $158\,\text{kPa}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   koripallon ilma, $V = 0{,}00710\,\text{m}^3$, $n = 0{,}460\,\text{mol}$, $T = 293\,\text{K}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   paine $p$ kilopascaleina

   Periaate

   Pallossa on tietty määrä ilmaa tietyssä tilavuudessa ja lämpötilassa. Ilma käyttäytyy ideaalikaasuna, joten tilanyhtälö antaa paineen suoraan ainemäärästä, lämpötilasta ja tilavuudesta.

   Kaava

   $pV = nRT$, josta $p = \dfrac{nRT}{V}$

   Muunnokset

   Tiedot ovat jo perusyksiköissä, joten sijoitus antaa paineen pascaleina, koska $\tfrac{\text{J}}{\text{m}^3} = \text{Pa}$. Lopuksi $1\,\text{kPa} = 1000\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $p$$= \dfrac{0{,}460\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 293\,\text{K}}{0{,}00710\,\text{m}^3}$

   $= 157\,750\,\text{Pa}$

   $= 157{,}75\,\text{kPa}$

   Vastaus

   $158\,\text{kPa}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($0{,}460\,\text{mol}$, $0{,}00710\,\text{m}^3$, $293\,\text{K}$ ja $R = 8{,}31$) on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Ilmanpaine on noin $101\,\text{kPa}$, joten pallon ylipaine on noin $158\,\text{kPa} - 101\,\text{kPa} \approx 57\,\text{kPa}$. Se on tyypillinen pumpatun koripallon ylipaine, joten pallo on kova mutta ei ylipumpattu. Paine on selvästi ilmanpainetta suurempi, kuten täyteen pumpatulla pallolla kuuluukin.

3. Tehtävä 12-3

   Automaattinen pelastusliivi täyttyy, kun liivin patruunasta vapautuu $0{,}400\,\text{mol}$ hiilidioksidia. Kaasun lämpötila liivissä on $283\,\text{K}$ ja paine $1{,}05 \cdot 10^5\,\text{Pa}$. Kuinka suuri on kaasun tilavuus liivissä? Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Anna vastaus kuutiometreinä.

   m³Tarkista
   Vastaus

   $0{,}00896\,\text{m}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   liivin hiilidioksidi, $n = 0{,}400\,\text{mol}$, $T = 283\,\text{K}$, $p = 1{,}05 \cdot 10^5\,\text{Pa}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   tilavuus $V$ kuutiometreinä

   Periaate

   Kun kaasu on vapautunut liiviin, sen paine on liivin paine ja sen lämpötila tunnetaan. Kaasun ainemäärä on tiedossa, joten tilanyhtälö antaa tilavuuden. Kaasun laatu ei vaikuta laskuun, koska tilanyhtälössä ei ole moolimassaa.

   Kaava

   $pV = nRT$, josta $V = \dfrac{nRT}{p}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: ainemäärä on moolina, lämpötila kelvineinä ja paine pascaleina, joten tilavuus tulee kuutiometreinä.

   Sijoitus

   $V$$= \dfrac{0{,}400\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 283\,\text{K}}{1{,}05 \cdot 10^5\,\text{Pa}}$

   $= 0{,}008959\,\text{m}^3$

   Vastaus

   $0{,}00896\,\text{m}^3$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($0{,}400\,\text{mol}$, $283\,\text{K}$, $1{,}05 \cdot 10^5\,\text{Pa}$ ja $R = 8{,}31$) on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Tulos on noin $9{,}0\,\textsf{l}$. Huoneenlämmössä mooli kaasua vie noin $24\,\textsf{l}$, joten $0{,}400\,\text{mol}$ vie noin $0{,}400 \cdot 24\,\textsf{l} \approx 9{,}6\,\textsf{l}$, ja hieman kylmemmässä tilavuus on vähän pienempi. Hiilidioksidin massa on vain $0{,}400\,\text{mol} \cdot 44\,\text{g/mol} \approx 18\,\text{g}$, mikä on patruunan kokoluokka.

4. Tehtävä 12-4

   Mökin laiturilla on tummanvärinen muovitynnyri, jonka kansi on kiinni. Tynnyrin tilavuus on $0{,}200\,\text{m}^3$, ja siinä on $8{,}40\,\text{mol}$ ilmaa. Aurinkoisena iltapäivänä ilman paine tynnyrissä on $1{,}13 \cdot 10^5\,\text{Pa}$.

   Mikä on ilman lämpötila tynnyrissä kelvineinä? Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$.

   KTarkista
   Vastaus

   $324\,\text{K}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tynnyrin ilma, $V = 0{,}200\,\text{m}^3$, $n = 8{,}40\,\text{mol}$, $p = 1{,}13 \cdot 10^5\,\text{Pa}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   lämpötila $T$ kelvineinä

   Periaate

   Tynnyri on suljettu, joten ilman ainemäärä ja tilavuus ovat tiedossa, ja paine on mitattu. Tilanyhtälöstä saadaan lämpötila, kun ilma käyttäytyy ideaalikaasuna.

   Kaava

   $pV = nRT$, josta $T = \dfrac{pV}{nR}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita: paine on pascaleina, tilavuus kuutiometreinä ja ainemäärä moolina, joten tulos tulee suoraan kelvineinä.

   Sijoitus

   $T$$= \dfrac{1{,}13 \cdot 10^5\,\text{Pa} \cdot 0{,}200\,\text{m}^3}{8{,}40\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}}$

   $= 323{,}8\,\text{K}$

   Vastaus

   $324\,\text{K}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($0{,}200\,\text{m}^3$, $8{,}40\,\text{mol}$, $1{,}13 \cdot 10^5\,\text{Pa}$ ja $R = 8{,}31$) on annettu kolmella numerolla.

   Järkevyys

   Celsiusasteina tulos on $323{,}8 - 273{,}15 \approx 51\,{}^\circ\text{C}$, mikä on mahdollinen lämpötila tummalle tynnyrille kesäauringossa. Samalla ainemäärällä ja tilavuudella paine $101\,\text{kPa}$ vastaisi lämpötilaa $16\,{}^\circ\text{C}$, joten paine on noussut noin $12\,\%$ lämpötilan noustessa. Paine kasvaa lämpötilan mukana, kuten sen pitääkin.

5. Tehtävä 12-5

   Kotona käytettävän hiilihapotuslaitteen kaasupullossa on $425\,\text{g}$ hiilidioksidia. Hiilidioksidin moolimassa on $44\,\text{g/mol}$. Kuinka monta moolia hiilidioksidia pullossa on?

   molTarkista
   Vastaus

   $9{,}7\,\text{mol}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hiilidioksidi, $m = 425\,\text{g}$, $M = 44\,\text{g/mol}$

   Kysytty

   ainemäärä $n$ moolina

   Periaate

   Moolimassa kertoo yhden moolin massan, joten kaasun kokonaismassa jaettuna moolimassalla antaa moolien lukumäärän. Tilanyhtälöä ei tarvita, koska paine ja lämpötila eivät vaikuta aineen määrään.

   Kaava

   $M = \dfrac{m}{n}$, josta $n = \dfrac{m}{M}$

   Muunnokset

   Muunnoksia ei tarvita, koska massa ja moolimassa ovat molemmat grammoina. Grammat supistuvat, ja jäljelle jää mooli.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{425\,\text{g}}{44\,\text{g/mol}}$

   $= 9{,}659\,\text{mol}$

   Vastaus

   $9{,}7\,\text{mol}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on moolimassa $44\,\text{g/mol}$ (kaksi numeroa); massa $425\,\text{g}$ on kolmen numeron arvo.

   Järkevyys

   Jos moolimassa pyöristetään arvoon $40\,\text{g/mol}$, saadaan noin $425 / 40 \approx 10{,}6\,\text{mol}$, joten tulos $9{,}7\,\text{mol}$ on samaa suuruusluokkaa ja hieman pienempi, koska todellinen moolimassa on suurempi. Tarkistus takaisin: $9{,}659\,\text{mol} \cdot 44\,\text{g/mol} = 425\,\text{g}$. Huoneenlämmössä kaasu veisi noin $9{,}7 \cdot 24\,\textsf{l} \approx 230\,\textsf{l}$.

6. Tehtävä 12-6

   Mitä ainemäärä $n$ kuvaa ideaalikaasun tilanyhtälössä $pV = nRT$?

   Valitse vaihtoehto.

   • Kaasun tiheyttä, koska tiheässä kaasussa hiukkasia on enemmän samassa tilassa.
   • Hiukkasten lukumäärää mooleina, koska yksi mooli on aina sama määrä hiukkasia.
   • Hiukkasten nopeutta, koska nopeammat hiukkaset törmäävät seinään useammin.
   • Kaasun massaa, koska raskaampi kaasu sisältää enemmän ainetta ja aiheuttaa suuremman paineen.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Hiukkasten lukumäärää mooleina, koska yksi mooli on aina sama määrä hiukkasia.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mitä ainemäärä $n$ kuvaa tilanyhtälössä $pV = nRT$.

   Periaate

   Mooli on hiukkasten lukumäärän yksikkö, ja yhdessä moolissa on aina $6{,}022 \cdot 10^{23}$ hiukkasta aineesta riippumatta. Tilanyhtälö sitoo paineen, tilavuuden ja lämpötilan kaasun hiukkasmäärään.

   Mallivastaus

   Ainemäärä kertoo kaasun hiukkasten lukumäärän mooleina, $n = N/N_\text{A}$. Se ei ole kaasun massa: massa on $m = nM$, ja moolimassa $M$ ei esiinny tilanyhtälössä. Se ei myöskään ole tiheys eikä hiukkasten nopeus, koska tilavuus $V$ ja lämpötila $T$ ovat yhtälössä omina suureinaan.

7. Tehtävä 12-7

   Ilmapallo on täytetty heliumilla huoneessa, jossa lämpötila on $21\,{}^\circ\text{C}$ ja ilmanpaine $101\,\text{kPa}$. Pallon tilavuus on silloin $2{,}50\,\textsf{l}$.

   Pallo viedään ulos, jossa lämpötila on $-9\,{}^\circ\text{C}$ ja ilmanpaine $98\,\text{kPa}$. Pallon kaasun paine on aina sama kuin ympäröivän ilman paine, eikä kaasua pääse pois.

   Mikä on pallon tilavuus ulkona litroina?

   lTarkista
   Vastaus

   $2{,}3\,\textsf{l}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   helium, $V_1 = 2{,}50\,\textsf{l}$, $\theta_1 = 21\,{}^\circ\text{C}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$; $\theta_2 = -9\,{}^\circ\text{C}$, $p_2 = 98\,\text{kPa}$

   Kysytty

   tilavuus $V_2$ litroina

   Periaate

   Kaasua ei pääse pois, joten ainemäärä $n$ pysyy samana. Tilanyhtälö $pV = nRT$ antaa kummassakin tilassa saman luvun $nR = pV/T$, joten $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$.

   Kaava

   $\dfrac{p_1V_1}{T_1}$$= \dfrac{p_2V_2}{T_2}$

   josta $V_2 = \dfrac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$

   Muunnokset

   $T_1$$= (21 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 294{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= (-9 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 264{,}15\,\text{K}$

   Paineen ja tilavuuden yksiköt supistuvat, joten niitä ei tarvitse muuntaa.

   Sijoitus

   $V_2$$= \dfrac{101\,\text{kPa} \cdot 2{,}50\,\textsf{l} \cdot 264{,}15\,\text{K}}{98\,\text{kPa} \cdot 294{,}15\,\text{K}}$

   $= 2{,}314\,\textsf{l}$

   Vastaus

   $2{,}3\,\textsf{l}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska paine $98\,\text{kPa}$ on annettu kahdella numerolla (välitulos $2{,}314\,\textsf{l}$).

   Järkevyys

   Lämpötila laskee suhteessa $264{,}15 : 294{,}15 \approx 0{,}90$, mikä pienentää tilavuutta kymmenyksellä. Paine laskee suhteessa $98 : 101 \approx 0{,}97$, mikä kasvattaa tilavuutta kolmella prosentilla. Tilavuuden suhde on $0{,}90 : 0{,}97 \approx 0{,}93$ ja $0{,}93 \cdot 2{,}50\,\textsf{l} \approx 2{,}3\,\textsf{l}$, mikä vastaa tulosta.

8. Tehtävä 12-8

   Oppilas laskee kaasun ainemäärän, kun tiedetään paine $150\,\text{kPa}$, tilavuus $0{,}0020\,\text{m}^3$ ja lämpötila $300\,\text{K}$. Hän kirjoittaa

   $n = \dfrac{150 \cdot 0{,}0020}{8{,}31 \cdot 300} = 1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{mol}$

   Tulos tuntuu oppilaasta pieneltä, koska kahden litran kaasumäärässä on varmasti enemmän kuin tuhannesosa moolista. Mikä virhe laskussa on?

   Valitse vaihtoehto.

   • Tilavuus on sijoitettu kuutiometreinä, vaikka tilanyhtälö vaatii sen litroina.
   • Lämpötila on sijoitettu celsiusasteina eikä kelvineinä, joten nimittäjä on liian pieni.
   • Kaasun moolimassa puuttuu laskusta, joten ainemäärää ei voi laskea tilanyhtälöstä.
   • Paine on sijoitettu kilopascaleina eikä pascaleina, joten osoittaja on liian pieni.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Paine on sijoitettu kilopascaleina eikä pascaleina, joten osoittaja on liian pieni.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   mikä virhe oppilaan laskussa on.

   Periaate

   Tilanyhtälö toimii oikein vain, kun suureet ovat perusyksiköissä: paine pascaleina, tilavuus kuutiometreinä ja lämpötila kelvineinä. Muuten tulokseen jää yksikön kerroin.

   Mallivastaus

   Oppilas sijoitti paineen $150\,\text{kPa}$ lukuna $150$ pascaleiden sijaan. Oikea paine on $150\,000\,\text{Pa}$, jolloin $n = \dfrac{150\,000 \cdot 0{,}0020}{8{,}31 \cdot 300} \approx 0{,}12\,\text{mol}$. Oppilaan tulos on siis tuhat kertaa liian pieni, kuten hänen arvionsakin vihjasi. Lämpötila ja tilavuus oli sijoitettu oikeissa yksiköissä, eikä moolimassaa tarvita.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 12-9Ydintehtävä

   Ensihoitoauton happipullon painemittari on rikki. Pullon tilavuus on $10{,}0\,\textsf{l}$, ja punnitsemalla selviää, että pullossa on $2{,}40\,\text{kg}$ happea. Autotallissa lämpötila on $15\,{}^\circ\text{C}$.

   Mikä on hapen paine pullossa baareina ($1\,\text{bar}$ = $100\,\text{kPa}$)? Hapen moolimassa on $32{,}0\,\text{g/mol}$. Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$ ja oleta, että happi noudattaa ideaalikaasun tilanyhtälöä.

   barTarkista
   Vastaus

   $180\,\text{bar}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   happi, $V = 10{,}0\,\textsf{l}$, $m = 2{,}40\,\text{kg}$, $\theta = 15\,{}^\circ\text{C}$, $M = 32{,}0\,\text{g/mol}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   paine $p$ baareina, kun $1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$

   Periaate

   Pullon happi on kiinteässä tilavuudessa tunnetussa lämpötilassa, ja sen ainemäärän saa punnitsemalla massasta ja moolimassasta. Oletetaan hapen olevan ideaalikaasua, joten tilanyhtälö antaa paineen.

   Kaava

   $pV = nRT$ ja $n = \dfrac{m}{M}$, joten $p = \dfrac{nRT}{V} = \dfrac{mRT}{MV}$

   Muunnokset

   $V$$= 10{,}0\,\textsf{l}$

   $= 0{,}0100\,\text{m}^3$

   $M$$= 32{,}0\,\text{g/mol}$

   $= 0{,}0320\,\text{kg/mol}$

   $T$$= (15 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 288{,}15\,\text{K}$

   Lopuksi $1\,\text{bar} = 10^5\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{2{,}40\,\text{kg}}{0{,}0320\,\text{kg/mol}}$

   $= 75{,}0\,\text{mol}$

   $p$$= \dfrac{75{,}0\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 288{,}15\,\text{K}}{0{,}0100\,\text{m}^3}$

   $= 1{,}796 \cdot 10^7\,\text{Pa}$

   $= 179{,}6\,\text{bar}$

   Vastaus

   $180\,\text{bar}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($10{,}0\,\textsf{l}$, $2{,}40\,\text{kg}$, $32{,}0\,\text{g/mol}$ ja $R = 8{,}31$) on annettu kolmella numerolla, ja kokonaisasteesta $15\,{}^\circ\text{C}$ saatu $288\,\text{K}$ on myös kolmen numeron arvo.

   Järkevyys

   Täyden happipullon paine on tyypillisesti noin $200\,\text{bar}$, joten lähes täysi pullo on uskottava. Suuruusluokka: mooli kaasua vie normaalipaineessa noin $24\,\textsf{l}$, joten $75\,\text{mol}$ veisi noin $1800\,\textsf{l}$, ja $10\,\textsf{l}$:aan puristettuna paine on noin $1800 / 10 \approx 180$ kertaa ilmanpaine. Näin suuressa paineessa todellinen kaasu poikkeaa ideaalikaasusta muutamia prosentteja, mutta tehtävä pyysi ideaalikaasun arvoa.

2. Tehtävä 12-10Ydintehtävä

   Kemian varastosta löytyy kaasupullo, jonka etiketti on kulunut lukukelvottomaksi.

   Tyhjiöpumpulla tyhjennetty $1{,}00\,\textsf{l}$:n lasipallo täytetään pullon kaasulla, jolloin pallon massa kasvaa $1{,}15\,\text{g}$. Kaasun paine pallossa on $101\,\text{kPa}$ ja lämpötila $22\,{}^\circ\text{C}$.

   Laske kaasun moolimassa grammoina moolia kohti. Mikä kaasu on kyseessä, kun vaihtoehdot ovat helium ($4{,}0\,\text{g/mol}$), typpi ($28\,\text{g/mol}$), happi ($32\,\text{g/mol}$), argon ($40\,\text{g/mol}$) ja hiilidioksidi ($44\,\text{g/mol}$)? Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$.

   g/molTarkista
   Vastaus

   $27{,}9\,\text{g/mol}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tuntematon kaasu, $V = 1{,}00\,\textsf{l}$, massan lisäys $m = 1{,}15\,\text{g}$, $p = 101\,\text{kPa}$, $\theta = 22\,{}^\circ\text{C}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   moolimassa $M$ ja kaasun laji

   Periaate

   Pallo oli tyhjiö, joten massan lisäys on kaasun massa. Tilanyhtälö antaa ainemäärän paineesta, tilavuudesta ja lämpötilasta, ja moolimassa on massa jaettuna ainemäärällä. Tilanyhtälö ei sisällä kaasun lajia, joten laji tunnistetaan vasta moolimassasta.

   Kaava

   $pV = nRT$ ja $n = \dfrac{m}{M}$, joten $\dfrac{pV}{RT} = \dfrac{m}{M}$ ja $M = \dfrac{mRT}{pV}$

   Muunnokset

   $V$$= 1{,}00\,\textsf{l}$

   $= 0{,}00100\,\text{m}^3$

   $p$$= 101\,\text{kPa}$

   $= 101\,000\,\text{Pa}$

   $T$$= (22 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 295{,}15\,\text{K}$

   Massa jätetään grammoiksi, jolloin tulos on yksikössä $\text{g/mol}$.

   Sijoitus

   $M$$= \dfrac{1{,}15\,\text{g} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 295{,}15\,\text{K}}{101\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}00100\,\text{m}^3}$

   $= 27{,}93\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$

   Vastaus

   $27{,}9\,\text{g/mol}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($1{,}00\,\textsf{l}$, $1{,}15\,\text{g}$, $101\,\text{kPa}$ ja $R = 8{,}31$) on annettu kolmella numerolla, ja $295\,\text{K}$ (kokonaisasteesta $22\,{}^\circ\text{C}$) on myös kolmen numeron arvo. Kaasu on typpeä ($28\,\text{g/mol}$).

   Järkevyys

   Ainemäärä on

   $\dfrac{101\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}00100\,\text{m}^3}{8{,}31 \cdot 295{,}15}$

   $= 0{,}0412\,\text{mol}$

   mikä sopii siihen, että litrassa huoneenlämpöistä kaasua on noin $0{,}04\,\text{mol}$. Samalla ainemäärällä massa olisi ollut heliumilla $0{,}16\,\text{g}$, hapella $1{,}32\,\text{g}$, argonilla $1{,}65\,\text{g}$ ja hiilidioksidilla $1{,}81\,\text{g}$, joten vain typpi ($1{,}15\,\text{g}$) sopii.

3. Tehtävä 12-11

   Traktorin dieselmoottorin sylinterissä on imutahdin lopussa $0{,}500\,\textsf{l}$ ilmaa. Ilman paine on $101\,\text{kPa}$ ja lämpötila $30\,{}^\circ\text{C}$.

   Puristustahdin lopussa ilman tilavuus on $0{,}0300\,\textsf{l}$ ja paine $4{,}60\,\text{MPa}$. Venttiilit ovat kiinni, joten ilmaa ei pääse sylinteristä pois.

   Mikä on ilman lämpötila puristuksen lopussa celsiusasteina? Dieselpolttoaine syttyy itsestään noin $250\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilassa. Syttyykö sylinteriin ruiskutettu polttoaine?

   °CTarkista
   Vastaus

   $555\,{}^\circ\text{C}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ilma sylinterissä, alussa $V_1 = 0{,}500\,\textsf{l}$, $p_1 = 101\,\text{kPa}$, $\theta_1 = 30\,{}^\circ\text{C}$; lopussa $V_2 = 0{,}0300\,\textsf{l}$, $p_2 = 4{,}60\,\text{MPa}$

   Kysytty

   loppulämpötila $\theta_2$ celsiusasteina ja syttyykö polttoaine ($250\,{}^\circ\text{C}$)

   Periaate

   Venttiilit ovat kiinni, joten ilman ainemäärä pysyy samana ja $nR$ on vakio. Silloin tilanyhtälöstä seuraa yhdistetty kaasulaki alku- ja lopputilan välillä.

   Kaava

   $\dfrac{p_1 V_1}{T_1}$$= \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$

   josta

   $T_2$$= T_1 \cdot \dfrac{p_2 V_2}{p_1 V_1}$

   $\theta_2 = T_2 - 273{,}15\,\text{K}$

   Muunnokset

   $T_1$$= (30 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 303{,}15\,\text{K}$

   Paineet ja tilavuudet ovat suhteessa, joten ne supistuvat samoissa yksiköissä: $4{,}60\,\text{MPa} = 4600\,\text{kPa}$ ja litrat pysyvät litroina.

   Sijoitus

   $T_2$$= 303{,}15\,\text{K} \cdot \dfrac{4600\,\text{kPa} \cdot 0{,}0300\,\textsf{l}}{101\,\text{kPa} \cdot 0{,}500\,\textsf{l}}$

   $= 828{,}4\,\text{K}$

   $\theta_2$$= 828{,}4 - 273{,}15$

   $= 555{,}3\,{}^\circ\text{C}$

   Vastaus

   $555\,{}^\circ\text{C}$

   Kolme merkitsevää numeroa. Kaikki tiedot ($0{,}500\,\textsf{l}$, $101\,\text{kPa}$, $0{,}0300\,\textsf{l}$, $4{,}60\,\text{MPa}$ ja $303\,\text{K}$ kokonaisasteesta $30\,{}^\circ\text{C}$) ovat kolmen numeron arvoja, ja kelvinlämpötilasta $828\,\text{K}$ vähennetty $273{,}15\,\text{K}$ säilyttää yksiköt. Polttoaine syttyy, koska $555\,{}^\circ\text{C}$ on selvästi yli $250\,{}^\circ\text{C}$.

   Järkevyys

   Tilavuus on noin $17$ kertaa pienempi ja paine noin $46$ kertaa suurempi ($0{,}500/0{,}0300 \approx 16{,}7$ ja $4600/101 \approx 45{,}5$), joten tulo $pV$ ja samalla kelvinlämpötila kasvavat noin $45{,}5 / 16{,}7 \approx 2{,}73$-kertaisiksi: $303\,\text{K} \cdot 2{,}73 \approx 828\,\text{K}$. Tulos täsmää, ja lämpötila nousee, kun kaasua puristetaan, joten dieselmoottori ei tarvitse sytytystulppaa.

4. Tehtävä 12-12

   Kaksi samanlaista, suljettua ja jäykkää astiaa, joiden tilavuus on kummankin $2{,}00\,\textsf{l}$, sisältää kaasunäytteet A ja B.

   Kun astioita lämmitetään, niiden paine mitataan eri lämpötiloissa. Kuvaajassa on mittaustulokset.

   Kuinka monta moolia enemmän kaasua on astiassa A kuin astiassa B? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta. Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$ ja oleta, että kaasut noudattavat ideaalikaasun tilanyhtälöä.

   molTarkista
   Vastaus

   $n_\text{A} - n_\text{B} \approx 0{,}024\,\text{mol}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kummankin astian tilavuus $V = 2{,}00\,\textsf{l}$; kuvaajan mittauspisteet ruudukon risteyksissä, $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   ainemäärien erotus $n_\text{A} - n_\text{B}$

   Periaate

   Astiat ovat suljettuja ja jäykkiä, joten kaasun määrä ja tilavuus pysyvät samoina ja kuvaajan suorat ovat tilanyhtälön mukaisia. Kun kummastakin sarjasta luetaan paine samassa lämpötilassa, tilanyhtälö antaa kummankin ainemäärän ja erotus saadaan vähentämällä.

   Kuvaajan lukeminen

   Luetaan molemmat sarjat samasta lämpötilasta $T = 400\,\text{K}$, joka on ruudukon pystyviiva: kaasu A $p_\text{A} = 100\,\text{kPa}$ ja kaasu B $p_\text{B} = 60\,\text{kPa}$. Pisteiden $T = 200\,\text{K}$ paineet ovat puolet näistä, joten suorat kulkevat origon kautta, kuten $p = nRT/V$ vaatii.

   Kaava

   $pV = nRT$, josta

   $n$$= \dfrac{pV}{RT}$

   $n_\text{A} - n_\text{B}$$= \dfrac{(p_\text{A} - p_\text{B})\,V}{RT}$

   Muunnokset

   $p_\text{A} - p_\text{B}$$= (100 - 60)\,\text{kPa}$

   $= 40\,\text{kPa}$

   $= 40\,000\,\text{Pa}$

   $V$$= 2{,}00\,\textsf{l}$

   $= 0{,}00200\,\text{m}^3$

   Lämpötila on jo kelvineinä.

   Sijoitus

   $n_\text{A} - n_\text{B}$$= \dfrac{40\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}00200\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 400\,\text{K}}$

   $= \dfrac{80\,\text{J}}{3324\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}}}$

   $= 0{,}0241\,\text{mol}$

   Vastaus

   $n_\text{A} - n_\text{B} \approx 0{,}024\,\text{mol}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska tilavuus ja paineiden lukemat ovat kuvaajasta kahden numeron tarkkuudella. Erikseen $n_\text{A} \approx 0{,}060\,\text{mol}$ ja $n_\text{B} \approx 0{,}036\,\text{mol}$. Pisteet luetaan ruudukon risteyksistä, joten hyväksytty väli on kapea: $0{,}0233$–$0{,}0247\,\text{mol}$.

   Järkevyys

   Suoran A kulmakerroin on suurempi, joten kaasua on A:ssa enemmän ja erotus on positiivinen. Paineiden suhde $100 : 60$ on myös ainemäärien suhde: $0{,}060 / 0{,}036 \approx 1{,}7$.

5. Tehtävä 12-13

   Autoilija epäilee, että henkilöauton rengas vuotaa. Hän mittaa renkaan ilman kokonaispaineen ennen ajoa ja heti pitkän ajon jälkeen (esimerkkiaineisto). Renkaan tilavuuden oletetaan pysyvän samana.

   a) Laske, kuinka suuri paine renkaassa olisi ajon jälkeen, jos ilmaa ei olisi vuotanut.

   b) Kuinka monta prosenttia renkaan alkuperäisestä ilmamäärästä on vuotanut? Perustele tilanyhtälöllä, miksi paineen mittaaminen ei yksin riitä vuodon toteamiseen.

   Vastauslaatikkoon tulee b-kohdan tulos.

   Renkaan ilman lämpötila ja kokonaispaine (esimerkkiaineisto)

   Hetki	$\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{kPa})$
   Ennen ajoa	5,0	300
   Ajon jälkeen	26,0	305

   %Tarkista
   Vastaus

   $5{,}5\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   rengas, $\theta_1 = 5{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_1 = 300\,\text{kPa}$ ennen ajoa; $\theta_2 = 26{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_2 = 305\,\text{kPa}$ ajon jälkeen; tilavuus $V$ vakio

   Kysytty

   vuotanut osuus $\dfrac{n_1 - n_2}{n_1}$ prosentteina

   Periaate

   Tilavuus on vakio, joten tilanyhtälöstä $pV = nRT$ saadaan ainemäärä $n = \dfrac{pV}{RT}$ kummassakin tilassa. Lämpötila nousee ajossa, joten paine nousisi vuotamattomassakin renkaassa, ja vuoto näkyy vasta ainemäärien vertailussa.

   Kaava

   $n_1 = \dfrac{p_1V}{RT_1}$ ja $n_2 = \dfrac{p_2V}{RT_2}$, joten

   $\dfrac{n_2}{n_1}$$= \dfrac{p_2 T_1}{p_1 T_2}$

   ja vuotanut osuus on $1 - \dfrac{n_2}{n_1}$

   Muunnokset

   $T_1$$= (5{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 278{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= (26{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 299{,}15\,\text{K}$

   Paineet ovat samassa yksikössä, joten ne supistuvat.

   Sijoitus

   a) Ilman vuotoa ainemäärä ja tilavuus eivät muutu, joten

   $p_2'$$= p_1 \dfrac{T_2}{T_1}$

   $= 300\,\text{kPa} \cdot \dfrac{299{,}15\,\text{K}}{278{,}15\,\text{K}}$

   $= 322{,}6\,\text{kPa}$

   b)

   $\dfrac{n_2}{n_1}$$= \dfrac{305\,\text{kPa} \cdot 278{,}15\,\text{K}}{300\,\text{kPa} \cdot 299{,}15\,\text{K}}$

   $= 0{,}9453$

   joten vuotanut osuus on $1 - 0{,}9453 = 0{,}0547$

   Vastaus

   $5{,}5\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa: osuus on erotus $1 - 0{,}945$, joten paineiden kolmas numero ratkaisee toisen numeron. Vuotamattomassa renkaassa paine olisi ajon jälkeen $323\,\text{kPa}$, mutta mitattu on $305\,\text{kPa}$. Paineen nousu $300 \to 305\,\text{kPa}$ ei yksin kerro vuodosta, koska lämpötilan nousu nostaisi painetta ilman vuotoakin.

   Järkevyys

   Mitattu paine on $305 : 322{,}6 \approx 0{,}945$ vuotamattoman renkaan paineesta, joten ilmaa on jäljellä noin $94{,}5\,\%$ ja vuotanut osuus on noin $5{,}5\,\%$. Lämpötila nousi noin $7{,}5\,\%$ ($278 \to 299\,\text{K}$), mutta paine vain $1{,}7\,\%$, joten ilmaa on täytynyt poistua.

6. Tehtävä 12-14

   Oppilaat tutkivat ilman tilavuuden riippuvuutta lämpötilasta. Ilma on lämmitettävässä ruiskussa, jonka mäntä liikkuu vapaasti. Paine pysyy ilmanpaineena $101\,\text{kPa}$ ja ilmamäärä vakiona. Mittaustulokset ovat taulukossa (esimerkkiaineisto). Piirrä $(T, V)$-kuvaaja ja sovita pisteisiin suora. Pisteet eivät yleensä ole täsmälleen suoralla mittausepävarmuuden vuoksi.

   a) Määritä suoran kulmakerroin $\Delta V / \Delta T$ kahdesta suoralta valitusta pisteestä, ei kahdesta mittauspisteestä.

   b) Laske kulmakertoimesta ruiskun ilman ainemäärä $n$ millimooleina. Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Perustele lyhyesti, miksi suoran pitäisi kulkea origon kautta, kun lämpötila on kelvineinä.

   Vastauslaatikkoon tulee b-kohdan tulos.

   Ilman tilavuus vakiopaineessa (esimerkkiaineisto)

   $T\,(\text{K})$	$V\,(\text{cm}^3)$
   280	115,0
   300	124,1
   320	131,2
   340	140,5
   360	147,6

   mmolTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{mmol}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $p = 101\,\text{kPa}$ vakio, ilmamäärä vakio; $(T, V)$-pisteet taulukossa; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   ainemäärä $n$ millimooleina

   Periaate

   Paine ja ainemäärä ovat vakioita, joten tilanyhtälöstä saadaan $V = \dfrac{nR}{p}\,T$. Tilavuus on suoraan verrannollinen kelvinlämpötilaan, ja $(T, V)$-kuvaajan suoran kulmakerroin on $\dfrac{nR}{p}$.

   Kuvaajan lukeminen

   Piirretään pisteet ja suora, joka kulkee pisteiden lomassa. Pienimmän neliösumman suora on $V = 0{,}408\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{K}} \cdot T + 1{,}1\,\text{cm}^3$, ja omaa suoraa voi verrata siihen. Luetaan suoralta kaksi kaukana toisistaan olevaa pistettä: suoran arvot ovat $(280\,\text{K}$; $115{,}4\,\text{cm}^3)$ ja $(360\,\text{K}$; $148{,}0\,\text{cm}^3)$, eivät taulukon arvot $115{,}0\,\text{cm}^3$ ja $147{,}6\,\text{cm}^3$. Kulmakerroin on

   $k$$= \dfrac{(148{,}0 - 115{,}4)\,\text{cm}^3}{(360 - 280)\,\text{K}}$

   $= 0{,}4075\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{K}}$

   Suoran vakiotermi $1{,}1\,\text{cm}^3$ on pieni verrattuna tilavuuksiin $115$–$148\,\text{cm}^3$, joten suora kulkee lähes origon kautta.

   Kaava

   $k = \dfrac{nR}{p}$, josta $n = \dfrac{kp}{R}$

   Muunnokset

   $k$$= 0{,}4075\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{K}}$

   $= 0{,}4075 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{K}}$

   $p$$= 101\,\text{kPa}$

   $= 101\,000\,\text{Pa}$

   Lopuksi $1\,\text{mol} = 1000\,\text{mmol}$.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{0{,}4075 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{K}} \cdot 101\,000\,\text{Pa}}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}}$

   $= 4{,}953 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{mmol}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska suoran sovituksen mittausepävarmuus on noin $\pm 0{,}1\,\text{mmol}$ (välitulos $4{,}95\,\text{mmol}$). Suoran pitää kulkea origon kautta, koska $V = nRT/p$ on suoraan verrannollinen lämpötilaan, kun $T$ on kelvineinä: lämpötilassa $T = 0$ tilavuus olisi nolla.

   Järkevyys

   Tilavuus $131\,\text{cm}^3$ lämpötilassa $320\,\text{K}$ ja paine $101\,\text{kPa}$ antavat

   $n$$\approx \dfrac{101\,000 \cdot 131 \cdot 10^{-6}}{8{,}31 \cdot 320}$

   $\approx 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{mol}$

   joka vastaa tulosta. Huoneenlämmössä $0{,}13\,\textsf{l}$ ilmaa sisältää noin $0{,}13 \cdot 0{,}041\,\text{mol} \approx 5\,\text{mmol}$.

7. Tehtävä 12-15

   Taulukossa on kahden saman kaasumäärän paine tilavuuden funktiona (esimerkkiaineisto). Sarjat A ja B on mitattu eri lämpötiloissa, ja mittauksissa tilavuudet ovat erilaiset.

   Kumpi sarja on mitattu korkeammassa lämpötilassa?

   Saman kaasumäärän paine ja tilavuus kahdessa lämpötilassa (esimerkkiaineisto)

   $V_\text{A}\,(\textsf{l})$	$p_\text{A}\,(\text{kPa})$	$V_\text{B}\,(\textsf{l})$	$p_\text{B}\,(\text{kPa})$
   1,0	244	1,5	203
   2,0	122	2,5	122
   3,0	81	3,5	87
   4,0	61	4,5	68

   Valitse vaihtoehto.

   • Sarja A, koska sen paine $p$ on pienempi, ja pieni paine merkitsee nopeammin liikkuvia hiukkasia.
   • Sarja A, koska sen paine laskee tilavuuden kasvaessa hitaammin, joten kaasu on lämpimämpää.
   • Sarja B, koska tulo $pV$ on sillä suurempi, ja saman kaasumäärän lämpötila on verrannollinen siihen.
   • Sitä ei voi päätellä, koska sarjojen tilavuudet ovat erilaiset ja paine pienenee kummassakin.

   Vastaa
   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Sarja B, koska tulo $pV$ on sillä suurempi, ja saman kaasumäärän lämpötila on verrannollinen siihen.

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   saman kaasumäärän paineet ja tilavuudet: sarja A tilavuuksilla $1{,}0$–$4{,}0\,\textsf{l}$ ja sarja B tilavuuksilla $1{,}5$–$4{,}5\,\textsf{l}$

   Kysytty

   kumpi sarja on mitattu korkeammassa lämpötilassa.

   Periaate

   Kaasumäärä on sama, joten tilanyhtälöstä $pV = nRT$ seuraa, että tulo $pV$ on suoraan verrannollinen lämpötilaan. Isotermillä tulo $pV$ on vakio, ja korkeammassa lämpötilassa tulo on suurempi. Sarjojen tilavuudet ovat erilaiset, joten paineita ei voi verrata suoraan.

   Mallivastaus

   Sarjassa A tulo $pV$ on joka rivillä noin $244\,\text{kPa} \cdot \textsf{l}$, esimerkiksi $2{,}0\,\textsf{l} \cdot 122\,\text{kPa}$. Sarjassa B se on noin $305\,\text{kPa} \cdot \textsf{l}$, esimerkiksi $2{,}5\,\textsf{l} \cdot 122\,\text{kPa}$. Tulo on suurempi sarjassa B, joten sarja B on mitattu korkeammassa lämpötilassa. Lämpötilojen suhde on $305 : 244 \approx 1{,}25$. Sama paine $122\,\text{kPa}$ on sarjassa B suuremmassa tilavuudessa, ja $(V, p)$-koordinaatistossa B:n isotermi kulkee ylempänä. Kumpikin sarja noudattaa Boylen lakia, joten paineen pieneneminen tilavuuden kasvaessa ei kerro lämpötilasta.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 12-16

   Levossa ihminen hengittää yhdellä sisäänhengityksellä keuhkoihinsa ilmaa, joka vie $37\,{}^\circ\text{C}$:n lämpöisenä tilavuuden $0{,}55\,\textsf{l}$. Ilman paine keuhkoissa on $101\,\text{kPa}$.

   Kuinka monta molekyyliä yhdessä hengenvedossa on? Avogadron vakio on $6{,}022 \cdot 10^{23}\,\tfrac{1}{\text{mol}}$ ja $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Anna vastaus muodossa $a \cdot 10^{22}$. Perustele, miksi laskussa ei tarvita tietoa siitä, mistä kaasuista ilma koostuu.

   · 10²²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}3 \cdot 10^{22}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   keuhkojen ilma, $V = 0{,}55\,\textsf{l}$, $\theta = 37\,{}^\circ\text{C}$, $p = 101\,\text{kPa}$; $N_\text{A} = 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\tfrac{1}{\text{mol}}$, $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   molekyylien lukumäärä $N$

   Periaate

   Tilanyhtälö antaa ainemäärän, ja Avogadron vakio muuttaa sen molekyylien lukumääräksi. Ilma on kaasuseos, mutta tilanyhtälössä on vain kaikkien hiukkasten yhteinen ainemäärä eikä moolimassaa. Siksi tietoa siitä, mistä kaasuista ilma koostuu, ei tarvita.

   Kaava

   $pV = nRT$ ja $N = n N_\text{A}$, joten $n = \dfrac{pV}{RT}$ ja $N = \dfrac{pV N_\text{A}}{RT}$

   Muunnokset

   $V$$= 0{,}55\,\textsf{l}$

   $= 0{,}00055\,\text{m}^3$

   $p$$= 101\,\text{kPa}$

   $= 101\,000\,\text{Pa}$

   $T$$= (37 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 310{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $101\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}00055\,\text{m}^3 \cdot 6{,}022 \cdot 10^{23}\,\tfrac{1}{\text{mol}}$

   $= 3{,}345 \cdot 10^{25}\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}}$

   ja nimittäjä

   $8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 310{,}15\,\text{K}$

   $= 2577\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}}$

   joten

   $$N = \dfrac{3{,}345 \cdot 10^{25}\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}}}{2577\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}}} = 1{,}298 \cdot 10^{22}$$

   Vastaus

   $1{,}3 \cdot 10^{22}$

   Molekyyliä, kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on tilavuus $0{,}55\,\textsf{l}$ (kaksi numeroa); paine $101\,\text{kPa}$, lämpötila $310\,\text{K}$ (kokonaisasteesta $37\,{}^\circ\text{C}$) ja vakiot ovat kolmen tai useamman numeron arvoja.

   Järkevyys

   Ainemäärä on

   $\dfrac{1{,}298 \cdot 10^{22}}{6{,}022 \cdot 10^{23}\,\text{1/mol}}$

   $= 0{,}0216\,\text{mol}$

   mikä sopii siihen, että litra huoneenlämpöistä kaasua on noin $0{,}04\,\text{mol}$ ja ruumiinlämmössä hieman vähemmän: $0{,}55 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}022\,\text{mol}$. Noin $21\,\%$ molekyyleistä on happea, eli hengenvedossa on noin $2{,}7 \cdot 10^{21}$ happimolekyyliä.

2. Tehtävä 12-17

   Uusissa ikkunoissa lasien välinen tila täytetään usein argonilla, koska argon johtaa lämpöä huonommin kuin ilma.

   Eristyslasielementin lasit ovat $1{,}20\,\text{m}$ × $1{,}00\,\text{m}$. Valmistajan mukaan argontäyte tekee elementistä $6{,}0\,\text{g}$ raskaamman kuin ilmatäyte, kun välitila täytetään $101\,\text{kPa}$:n paineessa ja $20\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilassa.

   Kuinka paksu lasien välinen kaasukerros on? Argonin moolimassa on $40\,\text{g/mol}$ ja ilman $29\,\text{g/mol}$, ja $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $11\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   eristyslasi, $A = 1{,}20\,\text{m}^2$, massaero $\Delta m = 6{,}0\,\text{g}$, $p = 101\,\text{kPa}$, $\theta = 20\,{}^\circ\text{C}$, $M_\text{Ar} = 40\,\text{g/mol}$, $M_\text{ilma} = 29\,\text{g/mol}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   kaasukerroksen paksuus $d$ millimetreinä

   Periaate

   Välitila täytetään samassa paineessa ja lämpötilassa, joten tilavuus on sama ja kaasua on yhtä monta moolia kummallakin täytteellä. Massaero johtuu vain siitä, että argonin moolimassa on suurempi, joten ainemäärän saa massaerosta ja moolimassojen erotuksesta.

   Kaava

   $\Delta m = n (M_\text{Ar} - M_\text{ilma})$, joten

   $n$$= \dfrac{\Delta m}{M_\text{Ar} - M_\text{ilma}}$

   Tilanyhtälöstä $V = \dfrac{nRT}{p}$ ja $V = Ad$, joten

   $d$$= \dfrac{nRT}{pA}$

   $= \dfrac{\Delta m\,RT}{pA(M_\text{Ar} - M_\text{ilma})}$

   Muunnokset

   $T$$= (20 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 293{,}15\,\text{K}$

   $p$$= 101\,\text{kPa}$

   $= 101\,000\,\text{Pa}$

   Massa ja moolimassat ovat grammoina, joten $n$ tulee suoraan moolina. Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $n$$= \dfrac{6{,}0\,\text{g}}{40\,\text{g/mol} - 29\,\text{g/mol}}$

   $= 0{,}5455\,\text{mol}$

   Osoittaja on

   $0{,}5455\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 293{,}15\,\text{K}$

   $= 1328{,}9\,\text{J}$

   ja nimittäjä $101\,000\,\text{Pa} \cdot 1{,}20\,\text{m}^2 = 121\,200\,\text{N}$, koska $\text{Pa}\cdot\text{m}^2 = \text{N}$. Siis

   $$\begin{aligned} d &= \dfrac{1328{,}9\,\text{J}}{121\,200\,\text{N}} \\ &= 0{,}01096\,\text{m} \\ &= 10{,}96\,\text{mm} \end{aligned}$$

   Vastaus

   $11\,\text{mm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittavat tiedot ovat massaero $6{,}0\,\text{g}$ ja moolimassojen erotus $40\,\text{g/mol} - 29\,\text{g/mol} = 11\,\text{g/mol}$, kumpikin kaksi numeroa; mitat $1{,}20\,\text{m}$ ja $1{,}00\,\text{m}$, paine $101\,\text{kPa}$ ja $293\,\text{K}$ ovat kolmen numeron arvoja.

   Järkevyys

   Eristyslasin välitila on tavallisesti $10\text{–}20\,\text{mm}$, joten tulos on uskottava. Massat tarkistetaan: argonia on $0{,}5455\,\text{mol} \cdot 40\,\text{g/mol} = 21{,}8\,\text{g}$ ja ilmaa $0{,}5455\,\text{mol} \cdot 29\,\text{g/mol} = 15{,}8\,\text{g}$, ja erotus on $6{,}0\,\text{g}$.

3. Tehtävä 12-18

   Autokorjaamon kompressorin paineilmasäiliön tilavuus on $200{,}0\,\textsf{l}$. Illalla säiliön painemittari näyttää $10{,}0\,\text{bar}$, mutta aamulla vain $7{,}0\,\text{bar}$, koska liitoksesta vuotaa ilmaa.

   Mittari näyttää ylipainetta eli sitä, kuinka paljon säiliön paine on ilmanpainetta suurempi ($1\,\text{bar}$ = $100\,\text{kPa}$). Korjaamon lämpötila on koko ajan $18\,{}^\circ\text{C}$.

   Kuinka monta kilogrammaa ilmaa säiliöstä vuoti yön aikana? Ilman moolimassa on $29\,\text{g/mol}$, ja $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Perustele, miksi tässä laskussa mittarin lukemia voi käyttää ilman, että niihin lisätään ilmanpaine.

   kgTarkista
   Vastaus

   $0{,}72\,\text{kg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   paineilmasäiliö, $V = 200{,}0\,\textsf{l}$, ylipaine ennen $10{,}0\,\text{bar}$ ja jälkeen $7{,}0\,\text{bar}$, $\theta = 18\,{}^\circ\text{C}$, $M = 29\,\text{g/mol}$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   vuotaneen ilman massa $\Delta m$ kilogrammoina

   Periaate

   Säiliön tilavuus ja lämpötila pysyvät samoina, joten paineen lasku johtuu vain ainemäärän vähenemisestä: $\Delta p V = \Delta n RT$. Mittarin lukema on kokonaispaine miinus ilmanpaine, ja ilmanpaine on sama alussa ja lopussa. Se kumoutuu paine-erotuksessa, joten lukemia voi käyttää sellaisenaan.

   Kaava

   $\Delta n = \dfrac{\Delta p\,V}{RT}$ ja $\Delta m = \Delta n\,M$, joten $\Delta m = \dfrac{\Delta p\,V M}{RT}$

   Muunnokset

   $\Delta p$$= 10{,}0\,\text{bar} - 7{,}0\,\text{bar}$

   $= 3{,}0\,\text{bar}$

   $= 3{,}0 \cdot 10^5\,\text{Pa}$

   $V$$= 200{,}0\,\textsf{l}$

   $= 0{,}2000\,\text{m}^3$

   $M$$= 0{,}029\,\text{kg/mol}$

   $T$$= (18 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 291{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   $\Delta n$$= \dfrac{3{,}0 \cdot 10^5\,\text{Pa} \cdot 0{,}2000\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 291{,}15\,\text{K}}$

   $= 24{,}80\,\text{mol}$

   $\Delta m$$= 24{,}80\,\text{mol} \cdot 0{,}029\,\tfrac{\text{kg}}{\text{mol}}$

   $= 0{,}7192\,\text{kg}$

   Vastaus

   $0{,}72\,\text{kg}$

   Kaksi merkitsevää numeroa. Rajoittava tieto on paine-ero $10{,}0\,\text{bar} - 7{,}0\,\text{bar} = 3{,}0\,\text{bar}$: lukemien erotuksella on desimaalit epätarkemmasta lukemasta, joten sillä on kaksi numeroa. Tilavuus $200{,}0\,\textsf{l}$, moolimassa $29\,\text{g/mol}$ ja $291\,\text{K}$ ovat vähintään kahden numeron arvoja eivätkä rajoita.

   Järkevyys

   Alussa säiliössä oli kokonaispaineella $11{,}0\,\text{bar}$ noin $2{,}6\,\text{kg}$ ilmaa, joten vuotanut $0{,}72\,\text{kg}$ on noin $27\,\%$. Paine laski ylipaineella $10{,}0 \to 7{,}0\,\text{bar}$, mikä on $30\,\%$ ylipaineesta ja hieman enemmän kuin $27\,\%$ kokonaispaineesta, koska ilmanpaine ei vuoda. Ilmaa vuoti $24{,}8\,\text{mol}$, ja se on järkevä määrä kolmen baarin paineen laskulle.

4. Tehtävä 12-19

   Juhlissa täytetään ilmapalloja heliumpullosta, jonka tilavuus on $20{,}0\,\textsf{l}$. Pullo oli ensin kylmässä varastossa ja sitä käytettiin sitten sisällä kahdessa vaiheessa. Taulukossa on painemittarin osoittama kokonaispaine baareina ($1\,\text{bar} = 100\,\text{kPa}$) kolmella hetkellä (esimerkkiaineisto). Pullon kaasun lämpötila on aina sama kuin ympäristön, eikä pullo vuoda. Käsittele heliumia ideaalikaasuna ja käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$. Yhteen täytettyyn ilmapalloon menee heliumia niin paljon, että se vie ilmanpaineessa $101\,\text{kPa}$ ja lämpötilassa $21{,}0\,{}^\circ\text{C}$ tilavuuden $5{,}0\,\textsf{l}$.

   a) Laske pullon heliumin ainemäärä hetkillä 1, 2 ja 3.

   b) Laske hetkien 1 ja 3 välillä käytetyn heliumin massa. Moolimassa on $M = 4{,}0\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$. Selitä, miksi käytettyä määrää ei voi laskea suoraan paineiden erotuksesta.

   c) Kuinka monta ilmapalloa käytetyllä heliumilla täytettiin? Kuinka monta palloa pullosta saadaan vielä, kun sitä käytetään, kunnes paine on laskenut ilmanpaineeseen $101\,\text{kPa}$?

   Vastauslaatikkoon tulee b-kohdan massa.

   Heliumpullon lämpötila ja kokonaispaine (esimerkkiaineisto)

   Hetki	$\theta\,({}^\circ\text{C})$	$p\,(\text{bar})$
   1 (varasto, ennen käyttöä)	5,0	14,2
   2 (sisällä, 1. vaiheen jälkeen)	21,0	11,0
   3 (sisällä, 2. vaiheen jälkeen)	21,0	6,5

   gTarkista
   Vastaus

   $28\,\text{g}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   helium, $V = 20{,}0\,\textsf{l}$; taulukosta hetki 1: $\theta_1 = 5{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_1 = 14{,}2\,\text{bar}$, hetki 2: $\theta_2 = 21{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_2 = 11{,}0\,\text{bar}$, hetki 3: $\theta_3 = 21{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $p_3 = 6{,}5\,\text{bar}$; ilmapallo $p_\text{p} = 101\,\text{kPa}$, $\theta_\text{p} = 21{,}0\,{}^\circ\text{C}$, $V_\text{p} = 5{,}0\,\textsf{l}$; $M = 4{,}0\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$, $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   käytetyn heliumin massa $m$ grammoina (b-kohta); ainemäärät $n_1$, $n_2$, $n_3$ (a) ja pallojen lukumäärät (c)

   Periaate

   Pullon tilavuus on vakio ja kaasua ei vuoda, joten tilanyhtälö $pV = nRT$ antaa ainemäärän jokaisella hetkellä erikseen. Lämpötila muuttuu hetkien 1 ja 2 välillä, joten ainemäärä ei ole suoraan verrannollinen paineeseen: sama paine vastaa kylmässä suurempaa ainemäärää. Käytetty määrä on ainemäärien erotus.

   Kaava

   $n = \dfrac{pV}{RT}$, käytetty ainemäärä $\Delta n = n_1 - n_3$ ja massa $m = \Delta n \cdot M$. Yhden pallon ainemäärä on

   $n_\text{p}$$= \dfrac{p_\text{p}V_\text{p}}{RT_\text{p}}$

   ja palloja saadaan $\dfrac{\Delta n}{n_\text{p}}$.

   Muunnokset

   $V$$= 20{,}0\,\textsf{l}$

   $= 0{,}0200\,\text{m}^3$

   $V_\text{p} = 0{,}0050\,\text{m}^3$;

   $p_1$$= 14{,}2\,\text{bar}$

   $= 1{,}42 \cdot 10^6\,\text{Pa}$

   $p_2 = 1{,}10 \cdot 10^6\,\text{Pa}$ ja $p_3 = 6{,}5 \cdot 10^5\,\text{Pa}$;

   $T_1$$= (5{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 278{,}15\,\text{K}$

   $T_2$$= T_3$

   $= T_\text{p}$

   $= 294{,}15\,\text{K}$

   Sijoitus

   a)

   $n_1$$= \dfrac{1{,}42 \cdot 10^6\,\text{Pa} \cdot 0{,}0200\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 278{,}15\,\text{K}}$

   $= 12{,}29\,\text{mol}$

   $n_2$$= \dfrac{1{,}10 \cdot 10^6\,\text{Pa} \cdot 0{,}0200\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 294{,}15\,\text{K}}$

   $= 9{,}000\,\text{mol}$

   $n_3$$= \dfrac{6{,}5 \cdot 10^5\,\text{Pa} \cdot 0{,}0200\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 294{,}15\,\text{K}}$

   $= 5{,}318\,\text{mol}$

   b)

   $\Delta n$$= 12{,}29\,\text{mol} - 5{,}318\,\text{mol}$

   $= 6{,}968\,\text{mol}$

   $m$$= 6{,}968\,\text{mol} \cdot 4{,}0\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$

   $= 27{,}87\,\text{g}$

   c)

   $n_\text{p}$$= \dfrac{101\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0050\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 294{,}15\,\text{K}}$

   $= 0{,}2066\,\text{mol}$

   joten käytetyllä heliumilla täytettiin

   $\dfrac{6{,}968\,\text{mol}}{0{,}2066\,\text{mol}}$$= 33{,}7$

   palloa. Kun paine on $101\,\text{kPa}$, pullossa on

   $n_\text{loppu}$$= \dfrac{101\,000\,\text{Pa} \cdot 0{,}0200\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 294{,}15\,\text{K}}$

   $= 0{,}8264\,\text{mol}$

   joten vielä käytettävissä on $5{,}318\,\text{mol} - 0{,}8264\,\text{mol} = 4{,}492\,\text{mol}$ ja palloja

   $\dfrac{4{,}492\,\text{mol}}{0{,}2066\,\text{mol}}$$= 21{,}7$

   Vastaus

   b) $28\,\text{g}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska moolimassa $4{,}0\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$ on annettu kahdella numerolla. a) $n_1 = 12{,}3\,\text{mol}$, $n_2 = 9{,}00\,\text{mol}$ ja $n_3 = 5{,}32\,\text{mol}$. c) Käytetyllä heliumilla täytettiin noin $34$ palloa (ensimmäisessä vaiheessa noin $16$ ja toisessa noin $18$), ja vielä saadaan $21$ täyttä palloa. Paine-eron $14{,}2 - 6{,}5 = 7{,}7\,\text{bar}$ perusteella massa olisi laskettu noin $25\,\text{g}$, ja se on liian pieni, koska pullossa oli ensimmäisellä hetkellä kylmää kaasua: lämpötilan nousu nosti painetta, joten ainemäärä pieneni enemmän kuin paine.

   Järkevyys

   Pullossa oli alussa noin $14 \cdot 20 : (0{,}083 \cdot 278) \approx 12\,\text{mol}$ ja lopussa noin $5\,\text{mol}$, joten ero on noin $7\,\text{mol}$ ja $7 \cdot 4\,\text{g} \approx 28\,\text{g}$. Yksi litra ilmaa huoneenlämmössä on noin $0{,}041\,\text{mol}$, joten $5\,\textsf{l}$ pallo vaatii noin $0{,}21\,\text{mol}$, ja $7 : 0{,}21 \approx 33$ vastaa tulosta.

5. Tehtävä 12-20

   Sääpallo täytetään maanpinnalla heliumilla, ja sen tilavuus on silloin $2{,}50\,\text{m}^3$. Taulukossa on ilmakehän paine ja lämpötila eri korkeuksilla (ICAO:n standardi-ilmakehä, pyöristetty). Oleta, että pallon kaasun paine ja lämpötila ovat aina samat kuin ympäröivän ilman, kaasua ei pääse pois ja pallo nousee. Käytä arvoa $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$.

   a) Laske pallossa olevan heliumin ainemäärä maanpinnalla.

   b) Laske pallon tilavuus korkeudella $10\,\text{km}$.

   c) Pallon kuori kestää enintään tilavuuden $12{,}0\,\text{m}^3$. Laske tilavuus korkeudella $15\,\text{km}$ ja arvioi, mihin korkeuteen asti pallo kestää: oleta tilavuus lineaariseksi korkeuden suhteen korkeuksien $10\,\text{km}$ ja $15\,\text{km}$ välillä. Selitä, miksi tilavuus kasvaa, vaikka kaasu jäähtyy.

   Vastauslaatikkoon tulee b-kohdan tilavuus.

   Standardi-ilmakehä (ICAO, pyöristetty)

   $h\,(\text{km})$	$p\,(\text{kPa})$	$\theta\,({}^\circ\text{C})$
   0	101	15,0
   5	54,0	−17,5
   10	26,5	−50,0
   15	12,1	−56,5

   m³Tarkista
   Vastaus

   $7{,}4\,\text{m}^3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   helium, $V_0 = 2{,}50\,\text{m}^3$; taulukosta maanpinta $p_0 = 101\,\text{kPa}$, $\theta_0 = 15{,}0\,{}^\circ\text{C}$, korkeus $10\,\text{km}$: $p = 26{,}5\,\text{kPa}$, $\theta = -50{,}0\,{}^\circ\text{C}$ ja korkeus $15\,\text{km}$: $p = 12{,}1\,\text{kPa}$, $\theta = -56{,}5\,{}^\circ\text{C}$; $V_\text{max} = 12{,}0\,\text{m}^3$; $R = 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$

   Kysytty

   tilavuus $V$ korkeudella $10\,\text{km}$ (b-kohta)

   Periaate

   Pallo on suljettu, joten ainemäärä $n$ pysyy samana. Ilmakehän paine ja lämpötila laskevat, ja pallon kaasun paine on sama kuin ympäristön. Tilanyhtälö $pV = nRT$ antaa tilavuuden kullakin korkeudella.

   Kaava

   a) $n = \dfrac{p_0V_0}{RT_0}$. b) ja c) $V = \dfrac{nRT}{p}$. Lineaarisessa arviossa korkeus on

   $h$$= h_{10} + (h_{15} - h_{10}) \cdot \dfrac{V_\text{max} - V_{10}}{V_{15} - V_{10}}$

   Muunnokset

   $p_0$$= 101\,000\,\text{Pa}$

   $T_0$$= (15{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 288{,}15\,\text{K}$

   $T_{10}$$= (-50{,}0 + 273{,}15)\,\text{K}$

   $= 223{,}15\,\text{K}$

   $T_{15} = 216{,}65\,\text{K}$ ja $p_{10} = 26\,500\,\text{Pa}$, $p_{15} = 12\,100\,\text{Pa}$.

   Sijoitus

   a)

   $n$$= \dfrac{101\,000\,\text{Pa} \cdot 2{,}50\,\text{m}^3}{8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 288{,}15\,\text{K}}$

   $= 105{,}4\,\text{mol}$

   b)

   $V_{10}$$= \dfrac{105{,}4\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 223{,}15\,\text{K}}{26\,500\,\text{Pa}}$

   $= 7{,}379\,\text{m}^3$

   c)

   $V_{15}$$= \dfrac{105{,}4\,\text{mol} \cdot 8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 216{,}65\,\text{K}}{12\,100\,\text{Pa}}$

   $= 15{,}69\,\text{m}^3$

   $h$$= 10\,\text{km} + 5\,\text{km} \cdot \dfrac{(12{,}0 - 7{,}379)\,\text{m}^3}{(15{,}69 - 7{,}379)\,\text{m}^3}$

   $= 12{,}8\,\text{km}$

   Vastaus

   b) $7{,}4\,\text{m}^3$, kaksi merkitsevää numeroa, koska ICAO-arvot on pyöristetty eikä pallon kaasu ole tarkalleen ympäröivän ilman lämpötilassa. Heliumia on a) $105\,\text{mol}$. c) Korkeudella $15\,\text{km}$ tilavuus olisi $15{,}7\,\text{m}^3$, joka on yli kuoren rajan $12{,}0\,\text{m}^3$. Lineaarisen arvion mukaan pallo kestää noin korkeuteen $12{,}8\,\text{km}$ asti ja halkeaa sen jälkeen; todellinen raja on hieman korkeammalla, koska tilavuus kasvaa kiihtyvästi. Tilavuus kasvaa, koska paine laskee tekijällä $26{,}5 : 101 \approx 0{,}26$ mutta kelvinlämpötila vain tekijällä $223{,}15 : 288{,}15 \approx 0{,}77$. Tilavuus on suoraan verrannollinen lämpötilaan ja kääntäen paineeseen, joten paineen lasku voittaa lämpötilan laskun.

   Järkevyys

   Tilavuuden suhde on

   $V_{10} : V_0$$= 0{,}77 : 0{,}26$

   $\approx 3{,}0$

   $3{,}0 \cdot 2{,}50\,\text{m}^3 \approx 7{,}4\,\text{m}^3$. Heliumin massa on

   $105{,}4\,\text{mol} \cdot 4{,}0\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$

   $\approx 0{,}42\,\text{kg}$

   mikä on kohtuullinen sääpallolle. Raja $12{,}0\,\text{m}^3$ on tilavuuksien $7{,}4\,\text{m}^3$ ja $15{,}7\,\text{m}^3$ välissä, joten korkeus $12{,}8\,\text{km}$ on korkeuksien $10\,\text{km}$ ja $15\,\text{km}$ välissä.