Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 14-1Ydintehtävä

   Opiskelija seisoo $86{,}0\,\text{m}$:n päässä koulun seinästä ja lyö kaksi puukapulaa yhteen. Puhelimen ajanottosovellus mittaa, että kaiku palaa $0{,}505\,\text{s}$ iskun jälkeen. Mikä on mittauksen mukaan äänen nopeus?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $341\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   etäisyys seinään $d = 86{,}0\,\text{m}$, kaiun paluuaika $t = 0{,}505\,\text{s}$

   Kysytty

   äänen nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Ääni kulkee seinään ja heijastuu takaisin, joten paluuaikana se kulkee matkan $2d$. Ilmassa ääni etenee tasaisella nopeudella, joten nopeus on kuljettu matka jaettuna ajalla.

   Kaava

   $2d = v t$, josta $v = \dfrac{2d}{t}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: matka on metreinä ja aika sekunteina.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{2 \cdot 86{,}0\,\text{m}}{0{,}505\,\text{s}}$

   $= \dfrac{172{,}0\,\text{m}}{0{,}505\,\text{s}}$

   $= 340{,}59\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $341\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä ja ajassa.

   Järkevyys

   Tulos on lähellä taulukon arvoa $340\,\text{m/s}$ noin $15\,{}^\circ\text{C}$:n ilmalle. Jos matkaa ei olisi kerrottu kahdella, nopeudeksi olisi tullut noin $170\,\text{m/s}$, mikä on selvästi liian pieni. Käsin käynnistetyssä ajanotossa reaktioaika voi silti muuttaa tulosta useita prosentteja.

2. Tehtävä 14-2Ydintehtävä

   Lepakko lähettää kaikuluotaukseen ultraääntä, jonka taajuus on $45{,}0\,\text{kHz}$. Mikä on äänen aallonpituus ilmassa, kun äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $7{,}56\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ultraäänen taajuus $f = 45{,}0\,\text{kHz}$, äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$

   Kysytty

   aallonpituus $\lambda$ millimetreinä

   Periaate

   Ultraääni on samanlainen pitkittäinen aalto kuin kuultava ääni, joten sille pätee aallon perusyhtälö $v = f\lambda$.

   Kaava

   $v = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{v}{f}$

   Muunnokset

   $f$$= 45{,}0\,\text{kHz}$

   $= 45{,}0 \cdot 1000\,\text{Hz}$

   $= 45\,000\,\text{Hz}$

   lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.

   Sijoitus

   $\lambda$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{45\,000\,\text{Hz}}$

   $= 0{,}0075556\,\text{m}$

   $= 7{,}5556\,\text{mm}$

   Vastaus

   $7{,}56\,\text{mm}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $45{,}0\,\text{kHz}$ ja nopeudessa $340\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Kuuloalueen ylärajalla $20\,\text{kHz}$ aallonpituus on $1{,}7\,\text{cm}$, ja yli kaksinkertaisella taajuudella aallonpituus on alle puolet siitä. Muutaman millimetrin aallonpituus on hyönteisen kokoluokkaa, joten lepakko voi havaita hyönteisiä kaikuluotauksella.

3. Tehtävä 14-3

   Sellon D-kielen perustaajuus on $147\,\text{Hz}$. Kieli värähtelee yhtä aikaa harmonisen sarjan taajuuksilla. Mikä on sarjan neljännen jäsenen eli kolmannen yläsävelen taajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $588\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   perustaajuus $f_1 = 147\,\text{Hz}$

   Kysytty

   harmonisen sarjan neljännen jäsenen taajuus $f_4$

   Periaate

   Kahdesta päästä kiinnitetty kieli värähtelee yhtä aikaa kaikilla ominaistaajuuksillaan, jotka ovat perustaajuuden kokonaislukukertoja ja muodostavat harmonisen sarjan. Sarjan ensimmäinen jäsen on perustaajuus, joten neljäs jäsen on kolmas yläsävel.

   Kaava

   $f_n = n f_1$, joten $f_4 = 4 f_1$

   Muunnokset

   Ei tarvita: taajuus on hertseinä.

   Sijoitus

   $f_4$$= 4 \cdot 147\,\text{Hz}$

   $= 588\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $588\,\text{Hz}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten perustaajuudessa.

   Järkevyys

   Sarjan jäsenet ovat $147\,\text{Hz}$, $294\,\text{Hz}$, $441\,\text{Hz}$ ja $588\,\text{Hz}$, joten neljäs jäsen on kahden oktaavin päässä perustaajuudesta: kaksi kaksinkertaistusta antaa nelinkertaisen taajuuden.

4. Tehtävä 14-4

   Jäätelöauto ajaa suoraan poispäin kuulijasta nopeudella $15{,}0\,\text{m/s}$ ja soittaa melodiaa, jonka yksi sävel on $415\,\text{Hz}$.

   Minkä taajuuden paikallaan oleva kuulija kuulee tästä sävelestä? Ilma on tyyntä, ja äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

   HzTarkista
   Vastaus

   $397\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sävelen taajuus $f_0 = 415\,\text{Hz}$, auton nopeus $v_\text{s} = 15{,}0\,\text{m/s}$ poispäin kuulijasta, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$

   Kysytty

   kuultu taajuus $f$

   Periaate

   Äänilähde liikkuu ja kuulija on paikallaan, joten käytetään liikkuvan lähteen Dopplerin kaavaa. Lähde loittonee, joten aaltorintamat harvenevat sen takana ja kuultu taajuus on pienempi kuin $f_0$: nimittäjään tulee plusmerkki.

   Kaava

   $f$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v + v_\text{s}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja taajuus hertseinä.

   Sijoitus

   $f$$= 415\,\text{Hz} \cdot \dfrac{340\,\text{m/s}}{340\,\text{m/s} + 15{,}0\,\text{m/s}}$

   $= 415\,\text{Hz} \cdot \dfrac{340}{355}$

   $= 397{,}46\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $397\,\text{Hz}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Taajuus laskee, koska lähde loittonee. Auton nopeus on noin $4{,}4\,\%$ äänen nopeudesta, ja taajuus laskee noin $\tfrac{415 - 397}{415} \approx 4{,}2\,\%$, eli muutos on samaa kokoluokkaa kuin nopeuksien suhde.

5. Tehtävä 14-5

   Luokittele äänet infraääneksi, ihmisen kuultavaksi ääneksi tai ultraääneksi: a) ukkosen jyrinän matalin osa $12\,\text{Hz}$, b) viritysääni $440\,\text{Hz}$, c) koiranpilli $35\,\text{kHz}$, d) ultraäänikuvauksen ääni $2{,}5\,\text{MHz}$. Perustele rajojen avulla.

   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   a) infraääni; b) kuultava ääni; c) ultraääni; d) ultraääni

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   kunkin äänen luokka: infraääni, kuultava ääni tai ultraääni

   Periaate

   Ihminen kuulee taajuuksia noin $20\,\text{Hz}$:stä noin $20\,\text{kHz}$:iin. Alle $20\,\text{Hz}$:n ääni on infraääntä ja yli $20\,\text{kHz}$:n ääni ultraääntä. Kaikki ovat samanlaisia pitkittäisiä paineaaltoja; luokka riippuu vain taajuudesta.

   Mallivastaus

   a) $12\,\text{Hz} < 20\,\text{Hz}$, joten ukkosen matalin osa on infraääntä. b) $440\,\text{Hz}$ on rajojen $20\,\text{Hz}$ ja $20\,\text{kHz}$ välissä, joten viritysääni on kuultavaa ääntä. c) $35\,\text{kHz} > 20\,\text{kHz}$, joten koiranpillin ääni on ultraääntä: koira kuulee sen, mutta ihminen ei. d) $2{,}5\,\text{MHz} = 2\,500\,000\,\text{Hz}$ on monta kertaluokkaa yli kuuloalueen, joten ultraäänikuvauksen ääni on ultraääntä.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 14-6Ydintehtävä

   Pianonvirittäjä lyö äänirautaa, jonka taajuus on $262\,\text{Hz}$, ja soittaa samalla pianon kieltä, joka kuulostaa hieman ääniraudan ääntä matalammalta. Hän laskee $15$ voimakasta hetkeä eli huojahdusta $5{,}0\,\text{s}$:ssa.

   Mikä on kielen taajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $259\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ääniraudan taajuus $f_1 = 262\,\text{Hz}$, $N = 15$ voimakasta hetkeä ajassa $t = 5{,}0\,\text{s}$, kieli on ääniraudan ääntä matalampi

   Kysytty

   kielen taajuus $f_2$

   Periaate

   Kaksi lähes samantaajuista ääntä huojuu, ja voimakkaita hetkiä on sekunnissa yhtä monta kuin taajuuksien erotus. Huojuntataajuus saadaan laskemalla voimakkaat hetket aikayksikköä kohti. Koska kieli on matalampi, sen taajuus on huojuntataajuuden verran pienempi kuin ääniraudan.

   Kaava

   $f_\text{h} = \dfrac{N}{t}$ ja $f_\text{h} = |f_1 - f_2| = f_1 - f_2$, josta $f_2 = f_1 - \dfrac{N}{t}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika on sekunteina, joten $\tfrac{N}{t}$ tulee hertseinä.

   Sijoitus

   $f_\text{h}$$= \dfrac{15}{5{,}0\,\text{s}}$

   $= 3{,}0\,\text{Hz}$

   $f_2$$= 262\,\text{Hz} - 3{,}0\,\text{Hz}$

   $= 259\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $259\,\text{Hz}$

   ; erotus $3{,}0\,\text{Hz}$ tunnetaan kymmenesosahertsin tarkkuudella, joten tulos ilmoitetaan kokonaisina hertseinä kuten ääniraudan taajuus.

   Järkevyys

   Kolme voimakasta hetkeä sekunnissa on helppo laskea korvalla, ja taajuusero on alle $10\,\text{Hz}$, joten huojunta erottuu selvästi. Kun virittäjä kiristää kieltä, taajuus nousee kohti $262\,\text{Hz}$:ä ja huojunta hidastuu.

2. Tehtävä 14-7Ydintehtävä

   Kaiutin lähettää ilmassa ääntä, jonka aallonpituus on $0{,}850\,\text{m}$. Ääni siirtyy järven pinnasta veteen. Mikä on äänen aallonpituus vedessä? Äänen nopeus ilmassa on $340\,\text{m/s}$ ja vedessä $1480\,\text{m/s}$.

   mTarkista
   Vastaus

   $3{,}70\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aallonpituus ilmassa $\lambda_\text{i} = 0{,}850\,\text{m}$, äänen nopeus ilmassa $v_\text{i} = 340\,\text{m/s}$ ja vedessä $v_\text{v} = 1480\,\text{m/s}$

   Kysytty

   aallonpituus vedessä $\lambda_\text{v}$

   Periaate

   Kun ääni siirtyy ilmasta veteen, taajuus pysyy samana, koska rajapinnan hiukkaset värähtelevät samaan tahtiin kuin tuleva aalto. Nopeus muuttuu, joten aallonpituus muuttuu. Kummassakin aineessa pätee $v = f\lambda$.

   Kaava

   $f$$= \dfrac{v_\text{i}}{\lambda_\text{i}}$

   $\lambda_\text{v}$$= \dfrac{v_\text{v}}{f}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeudet ovat yksikössä $\text{m/s}$ ja aallonpituus metreinä.

   Sijoitus

   $f$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{0{,}850\,\text{m}}$

   $= 400\,\text{Hz}$

   $\lambda_\text{v}$$= \dfrac{1480\,\text{m/s}}{400\,\text{Hz}}$

   $= 3{,}70\,\text{m}$

   Vastaus

   $3{,}70\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Ääni kulkee vedessä $\tfrac{1480}{340} \approx 4{,}4$ kertaa nopeammin kuin ilmassa, ja samalla taajuudella aallonpituus kasvaa samassa suhteessa: $0{,}850\,\text{m} \cdot 4{,}35 \approx 3{,}7\,\text{m}$.

3. Tehtävä 14-8

   Autoilija ajaa nopeudella $90{,}0\,\text{km/h}$ suoraan kohti risteystä, jossa paikallaan oleva hälytyssireeni soi taajuudella $650\,\text{Hz}$. Minkä taajuuden autoilija kuulee? Ilma on tyyntä, ja äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

   HzTarkista
   Vastaus

   $698\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sireenin taajuus $f_0 = 650\,\text{Hz}$, autoilijan nopeus $v_\text{h} = 90{,}0\,\text{km/h}$ kohti sireeniä, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$

   Kysytty

   autoilijan kuulema taajuus $f$

   Periaate

   Lähde on paikallaan ja kuulija liikkuu, joten aallonpituus ei muutu, mutta autoilija kohtaa aaltorintamat useammin, koska ne lähestyvät häntä nopeudella $v + v_\text{h}$. Käytetään liikkuvan kuulijan Dopplerin kaavaa lähestymisen plusmerkillä.

   Kaava

   $f$$= f_0 \cdot \dfrac{v + v_\text{h}}{v}$

   Muunnokset

   $v_\text{h}$$= 90{,}0\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$

   $= 90{,}0 \cdot \tfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 25{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   Sijoitus

   $f$$= 650\,\text{Hz} \cdot \dfrac{340\,\text{m/s} + 25{,}0\,\text{m/s}}{340\,\text{m/s}}$

   $= 650\,\text{Hz} \cdot \dfrac{365}{340}$

   $= 697{,}79\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $698\,\text{Hz}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

   Järkevyys

   Taajuus nousee, koska autoilija lähestyy. Nousu on

   $f_0 \cdot \tfrac{v_\text{h}}{v}$$= 650\,\text{Hz} \cdot \tfrac{25{,}0}{340}$

   $\approx 48\,\text{Hz}$

   mikä on noin $7\,\%$ kuten nopeuksien suhde $\tfrac{25}{340}$.

4. Tehtävä 14-9

   Kilpa-auton moottori soi varikolla paikallaan taajuudella $425\,\text{Hz}$. Kun auto ajaa samalla kierrosluvulla suoraan poispäin katsojasta, joka seisoo radan suoran jatkeella, katsoja kuulee taajuuden $398\,\text{Hz}$.

   Kuinka suuri on auton nopeus? Ilma on tyyntä, ja äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $23\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   moottorin taajuus paikallaan $f_0 = 425\,\text{Hz}$, kuultu taajuus auton loitotessa $f = 398\,\text{Hz}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$

   Kysytty

   auton nopeus $v_\text{s}$

   Periaate

   Auto eli äänilähde loittonee suoraan katsojasta, ja katsoja on paikallaan, joten pätee liikkuvan lähteen Dopplerin kaava loittonemisen plusmerkillä. Kierrosluku on sama, joten moottorin oma taajuus on $f_0$. Kaavasta ratkaistaan lähteen nopeus.

   Kaava

   $f$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v + v_\text{s}}$

   josta

   $v + v_\text{s}$$= \dfrac{f_0 v}{f}$

   $v_\text{s}$$= v \left(\dfrac{f_0}{f} - 1\right)$

   Muunnokset

   Ei tarvita: taajuudet ovat hertseinä, ja niiden suhteesta yksikkö supistuu.

   Sijoitus

   $v_\text{s}$$= 340\,\text{m/s} \cdot \left(\dfrac{425\,\text{Hz}}{398\,\text{Hz}} - 1\right)$

   $= 340\,\text{m/s} \cdot 0{,}067839$

   $= 23{,}065\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $23\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska tulos riippuu taajuuksien erotuksesta $27\,\text{Hz}$, joka tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   $23\,\text{m/s}$ on noin $83\,\text{km/h}$, mikä on uskottava nopeus radalla. Tarkistus: $425\,\text{Hz} \cdot \tfrac{340}{340 + 23{,}07} \approx 398\,\text{Hz}$, kuten mitattiin.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 14-10

   Kuulija seisoo aivan suoran tien vieressä ja mittaa puhelimen sovelluksella ohi ajavan ambulanssin sireenin taajuuden: auton lähestyessä $476\,\text{Hz}$ ja sen loitotessa $404\,\text{Hz}$. Ambulanssin nopeus on vakio, mutta sireenin omaa taajuutta ei tiedetä.

   Kuinka suuri on ambulanssin nopeus? Ilma on tyyntä, ja äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $28\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuultu taajuus lähestyttäessä $f_1 = 476\,\text{Hz}$ ja loitottaessa $f_2 = 404\,\text{Hz}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$; sireenin taajuus $f_0$ on tuntematon

   Kysytty

   ambulanssin nopeus $v_\text{s}$

   Periaate

   Kuulija on paikallaan ja lähde liikkuu suoraan häntä kohti ja hänestä poispäin samalla nopeudella, joten kummassakin vaiheessa pätee liikkuvan lähteen kaava, lähestyttäessä miinus- ja loitottaessa plusmerkillä. Tuntematon $f_0$ supistuu pois, kun taajuudet jaetaan keskenään.

   Kaava

   $f_1$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v - v_\text{s}}$

   $f_2$$= f_0 \cdot \dfrac{v}{v + v_\text{s}}$

   joten

   $\dfrac{f_1}{f_2}$$= \dfrac{v + v_\text{s}}{v - v_\text{s}}$

   Kertomalla ristiin $f_1 v - f_1 v_\text{s} = f_2 v + f_2 v_\text{s}$, joten

   $v_\text{s} (f_1 + f_2)$$= v (f_1 - f_2)$

   $v_\text{s}$$= v \cdot \dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: taajuuksien yksikkö supistuu, ja nopeus tulee yksikössä $\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $v_\text{s}$$= 340\,\text{m/s} \cdot \dfrac{476\,\text{Hz} - 404\,\text{Hz}}{476\,\text{Hz} + 404\,\text{Hz}}$

   $= 340\,\text{m/s} \cdot \dfrac{72}{880}$

   $= 27{,}818\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $28\,\text{m/s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska taajuuksien erotus $72\,\text{Hz}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   $28\,\text{m/s}$ on noin $100\,\text{km/h}$, mikä sopii hälytysajoon. Sireenin oma taajuus on

   $f_0$$= f_1 \cdot \tfrac{v - v_\text{s}}{v}$

   $\approx 437\,\text{Hz}$

   ja se on kuultujen taajuuksien välissä, kuten pitää. Myös

   $f_2$$= 437\,\text{Hz} \cdot \tfrac{340}{367{,}8}$

   $\approx 404\,\text{Hz}$

   täsmää.

2. Tehtävä 14-11

   Kitaristi soittaa A-kieltä yhtä aikaa $440\,\text{Hz}$:n viritysäänen kanssa ja kuulee huojuntataajuuden $4\,\text{Hz}$ eli neljä voimakasta hetkeä joka sekunti. Kun hän kiristää kieltä hieman, huojuntataajuus kasvaa arvoon $6\,\text{Hz}$.

   Mikä oli kielen taajuus ennen kiristämistä? Perustele, miksi vastaus on yksikäsitteinen.

   HzTarkista
   Vastaus

   $444\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   viritysääni $f_0 = 440\,\text{Hz}$, huojuntataajuus ennen kiristämistä $f_\text{h} = 4\,\text{Hz}$ ja kiristämisen jälkeen $6\,\text{Hz}$

   Kysytty

   kielen taajuus $f$ ennen kiristämistä

   Periaate

   Huojuntataajuus on taajuuksien erotuksen itseisarvo, joten pelkästä huojunnasta kielen taajuus voi olla joko $440\,\text{Hz} - 4\,\text{Hz}$ tai $440\,\text{Hz} + 4\,\text{Hz}$. Kiristäminen kasvattaa aallon nopeutta kielessä ja nostaa siksi kielen taajuutta. Koska huojunta nopeutui eli erotus kasvoi, nouseva taajuus loittoni viritysäänestä: kieli oli jo valmiiksi viritysääntä korkeammalla. Jos kieli olisi ollut $436\,\text{Hz}$, kiristäminen olisi vienyt sitä kohti $440\,\text{Hz}$:ä ja huojunta olisi hidastunut.

   Kaava

   $f_\text{h} = |f - f_0|$, ja kun $f > f_0$, $f = f_0 + f_\text{h}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki taajuudet ovat hertseinä.

   Sijoitus

   $f$$= 440\,\text{Hz} + 4\,\text{Hz}$

   $= 444\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $444\,\text{Hz}$

   Kokonaisina hertseinä kuten viritysääni ja huojuntataajuus.

   Järkevyys

   Kiristämisen jälkeen kielen taajuus on $440\,\text{Hz} + 6\,\text{Hz} = 446\,\text{Hz}$, eli se nousi $2\,\text{Hz}$, mikä sopii pieneen kiristykseen. Kielen virittämiseksi kieltä pitää siis löysätä, kunnes huojunta lakkaa.

3. Tehtävä 14-12

   Opiskelija mittaa klarinetin matalan sävelen FFT-spektrin.

   Spektrissä on selvät piikit taajuuksilla $147\,\text{Hz}$, $441\,\text{Hz}$, $735\,\text{Hz}$ ja $1029\,\text{Hz}$, ja niiden välissä ei juuri mitään. a) Mikä on sävelen perustaajuus? b) Mitä harmonisen sarjan jäseniä spektristä puuttuu? c) Mitä tämä kertoo klarinetin ilmapatsaan seisovasta aallosta?

   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   Perustaajuus $147\,\text{Hz}$; parilliset monikerrat ($294\,\text{Hz}$, $588\,\text{Hz}$, $882\,\text{Hz}$) puuttuvat, joten ilmapatsas värähtelee kuin toisesta päästä suljettu putki.

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   sävelen perustaajuus, spektristä puuttuvat harmonisen sarjan jäsenet ja niiden merkitys klarinetin ilmapatsaalle

   Periaate

   Soittimen spektrin piikit ovat ilmapatsaan ominaistaajuuksilla, ja perustaajuus on alin ominaistaajuus. Molemmista päistä avoimessa putkessa ominaistaajuudet ovat kaikki perustaajuuden monikerrat $n f_1$, mutta toisesta päästä suljetussa putkessa vain parittomat monikerrat, koska suljetussa päässä on aina solmu ja avoimessa kupu (luku Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet).

   Mallivastaus

   Alin piikki on $147\,\text{Hz}$, ja muut ovat sen kerrannaisia: $441\,\text{Hz} = 3 \cdot 147\,\text{Hz}$, $735\,\text{Hz} = 5 \cdot 147\,\text{Hz}$ ja $1029\,\text{Hz} = 7 \cdot 147\,\text{Hz}$. Perustaajuus on siis $147\,\text{Hz}$. Harmonisen sarjan parilliset jäsenet $294\,\text{Hz}$, $588\,\text{Hz}$ ja $882\,\text{Hz}$ puuttuvat lähes kokonaan. Vain parittomat monikerrat ovat toisesta päästä suljetun putken ominaistaajuuksia, joten klarinetin ilmapatsas värähtelee kuin putki, jonka toinen pää on suljettu: suukappaleen pää, jossa ruoko on, toimii suljettuna päänä, jossa on ilman liikkeen solmu, ja kellon pää avoimena päänä, jossa on kupu. Puuttuvat yläsävelet antavat klarinetille sen tumman sointivärin.