Aaltojen synty ja eteneminen
Miksi tolpassa roikkuva kello kilahtaa, kun pitkän narun toista päätä heilautetaan kerran, vaikka kukaan ei koske kelloon?
Pohjatiedot
- Jaksonaika $T$ on yhteen täyteen värähdykseen kuluva aika, ja taajuus $f = \tfrac{1}{T}$ kertoo värähdysten määrän sekunnissaluku Värähtelyn suureet: jaksonaika, taajuus ja amplitudi
- Amplitudi $A$ on suurin poikkeama tasapainoasemastaluku Värähtelyn suureet: jaksonaika, taajuus ja amplitudi
- Harmonisesti värähtelevä kappale liikkuu edestakaisin tasapainoasemansa molemmin puolinluku Jousivärähtelijä ja heiluri
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Pihan poikki on vedetty kymmenen metriä pitkä naru, jonka toinen pää on sidottu tolppaan. Tolpassa narun kohdalla roikkuu pieni kello. Kun narun vapaata päätä heilautetaan kerran nopeasti ylös ja alas, narussa näkyy kumpu, joka kulkee kohti tolppaa. Hetken kuluttua kello kilahtaa, vaikka kukaan ei koskenut siihen.
Mikä narussa kulki kädestä tolpalle asti ja sai kellon soimaan?
Valinnainen Kertaa: jaksonaika ja taajuus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: miten narun kohta liikkuu?
Ennuste 2: tiheämpi heilutus
Tutki
Paina Käynnistä ja katso, miten aalto syntyy narun vasemmasta päästä. Seuraa samalla merkittyä kohtaa $P$ ja sen kuvaajaa.
Simulaatio
Käyttöohje
Paina Käynnistä: vasemman pään kahva alkaa liikkua, ja aalto etenee oikealle. Ylempi kuva on aallon valokuva eli koko naru tai jousi yhdellä hetkellä; viivaimen lukemat ovat metrejä. Alempi kuvaaja näyttää merkityn kohdan $P$ poikkeaman $y$ ajan funktiona viimeisten $4\,\text{s}$:n ajalta. Valitse Aalto-valikosta poikittainen aalto narussa tai pitkittäinen aalto kierrejousessa, Lähde-valikosta jatkuva aalto tai yksi pulssi ja Jännitys-valikosta suuri tai pieni jännitys. Liukusäädin muuttaa lähteen taajuutta $f$. Kun muutat jotakin arvoa, aalto alkaa alusta; Alusta tekee saman. Jatkuvassa aallossa kahden harjan (tai tihentymän) väli on merkitty $\lambda$:lla. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia, ei aallon nopeutta $v$.
Mallin oletukset
Narun tai jousen jokainen kohta toistaa lähteen liikkeen viiveellä, joka on kohdan etäisyys lähteestä jaettuna aallon nopeudella; rintaman edellä väliaine on levossa. Aallon nopeus riippuu vain jännityksestä: suurella jännityksellä $v = 2{,}0\,\text{m/s}$, pienellä $1{,}0\,\text{m/s}$. Amplitudi on $5{,}0\,\text{cm}$. Narun kuvassa poikkeama on piirretty suurennettuna, jousen kuvassa viivaimen mittakaavassa; pitkittäisessä aallossa poikkeama $y$ on jousen suuntainen, ja tummennettu alue näyttää tihentymät, joissa kierrokset ovat tavallista lähempänä toisiaan. Kohta $P$ on kohdassa $x = 1{,}00\,\text{m}$. Väliaine jatkuu kuvan oikealle puolelle niin pitkälle, ettei heijastunut aalto palaa kuvaan, eikä aalto vaimene. Luvut ovat mallin arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Kohdan $x$ poikkeama hetkellä $t$ on lähteen poikkeama hetkellä $t - \tfrac{x}{v}$:
$$y = A \sin\left(2\pi f \left(t - \frac{x}{v}\right)\right)$$
kun $t - \tfrac{x}{v} \ge 0$, muuten $y = 0$. Pulssissa lähde liikkuu vain puolen jaksonajan $\tfrac{T}{2}$, joten pulssi on yksi harja, jonka pituus on $\tfrac{\lambda}{2}$. Lukemissa $T = \tfrac{1}{f}$, $\lambda = \tfrac{v}{f}$ ja aallon etenemä matka $x = vt$. Kohdan $P$ suurin poikkeama poikittain ja pitkittäin on suurin $|y|$, joka on esiintynyt käynnistyksen jälkeen.
Koe 1: kulkeeko kohta $P$ aallon mukana?
Testaa ennuste 1. Taajuus ja jännitys pysyvät vakioina. Paina Käynnistä ja anna aallon edetä ainakin kolme sekuntia, niin että se on ohittanut kohdan $P$ ja kulkenut kuvan oikeaan reunaan. Kirjaa mittaus. Vaihda sitten aallon lajiksi pitkittäinen, käynnistä uudelleen ja kirjaa taas.
Alkutila: aalto: poikittainen, lähde: jatkuva aalto, jännitys: suuri jännitys, taajuus $f$ = $1\,\text{Hz}$. Vakiona: lähde, jännitys, taajuus $f$. Muutetaan: aalto.
| aalto | eteni $(\text{m})$ | poikittain $(\text{cm})$ | pitkittäin $(\text{cm})$ |
|---|
Koe 2: vain taajuus muuttuu
Testaa ennuste 2. Naru ja sen jännitys pysyvät samoina; muuta vain lähteen taajuutta. Käynnistä aalto, odota, että narussa näkyy ainakin kaksi harjaa, ja kirjaa mittaus ainakin taajuuksilla $1{,}0\,\text{Hz}$ ja $2{,}0\,\text{Hz}$, halutessasi myös $0{,}5\,\text{Hz}$:llä (silloin $\lambda = 4{,}0\,\text{m}$ ja kuvaan mahtuu vain hetkittäin kaksi harjaa, joten aallonpituuden lukema riittää). Tarkista aallonpituus myös viivaimesta.
Alkutila: aalto: poikittainen, lähde: jatkuva aalto, jännitys: suuri jännitys, taajuus $f$ = $1\,\text{Hz}$. Vakiona: aalto, lähde, jännitys. Muutetaan: taajuus $f$.
| taajuus $f$ | $\lambda$ $(\text{m})$ | $v$ $(\text{m/s})$ |
|---|
Koe 3: vain väliaine muuttuu
Nyt taajuus pysyy $1{,}0\,\text{Hz}$:ssä, ja muutat narun jännitystä. Kirjaa mittaus suurella ja pienellä jännityksellä. Mikä muuttuu ja mikä pysyy?
Alkutila: aalto: poikittainen, lähde: jatkuva aalto, jännitys: suuri, taajuus $f$ = $1\,\text{Hz}$. Vakiona: aalto, lähde, taajuus $f$. Muutetaan: jännitys.
| jännitys | $f$ $(\text{Hz})$ | $v$ $(\text{m/s})$ | $\lambda$ $(\text{m})$ |
|---|
Johtopäätös: mikä aallossa etenee ja mikä määrää sen nopeuden?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: Kuinka kauas aalto eteni kokeessa 1, ja kuinka paljon ja mihin suuntaan kohta $P$ liikkui poikittaisessa ja pitkittäisessä aallossa? Laske kokeen 2 jokaiselta riviltä tulo $f\lambda$ ja vertaa sitä nopeuteen $v$. Mikä muutti aallon nopeutta kokeessa 3, ja mitä silloin tapahtui aallonpituudelle?
Mallivastaus
Kokeessa 1 aalto eteni kolmessa sekunnissa noin $6\,\text{m}$, mutta kohdan $P$ suurin poikkeama oli vain $5{,}0\,\text{cm}$ eli aallon amplitudi. Poikittaisessa aallossa $P$ liikkui narua vastaan kohtisuoraan ylös ja alas, pitkittäisessä aallossa jousen suuntaisesti edestakaisin, mutta kummassakaan se ei kulkenut aallon mukana. Aalto kuljettaa siis energiaa, ei ainetta. Kokeessa 2 aallonpituus oli $2{,}0\,\text{m}$ taajuudella $1{,}0\,\text{Hz}$ ja $1{,}0\,\text{m}$ taajuudella $2{,}0\,\text{Hz}$; tulo $f\lambda$ oli joka rivillä $2{,}0\,\text{m/s}$, sama kuin nopeus $v$. Kokeessa 3 pienempi jännitys pienensi nopeuden $1{,}0\,\text{m/s}$:iin, ja aallonpituus lyheni $1{,}0\,\text{m}$:iin, kun taajuus pysyi samana. Nopeuden määrää väliaine, taajuuden lähde, ja $v = f\lambda$. Luvut ovat mallin arvoja.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Aalto on etenevä häiriö
Kun narun päätä heilautetaan ylös, käsi vetää mukanaan narun lähintä kohtaa. Jännittynyt naru vetää puolestaan seuraavaa kohtaa ja se taas seuraavaa, joten jokainen kohta lähtee liikkeelle hieman myöhemmin kuin edellinen. Näin poikkeama tasapainoasemasta eli häiriö etenee narussa kättä kauemmas. Aaltoliike on häiriön etenemistä väliaineessa. Väliaineen hiukkaset värähtelevät vain tasapainoasemansa ympärillä eivätkä kulje aallon mukana. Kaasussa molekyylit liikkuvat lisäksi satunnaisesti lämpöliikkeen vuoksi, mutta aalto ei kuljeta niitä mukanaan. Aalto kuljettaa siis energiaa lähteestä kauemmas, mutta ei ainetta. Siksi narun toisessa päässä oleva kello voi kilahtaa, vaikka mikään narun kohta ei kulje kädestä kelloon asti.
Mekaaninen aalto tarvitsee väliaineen, kuten narun, jousen, veden tai ilman. Yksi heilautus synnyttää pulssin, yksittäisen kummun, joka etenee narussa. Kun kättä heilutetaan tasaisesti ylös ja alas, syntyy jaksollinen aalto, jossa harjat ja pohjat toistuvat. Siinä narun jokainen kohta värähtelee samalla taajuudella $f$ kuin käsi. Jaksonaika $T$, taajuus $f$ ja amplitudi $A$ tarkoittavat samaa kuin luvussa Värähtelyn suureet: jaksonaika, taajuus ja amplitudi. Kun aalto saapuu narun päähän, se heijastuu takaisin; heijastumista tarkastellaan luvussa Aalto kohtaa esteen tai raon.
Poikittainen ja pitkittäinen aalto
Aallot jaetaan kahteen lajiin sen mukaan, mihin suuntaan väliaineen hiukkaset värähtelevät. Poikittaisessa aallossa hiukkaset värähtelevät kohtisuoraan aallon etenemissuuntaa vastaan: narun kohdat liikkuvat ylös ja alas, kun aalto etenee vaakasuoraan. Pitkittäisessä aallossa hiukkaset värähtelevät etenemissuunnan suuntaisesti. Kun pitkän kierrejousen päätä työnnetään edestakaisin, jouseen syntyy tihentymiä, joissa kierrokset ovat lähellä toisiaan, ja harvennuksia, joissa ne ovat kaukana toisistaan. Tihentymät ja harvennukset etenevät, mutta jokainen kierros vain heilahtelee paikkansa ympärillä. Esimerkiksi ääni ilmassa on pitkittäinen aalto.
Aaltoliikkeen perusyhtälö
Aallonpituus $\lambda$ on kahden peräkkäisen harjan tai kahden peräkkäisen tihentymän välinen etäisyys. Se on lyhin etäisyys kahden sellaisen kohdan välillä, jotka liikkuvat täsmälleen samalla tavalla. Kun lähde tekee yhden täyden värähdyksen eli yhden jaksonajan $T$ aikana, aalto etenee tasan yhden aallonpituuden. Kuvan neljä hetkeä näyttävät, miten jokainen jaksonajan neljännes vie aaltoa neljäsosan aallonpituudesta eteenpäin.
Aallon nopeus on siis aallonpituus jaettuna jaksonajalla. Koska taajuus on $f = \tfrac{1}{T}$, saadaan aaltoliikkeen perusyhtälö
$$v = \frac{\lambda}{T} = f\lambda$$
missä $v$ on aallon etenemisnopeus ($\text{m/s}$), $\lambda$ aallonpituus ($\text{m}$), $T$ jaksonaika ($\text{s}$) ja $f$ taajuus ($\text{Hz}$). Yksiköt sopivat yhteen, koska $1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}^{-1}$, joten $1\,\text{Hz} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{m/s}$. Pulssin nopeuden voi mitata myös suoraan: pulssi etenee samassa väliaineessa tasaisella nopeudella, joten $v = \tfrac{s}{t}$, missä $s$ on matka ja $t$ siihen kulunut aika.
Nopeus riippuu väliaineesta, taajuus lähteestä
Aallon nopeus määräytyy väliaineesta. Kireässä narussa aalto etenee nopeammin kuin löysässä, ja ääni etenee $20\,{}^\circ\text{C}$:n ilmassa noin $343\,\text{m/s}$:n mutta vedessä noin $1500\,\text{m/s}$:n nopeudella. Taajuus määräytyy lähteestä: se on käden, jousen pään tai kaiuttimen värähtelyn taajuus. Narussa ja ilmassa aallon nopeus ei käytännössä riipu taajuudesta eikä pienestä amplitudista. Kun samaa narua heilutetaan tiheämmin, nopeus pysyy samana ja aallonpituus lyhenee: kaksinkertainen taajuus puolittaa aallonpituuden. Kun aalto siirtyy väliaineesta toiseen, taajuus säilyy, mutta nopeus ja aallonpituus muuttuvat.
Valokuva ja yhden kohdan kuvaaja
Aaltoa voi kuvata kahdella kuvaajalla, jotka näyttävät samanlaisilta siniaalloilta. Valokuva eli $(x, y)$-kuvaaja näyttää koko narun muodon yhdellä hetkellä: vaaka-akselilla on paikka $x$, ja kahden harjan väli on aallonpituus $\lambda$. Yhden kohdan kuvaaja eli $(t, y)$-kuvaaja näyttää yhden narun kohdan poikkeaman $y$ ajan funktiona: vaaka-akselilla on aika $t$, ja kahden huipun väli on jaksonaika $T$. Kummastakin kuvaajasta voi lukea amplitudin $A$. Lue siis aina ensin, mikä suure on vaaka-akselilla.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että aalto etenee sitä nopeammin, mitä tiheämmin kättä heilutetaan. Samassa narussa nopeus pysyy kuitenkin samana. Kun taajuus kasvaa $1{,}0\,\text{Hz}$:stä $2{,}0\,\text{Hz}$:iin, aallonpituus lyhenee $2{,}0\,\text{m}$:stä $1{,}0\,\text{m}$:iin, ja tulo $f\lambda$ on edelleen $2{,}0\,\text{m/s}$. Nopeuden voi muuttaa vain muuttamalla väliainetta, esimerkiksi kiristämällä narua.
Toinen yleinen virhe on lukea aallonpituus yhden kohdan $(t, y)$-kuvaajasta. Siinä huippujen väli on jaksonaika $T$ sekunteina, ei aallonpituus. Kolmas virhe on ajatella, että aalto kuljettaa narun ainetta mukanaan: narun kohdat vain värähtelevät paikallaan, ja eteenpäin siirtyy energia.
Tiivistelmä
- Aaltoliike on häiriön etenemistä väliaineessa. Väliaineen hiukkaset värähtelevät tasapainoasemansa ympärillä, ja aalto kuljettaa energiaa mutta ei ainetta.
- Poikittaisessa aallossa hiukkaset värähtelevät kohtisuoraan etenemissuuntaa vastaan (naru), pitkittäisessä aallossa etenemissuunnan suuntaisesti (kierrejousi, ääni ilmassa).
- Yksi heilautus tekee pulssin, tasainen heilutus jaksollisen aallon. Aallonpituus $\lambda$ on kahden peräkkäisen harjan väli.
- Aaltoliikkeen perusyhtälö on $v = \tfrac{\lambda}{T} = f\lambda$. Nopeus riippuu väliaineesta, taajuus lähteestä.
- Valokuvasta eli $(x, y)$-kuvaajasta luetaan aallonpituus, yhden kohdan $(t, y)$-kuvaajasta jaksonaika.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: mikä narussa kulki kädestä tolpalle asti, ja miksi kello saattoi kilahtaa, vaikka mikään narun kohta ei siirtynyt sen luo?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Pitkä naru on vedetty kireälle pihan poikki. Kun narun päätä heilautetaan kerran, syntyvä pulssi kulkee $6{,}0\,\text{m}$:n matkan $2{,}5\,\text{s}$:ssa. Sitten samaa narua heilutetaan tasaisesti taajuudella $3{,}0\,\text{Hz}$, eikä narun jännitys muutu. Kuinka pitkä on syntyvän aallon aallonpituus?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Pulssin kulkema matka $s = 6{,}0\,\text{m}$ ja siihen kulunut aika $t = 2{,}5\,\text{s}$, jaksollisen aallon taajuus $f = 3{,}0\,\text{Hz}$. Kysytään aallonpituutta $\lambda$.
Vaihe 2/7
Periaate. Aallon nopeus riippuu väliaineesta eli tässä narusta ja sen jännityksestä, ei siitä, tehdäänkö narussa pulssi vai jaksollinen aalto. Siksi jaksollinen aalto etenee samalla nopeudella $v$ kuin pulssi, ja pulssi etenee tasaisesti, joten $v = \tfrac{s}{t}$. Aallonpituus saadaan sitten perusyhtälöstä $v = f\lambda$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} v &= \frac{s}{t} \quad\text{ja}\quad v = f\lambda \\ \lambda &= \frac{v}{f} = \frac{s}{f\,t} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: matka on metreinä ja aika sekunteina, ja $1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}^{-1}$, joten $\tfrac{\text{m/s}}{\text{Hz}} = \text{m}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin nopeus ja sitten aallonpituus:
$$\begin{aligned} v &= \frac{s}{t} \\ &= \frac{6{,}0\,\text{m}}{2{,}5\,\text{s}} = 2{,}4\,\text{m/s} \\[6pt] \lambda &= \frac{v}{f} \\ &= \frac{2{,}4\,\text{m/s}}{3{,}0\,\text{Hz}} = 0{,}80\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Aallonpituus on $0{,}80\,\text{m}$. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla kuten lähtötiedot $6{,}0\,\text{m}$, $2{,}5\,\text{s}$ ja $3{,}0\,\text{Hz}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Jaksonaika on $T = \tfrac{1}{f} = 0{,}333\,\text{s}$, ja siinä ajassa aalto etenee $2{,}4\,\text{m/s} \cdot 0{,}333\,\text{s} = 0{,}80\,\text{m}$ eli juuri yhden aallonpituuden, kuten pitääkin.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
Pöydälle on venytetty pitkä kierrejousi. Sen päätä työnnetään edestakaisin jousen suuntaisesti tasaisesti $2{,}5$ kertaa sekunnissa, ja jouseen syntyy tihentymiä, joiden keskikohtien väli on $0{,}60\,\text{m}$.
Kuinka kauan kestää, että yksi tihentymä kulkee jousen toiseen päähän, $6{,}0\,\text{m}$:n päähän? Vastaa sekunteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä luku on taajuus ja mikä aallonpituus? Mikä suure tarvitaan, jotta matkasta saadaan aika?
Vihje 2: mikä yhteys
Aallon nopeus saadaan perusyhtälöstä $v = f\lambda$, ja tihentymä etenee tasaisella nopeudella, joten $t = \tfrac{s}{v}$.
Vihje 3: välivaihe
joten $t = \tfrac{6{,}0\,\text{m}}{1{,}5\,\text{m/s}}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 2{,}5\,\text{Hz}$ (työnnöt sekunnissa), tihentymien väli eli aallonpituus $\lambda = 0{,}60\,\text{m}$, matka $s = 6{,}0\,\text{m}$
Kysytty
aika $t$, jossa tihentymä kulkee matkan $s$, sekunteina
Periaate
Tihentymät ovat pitkittäisen aallon osia, ja ne etenevät aallon nopeudella. Kahden peräkkäisen tihentymän väli on aallonpituus, ja taajuus on lähteen eli käden työntöjen taajuus, joten nopeus saadaan perusyhtälöstä. Samassa jousessa nopeus on vakio, joten aika on matka jaettuna nopeudella.
Kaava
$v = f\lambda$ ja $s = vt$, josta
$$t = \frac{s}{v} = \frac{s}{f\lambda}$$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}^{-1}$, joten $f\lambda$ on yksikössä m/s ja matka on metreinä.
Sijoitus
Vastaus
$4{,}0\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $2{,}5$, $0{,}60\,\text{m}$ ja $6{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Jouseen mahtuu $6{,}0\,\text{m} : 0{,}60\,\text{m} = 10$ aallonpituutta, ja aalto etenee yhden aallonpituuden jokaisen jaksonajan
aikana: $10 \cdot 0{,}40\,\text{s} = 4{,}0\,\text{s}$. Nopeus $1{,}5\,\text{m/s}$ on kävelyvauhtia, mikä sopii löysään pöytäjouseen.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Mitä aalto kuljettaa lähteestä kauemmas, ja mitä se ei kuljeta?
Vastaus
Aalto kuljettaa energiaa mutta ei ainetta. Väliaineen hiukkaset värähtelevät tasapainoasemansa ympärillä, ja eteenpäin siirtyy vain häiriö eli värähtelyn vaihe.
- Samaa narua heilutetaan kolme kertaa tiheämmin kuin äsken, eikä narun jännitys muutu. Miten aallonpituus muuttuu?
Vastaus
Aallonpituus on kolmasosa entisestä. Nopeus $v = f\lambda$ riippuu narusta eikä muutu, joten kun $f$ kolminkertaistuu, $\lambda = \tfrac{v}{f}$ pienenee kolmasosaan.
1. Mikä säilyy?
2. Lue valokuvasta
Kuvassa on narun valokuva yhdellä hetkellä. Narun päätä heilutetaan taajuudella $1{,}8\,\text{Hz}$. Kuinka suuri on aallon nopeus? Vastaa metreinä sekunnissa.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Valokuvan vaaka-akselilla on paikka. Mikä etäisyys kuvasta on aallonpituus?
Vihje 2: mikä yhteys
Aallonpituus on kahden peräkkäisen harjan väli. Harjat ovat apuviivojen kohdalla.
Vihje 3: välivaihe
Harjat ovat kohdissa $0{,}5\,\text{m}$ ja $2{,}0\,\text{m}$, joten
Näytä ratkaisu
Annettu
narun valokuva (kuva), taajuus $f = 1{,}8\,\text{Hz}$
Kysytty
aallon nopeus $v$ metreinä sekunnissa
Periaate
Valokuva näyttää koko narun yhdellä hetkellä, joten kahden peräkkäisen harjan väli on aallonpituus. Yhden jakson aikana aalto etenee yhden aallonpituuden, joten aaltoliikkeen perusyhtälö antaa nopeuden.
Kuvaajan lukeminen
Harjat, korkeudella $4\,\text{cm}$, ovat apuviivoilla kohdissa $x = 0{,}5\,\text{m}$, $2{,}0\,\text{m}$ ja $3{,}5\,\text{m}$. Peräkkäisten harjojen väli on $2{,}0\,\text{m} - 0{,}5\,\text{m} = 1{,}5\,\text{m}$, ja sama väli toistuu seuraavien harjojen välillä.
Kaava
$v = f\lambda$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{Hz} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{m/s}$. Pystyakselin senttimetrejä ei tarvita, koska amplitudi ei vaikuta nopeuteen.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}7\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $1{,}8\,\text{Hz}$ ja kuvasta luetussa aallonpituudessa $1{,}5\,\text{m}$.
Järkevyys
Jaksonaika on
ja $\tfrac{1{,}5\,\text{m}}{0{,}56\,\text{s}} \approx 2{,}7\,\text{m/s}$ antaa saman. Muutama metri sekunnissa on tavallinen nopeus kireässä narussa.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Ääni aaltona
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Aaltoliike
- Värähtelyn etenemistä paikasta toiseen niin, että energiaa siirtyy mutta aine ei siirry mukana.
- Väliaine
- Kaasu, neste tai kiinteä aine, jossa mekaaninen aaltoliike etenee rakenneosien vuorovaikutusten välityksellä.
- Pulssi
- Yksittäinen häiriö, joka etenee väliaineessa.
- Aallonpituus
- Kahden vierekkäisen samassa värähdysvaiheessa olevan kohdan välinen etäisyys.
- Aallon etenemisnopeus
- Nopeus, jolla häiriö etenee väliaineessa; se riippuu väliaineen ominaisuuksista.
- Aaltoliikkeen perusyhtälö
- Aallon etenemisnopeuden, taajuuden ja aallonpituuden yhteys.$$v = \lambda f$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 10-1Ydintehtävä
Pitkän kierrejousen päätä heilutetaan sivuttain, ja jousessa etenee poikittainen aalto, jonka taajuus on $4{,}0\,\text{Hz}$ ja aallonpituus $0{,}75\,\text{m}$. Kuinka suuri on aallon nopeus?
Vastaus
$3{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 4{,}0\,\text{Hz}$, aallonpituus $\lambda = 0{,}75\,\text{m}$
Kysytty
aallon nopeus $v$
Periaate
Yhden jaksonajan aikana aalto etenee yhden aallonpituuden, joten nopeus on aallonpituus kertaa taajuus. Perusyhtälö pätee kaikille jaksollisille aalloille, myös jousessa etenevälle poikittaiselle aallolle.
Kaava
$v = f\lambda$
Muunnokset
Ei tarvita: $1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}^{-1}$, joten $\text{Hz} \cdot \text{m} = \text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= 4{,}0\,\text{s}^{-1} \cdot 0{,}75\,\text{m}$$= 3{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$3{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $4{,}0\,\text{Hz}$ ja aallonpituudessa $0{,}75\,\text{m}$.
Järkevyys
Jaksonaika on
$T$$= \dfrac{1}{4{,}0\,\text{Hz}}$$= 0{,}25\,\text{s}$ja $0{,}75\,\text{m} : 0{,}25\,\text{s} = 3{,}0\,\text{m/s}$ antaa saman. Muutama metri sekunnissa on tavallinen nopeus venytetyssä jousessa: aalto näkyy etenevän silmin seurattavalla vauhdilla.
- Tehtävä 10-2Ydintehtävä
Kaiutin soittaa sävelen, jonka taajuus on $440\,\text{Hz}$. Ääni etenee huoneen ilmassa nopeudella $343\,\text{m/s}$. Kuinka pitkä on äänen aallonpituus?
Vastaus
$0{,}780\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 440\,\text{Hz}$, äänen nopeus ilmassa $v = 343\,\text{m/s}$
Kysytty
aallonpituus $\lambda$
Periaate
Ääni on ilmassa etenevä pitkittäinen aalto, ja sillekin pätee aaltoliikkeen perusyhtälö: yhden jaksonajan aikana ääni etenee yhden aallonpituuden. Taajuus on kaiuttimen kalvon värähtelyn taajuus.
Kaava
$v = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{v}{f}$
Muunnokset
Ei tarvita:
$\tfrac{\text{m/s}}{\text{Hz}}$$= \tfrac{\text{m/s}}{1/\text{s}}$$= \text{m}$Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{343\,\text{m/s}}{440\,\text{s}^{-1}}$$= 0{,}7795\,\text{m}$Vastaus
$0{,}780\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $343\,\text{m/s}$ ja taajuudessa $440\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Arvio pyöreillä luvuilla: $\tfrac{350\,\text{m/s}}{450\,\text{Hz}} \approx 0{,}8\,\text{m}$. Kuultavan äänen aallonpituudet ovat ilmassa noin kahdesta senttimetristä yli kymmeneen metriin, joten vajaan metrin aallonpituus sopii keskialueen sävelelle.
- Tehtävä 10-3
Kireässä narussa aalto etenee nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$, ja aallon harjojen väli on $1{,}5\,\text{m}$. Millä taajuudella narun päätä heilutetaan?
Vastaus
$4{,}0\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallon nopeus $v = 6{,}0\,\text{m/s}$, harjojen väli eli aallonpituus $\lambda = 1{,}5\,\text{m}$
Kysytty
taajuus $f$
Periaate
Kahden peräkkäisen harjan väli on aallonpituus. Narun jokainen kohta värähtelee samalla taajuudella kuin käsi, joten aallon taajuus on heilutuksen taajuus, ja se saadaan perusyhtälöstä.
Kaava
$v = f\lambda$, josta $f = \dfrac{v}{\lambda}$
Muunnokset
Ei tarvita:
$\tfrac{\text{m/s}}{\text{m}}$$= \text{s}^{-1}$$= \text{Hz}$Sijoitus
$f$$= \dfrac{6{,}0\,\text{m/s}}{1{,}5\,\text{m}}$$= 4{,}0\,\text{s}^{-1}$$= 4{,}0\,\text{Hz}$Vastaus
$4{,}0\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $6{,}0\,\text{m/s}$ ja $1{,}5\,\text{m}$.
Järkevyys
Neljä heilautusta sekunnissa on nopeaa mutta käsin mahdollista. Tarkistus: sekunnissa aalto etenee $6{,}0\,\text{m}$, ja tälle matkalle mahtuu $6{,}0\,\text{m} : 1{,}5\,\text{m} = 4$ aallonpituutta eli neljä sekunnissa syntynyttä harjaa.
- Tehtävä 10-4
Uimahallin aaltoaltaan kone tekee aaltoja, joiden jaksonaika on $2{,}5\,\text{s}$ ja aallonpituus $4{,}0\,\text{m}$. Kuinka suurella nopeudella aallot etenevät?
Vastaus
$1{,}6\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jaksonaika $T = 2{,}5\,\text{s}$, aallonpituus $\lambda = 4{,}0\,\text{m}$
Kysytty
aaltojen nopeus $v$
Periaate
Yhden jaksonajan aikana aalto etenee yhden aallonpituuden. Siksi nopeus on aallonpituus jaettuna jaksonajalla; tämä perusyhtälön muoto sopii, koska tehtävässä on annettu jaksonaika eikä taajuutta.
Kaava
$v = \dfrac{\lambda}{T}$
Muunnokset
Ei tarvita: aallonpituus on metreinä ja jaksonaika sekunteina.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{4{,}0\,\text{m}}{2{,}5\,\text{s}}$$= 1{,}6\,\text{m/s}$Vastaus
$1{,}6\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jaksonajassa $2{,}5\,\text{s}$ ja aallonpituudessa $4{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Saman saa taajuuden kautta:
$f$$= \tfrac{1}{2{,}5\,\text{s}}$$= 0{,}40\,\text{Hz}$$v$$= 0{,}40\,\text{Hz} \cdot 4{,}0\,\text{m}$$= 1{,}6\,\text{m/s}$Hieman kävelyä nopeampi vauhti sopii aaltoaltaan rauhallisille aalloille.
- Tehtävä 10-5
Narussa aalto etenee nopeudella $4{,}8\,\text{m/s}$, ja sen aallonpituus on $1{,}2\,\text{m}$. Kuinka suuri on aallon jaksonaika?
Vastaus
$0{,}25\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallon nopeus $v = 4{,}8\,\text{m/s}$, aallonpituus $\lambda = 1{,}2\,\text{m}$
Kysytty
jaksonaika $T$
Periaate
Jaksonaika on aika, jossa aalto etenee yhden aallonpituuden, joten se saadaan perusyhtälön muodosta $v = \tfrac{\lambda}{T}$. Jaksonaika on myös narun jokaisen kohdan yhden täyden värähdyksen aika.
Kaava
$v = \dfrac{\lambda}{T}$, josta $T = \dfrac{\lambda}{v}$
Muunnokset
Ei tarvita: $\tfrac{\text{m}}{\text{m/s}} = \text{s}$.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{1{,}2\,\text{m}}{4{,}8\,\text{m/s}}$$= 0{,}25\,\text{s}$Vastaus
$0{,}25\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $4{,}8\,\text{m/s}$ ja aallonpituudessa $1{,}2\,\text{m}$.
Järkevyys
Taajuus on
$f$$= \dfrac{1}{0{,}25\,\text{s}}$$= 4{,}0\,\text{Hz}$ja $4{,}0\,\text{Hz} \cdot 1{,}2\,\text{m} = 4{,}8\,\text{m/s}$, kuten annettiin. Aallonpituus on neljäsosa siitä matkasta, jonka aalto etenee sekunnissa, joten jakson on oltava neljäsosasekunti.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 10-6Ydintehtävä
Kuvaajassa on kireän narun yhden kohdan poikkeama ajan funktiona, kun narun päätä heilutetaan tasaisesti. Narun valokuvasta on mitattu, että peräkkäisten harjojen väli on $1{,}0\,\text{m}$. Lue tarvittava arvo kuvaajasta.
Kuinka suuri on aallon nopeus?
Vastaus
$2{,}5\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
narun yhden kohdan $(t, y)$-kuvaaja (kuva), harjojen väli valokuvassa eli aallonpituus $\lambda = 1{,}0\,\text{m}$
Kysytty
aallon nopeus $v$
Periaate
Yhden kohdan kuvaajan vaaka-akselilla on aika, joten kahden samanlaisen kohdan väli on jaksonaika $T$. Aallonpituus tulee valokuvasta. Yhden jaksonajan aikana aalto etenee yhden aallonpituuden.
Kuvaajan lukeminen
Käyrä leikkaa aika-akselin ylöspäin noustessaan hetkillä $0$, $0{,}4\,\text{s}$, $0{,}8\,\text{s}$, … , $2{,}0\,\text{s}$. Aikavälillä $2{,}0\,\text{s}$ on siis $5$ täyttä värähdystä, joten
$T$$= 2{,}0\,\text{s} : 5$$= 0{,}40\,\text{s}$Kaava
$v = \dfrac{\lambda}{T}$
Muunnokset
Ei tarvita: aallonpituus on metreinä ja jaksonaika sekunteina. Poikkeaman senttimetrejä ei tarvita, koska amplitudi ei vaikuta nopeuteen.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{1{,}0\,\text{m}}{0{,}40\,\text{s}}$$= 2{,}5\,\text{m/s}$Vastaus
$2{,}5\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $1{,}0\,\text{m}$ ja kuvaajasta luetussa jaksonajassa $0{,}40\,\text{s}$.
Järkevyys
Taajuus on
$f$$= \tfrac{1}{0{,}40\,\text{s}}$$= 2{,}5\,\text{Hz}$ja
$f\lambda$$= 2{,}5\,\text{Hz} \cdot 1{,}0\,\text{m}$$= 2{,}5\,\text{m/s}$antaa saman. Huippujen väli $0{,}40\,\text{s}$ ei ole aallonpituus, koska se on aikaa.
- Tehtävä 10-7Ydintehtävä
Opiskelija heiluttaa pitkän hyppynarun päätä tasaisesti ja laskee, että käsi tekee $18$ täyttä heilahdusta $12{,}0$ sekunnissa. Narun harjojen väli on $1{,}40\,\text{m}$. Kuinka suuri on aallon nopeus narussa?
Vastaus
$2{,}10\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$N = 18$ täyttä heilahdusta ajassa $t = 12{,}0\,\text{s}$, harjojen väli eli aallonpituus $\lambda = 1{,}40\,\text{m}$
Kysytty
aallon nopeus $v$
Periaate
Narun jokainen kohta värähtelee käden taajuudella, joten aallon taajuus on käden heilahdusten määrä sekunnissa. Nopeus saadaan sitten perusyhtälöstä, koska yhden jakson aikana aalto etenee yhden aallonpituuden.
Kaava
$f = \dfrac{N}{t}$ ja $v = f\lambda$, joten $v = \dfrac{N\lambda}{t}$
Muunnokset
Ei tarvita: $\text{s}^{-1} = \text{Hz}$ ja $\text{Hz} \cdot \text{m} = \text{m/s}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{18}{12{,}0\,\text{s}}$$= 1{,}5\,\text{Hz}$$v$$= 1{,}5\,\text{s}^{-1} \cdot 1{,}40\,\text{m}$$= 2{,}10\,\text{m/s}$Vastaus
$2{,}10\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten ajassa $12{,}0\,\text{s}$ ja aallonpituudessa $1{,}40\,\text{m}$; heilahdusten määrä $18$ on laskettu lukumäärä, joten se ei rajoita merkitseviä numeroita.
Järkevyys
Jaksonaika on
$T$$= \tfrac{12{,}0\,\text{s}}{18}$$= 0{,}667\,\text{s}$ja $\tfrac{1{,}40\,\text{m}}{0{,}667\,\text{s}} = 2{,}10\,\text{m/s}$. Yksikkökin täsmää: $\text{s}^{-1} \cdot \text{m} = \text{m/s}$, ja muutama metri sekunnissa on hyppynarulle tavallinen nopeus.
- Tehtävä 10-8
Altaan reunalla olevan kaiuttimen ääni etenee ilmassa nopeudella $343\,\text{m/s}$, ja sen aallonpituus ilmassa on $0{,}750\,\text{m}$. Ääni jatkaa veteen, jossa se etenee nopeudella $1480\,\text{m/s}$.
Kuinka pitkä on äänen aallonpituus vedessä?
Vastaus
$3{,}24\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ilmassa $v_\text{i} = 343\,\text{m/s}$ ja $\lambda_\text{i} = 0{,}750\,\text{m}$, vedessä $v_\text{v} = 1480\,\text{m/s}$
Kysytty
aallonpituus vedessä $\lambda_\text{v}$
Periaate
Kun aalto siirtyy väliaineesta toiseen, taajuus säilyy, koska vettä heiluttaa ilman värähtely rajapinnalla samassa tahdissa. Nopeus muuttuu väliaineen mukana, joten aallonpituus muuttuu. Kummassakin väliaineessa pätee $v = f\lambda$.
Kaava
$f$$= \dfrac{v_\text{i}}{\lambda_\text{i}}$$\lambda_\text{v}$$= \dfrac{v_\text{v}}{f}$joten
$\lambda_\text{v}$$= \dfrac{v_\text{v}\lambda_\text{i}}{v_\text{i}}$Muunnokset
Ei tarvita: nopeudet ovat samassa yksikössä, joten niiden suhde on yksikötön, ja aallonpituus on metreinä.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{343\,\text{m/s}}{0{,}750\,\text{m}}$$= 457{,}3\,\text{Hz}$$\lambda_\text{v}$$= \dfrac{1480\,\text{m/s}}{457{,}3\,\text{s}^{-1}}$$= 3{,}236\,\text{m}$Vastaus
$3{,}24\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa $343\,\text{m/s}$, $0{,}750\,\text{m}$ ja $1480\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Ääni etenee vedessä noin $\tfrac{1480}{343} \approx 4{,}3$ kertaa nopeammin kuin ilmassa, joten samalla taajuudella aallonpituus on noin $4{,}3$-kertainen: $4{,}3 \cdot 0{,}750\,\text{m} \approx 3{,}2\,\text{m}$.
- Tehtävä 10-9
Maanjäristyksen pitkittäinen aalto etenee kallioperässä. Seismometri mittaa aallon taajuudeksi $0{,}50\,\text{Hz}$, ja aallonpituus on $12\,\text{km}$. Kuinka suuri on aallon nopeus metreinä sekunnissa?
Vastaus
$6{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 0{,}50\,\text{Hz}$, aallonpituus $\lambda = 12\,\text{km}$
Kysytty
aallon nopeus $v$ metreinä sekunnissa
Periaate
Maanjäristyksen pitkittäinen aalto on mekaaninen aalto, jossa kallio värähtelee etenemissuunnan suuntaisesti. Sillekin pätee aaltoliikkeen perusyhtälö, koska yhden jaksonajan aikana aalto etenee yhden aallonpituuden.
Kaava
$v = f\lambda$
Muunnokset
$\lambda$$= 12\,\text{km}$$= 12 \cdot 1000\,\text{m}$$= 12\,000\,\text{m}$Sijoitus
$v$$= 0{,}50\,\text{s}^{-1} \cdot 12\,000\,\text{m}$$= 6000\,\text{m/s}$Vastaus
$6{,}0 \cdot 10^{3}\,\text{m/s}$
Eli $6000\,\text{m/s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $0{,}50\,\text{Hz}$ ja aallonpituudessa $12\,\text{km}$.
Järkevyys
Jaksonaika on
$T$$= \tfrac{1}{0{,}50\,\text{Hz}}$$= 2{,}0\,\text{s}$ja $12\,\text{km}$ kahdessa sekunnissa on $6\,\text{km/s}$. Ääni etenee kiinteässä kalliossa paljon nopeammin kuin ilmassa ($343\,\text{m/s}$), joten kilometrejä sekunnissa on uskottava nopeus.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 10-10
Narusta otetaan kaksi valokuvaa $0{,}15\,\text{s}$:n välein.
Ensimmäisessä kuvassa eräs harja on kohdassa $x = 0{,}60\,\text{m}$ ja toisessa kohdassa $x = 1{,}05\,\text{m}$, ja harja ei ole kuvien välillä ehtinyt kulkea yhtä aallonpituutta. Kummassakin kuvassa peräkkäisten harjojen väli on $1{,}20\,\text{m}$.
Millä taajuudella narun päätä heilutetaan? Perustele myös, miksi harjan siirtymä ei ole narun aineen siirtymä.
Vastaus
$2{,}5\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
harja kohdassa $x_1 = 0{,}60\,\text{m}$ ja $\Delta t = 0{,}15\,\text{s}$ myöhemmin kohdassa $x_2 = 1{,}05\,\text{m}$; harja ei ole kulkenut yhtä aallonpituutta; harjojen väli $\lambda = 1{,}20\,\text{m}$
Kysytty
heilutuksen taajuus $f$
Periaate
Harja on aallon osa, joten se etenee aallon nopeudella $v = \tfrac{\Delta x}{\Delta t}$. Koska harja on kulkenut alle aallonpituuden, kuvissa on sama harja eikä jo seuraava. Harjan siirtymä ei ole narun aineen siirtymä: narun kohdat liikkuvat vain ylös ja alas, ja harja on aina siinä kohdassa, joka sillä hetkellä on ylimmässä asemassaan. Taajuus saadaan perusyhtälöstä.
Kaava
$v = \dfrac{x_2 - x_1}{\Delta t}$ ja $v = f\lambda$, joten
$f$$= \dfrac{x_2 - x_1}{\lambda\,\Delta t}$Muunnokset
Ei tarvita: kaikki pituudet ovat metreinä ja aika sekunteina.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{1{,}05\,\text{m} - 0{,}60\,\text{m}}{0{,}15\,\text{s}}$$= \dfrac{0{,}45\,\text{m}}{0{,}15\,\text{s}}$$= 3{,}0\,\text{m/s}$$f$$= \dfrac{3{,}0\,\text{m/s}}{1{,}20\,\text{m}}$$= 2{,}5\,\text{Hz}$Vastaus
$2{,}5\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska aika $0{,}15\,\text{s}$ ja siirtymä $0{,}45\,\text{m}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Jaksonaika on
$T$$= \tfrac{1}{2{,}5\,\text{Hz}}$$= 0{,}40\,\text{s}$joten kuvien väli $0{,}15\,\text{s}$ on alle jakson, ja harja eteni $0{,}45\,\text{m}$ eli alle aallonpituuden $1{,}20\,\text{m}$, kuten oletettiin.
- Tehtävä 10-11
Pitkän rautatiekiskon toiseen päähän lyödään vasaralla.
Kiskon toisessa päässä oleva kuulija kuulee kaksi pamausta: ensin kiskoa pitkin tulleen äänen ja $0{,}50\,\text{s}$ myöhemmin ilman kautta tulleen äänen. Ääni etenee teräksessä nopeudella $5100\,\text{m/s}$ ja ilmassa $340\,\text{m/s}$.
Kuinka pitkä on kisko? Perustele, miksi sama vasaran isku synnyttää kaksi eri aikaan saapuvaa ääntä.
Vastaus
$1{,}8 \cdot 10^{2}\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aikaero $\Delta t = 0{,}50\,\text{s}$, äänen nopeus teräksessä $v_\text{t} = 5100\,\text{m/s}$ ja ilmassa $v_\text{i} = 340\,\text{m/s}$
Kysytty
kiskon pituus $d$
Periaate
Vasaran isku synnyttää äänen sekä kiskoon että ilmaan. Aallon nopeus riippuu väliaineesta, joten kumpikin ääni kulkee saman matkan $d$ eri nopeudella ja saapuu eri aikaan: teräksessä kulkenut ääni ensin. Kumpikin etenee tasaisella nopeudella, joten kulkuaika on $\tfrac{d}{v}$, ja aikaero on kulkuaikojen erotus.
Kaava
$\Delta t$$= \dfrac{d}{v_\text{i}} - \dfrac{d}{v_\text{t}}$josta
$d$$= \dfrac{\Delta t}{\dfrac{1}{v_\text{i}} - \dfrac{1}{v_\text{t}}}$Muunnokset
Ei tarvita: nopeudet ovat metreinä sekunnissa ja aika sekunteina.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{0{,}50\,\text{s}}{\dfrac{1}{340\,\text{m/s}} - \dfrac{1}{5100\,\text{m/s}}}$$= \dfrac{0{,}50\,\text{s}}{0{,}002\,745\,\text{s/m}}$$= 182{,}1\,\text{m}$Vastaus
$1{,}8 \cdot 10^{2}\,\text{m}$
Eli noin $180\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska aikaero $0{,}50\,\text{s}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Perustelu
Sama isku synnyttää äänen sekä kiskoon että ilmaan, ja ääni etenee teräksessä paljon nopeammin kuin ilmassa. Kumpikin ääni kulkee saman matkan, mutta teräksessä kulkenut ehtii perille ensin, joten kuulija kuulee kaksi pamausta.
Järkevyys
Ilmassa matka kestää $\tfrac{182\,\text{m}}{340\,\text{m/s}} = 0{,}536\,\text{s}$ ja teräksessä $\tfrac{182\,\text{m}}{5100\,\text{m/s}} = 0{,}036\,\text{s}$; erotus on $0{,}50\,\text{s}$. Teräksen ääni on niin nopea, että pituus on vain hieman enemmän kuin ilman ääni kulkisi puolessa sekunnissa ($170\,\text{m}$).
- Tehtävä 10-12
Stadionin katsomossa kiertää aalto: jokainen katsoja nousee seisomaan $0{,}050\,\text{s}$ myöhemmin kuin hänen vieressään istuva ja istuutuu sitten takaisin.
Vierekkäisten istuinten väli on $0{,}55\,\text{m}$, ja katsomon kiertävän rivin pituus on $440\,\text{m}$.
Kuinka kauan kestää, että aalto kiertää katsomon kerran ympäri? Perustele, miksi aalto etenee, vaikka yksikään katsoja ei vaihda paikkaa.
Vastaus
$40\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
viive vierustoveriin $\Delta t = 0{,}050\,\text{s}$, istuinten väli $\Delta x = 0{,}55\,\text{m}$, rivin pituus $s = 440\,\text{m}$
Kysytty
aika $t$, jossa aalto kiertää katsomon kerran
Periaate
Katsomon aalto on mallina aaltoliikkeestä: jokainen katsoja toistaa vierustoverinsa liikkeen pienellä viiveellä, joten nouseminen eli häiriö etenee rivissä, vaikka katsojat pysyvät paikoillaan ja vain nousevat ja istuvat. Häiriö etenee yhden istuinvälin ajassa $\Delta t$, joten sen nopeus on vakio ja kierrokseen kuluva aika on matka jaettuna nopeudella.
Kaava
$v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ ja $s = vt$, joten
$t$$= \dfrac{s}{v}$$= \dfrac{s\,\Delta t}{\Delta x}$Muunnokset
Ei tarvita: pituudet ovat metreinä ja aika sekunteina.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{0{,}55\,\text{m}}{0{,}050\,\text{s}}$$= 11\,\text{m/s}$$t$$= \dfrac{440\,\text{m}}{11\,\text{m/s}}$$= 40\,\text{s}$Vastaus
$40\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten viiveessä $0{,}050\,\text{s}$ ja istuinvälissä $0{,}55\,\text{m}$.
Järkevyys
Rivissä on $440\,\text{m} : 0{,}55\,\text{m} = 800$ katsojaa, ja jokainen lisää $0{,}050\,\text{s}$ viivettä: $800 \cdot 0{,}050\,\text{s} = 40\,\text{s}$. Noin $11\,\text{m/s}$ on lähellä stadioneilla havaittua aallon nopeutta, ja yksittäinen katsoja liikkuu vain noin metrin ylös ja alas.