Aalto kohtaa esteen tai raon
Miksi aallot ylettyvät aallonmurtajan kapeasta aukosta myös sataman nurkkiin eivätkä kulje vain suoraan aukon kohdalle?
Pohjatiedot
- Aallonpituus $\lambda$ on kahden peräkkäisen aallonharjan etäisyysluku Aaltojen synty ja eteneminen
- Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa: $v = f\lambda$luku Aaltojen synty ja eteneminen
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 3.
Pohdinta
Myrskyisenä päivänä aallot vyöryvät avomereltä suorina riveinä kohti satamaa. Aallonmurtajassa on vain kapea aukko laivoja varten, ja sataman allas on aukon takana leveämpi kuin aukko. Silti aallot keinuttavat myös veneitä, jotka ovat laiturissa altaan nurkassa kaukana aukon sivulla. Aallonmurtajan seinästä aallot taas kimpoavat takaisin merelle.
Miten aalto käyttäytyy, kun se kohtaa seinän tai kapean aukon?
Kertaa: aallonpituus ja taajuus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: kulma seinästä
Ennuste 2: köyden kiinteä pää
Ennuste 3: kapeampi rako
Tutki
Valitse tilanne: köyden pulssi, aallot ja seinä, aallot ja rako tai aallot ja este. Altaan tilanteissa katsot vettä ylhäältä.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Tilanne. Köyden tilanteissa Käynnistä lähettää pulssin, joka kulkee köyden päähän ja takaisin; lukemissa on heijastuneen pulssin poikkeama $y_\text{h}$, kun pulssi on irronnut päästä. Altaan tilanteissa aallot liikkuvat koko ajan, ja Pysäytä pysäyttää kuvan. Seinätilanteessa säädä tulokulmaa $\alpha$: sinisillä viivoilla on piirretty tulevan aallon harjat ja vihreillä heijastuneen. Rako- ja estetilanteissa säädä aallonpituutta $\lambda$ ja raon tai esteen leveyttä $b$. Vaaleat kohdat ovat aallonharjoja, tummat aallonpohjia. Näytä alkeisaallot piirtää seinän tai raon pisteistä lähtevät Huygensin alkeisaallot. Liukusäädin vaikuttaa vain niissä tilanteissa, joissa sen suure on mukana. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia.
Mallin oletukset
Köysi on $5{,}0\,\text{m}$ pitkä, pulssi etenee nopeudella $2{,}0\,\text{m/s}$ vaimenematta, ja pulssin poikkeama $3{,}0\,\text{cm}$ on piirretty suurennettuna. Kiinteä pää ei liiku lainkaan, ja vapaan pään rengas liukuu kitkatta. Allas on $30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}$ ja vesi joka kohdassa yhtä syvää, joten aallon nopeus ei muutu. Seinä heijastaa aallon kokonaan. Raon ja esteen tilanteissa esteestä takaisin heijastuvaa aaltoa ei piirretä. Animaation tahti on hidastettu, ja luvut ovat mallin laskemia arvoja.
Laskennan selitys
Köysi: pään vaikutus lasketaan kuvitellulla peilipulssilla, joka tulee pään takaa vastaan. Kiinteässä päässä peilipulssi on vastakkaismerkkinen, jolloin pään poikkeama on aina nolla. Vapaassa päässä se on samanmerkkinen, jolloin pää heilahtaa hetkeksi kaksinkertaiseen poikkeamaan.\n\nSeinä: tuleva rintama saavuttaa kaksi seinän pistettä, joiden etäisyys on $d$, eri hetkinä. Kun rintama saavuttaa jälkimmäisen, edellisestä lähteneen alkeisaallon säde on $r = d \sin\alpha$. Heijastunut rintama sivuaa alkeisaaltoa, joten $\sin\beta = \tfrac{r}{d}$.\n\nRako ja este: raon kohdalle sijoitetaan alkeisaaltojen lähteitä enintään $\tfrac{\lambda}{8}$:n välein, ja veden pinnan korkeus joka kohdassa on niiden alkeisaaltojen summa. Leviämiskulma $\theta$ on kulma suoraan eteenpäin etenevästä suunnasta siihen suuntaan, jossa aallon amplitudi kaukana raosta on pudonnut puoleen. Jos amplitudi ei putoa puoleen missään suunnassa, $\theta = 90^\circ$. Este lasketaan tasoaallon ja esteen levyisen raon aallon erotuksena, ja piste $P$ on $8{,}0\,\text{cm}$ esteen takana.
Koe 1: tulokulma ja heijastuskulma
Testaa ennuste 1. Tilanne on aallot ja seinä. Muuta tulokulmaa $\alpha$ ja kirjaa heijastuskulma ja heijastuneen säteen ja pinnan välinen kulma ainakin kahdella tulokulmalla. Kokeile myös tulokulmaa, jolla säde muodostaa pinnan kanssa $30^\circ$:n kulman. Laita Näytä alkeisaallot päälle ja katso, mihin alkeisaaltojen sivuaja osuu.
Alkutila: tilanne: aallot ja seinä, aallonpituus $\lambda$ = $2\,\text{cm}$, tulokulma $\alpha$ = $30^\circ$. Vakiona: tilanne, aallonpituus $\lambda$. Muutetaan: tulokulma $\alpha$.
| tulokulma $\alpha$ | β $(^\circ)$ | kulma pinnasta $(^\circ)$ |
|---|
Koe 2: kiinteä ja vapaa pää
Testaa ennuste 2. Paina Käynnistä ja odota, että pulssi palaa. Kirjaa heijastuneen pulssin poikkeama, kun pää on kiinteä. Vaihda sitten tilanteeksi vapaa pää, paina taas Käynnistä ja kirjaa uudelleen. Katso myös, mitä köyden pää tekee pulssin kääntyessä.
Alkutila: tilanne: köysi, kiinteä pää. Vakiona: ei mitään. Muutetaan: tilanne.
| tilanne | $y_h$ $(\text{cm})$ |
|---|
Koe 3: raon leveys
Testaa ennuste 3. Tilanne on aallot ja rako, ja aallonpituus pysyy arvossa $2{,}0\,\text{cm}$. Kavenna rakoa ja kirjaa leviämiskulma ainakin kahdella leveydellä, esimerkiksi $8{,}0\,\text{cm}$, $4{,}0\,\text{cm}$, $2{,}0\,\text{cm}$ ja $1{,}0\,\text{cm}$. Katkoviivat näyttävät kulman $\theta$, jonka sisällä aalto on voimakas.
Alkutila: tilanne: aallot ja rako, aallonpituus $\lambda$ = $2\,\text{cm}$, raon leveys $b$ = $8\,\text{cm}$. Vakiona: tilanne, aallonpituus $\lambda$. Muutetaan: raon leveys $b$.
| raon leveys $b$ | $b/\lambda$ | $\theta$ $(^\circ)$ |
|---|
Valinnainen Koe 4: aallonpituus samassa raossa
Raon leveys pysyy arvossa $3{,}0\,\text{cm}$. Muuta aallonpituutta ja kirjaa leviämiskulma ainakin kahdella aallonpituudella. Vertaa kokeen 3 tuloksiin: millä raon leveydellä ja aallonpituudella saat saman kulman?
Alkutila: tilanne: aallot ja rako, aallonpituus $\lambda$ = $1\,\text{cm}$, raon leveys $b$ = $3\,\text{cm}$. Vakiona: tilanne, raon leveys $b$. Muutetaan: aallonpituus $\lambda$.
| aallonpituus $\lambda$ | $b/\lambda$ | $\theta$ $(^\circ)$ |
|---|
Johtopäätös: heijastuminen ja taipuminen
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miten heijastuskulma riippuu tulokulmasta, kun molemmat mitataan normaalista? Miten pulssi heijastuu kiinteästä ja vapaasta päästä? Miten aallon leviäminen raon takana riippuu raon leveydestä?
Mallivastaus
Heijastuskulma oli joka kerta yhtä suuri kuin tulokulma, esimerkiksi $\alpha = 30^\circ$ ja $\beta = 30^\circ$ sekä $\alpha = 60^\circ$ ja $\beta = 60^\circ$. Pinnasta mitattu kulma oli $90^\circ - \beta$, joten pinnasta mitattua kulmaa ei voi käyttää tulokulmana. Kiinteästä päästä pulssi palasi kääntyneenä, $y_\text{h} = -3{,}0\,\text{cm}$, ja vapaasta päästä kääntymättä, $+3{,}0\,\text{cm}$. Kun aallonpituus oli $2{,}0\,\text{cm}$, leviämiskulma kasvoi $8{,}7^\circ$:sta $90^\circ$:een, kun rako kapeni $8{,}0\,\text{cm}$:stä $1{,}0\,\text{cm}$:iin: kun rako on selvästi aallonpituutta kapeampi ($b < \lambda$), aalto leviää koko alueelle raon taakse, ja jo kun $b \approx \lambda$, leviäminen on suuri. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Aaltorintama ja säde
Aaltoa on helpointa kuvata ylhäältä katsottuna. Aaltorintama on viiva, joka yhdistää aallon samassa vaiheessa olevat kohdat, esimerkiksi yhden aallonharjan. Kahden peräkkäisen harjan välinen etäisyys on aallonpituus $\lambda$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen). Säde on nuoli, joka näyttää aallon etenemissuunnan, ja se on aina kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan. Suoran rintaman aalto on tasoaalto, ja pistemäisestä lähteestä, kuten veteen pudonneesta kivestä, lähtee ympyräaalto, jonka säteet osoittavat lähteestä poispäin joka suuntaan.
Heijastuminen köyden päästä
Kun aalto saapuu väliaineen rajalle, se heijastuu eli osa siitä tai koko aalto palaa takaisin. Köydessä tämän näkee yhdestä pulssista. Jos köyden pää on kiinni seinässä, pää ei pääse liikkumaan. Ylöspäin suuntautuva pulssi vetää kiinnitystä ylöspäin, ja seinä vetää köyttä yhtä suurella voimalla alaspäin. Siksi kiinteästä päästä heijastunut pulssi on kääntynyt: se palaa alaspäin suuntautuvana. Jos köyden pää on rengas, joka liukuu kitkatta tankoa pitkin, pää heilahtaa pulssin mukana ylös, eikä mikään vedä sitä alas. Vapaasta päästä heijastunut pulssi ei käänny, vaan palaa samanmerkkisenä.
Huygensin periaate
Hollantilainen Christiaan Huygens esitti 1600-luvulla periaatteen, jolla aallon etenemistä voi päätellä piirtämällä. Huygensin periaatteen mukaan aaltorintaman jokainen piste toimii uuden pienen ympyräaallon, alkeisaallon, lähteenä. Alkeisaallot etenevät samalla nopeudella kuin alkuperäinen aalto, ja hetken kuluttua uusi aaltorintama on viiva, joka sivuaa kaikkia alkeisaaltoja. Avoimessa vedessä alkeisaaltojen sivuaja on taas suora, joten tasoaalto jatkaa suoraan. Kun osa rintamasta pysähtyy esteeseen tai kimpoaa seinästä, jäljelle jääneet alkeisaallot kertovat, mihin aalto etenee.
Diffraktio
Kun aalto kulkee raosta tai esteen ohi, se taipuu myös esteen taakse, alueelle, jonne suoraan etenevä säde ei osu. Tätä kutsutaan diffraktioksi eli taipumiseksi. Huygensin periaate selittää sen: raon kohdalla olevat rintaman pisteet ovat alkeisaaltojen lähteitä, ja reunimmaisten pisteiden alkeisaallot leviävät sivuille. Raon leveyttä merkitään $b$. Jos rako on monta aallonpituutta leveä, rintama jatkaa raon kohdalla lähes suorana ja kaartuu vain reunoilta. Kun rako on selvästi aallonpituutta kapeampi, eli $b < \lambda$, alkeisaaltoja on raon kohdalla kuin yhdestä pisteestä, ja aalto leviää puoliympyränä koko alueelle raon taakse. Jo silloin, kun rako on suunnilleen aallonpituuden levyinen, $b \approx \lambda$, aalto leviää paljon.
Sama pätee esteeseen. Laituripaalun kaltainen este, joka on aallonpituutta kapeampi, ei juuri jätä taakseen varjoa, koska aalto taipuu sen ympäri. Aallonpituutta paljon leveämmän esteen taakse jää suojaisa alue. Diffraktio on siis voimakasta silloin, kun raon tai esteen leveys on aallonpituuden suuruusluokkaa tai pienempi. Ääni taipuu ovesta käytävään, koska puheäänen aallonpituus on noin metrin suuruusluokkaa, oviaukon levyinen.
Heijastuslaki
Kun aalto osuu tasaiseen pintaan, kuten seinään tai rantamuuriin, osumakohtaan piirretään pinnan normaali eli pintaa vastaan kohtisuora suora. Kulmat mitataan aina normaalista: tulokulma on tulevan säteen ja normaalin välinen kulma ja heijastuskulma heijastuneen säteen ja normaalin välinen kulma. Heijastuslaki on
$$\beta = \alpha$$
missä $\alpha$ on tulokulma ja $\beta$ heijastuskulma. Lisäksi tuleva säde, heijastunut säde ja normaali ovat samassa tasossa, ja heijastunut säde on normaalin toisella puolella kuin tuleva. Säteen ja pinnan välinen kulma on $90^\circ - \alpha$, eikä sitä käytetä tulokulmana.
Huygensin periaate selittää, miksi kulmat ovat yhtä suuret. Tasoaallon rintama $AB$ osuu seinään vinosti, joten sen piste $A$ koskettaa seinää ensin. Siitä lähtee alkeisaalto, kun rintaman toinen pää $B$ on vielä matkan päässä. Kun $B$ saapuu seinälle kohtaan $C$, $A$:sta lähtenyt alkeisaalto on edennyt saman matkan, koska nopeus on sama. Heijastunut rintama $CD$ sivuaa alkeisaaltoja. Kolmiot $ABC$ ja $CDA$ ovat yhtenevät: niillä on yhteinen sivu $AC$, yhtä pitkät sivut $BC$ ja $AD$ sekä suora kulma kohdissa $B$ ja $D$. Siksi rintamat muodostavat seinän kanssa yhtä suuret kulmat. Rintaman ja seinän välinen kulma on yhtä suuri kuin säteen ja normaalin välinen kulma, joten $\beta = \alpha$.
Yleinen virhekäsitys
Yleisin virhe on mitata tulokulma pinnasta eikä normaalista. Jos säde muodostaa seinän kanssa $30^\circ$:n kulman, tulokulma ei ole $30^\circ$ vaan $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Piirrä siksi aina ensin normaali osumakohtaan. Toinen virhe on ajatella, että aalto taipuu vain hyvin kapeassa raossa ja leveä rako päästää sen läpi täysin suorana. Diffraktiota on jokaisessa raossa ja jokaisen esteen reunalla, mutta se näkyy selvästi vasta, kun raon leveys on aallonpituuden suuruusluokkaa. Kolmas virhe on luulla, että kiinteä pää vaimentaa pulssin. Jäykästä kiinnityksestä pulssi heijastuu lähes kokonaan, mutta kääntyneenä.
Tiivistelmä
- Aaltorintama yhdistää samassa vaiheessa olevat kohdat, ja säde näyttää etenemissuunnan kohtisuoraan rintamaa vastaan.
- Heijastuslaki: $\beta = \alpha$, kun tulokulma ja heijastuskulma mitataan pinnan normaalista.
- Köyden kiinteästä päästä pulssi heijastuu kääntyneenä, vapaasta päästä kääntymättä.
- Huygensin periaate: aaltorintaman jokainen piste on alkeisaallon lähde, ja uusi rintama sivuaa alkeisaaltoja. Periaate selittää heijastumisen ja diffraktion.
- Diffraktio eli aallon taipuminen raon tai esteen taakse on voimakasta, kun raon tai esteen leveys on suunnilleen aallonpituuden suuruinen tai pienempi.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi simulaation arvoihin ja Huygensin periaatteeseen. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi aallot ylettyvät aallonmurtajan aukosta sataman nurkkiin? Mitä aallonpituudesta ja aukon leveydestä pitäisi tietää, jotta voisi ennustaa, kuinka paljon aallot leviävät?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Meren aallot saapuvat suoraa aallonmurtajaa kohti niin, että aaltorintamat muodostavat murtajan seinän kanssa $50^\circ$:n kulman. Mikä on aaltojen tulokulma ja heijastuskulma, ja mikä kulma heijastuneiden aaltojen etenemissuunnan ja murtajan seinän välille jää?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Aaltorintaman ja seinän välinen kulma on $\varphi = 50^\circ$. Kysytään tulokulmaa $\alpha$, heijastuskulmaa $\beta$ ja heijastuneen säteen ja seinän pinnan välistä kulmaa $\gamma$.
Vaihe 2/7
Periaate. Säde on kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan ja normaali kohtisuorassa seinää vastaan. Kun kumpaakin suoraa käännetään $90^\circ$, niiden välinen kulma ei muutu, joten säteen ja normaalin välinen kulma on sama kuin rintaman ja seinän välinen kulma. Heijastuslain mukaan heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma, kun molemmat mitataan normaalista.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \alpha &= \varphi \\ \beta &= \alpha \\ \gamma &= 90^\circ - \beta \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: kaikki kulmat ovat asteina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} \alpha &= 50^\circ \\ \beta &= 50^\circ \\ \gamma &= 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Tulokulma ja heijastuskulma ovat $50^\circ$, ja heijastuneet aallot etenevät $40^\circ$:n kulmassa murtajan seinään nähden. Kulmat ilmoitetaan kokonaisina asteina kuten lähtötieto $50^\circ$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Jos rintamat olisivat seinän suuntaiset, eli $\varphi = 0^\circ$, aallot tulisivat kohtisuoraan ja palaisivat samaa reittiä, $\alpha = \beta = 0^\circ$. Kun $\varphi$ kasvaa, aallot tulevat yhä loivemmin. Lisäksi $\alpha + \gamma = 90^\circ$, kuten normaalin ja pinnan välisen suoran kulman pitääkin.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Sataman nurkassa kaksi suoraa betonimuuria kohtaa toisensa suorassa kulmassa. Aalto osuu ensin muuriin 1 tulokulmassa $35^\circ$, heijastuu ja osuu sitten muuriin 2.
Mikä on tulokulma muurilla 2? Vastaa asteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Piirrä kumpaankin osumakohtaan oma normaali. Kumman muurin suuntainen on muurin 1 normaali?
Vihje 2: mikä yhteys
Muurin 1 normaali on muurin 2 suuntainen, koska muurit ovat kohtisuorassa. Heijastunut säde muodostaa muurin 1 normaalin kanssa kulman $\beta_1 = 35^\circ$, siis myös muurin 2 pinnan kanssa $35^\circ$.
Vihje 3: välivaihe
Muurin 2 tulokulma mitataan muurin 2 normaalista: $\alpha_2 = 90^\circ - 35^\circ$.
Näytä ratkaisu
Annettu
muurit kohtisuorassa toisiaan vastaan, tulokulma muurilla 1 $\alpha_1 = 35^\circ$
Kysytty
tulokulma muurilla 2, $\alpha_2$ asteina
Periaate
Heijastuslain mukaan $\beta_1 = \alpha_1$, kun kulmat mitataan normaalista. Koska muurit ovat kohtisuorassa, muurin 1 normaali on muurin 2 suuntainen. Siksi heijastuneen säteen ja muurin 2 pinnan välinen kulma on $\beta_1$, ja muurin 2 tulokulma on sen komplementtikulma.
Kaava
$\beta_1 = \alpha_1$ ja $\alpha_2 = 90^\circ - \beta_1$, joten $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1$
Muunnokset
Ei tarvita: kulmat ovat asteina.
Sijoitus
Vastaus
$55^\circ$
Kokonaisina asteina kuten lähtötieto $35^\circ$.
Järkevyys
Kulmat $\alpha_1$ ja $\alpha_2$ ovat yhteensä $90^\circ$. Muurilta 2 aalto heijastuu kulmassa $55^\circ$, ja kukin heijastus kääntää sädettä kulman $180^\circ - 2\alpha$, joten koko käännös on
: aalto palaa nurkasta tulosuuntaansa vastaan, kuten nurkkaheijastimessa kuuluu.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Ylöspäin suuntautuva pulssi heijastuu köyden päästä, joka on sidottu tiukasti seinään. Mihin suuntaan heijastuneen pulssin poikkeama osoittaa?
Vastaus
Alaspäin: kiinteästä päästä pulssi heijastuu kääntyneenä, koska pää ei liiku ja seinä vetää köyttä alaspäin.
- Mistä suorasta tulokulma ja heijastuskulma mitataan, ja mikä on heijastuskulma, kun säde muodostaa seinän pinnan kanssa $25^\circ$:n kulman?
Vastaus
Molemmat mitataan pinnan normaalista. Tulokulma on $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$, joten heijastuskulmakin on $65^\circ$.
1. Käsite
2. Rako ja aallonpituus
Aaltoaltaan aaltokoneen taajuus on $6{,}0\,\text{Hz}$, ja aallot etenevät nopeudella $0{,}18\,\text{m/s}$. Altaassa on este, jossa on $4{,}5\,\text{cm}$:n levyinen rako.
Kuinka monta aallonpituutta raon leveys on? Anna vastaukseksi suhde $b/\lambda$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä yhtälö yhdistää nopeuden, taajuuden ja aallonpituuden?
Vihje 2: mikä yhteys
$\lambda = \tfrac{v}{f}$. Muuta sen jälkeen raon leveys ja aallonpituus samaan yksikköön.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
$f = 6{,}0\,\text{Hz}$, $v = 0{,}18\,\text{m/s}$, raon leveys $b = 4{,}5\,\text{cm}$
Kysytty
suhde $b/\lambda$ eli raon leveys aallonpituuksina, ilman yksikköä
Periaate
Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen). Kun aallonpituus tunnetaan, raon leveyttä verrataan siihen, koska diffraktion voimakkuus riippuu suhteesta $b/\lambda$.
Kaava
$v = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{v}{f}$ ja $\dfrac{b}{\lambda} = \dfrac{b f}{v}$
Muunnokset
jotta yksiköt supistuvat.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}5$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $6{,}0\,\text{Hz}$ ja raon leveydessä $4{,}5\,\text{cm}$.
Järkevyys
Aallonpituus $3{,}0\,\text{cm}$ on aaltoaltaalle tavallinen, ja rako on vain puolitoista aallonpituutta leveä. Siksi aalto leviää raon takana selvästi: simulaation mallissa leviämiskulma on silloin noin $24^\circ$.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä Huygensin periaatteella
Selitä Huygensin periaatteen avulla, miksi tasoaalto leviää kapean raon takana puoliympyränä, mutta leveän raon kohdalla se jatkaa lähes suorana.
Mallivastaus
Huygensin periaatteen mukaan aaltorintaman jokainen piste on alkeisaallon lähde, ja uusi rintama sivuaa alkeisaaltoja. Leveän raon kohdalla on monta lähdettä rinnakkain, ja niiden alkeisaaltojen sivuaja on suora, joten rintama jatkaa suorana. Vain reunimmaisten lähteiden alkeisaallot leviävät sivuille, joten rintama kaartuu reunoilta. Kun rako on selvästi aallonpituutta kapeampi, lähteitä on kuin vain yksi, ja sen alkeisaalto leviää puoliympyränä koko alueelle raon taakse. Jo kun rako on suunnilleen aallonpituuden levyinen, leviäminen on suuri.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Heijastuminen
- Aallon suunnan muuttuminen rajapinnassa niin, että aalto palaa alkuperäiseen väliaineeseen.
- Diffraktio
- Aallon taipuminen ja leviäminen esteen reunan tai kapean aukon kohdalla.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 11-1Ydintehtävä
Aaltoaltaassa tasoaalto osuu altaan seinään tulokulmassa $35^\circ$. Mikä on heijastuskulma?
Vastaus
$35^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
suora seinä, tulokulma $\alpha = 35^\circ$
Kysytty
heijastuskulma $\beta$ asteina
Periaate
Seinä on suora ja heijastaa aallon, joten heijastuslaki pätee: heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma, kun molemmat mitataan seinän normaalista. Tulokulma on annettu valmiiksi normaalista mitattuna.
Kaava
$\beta = \alpha$
Muunnokset
Ei tarvita: kulma on asteina.
Sijoitus
$\beta = 35^\circ$
Vastaus
$35^\circ$
Kokonaisina asteina kuten tulokulma $35^\circ$.
Järkevyys
Heijastunut säde on normaalin toisella puolella samassa kulmassa, ja kulma on $0^\circ$:n ja $90^\circ$:n välillä, kuten normaalista mitatun kulman pitää.
- Tehtävä 11-2Ydintehtävä
Merestä tuleva aalto osuu laiturin tasaiseen seinään. Tulevan säteen ja seinän pinnan välinen kulma on $20^\circ$. Mikä on aallon tulokulma?
Vastaus
$70^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulevan säteen ja seinän pinnan välinen kulma $\gamma = 20^\circ$
Kysytty
tulokulma $\alpha$ asteina
Periaate
Tulokulma mitataan pinnan normaalista, ei pinnasta. Normaali on kohtisuorassa pintaa vastaan, joten säteen ja pinnan välinen kulma ja säteen ja normaalin välinen kulma ovat yhteensä $90^\circ$.
Kaava
$\alpha + \gamma = 90^\circ$, josta $\alpha = 90^\circ - \gamma$
Muunnokset
Ei tarvita: kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\alpha$$= 90^\circ - 20^\circ$$= 70^\circ$Vastaus
$70^\circ$
Kokonaisina asteina kuten annettu kulma $20^\circ$.
Järkevyys
Säde tulee loivasti, lähes seinän suuntaisesti, joten sen kulma normaalista on suuri. Pienellä pinnasta mitatulla kulmalla tulokulma lähestyy $90^\circ$:ta, kuten pitää.
- Tehtävä 11-3
Aaltoaltaan aaltokone tekee aaltoja taajuudella $8{,}0\,\text{Hz}$, ja aallot etenevät nopeudella $0{,}24\,\text{m/s}$. Mikä on aallonpituus? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$3{,}0\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 8{,}0\,\text{Hz}$, aallon nopeus $v = 0{,}24\,\text{m/s}$
Kysytty
aallonpituus $\lambda$ senttimetreinä
Periaate
Aalto etenee yhden jaksonajan aikana yhden aallonpituuden matkan, joten nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa aaltoliikkeen perusyhtälöllä (luku Aaltojen synty ja eteneminen).
Kaava
$v = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{v}{f}$
Muunnokset
Tulos saadaan metreinä, ja lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{0{,}24\,\text{m/s}}{8{,}0\,\text{Hz}}$$= 0{,}030\,\text{m}$$= 0{,}030 \cdot 100\,\text{cm}$$= 3{,}0\,\text{cm}$Vastaus
$3{,}0\,\text{cm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa ja taajuudessa.
Järkevyys
Aaltoaltaan aaltojen harjat ovat muutaman senttimetrin päässä toisistaan. Tarkistus: $8{,}0\,\text{Hz} \cdot 0{,}030\,\text{m} = 0{,}24\,\text{m/s}$, ja yksikkö $\tfrac{\text{m/s}}{\text{1/s}} = \text{m}$.
- Tehtävä 11-4
Köyden pää on sidottu renkaaseen, joka liukuu kitkatta pystysuoraa tankoa pitkin. Köyteen lähetetään ylöspäin suuntautuva pulssi, joka heijastuu renkaan kohdalta.
Mihin suuntaan heijastuneen pulssin poikkeama osoittaa, ja miksi?
Vastaus
Ylöspäin: vapaa pää ei käännä pulssia.
Näytä ratkaisu
Kysytty
heijastuneen pulssin poikkeaman suunta ja sen syy
Periaate
Rengas, joka liukuu kitkatta tankoa pitkin, on köyden vapaa pää: mikään ei estä sitä liikkumasta pystysuunnassa, eikä tanko voi vetää köyttä ylös tai alas.
Mallivastaus
Heijastuneen pulssin poikkeama osoittaa ylöspäin, eli pulssi palaa kääntymättä. Kun ylöspäin suuntautuva pulssi saapuu renkaan kohdalle, rengas nousee pulssin mukana ylös ja heilahtaa hetkeksi tavallista korkeammalle. Mikään ei vedä sitä alas, joten köysi palaa tasapainoasemaansa samalla tavalla kuin se nousi, ja pulssi lähtee takaisin samanmerkkisenä. Jos pää olisi kiinni seinässä, seinä vetäisi köyttä alaspäin ja pulssi kääntyisi.
- Tehtävä 11-5
Retkeilijä huutaa järven rannalla, ja kaiku vastarannan kallioseinästä kuuluu $1{,}4\,\text{s}$ kuluttua. Äänen nopeus ilmassa on $343\,\text{m/s}$. Kuinka kaukana kallioseinä on?
Vastaus
$240\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiun viive $t = 1{,}4\,\text{s}$, äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$
Kysytty
etäisyys $d$ kallioseinään metreinä
Periaate
Ääni etenee tasaisella nopeudella seinälle, heijastuu siitä ja palaa takaisin. Kaiun viiveen aikana ääni kulkee siis matkan $2d$.
Kaava
$2d = v t$, josta $d = \dfrac{v t}{2}$
Muunnokset
Ei tarvita: nopeus on yksikössä m/s ja aika sekunteina.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{343\,\text{m/s} \cdot 1{,}4\,\text{s}}{2}$$= \dfrac{480{,}2\,\text{m}}{2}$$= 240{,}1\,\text{m}$Vastaus
$240\,\text{m}$
Eli $2{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten viiveessä $1{,}4\,\text{s}$.
Järkevyys
Ääni kulkee noin kolmanneksen kilometristä sekunnissa, joten $1{,}4\,\text{s}$:ssa noin $0{,}48\,\text{km}$; puolet siitä on noin $0{,}24\,\text{km}$. Järven yli vastarannalle se on uskottava matka.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 11-6Ydintehtävä
Tasoaalto osuu tasaiseen seinään tulokulmassa $30^\circ$. Aaltorintama koskettaa seinää ensin kohdassa $A$ ja vähän myöhemmin kohdassa $B$, joka on $0{,}60\,\text{m}$:n päässä $A$:sta. Aallon nopeus on $0{,}40\,\text{m/s}$.
Kuinka kauan kestää, ennen kuin sama rintama saavuttaa kohdan $B$?
Vastaus
$0{,}75\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma $\alpha = 30^\circ$, kohtien $A$ ja $B$ etäisyys seinällä $d = 0{,}60\,\text{m}$, aallon nopeus $v = 0{,}40\,\text{m/s}$
Kysytty
aika $\Delta t$, jonka rintama tarvitsee $A$:sta $B$:hen
Periaate
Kun rintama koskettaa kohtaa $A$, rintaman se piste, joka osuu $B$:hen, on vielä matkan $s$ päässä seinästä säteen suunnassa. Rintama on kohtisuorassa sädettä vastaan, joten matka $s$ on suorakulmaisen kolmion kateetti, jonka hypotenuusa on $d$ ja vastainen kulma $\alpha$, kuten Huygensin rakennelmassa.
Kaava
$s = d \sin\alpha$ ja $s = v\,\Delta t$, joten $\Delta t = \dfrac{d \sin\alpha}{v}$
Muunnokset
Ei tarvita: matka on metreinä ja nopeus yksikössä m/s.
Sijoitus
$\Delta t$$= \dfrac{0{,}60\,\text{m} \cdot \sin 30^\circ}{0{,}40\,\text{m/s}}$$= \dfrac{0{,}30\,\text{m}}{0{,}40\,\text{m/s}}$$= 0{,}75\,\text{s}$Vastaus
$0{,}75\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $0{,}60\,\text{m}$ ja nopeudessa $0{,}40\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Kohtisuorassa tulossa ($\alpha = 0^\circ$) rintama koskettaisi koko seinää yhtä aikaa, $\Delta t = 0$. Jos aalto kulkisi seinän suuntaisesti,
$\Delta t$$= \tfrac{0{,}60\,\text{m}}{0{,}40\,\text{m/s}}$$= 1{,}5\,\text{s}$Tulos on näiden välissä.
- Tehtävä 11-7Ydintehtävä
Pihalle on pingotettu $8{,}0\,\text{m}$ pitkä köysi, jonka toinen pää on kiinni puussa. Köyden toisesta päästä lähetetään pulssi, ja heijastunut pulssi palaa lähtökohtaan $3{,}2\,\text{s}$ kuluttua. Mikä on pulssin nopeus köydessä?
Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
köyden pituus $L = 8{,}0\,\text{m}$, aika lähtökohtaan palaamiseen $t = 3{,}2\,\text{s}$
Kysytty
pulssin nopeus $v$
Periaate
Pulssi etenee köydessä tasaisella nopeudella puuhun, heijastuu kiinteästä päästä ja palaa samaa köyttä pitkin. Heijastus kääntää pulssin mutta ei muuta sen nopeutta, joten pulssi kulkee ajassa $t$ matkan $2L$.
Kaava
$2L = v t$, josta $v = \dfrac{2L}{t}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja aika sekunteina.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2 \cdot 8{,}0\,\text{m}}{3{,}2\,\text{s}}$$= \dfrac{16\,\text{m}}{3{,}2\,\text{s}}$$= 5{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$5{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten pituudessa ja ajassa.
Järkevyys
Jos matkaksi otettaisiin vain $8{,}0\,\text{m}$, nopeus olisi puolet, $2{,}5\,\text{m/s}$. Pulssi kulkee $8\,\text{m}$ noin puolessatoista sekunnissa suuntaansa, mikä sopii pingotettuun köyteen.
- Tehtävä 11-8
Seisot kapeassa kanjonissa kahden pystysuoran kallioseinän välissä ja taputat käsiäsi kerran. Ensimmäinen kaiku kuuluu $0{,}40\,\text{s}$ ja toinen $0{,}70\,\text{s}$ taputuksen jälkeen. Äänen nopeus on $343\,\text{m/s}$. Kuinka kaukana seinät ovat toisistaan?
Vastaus
$190\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ensimmäisen kaiun viive $t_1 = 0{,}40\,\text{s}$, toisen $t_2 = 0{,}70\,\text{s}$, äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$
Kysytty
seinien välinen etäisyys $D$
Periaate
Kumpikin kaiku on ääni, joka on kulkenut omalle seinälleen ja heijastunut takaisin. Lähempi seinä antaa ensimmäisen kaiun. Etäisyys kumpaankin seinään on puolet äänen kulkemasta matkasta, ja seinät ovat eri puolilla kuulijaa, joten etäisyydet lasketaan yhteen.
Kaava
$d_1 = \dfrac{v t_1}{2}$,
$d_2$$= \dfrac{v t_2}{2}$$D$$= d_1 + d_2$$= \dfrac{v (t_1 + t_2)}{2}$Muunnokset
Ei tarvita: nopeus on yksikössä m/s ja ajat sekunteina.
Sijoitus
$D$$= \dfrac{343\,\text{m/s} \cdot (0{,}40\,\text{s} + 0{,}70\,\text{s})}{2}$$= \dfrac{343\,\text{m/s} \cdot 1{,}10\,\text{s}}{2}$$= 188{,}65\,\text{m}$Vastaus
$190\,\text{m}$
Eli $1{,}9 \cdot 10^2\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten viiveissä $0{,}40\,\text{s}$ ja $0{,}70\,\text{s}$.
Järkevyys
Seinät ovat $68{,}6\,\text{m}$:n ja $120\,\text{m}$:n päässä; kauempi antaa myöhemmän kaiun, kuten pitää. Ilman puolitusta saisi noin $380\,\text{m}$, mikä olisi äänen koko edestakainen matka eikä seinien väli.
- Tehtävä 11-9
Luokan oviaukko on $0{,}90\,\text{m}$ leveä, ja äänen nopeus on $343\,\text{m/s}$. Millä äänen taajuudella aallonpituus on yhtä suuri kuin oviaukon leveys?
Vastaus
$380\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
oviaukon leveys $b = 0{,}90\,\text{m}$, äänen nopeus $v = 343\,\text{m/s}$
Kysytty
taajuus $f$, jolla aallonpituus on $\lambda = b$
Periaate
Äänen nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen). Asetetaan aallonpituus yhtä suureksi kuin aukon leveys ja ratkaistaan taajuus.
Kaava
$v = f\lambda$ ja $\lambda = b$, joten $f = \dfrac{v}{b}$
Muunnokset
Ei tarvita: nopeus on yksikössä m/s ja leveys metreinä, joten tulos on hertseinä.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{343\,\text{m/s}}{0{,}90\,\text{m}}$$= 381{,}1\,\text{Hz}$Vastaus
$380\,\text{Hz}$
Eli $3{,}8 \cdot 10^2\,\text{Hz}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten leveydessä $0{,}90\,\text{m}$.
Järkevyys
Taajuus on puheäänen alueella, joten puheen aallonpituus on oviaukon suuruusluokkaa ja puhe taipuu ovesta käytävään. Tätä matalammilla taajuuksilla aallonpituus on aukkoa pidempi ja taipuminen vielä voimakkaampaa.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 11-10
Naapurin avoimesta ikkunasta, jonka leveys on $0{,}80\,\text{m}$, kuuluu musiikkia.
Kun kävelet talon nurkan taakse, jossa et enää näe ikkunaa, bassorummun matala ääni ($100\,\text{Hz}$) kuuluu yhä selvästi, mutta symbaalin korkea ääni ($5000\,\text{Hz}$) heikkenee paljon.
Selitä ilmiö diffraktiolla ja vertaa kummankin äänen aallonpituutta ikkunan leveyteen. Äänen nopeus on $343\,\text{m/s}$.
Vastaus
Basson aallonpituus $\lambda = 3{,}4\,\text{m}$ on ikkunaa pidempi ($b/\lambda \approx 0{,}23$), joten se taipuu voimakkaasti; symbaalin $\lambda \approx 6{,}9\,\text{cm}$ on ikkunaa paljon lyhyempi ($b/\lambda \approx 12$), joten se etenee lähes suoraan.
Näytä ratkaisu
Kysytty
miksi matala ääni kuuluu nurkan taakse mutta korkea ei, perusteltuna diffraktiolla ja aallonpituuksilla
Periaate
Diffraktio on voimakasta, kun aukon leveys on aallonpituuden suuruusluokkaa tai pienempi, ja heikkoa, kun aukko on monta aallonpituutta leveä. Aallonpituus saadaan yhtälöstä $\lambda = \tfrac{v}{f}$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen).
Mallivastaus
Basson aallonpituus on $\lambda = \tfrac{343\,\text{m/s}}{100\,\text{Hz}} = 3{,}43\,\text{m}$, joten ikkuna on vain noin neljäsosa aallonpituudesta ($b/\lambda = \tfrac{0{,}80\,\text{m}}{3{,}43\,\text{m}} \approx 0{,}23$). Ikkuna toimii silloin kuin yksi alkeisaallon lähde, ja ääni leviää ikkunasta joka suuntaan, myös nurkan taakse. Symbaalin aallonpituus on $\lambda = \tfrac{343\,\text{m/s}}{5000\,\text{Hz}} \approx 6{,}9\,\text{cm}$, joten ikkuna on noin $12$ aallonpituutta leveä. Siitä ääni jatkaa lähes suorana keilana eteenpäin, ja nurkan taakse taipuu vain vähän. Siksi nurkan takana kuuluu enimmäkseen bassoa.
- Tehtävä 11-11
Aaltoaltaassa tasoaalto osuu vinosti tasaiseen seinään. Seinällä on kaksi merkkiä $A$ ja $B$, joiden etäisyys on $0{,}40\,\text{m}$. Video näyttää, että sama aallonharja saavuttaa merkin $B$ $0{,}50\,\text{s}$ myöhemmin kuin merkin $A$. Aallon nopeus on $0{,}30\,\text{m/s}$. Määritä aallon tulokulma.
Vastaus
$22^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
merkkien etäisyys $d = 0{,}40\,\text{m}$, viive $\Delta t = 0{,}50\,\text{s}$, aallon nopeus $v = 0{,}30\,\text{m/s}$
Kysytty
tulokulma $\alpha$ asteina
Periaate
Kun harja on kohdassa $A$, sen $B$:hen osuva kohta on vielä matkan $s$ päässä säteen suunnassa, ja se kulkee tämän matkan viiveen aikana. Rintama on kohtisuorassa sädettä vastaan, joten $s$, $d$ ja rintama muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusa on $d$ ja jossa $s$ on tulokulman vastainen kateetti.
Kaava
$s = v\,\Delta t$ ja $\sin\alpha = \dfrac{s}{d}$, joten
$\alpha$$= \sin^{-1}\dfrac{v\,\Delta t}{d}$Muunnokset
Ei tarvita: matkat ovat metreinä, nopeus yksikössä m/s ja aika sekunteina.
Sijoitus
$s$$= 0{,}30\,\text{m/s} \cdot 0{,}50\,\text{s}$$= 0{,}15\,\text{m}$$\sin\alpha$$= \dfrac{0{,}15\,\text{m}}{0{,}40\,\text{m}}$$= 0{,}375$joten $\alpha = 22{,}02^\circ$
Vastaus
$22^\circ$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kaikissa lähtötiedoissa.
Järkevyys
Jos aalto tulisi kohtisuoraan, harja saavuttaisi molemmat merkit yhtä aikaa. Jos se kulkisi seinän suuntaisesti, viive olisi $\tfrac{0{,}40\,\text{m}}{0{,}30\,\text{m/s}} \approx 1{,}3\,\text{s}$. Mitattu $0{,}50\,\text{s}$ on alle puolet tästä, joten aalto tulee melko jyrkästi, pienellä tulokulmalla.
- Tehtävä 11-12
Köysi on $6{,}0\,\text{m}$ pitkä, ja sen kauempi pää on sidottu tolppaan.
Lähetät köyteen ylöspäin suuntautuvan pulssin ja pidät sen jälkeen köyden toista päätä tiukasti paikallaan. Pulssin nopeus on $4{,}0\,\text{m/s}$. Pulssi heijastuu tolpasta, palaa kätesi luo, heijastuu siitä ja etenee taas tolppaa kohti.
Kuinka kauan pulssin lähettämisestä kuluu, kun pulssi saapuu tolpalle toisen kerran? Anna vastaus sekunteina.
Vastaus
$4{,}5\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
köyden pituus $L = 6{,}0\,\text{m}$, pulssin nopeus $v = 4{,}0\,\text{m/s}$, pulssi alussa ylöspäin; molemmat päät pidetään paikallaan
Kysytty
aika $t$ siihen, kun pulssi saapuu tolpalle toisen kerran
Periaate
Pulssi etenee tasaisella nopeudella. Tolppa on kiinteä pää, ja tiukasti paikallaan pidetty käsi on myös kiinteä pää, joten pulssi kääntyy kummassakin heijastuksessa. Tolpalle toisen kerran pulssi on kulkenut köyden pituuden kolme kertaa: tolpalle, takaisin kädelle ja uudelleen tolpalle.
Kaava
$3L = v t$, josta $t = \dfrac{3L}{v}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja nopeus yksikössä m/s.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{3 \cdot 6{,}0\,\text{m}}{4{,}0\,\text{m/s}}$$= \dfrac{18\,\text{m}}{4{,}0\,\text{m/s}}$$= 4{,}5\,\text{s}$Vastaus
$4{,}5\,\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten pituudessa ja nopeudessa. Lisäksi poikkeama osoittaa silloin ylöspäin: tolppa käänsi pulssin alaspäin ja käsi takaisin ylöspäin.
Järkevyys
Yhteen suuntaan pulssi kulkee köyden $1{,}5\,\text{s}$:ssa, joten kolme matkaa vie $4{,}5\,\text{s}$. Kahden kääntymisen jälkeen pulssi on taas samansuuntainen kuin alussa, kuten kahden peräkkäisen merkin vaihdon pitääkin.
