Aaltojen yhteisvaikutus: superpositio ja interferenssi

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 12-1Ydintehtävä

   Narussa kulkee kaksi pulssia toisiaan kohti. Kumpikin poikkeaa narusta ylöspäin, toinen enimmillään $2{,}5\,\text{cm}$ ja toinen $1{,}5\,\text{cm}$.

   Kuinka suuri on narun suurin poikkeama sillä hetkellä, kun pulssien huiput ovat kohdakkain?

   cmTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pulssien suurimmat poikkeamat $y_1 = 2{,}5\,\text{cm}$ ja $y_2 = 1{,}5\,\text{cm}$, kumpikin ylöspäin

   Kysytty

   narun suurin poikkeama $y$ senttimetreinä, kun huiput ovat kohdakkain

   Periaate

   Superpositioperiaatteen mukaan narun poikkeama on samassa kohdassa olevien pulssien poikkeamien summa. Kun huiput ovat kohdakkain, kummankin pulssin suurin poikkeama on samassa kohdassa, ja koska molemmat ovat ylöspäin, ne vahvistavat toisiaan.

   Kaava

   $y = y_1 + y_2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: molemmat poikkeamat ovat senttimetreinä.

   Sijoitus

   $y$$= 2{,}5\,\text{cm} + 1{,}5\,\text{cm}$

   $= 4{,}0\,\text{cm}$

   Vastaus

   $4{,}0\,\text{cm}$

   Ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten poikkeamissa $2{,}5\,\text{cm}$ ja $1{,}5\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Samalla puolella olevat pulssit vahvistavat toisiaan, joten tuloksen pitää olla suurempi kuin kumpikaan yksin, $2{,}5\,\text{cm}$, ja $4{,}0\,\text{cm}$ on. Kohtaamisen jälkeen pulssit jatkavat taas omina $2{,}5\,\text{cm}$:n ja $1{,}5\,\text{cm}$:n pulsseina.

2. Tehtävä 12-2Ydintehtävä

   Narussa kohtaa kaksi pulssia. Toinen poikkeaa enimmillään $3{,}0\,\text{cm}$ ylöspäin, toinen $1{,}2\,\text{cm}$ alaspäin.

   Mikä on narun poikkeama siinä kohdassa, jossa pulssien keskikohdat ovat päällekkäin? Ylöspäin on positiivinen suunta. Anna vastaus etumerkkeineen senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pulssien suurimmat poikkeamat $y_1 = +3{,}0\,\text{cm}$ (ylöspäin) ja $y_2 = -1{,}2\,\text{cm}$ (alaspäin), ylöspäin positiivinen

   Kysytty

   narun poikkeama $y$ etumerkkeineen senttimetreinä kohdassa, jossa pulssien keskikohdat ovat päällekkäin

   Periaate

   Superpositioperiaatteen mukaan poikkeamat lasketaan yhteen etumerkkeineen. Eri puolilla olevat pulssit heikentävät toisiaan, joten summa on pienempi kuin suuremman pulssin poikkeama.

   Kaava

   $y = y_1 + y_2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: poikkeamat ovat senttimetreinä.

   Sijoitus

   $y$$= 3{,}0\,\text{cm} + (-1{,}2\,\text{cm})$

   $= 1{,}8\,\text{cm}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{cm}$

   Eli ylöspäin, kaksi merkitsevää numeroa, koska poikkeamat on annettu millimetrin tarkkuudella.

   Järkevyys

   Tulos on suuremman ja pienemmän pulssin erotus, ja se on positiivinen, koska ylöspäin poikkeava pulssi on suurempi. Jos pulssit olisivat yhtä suuret, poikkeama olisi nolla ja naru hetken suora.

3. Tehtävä 12-3

   Kaksi samassa vaiheessa olevaa kaiutinta soittaa ääntä, jonka aallonpituus on $0{,}60\,\text{m}$. Neljässä kuuntelupisteessä matkaero on a) $0{,}60\,\text{m}$, b) $0{,}90\,\text{m}$, c) $1{,}20\,\text{m}$ ja d) $1{,}50\,\text{m}$.

   Onko interferenssi kussakin pisteessä vahvistava vai heikentävä? Perustele.

   Olen tehnyt ratkaisun.
   Vastaus

   a) vahvistava; b) heikentävä; c) vahvistava; d) heikentävä

   Näytä ratkaisu

   Kysytty

   onko interferenssi kussakin neljässä pisteessä vahvistava vai heikentävä, kun $\lambda = 0{,}60\,\text{m}$

   Periaate

   Kahden samassa vaiheessa olevan saman taajuuden lähteen aalloilla interferenssi on vahvistava, kun matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia, $\Delta s = n\lambda$, ja heikentävä, kun se on puolikkaan yli kokonaisen määrän, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Siksi jokainen matkaero jaetaan aallonpituudella.

   Mallivastaus

   a) $\tfrac{0{,}60\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 1$, kokonaisluku, joten interferenssi on vahvistava. b) $\tfrac{0{,}90\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 1{,}5 = 1 + \tfrac{1}{2}$, joten heikentävä. c) $\tfrac{1{,}20\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 2$, joten vahvistava. d) $\tfrac{1{,}50\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 2{,}5 = 2 + \tfrac{1}{2}$, joten heikentävä. Vahvistavissa pisteissä kauempaa tuleva aalto on jäljessä kokonaisen määrän jaksoja ja saapuu harja harjan kanssa; heikentävissä se on puoli jaksoa enemmän jäljessä, jolloin harja saapuu pohjan kanssa. Matkaeron suuruus ei yksin ratkaise: suurempi matkaero c) on vahvistava, vaikka pienempi b) on heikentävä.

4. Tehtävä 12-4

   Kaksi samassa vaiheessa olevaa kaiutinta soittaa ääntä, jonka aallonpituus on $0{,}68\,\text{m}$. Mikä on pienin matkaero, jolla ääni on kuuntelupisteessä heikko? Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}34\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aallonpituus $\lambda = 0{,}68\,\text{m}$, kaiuttimet samassa vaiheessa

   Kysytty

   pienin matkaero $\Delta s$ metreinä, jolla interferenssi on heikentävä

   Periaate

   Heikentävän interferenssin ehto on $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$, ja pienin matkaero saadaan pienimmällä kokonaisluvulla $n = 0$. Silloin kauempaa tuleva aalto on puoli jaksoa jäljessä, ja harja saapuu pohjan kanssa.

   Kaava

   $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$, ja kun $n = 0$: $\Delta s = \dfrac{\lambda}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aallonpituus on metreinä.

   Sijoitus

   $\Delta s$$= \dfrac{0{,}68\,\text{m}}{2}$

   $= 0{,}34\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}34\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $0{,}68\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Seuraavat heikentävät matkaerot ovat $\tfrac{3}{2}\lambda = 1{,}02\,\text{m}$ ja $\tfrac{5}{2}\lambda = 1{,}70\,\text{m}$, joten $0{,}34\,\text{m}$ on niistä pienin. Matkaero nolla antaisi vahvistavan interferenssin, joten pienimmän heikentävän matkaeron täytyy olla nollaa suurempi.

5. Tehtävä 12-5

   Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa vaiheessa, ja aallonpituus on $1{,}5\,\text{cm}$. Keskinormaalilla on vahvistavan interferenssin viiva $n = 0$, ja sen kummallakin puolella seuraavat ovat $n = 1$ ja $n = 2$.

   Kuinka suuri on matkaero viivalla $n = 2$? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $3{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aallonpituus $\lambda = 1{,}5\,\text{cm}$, vahvistavan interferenssin viiva $n = 2$

   Kysytty

   matkaero $\Delta s$ senttimetreinä viivalla $n = 2$

   Periaate

   Lähteet ovat samassa vaiheessa, joten vahvistavan interferenssin viivoilla matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia, $\Delta s = n\lambda$. Viivalla $n = 2$ toinen aalto on kulkenut kaksi aallonpituutta pidemmän matkan.

   Kaava

   $\Delta s = n\lambda$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aallonpituus on senttimetreinä.

   Sijoitus

   $\Delta s$$= 2 \cdot 1{,}5\,\text{cm}$

   $= 3{,}0\,\text{cm}$

   Vastaus

   $3{,}0\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $1{,}5\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Viivalla $n = 0$ matkaero on $0$ ja viivalla $n = 1$ $1{,}5\,\text{cm}$; jokainen seuraava viiva lisää yhden aallonpituuden, joten viivalla $n = 2$ arvo $3{,}0\,\text{cm}$ sopii sarjaan.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 12-6Ydintehtävä

   Kaksi samassa vaiheessa olevaa kaiutinta A ja B on $1{,}20\,\text{m}$:n päässä toisistaan.

   Kuulija seisoo $1{,}60\,\text{m}$:n päässä kaiuttimesta B suoraan sen edessä, niin että kuulijan ja kaiuttimen B välinen suora on kohtisuorassa kaiuttimien väliseen suoraan nähden.

   Mikä on suurin aallonpituus, jolla kuulijan kohdalla on hiljaista? Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}80\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaiuttimien väli $d = 1{,}20\,\text{m}$, kuulijan etäisyys kaiuttimesta B $s_\text{B} = 1{,}60\,\text{m}$ kohtisuoraan kaiuttimien suoraa vastaan, kaiuttimet samassa vaiheessa

   Kysytty

   suurin aallonpituus $\lambda$ metreinä, jolla kuulijan kohdalla on hiljaista

   Periaate

   Kuulija, kaiutin B ja kaiutin A muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka suora kulma on kaiuttimen B kohdalla, joten etäisyys kaiuttimesta A saadaan Pythagoraan lauseella. Hiljaista on heikentävässä interferenssissä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Ratkaistuna $\lambda = \tfrac{\Delta s}{n + 1/2}$, joka on suurin, kun $n = 0$.

   Kaava

   $s_\text{A} = \sqrt{d^2 + s_\text{B}^2}$, $\Delta s = s_\text{A} - s_\text{B}$ ja $\Delta s = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $\lambda = 2\left(\sqrt{d^2 + s_\text{B}^2} - s_\text{B}\right)$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki etäisyydet ovat metreinä.

   Sijoitus

   $s_\text{A}$$= \sqrt{(1{,}20\,\text{m})^2 + (1{,}60\,\text{m})^2}$

   $= \sqrt{4{,}00\,\text{m}^2}$

   $= 2{,}00\,\text{m}$

   $\lambda$$= 2 \cdot (2{,}00\,\text{m} - 1{,}60\,\text{m})$

   $= 2 \cdot 0{,}40\,\text{m}$

   $= 0{,}80\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}80\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska matkaero $0{,}40\,\text{m}$ on etäisyyksien erotus sentin tarkkuudella.

   Järkevyys

   Tarkistus: aallonpituudella $0{,}80\,\text{m}$ matkaero $0{,}40\,\text{m}$ on täsmälleen puoli aallonpituutta, joten harja kohtaa pohjan. Suuremmalla aallonpituudella matkaero olisi alle puolikkaan, eikä heikentävää interferenssiä syntyisi. Aallonpituus vastaa noin $\tfrac{340\,\text{m/s}}{0{,}80\,\text{m}} \approx 430\,\text{Hz}$:n ääntä, joka on tavallinen kuuloalueen ääni.

2. Tehtävä 12-7Ydintehtävä

   Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa vaiheessa taajuudella $15\,\text{Hz}$, ja aallot etenevät nopeudella $0{,}30\,\text{m/s}$. Piste Q on keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla, ja se on $9{,}0\,\text{cm}$:n päässä lähteestä $S_2$, joka on sitä lähempänä.

   Kuinka kaukana piste Q on lähteestä $S_1$? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $10{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   taajuus $f = 15\,\text{Hz}$, aallon nopeus $v = 0{,}30\,\text{m/s}$, pisteen Q etäisyys lähempänä olevasta lähteestä $s_2 = 9{,}0\,\text{cm}$; Q on keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla

   Kysytty

   pisteen Q etäisyys $s_1$ lähteestä $S_1$ senttimetreinä

   Periaate

   Aallonpituus saadaan yhtälöstä $v = f\lambda$. Solmuviivalla interferenssi on heikentävä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$, ja keskinormaalia lähin solmuviiva on $n = 0$. Koska Q on lähempänä lähdettä $S_2$, etäisyys lähteestä $S_1$ on puoli aallonpituutta suurempi.

   Kaava

   $\lambda = \dfrac{v}{f}$ ja $s_1 - s_2 = \dfrac{\lambda}{2}$, josta $s_1 = s_2 + \dfrac{v}{2f}$

   Muunnokset

   $v$$= 0{,}30\,\text{m/s}$

   $= 0{,}30 \cdot 100\,\text{cm/s}$

   $= 30\,\text{cm/s}$

   jotta aallonpituus saadaan senttimetreinä kuten $s_2$.

   Sijoitus

   $s_1$$= 9{,}0\,\text{cm} + \dfrac{30\,\text{cm/s}}{2 \cdot 15\,\text{Hz}}$

   $= 9{,}0\,\text{cm} + 1{,}0\,\text{cm}$

   $= 10{,}0\,\text{cm}$

   Vastaus

   $10{,}0\,\text{cm}$

   Millimetrin tarkkuudella kuten etäisyys $9{,}0\,\text{cm}$, koska tulos on tämän etäisyyden ja lisäyksen $1{,}0\,\text{cm}$ summa.

   Järkevyys

   Aallonpituus on $\tfrac{30\,\text{cm/s}}{15\,\text{Hz}} = 2{,}0\,\text{cm}$, ja matkaero $10{,}0\,\text{cm} - 9{,}0\,\text{cm} = 1{,}0\,\text{cm}$ on sen puolikas, kuten lähimmällä solmuviivalla pitää. Jos muunnos olisi unohtunut, lisäykseksi olisi tullut $0{,}01$, mikä ei olisi järkevä aaltoaltaan aallonpituus senttimetreinä.

3. Tehtävä 12-8

   Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa vaiheessa, ja aallonpituus on $2{,}0\,\text{cm}$.

   Pisteeseen R on lähteestä $S_1$ matkaa $14{,}0\,\text{cm}$ ja lähteestä $S_2$ $9{,}0\,\text{cm}$. Lähde $S_1$ värähtelee voimakkaammin: sen aallon amplitudi pisteessä R on $3{,}0\,\text{mm}$ ja lähteen $S_2$ aallon $2{,}0\,\text{mm}$.

   Mikä on veden värähtelyn amplitudi pisteessä R? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $1{,}0\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aallonpituus $\lambda = 2{,}0\,\text{cm}$, etäisyydet $s_1 = 14{,}0\,\text{cm}$ ja $s_2 = 9{,}0\,\text{cm}$, amplitudit pisteessä R $A_1 = 3{,}0\,\text{mm}$ ja $A_2 = 2{,}0\,\text{mm}$

   Kysytty

   veden värähtelyn amplitudi $A_\text{R}$ pisteessä R millimetreinä

   Periaate

   Ensin selvitetään matkaeron ja aallonpituuden suhteesta, saapuvatko aallot samassa vai vastakkaisessa vaiheessa. Vastakkaisessa vaiheessa toisen aallon harja on aina toisen pohjan kohdalla, ja superpositioperiaatteen mukaan poikkeamat vähennetään toisistaan, joten amplitudi on amplitudien erotus. Eri suuret aallot eivät kumoa toisiaan kokonaan.

   Kaava

   $\Delta s = s_1 - s_2$; jos $\tfrac{\Delta s}{\lambda} = n + \tfrac{1}{2}$, $A_\text{R} = A_1 - A_2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: etäisyydet ja aallonpituus ovat senttimetreinä, ja amplitudit pysyvät millimetreinä.

   Sijoitus

   $\Delta s$$= 14{,}0\,\text{cm} - 9{,}0\,\text{cm}$

   $= 5{,}0\,\text{cm}$

   $\dfrac{\Delta s}{\lambda}$$= \dfrac{5{,}0\,\text{cm}}{2{,}0\,\text{cm}}$

   $= 2{,}5$

   $= 2 + \tfrac{1}{2}$

   joten interferenssi on heikentävä, ja

   $A_\text{R}$$= 3{,}0\,\text{mm} - 2{,}0\,\text{mm}$

   $= 1{,}0\,\text{mm}$

   Vastaus

   $1{,}0\,\text{mm}$

   Kymmenesosamillimetrin tarkkuudella kuten amplitudit $3{,}0\,\text{mm}$ ja $2{,}0\,\text{mm}$.

   Järkevyys

   Amplitudin täytyy olla nollan ja summan $5{,}0\,\text{mm}$ välillä. Heikentävässä interferenssissä se on pienin mahdollinen, ja koska aallot ovat eri suuret, se ei ole nolla vaan erotus $1{,}0\,\text{mm}$.

4. Tehtävä 12-9

   Pitkässä jännitetyssä narussa kulkee kaksi yhtä suurta ja samanmuotoista pulssia toisiaan kohti, toinen narun yläpuolella ja toinen alapuolella. Pulssien keskikohtien välinen etäisyys on aluksi $1{,}20\,\text{m}$, ja kumpikin pulssi etenee nopeudella $0{,}40\,\text{m/s}$.

   Kuinka kauan kestää, ennen kuin naru on hetken kokonaan suora? Anna vastaus sekunteina.

   sTarkista
   Vastaus

   $1{,}5\,\text{s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pulssien keskikohtien etäisyys aluksi $s = 1{,}20\,\text{m}$, kummankin pulssin nopeus $v = 0{,}40\,\text{m/s}$; pulssit ovat yhtä suuret ja samanmuotoiset mutta eri puolilla narua

   Kysytty

   aika $t$ sekunteina, kunnes naru on hetken kokonaan suora

   Periaate

   Superpositioperiaatteen mukaan yhtä suuret ja samanmuotoiset mutta vastakkaiset pulssit kumoavat toisensa joka kohdassa juuri silloin, kun ne ovat täsmälleen päällekkäin eli niiden keskikohdat ovat samassa paikassa. Pulssit lähestyvät toisiaan kumpikin nopeudella $v$, joten niiden välimatka lyhenee ajassa $t$ matkan $2vt$.

   Kaava

   $2vt = s$, josta $t = \dfrac{s}{2v}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: etäisyys on metreinä ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$.

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{1{,}20\,\text{m}}{2 \cdot 0{,}40\,\text{m/s}}$

   $= \dfrac{1{,}20\,\text{m}}{0{,}80\,\text{m/s}}$

   $= 1{,}5\,\text{s}$

   Vastaus

   $1{,}5\,\text{s}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $0{,}40\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Kumpikin pulssi kulkee tässä ajassa $0{,}40\,\text{m/s} \cdot 1{,}5\,\text{s} = 0{,}60\,\text{m}$ eli puolet alkuvälistä, joten ne kohtaavat täsmälleen keskellä, kuten yhtä nopeilta pulsseilta pitää. Hetken kuluttua pulssit ovat taas näkyvissä ja jatkavat toistensa ohi.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 12-10

   Urheilukentällä kaksi samassa vaiheessa olevaa kaiutinta on $3{,}0\,\text{m}$:n päässä toisistaan, ja ne soittavat ääntä, jonka taajuus on $340\,\text{Hz}$. Äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.

   Kuulija kävelee pitkää suoraa polkua, joka kulkee kaiuttimien edessä kaiuttimien välisen suoran suuntaisesti, kaukaa vasemmalta kauas oikealle.

   Kuinka monen hiljaisen kohdan ohi hän kulkee? Perustele, miksi hiljaisia kohtia on vain rajallinen määrä. Oleta, ettei ääni heijastu mistään.

   kplTarkista
   Vastaus

   $6$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kaiuttimien väli $d = 3{,}0\,\text{m}$, taajuus $f = 340\,\text{Hz}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$; kaiuttimet samassa vaiheessa, polku kaiuttimien suoran suuntainen

   Kysytty

   hiljaisten kohtien lukumäärä $N$ koko polulla

   Periaate

   Hiljaista on heikentävässä interferenssissä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Kolmion sivu on lyhyempi kuin kahden muun sivun summa, joten kuulijan ja kaiuttimien muodostamassa kolmiossa $s_1 < s_2 + d$ eli matkaero on aina pienempi kuin kaiuttimien väli $d$; se lähestyy arvoa $d$ vasta hyvin kaukana sivulla. Kun kuulija kävelee vasemmalta oikealle, matkaero kasvaa nollasta kohti arvoa $d$ kummallakin puolella keskinormaalia, joten jokainen heikentävä matkaero, joka on pienempi kuin $d$, esiintyy kerran kummallakin puolella.

   Kaava

   $\lambda = \dfrac{v}{f}$ ja ehto $\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda < d$; kun ehdon täyttäviä lukuja $n$ on $k$ kappaletta, $N = 2k$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja taajuus hertseinä, joten aallonpituus saadaan metreinä kuten $d$.

   Sijoitus

   $\lambda$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{340\,\text{Hz}}$

   $= 1{,}0\,\text{m}$

   heikentävät matkaerot ovat $0{,}5\,\text{m}$, $1{,}5\,\text{m}$, $2{,}5\,\text{m}$, $3{,}5\,\text{m}$, …, joista ehdon $\Delta s < 3{,}0\,\text{m}$ täyttävät $n = 0, 1, 2$ eli $k = 3$; $N = 2 \cdot 3 = 6$

   Vastaus

   $6$

   Hiljaista kohtaa, kolme keskinormaalin kummallakin puolella. Lukumäärä on tarkka kokonaisluku.

   Järkevyys

   Keskinormaalilla matkaero on nolla ja ääni voimakas, ja hiljaiset ja voimakkaat kohdat vuorottelevat sen molemmin puolin symmetrisesti, joten lukumäärän kuuluu olla parillinen. Matkaero $3{,}5\,\text{m}$ olisi suurempi kuin kaiuttimien väli $3{,}0\,\text{m}$, mikä on mahdotonta, joten neljättä hiljaista kohtaa ei voi olla kummallakaan puolella.

2. Tehtävä 12-11

   Aaltoaltaan kahden samassa vaiheessa olevan lähteen taajuutta voi säätää, ja aallon nopeus altaassa on $24\,\text{cm/s}$.

   Altaassa on merkitty piste T. Kun taajuus on $10\,\text{Hz}$, vesi pysyy pisteessä T levossa. Kun taajuutta nostetaan, vesi on pisteessä T seuraavan kerran levossa taajuudella $14\,\text{Hz}$.

   Kuinka suuri on matkaero pisteessä T? Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $6{,}0\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aallon nopeus $v = 24\,\text{cm/s}$, piste T on levossa taajuudella $f_1 = 10\,\text{Hz}$ ja seuraavan kerran taajuudella $f_2 = 14\,\text{Hz}$

   Kysytty

   matkaero $\Delta s$ pisteessä T senttimetreinä

   Periaate

   Vesi on levossa, kun interferenssi on heikentävä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Piste ei liiku, joten matkaero on molemmilla taajuuksilla sama. Kun taajuus kasvaa, aallonpituus pienenee ja matkaeroon mahtuu enemmän aallonpituuksia. Koska $14\,\text{Hz}$ on seuraava heikentävä taajuus, matkaeroon mahtuu silloin täsmälleen yksi aallonpituus enemmän: $n$ kasvaa yhdellä.

   Kaava

   $\dfrac{\Delta s}{\lambda_1}$$= n + \tfrac{1}{2}$

   $\dfrac{\Delta s}{\lambda_2}$$= n + \tfrac{3}{2}$

   Vähennetään:

   $\Delta s\left(\dfrac{1}{\lambda_2} - \dfrac{1}{\lambda_1}\right)$$= 1$

   Koska $\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{f}{v}$, saadaan $\Delta s = \dfrac{v}{f_2 - f_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: nopeus on yksikössä $\text{cm/s}$, joten aallonpituudet ja matkaero saadaan senttimetreinä.

   Sijoitus

   $\Delta s$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{14\,\text{Hz} - 10\,\text{Hz}}$

   $= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{4\,\text{Hz}}$

   $= 6{,}0\,\text{cm}$

   Tarkistukseen aallonpituudet:

   $\lambda_1$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{10\,\text{Hz}}$

   $= 2{,}4\,\text{cm}$

   $\lambda_2$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{14\,\text{Hz}}$

   $= 1{,}714\,\text{cm}$

   Vastaus

   $6{,}0\,\text{cm}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuuksissa $10\,\text{Hz}$ ja $14\,\text{Hz}$ ja nopeudessa $24\,\text{cm/s}$.

   Järkevyys

   Tarkistus molemmilla taajuuksilla: $\tfrac{6{,}0\,\text{cm}}{2{,}4\,\text{cm}} = 2{,}5$ ja $\tfrac{6{,}0\,\text{cm}}{1{,}714\,\text{cm}} = 3{,}5$, kumpikin puolikas, joten vesi on levossa. Välissä, esimerkiksi taajuudella $12\,\text{Hz}$, aallonpituus on $2{,}0\,\text{cm}$ ja suhde $3{,}0$, joten piste värähtelee voimakkaasti, kuten tehtävä sanoo.

3. Tehtävä 12-12

   Sataman aallonmurtajassa on kaksi kapeaa aukkoa, joiden välinen etäisyys on $16{,}0\,\text{m}$.

   Merellä aallot tulevat suoraan kohti aallonmurtajaa, niin että aallonharjat ovat sen suuntaisia. Aukkojen läpi tulevat aallot leviävät satamaan.

   Vene on ankkuroitu $30{,}0\,\text{m}$:n päähän toisesta aukosta, suoraan sen eteen kohtisuoraan aallonmurtajaa vastaan, ja vene on aukkojen keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla, jolla vesi on lähes tyyntä.

   Perustele, miksi aukot toimivat kuin kaksi samassa vaiheessa olevaa lähdettä, ja laske aaltojen aallonpituus. Anna vastaus metreinä.

   mTarkista
   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aukkojen väli $d = 16{,}0\,\text{m}$, veneen etäisyys lähemmästä aukosta $s_2 = 30{,}0\,\text{m}$ kohtisuoraan aallonmurtajaa vastaan, vene aukkojen keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla

   Kysytty

   perustelu aukkojen toiminnalle samassa vaiheessa olevina lähteinä ja aallonpituus $\lambda$ metreinä

   Periaate

   Meren aallonharjat ovat aallonmurtajan suuntaisia, joten sama harja saapuu molempiin aukkoihin samalla hetkellä. Kapeassa aukossa aalto diffraktoituu ja leviää satamaan kaarevina aaltorintamina (luku Aalto kohtaa esteen tai raon), joten aukot toimivat kuin kaksi samassa vaiheessa olevaa saman taajuuden lähdettä. Vene, lähempi aukko ja kauempi aukko muodostavat suorakulmaisen kolmion, joten etäisyys kauempaan aukkoon saadaan Pythagoraan lauseella. Keskinormaalia lähin solmuviiva on heikentävä interferenssi luvulla $n = 0$, $\Delta s = \tfrac{1}{2}\lambda$.

   Kaava

   $s_1 = \sqrt{d^2 + s_2^2}$ ja $s_1 - s_2 = \dfrac{\lambda}{2}$, josta $\lambda = 2\left(\sqrt{d^2 + s_2^2} - s_2\right)$

   Muunnokset

   Ei tarvita: etäisyydet ovat metreinä.

   Sijoitus

   $s_1$$= \sqrt{(16{,}0\,\text{m})^2 + (30{,}0\,\text{m})^2}$

   $= \sqrt{1156\,\text{m}^2}$

   $= 34{,}0\,\text{m}$

   $\lambda$$= 2 \cdot (34{,}0\,\text{m} - 30{,}0\,\text{m})$

   $= 2 \cdot 4{,}0\,\text{m}$

   $= 8{,}0\,\text{m}$

   Vastaus

   $8{,}0\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa, koska matkaero $4{,}0\,\text{m}$ on kahden kolmella merkitsevällä numerolla annetun etäisyyden erotus ja sillä on kaksi merkitsevää numeroa.

   Järkevyys

   Tarkistus: matkaero $4{,}0\,\text{m}$ on puolet aallonpituudesta $8{,}0\,\text{m}$, joten harja kohtaa pohjan. Matkaero on pienempi kuin aukkojen väli $16{,}0\,\text{m}$, kuten pitää, ja muutaman metrin aallonpituus on tavallinen tuulen nostamille aalloille.