Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet
Miksi kitaran kieli soi aina samalla sävelellä, kun sitä näppää, ja miksi sävel nousee, kun kieltä painetaan otelautaa vasten tai kun sitä kiristetään?
Pohjatiedot
- Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$luku Aaltojen synty ja eteneminen
- Aalto heijastuu narun kiinteästä päästä vastakkaisvaiheisenaluku Aalto kohtaa esteen tai raon
- Kohtaavien aaltojen poikkeamat summautuvat, ja vastakkaisvaiheiset aallot kumoavat toisensaluku Aaltojen yhteisvaikutus: superpositio ja interferenssi
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 5.
Pohdinta
Kaksi opiskelijaa kokeilee liikuntasalissa pitkällä hyppynarulla. Narun toinen pää on solmittu puolapuuhun, ja toinen opiskelija heiluttaa vapaata päätä pienin liikkein ylös ja alas. Hitaalla ja epätasaisella heilutuksella naru kiemurtelee sotkuisesti. Kun heilutustahti osuu sopivaksi, naru asettuu yhdeksi rauhalliseksi kaareksi, joka heilahtelee suurella amplitudilla. Kun tahtia nopeutetaan, kaari hajoaa, kunnes uudella, nopeammalla tahdilla narussa näkyy kaksi kaarta ja niiden välissä kohta, joka ei liiku lainkaan.
Miksi naru asettuu rauhalliseen kuvioon vain tietyillä heilutustahdeilla, ja mikä nuo tahdit määrää?
Valinnainen Kertaa: heijastus kiinteästä päästä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kaksi silmukkaa
Ennuste 2: toisesta päästä suljettu putki
Tutki
Valitse kieli tai putki, muuta herätteen taajuutta ja seuraa, millä taajuuksilla poikkeama kasvaa suureksi. Jokainen kokeilemasi taajuus jää pisteeksi kuvaajaan.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Tilanne: kieli, jonka kumpikin pää on kiinni, molemmista päistä avoin putki tai toisesta päästä suljettu putki. Kielen vasemmassa päässä on täryttäjä, putken vasemmassa, avoimessa päässä kaiutin. Säädä herätteen taajuutta $f$ liukusäätimellä; nuolinäppäimet muuttavat sitä $5\,\text{Hz}$:n askelin. Kuvassa sininen viiva on poikkeama tällä hetkellä ja katkoviivat ääriasennot, joiden välissä naru tai ilma liikkuu. Putkessa siniset pisterivit ovat ilmaa, joka liikkuu putken suunnassa, ja putken alla sama siirtymä on piirretty kuvaajana. Solmut on merkitty kirjaimella S ja kuvut kirjaimella K, kun niille on tilaa. Alla olevaan kuvaajaan jää piste jokaisesta kokeilemastasi taajuudesta; pisteet nollautuvat, kun vaihdat tilannetta, pituutta tai nopeutta. Kielen aallon nopeus $v$ kasvaa, kun kieltä kiristetään: kuvassa kiristävä punnus kasvaa. Nopeus muuttaa vain liikkeen tahtia.
Mallin oletukset
Kuva näyttää pysyvän tilan, joka syntyy, kun heräte on jatkunut pitkään: oikeaan päähän etenevä aalto ja sen heijastus ovat summautuneet. Liike on piirretty voimakkaasti hidastettuna, koska todellinen taajuus on satoja hertsejä, ja poikkeamat on suurennettu. Herätteen oma amplitudi on mallissa kielessä $1{,}0\,\text{mm}$, ja pieni vaimennus rajoittaa suurimman poikkeaman noin $17\,\text{mm}$:iin; todellisissa soittimissa suhde riippuu materiaaleista. Putken avoimessa päässä kupu on ominaistaajuuksilla mallissa täsmälleen putken suulla (pääkorjausta ei ole), ja äänen nopeus ilmassa on $340\,\text{m/s}$. Kaikki luvut ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Aallonpituus on $\lambda = \tfrac{v}{f}$. Kun $s = L - x$ on etäisyys oikeasta päästä ja $k = \tfrac{2\pi f}{v} - i\alpha$ aaltoluku pienellä vaimennuksella $\alpha = \tfrac{0{,}06}{L}$, poikkeaman amplitudi kohdassa $x$ on kielelle $U = a\tfrac{\sin ks}{\sin kL}$, avoimelle putkelle $U = a\tfrac{\cos ks}{\sin kL}$ ja suljetulle putkelle $U = a\tfrac{\sin ks}{\cos kL}$, missä $a = 1{,}0\,\text{mm}$. Nämä täyttävät päiden ehdot: kiinteässä ja suljetussa päässä poikkeama on nolla, avoimessa päässä suurin. Suurin poikkeama $A$ on suurin arvo $|U|$:sta kielen tai putken matkalla. Solmuja ovat kohdat, joissa $|U|$ on pienimmillään ja alle $15\,\%$ $A$:sta, ja kupuja kohdat, joissa se on suurimmillaan ja yli $85\,\%$ $A$:sta. Ominaistaajuuksia ei ole syötetty malliin: poikkeama kasvaa suureksi itsestään, kun nimittäjä $\sin kL$ tai $\cos kL$ on lähes nolla.
Koe 1: kielen ominaistaajuudet
Testaa ennuste 1. Kielen pituus on $0{,}60\,\text{m}$ ja aallon nopeus $120\,\text{m/s}$, ja ne pysyvät vakioina. Nosta taajuutta $50\,\text{Hz}$:stä $320\,\text{Hz}$:iin ja seuraa kuvaajaa. Kirjaa ainakin ne taajuudet, joilla suurin poikkeama $A$ on huipussaan, ja yksi taajuus kahden huipun välistä. Laske solmut myös kuvasta.
Alkutila: tilanne: kieli, päät kiinni, kielen pituus = $0{,}6\,\text{m}$, aallon nopeus = $120\,\text{m/s}$, taajuus = $50\,\text{Hz}$. Vakiona: tilanne, kielen pituus, aallon nopeus. Muutetaan: taajuus.
| taajuus | $A$ $(\text{mm})$ | solmuja | $\lambda$ $(\text{m})$ |
|---|
Koe 2: toisesta päästä suljettu putki
Testaa ennuste 2. Putki on $0{,}85\,\text{m}$ pitkä ja oikeasta päästään suljettu. Nosta taajuutta $50\,\text{Hz}$:stä $550\,\text{Hz}$:iin ja kirjaa ainakin taajuudet, joilla poikkeama on huipussaan, sekä taajuudet $200\,\text{Hz}$ ja $400\,\text{Hz}$. Missä putken päässä on solmu, missä kupu?
Alkutila: tilanne: putki, toinen pää suljettu, putken pituus = $0{,}85\,\text{m}$, taajuus = $50\,\text{Hz}$. Vakiona: tilanne, putken pituus. Muutetaan: taajuus.
| taajuus | $A$ $(\text{mm})$ | solmuja | kupuja |
|---|
Valinnainen Koe 3: sama putki molemmista päistä avoimena
Avaa putken suljettu pää: valitse molemmista päistä avoin putki, jonka pituus on edelleen $0{,}85\,\text{m}$. Etsi kaksi alinta taajuutta, joilla poikkeama on huipussaan, ja vertaa niitä kokeen 2 taajuuksiin.
Alkutila: tilanne: putki, päät auki, putken pituus = $0{,}85\,\text{m}$, taajuus = $50\,\text{Hz}$. Vakiona: tilanne, putken pituus. Muutetaan: taajuus.
| taajuus | $A$ $(\text{mm})$ | solmuja | kupuja |
|---|
Johtopäätös: millä taajuuksilla seisova aalto syntyy?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: millä taajuuksilla kieleen ja suljettuun putkeen syntyi voimakas seisova aalto? Miten nämä taajuudet liittyvät alimpaan niistä? Miten kielen pituus ja aallonpituus liittyivät toisiinsa huippujen kohdalla, ja miksi suljetun putken taajuudet ovat erilaiset kuin kielen?
Mallivastaus
Kielessä ($L = 0{,}60\,\text{m}$, $v = 120\,\text{m/s}$) suurin poikkeama kasvoi noin $16{,}7\,\text{mm}$:iin vain taajuuksilla $100\,\text{Hz}$, $200\,\text{Hz}$ ja $300\,\text{Hz}$; niiden välissä, esimerkiksi $150\,\text{Hz}$:llä, se oli vain noin $1{,}0\,\text{mm}$. Taajuudet ovat alimman taajuuden $100\,\text{Hz}$ kokonaislukukertoja. Solmuja oli huipuissa $2$, $3$ ja $4$, ja aallonpituudet olivat $1{,}20\,\text{m}$, $0{,}60\,\text{m}$ ja $0{,}40\,\text{m}$: kielelle mahtui yksi, kaksi tai kolme puolikasta aallonpituutta. Suljetussa putkessa ($L = 0{,}85\,\text{m}$) huiput olivat $100\,\text{Hz}$:llä, $300\,\text{Hz}$:llä ja $500\,\text{Hz}$:llä, mutta $200\,\text{Hz}$:llä ja $400\,\text{Hz}$:llä poikkeama oli vain noin $1{,}0\,\text{mm}$. Suljetussa päässä oli aina solmu ja avoimessa kupu, joten putkeen mahtui vain pariton määrä aallonpituuden neljänneksiä. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Aalto ja sen heijastus
Kun narun päätä heilutetaan tasaisesti, narua pitkin etenee aalto kohti narun kiinnitettyä päätä. Kiinteästä päästä aalto heijastuu takaisin vastakkaisvaiheisena (luku Aalto kohtaa esteen tai raon). Narussa kulkee silloin kaksi aaltoa, joilla on sama taajuus, aallonpituus ja amplitudi mutta vastakkaiset etenemissuunnat. Niiden poikkeamat summautuvat joka kohdassa (luku Aaltojen yhteisvaikutus: superpositio ja interferenssi). Summa ei näytä etenevältä aallolta: tietyt kohdat pysyvät koko ajan paikallaan, ja niiden välissä naru heilahtelee edestakaisin. Tällaista aaltoliikettä sanotaan seisovaksi aalloksi.
Solmut ja kuvut
Seisovan aallon kohtia, joissa poikkeama on joka hetki nolla, sanotaan solmuiksi. Niissä tuleva ja heijastunut aalto ovat aina vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa. Solmujen puolivälissä aallot ovat aina samassa vaiheessa ja vahvistavat toisiaan. Näissä kuvuissa värähtelyn amplitudi on suurin, kaksi kertaa yhden aallon amplitudi. Kahden vierekkäisen solmun etäisyys on puoli aallonpituutta $\tfrac{\lambda}{2}$, ja solmusta viereiseen kupuun on $\tfrac{\lambda}{4}$.
Kahden solmun välinen osa narusta liikkuu kokonaisuutena samaan suuntaan, ja viereinen osa liikkuu aina vastakkaiseen suuntaan. Aaltohuippu ei siis etene mihinkään. Koska tuleva ja heijastunut aalto kuljettavat energiaa yhtä paljon kumpaankin suuntaan, seisova aalto ei siirrä energiaa pitkin narua.
Ominaistaajuudet
Kitaran kielessä kumpikin pää on kiinni, joten kumpikin pää on solmu. Seisova aalto voi syntyä vain, jos kielen pituudelle mahtuu kokonainen määrä puolikkaita aallonpituuksia. Muilla aallonpituuksilla kielessä edestakaisin heijastelevat aallot ovat eri kierroksilla eri vaiheessa ja kumoavat suurelta osin toisensa. Taajuuksia, joilla seisova aalto syntyy, sanotaan kielen ominaistaajuuksiksi. Kun kieltä herätetään ominaistaajuudella, jokainen heijastuskierros vahvistaa liikettä ja amplitudi kasvaa suureksi. Tätä ilmiötä sanotaan resonanssiksi.
Alin ominaistaajuus on perustaajuus. Näppäilty kieli värähtelee yhtä aikaa monella ominaistaajuudellaan, ja kuulemamme sävelkorkeus määräytyy perustaajuudesta. Puhallinsoittimen ilmapatsas käyttäytyy samoin: sen ominaistaajuudet riippuvat putken pituudesta ja siitä, onko putken pää auki vai kiinni.
Kielen ja ilmapatsaan ominaistaajuudet
Kahdesta päästä kiinnitetty kieli
Kun kielen värähtelevän osan pituus on $L$, kummassakin päässä on solmu, ja kielelle mahtuu $n$ puolikasta aallonpituutta:
$$\begin{aligned} L &= n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \\ \lambda_n &= \frac{2L}{n} \end{aligned}$$
Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen). Siitä saadaan kielen ominaistaajuudet
$$\begin{aligned} f_n &= \frac{v}{\lambda_n} = n \cdot \frac{v}{2L} = n f_1 \\ n &= 1, 2, 3, \ldots \end{aligned}$$
missä $f_n$ on $n$:s ominaistaajuus (Hz), $v$ aallon nopeus kielessä (m/s), $L$ kielen värähtelevän osan pituus (m) ja $\lambda_n$ aallonpituus (m). Perustaajuus on $f_1 = \tfrac{v}{2L}$, ja muut ominaistaajuudet ovat sen monikertoja. Perustaajuutta suurempia ominaistaajuuksia sanotaan yläsäveliksi. Ominaistaajuudella $f_n$ kielessä on $n$ kupua ja $n + 1$ solmua päät mukaan lukien.
Soitin ja sävelkorkeus
Kaava kertoo, miten kielisoittimen sävelkorkeutta muutetaan. Kun soittaja painaa kielen otelautaa vasten, kielen värähtelevä osa $L$ lyhenee ja perustaajuus kasvaa. Kun kieltä kiristetään virityskoneistolla, aallon nopeus $v$ kielessä kasvaa ja perustaajuus nousee. Samalla kireydellä paksussa ja raskaassa kielessä aalto etenee hitaammin kuin ohuessa, joten bassokielet soivat matalalta. Kielen värähtely saa kaikukopan ja ilman värähtelemään samalla taajuudella, joten kuuluvan äänen taajuus on kielen värähtelyn taajuus.
Ilmapatsas putkessa
Huilussa ja urkupillissä seisova aalto syntyy putken sisällä olevaan ilmaan. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, joten ilma värähtelee putken suunnassa. Putken suljetussa päässä ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on siirtymän solmu. Avoimessa päässä ilma pääsee liikkumaan vapaasti, ja siellä on siirtymän kupu. Todellisuudessa kupu on hieman putken suun ulkopuolella, mutta tämä niin sanottu pääkorjaus jätetään tässä huomiotta. Äänen nopeutena ilmassa käytetään tässä luvussa $v = 340\,\text{m/s}$.
Kun putki on molemmista päistä avoin, kummassakin päässä on kupu, ja putkeen mahtuu taas $n$ puolikasta aallonpituutta. Ominaistaajuudet ovat samat kuin kielellä, $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$, kun $v$ on äänen nopeus ilmassa.
Kun putki on toisesta päästä suljettu, suljetussa päässä on solmu ja avoimessa kupu. Solmusta kupuun on $\tfrac{\lambda}{4}$, joten putken pituuden on oltava pariton määrä aallonpituuden neljänneksiä:
$$\begin{aligned} L &= n \cdot \frac{\lambda_n}{4} \\ f_n &= n \cdot \frac{v}{4L} \\ n &= 1, 3, 5, \ldots \end{aligned}$$
Suljetulla putkella on siis vain parittomat ominaistaajuudet $f_1$, $3f_1$, $5f_1$ ja niin edelleen. Sen perustaajuus $f_1 = \tfrac{v}{4L}$ on puolet yhtä pitkän avoimen putken perustaajuudesta, joten suljettu urkupilli soi oktaavia matalammalta kuin samanpituinen avoin pilli.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että perustaajuudella kielelle mahtuu kokonainen aallonpituus eli $\lambda_1 = L$. Perustaajuudella kielessä on kuitenkin vain yksi kupu keskellä ja solmut päissä, joten kielen pituus on puolikas aallonpituus ja $\lambda_1 = 2L$. Esimerkiksi $1{,}20\,\text{m}$:n kielen perustaajuutta vastaava aallonpituus on $2{,}40\,\text{m}$. Samasta syystä vierekkäisten solmujen etäisyys on $\tfrac{\lambda}{2}$ eikä $\lambda$.
Toinen virhe on laskea toisesta päästä suljetun putken ominaistaajuudet samoin kuin kielen. Suljetun putken perustaajuus on $\tfrac{v}{4L}$, ja sen seuraava ominaistaajuus on $3f_1$, ei $2f_1$.
Tiivistelmä
- Seisova aalto syntyy, kun aalto ja sen heijastus etenevät vastakkaisiin suuntiin ja summautuvat. Solmuissa poikkeama on aina nolla, kuvuissa amplitudi on suurin.
- Vierekkäisten solmujen etäisyys on $\tfrac{\lambda}{2}$, ja solmusta kupuun on $\tfrac{\lambda}{4}$.
- Kahdesta päästä kiinnitetyn kielen ja molemmista päistä avoimen putken ominaistaajuudet ovat $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$, kun $n = 1, 2, 3, \ldots$ Alin niistä on perustaajuus $f_1$.
- Toisesta päästä suljetussa putkessa suljettu pää on solmu ja avoin pää kupu, ja ominaistaajuudet ovat $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L}$, kun $n = 1, 3, 5, \ldots$
- Lyhyempi tai kireämpi kieli ja lyhyempi putki soivat korkeammalta. Luvussa Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö tutkitaan, miten perustaajuus ja yläsävelet näkyvät äänen taajuusanalyysissä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mallin arvoihin ja kaavoihin $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$ ja $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L}$. Palaa sitten hyppynaruun: miksi naru asettui rauhalliseksi kaareksi vain tietyillä tahdeilla, ja mitä tapahtuisi tahdeille, jos narua lyhennettäisiin?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kitaran A-kielen värähtelevä osa satulasta tallaan on $0{,}650\,\text{m}$ pitkä, ja kielen perustaajuus on $110\,\text{Hz}$. Kuinka suuri on aallon nopeus kielessä? Kuinka pitkäksi kielen värähtelevä osa on lyhennettävä painamalla kieli otelautaa vasten, jotta perustaajuus on $165\,\text{Hz}$? Kielen kireys ei muutu painettaessa.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Kielen pituus $L = 0{,}650\,\text{m}$ ja perustaajuus $f_1 = 110\,\text{Hz}$; uusi perustaajuus $f_1' = 165\,\text{Hz}$. Kysytään aallon nopeutta $v$ kielessä ja värähtelevän osan uutta pituutta $L'$.
Vaihe 2/7
Periaate. Kieli on kiinni kummastakin päästä, joten perustaajuudella sen pituudelle mahtuu puolikas aallonpituus ja $f_1 = \tfrac{v}{2L}$. Kun kieli painetaan otelautaa vasten, kielen kireys ja paksuus pysyvät samoina, joten aallon nopeus $v$ ei muutu. Vain värähtelevän osan pituus muuttuu.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Ratkaistaan perustaajuuden kaavasta ensin $v$ ja sitten uusi pituus $L'$:
$$\begin{aligned} f_1 &= \frac{v}{2L} \;\Rightarrow\; v = 2 L f_1 \\ f_1' &= \frac{v}{2L'} \;\Rightarrow\; L' = \frac{v}{2 f_1'} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: pituus on metreinä ja taajuus hertseinä, ja $\text{m} \cdot \text{Hz} = \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} &v = 2 L f_1 \\ &= 2 \cdot 0{,}650\,\text{m} \cdot 110\,\text{Hz} \\ &= 143\,\text{m/s} \\[6pt] &L' = \frac{v}{2 f_1'} \\ &= \frac{143\,\text{m/s}}{2 \cdot 165\,\text{Hz}} \\ &= 0{,}4333\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Aallon nopeus kielessä on $143\,\text{m/s}$, ja värähtelevän osan on oltava $0{,}433\,\text{m}$ pitkä. Tulokset ilmoitetaan kolmella merkitsevällä numerolla kuten kielen pituus $0{,}650\,\text{m}$ ja taajuudet.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Uusi perustaajuus on $165\,\text{Hz} : 110\,\text{Hz} = 1{,}5$-kertainen, ja koska $f_1$ on kääntäen verrannollinen pituuteen, kielen on lyhennyttävä samassa suhteessa: $0{,}650\,\text{m} : 1{,}5 = 0{,}433\,\text{m}$. Korkeampi sävel vaatii lyhyemmän kielen, kuten soittaessa havaitaan. Perustaajuudella $\lambda_1 = 2L = 1{,}30\,\text{m}$, joten
mikä on sama kuin laskettu aallon nopeus.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Didgeridoo on pitkä puuputki, jota soittaja puhaltaa huulet putken suuta vasten. Huulet sulkevat putken tämän pään, joten soitin toimii suunnilleen toisesta päästä suljettuna putkena. Putken pituus on $1{,}50\,\text{m}$.
Mikä on putken toiseksi matalin ominaistaajuus? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$. Vastaa hertseinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Missä putken päässä on solmu ja missä kupu? Kuinka suuri osa aallonpituudesta mahtuu putkeen perustaajuudella?
Vihje 2: mikä yhteys
Suljetun putken ominaistaajuudet ovat $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L}$, ja $n$ voi olla vain pariton: $1, 3, 5, \ldots$
Vihje 3: välivaihe
Perustaajuus on
Mikä on seuraava sallittu $n$?
Näytä ratkaisu
Annettu
toisesta päästä suljettu putki, pituus $L = 1{,}50\,\text{m}$; äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$
Kysytty
toiseksi matalin ominaistaajuus hertseinä
Periaate
Huulet sulkevat putken pään, joten siellä ilma ei pääse liikkumaan ja on siirtymän solmu; avoimessa päässä on kupu. Putkeen mahtuu siksi vain pariton määrä aallonpituuden neljänneksiä, ja ominaistaajuudet ovat perustaajuuden parittomia kertoja. Toiseksi matalin vastaa lukua $n = 3$.
Kaava
$f_n = n \cdot \dfrac{v}{4L}$, kun $n = 1, 3, 5, \ldots$, josta $n = 3$: $f_3 = \dfrac{3v}{4L}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa.
Sijoitus
Vastaus
$170\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten putken pituudessa $1{,}50\,\text{m}$ ja äänen nopeudessa.
Järkevyys
Perustaajuus on $\tfrac{340\,\text{m/s}}{6{,}00\,\text{m}} = 56{,}7\,\text{Hz}$, mikä sopii didgeridoon matalaan, huminamaiseen ääneen, ja $3 \cdot 56{,}7\,\text{Hz} = 170\,\text{Hz}$. Tällä taajuudella putkeen mahtuu kolme neljännestä aallonpituudesta:
$\tfrac{3}{4} \cdot 2{,}00\,\text{m} = 1{,}50\,\text{m}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Kahdesta päästä kiinnitetty kieli värähtelee kolmannella ominaistaajuudellaan. Montako solmua ja montako kupua kielessä on, kun päät lasketaan mukaan?
Vastaus
Kielelle mahtuu kolme puolikasta aallonpituutta, joten siinä on kolme kupua ja neljä solmua: kaksi päissä ja kaksi niiden välissä.
- Huilu on molemmista päistä avoin putki ja klarinetti suunnilleen toisesta päästä suljettu putki. Soittimet ovat yhtä pitkiä. Kumman perustaajuus on matalampi, ja kuinka moninkertainen on toisen perustaajuus?
Vastaus
Klarinetin. Suljetun putken perustaajuus on $\tfrac{v}{4L}$ ja avoimen $\tfrac{v}{2L}$, joten samanpituisen huilun perustaajuus on kaksinkertainen eli oktaavia korkeampi.
1. Käsite
2. Aallonpituus suljetussa putkessa
Toisesta päästä suljetun putken pituus on $0{,}60\,\text{m}$. Putken ilmapatsas värähtelee ominaistaajuudella $f_3 = 3f_1$. Mikä on ääniaallon aallonpituus? Vastaa metreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Missä putken päässä on solmu ja missä kupu? Kuinka monta neljännestä aallonpituutta mahtuu putkeen, kun $n = 3$?
Vihje 2: mikä yhteys
Suljetussa putkessa $L = n \cdot \tfrac{\lambda_n}{4}$, joten $\lambda_3 = \tfrac{4L}{3}$.
Vihje 3: välivaihe
$\lambda_3 = \tfrac{4 \cdot 0{,}60\,\text{m}}{3}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
toisesta päästä suljettu putki, $L = 0{,}60\,\text{m}$; ominaistaajuus $f_3 = 3f_1$ eli $n = 3$
Kysytty
aallonpituus $\lambda_3$ metreinä
Periaate
Suljetussa päässä ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on siirtymän solmu, ja avoimessa päässä on kupu. Solmusta kupuun on neljännes aallonpituutta, joten ominaistaajuudella $f_n$ putkeen mahtuu $n$ neljännestä, ja $n = 3$ tarkoittaa kolmea neljännestä.
Kaava
$L = n \cdot \dfrac{\lambda_n}{4}$, josta $\lambda_n = \dfrac{4L}{n}$ ja $n = 3$: $\lambda_3 = \dfrac{4L}{3}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä.
Sijoitus
Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten putken pituudessa $0{,}60\,\text{m}$.
Järkevyys
Putkessa on solmu suljetussa päässä ja toinen solmu $\tfrac{\lambda}{2} = 0{,}40\,\text{m}$ päässä siitä, ja solmusta $\tfrac{\lambda}{4} = 0{,}20\,\text{m}$ eteenpäin kupu avoimessa päässä: $0{,}40\,\text{m} + 0{,}20\,\text{m} = 0{,}60\,\text{m}$, putken pituus. Perustaajuuden aallonpituus olisi $4L = 2{,}4\,\text{m}$, kolme kertaa pidempi.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: sävelkorkeus
Selitä seisovan aallon avulla, miksi kitaran sävel nousee, kun kieli painetaan otelautaa vasten, ja miksi se nousee myös, kun kieltä kiristetään.
Mallivastaus
Kitaran kielen kumpikin pää on kiinni, joten päät ovat solmuja, ja perustaajuudella kielen värähtelevän osan pituus on puolet aallonpituudesta: $\lambda_1 = 2L$. Kun kieli painetaan otelautaa vasten, värähtelevä osa lyhenee, joten myös aallonpituus lyhenee. Aallon nopeus kielessä ei muutu, joten yhtälön $v = f\lambda$ mukaan taajuus kasvaa: $f_1 = \tfrac{v}{2L}$ on kääntäen verrannollinen pituuteen. Kun kieltä kiristetään, aallonpituus pysyy samana, mutta aalto etenee kireässä kielessä nopeammin. Suurempi $v$ samalla aallonpituudella tarkoittaa suurempaa taajuutta. Kuultava sävel nousee kummassakin tapauksessa, koska sävelkorkeus määräytyy perustaajuudesta.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Ominaistaajuus
- Taajuus, jolla systeemi värähtelee vapaasti häiriön jälkeen.
- Resonanssi
- Amplitudin voimakas kasvu, kun ulkoisen herätteen taajuus vastaa systeemin ominaistaajuutta.
- Seisova aalto
- Kahden vastakkaisiin suuntiin etenevän samanlaisen aallon interferenssistä syntyvä aaltokuvio, jossa solmut pysyvät paikallaan.
- Solmu
- Seisovan aallon kohta, jossa värähtelyn amplitudi on nolla.
- Kupu
- Seisovan aallon kohta, jossa värähtelyn amplitudi on suurimmillaan.
- Perustaajuus
- Värähtelevän systeemin pienin mahdollinen ominaistaajuus.
- Avoin putki
- Putki, jonka molemmat päät ovat avoimia, joten kumpaankin päähän muodostuu seisovan aallon kupu.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 13-1Ydintehtävä
Kontrabasson matalimman kielen värähtelevä osa on $1{,}05\,\text{m}$ pitkä, ja aalto etenee kielessä nopeudella $86{,}1\,\text{m/s}$. Kieli on kiinni kummastakin päästä. Mikä on kielen perustaajuus?
Vastaus
$41{,}0\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kielen värähtelevän osan pituus $L = 1{,}05\,\text{m}$, aallon nopeus kielessä $v = 86{,}1\,\text{m/s}$; kieli on kiinni kummastakin päästä
Kysytty
kielen perustaajuus $f_1$ hertseinä
Periaate
Kummassakin kiinnitetyssä päässä on solmu. Perustaajuudella kielessä on yksi kupu, joten kielen pituudelle mahtuu puolikas aallonpituus: $\lambda_1 = 2L$. Taajuus saadaan aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.
Kaava
$f_n = n \cdot \dfrac{v}{2L}$, josta perustaajuudella $n = 1$: $f_1 = \dfrac{v}{2L}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa, joten
$\tfrac{\text{m/s}}{\text{m}}$$= \tfrac{1}{\text{s}}$$= \text{Hz}$Sijoitus
$f_1$$= \dfrac{86{,}1\,\text{m/s}}{2 \cdot 1{,}05\,\text{m}}$$= \dfrac{86{,}1\,\text{m/s}}{2{,}10\,\text{m}}$$= 41{,}0\,\text{Hz}$Vastaus
$41{,}0\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten pituudessa $1{,}05\,\text{m}$ ja nopeudessa $86{,}1\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Kontrabasson matalin sävel on hyvin matala, noin $40\,\text{Hz}$, ja tulos osuu siihen. Tarkistus toista kautta: aallonpituus
$\lambda_1$$= 2{,}10\,\text{m}$$f_1 \lambda_1$$= 41{,}0\,\text{Hz} \cdot 2{,}10\,\text{m}$$= 86{,}1\,\text{m/s}$mikä on annettu nopeus.
- Tehtävä 13-2Ydintehtävä
Kouluprojektissa tehdään molemmista päistä avoin pilli muoviputkesta, jonka pituus on $0{,}330\,\text{m}$. Mikä on putken ilmapatsaan perustaajuus? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$.
Vastaus
$515\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
molemmista päistä avoin putki, pituus $L = 0{,}330\,\text{m}$; äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$
Kysytty
ilmapatsaan perustaajuus $f_1$ hertseinä
Periaate
Avoimissa päissä ilma pääsee liikkumaan, joten kummassakin päässä on siirtymän kupu. Kahden kuvun välissä on perustaajuudella yksi solmu, joten putkeen mahtuu puolikas aallonpituus ja ominaistaajuudet ovat samat kuin kahdesta päästä kiinnitetyllä kielellä.
Kaava
$f_n = n \cdot \dfrac{v}{2L}$, josta perustaajuudella $n = 1$: $f_1 = \dfrac{v}{2L}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa.
Sijoitus
$f_1$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}330\,\text{m}}$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{0{,}660\,\text{m}}$$= 515{,}2\,\text{Hz}$Vastaus
$515\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten putken pituudessa $0{,}330\,\text{m}$ ja äänen nopeudessa.
Järkevyys
Noin kolmenkymmenen senttimetrin pilli soi muutaman sadan hertsin taajuudella, kuten nokkahuilun tai huilun keskiääni. Aallonpituus on $2L = 0{,}660\,\text{m}$, ja $515\,\text{Hz} \cdot 0{,}660\,\text{m} \approx 340\,\text{m/s}$.
- Tehtävä 13-3
Kirkkourkujen suurin pilli on yläpäästään suljettu, ja sen pituus on $2{,}60\,\text{m}$. Mikä on pillin perustaajuus? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$.
Vastaus
$32{,}7\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
yläpäästään suljettu urkupilli, pituus $L = 2{,}60\,\text{m}$; äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$
Kysytty
pillin perustaajuus $f_1$ hertseinä
Periaate
Suljetussa päässä ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on siirtymän solmu; avoimessa päässä on kupu. Solmusta kupuun on neljännes aallonpituutta, joten perustaajuudella $L = \tfrac{\lambda_1}{4}$ eli $\lambda_1 = 4L$.
Kaava
$f_n = n \cdot \dfrac{v}{4L}$, kun $n = 1, 3, 5, \ldots$, josta perustaajuudella $f_1 = \dfrac{v}{4L}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa.
Sijoitus
$f_1$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{4 \cdot 2{,}60\,\text{m}}$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{10{,}4\,\text{m}}$$= 32{,}69\,\text{Hz}$Vastaus
$32{,}7\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten pillin pituudessa $2{,}60\,\text{m}$.
Järkevyys
Suuret urkupillit tuottavat matalimmat äänet, joita ihminen juuri ja juuri kuulee (noin $20$–$40\,\text{Hz}$). Yhtä pitkä avoin pilli soisi kaksi kertaa korkeammalta, $65{,}4\,\text{Hz}$, joten sulkemalla pillin yläpään saadaan sama matala ääni puolta lyhyemmällä pillillä.
- Tehtävä 13-4
Liikuntatunnilla seinään kiinnitettyä pitkää narua heilutetaan niin, että siihen syntyy seisova aalto. Kahden vierekkäisen solmun etäisyydeksi mitataan $0{,}35\,\text{m}$. Mikä on narussa etenevien aaltojen aallonpituus?
Vastaus
$0{,}70\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
seisova aalto narussa, kahden vierekkäisen solmun etäisyys $d = 0{,}35\,\text{m}$
Kysytty
narussa etenevien aaltojen aallonpituus $\lambda$ metreinä
Periaate
Seisova aalto on narussa vastakkaisiin suuntiin etenevien aaltojen summa. Solmut ovat kohtia, joissa aallot kumoavat toisensa, ja ne toistuvat puolen aallonpituuden välein.
Kaava
$d = \dfrac{\lambda}{2}$, josta $\lambda = 2d$
Muunnokset
Ei tarvita: etäisyys on metreinä.
Sijoitus
$\lambda$$= 2 \cdot 0{,}35\,\text{m}$$= 0{,}70\,\text{m}$Vastaus
$0{,}70\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten solmujen etäisyydessä $0{,}35\,\text{m}$.
Järkevyys
Yhdellä aallonpituudella on kaksi silmukkaa eli kolme solmua, joten aallonpituuden on oltava suurempi kuin solmujen väli. Kahden vierekkäisen solmun väliin mahtuu yksi kupu, joka on $\tfrac{\lambda}{4} = 0{,}175\,\text{m}$ päässä kummastakin solmusta.
- Tehtävä 13-5
Sellon G-kielen perustaajuus on $98{,}0\,\text{Hz}$. Mikä on kielen neljäs ominaistaajuus eli taajuus, jolla kieleen mahtuu neljä kupua?
Vastaus
$392\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
sellon kielen perustaajuus $f_1 = 98{,}0\,\text{Hz}$; kieli on kiinni kummastakin päästä
Kysytty
neljäs ominaistaajuus $f_4$ hertseinä
Periaate
Kahdesta päästä kiinnitetyn kielen ominaistaajuuksilla kielelle mahtuu $n$ puolikasta aallonpituutta ja kielessä on $n$ kupua. Ominaistaajuudet ovat perustaajuuden monikertoja, koska aallon nopeus ja kielen pituus pysyvät samoina.
Kaava
$f_n = n \cdot \dfrac{v}{2L} = n f_1$, josta neljä kupua vastaa lukua $n = 4$: $f_4 = 4 f_1$
Muunnokset
Ei tarvita.
Sijoitus
$f_4$$= 4 \cdot 98{,}0\,\text{Hz}$$= 392\,\text{Hz}$Vastaus
$392\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten perustaajuudessa $98{,}0\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Neljä kupua tarkoittaa, että aallonpituus on neljäsosa perustaajuuden aallonpituudesta. Koska $v = f\lambda$ pysyy samana, taajuuden on oltava nelinkertainen. Taajuus $392\,\text{Hz}$ on kaksi oktaavia perustaajuuden yläpuolella, sillä kaksi kertaa kaksinkertaistettu $98{,}0\,\text{Hz}$ on $392\,\text{Hz}$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 13-6Ydintehtävä
Kitaran kielen värähtelevä osa on $0{,}650\,\text{m}$ pitkä. Kun kitaristi kiristää kieltä virityskoneistolla, aallon nopeus kielessä kasvaa $141{,}0\,\text{m/s}$:sta $148{,}0\,\text{m/s}$:iin. Kuinka monta hertsiä kielen perustaajuus nousee?
Vastaus
$5{,}4\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kielen värähtelevän osan pituus $L = 0{,}650\,\text{m}$; aallon nopeus ennen kiristämistä $v_1 = 141{,}0\,\text{m/s}$ ja sen jälkeen $v_2 = 148{,}0\,\text{m/s}$
Kysytty
perustaajuuden muutos $\Delta f = f_\text{2} - f_\text{1}$ hertseinä
Periaate
Kieli on kiinni kummastakin päästä, joten perustaajuudella $f = \tfrac{v}{2L}$. Kiristäminen muuttaa vain aallon nopeutta; kielen värähtelevän osan pituus pysyy samana. Perustaajuus on siksi suoraan verrannollinen nopeuteen.
Kaava
$f = \dfrac{v}{2L}$, joten
$\Delta f$$= \dfrac{v_2}{2L} - \dfrac{v_1}{2L}$josta $\Delta f = \dfrac{v_2 - v_1}{2L}$
Muunnokset
Ei tarvita: nopeudet ovat metreinä sekunnissa ja pituus metreinä.
Sijoitus
$\Delta f$$= \dfrac{148{,}0\,\text{m/s} - 141{,}0\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}650\,\text{m}}$$= \dfrac{7{,}0\,\text{m/s}}{1{,}300\,\text{m}}$$= 5{,}385\,\text{Hz}$Vastaus
$5{,}4\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeuksien erotus $7{,}0\,\text{m/s}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Perustaajuudet ovat ennen $108{,}46\,\text{Hz}$ ja jälkeen $113{,}85\,\text{Hz}$, ja niiden erotus on sama $5{,}39\,\text{Hz} \approx 5{,}4\,\text{Hz}$. Nopeus kasvaa noin $5\,\%$, joten taajuuskin kasvaa noin $5\,\%$: $0{,}05 \cdot 108\,\text{Hz} \approx 5\,\text{Hz}$. Taajuus nousee, kuten kieltä kiristettäessä kuuluu.
- Tehtävä 13-7Ydintehtävä
Äänen nopeutta mitataan resonanssiputkella. Pystysuoran putken alaosassa on vettä, ja putken yläpään yllä soi äänirauta, jonka taajuus on $440\,\text{Hz}$.
Kun vedenpintaa lasketaan, ääni voimistuu ensimmäisen kerran, kun ilmapatsas veden pinnasta putken suulle on $19{,}3\,\text{cm}$ pitkä. Veden pinta toimii putken suljettuna päänä.
Mikä on mittauksen perusteella äänen nopeus ilmassa?
Vastaus
$340\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
äänirauta $f = 440\,\text{Hz}$; lyhin resonoiva ilmapatsas $L = 19{,}3\,\text{cm}$, alapäästään veden pinnan sulkema
Kysytty
äänen nopeus ilmassa $v$ metreinä sekunnissa
Periaate
Veden pinnalla ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on siirtymän solmu, ja putken avoimessa suussa on kupu. Ääni voimistuu ensimmäisen kerran, kun ilmapatsaan pituus vastaa suljetun putken perustaajuutta, eli solmusta kupuun on neljännes aallonpituutta. Nopeus saadaan aallon perusyhtälöstä.
Kaava
$L = \dfrac{\lambda}{4}$ ja $v = f\lambda$, josta $v = 4 L f$
Muunnokset
$L$$= 19{,}3\,\text{cm}$$= 0{,}193\,\text{m}$Sijoitus
$v$$= 4 \cdot 0{,}193\,\text{m} \cdot 440\,\text{Hz}$$= 0{,}772\,\text{m} \cdot 440\,\text{Hz}$$= 339{,}68\,\text{m/s}$Vastaus
$340\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten ilmapatsaan pituudessa $19{,}3\,\text{cm}$.
Järkevyys
Tulos on äänen nopeus ilmassa huoneenlämmössä, noin $340\,\text{m/s}$. Seuraava resonanssi olisi kolmen neljänneksen kohdalla, $\tfrac{3\lambda}{4} = 0{,}579\,\text{m}$; vertaamalla kahta resonanssia mittauksessa päästään eroon pääkorjauksen virheestä, joka tekee lyhimmästä ilmapatsaasta hieman todellista neljännestä lyhyemmän.
- Tehtävä 13-8
Molemmista päistä avoimen putken kolmas ominaistaajuus on $1530\,\text{Hz}$. Kuinka pitkä putki on? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$. Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$33{,}3\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
molemmista päistä avoin putki, kolmas ominaistaajuus $f_3 = 1530\,\text{Hz}$; äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$
Kysytty
putken pituus $L$ senttimetreinä
Periaate
Avoimissa päissä on siirtymän kupu, joten ominaistaajuudet ovat samat kuin kahdesta päästä kiinnitetyllä kielellä, $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$. Kolmas ominaistaajuus vastaa lukua $n = 3$, jolloin putkeen mahtuu kolme puolikasta aallonpituutta.
Kaava
$f_3 = 3 \cdot \dfrac{v}{2L}$, josta $L = \dfrac{3v}{2 f_3}$
Muunnokset
Lopuksi metrit senttimetreiksi: $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$L$$= \dfrac{3 \cdot 340\,\text{m/s}}{2 \cdot 1530\,\text{Hz}}$$= \dfrac{1020\,\text{m/s}}{3060\,\text{Hz}}$$= 0{,}3333\,\text{m}$$= 33{,}33\,\text{cm}$Vastaus
$33{,}3\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $1530\,\text{Hz}$ ja äänen nopeudessa.
Järkevyys
Putken perustaajuus on $1530\,\text{Hz} : 3 = 510\,\text{Hz}$, ja tarkistus antaa $\tfrac{340\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}3333\,\text{m}} = 510\,\text{Hz}$. Kolmannen ominaistaajuuden aallonpituus on $\tfrac{2L}{3} = 0{,}222\,\text{m}$, ja $1530\,\text{Hz} \cdot 0{,}222\,\text{m} \approx 340\,\text{m/s}$.
- Tehtävä 13-9
Kuvassa täryttäjä värähtelee taajuudella $100\,\text{Hz}$, ja täryttäjän ja väkipyörän välinen naru värähtelee seisovana aaltona. Täryttäjän ja väkipyörän kohdat ovat solmuja.
Mikä on aallon nopeus narussa? Lue tarvittavat tiedot kuvasta.
Vastaus
$60{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
täryttäjän taajuus $f = 100\,\text{Hz}$; täryttäjän ja väkipyörän kohdat ovat solmuja; kuvasta narun värähtelevän osan pituus ja silmukoiden määrä
Kysytty
aallon nopeus narussa $v$ metreinä sekunnissa
Periaate
Naru värähtelee seisovana aaltona, jossa vierekkäisten solmujen etäisyys on puoli aallonpituutta. Kun tiedetään, kuinka monta puolikasta aallonpituutta värähtelevälle osalle mahtuu, saadaan aallonpituus, ja nopeus seuraa aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.
Kuvaajan lukeminen
Viivaimen mukaan täryttäjä on kohdassa $0$ ja väkipyörä kohdassa $1{,}20\,\text{m}$, joten värähtelevän osan pituus on $L = 1{,}20\,\text{m}$. Narussa on neljä silmukkaa eli neljä kupua ja viisi solmua päät mukaan lukien, joten $L$ on neljä puolikasta aallonpituutta: $n = 4$.
Kaava
$L = n \cdot \dfrac{\lambda}{2}$ ja $v = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{2L}{n}$ ja $v = \dfrac{2 L f}{n}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituus on metreinä ja taajuus hertseinä.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 100\,\text{Hz}}{4}$$= \dfrac{240\,\text{m/s}}{4}$$= 60{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$60{,}0\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten viivaimelta luetussa pituudessa $1{,}20\,\text{m}$ ja taajuudessa $100\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Yksi silmukka on $0{,}30\,\text{m}$ pitkä, joten aallonpituus on $0{,}60\,\text{m}$, ja $100\,\text{Hz} \cdot 0{,}60\,\text{m} = 60\,\text{m/s}$. Narun perustaajuus olisi $100\,\text{Hz} : 4 = 25\,\text{Hz}$, joten täryttäjä herättää neljännen ominaistaajuuden.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 13-10
Molemmista päistä avoimen urkupillin perustaajuus on $262\,\text{Hz}$. Urkujen rakentaja sulkee pillin yläpään tulpalla. Mikä on pillin uusi perustaajuus? Pillin pituus ja ilman lämpötila eivät muutu.
Vastaus
$131\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
avoimen urkupillin perustaajuus $f_\text{a} = 262\,\text{Hz}$; pillin pituus $L$ ja äänen nopeus $v$ pysyvät samoina, kun yläpää suljetaan
Kysytty
suljetun pillin perustaajuus $f_\text{s}$ hertseinä
Periaate
Avoimen pillin kummassakin päässä on siirtymän kupu, joten perustaajuudella $L = \tfrac{\lambda}{2}$. Suljetussa päässä on solmu, joten suljetun pillin perustaajuudella $L = \tfrac{\lambda}{4}$. Sama pituus vastaa siis kaksinkertaista aallonpituutta, ja koska äänen nopeus on sama, taajuus puolittuu.
Kaava
$f_\text{a} = \dfrac{v}{2L}$ ja $f_\text{s} = \dfrac{v}{4L}$, joten jakamalla
$\dfrac{f_\text{s}}{f_\text{a}}$$= \dfrac{2L}{4L}$$= \dfrac{1}{2}$josta $f_\text{s} = \dfrac{f_\text{a}}{2}$
Muunnokset
Ei tarvita: pituutta ja nopeutta ei tarvita lukuarvoina, koska ne supistuvat pois.
Sijoitus
$f_\text{s}$$= \dfrac{262\,\text{Hz}}{2}$$= 131\,\text{Hz}$Vastaus
$131\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten perustaajuudessa $262\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Puolitettu taajuus on oktaavin matalampi sävel, kuten tulpatun pillin pitääkin soida. Esimerkiksi nopeudella $340\,\text{m/s}$ pillin pituus olisi $\tfrac{340\,\text{m/s}}{2 \cdot 262\,\text{Hz}} = 0{,}649\,\text{m}$, ja suljettuna $\tfrac{340\,\text{m/s}}{4 \cdot 0{,}649\,\text{m}} = 131\,\text{Hz}$.
- Tehtävä 13-11
Kahdesta päästä kiinnitettyä kieltä herätetään säädettävän taajuuden täryttäjällä. Taajuutta nostettaessa kieli resonoi voimakkaasti taajuudella $330\,\text{Hz}$ ja seuraavan kerran taajuudella $440\,\text{Hz}$, mutta ei millään taajuudella niiden välillä.
Mikä on kielen perustaajuus?
Vastaus
$110\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kahdesta päästä kiinnitetty kieli; kaksi peräkkäistä resonanssitaajuutta $f_a = 330\,\text{Hz}$ ja $f_b = 440\,\text{Hz}$, niiden välissä ei resonanssia
Kysytty
kielen perustaajuus $f_1$ hertseinä
Periaate
Kieli resonoi vain ominaistaajuuksillaan $f_n = n f_1$, joten resonanssitaajuudet ovat perustaajuuden monikertoja. Koska väliin ei jää muita resonansseja, taajuudet ovat peräkkäiset ominaistaajuudet $f_n$ ja $f_{n+1}$, ja niiden erotus on yksi perustaajuus.
Kaava
$f_{n+1} - f_n = (n + 1) f_1 - n f_1$, josta $f_1 = f_b - f_a$
Muunnokset
Ei tarvita.
Sijoitus
$f_1$$= 440\,\text{Hz} - 330\,\text{Hz}$$= 110\,\text{Hz}$Vastaus
$110\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa, koska taajuudet on annettu hertsin tarkkuudella ja erotus $110\,\text{Hz}$ on kolminumeroinen.
Järkevyys
Molemmat mitatut taajuudet ovat perustaajuuden kokonaislukukertoja: $330\,\text{Hz} = 3 \cdot 110\,\text{Hz}$ ja $440\,\text{Hz} = 4 \cdot 110\,\text{Hz}$, eli mitatut resonanssit ovat kolmas ja neljäs ominaistaajuus. Perustaajuus on pienempi kuin kumpikaan mitattu taajuus, kuten pitää.
- Tehtävä 13-12
Toisesta päästä suljetun putken suun lähellä soi kaiutin, jonka taajuutta muutetaan. Putki resonoi taajuuksilla $510\,\text{Hz}$ ja $850\,\text{Hz}$, mutta ei millään taajuudella niiden välillä.
Kuinka pitkä putki on? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$.
Vastaus
$0{,}500\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
toisesta päästä suljettu putki; peräkkäiset resonanssitaajuudet $f_a = 510\,\text{Hz}$ ja $f_b = 850\,\text{Hz}$; äänen nopeus ilmassa $v = 340\,\text{m/s}$
Kysytty
putken pituus $L$ metreinä
Periaate
Suljetussa päässä on siirtymän solmu ja avoimessa kupu, joten ominaistaajuudet ovat $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L} = n f_1$ vain parittomilla luvuilla $n = 1, 3, 5, \ldots$ Peräkkäisten ominaistaajuuksien $n$ ja $n + 2$ erotus on siksi kaksi perustaajuutta. Kun perustaajuus tunnetaan, pituus saadaan perustaajuuden kaavasta.
Kaava
$f_b - f_a$$= (n + 2) f_1 - n f_1$$= 2 f_1$josta $f_1 = \dfrac{f_b - f_a}{2}$; ja $f_1 = \dfrac{v}{4L}$, josta $L = \dfrac{v}{4 f_1}$
Muunnokset
Ei tarvita: nopeus on metreinä sekunnissa ja taajuudet hertseinä.
Sijoitus
$f_1$$= \dfrac{850\,\text{Hz} - 510\,\text{Hz}}{2}$$= \dfrac{340\,\text{Hz}}{2}$$= 170\,\text{Hz}$$L$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{4 \cdot 170\,\text{Hz}}$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{680\,\text{Hz}}$$= 0{,}500\,\text{m}$Vastaus
$0{,}500\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuuksissa ja äänen nopeudessa.
Järkevyys
Mitatut taajuudet ovat perustaajuuden parittomia kertoja: $510\,\text{Hz} = 3 \cdot 170\,\text{Hz}$ ja $850\,\text{Hz} = 5 \cdot 170\,\text{Hz}$, kuten suljetulla putkella kuuluukin. Jos erotus $340\,\text{Hz}$ olisi luultu perustaajuudeksi, $510\,\text{Hz}$ ei olisi sen kokonaislukukerta, mikä paljastaa virheen.
Valokuvat
- Close up of an acoustic guitar being played. Nataev. lähde, CC BY-SA 4.0
