Seisova aalto: solmut, kuvut ja ominaistaajuudet

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 13-1Ydintehtävä

   Kontrabasson matalimman kielen värähtelevä osa on $1{,}05\,\text{m}$ pitkä. Aalto etenee kielessä nopeudella $86{,}1\,\text{m/s}$. Kieli on kiinni kummastakin päästä. Mikä on kielen perustaajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $41{,}0\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kielen värähtelevän osan pituus $L = 1{,}05\,\text{m}$ ja aallon nopeus kielessä $v = 86{,}1\,\text{m/s}$. Kieli on kiinni kummastakin päästä.

   Kysytty

   kielen perustaajuus $f_1$ hertseinä

   Periaate

   Kummassakin kiinnitetyssä päässä on solmu. Perustaajuudella kielessä on yksi kupu, joten kielelle mahtuu puolikas aallonpituus: $\lambda_1 = 2L$. Taajuus saadaan aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.

   Kaava

   $f_n = n \cdot \dfrac{v}{2L}$. Perustaajuudella $n = 1$, joten $f_1 = \dfrac{v}{2L}$.

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa, joten

   $\tfrac{\text{m/s}}{\text{m}}$$= \tfrac{1}{\text{s}}$

   $= \text{Hz}$

   Sijoitus

   $f_1$$= \dfrac{86{,}1\,\text{m/s}}{2 \cdot 1{,}05\,\text{m}}$

   $= \dfrac{86{,}1\,\text{m/s}}{2{,}10\,\text{m}}$

   $= 41{,}0\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $41{,}0\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska pituudessa $1{,}05\,\text{m}$ ja nopeudessa $86{,}1\,\text{m/s}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Kontrabasson matalin sävel on hyvin matala, noin $40\,\text{Hz}$. Tulos sopii siihen. Tarkistus toista kautta: aallonpituus on

   $\lambda_1$$= 2{,}10\,\text{m}$

   $f_1 \lambda_1$$= 41{,}0\,\text{Hz} \cdot 2{,}10\,\text{m}$

   $= 86{,}1\,\text{m/s}$

   Se on annettu nopeus.

2. Tehtävä 13-2Ydintehtävä

   Kouluprojektissa tehdään molemmista päistä avoin pilli muoviputkesta. Putken pituus on $0{,}330\,\text{m}$. Mikä on putken ilmapatsaan perustaajuus? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$.

   HzTarkista
   Vastaus

   $515\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   molemmista päistä avoin putki, jonka pituus on $L = 0{,}330\,\text{m}$. Äänen nopeus ilmassa on $v = 340\,\text{m/s}$.

   Kysytty

   ilmapatsaan perustaajuus $f_1$ hertseinä

   Periaate

   Avoimissa päissä ilma pääsee liikkumaan, joten kummassakin päässä on siirtymän kupu. Perustaajuudella kahden kuvun välissä on yksi solmu. Putkeen mahtuu siis puolikas aallonpituus. Ominaistaajuudet ovat samat kuin kahdesta päästä kiinnitetyllä kielellä.

   Kaava

   $f_n = n \cdot \dfrac{v}{2L}$. Perustaajuudella $n = 1$, joten $f_1 = \dfrac{v}{2L}$.

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa.

   Sijoitus

   $f_1$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}330\,\text{m}}$

   $= \dfrac{340\,\text{m/s}}{0{,}660\,\text{m}}$

   $= 515{,}2\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $515\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska putken pituudessa $0{,}330\,\text{m}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Noin kolmenkymmenen senttimetrin pilli soi muutamalla sadalla hertsillä. Se on kuin nokkahuilun tai huilun keskiääni. Aallonpituus on $2L = 0{,}660\,\text{m}$, ja $515\,\text{Hz} \cdot 0{,}660\,\text{m} \approx 340\,\text{m/s}$.

3. Tehtävä 13-3

   Kirkkourkujen suurin pilli on yläpäästään suljettu. Sen pituus on $2{,}60\,\text{m}$. Mikä on pillin perustaajuus? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$.

   HzTarkista
   Vastaus

   $32{,}7\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   yläpäästään suljettu urkupilli, jonka pituus on $L = 2{,}60\,\text{m}$. Äänen nopeus ilmassa on $v = 340\,\text{m/s}$.

   Kysytty

   pillin perustaajuus $f_1$ hertseinä

   Periaate

   Suljetussa päässä ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on siirtymän solmu. Avoimessa päässä on kupu. Solmusta kupuun on neljännes aallonpituutta. Perustaajuudella siis $L = \tfrac{\lambda_1}{4}$ eli $\lambda_1 = 4L$.

   Kaava

   $f_n = n \cdot \dfrac{v}{4L}$, kun $n = 1, 3, 5, \ldots$ Perustaajuudella $f_1 = \dfrac{v}{4L}$.

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Pituus on metreinä ja nopeus metreinä sekunnissa.

   Sijoitus

   $f_1$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{4 \cdot 2{,}60\,\text{m}}$

   $= \dfrac{340\,\text{m/s}}{10{,}4\,\text{m}}$

   $= 32{,}69\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $32{,}7\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska pillin pituudessa $2{,}60\,\text{m}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Suuret urkupillit tuottavat matalimmat äänet, jotka ihminen juuri ja juuri kuulee (noin $20$–$40\,\text{Hz}$). Yhtä pitkä avoin pilli soisi kaksi kertaa korkeammalta, $65{,}4\,\text{Hz}$. Kun pillin yläpää suljetaan, saadaan sama matala ääni puolta lyhyemmällä pillillä.

4. Tehtävä 13-4

   Liikuntatunnilla seinään kiinnitettyä pitkää narua heilutetaan niin, että siihen syntyy seisova aalto. Kahden vierekkäisen solmun etäisyydeksi mitataan $0{,}35\,\text{m}$. Mikä on narussa etenevien aaltojen aallonpituus?

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}70\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   seisova aalto narussa. Kahden vierekkäisen solmun etäisyys on $d = 0{,}35\,\text{m}$.

   Kysytty

   narussa etenevien aaltojen aallonpituus $\lambda$ metreinä

   Periaate

   Seisova aalto on narussa vastakkaisiin suuntiin etenevien aaltojen summa. Solmut ovat kohtia, joissa aallot kumoavat toisensa. Ne toistuvat puolen aallonpituuden välein.

   Kaava

   $d = \dfrac{\lambda}{2}$, josta $\lambda = 2d$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Etäisyys on metreinä.

   Sijoitus

   $\lambda$$= 2 \cdot 0{,}35\,\text{m}$

   $= 0{,}70\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}70\,\text{m}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska solmujen etäisyydessä $0{,}35\,\text{m}$ on kaksi numeroa.

   Järkevyys

   Yhdellä aallonpituudella on kaksi silmukkaa eli kolme solmua. Aallonpituuden pitää siis olla suurempi kuin solmujen väli. Kahden vierekkäisen solmun väliin mahtuu yksi kupu. Se on $\tfrac{\lambda}{4} = 0{,}175\,\text{m}$ päässä kummastakin solmusta.

5. Tehtävä 13-5

   Sellon G-kielen perustaajuus on $98{,}0\,\text{Hz}$. Mikä on kielen neljäs ominaistaajuus? Se on taajuus, jolla kieleen mahtuu neljä kupua.

   HzTarkista
   Vastaus

   $392\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   sellon kielen perustaajuus on $f_1 = 98{,}0\,\text{Hz}$. Kieli on kiinni kummastakin päästä.

   Kysytty

   neljäs ominaistaajuus $f_4$ hertseinä

   Periaate

   Kahdesta päästä kiinnitetyn kielen ominaistaajuuksilla kielelle mahtuu $n$ puolikasta aallonpituutta, ja kielessä on $n$ kupua. Ominaistaajuudet ovat perustaajuuden monikertoja, koska aallon nopeus ja kielen pituus pysyvät samoina.

   Kaava

   $f_n = n \cdot \dfrac{v}{2L} = n f_1$. Neljä kupua tarkoittaa lukua $n = 4$, joten $f_4 = 4 f_1$.

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita.

   Sijoitus

   $f_4$$= 4 \cdot 98{,}0\,\text{Hz}$

   $= 392\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $392\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska perustaajuudessa $98{,}0\,\text{Hz}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Neljä kupua tarkoittaa, että aallonpituus on neljäsosa perustaajuuden aallonpituudesta. Tulo $v = f\lambda$ pysyy samana, joten taajuuden on oltava nelinkertainen. Taajuus $392\,\text{Hz}$ on kaksi oktaavia perustaajuuden yläpuolella, koska kaksi kertaa kaksinkertaistettu $98{,}0\,\text{Hz}$ on $392\,\text{Hz}$.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 13-6Ydintehtävä

   Kitaran kielen värähtelevä osa on $0{,}650\,\text{m}$ pitkä. Kitaristi kiristää kieltä virityskoneistolla. Aallon nopeus kielessä kasvaa silloin $141{,}0\,\text{m/s}$:sta $148{,}0\,\text{m/s}$:iin. Kuinka monta hertsiä kielen perustaajuus nousee?

   HzTarkista
   Vastaus

   $5{,}4\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kielen värähtelevän osan pituus $L = 0{,}650\,\text{m}$. Aallon nopeus ennen kiristämistä on $v_1 = 141{,}0\,\text{m/s}$ ja sen jälkeen $v_2 = 148{,}0\,\text{m/s}$.

   Kysytty

   perustaajuuden muutos $\Delta f = f_\text{2} - f_\text{1}$ hertseinä

   Periaate

   Kieli on kiinni kummastakin päästä, joten perustaajuudella $f = \tfrac{v}{2L}$. Kiristäminen muuttaa vain aallon nopeutta. Kielen värähtelevän osan pituus pysyy samana. Perustaajuus on siksi suoraan verrannollinen nopeuteen.

   Kaava

   $f = \dfrac{v}{2L}$, joten

   $\Delta f$$= \dfrac{v_2}{2L} - \dfrac{v_1}{2L}$

   josta $\Delta f = \dfrac{v_2 - v_1}{2L}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Nopeudet ovat metreinä sekunnissa ja pituus metreinä.

   Sijoitus

   $\Delta f$$= \dfrac{148{,}0\,\text{m/s} - 141{,}0\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}650\,\text{m}}$

   $= \dfrac{7{,}0\,\text{m/s}}{1{,}300\,\text{m}}$

   $= 5{,}385\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $5{,}4\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska nopeuksien erotus $7{,}0\,\text{m/s}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Perustaajuudet ovat ennen $108{,}46\,\text{Hz}$ ja jälkeen $113{,}85\,\text{Hz}$. Niiden erotus on sama $5{,}39\,\text{Hz} \approx 5{,}4\,\text{Hz}$. Nopeus kasvaa noin $5\,\%$, joten taajuuskin kasvaa noin $5\,\%$: $0{,}05 \cdot 108\,\text{Hz} \approx 5\,\text{Hz}$. Taajuus nousee, kuten kieltä kiristettäessä kuuluu.

2. Tehtävä 13-7Ydintehtävä

   Äänen nopeutta mitataan resonanssiputkella. Pystysuoran putken alaosassa on vettä. Putken yläpään yllä soi äänirauta, jonka taajuus on $440\,\text{Hz}$. Vedenpintaa lasketaan. Ääni voimistuu ensimmäisen kerran, kun ilmapatsas veden pinnasta putken suulle on $19{,}3\,\text{cm}$ pitkä. Veden pinta toimii putken suljettuna päänä.

   Mikä on mittauksen perusteella äänen nopeus ilmassa?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $340\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   äänirauta, jonka taajuus on $f = 440\,\text{Hz}$. Lyhin resonoiva ilmapatsas on $L = 19{,}3\,\text{cm}$ pitkä, ja sen alapään sulkee veden pinta.

   Kysytty

   äänen nopeus ilmassa $v$ metreinä sekunnissa

   Periaate

   Veden pinnalla ilma ei pääse liikkumaan, joten siellä on siirtymän solmu. Putken avoimessa suussa on kupu. Ääni voimistuu ensimmäisen kerran, kun ilmapatsaan pituus vastaa suljetun putken perustaajuutta. Silloin solmusta kupuun on neljännes aallonpituutta. Nopeus saadaan aallon perusyhtälöstä.

   Kaava

   $L = \dfrac{\lambda}{4}$ ja $v = f\lambda$, josta $v = 4 L f$

   Muunnokset

   $L$$= 19{,}3\,\text{cm}$

   $= 0{,}193\,\text{m}$

   Sijoitus

   $v$$= 4 \cdot 0{,}193\,\text{m} \cdot 440\,\text{Hz}$

   $= 0{,}772\,\text{m} \cdot 440\,\text{Hz}$

   $= 339{,}68\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $340\,\text{m/s}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska ilmapatsaan pituudessa $19{,}3\,\text{cm}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Tulos on äänen nopeus ilmassa huoneenlämmössä, noin $340\,\text{m/s}$. Seuraava resonanssi olisi kolmen neljänneksen kohdalla, $\tfrac{3\lambda}{4} = 0{,}579\,\text{m}$. Mittauksessa kannattaa verrata kahta resonanssia. Silloin päästään eroon pääkorjauksen virheestä, joka tekee lyhimmästä ilmapatsaasta hieman todellista neljännestä lyhyemmän.

3. Tehtävä 13-8

   Molemmista päistä avoimen putken kolmas ominaistaajuus on $1530\,\text{Hz}$. Kuinka pitkä putki on? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$. Anna vastaus senttimetreinä.

   cmTarkista
   Vastaus

   $33{,}3\,\text{cm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   molemmista päistä avoin putki, jonka kolmas ominaistaajuus on $f_3 = 1530\,\text{Hz}$. Äänen nopeus ilmassa on $v = 340\,\text{m/s}$.

   Kysytty

   putken pituus $L$ senttimetreinä

   Periaate

   Avoimissa päissä on siirtymän kupu, joten ominaistaajuudet ovat samat kuin kahdesta päästä kiinnitetyllä kielellä, $f_n = n \cdot \tfrac{v}{2L}$. Kolmas ominaistaajuus vastaa lukua $n = 3$. Putkeen mahtuu silloin kolme puolikasta aallonpituutta.

   Kaava

   $f_3 = 3 \cdot \dfrac{v}{2L}$, josta $L = \dfrac{3v}{2 f_3}$

   Muunnokset

   Lopuksi metrit senttimetreiksi: $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

   Sijoitus

   $L$$= \dfrac{3 \cdot 340\,\text{m/s}}{2 \cdot 1530\,\text{Hz}}$

   $= \dfrac{1020\,\text{m/s}}{3060\,\text{Hz}}$

   $= 0{,}3333\,\text{m}$

   $= 33{,}33\,\text{cm}$

   Vastaus

   $33{,}3\,\text{cm}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska taajuudessa $1530\,\text{Hz}$ ja äänen nopeudessa on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Putken perustaajuus on $1530\,\text{Hz} : 3 = 510\,\text{Hz}$. Tarkistus antaa $\tfrac{340\,\text{m/s}}{2 \cdot 0{,}3333\,\text{m}} = 510\,\text{Hz}$. Kolmannen ominaistaajuuden aallonpituus on $\tfrac{2L}{3} = 0{,}222\,\text{m}$, ja $1530\,\text{Hz} \cdot 0{,}222\,\text{m} \approx 340\,\text{m/s}$.

4. Tehtävä 13-9

   Kuvassa täryttäjä värähtelee taajuudella $100\,\text{Hz}$. Täryttäjän ja väkipyörän välinen naru värähtelee seisovana aaltona. Täryttäjän ja väkipyörän kohdat ovat solmuja.

   Mikä on aallon nopeus narussa? Lue tarvittavat tiedot kuvasta.

   m/sTarkista
   Vastaus

   $60{,}0\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   täryttäjän taajuus on $f = 100\,\text{Hz}$. Täryttäjän ja väkipyörän kohdat ovat solmuja. Narun värähtelevän osan pituus ja silmukoiden määrä luetaan kuvasta.

   Kysytty

   aallon nopeus narussa $v$ metreinä sekunnissa

   Periaate

   Naru värähtelee seisovana aaltona. Vierekkäisten solmujen etäisyys on puoli aallonpituutta. Kun tiedetään, montako puolikasta aallonpituutta värähtelevälle osalle mahtuu, saadaan aallonpituus. Nopeus saadaan sitten aallon perusyhtälöstä $v = f\lambda$.

   Kuvaajan lukeminen

   Viivaimen mukaan täryttäjä on kohdassa $0$ ja väkipyörä kohdassa $1{,}20\,\text{m}$. Värähtelevän osan pituus on siis $L = 1{,}20\,\text{m}$. Narussa on neljä silmukkaa eli neljä kupua ja viisi solmua, kun päät lasketaan mukaan. Pituus $L$ on siis neljä puolikasta aallonpituutta: $n = 4$.

   Kaava

   $L = n \cdot \dfrac{\lambda}{2}$ ja $v = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{2L}{n}$ ja $v = \dfrac{2 L f}{n}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Pituus on metreinä ja taajuus hertseinä.

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{2 \cdot 1{,}20\,\text{m} \cdot 100\,\text{Hz}}{4}$

   $= \dfrac{240\,\text{m/s}}{4}$

   $= 60{,}0\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $60{,}0\,\text{m/s}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska viivaimelta luetussa pituudessa $1{,}20\,\text{m}$ ja taajuudessa $100\,\text{Hz}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Yksi silmukka on $0{,}30\,\text{m}$ pitkä, joten aallonpituus on $0{,}60\,\text{m}$. Tällöin $100\,\text{Hz} \cdot 0{,}60\,\text{m} = 60\,\text{m/s}$. Narun perustaajuus olisi $100\,\text{Hz} : 4 = 25\,\text{Hz}$. Täryttäjä siis herättää neljännen ominaistaajuuden.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 13-10

   Molemmista päistä avoimen urkupillin perustaajuus on $262\,\text{Hz}$. Urkujen rakentaja sulkee pillin yläpään tulpalla. Mikä on pillin uusi perustaajuus? Pillin pituus ja ilman lämpötila eivät muutu.

   HzTarkista
   Vastaus

   $131\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   avoimen urkupillin perustaajuus on $f_\text{a} = 262\,\text{Hz}$. Pillin pituus $L$ ja äänen nopeus $v$ pysyvät samoina, kun yläpää suljetaan.

   Kysytty

   suljetun pillin perustaajuus $f_\text{s}$ hertseinä

   Periaate

   Avoimen pillin kummassakin päässä on siirtymän kupu, joten perustaajuudella $L = \tfrac{\lambda}{2}$. Suljetussa päässä on solmu, joten suljetun pillin perustaajuudella $L = \tfrac{\lambda}{4}$. Sama pituus vastaa siis kaksi kertaa pidempää aallonpituutta. Äänen nopeus on sama, joten taajuus puolittuu.

   Kaava

   $f_\text{a} = \dfrac{v}{2L}$ ja $f_\text{s} = \dfrac{v}{4L}$. Jakamalla saadaan

   $\dfrac{f_\text{s}}{f_\text{a}}$$= \dfrac{2L}{4L}$

   $= \dfrac{1}{2}$

   josta $f_\text{s} = \dfrac{f_\text{a}}{2}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Pituutta ja nopeutta ei tarvita lukuarvoina, koska ne supistuvat pois.

   Sijoitus

   $f_\text{s}$$= \dfrac{262\,\text{Hz}}{2}$

   $= 131\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $131\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska perustaajuudessa $262\,\text{Hz}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Puolitettu taajuus on oktaavia matalampi sävel. Tulpatun pillin pitää soida juuri niin. Esimerkiksi nopeudella $340\,\text{m/s}$ pillin pituus olisi $\tfrac{340\,\text{m/s}}{2 \cdot 262\,\text{Hz}} = 0{,}649\,\text{m}$. Suljettuna perustaajuus on $\tfrac{340\,\text{m/s}}{4 \cdot 0{,}649\,\text{m}} = 131\,\text{Hz}$.

2. Tehtävä 13-11

   Kahdesta päästä kiinnitettyä kieltä herätetään täryttäjällä, jonka taajuutta voi säätää. Taajuutta nostetaan. Kieli resonoi voimakkaasti taajuudella $330\,\text{Hz}$ ja seuraavan kerran taajuudella $440\,\text{Hz}$. Niiden välillä millään taajuudella ei ole resonanssia.

   Mikä on kielen perustaajuus?

   HzTarkista
   Vastaus

   $110\,\text{Hz}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kahdesta päästä kiinnitetty kieli. Kaksi peräkkäistä resonanssitaajuutta ovat $f_a = 330\,\text{Hz}$ ja $f_b = 440\,\text{Hz}$. Niiden välissä ei ole resonanssia.

   Kysytty

   kielen perustaajuus $f_1$ hertseinä

   Periaate

   Kieli resonoi vain ominaistaajuuksillaan $f_n = n f_1$. Resonanssitaajuudet ovat siis perustaajuuden monikertoja. Väliin ei jää muita resonansseja, joten taajuudet ovat peräkkäiset ominaistaajuudet $f_n$ ja $f_{n+1}$. Niiden erotus on yksi perustaajuus.

   Kaava

   $f_{n+1} - f_n = (n + 1) f_1 - n f_1$, josta $f_1 = f_b - f_a$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita.

   Sijoitus

   $f_1$$= 440\,\text{Hz} - 330\,\text{Hz}$

   $= 110\,\text{Hz}$

   Vastaus

   $110\,\text{Hz}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska taajuudet on annettu hertsin tarkkuudella ja erotuksessa $110\,\text{Hz}$ on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Molemmat mitatut taajuudet ovat perustaajuuden kokonaislukukertoja: $330\,\text{Hz} = 3 \cdot 110\,\text{Hz}$ ja $440\,\text{Hz} = 4 \cdot 110\,\text{Hz}$. Mitatut resonanssit ovat siis kolmas ja neljäs ominaistaajuus. Perustaajuus on pienempi kuin kumpikaan mitattu taajuus, kuten pitääkin.

3. Tehtävä 13-12

   Toisesta päästä suljetun putken suun lähellä soi kaiutin, jonka taajuutta muutetaan. Putki resonoi taajuuksilla $510\,\text{Hz}$ ja $850\,\text{Hz}$. Niiden välillä millään taajuudella ei ole resonanssia.

   Kuinka pitkä putki on? Käytä äänen nopeutena ilmassa $340\,\text{m/s}$.

   mTarkista
   Vastaus

   $0{,}500\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   toisesta päästä suljettu putki. Peräkkäiset resonanssitaajuudet ovat $f_a = 510\,\text{Hz}$ ja $f_b = 850\,\text{Hz}$. Äänen nopeus ilmassa on $v = 340\,\text{m/s}$.

   Kysytty

   putken pituus $L$ metreinä

   Periaate

   Suljetussa päässä on siirtymän solmu ja avoimessa kupu. Ominaistaajuudet ovat $f_n = n \cdot \tfrac{v}{4L} = n f_1$ vain parittomilla luvuilla $n = 1, 3, 5, \ldots$ Peräkkäisten ominaistaajuuksien $n$ ja $n + 2$ erotus on siksi kaksi perustaajuutta. Kun perustaajuus tunnetaan, pituus saadaan perustaajuuden kaavasta.

   Kaava

   $f_b - f_a$$= (n + 2) f_1 - n f_1$

   $= 2 f_1$

   josta $f_1 = \dfrac{f_b - f_a}{2}$. Lisäksi $f_1 = \dfrac{v}{4L}$, josta $L = \dfrac{v}{4 f_1}$.

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Nopeus on metreinä sekunnissa ja taajuudet hertseinä.

   Sijoitus

   $f_1$$= \dfrac{850\,\text{Hz} - 510\,\text{Hz}}{2}$

   $= \dfrac{340\,\text{Hz}}{2}$

   $= 170\,\text{Hz}$

   $L$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{4 \cdot 170\,\text{Hz}}$

   $= \dfrac{340\,\text{m/s}}{680\,\text{Hz}}$

   $= 0{,}500\,\text{m}$

   Vastaus

   $0{,}500\,\text{m}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska taajuuksissa ja äänen nopeudessa on kolme numeroa.

   Järkevyys

   Mitatut taajuudet ovat perustaajuuden parittomia kertoja: $510\,\text{Hz} = 3 \cdot 170\,\text{Hz}$ ja $850\,\text{Hz} = 5 \cdot 170\,\text{Hz}$. Niin suljetulla putkella kuuluukin olla. Jos erotus $340\,\text{Hz}$ olisi luultu perustaajuudeksi, $510\,\text{Hz}$ ei olisi sen kokonaislukukerta. Siitä virhe paljastuisi.