Aaltojen yhteisvaikutus: superpositio ja interferenssi
Miksi kahden samaa ääntä soittavan kaiuttimen edessä kävellessä ääni välillä voimistuu ja välillä lähes katoaa?
Pohjatiedot
- Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$luku Aaltojen synty ja eteneminen
- Kun aalto kulkee raon tai pienen esteen ohi, se leviää kaarevina aaltorintamina. Tätä sanotaan diffraktioksiluku Aalto kohtaa esteen tai raon
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 6.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Superpositio
- Kun aallot kohtaavat, niiden poikkeamat lasketaan yhteen. Aallot jatkavat sen jälkeen matkaansa ennallaan.
- Interferenssi
- Kahden tai useamman aallon yhteisvaikutus, kun ne kohtaavat.
- Vahvistava interferenssi
- Aallot kohtaavat samassa vaiheessa, joten yhteinen aalto on suurempi.
- Heikentävä interferenssi
- Aallot kohtaavat vastakkaisessa vaiheessa, joten ne heikentävät toisiaan.
- Matkaero
- Kuinka paljon pidemmän matkan toinen aalto kulkee kuin toinen samaan pisteeseen.
Pohdinta
Koulun pihalle on tuotu kaksi kaiutinta vierekkäin, noin kahden metrin päähän toisistaan. Molemmat on kytketty samaan äänigeneraattoriin. Se soittaa tasaista, korkeaa ääntä. Kävelet hitaasti kaiuttimien editse pihan poikki. Ääni voimistuu välillä ja heikkenee välillä lähes kuulumattomiin. Pysähdyt hiljaiseen kohtaan ja peität toisen kaiuttimen. Silloin ääni voimistuu.
Miten kahden kaiuttimen ääni voi olla hiljaisempi kuin yhden? Miksi hiljaiset kohdat ovat juuri tietyissä paikoissa?
Valinnainen Kertaa: aallonpituus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kaksi pulssia kohtaa
Ennuste 2: puolen aallonpituuden matkaero
Tutki
Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa tahdissa. Siirrä pistettä P katkoviivaa pitkin. Katso, missä vesi värähtelee voimakkaasti ja missä se on lähes levossa.
Simulaatio
Käyttöohje
Kuva esittää aaltoallasta ylhäältä. Vaalea kohta on aallonharja ja tumma kohta on aallonpohja. Säädä Lähteiden väli $d$, Aallonpituus $\lambda$ ja Pisteen P paikka $x$. Piste P liikkuu katkoviivalla, joka on $L = 8{,}0\,\text{cm}$:n päässä lähteistä. Oikealla (puhelimessa alla) näkyy kummankin aallon poikkeama pisteessä P. Sininen on $y_1$ lähteestä $S_1$ ja violetti on $y_2$ lähteestä $S_2$. Niiden summa on mustana. Lukemat kertovat etäisyydet $s_1$ ja $s_2$, matkaeron $\Delta s$, suhteen $\tfrac{\Delta s}{\lambda}$ ja amplitudin $A_\text{P}$ pisteessä P. Näytä solmuviivat piirtää viivat, joilla vesi pysyy levossa. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia. Liike on hidastettu.
Mallin oletukset
Lähteet ovat pistemäisiä. Ne värähtelevät samassa vaiheessa ja samalla taajuudella. Kumpikin lähettää ympyränmuotoisen siniaallon, jonka amplitudi on $1{,}0\,\text{mm}$. Mallissa ei oteta huomioon sitä, että amplitudi pienenee etäisyyden kasvaessa. Heijastuksia altaan reunoista ja vaimenemista ei myöskään oteta huomioon. Aallon nopeus on $20\,\text{cm/s}$. Kaikki luvut ovat mallin arvoja, eivät mitattuja.
Laskennan selitys
Lähteet ovat kohdissa $(-\tfrac{d}{2}, 0)$ ja $(\tfrac{d}{2}, 0)$. Piste P on kohdassa $(x, L)$. Siksi $s_1 = \sqrt{(x + \tfrac{d}{2})^2 + L^2}$ ja $s_2 = \sqrt{(x - \tfrac{d}{2})^2 + L^2}$. Taajuus on $f = \tfrac{v}{\lambda}$. Kummankin aallon poikkeama on $y_i = A \sin\left(2\pi\left(f t - \tfrac{s_i}{\lambda}\right)\right)$. Veden poikkeama on superpositio $y = y_1 + y_2$. Amplitudi $A_\text{P}$ on summan $|y_1 + y_2|$ suurin arvo yhden jakson aikana. Se lasketaan $360$ hetkestä. Kuvan värit lasketaan samasta summasta altaan jokaisessa kohdassa.
Koe 1: kävele mittauslinjaa pitkin
Testaa ennuste 2. Lähteiden väli on $6{,}0\,\text{cm}$ ja aallonpituus on $2{,}0\,\text{cm}$. Ne pysyvät vakioina. Siirrä pistettä P keskeltä oikealle. Kirjaa mittaus ainakin kohdissa $x = 0$, $1{,}4\,\text{cm}$, $3{,}0\,\text{cm}$, $4{,}9\,\text{cm}$ ja $7{,}4\,\text{cm}$. Millä matkaeroilla amplitudi on suurin ja millä lähes nolla?
Alkutila: lähteiden väli $d$ = $6\,\text{cm}$, aallonpituus $\lambda$ = $2\,\text{cm}$, pisteen P paikka $x$ = $0\,\text{cm}$. Vakiona: lähteiden väli $d$, aallonpituus $\lambda$. Muutetaan: pisteen P paikka $x$.
| pisteen P paikka $x$ | $\Delta s$ $(\text{cm})$ | $\Delta s/\lambda$ | $A_\text{P}$ $(\text{mm})$ |
|---|
Koe 2: sama piste, eri aallonpituus
Piste P on nyt kohdassa $x = 3{,}0\,\text{cm}$ suoraan lähteen $S_2$ edessä. Siksi $s_1 = 10{,}0\,\text{cm}$ ja $s_2 = 8{,}0\,\text{cm}$, ja matkaero $2{,}0\,\text{cm}$ pysyy vakiona. Muuta vain aallonpituutta. Kirjaa mittaus ainakin arvoilla $1{,}0\,\text{cm}$, $2{,}0\,\text{cm}$ ja $4{,}0\,\text{cm}$. Lähteiden taajuus muuttuu samalla, koska $f = \tfrac{v}{\lambda}$.
Alkutila: lähteiden väli $d$ = $6\,\text{cm}$, aallonpituus $\lambda$ = $2\,\text{cm}$, pisteen P paikka $x$ = $3\,\text{cm}$. Vakiona: lähteiden väli $d$, pisteen P paikka $x$. Muutetaan: aallonpituus $\lambda$.
| aallonpituus $\lambda$ | $\Delta s/\lambda$ | $A_\text{P}$ $(\text{mm})$ | $f$ $(\text{Hz})$ |
|---|
Johtopäätös: milloin aallot vahvistavat toisiaan
Kirjoita taulukoidesi perusteella: millä suhteen $\tfrac{\Delta s}{\lambda}$ arvoilla amplitudi pisteessä P oli suurin ja millä lähes nolla? Selitä, miksi juuri nämä matkaerot vahvistavat tai heikentävät. Selitä myös, miksi sama piste voi olla toisella aallonpituudella hiljainen.
Mallivastaus
Kokeessa 1 amplitudi oli suurin, $2{,}0\,\text{mm}$, kun matkaero oli $0$, $2{,}0\,\text{cm}$ tai $4{,}0\,\text{cm}$. Silloin $\tfrac{\Delta s}{\lambda}$ oli $0$, $1$ tai $2$. Lähes nolla, noin $0{,}1\,\text{mm}$, amplitudi oli matkaeroilla $0{,}97\,\text{cm}$ ja $3{,}02\,\text{cm}$. Niillä suhde on noin $0{,}5$ ja $1{,}5$. Lähteet lähettävät harjan samalla hetkellä. Kokonaisen aallonpituuden pidempi matka tuo aallon perille samassa vaiheessa, ja harja kohtaa harjan. Puolen aallonpituuden lisämatka tuo aallon perille puoli jaksoa myöhässä. Silloin harja kohtaa pohjan, ja poikkeamat kumoavat toisensa. Kokeessa 2 matkaero oli koko ajan $2{,}0\,\text{cm}$. Aallonpituudella $4{,}0\,\text{cm}$ suhde oli $0{,}5$ ja amplitudi $0\,\text{mm}$. Aallonpituuksilla $1{,}0\,\text{cm}$ ja $2{,}0\,\text{cm}$ amplitudi oli $2{,}0\,\text{mm}$. Luvut ovat simulaation arvoja.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Superpositioperiaate
Kaksi aaltoa voi kulkea samassa aineessa. Aineesta käytetään nimeä väliaine. Aallot voivat olla samassa kohdassa samaan aikaan. Silloin väliaineen poikkeama on kummankin aallon oman poikkeaman summa. Tämä on superpositioperiaate:
$$y = y_1 + y_2$$
missä $y$ on väliaineen poikkeama tasapainoasemasta. Poikkeama on matka, jonka väliaine on siirtynyt tasapainoasemastaan. Symboli $y_1$ on ensimmäisen aallon poikkeama ja $y_2$ toisen aallon poikkeama samassa kohdassa samalla hetkellä. Poikkeamat lasketaan yhteen etumerkkeineen. Ylöspäin oleva poikkeama on positiivinen ja alaspäin oleva negatiivinen.
Superpositio näkyy selvimmin narussa. Narun molemmista päistä lähetetään kohti toisiaan kaksi pulssia. Pulssit ovat yhtä suuret ja samanmuotoiset. Jos pulssit ovat samalla puolella narua, ne ovat hetken päällekkäin. Silloin naru poikkeaa kaksi kertaa niin paljon kuin yhden pulssin takia. Jos pulssit ovat eri puolilla narua, ne kumoavat toisensa. Silloin naru on hetken suora. Kohtaamisen jälkeen pulssit jatkavat muuttumattomina omiin suuntiinsa. Ne kulkevat toistensa läpi eivätkä törmää.
Aaltojen yhteisvaikutusta samassa kohdassa sanotaan interferenssiksi. Joskus aallot vahvistavat toisiaan, ja summa-aallon poikkeama kasvaa. Silloin interferenssi on vahvistava. Joskus aallot heikentävät toisiaan. Silloin interferenssi on heikentävä. Luvussa Aaltojen synty ja eteneminen aallon poikkeama muuttui paikan ja ajan mukaan. Superpositioperiaate pätee jokaisessa kohdassa ja jokaisella hetkellä erikseen.
Kaksi samassa vaiheessa olevaa lähdettä
Aaltoallas on matala vesiallas, jossa tutkitaan vesiaaltoja. Altaassa kaksi pientä nuppia voi olla kiinni samassa täryttimessä. Tärytin liikuttaa nuppeja ylös ja alas samassa tahdissa. Silloin lähteillä on sama taajuus, ja ne ovat samassa vaiheessa. Kumpikin lähettää aallonharjan samalla hetkellä. Kummastakin lähteestä leviää ympyränmuotoinen aalto, kuten raon jälkeen luvussa Aalto kohtaa esteen tai raon. Kaksi kaiutinta toimii samoin ääniaalloille, kun ne on kytketty samaan äänigeneraattoriin.
Aallot kohtaavat altaan jokaisessa kohdassa. Joissakin kohdissa harja kohtaa aina harjan ja pohja pohjan. Siellä vesi värähtelee voimakkaasti. Toisissa kohdissa harja kohtaa aina pohjan. Siellä vesi pysyy lähes levossa. Vesi on levossa kokonaisina viivoina, joita sanotaan solmuviivoiksi. Solmuviivojen välissä ovat vahvistavan interferenssin viivat. Kuvio pysyy paikallaan, vaikka aallot etenevät koko ajan. Syy on se, että lähteiden taajuus on sama ja niiden välinen vaihe ei muutu. Jos taajuudet olisivat hieman eri suuret, vahvistavat ja heikentävät kohdat vaeltaisivat.
Vahvistavan ja heikentävän interferenssin ehto
Pisteessä P interferenssi on vahvistava tai heikentävä. Sen ratkaisee, kuinka paljon pidemmän matkan toinen aalto on kulkenut. Matkaero on lähteiden etäisyyksien erotus pisteestä P:
$$\Delta s = |s_1 - s_2|$$
missä $\Delta s$ on matkaero ($\text{m}$), $s_1$ on lähteen $S_1$ etäisyys pisteestä P ($\text{m}$) ja $s_2$ on lähteen $S_2$ etäisyys pisteestä P ($\text{m}$).
Lähteet lähettävät harjan samalla hetkellä. Kauempaa tuleva aalto on siksi pisteessä P jäljessä matkaeron verran. Oletetaan, että matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia. Silloin aallot saapuvat samassa vaiheessa eli harja harjan kanssa, ja interferenssi on vahvistava:
$$\Delta s = n\lambda, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$
missä $\lambda$ on aallonpituus ($\text{m}$) ja $n$ on kokonaisluku. Summa-aallon amplitudi on silloin aaltojen amplitudien summa. Jos amplitudit ovat yhtä suuret, se on $2A$. Oletetaan sitten, että matkaero on puolikkaan verran yli kokonaisen määrän aallonpituuksia. Silloin harja kohtaa pohjan, ja interferenssi on heikentävä:
$$\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$
Summa-aallon amplitudi on silloin amplitudien erotus. Yhtä suuret amplitudit kumoavat toisensa, ja piste pysyy levossa.
Kuvion viivat
Jokaista lukua $n = 1, 2, \ldots$ vastaa kuviossa yksi viiva keskinormaalin kummallakin puolella. Keskinormaali on suora, jonka jokainen piste on yhtä kaukana molemmista lähteistä. Vahvistavassa tapauksessa luku $n = 0$ vastaa keskinormaalia itseään. Heikentävässä tapauksessa se vastaa kahta solmuviivaa, jotka ovat lähimpänä keskinormaalia. Keskinormaalilla matkaero on nolla. Siellä interferenssi on vahvistava kaikilla taajuuksilla. Matkaero ei voi olla suurempi kuin lähteiden välinen etäisyys $d$, koska kolmion yksi sivu on lyhyempi kuin kahden muun sivun summa. Siksi viivoja on vain rajallinen määrä. Kun aallonpituus pienenee eli taajuus kasvaa, ehdot täyttyvät pienemmillä matkaeroilla. Silloin viivat tihenevät.
Ratkaisevaa on siis matkaeron ja aallonpituuden suhde $\tfrac{\Delta s}{\lambda}$. Matkaero yksin ei ratkaise. Sama piste voi olla yhdellä taajuudella hiljainen ja toisella taajuudella voimakkaan äänen kohta. Heikentävä interferenssi ei hävitä energiaa. Solmuviivoille siirtyy vähemmän energiaa ja vahvistavan interferenssin kohtiin vastaavasti enemmän.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kohtaavat aallot törmäävät toisiinsa. Niiden luullaan kimpoavan takaisin tai tuhoavan toisensa. Aallot kuitenkin kulkevat toistensa läpi. Kohtaamisen aikana poikkeamat lasketaan yhteen. Sen jälkeen kumpikin aalto jatkaa muuttumattomana. Kun vastakkaiset pulssit kumoavat toisensa, naru on hetken suora. Naru kuitenkin liikkuu, ja pulssit ilmestyvät uudelleen.
Toinen yleinen virhe on pitää matkaeroa $\Delta s = \lambda$ heikentävänä. Syynä on ajatus, että toinen aalto on kulkenut "pidemmän matkan". Kokonaisen aallonpituuden jälkeen aalto on kuitenkin taas samassa vaiheessa. Siksi interferenssi on vahvistava. Heikentävä interferenssi vaatii puolikkaan aallonpituuden lisäyksen: $\tfrac{1}{2}\lambda$, $\tfrac{3}{2}\lambda$, $\tfrac{5}{2}\lambda$ ja niin edelleen.
Tiivistelmä
- Superpositioperiaate: samassa kohdassa olevien aaltojen poikkeamat lasketaan yhteen etumerkkeineen, $y = y_1 + y_2$. Aallot kulkevat toistensa läpi ja jatkavat muuttumattomina.
- Interferenssi on aaltojen yhteisvaikutus. Vahvistavassa interferenssissä harja kohtaa harjan. Heikentävässä interferenssissä harja kohtaa pohjan.
- Kahden lähteen aalloilla matkaero $\Delta s = |s_1 - s_2|$ ratkaisee. Lähteet ovat samassa vaiheessa ja niillä on sama taajuus. Matkaero $\Delta s = n\lambda$ antaa vahvistavan interferenssin ja $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$ heikentävän interferenssin.
- Solmuviivoilla väliaine pysyy lähes levossa. Lähteiden keskinormaalilla interferenssi on aina vahvistava. Pienempi aallonpituus tihentää viivoja.
- Valinnainen: Fourier-muunnos jakaa signaalin siniaaltoihin. Spektri näyttää, mitä taajuuksia signaalissa on.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja taulukoihisi. Palaa sitten alun kysymykseen. Miksi kahden kaiuttimen edessä on hiljaisia kohtia? Miksi ääni voimistuu, kun toinen kaiutin peitetään?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Valinnainen Valinnainen: signaali siniaaltojen summana
Fourier-analyysi
Superpositioperiaate toimii myös toiseen suuntaan. Jokaisen jaksollisen signaalin voi esittää siniaaltojen summana. Jaksollinen signaali toistuu samanlaisena yhä uudelleen. Esimerkiksi soittimen ääni on jaksollinen. Siniaaltojen taajuudet ovat signaalin perustaajuuden monikertoja. Niiden amplitudit kertovat, kuinka voimakkaita siniaallot ovat. Fourier-muunnos on laskentamenetelmä, joka etsii signaalista nämä taajuudet ja amplitudit. Tulos esitetään spektrinä. Vaaka-akselilla on taajuus ja pystyakselilla kunkin taajuuden amplitudi.
Kuvan yläosassa on kolme siniaaltoa. Niiden taajuudet ovat $220\,\text{Hz}$, $660\,\text{Hz}$ ja $1100\,\text{Hz}$. Niiden summa on lähes kanttiaalto. Spektri näyttää vain nämä kolme taajuutta. Fourier-muunnoksesta on hyötyä äänen tutkimisessa. Spektristä näkee, miksi samaa säveltä soittava piano ja viulu kuulostavat erilaisilta. Melusta näkee, mitkä taajuudet sitä hallitsevat. Mittausohjelmat laskevat spektrin nopealla Fourier-muunnoksella (FFT). Sitä käytetään luvussa Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö.
Valinnainen Valinnainen: lue spektri
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kaksi kaiutinta on kytketty samaan äänigeneraattoriin. Ne soittavat samassa vaiheessa samaa ääntä, jonka taajuus on $680\,\text{Hz}$. Äänen nopeus ilmassa on $340\,\text{m/s}$. Kuulija on $4{,}25\,\text{m}$:n päässä toisesta kaiuttimesta ja $3{,}00\,\text{m}$:n päässä toisesta. Kuuleeko hän voimakkaan vai heikon äänen?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Taajuus on $f = 680\,\text{Hz}$ ja äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$. Etäisyydet ovat $s_1 = 4{,}25\,\text{m}$ ja $s_2 = 3{,}00\,\text{m}$. Kysytään, onko interferenssi kuulijan kohdalla vahvistava vai heikentävä.
Vaihe 2/7
Periaate. Kaiuttimet ovat samassa vaiheessa ja soittavat samaa taajuutta. Siksi interferenssin laadun ratkaisee matkaeron ja aallonpituuden suhde. Aallonpituus saadaan aallon nopeudesta ja taajuudesta, $v = f\lambda$ (luku Aaltojen synty ja eteneminen).
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \lambda &= \frac{v}{f} \\ \Delta s &= s_1 - s_2 \\ \frac{\Delta s}{\lambda} &= \frac{s_1 - s_2}{\lambda} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Niitä ei tarvita. Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$, taajuus on hertseinä ja etäisyydet ovat metreinä. Siksi aallonpituus ja matkaero saadaan metreinä, ja niiden suhteella ei ole yksikköä.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} \lambda &= \frac{v}{f} \\ &= \frac{340\,\text{m/s}}{680\,\text{Hz}} = 0{,}500\,\text{m} \\ \Delta s &= s_1 - s_2 \\ &= 4{,}25\,\text{m} - 3{,}00\,\text{m} = 1{,}25\,\text{m} \\ \frac{\Delta s}{\lambda} &= \frac{1{,}25\,\text{m}}{0{,}500\,\text{m}} = 2{,}5 \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Matkaero on $2{,}5$ aallonpituutta eli $\left(2 + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Aallot saapuvat siis vastakkaisessa vaiheessa, ja interferenssi on heikentävä. Kuulija kuulee heikon äänen. Matkaero $1{,}25\,\text{m}$ on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella kuten etäisyydet. Siksi suhde $2{,}5$ on selvästi puolikas eikä kokonaisluku.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Aallonpituus on $0{,}500\,\text{m}$. Vahvistavan interferenssin matkaerot ovat siis $1{,}00\,\text{m}$ ja $1{,}50\,\text{m}$. Matkaero $1{,}25\,\text{m}$ on täsmälleen niiden puolivälissä. Siellä heikentävän interferenssin kuuluukin olla. Ääni ei käytännössä katoa kokonaan. Kauempaa tuleva ääni on hieman heikompi, ja ääntä heijastuu myös seinistä ja maasta.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Kaksi samassa vaiheessa olevaa kaiutinta soittaa samaa ääntä. Mikrofonia siirretään kaiuttimien keskinormaalilta sivulle. Ensimmäinen hiljainen kohta löytyy, kun mikrofoni on $5{,}17\,\text{m}$:n päässä toisesta ja $5{,}00\,\text{m}$:n päässä toisesta kaiuttimesta. Äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.
Mikä on äänen taajuus? Vastaa hertseinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Keskinormaalilla matkaero on nolla ja ääni on voimakas. Mikä matkaero vastaa ensimmäistä hiljaista kohtaa sen vieressä?
Vihje 2: mikä yhteys
Ensimmäinen heikentävä kohta on $n = 0$: $\Delta s = \tfrac{1}{2}\lambda$, joten $\lambda = 2\Delta s$. Taajuus saadaan sitten yhtälöstä $v = f\lambda$.
Vihje 3: välivaihe
$\lambda = 0{,}34\,\text{m}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
etäisyydet kaiuttimista $s_1 = 5{,}17\,\text{m}$ ja $s_2 = 5{,}00\,\text{m}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$. Kohta on ensimmäinen hiljainen kohta keskinormaalin vieressä.
Kysytty
äänen taajuus $f$ hertseinä
Periaate
Kaiuttimet ovat samassa vaiheessa ja soittavat samaa taajuutta. Keskinormaalilla matkaero on nolla ja interferenssi on vahvistava. Siksi ensimmäinen hiljainen kohta sen vieressä on heikentävä interferenssi luvulla $n = 0$. Matkaero on puoli aallonpituutta. Aallonpituudesta saadaan taajuus yhtälöllä $v = f\lambda$.
Kaava
josta $\lambda = 2(s_1 - s_2)$. Lisäksi $v = f\lambda$, josta
$$f = \frac{v}{2(s_1 - s_2)}$$
Muunnokset
Ei tarvita. Etäisyydet ovat metreinä ja nopeus on yksikössä $\text{m/s}$. Siksi taajuus saadaan yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}} = \text{Hz}$.
Sijoitus
Vastaus
$1000\,\text{Hz}$
Eli $1{,}0\,\text{kHz}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska matkaero $0{,}17\,\text{m}$ on kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Tarkista toiseen suuntaan. Taajuudella $1000\,\text{Hz}$ aallonpituus on $\tfrac{340\,\text{m/s}}{1000\,\text{Hz}} = 0{,}34\,\text{m}$. Sen puolikas on $0{,}17\,\text{m}$, kuten mitattu matkaero. Kilohertsin ääni on tavallinen ja selvästi kuuluva. Suuruusluokka sopii.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Kirjoita vahvistavan ja heikentävän interferenssin ehdot kahdelle lähteelle, jotka ovat samassa vaiheessa ja joilla on sama taajuus. Mitä symbolit tarkoittavat?
Vastaus
Vahvistava: $\Delta s = n\lambda$. Heikentävä: $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Tässä $n = 0, 1, 2, \ldots$ Matkaero $\Delta s = |s_1 - s_2|$ on lähteiden etäisyyksien erotus tarkastelupisteestä. Symboli $\lambda$ on aallonpituus.
- Kaksi kaiutinta soittaa samaa ääntä samassa vaiheessa. Keskinormaali on suora, jonka jokainen piste on yhtä kaukana molemmista kaiuttimista. Miksi ääni on keskinormaalilla voimakas kaikilla taajuuksilla?
Vastaus
Keskinormaalin jokainen piste on yhtä kaukana molemmista kaiuttimista. Siksi matkaero on $\Delta s = 0 = 0 \cdot \lambda$. Aallot saapuvat aina samassa vaiheessa. Ehto $\Delta s = n\lambda$ täyttyy luvulla $n = 0$ aallonpituudesta riippumatta.
1. Käsite
2. Amplitudi pisteessä
Aaltoaltaan kahden samassa vaiheessa olevan lähteen taajuus on $10\,\text{Hz}$. Aallon nopeus on $20\,\text{cm/s}$. Pisteeseen Q on lähteestä $S_1$ matkaa $13{,}0\,\text{cm}$ ja lähteestä $S_2$ matkaa $9{,}0\,\text{cm}$. Kummankin aallon amplitudi pisteessä Q on $2{,}0\,\text{mm}$.
Mikä on veden värähtelyn amplitudi pisteessä Q? Vastaa millimetreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin aallonpituus yhtälöstä $v = f\lambda$.
Vihje 2: mikä yhteys
Vertaa matkaeroa $\Delta s = s_1 - s_2$ aallonpituuteen. Onko suhde kokonaisluku vai puolikas?
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 10\,\text{Hz}$, aallon nopeus $v = 20\,\text{cm/s}$, etäisyydet $s_1 = 13{,}0\,\text{cm}$ ja $s_2 = 9{,}0\,\text{cm}$, kummankin aallon amplitudi $A = 2{,}0\,\text{mm}$
Kysytty
veden värähtelyn amplitudi $A_\text{Q}$ pisteessä Q millimetreinä
Periaate
Lähteet ovat samassa vaiheessa ja niillä on sama taajuus. Siksi interferenssin laadun ratkaisee matkaeron ja aallonpituuden suhde. Jos suhde on kokonaisluku, aallot saapuvat samassa vaiheessa. Silloin amplitudit lasketaan yhteen superpositioperiaatteen mukaan.
Kaava
$\lambda = \dfrac{v}{f}$ ja $\Delta s = s_1 - s_2$. Kun $\tfrac{\Delta s}{\lambda}$ on kokonaisluku,
$$A_\text{Q} = A + A = 2A$$
Muunnokset
Ei tarvita. Nopeus ja etäisyydet ovat senttimetreinä, joten aallonpituus saadaan senttimetreinä. Amplitudi pysyy millimetreinä.
Sijoitus
Interferenssi on siis vahvistava, ja
Vastaus
$4{,}0\,\text{mm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten amplitudissa $2{,}0\,\text{mm}$.
Järkevyys
Amplitudi ei voi olla suurempi kuin aaltojen amplitudien summa $4{,}0\,\text{mm}$. Vahvistavassa interferenssissä se on juuri tämä. Jos matkaero olisi ollut $3{,}0\,\text{cm}$ eli $1{,}5\lambda$, amplitudi olisi ollut nolla.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä kaiuttimien hiljaiset kohdat
Palaa koulun pihan kaiuttimiin. Selitä superpositioperiaatteen ja matkaeron avulla, miksi ääni on kävellessä välillä voimakas ja välillä heikko. Selitä, miksi ääni voimistuu hiljaisessa kohdassa, kun toinen kaiutin peitetään. Selitä myös, mitä hiljaisille kohdille tapahtuu, jos äänen taajuutta nostetaan.
Mallivastaus
Kumpikin kaiutin lähettää samaa ääntä samassa vaiheessa. Kuulijan kohdalla ilman paineenvaihtelu on kahden ääniaallon summa. Kun etäisyyksien erotus on kokonainen määrä aallonpituuksia, $\Delta s = n\lambda$, aallot saapuvat samassa vaiheessa ja vahvistavat toisiaan. Kun erotus on $\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$, toisen aallon tihentymä saapuu yhtä aikaa toisen aallon harventuman kanssa. Aallot heikentävät toisiaan, ja ääni on hiljainen. Kun kuulija kävelee, matkaero muuttuu. Siksi voimakkaat ja hiljaiset kohdat vuorottelevat. Kun toinen kaiutin peitetään, kumoavaa aaltoa ei ole. Kuulija kuulee yhden kaiuttimen äänen, ja se on voimakkaampi kuin kahden lähes kumoutunut summa. Kun taajuutta nostetaan, aallonpituus $\lambda = \tfrac{v}{f}$ pienenee. Silloin ehdot täyttyvät pienemmillä matkaeroilla, ja hiljaiset kohdat siirtyvät lähemmäs toisiaan.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Interferenssi
- Kahden tai useamman aallon yhteisvaikutus niiden kohdatessa.
- Vahvistava interferenssi
- Samassa vaiheessa kohtaavien aaltojen poikkeamat ovat samansuuntaiset, joten summa-aallon amplitudi kasvaa.
- Heikentävä interferenssi
- Vastakkaisissa vaiheissa kohtaavien aaltojen poikkeamat ovat vastakkaissuuntaiset, joten summa-aallon amplitudi pienenee.
- Spektri
- Esitys siitä, mitä taajuuksia värähtely tai aaltoliike sisältää ja kuinka voimakkaita ne ovat.
- Ääni
- Mekaanista aaltoliikettä, joka etenee kaasussa, nesteessä tai kiinteässä aineessa mutta ei tyhjiössä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 12-1Ydintehtävä
Narussa kulkee kaksi pulssia toisiaan kohti. Kumpikin nostaa narun ylös. Toinen nostaa sen enimmillään $2{,}5\,\text{cm}$ ja toinen $1{,}5\,\text{cm}$.
Kuinka suuri on narun suurin poikkeama sillä hetkellä, kun pulssien huiput ovat kohdakkain?
Vastaus
$4{,}0\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pulssien suurimmat poikkeamat $y_1 = 2{,}5\,\text{cm}$ ja $y_2 = 1{,}5\,\text{cm}$, kumpikin ylöspäin
Kysytty
narun suurin poikkeama $y$ senttimetreinä, kun huiput ovat kohdakkain
Periaate
Superpositioperiaatteen mukaan narun poikkeama on samassa kohdassa olevien pulssien poikkeamien summa. Kun huiput ovat kohdakkain, kummankin pulssin suurin poikkeama on samassa kohdassa. Molemmat ovat ylöspäin, joten ne vahvistavat toisiaan.
Kaava
$y = y_1 + y_2$
Muunnokset
Ei tarvita. Molemmat poikkeamat ovat senttimetreinä.
Sijoitus
$y$$= 2{,}5\,\text{cm} + 1{,}5\,\text{cm}$$= 4{,}0\,\text{cm}$Vastaus
$4{,}0\,\text{cm}$
Ylöspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten poikkeamissa $2{,}5\,\text{cm}$ ja $1{,}5\,\text{cm}$.
Järkevyys
Samalla puolella olevat pulssit vahvistavat toisiaan. Tuloksen pitää siis olla suurempi kuin isomman pulssin poikkeama $2{,}5\,\text{cm}$ yksin. Tulos $4{,}0\,\text{cm}$ on suurempi. Kohtaamisen jälkeen pulssit jatkavat taas omina $2{,}5\,\text{cm}$:n ja $1{,}5\,\text{cm}$:n pulsseina.
- Tehtävä 12-2Ydintehtävä
Narussa kohtaa kaksi pulssia. Toinen nostaa narun enimmillään $3{,}0\,\text{cm}$ ylöspäin. Toinen painaa sen $1{,}2\,\text{cm}$ alaspäin.
Mikä on narun poikkeama siinä kohdassa, jossa pulssien keskikohdat ovat päällekkäin? Ylöspäin on positiivinen suunta. Anna vastaus etumerkkeineen senttimetreinä.
Vastaus
$1{,}8\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pulssien suurimmat poikkeamat $y_1 = +3{,}0\,\text{cm}$ (ylöspäin) ja $y_2 = -1{,}2\,\text{cm}$ (alaspäin), ylöspäin on positiivinen
Kysytty
narun poikkeama $y$ etumerkkeineen senttimetreinä kohdassa, jossa pulssien keskikohdat ovat päällekkäin
Periaate
Superpositioperiaatteen mukaan poikkeamat lasketaan yhteen etumerkkeineen. Eri puolilla olevat pulssit heikentävät toisiaan. Siksi summa on pienempi kuin suuremman pulssin poikkeama.
Kaava
$y = y_1 + y_2$
Muunnokset
Ei tarvita. Poikkeamat ovat senttimetreinä.
Sijoitus
$y$$= 3{,}0\,\text{cm} + (-1{,}2\,\text{cm})$$= 1{,}8\,\text{cm}$Vastaus
$1{,}8\,\text{cm}$
Eli ylöspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska poikkeamat on annettu millimetrin tarkkuudella.
Järkevyys
Tulos on suuremman ja pienemmän pulssin erotus. Se on positiivinen, koska ylöspäin poikkeava pulssi on suurempi. Jos pulssit olisivat yhtä suuret, poikkeama olisi nolla ja naru olisi hetken suora.
- Tehtävä 12-3
Kaksi kaiutinta on samassa vaiheessa. Ne soittavat ääntä, jonka aallonpituus on $0{,}60\,\text{m}$. Neljässä kuuntelupisteessä matkaero on a) $0{,}60\,\text{m}$, b) $0{,}90\,\text{m}$, c) $1{,}20\,\text{m}$ ja d) $1{,}50\,\text{m}$.
Onko interferenssi kussakin pisteessä vahvistava vai heikentävä? Perustele.
Vastaus
a) vahvistava; b) heikentävä; c) vahvistava; d) heikentävä
Näytä ratkaisu
Kysytty
onko interferenssi kussakin neljässä pisteessä vahvistava vai heikentävä, kun $\lambda = 0{,}60\,\text{m}$
Periaate
Kaksi lähdettä on samassa vaiheessa ja niillä on sama taajuus. Silloin interferenssi on vahvistava, kun matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia, $\Delta s = n\lambda$. Interferenssi on heikentävä, kun matkaero on puolikkaan yli kokonaisen määrän, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Siksi jokainen matkaero jaetaan aallonpituudella.
Mallivastaus
a) $\tfrac{0{,}60\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 1$ on kokonaisluku, joten interferenssi on vahvistava. b) $\tfrac{0{,}90\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 1{,}5 = 1 + \tfrac{1}{2}$, joten interferenssi on heikentävä. c) $\tfrac{1{,}20\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 2$, joten interferenssi on vahvistava. d) $\tfrac{1{,}50\,\text{m}}{0{,}60\,\text{m}} = 2{,}5 = 2 + \tfrac{1}{2}$, joten interferenssi on heikentävä. Vahvistavissa pisteissä kauempaa tuleva aalto on jäljessä kokonaisen määrän jaksoja. Se saapuu harja harjan kanssa. Heikentävissä pisteissä se on vielä puoli jaksoa enemmän jäljessä, ja harja saapuu pohjan kanssa. Matkaeron suuruus ei yksin ratkaise. Suurempi matkaero c) on vahvistava, vaikka pienempi matkaero b) on heikentävä.
- Tehtävä 12-4
Kaksi kaiutinta on samassa vaiheessa. Ne soittavat ääntä, jonka aallonpituus on $0{,}68\,\text{m}$. Mikä on pienin matkaero, jolla ääni on kuuntelupisteessä heikko? Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$0{,}34\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 0{,}68\,\text{m}$, kaiuttimet samassa vaiheessa
Kysytty
pienin matkaero $\Delta s$ metreinä, jolla interferenssi on heikentävä
Periaate
Heikentävän interferenssin ehto on $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Pienin matkaero saadaan pienimmällä kokonaisluvulla $n = 0$. Silloin kauempaa tuleva aalto on puoli jaksoa jäljessä, ja harja saapuu pohjan kanssa.
Kaava
$\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Kun $n = 0$, saadaan $\Delta s = \dfrac{\lambda}{2}$.
Muunnokset
Ei tarvita. Aallonpituus on metreinä.
Sijoitus
$\Delta s$$= \dfrac{0{,}68\,\text{m}}{2}$$= 0{,}34\,\text{m}$Vastaus
$0{,}34\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $0{,}68\,\text{m}$.
Järkevyys
Seuraavat heikentävät matkaerot ovat $\tfrac{3}{2}\lambda = 1{,}02\,\text{m}$ ja $\tfrac{5}{2}\lambda = 1{,}70\,\text{m}$. Tulos $0{,}34\,\text{m}$ on niistä pienin. Matkaero nolla antaisi vahvistavan interferenssin. Pienimmän heikentävän matkaeron täytyy siis olla nollaa suurempi.
- Tehtävä 12-5
Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa vaiheessa. Aallonpituus on $1{,}5\,\text{cm}$. Keskinormaalilla on vahvistavan interferenssin viiva $n = 0$. Sen kummallakin puolella seuraavat viivat ovat $n = 1$ ja $n = 2$.
Kuinka suuri on matkaero viivalla $n = 2$? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$3{,}0\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 1{,}5\,\text{cm}$, vahvistavan interferenssin viiva $n = 2$
Kysytty
matkaero $\Delta s$ senttimetreinä viivalla $n = 2$
Periaate
Lähteet ovat samassa vaiheessa. Siksi vahvistavan interferenssin viivoilla matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia, $\Delta s = n\lambda$. Viivalla $n = 2$ toinen aalto on kulkenut kaksi aallonpituutta pidemmän matkan.
Kaava
$\Delta s = n\lambda$
Muunnokset
Ei tarvita. Aallonpituus on senttimetreinä.
Sijoitus
$\Delta s$$= 2 \cdot 1{,}5\,\text{cm}$$= 3{,}0\,\text{cm}$Vastaus
$3{,}0\,\text{cm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $1{,}5\,\text{cm}$.
Järkevyys
Viivalla $n = 0$ matkaero on $0$ ja viivalla $n = 1$ se on $1{,}5\,\text{cm}$. Jokainen seuraava viiva lisää yhden aallonpituuden. Siksi arvo $3{,}0\,\text{cm}$ viivalla $n = 2$ sopii sarjaan.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 12-6Ydintehtävä
Kaksi samassa vaiheessa olevaa kaiutinta A ja B on $1{,}20\,\text{m}$:n päässä toisistaan.
Kuulija seisoo $1{,}60\,\text{m}$:n päässä kaiuttimesta B suoraan sen edessä. Kuulijan ja kaiuttimen B välinen suora on kohtisuorassa kaiuttimien väliseen suoraan nähden.
Mikä on suurin aallonpituus, jolla kuulijan kohdalla on hiljaista? Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiuttimien väli $d = 1{,}20\,\text{m}$, kuulijan etäisyys kaiuttimesta B $s_\text{B} = 1{,}60\,\text{m}$ kohtisuoraan kaiuttimien suoraa vastaan, kaiuttimet samassa vaiheessa
Kysytty
suurin aallonpituus $\lambda$ metreinä, jolla kuulijan kohdalla on hiljaista
Periaate
Kuulija, kaiutin B ja kaiutin A muodostavat suorakulmaisen kolmion. Suora kulma on kaiuttimen B kohdalla. Siksi etäisyys kaiuttimesta A saadaan Pythagoraan lauseella. Hiljaista on heikentävässä interferenssissä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Ratkaistuna $\lambda = \tfrac{\Delta s}{n + 1/2}$. Aallonpituus on suurin, kun $n = 0$.
Kaava
$s_\text{A} = \sqrt{d^2 + s_\text{B}^2}$, $\Delta s = s_\text{A} - s_\text{B}$ ja $\Delta s = \tfrac{1}{2}\lambda$, josta $\lambda = 2\left(\sqrt{d^2 + s_\text{B}^2} - s_\text{B}\right)$
Muunnokset
Ei tarvita. Kaikki etäisyydet ovat metreinä.
Sijoitus
$s_\text{A}$$= \sqrt{(1{,}20\,\text{m})^2 + (1{,}60\,\text{m})^2}$$= \sqrt{4{,}00\,\text{m}^2}$$= 2{,}00\,\text{m}$$\lambda$$= 2 \cdot (2{,}00\,\text{m} - 1{,}60\,\text{m})$$= 2 \cdot 0{,}40\,\text{m}$$= 0{,}80\,\text{m}$Vastaus
$0{,}80\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska matkaero $0{,}40\,\text{m}$ on etäisyyksien erotus sentin tarkkuudella.
Järkevyys
Tarkistus: aallonpituudella $0{,}80\,\text{m}$ matkaero $0{,}40\,\text{m}$ on täsmälleen puoli aallonpituutta, joten harja kohtaa pohjan. Suuremmalla aallonpituudella matkaero olisi alle puolikkaan, eikä heikentävää interferenssiä syntyisi. Aallonpituus vastaa noin $\tfrac{340\,\text{m/s}}{0{,}80\,\text{m}} \approx 430\,\text{Hz}$:n ääntä. Se on tavallinen ääni kuuloalueella.
- Tehtävä 12-7Ydintehtävä
Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa vaiheessa taajuudella $15\,\text{Hz}$. Aallot etenevät nopeudella $0{,}30\,\text{m/s}$. Piste Q on keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla. Se on $9{,}0\,\text{cm}$:n päässä lähteestä $S_2$, joka on lähempänä.
Kuinka kaukana piste Q on lähteestä $S_1$? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$10{,}0\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 15\,\text{Hz}$, aallon nopeus $v = 0{,}30\,\text{m/s}$, pisteen Q etäisyys lähempänä olevasta lähteestä $s_2 = 9{,}0\,\text{cm}$. Piste Q on keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla.
Kysytty
pisteen Q etäisyys $s_1$ lähteestä $S_1$ senttimetreinä
Periaate
Aallonpituus saadaan yhtälöstä $v = f\lambda$. Solmuviivalla interferenssi on heikentävä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Keskinormaalia lähin solmuviiva on $n = 0$. Piste Q on lähempänä lähdettä $S_2$. Siksi etäisyys lähteestä $S_1$ on puoli aallonpituutta suurempi.
Kaava
$\lambda = \dfrac{v}{f}$ ja $s_1 - s_2 = \dfrac{\lambda}{2}$, josta $s_1 = s_2 + \dfrac{v}{2f}$
Muunnokset
$v$$= 0{,}30\,\text{m/s}$$= 0{,}30 \cdot 100\,\text{cm/s}$$= 30\,\text{cm/s}$Näin aallonpituus saadaan senttimetreinä kuten $s_2$.
Sijoitus
$s_1$$= 9{,}0\,\text{cm} + \dfrac{30\,\text{cm/s}}{2 \cdot 15\,\text{Hz}}$$= 9{,}0\,\text{cm} + 1{,}0\,\text{cm}$$= 10{,}0\,\text{cm}$Vastaus
$10{,}0\,\text{cm}$
Vastaus on millimetrin tarkkuudella kuten etäisyys $9{,}0\,\text{cm}$, koska tulos on tämän etäisyyden ja lisäyksen $1{,}0\,\text{cm}$ summa.
Järkevyys
Aallonpituus on $\tfrac{30\,\text{cm/s}}{15\,\text{Hz}} = 2{,}0\,\text{cm}$. Matkaero $10{,}0\,\text{cm} - 9{,}0\,\text{cm} = 1{,}0\,\text{cm}$ on sen puolikas, kuten lähimmällä solmuviivalla pitää. Jos muunnos olisi unohtunut, lisäykseksi olisi tullut $0{,}01$. Se ei olisi järkevä aaltoaltaan aallonpituus senttimetreinä.
- Tehtävä 12-8
Aaltoaltaan kaksi lähdettä värähtelee samassa vaiheessa. Aallonpituus on $2{,}0\,\text{cm}$.
Pisteeseen R on lähteestä $S_1$ matkaa $14{,}0\,\text{cm}$ ja lähteestä $S_2$ matkaa $9{,}0\,\text{cm}$. Lähde $S_1$ värähtelee voimakkaammin. Sen aallon amplitudi pisteessä R on $3{,}0\,\text{mm}$, ja lähteen $S_2$ aallon amplitudi on $2{,}0\,\text{mm}$.
Mikä on veden värähtelyn amplitudi pisteessä R? Anna vastaus millimetreinä.
Vastaus
$1{,}0\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 2{,}0\,\text{cm}$, etäisyydet $s_1 = 14{,}0\,\text{cm}$ ja $s_2 = 9{,}0\,\text{cm}$, amplitudit pisteessä R $A_1 = 3{,}0\,\text{mm}$ ja $A_2 = 2{,}0\,\text{mm}$
Kysytty
veden värähtelyn amplitudi $A_\text{R}$ pisteessä R millimetreinä
Periaate
Ensin selvitetään matkaeron ja aallonpituuden suhteesta, saapuvatko aallot samassa vai vastakkaisessa vaiheessa. Vastakkaisessa vaiheessa toisen aallon harja on aina toisen aallon pohjan kohdalla. Superpositioperiaatteen mukaan poikkeamat vähennetään toisistaan. Amplitudi on siis amplitudien erotus. Eri suuret aallot eivät kumoa toisiaan kokonaan.
Kaava
$\Delta s = s_1 - s_2$. Jos $\tfrac{\Delta s}{\lambda} = n + \tfrac{1}{2}$, niin $A_\text{R} = A_1 - A_2$.
Muunnokset
Ei tarvita. Etäisyydet ja aallonpituus ovat senttimetreinä, ja amplitudit pysyvät millimetreinä.
Sijoitus
$\Delta s$$= 14{,}0\,\text{cm} - 9{,}0\,\text{cm}$$= 5{,}0\,\text{cm}$$\dfrac{\Delta s}{\lambda}$$= \dfrac{5{,}0\,\text{cm}}{2{,}0\,\text{cm}}$$= 2{,}5$$= 2 + \tfrac{1}{2}$Interferenssi on siis heikentävä, ja
$A_\text{R}$$= 3{,}0\,\text{mm} - 2{,}0\,\text{mm}$$= 1{,}0\,\text{mm}$Vastaus
$1{,}0\,\text{mm}$
Vastaus on kymmenesosamillimetrin tarkkuudella kuten amplitudit $3{,}0\,\text{mm}$ ja $2{,}0\,\text{mm}$.
Järkevyys
Amplitudin täytyy olla nollan ja summan $5{,}0\,\text{mm}$ välillä. Heikentävässä interferenssissä se on pienin mahdollinen. Aallot ovat eri suuret, joten amplitudi ei ole nolla vaan erotus $1{,}0\,\text{mm}$.
- Tehtävä 12-9
Pitkässä jännitetyssä narussa kulkee kaksi pulssia toisiaan kohti. Pulssit ovat yhtä suuret ja samanmuotoiset. Toinen on narun yläpuolella ja toinen alapuolella. Pulssien keskikohtien välinen etäisyys on aluksi $1{,}20\,\text{m}$. Kumpikin pulssi etenee nopeudella $0{,}40\,\text{m/s}$.
Kuinka kauan kestää, ennen kuin naru on hetken kokonaan suora? Anna vastaus sekunteina.
Vastaus
$1{,}5\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pulssien keskikohtien etäisyys aluksi $s = 1{,}20\,\text{m}$, kummankin pulssin nopeus $v = 0{,}40\,\text{m/s}$. Pulssit ovat yhtä suuret ja samanmuotoiset mutta eri puolilla narua.
Kysytty
aika $t$ sekunteina, kunnes naru on hetken kokonaan suora
Periaate
Superpositioperiaatteen mukaan yhtä suuret ja samanmuotoiset mutta vastakkaiset pulssit kumoavat toisensa joka kohdassa juuri silloin, kun ne ovat täsmälleen päällekkäin. Silloin niiden keskikohdat ovat samassa paikassa. Pulssit lähestyvät toisiaan kumpikin nopeudella $v$. Niiden välimatka lyhenee ajassa $t$ matkan $2vt$.
Kaava
$2vt = s$, josta $t = \dfrac{s}{2v}$
Muunnokset
Ei tarvita. Etäisyys on metreinä ja nopeus on yksikössä $\text{m/s}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{1{,}20\,\text{m}}{2 \cdot 0{,}40\,\text{m/s}}$$= \dfrac{1{,}20\,\text{m}}{0{,}80\,\text{m/s}}$$= 1{,}5\,\text{s}$Vastaus
$1{,}5\,\text{s}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $0{,}40\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Kumpikin pulssi kulkee tässä ajassa $0{,}40\,\text{m/s} \cdot 1{,}5\,\text{s} = 0{,}60\,\text{m}$. Se on puolet alkuvälistä. Pulssit kohtaavat siis täsmälleen keskellä, kuten yhtä nopeilta pulsseilta pitää. Hetken kuluttua pulssit ovat taas näkyvissä ja jatkavat toistensa ohi.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 12-10
Urheilukentällä kaksi kaiutinta on samassa vaiheessa $3{,}0\,\text{m}$:n päässä toisistaan. Ne soittavat ääntä, jonka taajuus on $340\,\text{Hz}$. Äänen nopeus on $340\,\text{m/s}$.
Kuulija kävelee pitkää suoraa polkua kaukaa vasemmalta kauas oikealle. Polku kulkee kaiuttimien edessä kaiuttimien välisen suoran suuntaisesti.
Kuinka monen hiljaisen kohdan ohi kuulija kulkee? Perustele, miksi hiljaisia kohtia on vain rajallinen määrä. Oleta, ettei ääni heijastu mistään.
Vastaus
$6$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiuttimien väli $d = 3{,}0\,\text{m}$, taajuus $f = 340\,\text{Hz}$, äänen nopeus $v = 340\,\text{m/s}$. Kaiuttimet ovat samassa vaiheessa, ja polku on kaiuttimien suoran suuntainen.
Kysytty
hiljaisten kohtien lukumäärä $N$ koko polulla
Periaate
Hiljaista on heikentävässä interferenssissä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Kolmion yksi sivu on lyhyempi kuin kahden muun sivun summa. Kuulijan ja kaiuttimien muodostamassa kolmiossa on siis $s_1 < s_2 + d$. Matkaero on aina pienempi kuin kaiuttimien väli $d$. Se lähestyy arvoa $d$ vasta hyvin kaukana sivulla. Kun kuulija kävelee vasemmalta oikealle, matkaero kasvaa nollasta kohti arvoa $d$ kummallakin puolella keskinormaalia. Jokainen heikentävä matkaero, joka on pienempi kuin $d$, esiintyy siis kerran kummallakin puolella.
Kaava
$\lambda = \dfrac{v}{f}$ ja ehto $\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda < d$. Kun ehdon täyttäviä lukuja $n$ on $k$ kappaletta, $N = 2k$.
Muunnokset
Ei tarvita. Nopeus on yksikössä $\text{m/s}$ ja taajuus hertseinä, joten aallonpituus saadaan metreinä kuten $d$.
Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{340\,\text{m/s}}{340\,\text{Hz}}$$= 1{,}0\,\text{m}$Heikentävät matkaerot ovat $0{,}5\,\text{m}$, $1{,}5\,\text{m}$, $2{,}5\,\text{m}$, $3{,}5\,\text{m}$, … Niistä ehdon $\Delta s < 3{,}0\,\text{m}$ täyttävät $n = 0, 1, 2$ eli $k = 3$. Siis $N = 2 \cdot 3 = 6$
Vastaus
$6$
Hiljaista kohtaa, kolme keskinormaalin kummallakin puolella. Lukumäärä on tarkka kokonaisluku.
Järkevyys
Keskinormaalilla matkaero on nolla ja ääni on voimakas. Hiljaiset ja voimakkaat kohdat vuorottelevat sen molemmin puolin symmetrisesti. Lukumäärän kuuluu siis olla parillinen. Matkaero $3{,}5\,\text{m}$ olisi suurempi kuin kaiuttimien väli $3{,}0\,\text{m}$, mikä on mahdotonta. Neljättä hiljaista kohtaa ei voi olla kummallakaan puolella.
- Tehtävä 12-11
Aaltoaltaan kahden samassa vaiheessa olevan lähteen taajuutta voi säätää. Aallon nopeus altaassa on $24\,\text{cm/s}$.
Altaassa on merkitty piste T. Kun taajuus on $10\,\text{Hz}$, vesi pysyy pisteessä T levossa. Kun taajuutta nostetaan, vesi on pisteessä T seuraavan kerran levossa taajuudella $14\,\text{Hz}$.
Kuinka suuri on matkaero pisteessä T? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$6{,}0\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallon nopeus $v = 24\,\text{cm/s}$. Piste T on levossa taajuudella $f_1 = 10\,\text{Hz}$ ja seuraavan kerran taajuudella $f_2 = 14\,\text{Hz}$.
Kysytty
matkaero $\Delta s$ pisteessä T senttimetreinä
Periaate
Vesi on levossa, kun interferenssi on heikentävä, $\Delta s = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$. Piste ei liiku, joten matkaero on molemmilla taajuuksilla sama. Kun taajuus kasvaa, aallonpituus pienenee. Silloin matkaeroon mahtuu enemmän aallonpituuksia. Taajuus $14\,\text{Hz}$ on seuraava heikentävä taajuus. Silloin matkaeroon mahtuu täsmälleen yksi aallonpituus enemmän: $n$ kasvaa yhdellä.
Kaava
$\dfrac{\Delta s}{\lambda_1}$$= n + \tfrac{1}{2}$$\dfrac{\Delta s}{\lambda_2}$$= n + \tfrac{3}{2}$Vähennetään:
$\Delta s\left(\dfrac{1}{\lambda_2} - \dfrac{1}{\lambda_1}\right)$$= 1$Koska $\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{f}{v}$, saadaan $\Delta s = \dfrac{v}{f_2 - f_1}$.
Muunnokset
Ei tarvita. Nopeus on yksikössä $\text{cm/s}$, joten aallonpituudet ja matkaero saadaan senttimetreinä.
Sijoitus
$\Delta s$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{14\,\text{Hz} - 10\,\text{Hz}}$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{4\,\text{Hz}}$$= 6{,}0\,\text{cm}$Tarkistusta varten aallonpituudet ovat
$\lambda_1$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{10\,\text{Hz}}$$= 2{,}4\,\text{cm}$$\lambda_2$$= \dfrac{24\,\text{cm/s}}{14\,\text{Hz}}$$= 1{,}714\,\text{cm}$Vastaus
$6{,}0\,\text{cm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuuksissa $10\,\text{Hz}$ ja $14\,\text{Hz}$ ja nopeudessa $24\,\text{cm/s}$.
Järkevyys
Tarkistus molemmilla taajuuksilla: $\tfrac{6{,}0\,\text{cm}}{2{,}4\,\text{cm}} = 2{,}5$ ja $\tfrac{6{,}0\,\text{cm}}{1{,}714\,\text{cm}} = 3{,}5$. Kumpikin on puolikas, joten vesi on levossa. Välissä, esimerkiksi taajuudella $12\,\text{Hz}$, aallonpituus on $2{,}0\,\text{cm}$ ja suhde on $3{,}0$. Silloin piste värähtelee voimakkaasti, kuten tehtävä sanoo.
- Tehtävä 12-12
Sataman aallonmurtajassa on kaksi kapeaa aukkoa. Niiden välinen etäisyys on $16{,}0\,\text{m}$.
Merellä aallot tulevat suoraan kohti aallonmurtajaa, joten aallonharjat ovat sen suuntaisia. Aukkojen läpi tulevat aallot leviävät satamaan.
Vene on ankkuroitu $30{,}0\,\text{m}$:n päähän toisesta aukosta, suoraan sen eteen kohtisuoraan aallonmurtajaa vastaan. Vene on aukkojen keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla, jolla vesi on lähes tyyntä.
Perustele, miksi aukot toimivat kuin kaksi samassa vaiheessa olevaa lähdettä. Laske aaltojen aallonpituus. Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$8{,}0\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aukkojen väli $d = 16{,}0\,\text{m}$, veneen etäisyys lähemmästä aukosta $s_2 = 30{,}0\,\text{m}$ kohtisuoraan aallonmurtajaa vastaan. Vene on aukkojen keskinormaalia lähimmällä solmuviivalla.
Kysytty
perustelu sille, että aukot toimivat samassa vaiheessa olevina lähteinä, ja aallonpituus $\lambda$ metreinä
Periaate
Meren aallonharjat ovat aallonmurtajan suuntaisia. Sama harja saapuu siis molempiin aukkoihin samalla hetkellä. Kapeassa aukossa aalto diffraktoituu ja leviää satamaan kaarevina aaltorintamina (luku Aalto kohtaa esteen tai raon). Aukot toimivat siis kuin kaksi lähdettä, jotka ovat samassa vaiheessa ja joilla on sama taajuus. Vene, lähempi aukko ja kauempi aukko muodostavat suorakulmaisen kolmion. Etäisyys kauempaan aukkoon saadaan siksi Pythagoraan lauseella. Keskinormaalia lähin solmuviiva on heikentävä interferenssi luvulla $n = 0$, $\Delta s = \tfrac{1}{2}\lambda$.
Kaava
$s_1 = \sqrt{d^2 + s_2^2}$ ja $s_1 - s_2 = \dfrac{\lambda}{2}$, josta $\lambda = 2\left(\sqrt{d^2 + s_2^2} - s_2\right)$
Muunnokset
Ei tarvita. Etäisyydet ovat metreinä.
Sijoitus
$s_1$$= \sqrt{(16{,}0\,\text{m})^2 + (30{,}0\,\text{m})^2}$$= \sqrt{1156\,\text{m}^2}$$= 34{,}0\,\text{m}$$\lambda$$= 2 \cdot (34{,}0\,\text{m} - 30{,}0\,\text{m})$$= 2 \cdot 4{,}0\,\text{m}$$= 8{,}0\,\text{m}$Vastaus
$8{,}0\,\text{m}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa. Matkaero $4{,}0\,\text{m}$ on kahden etäisyyden erotus. Etäisyydet on annettu kolmella merkitsevällä numerolla, mutta erotuksella on kaksi merkitsevää numeroa.
Järkevyys
Tarkistus: matkaero $4{,}0\,\text{m}$ on puolet aallonpituudesta $8{,}0\,\text{m}$, joten harja kohtaa pohjan. Matkaero on pienempi kuin aukkojen väli $16{,}0\,\text{m}$, kuten pitää. Muutaman metrin aallonpituus on tavallinen tuulen nostamille aalloille.
