Intensiteetti ja desibeliasteikko
Miksi äänen voimakkuus ilmoitetaan desibeleinä eikä watteina neliömetriä kohti, ja mitä desibelilukema oikeastaan kertoo?
Pohjatiedot
- Ääni on ilmassa etenevä pitkittäinen aalto, jonka amplitudi kertoo, kuinka voimakas ääni onluku Ääni aaltona: korkeus, sointiväri ja Dopplerin ilmiö
- Aalto kuljettaa energiaa lähteestä ympäristöön ilman, että väliaine siirtyy mukanaluku Aaltojen synty ja eteneminen
- Teho on energia aikayksikköä kohti, $P = \tfrac{\Delta E}{\Delta t}$, ja sen yksikkö on wattiluku Teho
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Ulkoilmakonsertissa lavan edessä musiikki tuntuu rintakehässä asti, mutta samaa musiikkia kuulee selvästi myös rinteeltä satojen metrien päästä. Korva erottaa sekä lehtien hiljaisen kahinan että konsertin jylinän, vaikka niiden intensiteetit eroavat toisistaan noin miljardikertaisesti. Melumittari ilmoittaa molemmat samalla asteikolla, desibeleinä.
Miten äänen voimakkuus muuttuu, kun kuulija siirtyy kauemmas tai kun äänilähteitä tulee lisää, ja miksi voimakkuus ilmoitetaan desibeleinä?
Valinnainen Kertaa: äänen ominaisuudet
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kaksi kertaa kauempana
Ennuste 2: toinen kaiutin viereen
Tutki
Siirrä desibelimittaria ja lisää kaiuttimia. Seuraa, miten intensiteetti ja intensiteettitaso muuttuvat.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä yhden kaiuttimen äänitehoa $P$, kaiuttimien määrää ja mittarin etäisyyttä $r$ kaiuttimista. Mittarin yläpuolella on sen lukema eli intensiteettitaso $L$, ja lukemissa näkyvät myös kokonaisteho, pallon pinta-ala $4\pi r^2$ ja intensiteetti $I$. Kuvaaja näyttää tason etäisyyden funktiona nykyisillä kaiuttimilla, ja rengas merkitsee mittarin paikkaa. Kaarten kirkkaus kuvaa tasoa. Nopeus muuttaa vain kaarten liikkeen tahtia, ei lukemia.
Mallin oletukset
Kaiuttimet ovat samassa kohdassa ja säteilevät tasaisesti joka suuntaan kuin yksi pistemäinen lähde. Ääni ei heijastu maasta eikä mistään muualta, eikä ilma vaimenna sitä, joten koko teho kulkee jokaisen pallopinnan läpi. Kaiuttimet soittavat toisistaan riippumattomia ääniä, joten niiden tehot lasketaan yhteen. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia. Kaarten liike on vain havainnollistus, ei äänen todellinen nopeus.
Laskennan selitys
Kokonaisteho on $P_\text{kok} = N P$, missä $N$ on kaiuttimien määrä. Intensiteetti etäisyydellä $r$ on
$$I = \frac{P_\text{kok}}{4\pi r^2}$$
ja intensiteettitaso $L = 10\,\text{dB} \cdot \lg \tfrac{I}{I_0}$, missä $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$. Kokeiden taulukoissa intensiteetti on yksikössä $\text{mW/m}^2$, eli $1\,\text{mW/m}^2 = 10^{-3}\,\text{W/m}^2$. Kuvaajan pystyakseli alkaa tasosta $40\,\text{dB}$.
Koe 1: vain etäisyys muuttuu
Testaa ennuste 1. Yksi kaiutin soi teholla $50\,\text{mW}$; muuta vain mittarin etäisyyttä. Kirjaa lukemat ainakin etäisyyksillä $2{,}0\,\text{m}$ ja $4{,}0\,\text{m}$, mieluiten myös $1{,}0\,\text{m}$ ja $8{,}0\,\text{m}$. Vertaa: kuinka moninkertaiseksi intensiteetti muuttuu ja kuinka monta desibeliä taso muuttuu, kun etäisyys kaksinkertaistuu?
Alkutila: yhden kaiuttimen ääniteho = $50\,\text{mW}$, kaiuttimien määrä: yksi kaiutin, etäisyys = $2\,\text{m}$. Vakiona: yhden kaiuttimen ääniteho, kaiuttimien määrä. Muutetaan: etäisyys.
| etäisyys | $I$ $(\text{mW/m}^2)$ | $L$ $(\text{dB})$ |
|---|
Koe 2: vain kaiuttimien määrä muuttuu
Testaa ennuste 2. Mittari on $2{,}0\,\text{m}$:n päässä, ja jokaisen kaiuttimen teho on $50\,\text{mW}$; muuta vain kaiuttimien määrää. Kirjaa lukemat ainakin yhdellä ja kahdella kaiuttimella, mieluiten myös neljällä ja kymmenellä. Kuinka monta desibeliä taso nousee, kun kaiuttimien määrä kaksinkertaistuu, ja kuinka monta, kun se kymmenkertaistuu?
Alkutila: yhden kaiuttimen ääniteho = $50\,\text{mW}$, kaiuttimien määrä: yksi kaiutin, etäisyys = $2\,\text{m}$. Vakiona: yhden kaiuttimen ääniteho, etäisyys. Muutetaan: kaiuttimien määrä.
| kaiuttimien määrä | $I$ $(\text{mW/m}^2)$ | $L$ $(\text{dB})$ |
|---|
Johtopäätös: intensiteetti ja desibelit
Kirjoita taulukoidesi perusteella: kuinka moninkertaiseksi intensiteetti muuttui ja kuinka monta desibeliä taso muuttui, kun etäisyys kaksinkertaistui? Entä kun kaiuttimien määrä kaksinkertaistui tai kymmenkertaistui? Miksi taso ei muutu samassa suhteessa kuin intensiteetti?
Mallivastaus
Kun etäisyys kaksinkertaistui, intensiteetti putosi neljäsosaan, esimerkiksi $0{,}995\,\text{mW/m}^2$:sta $0{,}249\,\text{mW/m}^2$:iin, koska sama teho jakautui nelinkertaiselle pallopinnalle. Taso pieneni silti vain noin $6\,\text{dB}$, $90{,}0\,\text{dB}$:sta $84{,}0\,\text{dB}$:iin. Kun kaiuttimia oli kaksi, intensiteetti kaksinkertaistui ja taso nousi noin $3\,\text{dB}$, $93{,}0\,\text{dB}$:iin; kymmenellä kaiuttimella intensiteetti kymmenkertaistui ja taso nousi $10\,\text{dB}$, $100{,}0\,\text{dB}$:iin. Desibeliasteikko on logaritminen: sama intensiteettien suhde muuttaa tasoa aina saman määrän desibelejä. Arvot ovat mallin laskemia: mallissa ääni ei heijastu eikä vaimene.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Intensiteetti: teho pinta-alaa kohti
Ääni on ilmassa etenevä aalto, joka kuljettaa energiaa lähteestä kuulijaan. Kuinka voimakkaana ääni kuuluu, riippuu siitä, kuinka paljon energiaa sekunnissa osuu esimerkiksi tärykalvon tai mikrofonin pinnalle. Siksi äänen voimakkuutta kuvataan intensiteetillä $I$: se on pinnan läpi kulkeva ääniteho $P$ jaettuna pinnan pinta-alalla $A$, kun pinta on kohtisuorassa äänen etenemissuuntaan. Intensiteetin yksikkö on watti neliömetriä kohti, $\text{W/m}^2$. Sama teho pienelle alalle keskittyneenä tarkoittaa suurta intensiteettiä, laajalle levinneenä pientä.
Pistemäinen lähde ja etäisyys
Pieni äänilähde, joka säteilee tasaisesti joka suuntaan, on pistemäinen lähde. Kun heijastuksia ei ole eikä ilma vaimenna ääntä, lähteen koko teho $P$ kulkee jokaisen lähdettä ympäröivän pallopinnan läpi. Pallon pinta-ala $4\pi r^2$ kasvaa etäisyyden $r$ neliönä: kaksinkertaisella etäisyydellä sama teho jakautuu nelinkertaiselle alalle, kolminkertaisella yhdeksänkertaiselle. Intensiteetti on siksi kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Tämä on etäisyyden neliön käänteislaki. Todellisuudessa seinät ja maa heijastavat ääntä, joten sisätiloissa intensiteetti pienenee hitaammin.
Kuulokynnys ja kipukynnys
Ihmisen korva on hämmästyttävän herkkä. Heikoin ääni, jonka nuori normaalikuuloinen ihminen erottaa noin $1000\,\text{Hz}$:n taajuudella, on intensiteetiltään noin $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$. Tätä sanotaan kuulokynnykseksi. Kuulokynnys ei ole hiljaisuus vaan heikoin kuultavissa oleva ääni, ja se on eri taajuuksilla eri suuri. Voimakkaimmat äänet alkavat tuntua kipuna, kun intensiteetti on noin $1\,\text{W/m}^2$. Tämä kipukynnys on biljoona eli $10^{12}$ kertaa kuulokynnyksen suuruinen. Niin laajaa vaihteluväliä on hankala esittää tavallisella asteikolla.
Desibeliasteikko
Siksi äänen voimakkuutta kuvataan intensiteettitasolla $L$, joka vertaa intensiteettiä kuulokynnykseen logaritmin avulla. Tason yksikkö on desibeli ($\text{dB}$). Kuulokynnyksellä taso on $0\,\text{dB}$, kipukynnyksellä $120\,\text{dB}$. Asteikko on logaritminen: aina kun intensiteetti kymmenkertaistuu, tasoon lisätään $10\,\text{dB}$. Keskustelu, noin $60\,\text{dB}$, ei siis ole puolet kipukynnyksestä vaan miljoonasosa sen intensiteetistä. Myös korva aistii voimakkuuden suunnilleen logaritmisesti: noin $10\,\text{dB}$:n lisäys kuulostaa suunnilleen kaksi kertaa niin voimakkaalta, vaikka intensiteetti kymmenkertaistuu.
Korva ei ole yhtä herkkä kaikille taajuuksille: matalat ja hyvin korkeat äänet kuulostavat samalla intensiteetillä hiljaisemmilta kuin noin $1000$–$4000\,\text{Hz}$:n äänet. Melumittarit painottavat siksi taajuuksia korvan herkkyyden mukaan, ja tällainen painotettu lukema merkitään $\text{dB(A)}$. Tässä luvussa lasketaan painottamattomia intensiteettitasoja. Melun vaikutuksia ja kuulon suojaamista käsitellään luvussa Melu, akustiikka ja äänentoisto.
Intensiteettitaso
Intensiteetti
Äänen intensiteetti on
$$I = \frac{P}{A}$$
missä $I$ on intensiteetti ($\text{W/m}^2$), $P$ pinnan läpi kulkeva ääniteho ($\text{W}$) ja $A$ pinnan pinta-ala ($\text{m}^2$). Pistemäiselle lähteelle, joka säteilee tasaisesti joka suuntaan ilman heijastuksia, $A$ on pallon pinta-ala $4\pi r^2$:
$$I = \frac{P}{4\pi r^2}$$
missä $P$ on lähteen ääniteho ($\text{W}$) ja $r$ etäisyys lähteestä ($\text{m}$).
Intensiteettitaso
Intensiteettitaso desibeleinä on
$$L = 10\,\text{dB} \cdot \lg \frac{I}{I_0}$$
missä $L$ on intensiteettitaso ($\text{dB}$), $I$ intensiteetti ja $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$ kuulokynnys. Merkintä $\lg$ on kymmenkantainen logaritmi: $\lg x$ kertoo, mihin potenssiin luku $10$ on korotettava, jotta saadaan $x$. Esimerkiksi $\lg 1000 = 3$, koska $10^3 = 1000$, ja $\lg 1 = 0$, joten $I = I_0$ antaa tason $0\,\text{dB}$.
Intensiteetti tunnetusta tasosta
Kun taso tunnetaan, intensiteetti ratkaistaan kahdessa vaiheessa. Ensin jaetaan yhtälö puolittain $10\,\text{dB}$:llä. Sitten käytetään logaritmin määritelmää: jos $\lg x = y$, niin $x = 10^y$. Lopuksi kerrotaan $I_0$:lla:
$$\begin{aligned} &\lg \frac{I}{I_0} = \frac{L}{10\,\text{dB}} \\ &\frac{I}{I_0} = 10^{\,L/(10\,\text{dB})} \\ &I = I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})} \end{aligned}$$
Esimerkiksi keskustelun $60\,\text{dB}$ antaa $\tfrac{L}{10\,\text{dB}} = 6$, joten $I = 10^{6} \cdot I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{W/m}^2$. Laskimessa logaritmi on näppäin $\lg$ (tai $\log$) ja potenssi $10^x$ on yleensä saman näppäimen toinen toiminto; kokeile, että $\lg 3 \approx 0{,}477$ ja $10^{0{,}477} \approx 3$.
Tasojen erotus
Kahden äänen tasojen erotus riippuu vain niiden intensiteettien suhteesta, koska $I_0$ supistuu pois:
$$L_2 - L_1 = 10\,\text{dB} \cdot \lg \frac{I_2}{I_1}$$
Kun intensiteetti kaksinkertaistuu, taso kasvaa $10\,\text{dB} \cdot \lg 2 \approx 3{,}0\,\text{dB}$. Kun se kymmenkertaistuu, taso kasvaa $10\,\text{dB}$. Kun etäisyys pistemäisestä lähteestä kaksinkertaistuu, intensiteetti putoaa neljäsosaan ja taso pienenee $10\,\text{dB} \cdot \lg 4 \approx 6{,}0\,\text{dB}$.
Usean lähteen yhteistaso
Kun samaan paikkaan kuuluu kaksi toisistaan riippumatonta äänilähdettä, esimerkiksi kaksi konetta tai kaksi soittajaa, niiden tehot ja siksi intensiteetit lasketaan yhteen: $I = I_1 + I_2$. Desibelejä ei lasketa yhteen, vaan yhteistaso lasketaan summaintensiteetistä. Kaksi yhtä voimakasta lähdettä kaksinkertaistaa intensiteetin, joten $80\,\text{dB}$ ja $80\,\text{dB}$ antavat yhdessä noin $83\,\text{dB}$. Jos toinen lähde on paljon heikompi, se ei juuri muuta tasoa: $70\,\text{dB}$ ja $60\,\text{dB}$ antavat intensiteetin $1{,}1 \cdot 10^{-5}\,\text{W/m}^2$ eli noin $70{,}4\,\text{dB}$. Sääntö ei koske kahta kaiutinta, jotka toistavat samaa sävelaaltoa: niiden aallot interferoivat kuten luvussa Aaltojen yhteisvaikutus: superpositio ja interferenssi.
Yleinen virhekäsitys
Moni laskee desibelit yhteen kuten tavalliset luvut. Kaksi konetta, joista kumpikin tuottaa yksinään $80\,\text{dB}$, eivät tuota yhdessä $160\,\text{dB}$, mikä olisi suihkukonetta kovempi ääni. Yhteen lasketaan intensiteetit: intensiteetti kaksinkertaistuu, ja taso kasvaa vain noin $3\,\text{dB}$:llä arvoon $83\,\text{dB}$.
Toinen virhe on ajatella, että kaksinkertainen desibelilukema tarkoittaa kaksinkertaista ääntä. Taso $120\,\text{dB}$ on $60\,\text{dB}$ suurempi kuin $60\,\text{dB}$, joten intensiteetti on $10^6$ eli miljoona kertaa suurempi. Kolmas virhe on luulla, että $0\,\text{dB}$ tarkoittaa, ettei ääntä ole. Se tarkoittaa kuulokynnyksen intensiteettiä $I_0$; vielä heikommilla äänillä taso on negatiivinen.
Tiivistelmä
- Intensiteetti on teho pinta-alaa kohti: $I = \tfrac{P}{A}$, yksikkö $\text{W/m}^2$. Pistemäiselle lähteelle ilman heijastuksia $I = \tfrac{P}{4\pi r^2}$: kaksinkertainen etäisyys antaa neljäsosan intensiteetistä.
- Kuulokynnys $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$ on heikoin kuultava ääni, ja kipukynnys on noin $1\,\text{W/m}^2$.
- Intensiteettitaso $L = 10\,\text{dB} \cdot \lg \tfrac{I}{I_0}$. Kaksinkertainen intensiteetti lisää tasoa noin $3\,\text{dB}$, kymmenkertainen $10\,\text{dB}$.
- Intensiteetti tasosta: $I = I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})}$.
- Riippumattomien lähteiden intensiteetit lasketaan yhteen, desibelit eivät.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja yhtälöön $L = 10\,\text{dB} \cdot \lg \tfrac{I}{I_0}$. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi konsertin ääni kuuluu vielä rinteelle asti, vaikka intensiteetti on siellä vain pieni osa lavan edustan intensiteetistä?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Ulkoilmakonsertissa desibelimittari näyttää $96\,\text{dB}$, kun se on $10\,\text{m}$:n päässä kaiutintornista. Kuinka suuri on äänen intensiteetti mittarin kohdalla, ja kuinka suuri on kaiutintornin ääniteho? Oletetaan, että torni säteilee kuin pistemäinen lähde tasaisesti joka suuntaan eikä ääni heijastu tai vaimene.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Intensiteettitaso $L = 96\,\text{dB}$, etäisyys $r = 10\,\text{m}$ ja kuulokynnys $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$. Kysytään intensiteettiä $I$ ja lähteen äänitehoa $P$.
Vaihe 2/7
Periaate. Intensiteettitaso vertaa intensiteettiä kuulokynnykseen, joten intensiteetti saadaan ratkaisemalla se tasoyhtälöstä: ensin jaetaan $10\,\text{dB}$:llä, sitten käytetään logaritmin määritelmää. Koska torni säteilee tasaisesti joka suuntaan, koko teho kulkee $10\,\text{m}$:n säteisen pallopinnan läpi, ja $I = \tfrac{P}{4\pi r^2}$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Tasoyhtälöstä saadaan $\lg \tfrac{I}{I_0} = \tfrac{L}{10\,\text{dB}}$, ja logaritmin määritelmä antaa intensiteetin. Teho saadaan kertomalla intensiteetti pallon pinta-alalla:
$$\begin{aligned} I &= I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})} \\[6pt] P &= I \cdot 4\pi r^2 \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: etäisyys on metreinä ja kuulokynnys yksikössä $\text{W/m}^2$. Desibelit supistuvat osamäärässä:
$$\begin{aligned} &\dfrac{L}{10\,\text{dB}} \\ &= \dfrac{96\,\text{dB}}{10\,\text{dB}} \\ &= 9{,}6 \end{aligned}$$
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} I &= I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})} \\ &= 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 10^{9{,}6} \\ &= 3{,}98 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \\[6pt] P &= I \cdot 4\pi r^2 \\ &= 3{,}98 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 4\pi \cdot (10\,\text{m})^2 \\ &= 5{,}00\,\text{W} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Intensiteetti on noin $4{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W/m}^2$ ja kaiutintornin ääniteho noin $5{,}0\,\text{W}$. Tulokset ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska taso $96\,\text{dB}$ ja etäisyys $10\,\text{m}$ on annettu kahden numeron tarkkuudella; jo $1\,\text{dB}$:n ero tasossa muuttaisi tehoa noin neljänneksellä.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Taso $96\,\text{dB}$ on tasojen $90\,\text{dB}$ ja $100\,\text{dB}$ välissä, joten intensiteetin on oltava välillä $10^{-3}$–$10^{-2}\,\text{W/m}^2$, ja $4{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W/m}^2$ on. Ääniteho $5\,\text{W}$ tuntuu pieneltä, mutta kaiutin muuttaa ääneksi tyypillisesti vain noin $1\,\%$ sähkötehostaan, joten tornin vahvistimien teho on satoja watteja.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Juhlasalissa on kaksi samanlaista kaiutinta, jotka soittavat toisistaan riippumattomia ääniä yhtä suurella teholla. Kuulija on $2{,}0\,\text{m}$:n päässä yhdestä kaiuttimesta ja $4{,}0\,\text{m}$:n päässä toisesta. Lähempi kaiutin tuottaa yksinään kuulijan kohdalle $80\,\text{dB}$.
Kuinka monta desibeliä yhteistaso on suurempi kuin lähemmän kaiuttimen taso yksinään? Oletetaan, että kumpikin kaiutin säteilee tasaisesti joka suuntaan eikä ääni heijastu. Vastaa desibeleinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kumpi kaiutin tuottaa kuulijan kohdalle suuremman intensiteetin, ja kuinka moninkertaisen? Kaukaisempi on kaksi kertaa kauempana.
Vihje 2: mikä yhteys
Laske lähemmän kaiuttimen intensiteetti $I_1 = I_0 \cdot 10^{\,L_1/(10\,\text{dB})}$. Kaukaisemman intensiteetti on $I_2 = \tfrac{I_1}{4}$, koska intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
lähempi kaiutin $r_1 = 2{,}0\,\text{m}$, taso yksinään $L_1 = 80\,\text{dB}$; samanlainen kaiutin $r_2 = 4{,}0\,\text{m}$:n päässä; $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$; tasainen leviäminen, ei heijastuksia
Kysytty
yhteistason ja lähemmän kaiuttimen tason erotus $L - L_1$ desibeleinä
Periaate
Kaiuttimet soittavat riippumattomia ääniä, joten intensiteetit lasketaan yhteen. Kumpikin on pistemäinen lähde, jonka intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, ja kaiuttimien tehot ovat samat.
Kaava
$I_1 = I_0 \cdot 10^{\,L_1/(10\,\text{dB})}$ ja $I_2 = I_1 \cdot \dfrac{r_1^2}{r_2^2}$, joten
$$L - L_1 = 10\,\text{dB} \cdot \lg \frac{I_1 + I_2}{I_1}$$
Muunnokset
Ei tarvita: etäisyydet ovat metreinä ja supistuvat suhteessa $\tfrac{r_1^2}{r_2^2}$.
Sijoitus
joten
Vastaus
$0{,}97\,\text{dB}$
Kahdella merkitsevällä numerolla kuten etäisyydet; yhteistaso on noin $81\,\text{dB}$.
Järkevyys
Kaukaisempi kaiutin tuottaa yksinään $80\,\text{dB} - 6{,}0\,\text{dB} = 74\,\text{dB}$. Lisäyksen on oltava alle $3\,\text{dB}$, joka saataisiin kahdesta yhtä voimakkaasta lähteestä, ja selvästi yli nollan: alle $1\,\text{dB}$ sopii, koska heikompi lähde lisää intensiteettiin vain neljänneksen.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Desibelimittari näyttää $80\,\text{dB}$. Kuinka suuri on äänen intensiteetti?
Vastaus
$I$$= I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \cdot 10^{8}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$ - Verstaalla käy kolme samanlaista konetta, joista kukin tuottaa mittarin kohdalle yksinään $80\,\text{dB}$. Mikä on yhteistaso?
Vastaus
Intensiteetit lasketaan yhteen: $I = 3 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$, joten
$L$$= 80\,\text{dB} + 10\,\text{dB} \cdot \lg 3$$\approx 84{,}8\,\text{dB}$ei $240\,\text{dB}$.
1. Kuulokynnys
2. Tasojen ero
Hiljaisessa toimistossa taso on $50\,\text{dB}$ ja vilkkaan kadun varressa $70\,\text{dB}$. Kuinka moninkertainen on äänen intensiteetti kadun varressa toimistoon verrattuna? Vastaa paljaana lukuna.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Tasojen erotus riippuu vain intensiteettien suhteesta.
Vihje 2: mikä yhteys
$L_2 - L_1 = 10\,\text{dB} \cdot \lg \tfrac{I_2}{I_1}$, joten $\tfrac{I_2}{I_1} = 10^{\,(L_2 - L_1)/(10\,\text{dB})}$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
toimiston taso $L_1 = 50\,\text{dB}$, kadun taso $L_2 = 70\,\text{dB}$
Kysytty
intensiteettien suhde $\tfrac{I_2}{I_1}$ paljaana lukuna
Periaate
Kahden äänen tasojen erotus riippuu vain niiden intensiteettien suhteesta, koska kuulokynnys $I_0$ supistuu pois. Suhde saadaan purkamalla logaritmi potenssiksi.
Kaava
joten
$$\frac{I_2}{I_1} = 10^{\,(L_2 - L_1)/(10\,\text{dB})}$$
Muunnokset
Ei tarvita: desibelit supistuvat osamäärässä.
Sijoitus
Vastaus
$100$
; tasojen erotus $20\,\text{dB}$ on kokonaisluku, ja suhde ilmoitetaan sen mukaan.
Järkevyys
Toimiston intensiteetti on $10^{-7}\,\text{W/m}^2$ ja kadun $10^{-5}\,\text{W/m}^2$, ja niiden suhde on $100$. Kadun ääni ei kuulosta sata kertaa voimakkaalta, vaan noin nelinkertaiselta, koska korva aistii voimakkuuden suunnilleen logaritmisesti.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä ja siirrä
Ulkoilmakonsertissa olet $5\,\text{m}$:n päässä kaiuttimesta, ja taso on liian kova. Kaveri sanoo: ”Jos siirrymme kaksi kertaa kauemmas, ääni on vain puolet nykyisestä.” Arvioi väite. Selitä, miten intensiteetti ja intensiteettitaso muuttuvat, kun etäisyys kaksinkertaistuu, ja miksi.
Mallivastaus
Väite ei pidä. Kun ääni leviää tasaisesti joka suuntaan eikä heijastu, kaiuttimen teho jakautuu pallopinnalle, jonka pinta-ala on $4\pi r^2$. Kaksinkertaisella etäisyydellä pinta-ala on nelinkertainen, joten intensiteetti putoaa neljäsosaan eikä puoleen. Desibelilukema ei kuitenkaan puolitu eikä putoa neljäsosaan: taso pienenee $10\,\text{dB} \cdot \lg 4 \approx 6\,\text{dB}$, esimerkiksi $100\,\text{dB}$:sta noin $94\,\text{dB}$:iin. Korvalle tämä on selvä mutta ei suuri hiljeneminen. Huomaa, että "puolet" voi tarkoittaa myös koettua voimakkuutta: noin $10\,\text{dB}$:n pudotus kuulostaa suunnilleen puolta hiljaisemmalta, vaikka intensiteetti pienenee silloin kymmenesosaan. Intensiteetti ja koettu voimakkuus eivät ole sama asia, eikä kumpikaan tulkinta täsmää: intensiteetti putoaa neljäsosaan, ja noin $6\,\text{dB}$:n pudotus kuulostaa vain noin kolmanneksen hiljaisemmalta, ei puolta. Todellisuudessa maa ja rakenteet heijastavat ääntä, joten taso pienenee usein vielä vähemmän.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Äänen voimakkuus
- Kuuloaistimus, johon vaikuttavat erityisesti äänen intensiteettitaso ja taajuus.
- Äänen intensiteetti
- Kertoo pinta-alayksikön läpi aikayksikössä siirtyvän äänienergian.$$I = \dfrac{P}{A}$$
- Intensiteettitaso
- Desibeleinä ilmoitettava logaritminen suure, joka vertaa äänen intensiteettiä kuulokynnykseen.$$L = 10\,\text{dB} \cdot \lg\dfrac{I}{I_0}$$
- Kuulokynnys
- Pienin äänen intensiteetti, jonka ihminen pystyy tietyllä taajuudella kuulemaan; $1\,\text{kHz}$:n taajuudella:$$I_0 \approx 10^{-12}\,\text{W/m}^2$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-1Ydintehtävä
Ruohonleikkuri käy talon seinän vieressä. Avoimen ikkunan aukon pinta-ala on $1{,}5\,\text{m}^2$, ja aukon läpi kulkee huoneeseen ääniteho $3{,}0\,\text{mW}$.
Kuinka suuri on äänen intensiteetti ikkuna-aukossa? Oletetaan, että teho jakautuu tasaisesti koko aukolle. Anna vastaus yksikössä $\text{W/m}^2$.
Vastaus
$0{,}0020\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
ikkuna-aukon pinta-ala $A = 1{,}5\,\text{m}^2$, aukon läpi kulkeva ääniteho $P = 3{,}0\,\text{mW}$, teho jakautuu tasaisesti
Kysytty
intensiteetti $I$ yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Intensiteetti on pinnan läpi kulkeva teho jaettuna pinnan pinta-alalla. Koska teho jakautuu tasaisesti koko aukolle, intensiteetti on sama joka kohdassa aukkoa.
Kaava
$I = \dfrac{P}{A}$
Muunnokset
$P$$= 3{,}0\,\text{mW}$$= 3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W}$Sijoitus
$I$$= \dfrac{3{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W}}{1{,}5\,\text{m}^2}$$= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W/m}^2$$= 0{,}0020\,\text{W/m}^2$Vastaus
$0{,}0020\,\text{W/m}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $3{,}0\,\text{mW}$ ja pinta-ala $1{,}5\,\text{m}^2$.
Järkevyys
Pinta-ala on suurempi kuin $1\,\text{m}^2$, joten intensiteetin lukuarvon on oltava pienempi kuin tehon lukuarvo watteina, ja $0{,}0020 < 0{,}0030$. Intensiteettitasona tämä olisi noin $93\,\text{dB}$, mikä sopii aivan ikkunan alla käyvään ruohonleikkuriin.
- Tehtävä 15-2Ydintehtävä
Pölynimurin äänen intensiteetti on imurin käyttäjän korvan kohdalla $3{,}2 \cdot 10^{-5}\,\text{W/m}^2$. Mikä on intensiteettitaso? Anna vastaus desibeleinä.
Vastaus
$75\,\text{dB}$
Näytä ratkaisu
Annettu
intensiteetti $I = 3{,}2 \cdot 10^{-5}\,\text{W/m}^2$, kuulokynnys $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$
Kysytty
intensiteettitaso $L$ desibeleinä
Periaate
Intensiteettitaso vertaa intensiteettiä kuulokynnykseen logaritmisesti: se kertoo, kuinka monta kymmenkertaistusta intensiteetti on kuulokynnyksen yläpuolella, kymmenellä kerrottuna.
Kaava
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I}{I_0}$Muunnokset
Ei tarvita: kumpikin intensiteetti on yksikössä $\text{W/m}^2$, ja yksiköt supistuvat osamäärässä.
Sijoitus
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{3{,}2 \cdot 10^{-5}\,\text{W/m}^2}{1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2}$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg (3{,}2 \cdot 10^{7})$$= 10\,\text{dB} \cdot 7{,}505$$= 75{,}05\,\text{dB}$Vastaus
$75\,\text{dB}$
Kokonaisina desibeleinä, koska intensiteetti on annettu kahdella merkitsevällä numerolla.
Järkevyys
Intensiteetti on välillä $10^{-5}$–$10^{-4}\,\text{W/m}^2$, joten tason on oltava välillä $70$–$80\,\text{dB}$. Pölynimuri on tavallisesti suunnilleen yhtä äänekäs kuin vilkas katu.
- Tehtävä 15-3
Moottoripyörän ohittaessa jalankulkijan desibelimittari näyttää $95\,\text{dB}$. Kuinka suuri on äänen intensiteetti mittarin kohdalla? Anna vastaus yksikössä $\text{W/m}^2$.
Vastaus
$0{,}0032\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
intensiteettitaso $L = 95\,\text{dB}$, kuulokynnys $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$
Kysytty
intensiteetti $I$ yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Taso on kymmenen kertaa intensiteettien suhteen logaritmi. Intensiteetti saadaan, kun yhtälö jaetaan $10\,\text{dB}$:llä ja käytetään logaritmin määritelmää: jos $\lg x = y$, niin $x = 10^y$.
Kaava
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I}{I_0}$joten
$\lg \dfrac{I}{I_0}$$= \dfrac{L}{10\,\text{dB}}$$I = I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})}$
Muunnokset
Ei tarvita:
$\dfrac{L}{10\,\text{dB}}$$= \dfrac{95\,\text{dB}}{10\,\text{dB}}$$= 9{,}5$desibelit supistuvat.
Sijoitus
$I$$= 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \cdot 10^{9{,}5}$$= 3{,}16 \cdot 10^{-3}\,\text{W/m}^2$$= 0{,}00316\,\text{W/m}^2$Vastaus
$0{,}0032\,\text{W/m}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska taso on annettu kokonaisina desibeleinä.
Järkevyys
$90\,\text{dB}$ vastaa intensiteettiä $10^{-3}\,\text{W/m}^2$ ja $100\,\text{dB}$ intensiteettiä $10^{-2}\,\text{W/m}^2$, joten $95\,\text{dB}$:n intensiteetin on oltava näiden välissä. Puolen kymmenkertaistuksen kerroin on $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, ja $3{,}16 \cdot 10^{-3}\,\text{W/m}^2$ on juuri tämä.
- Tehtävä 15-4
Pelastuslaitoksen hälytyssireeni tuottaa äänitehon $2{,}0\,\text{W}$. Kuinka suuri on äänen intensiteetti $25\,\text{m}$:n päässä sireenistä, kun ääni leviää tasaisesti joka suuntaan eikä heijastu? Anna vastaus yksikössä $\text{W/m}^2$.
Vastaus
$0{,}00025\,\text{W/m}^2$
Näytä ratkaisu
Annettu
sireenin ääniteho $P = 2{,}0\,\text{W}$, etäisyys $r = 25\,\text{m}$, ääni leviää tasaisesti joka suuntaan eikä heijastu
Kysytty
intensiteetti $I$ yksikössä $\text{W/m}^2$
Periaate
Sireeni toimii pistemäisenä lähteenä: kun ääni ei heijastu eikä vaimene, koko teho kulkee sireeniä ympäröivän $25\,\text{m}$:n säteisen pallopinnan läpi ja jakautuu sille tasaisesti.
Kaava
$I$$= \dfrac{P}{A}$$= \dfrac{P}{4\pi r^2}$Muunnokset
Ei tarvita: teho on watteina ja etäisyys metreinä.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{2{,}0\,\text{W}}{4\pi \cdot (25\,\text{m})^2}$$= \dfrac{2{,}0\,\text{W}}{7854\,\text{m}^2}$$= 2{,}55 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$$= 0{,}000255\,\text{W/m}^2$Vastaus
$0{,}00025\,\text{W/m}^2$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $2{,}0\,\text{W}$ ja etäisyys $25\,\text{m}$.
Järkevyys
Pallon pinta-ala on noin $8000\,\text{m}^2$, ja $2\,\text{W} : 8000\,\text{m}^2 = 0{,}00025\,\text{W/m}^2$. Tasona tämä on noin $84\,\text{dB}$, mikä on sireenille $25\,\text{m}$:n päässä uskottava.
- Tehtävä 15-5
Äänen intensiteetti kasvaa satakertaiseksi. Kuinka monta desibeliä intensiteettitaso kasvaa?
Vastaus
$20\,\text{dB}$
Näytä ratkaisu
Annettu
intensiteettien suhde $\dfrac{I_2}{I_1} = 100$
Kysytty
tasojen erotus $L_2 - L_1$ desibeleinä
Periaate
Tasojen erotus riippuu vain intensiteettien suhteesta, koska kuulokynnys $I_0$ supistuu pois, kun tasot vähennetään toisistaan.
Kaava
$L_2 - L_1$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_2}{I_1}$Muunnokset
Ei tarvita: suhde on paljas luku.
Sijoitus
$L_2 - L_1$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg 100$$= 10\,\text{dB} \cdot 2$$= 20\,\text{dB}$Vastaus
$20\,\text{dB}$
; kerroin $100$ on tarkka, joten tulos on tarkka.
Järkevyys
Satakertaistus on kaksi peräkkäistä kymmenkertaistusta, ja kumpikin lisää tasoa $10\,\text{dB}$: $10\,\text{dB} + 10\,\text{dB} = 20\,\text{dB}$. Taso kasvaa $20\,\text{dB}$, ei satakertaiseksi: desibeliasteikko on logaritminen.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-6Ydintehtävä
Kannettava kaiutin tuottaa äänitehon $0{,}050\,\text{W}$. Mikä on intensiteettitaso $3{,}0\,\text{m}$:n päässä kaiuttimesta, kun ääni leviää tasaisesti joka suuntaan eikä heijastu? Anna vastaus desibeleinä.
Vastaus
$86\,\text{dB}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaiuttimen ääniteho $P = 0{,}050\,\text{W}$, etäisyys $r = 3{,}0\,\text{m}$, kuulokynnys $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$; ääni leviää tasaisesti eikä heijastu
Kysytty
intensiteettitaso $L$ desibeleinä
Periaate
Kaiutin on pistemäinen lähde, jonka teho jakautuu tasaisesti $3{,}0\,\text{m}$:n säteiselle pallopinnalle. Ensin lasketaan intensiteetti, sitten sitä verrataan kuulokynnykseen.
Kaava
$I$$= \dfrac{P}{4\pi r^2}$$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I}{I_0}$joten
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{P}{4\pi r^2 I_0}$Muunnokset
Ei tarvita: teho on watteina ja etäisyys metreinä.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{0{,}050\,\text{W}}{4\pi \cdot (3{,}0\,\text{m})^2}$$= 4{,}42 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$joten
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{4{,}42 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2}{1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2}$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg (4{,}42 \cdot 10^{8})$$= 86{,}45\,\text{dB}$Vastaus
$86\,\text{dB}$
Kokonaisina desibeleinä, koska teho ja etäisyys ovat annetut kahdella merkitsevällä numerolla.
Järkevyys
Intensiteetti on välillä $10^{-4}$–$10^{-3}\,\text{W/m}^2$, joten tason on oltava välillä $80$–$90\,\text{dB}$. Kovalla soiva kannettava kaiutin kuulostaa muutaman metrin päässä suunnilleen vilkkaalta kadulta tai sitä kovemmalta.
- Tehtävä 15-7Ydintehtävä
Pihalla käy samaan aikaan ruohonleikkuri ja lehtipuhallin. Mittarin kohdalla ruohonleikkuri tuottaa yksinään $85\,\text{dB}$ ja lehtipuhallin yksinään $88\,\text{dB}$. Kuinka monta desibeliä suurempi yhteistaso on kuin lehtipuhaltimen taso yksinään?
Vastaus
$1{,}8\,\text{dB}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ruohonleikkuri yksinään $L_1 = 85\,\text{dB}$, lehtipuhallin yksinään $L_2 = 88\,\text{dB}$, kuulokynnys $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$
Kysytty
kuinka paljon yhteistaso $L$ on suurempi kuin $L_2$, eli $L - L_2$ desibeleinä
Periaate
Laitteet ovat toisistaan riippumattomia äänilähteitä, joten niiden intensiteetit lasketaan yhteen. Desibelejä ei voi laskea yhteen, joten tasot muutetaan ensin intensiteeteiksi.
Kaava
$L - L_2$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_1 + I_2}{I_0} - L_2$missä intensiteetit ja yhteistaso ovat
$$\begin{aligned} I_1 &= I_0 \cdot 10^{\,L_1/(10\,\text{dB})} \\ I_2 &= I_0 \cdot 10^{\,L_2/(10\,\text{dB})} \\ L &= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_1 + I_2}{I_0} \end{aligned}$$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki tasot ovat desibeleinä ja intensiteetit yksikössä $\text{W/m}^2$.
Sijoitus
$I_1$$= 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \cdot 10^{8{,}5}$$= 3{,}16 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$$I_2$$= 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \cdot 10^{8{,}8}$$= 6{,}31 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$joten
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg (9{,}47 \cdot 10^{8})$$= 89{,}76\,\text{dB}$$L - L_2$$= 89{,}76\,\text{dB} - 88\,\text{dB}$$= 1{,}76\,\text{dB}$Vastaus
$1{,}8\,\text{dB}$
Kahdella merkitsevällä numerolla, koska tasot on annettu kokonaisina desibeleinä.
Järkevyys
Jos ruohonleikkuri olisi yhtä kova kuin lehtipuhallin, taso nousisi $3\,\text{dB}$. Heikompi lähde lisää vähemmän, ja hyvin heikko ei lisäisi juuri mitään, joten $1{,}8\,\text{dB}$ on näiden välissä. Yhteistaso $89{,}8\,\text{dB}$ on paljon pienempi kuin virheellinen summa $173\,\text{dB}$.
- Tehtävä 15-8
Kaiuttimen edessä $3{,}0\,\text{m}$:n päässä mittari näyttää $85\,\text{dB}$. Mitä mittari näyttää $12\,\text{m}$:n päässä samasta kaiuttimesta, kun ääni leviää tasaisesti joka suuntaan eikä heijastu? Anna vastaus desibeleinä.
Vastaus
$73\,\text{dB}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taso $L_1 = 85\,\text{dB}$ etäisyydellä $r_1 = 3{,}0\,\text{m}$, uusi etäisyys $r_2 = 12\,\text{m}$; ääni leviää tasaisesti eikä heijastu
Kysytty
taso $L_2$ etäisyydellä $r_2$ desibeleinä
Periaate
Pistemäisen lähteen intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, koska sama teho jakautuu pallopinnalle $4\pi r^2$. Tasojen erotus saadaan intensiteettien suhteesta.
Kaava
$\dfrac{I_2}{I_1}$$= \dfrac{r_1^2}{r_2^2}$$L_2 - L_1$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_2}{I_1}$joten
$L_2$$= L_1 + 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{r_1^2}{r_2^2}$Muunnokset
Ei tarvita: kumpikin etäisyys on metreinä, ja yksiköt supistuvat.
Sijoitus
$\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$$= \dfrac{(3{,}0\,\text{m})^2}{(12\,\text{m})^2}$$= \dfrac{1}{16}$joten
$L_2$$= 85\,\text{dB} + 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{1}{16}$$= 85\,\text{dB} - 12{,}04\,\text{dB}$$= 72{,}96\,\text{dB}$Vastaus
$73\,\text{dB}$
Kokonaisina desibeleinä kuten lähtötaso $85\,\text{dB}$.
Järkevyys
Etäisyys kaksinkertaistuu kahdesti ($3\,\text{m} \to 6\,\text{m} \to 12\,\text{m}$), ja kumpikin kaksinkertaistus pienentää tasoa noin $6\,\text{dB}$: $85\,\text{dB} - 6\,\text{dB} - 6\,\text{dB} = 73\,\text{dB}$. Taso pienenee, kuten pitää kauempana lähteestä.
- Tehtävä 15-9
Rakennustyömaalla yksi betonisaha tuottaa mittarin kohdalle $85\,\text{dB}$. Kun työmaalle tuodaan lisää samanlaisia sahoja samalle etäisyydelle mittarista, taso nousee $91\,\text{dB}$:iin. Kuinka monta sahaa käy nyt yhtä aikaa?
Vastaus
$4$
Näytä ratkaisu
Annettu
yksi saha $L_1 = 85\,\text{dB}$, kaikki sahat yhdessä $L = 91\,\text{dB}$, sahat ovat samanlaisia ja yhtä kaukana mittarista
Kysytty
sahojen lukumäärä $N$
Periaate
Riippumattomien lähteiden intensiteetit lasketaan yhteen. Kun $N$ samanlaista sahaa käy, intensiteetti on $N$-kertainen, joten tasojen erotus kertoo intensiteettien suhteen $N$.
Kaava
$L - L_1$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{N I_1}{I_1}$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg N$joten
$\lg N$$= \dfrac{L - L_1}{10\,\text{dB}}$$N = 10^{\,(L - L_1)/(10\,\text{dB})}$
Muunnokset
Ei tarvita: tasot ovat desibeleinä, ja desibelit supistuvat.
Sijoitus
$N$$= 10^{\,(91\,\text{dB} - 85\,\text{dB})/(10\,\text{dB})}$$= 10^{0{,}6}$$= 3{,}98$Vastaus
$4$
Sahaa; lukumäärä on kokonaisluku, ja $3{,}98$ pyöristyy siihen, koska tasot on annettu kokonaisina desibeleinä.
Järkevyys
Kaksi sahaa nostaisi tasoa $3\,\text{dB}$ ja neljä $6\,\text{dB}$, eli $85\,\text{dB} + 6\,\text{dB} = 91\,\text{dB}$. Tämä vastaa annettua tasoa, joten neljä sahaa on oikea määrä.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 15-10
Jäähallissa on $12\,000$ katsojaa.
Kun yksi katsoja huutaa, hänen äänensä tuottaa kentän keskelle keskimäärin tason $42\,\text{dB}$. Samaan aikaan hallin kuulutusjärjestelmä soi, ja se tuottaa kentän keskelle yksinään tason $80\,\text{dB}$.
Mikä on intensiteettitaso kentän keskellä, kun kaikki katsojat huutavat yhtä aikaa ja kuulutus soi? Oletetaan, että jokainen huuto tuottaa kentän keskelle saman intensiteetin ja että kaikki äänilähteet ovat toisistaan riippumattomia. Anna vastaus desibeleinä.
Vastaus
$85\,\text{dB}$
Näytä ratkaisu
Annettu
katsojia $N = 12\,000$, yhden huudon taso kentän keskellä $L_1 = 42\,\text{dB}$, kuulutusjärjestelmän taso yksinään $L_K = 80\,\text{dB}$; huudot ovat yhtä voimakkaita ja kaikki lähteet toisistaan riippumattomia
Kysytty
kaikkien äänien yhteistaso $L$ desibeleinä
Periaate
Riippumattomien lähteiden intensiteetit lasketaan yhteen, desibelejä ei. Ensin lasketaan huutojen yhteistaso: kun jokainen huuto tuottaa saman intensiteetin $I_1$, huutojen intensiteetti on $N I_1$. Sitten huutojen ja kuulutuksen intensiteetit lasketaan yhteen.
Kaava
huudot yhdessä $L_H = L_1 + 10\,\text{dB} \cdot \lg N$, ja koko ääni
$$\begin{aligned} L &= 10\,\text{dB} \cdot \lg \frac{I_H + I_K}{I_0} \\ I &= I_0 \cdot 10^{\,L/(10\,\text{dB})} \end{aligned}$$
Muunnokset
Ei tarvita: tasot ovat desibeleinä, $N$ on paljas luku ja intensiteetit yksikössä $\text{W/m}^2$.
Sijoitus
$L_H$$= 42\,\text{dB} + 10\,\text{dB} \cdot \lg 12\,000$$= 42\,\text{dB} + 40{,}79\,\text{dB}$$= 82{,}79\,\text{dB}$joten
$I_H$$= 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \cdot 10^{8{,}279}$$= 1{,}90 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$$I_K$$= 10^{-12}\,\text{W/m}^2 \cdot 10^{8}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2$joten
$L$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{2{,}90 \cdot 10^{-4}\,\text{W/m}^2}{1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2}$$= 84{,}63\,\text{dB}$Vastaus
$85\,\text{dB}$
Kokonaisina desibeleinä, koska tasot on annettu kokonaisina desibeleinä.
Järkevyys
$10\,000$ lähdettä lisäisi tasoa tasan $40\,\text{dB}$, joten huudot yksin ovat noin $83\,\text{dB}$. Kuulutus on huutoja hiljaisempi, joten se nostaa yhteistasoa alle $3\,\text{dB}$, ja $2\,\text{dB}$ sopii. Desibelien summa $12\,000 \cdot 42\,\text{dB} + 80\,\text{dB}$ olisi järjetön. Oikeassa hallissa heijastukset nostavat tasoa vielä lisää.
- Tehtävä 15-11
Hyttysen ininä on $0{,}50\,\text{m}$:n päässä hyttysestä tasoltaan $30\,\text{dB}$.
Kuinka kaukaa ininän voisi periaatteessa kuulla, eli millä etäisyydellä sen taso laskee kuulokynnykselle? Oletetaan, että hyttynen on pistemäinen lähde, ääni leviää tasaisesti joka suuntaan eikä heijastu tai vaimene ja ympärillä on täysin hiljaista. Anna vastaus metreinä.
Vastaus
$16\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taso $L_1 = 30\,\text{dB}$ etäisyydellä $r_1 = 0{,}50\,\text{m}$, kuulokynnyksen taso $L_2 = 0\,\text{dB}$; pistemäinen lähde, tasainen leviäminen, ei heijastuksia, vaimenemista eikä taustaääniä
Kysytty
etäisyys $r_2$, jolla taso on $0\,\text{dB}$, metreinä
Periaate
Pistemäisen lähteen intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Tasojen erotus kertoo, kuinka moninkertaiseksi intensiteetin on pienennyttävä, ja siitä saadaan etäisyyksien suhde.
Kaava
$L_1 - L_2$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I_1}{I_2}$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{r_2^2}{r_1^2}$joten
$\dfrac{r_2^2}{r_1^2}$$= 10^{\,(L_1 - L_2)/(10\,\text{dB})}$$r_2 = r_1 \sqrt{10^{\,(L_1 - L_2)/(10\,\text{dB})}}$
Muunnokset
Ei tarvita: etäisyys on metreinä, ja desibelit supistuvat.
Sijoitus
$r_2$$= 0{,}50\,\text{m} \cdot \sqrt{10^{\,(30\,\text{dB} - 0\,\text{dB})/(10\,\text{dB})}}$$= 0{,}50\,\text{m} \cdot \sqrt{1000}$$= 0{,}50\,\text{m} \cdot 31{,}6$$= 15{,}8\,\text{m}$Vastaus
$16\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyys $0{,}50\,\text{m}$.
Järkevyys
$30\,\text{dB}$:n pudotus tarkoittaa tuhannesosaan pienenevää intensiteettiä, ja $\sqrt{1000} \approx 32$-kertainen etäisyys tekee sen. Todellisuudessa ininää ei kuule näin kaukaa, koska taustaäänet peittävät sen ja oma kuulokynnys voi olla korkeampi; tulos on ihanteellisen tilanteen yläraja.
- Tehtävä 15-12
Akustiikkalaboratorion kaiuttomassa huoneessa mitataan hyvin hiljaisen tuulettimen intensiteettitasoksi $-5\,\text{dB}$.
Opiskelija sanoo: ”Mittaus on varmasti väärä, koska negatiivinen intensiteettitaso tarkoittaisi negatiivista intensiteettiä.” Onko hän oikeassa? Selitä, mitä negatiivinen intensiteettitaso tarkoittaa, ja voiko tuulettimen kuulla. Muista, että kuulokynnys $I_0$ on määritelty noin $1000\,\text{Hz}$:n taajuudelle.
Vastaus
Ei ole: negatiivinen taso tarkoittaa, että intensiteetti on positiivinen mutta kuulokynnystä pienempi, $I = 10^{-0{,}5} I_0 \approx 3{,}2 \cdot 10^{-13}\,\text{W/m}^2$; keskimääräinen kuulija ei kuule sitä, mutta herkimmät kuulijat voivat kuulla herkimmillä taajuuksilla.
Näytä ratkaisu
Kysytty
onko negatiivinen intensiteettitaso mahdoton, mitä se tarkoittaa ja voiko tuulettimen kuulla
Periaate
Intensiteettitaso $L = 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{I}{I_0}$ ei ole intensiteetti vaan vertailu kuulokynnykseen $I_0 = 1{,}0 \cdot 10^{-12}\,\text{W/m}^2$. Logaritmi on negatiivinen, kun sen argumentti on positiivinen mutta pienempi kuin yksi.
Mallivastaus
Opiskelija ei ole oikeassa. Negatiivinen taso ei tarkoita negatiivista intensiteettiä, vaan sitä, että intensiteetti on pienempi kuin kuulokynnys: $\lg \dfrac{I}{I_0} = -0{,}5$, joten
$$I = I_0 \cdot 10^{-0{,}5} \approx 3{,}2 \cdot 10^{-13}\,\text{W/m}^2$$
Se on positiivinen, noin kolmasosa kuulokynnyksestä. Jokainen intensiteetin pieneneminen kymmenesosaan vähentää tasoa $10\,\text{dB}$, joten kuulokynnystä heikommilla äänillä taso on negatiivinen, vaikka intensiteetti on aina positiivinen. Keskimääräinen kuulija ei kuule tuuletinta, koska ääni on kuulokynnyksen alapuolella. Kuulokynnys $I_0$ on kuitenkin sovittu vertailuarvo: kuulokynnys vaihtelee ihmisestä ja taajuudesta toiseen, ja nuoret, herkkäkuuloiset ihmiset voivat kuulla herkimmillä taajuuksilla, noin $3000\,\text{Hz}$:n tienoilla, hieman alle $0\,\text{dB}$:n ääniä. Hiljaisessa kaiuttomassa huoneessa mittaus on siis aivan mahdollinen.
Itsearviointi
Vastauksessani
- sanon, että intensiteetti on aina positiivinen ja negatiivinen taso tarkoittaa intensiteettiä, joka on pienempi kuin kuulokynnys $I_0$
- lasken tai arvioin intensiteetin tasosta $-5\,\text{dB}$ potenssina $10^{-0{,}5}$
- sanon, että kuulokynnys riippuu ihmisestä ja taajuudesta, joten tuulettimen kuulee vain herkimmillä kuulijoilla ja taajuuksilla.
