Kokonaisheijastuminen ja valokuitu
Miksi valo kulkee lasikuidussa Itämeren pohjaa pitkin Helsingistä Saksaan pääsemättä välillä ulos, vaikka lasi on läpinäkyvää?
Pohjatiedot
- Valo taittuu rajapinnassa taittumislain $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ mukaan, ja kulmat mitataan normaalistaluku Valon heijastuminen ja taittuminen
- Aineessa valo etenee nopeudella $v = c : n$luku Valon heijastuminen ja taittuminen
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Itämeren pohjassa kulkee Helsingistä Saksan Rostockiin $1172\,\text{km}$ pitkä merikaapeli C-Lion1 (Cinia, 2016). Sen sisällä tieto kulkee valopulsseina hiuksen paksuisissa lasikuiduissa. Lasi on läpinäkyvää, eikä kuidun pinnassa ole peiliä. Silti valo ei karkaa kuidusta, vaikka kaapeli mutkittelee merenpohjan muotojen mukaan.
Mikä pitää valon läpinäkyvän lasikuidun sisällä satojen kilometrien matkan?
Valinnainen Kertaa: taittuminen
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: jyrkempi valo
Ennuste 2: ilma vai kuori
Tutki
Laser osoittaa ilmasta valokuidun ytimen päähän. Muuta laserin kulmaa ja ytimen ympärillä olevaa ainetta ja seuraa, pysyykö valo ytimessä.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä laserin kulmaa $\theta$ kuidun akseliin nähden ja ytimen ympärillä olevan aineen taitekerrointa $n_2$. Arvo $n_2 = 1{,}00$ tarkoittaa ilmaa ja $n_2 = 1{,}46$ tavallista kuorilasia. Vasemmalla katkoviiva on päätypinnan normaali eli kuidun akseli. Ensimmäisessä kohdassa, jossa säde osuu ytimen seinään, katkoviiva on seinän normaali ja kaari näyttää tulokulman $\alpha$. Jos valoa vuotaa, ulos taittuvat säteet näkyvät ympäröivässä aineessa, ja ytimessä jatkuva säde himmenee. Lukemista näet tulokulman $\alpha$, rajakulman $\alpha_\text{r}$ ja sen, pysyykö valo ytimessä.
Mallin oletukset
Ytimen taitekerroin on $n_1 = 1{,}48$, ja laser on ilmassa, jonka taitekerroin on $1{,}00$. Kuidun pää on tasainen ja kohtisuorassa akseliin nähden. Ydin ja ympäröivä aine ulottuvat kuvan reunoihin asti, eikä kuidussa ole mutkia. Kuva ei ole mittakaavassa: todellisen kuidun ydin on vain muutaman kymmenen mikrometrin paksuinen. Päätypinnasta heijastuvaa valoa ei piirretä. Vuotavan säteen himmeneminen on vain havainnollistus, ei laskettu arvo. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Päätypinnassa valo taittuu taittumislain mukaan:
$$1{,}00 \cdot \sin\theta = n_1 \sin\theta_1$$
Ytimessä säde kulkee kulmassa $\theta_1$ akseliin nähden, joten se osuu ytimen seinään tulokulmassa $\alpha = 90^\circ - \theta_1$ seinän normaalista mitattuna. Rajakulma lasketaan yhtälöstä $\sin\alpha_\text{r} = n_2 : n_1$. Jos $\alpha > \alpha_\text{r}$, valo kokonaisheijastuu jokaisessa osumassa. Muuten osa valosta taittuu ulos kulmassa $\beta$, jolle $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$.
Koe 1: laserin kulma
Testaa ennuste 1. Ytimen ympärillä on kuorilasia, jonka taitekerroin on $1{,}46$; muuta vain laserin kulmaa $\theta$. Kirjaa ainakin kulmat $0^\circ$, $10^\circ$, $14^\circ$ ja $15^\circ$. Vertaa joka rivillä tulokulmaa $\alpha$ rajakulmaan $\alpha_\text{r}$ ja katso kuvasta, vuotaako valoa.
Alkutila: laserin kulma $\theta$ = $0^\circ$, ympäröivän aineen taitekerroin = $1{,}46$. Vakiona: ympäröivän aineen taitekerroin. Muutetaan: laserin kulma $\theta$.
| laserin kulma $\theta$ | $\alpha$ $(^\circ)$ | $\alpha _r$ $(^\circ)$ |
|---|
Mikä on suurin kokonainen asteluku $\theta$, jolla valo vielä pysyy ytimessä, kun ympärillä on kuorilasia ($n_2 = 1{,}46$)?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Valo pysyy ytimessä, kun seinän tulokulma $\alpha$ on suurempi kuin rajakulma $\alpha_\text{r}$. Etsi taulukosta kohta, jossa $\alpha$ painuu rajakulman alle.
Vihje 2: mikä yhteys
Kasvata kulmaa asteen kerrallaan ja seuraa lukemaa: pysyykö valo ytimessä vai vuotaako sitä?
Vihje 3: välivaihe
Vertaa rivejä $14^\circ$ ja $15^\circ$: kummalla rivillä $\alpha > \alpha_\text{r}$?
Näytä ratkaisu
Annettu
ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}48$, kuoren taitekerroin $n_2 = 1{,}46$, laser ilmassa; simulaation lukemat: $\theta = 14^\circ$: $\alpha = 80{,}59^\circ$, $\theta = 15^\circ$: $\alpha = 79{,}93^\circ$, rajakulma $\alpha_\text{r} = 80{,}57^\circ$
Kysytty
suurin kokonainen kulma $\theta$ asteina, jolla valo pysyy ytimessä
Periaate
Valo kokonaisheijastuu ytimen seinästä, kun seinän tulokulma on suurempi kuin rajakulma. Jyrkempi laserin kulma $\theta$ antaa ytimessä suuremman kulman $\theta_1$ akseliin nähden ja siksi pienemmän seinän tulokulman $\alpha = 90^\circ - \theta_1$. Raja on siis siinä, missä $\alpha$ painuu rajakulman alle.
Kaava
$\sin\theta = n_1 \sin\theta_1$, missä $\theta_1 = 90^\circ - \alpha$; rajalla $\alpha = \alpha_\text{r}$, joten $\theta = \sin^{-1}\big(n_1 \sin(90^\circ - \alpha_\text{r})\big)$
Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulmat ovat asteina.
Sijoitus
joten
Vastaus
$14^\circ$
Laskettu raja on $14{,}03^\circ$, joten kulmalla $14^\circ$ valo pysyy ytimessä ja kulmalla $15^\circ$ sitä vuotaa, kuten simulaation lukemat näyttävät.
Järkevyys
Ytimen ja kuoren taitekertoimet ovat lähes samat, joten rajakulma on lähellä $90^\circ$:ta ja ytimessä pysyvät vain lähes akselin suuntaiset säteet. Pieni sallittu kulma $14^\circ$ sopii tähän: ilmaa vasten raja olisi paljon suurempi.
Koe 2: ympäröivä aine
Testaa ennuste 2. Laserin kulma on $30^\circ$; muuta vain ympäröivän aineen taitekerrointa $n_2$. Kirjaa ainakin arvot $1{,}00$ (ilma), $1{,}33$ (vesi) ja $1{,}46$ (kuorilasi), halutessasi myös $1{,}40$. Miten rajakulma muuttuu, ja milloin valoa alkaa vuotaa?
Alkutila: laserin kulma $\theta$ = $30^\circ$, ympäröivän aineen taitekerroin = $1{,}0$. Vakiona: laserin kulma $\theta$. Muutetaan: ympäröivän aineen taitekerroin.
| ympäröivän aineen taitekerroin | $\alpha _r$ $(^\circ)$ | $\alpha$ $(^\circ)$ |
|---|
Johtopäätös: milloin valo pysyy kuidussa
Kirjoita taulukoidesi perusteella: millä ehdolla valo pysyy ytimessä? Miten laserin kulma vaikuttaa seinän tulokulmaan, ja miten ympäröivän aineen taitekerroin vaikuttaa rajakulmaan?
Mallivastaus
Valo pysyy ytimessä, kun säteen tulokulma ytimen seinään on suurempi kuin rajakulma, $\alpha > \alpha_\text{r}$. Kokeessa 1 laserin kulman kasvaessa seinän tulokulma pieneni: $14^\circ$:n kulmalla $\alpha = 80{,}59^\circ$ oli vielä suurempi kuin rajakulma $80{,}57^\circ$, mutta $15^\circ$:n kulmalla $\alpha = 79{,}93^\circ$, ja valoa vuoti. Kokeessa 2 rajakulma kasvoi ympäröivän aineen taitekertoimen kasvaessa: ilmaa vasten $42{,}51^\circ$, vettä vasten $63{,}98^\circ$ ja kuorilasia vasten $80{,}57^\circ$. Kun tulokulma oli $70{,}25^\circ$, valo pysyi ytimessä ilmaa ja vettä vasten mutta vuoti kuorilasia vasten. Mitä pienempi taitekertoimien ero on, sitä suurempi on rajakulma ja sitä lähempänä akselia valon on kuljettava. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Valo optisesti harvempaan aineeseen
Luvussa Valon heijastuminen ja taittuminen nähtiin, että valo taittuu kahden aineen rajapinnassa taittumislain $n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$ mukaan ja että osa valosta heijastuu. Kun valo tulee suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän taitekertoimen aineeseen, esimerkiksi vedestä ilmaan, se taittuu normaalista poispäin: taitekulma on suurempi kuin tulokulma. Vedestä $30^\circ$:n tulokulmassa tuleva säde jatkaa ilmassa $41{,}7^\circ$:n kulmassa normaaliin nähden. Kun tulokulmaa kasvatetaan, taitekulma kasvaa vielä nopeammin ja lähestyy $90^\circ$:ta. Samalla heijastuvan valon osuus kasvaa.
Rajakulma ja kokonaisheijastuminen
Tulokulmaa, jolla taitekulma on $90^\circ$, sanotaan rajakulmaksi $\alpha_\text{r}$. Rajakulmassa taittunut säde kulkee pitkin rajapintaa. Kun tulokulma on suurempi kuin rajakulma, taittumislaista ei saada taitekulmaa, koska sen sinin pitäisi olla suurempi kuin yksi. Toiseen aineeseen ei silloin pääse valoa lainkaan, vaan kaikki valo heijastuu takaisin heijastumislain mukaan. Tämä on kokonaisheijastuminen. Veden ja ilman rajapinnassa rajakulma on $48{,}8^\circ$. Siksi sukeltaja näkee vedenpinnan vinosti alhaalta katsottuna peilinä, josta näkyy pohja.
Vain suuremmasta taitekertoimesta pienempään
Kokonaisheijastuminen voi tapahtua vain, kun valo tulee suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän taitekertoimen aineeseen. Kun valo tulee ilmasta veteen tai lasiin, se taittuu normaalia kohti, ja taittunut säde on olemassa jokaisella tulokulmalla. Silloin osa valosta pääsee aina toiseen aineeseen, vaikka heijastuva osuus kasvaa suurilla tulokulmilla. Kokonaisheijastumisessa valoa ei katoa: sileästä rajapinnasta heijastunut säde vie mukanaan koko tulevan säteen tehon, kun aine ei absorboi valoa. Siksi kokonaisheijastuminen on parempi peili kuin metallipinta, joka absorboi osan valosta.
Valokuitu
Valokuitu on hiuksen paksuinen lasikuitu, jonka keskellä on ydin ja sen ympärillä kuori. Ytimen taitekerroin on hieman suurempi kuin kuoren, esimerkiksi $1{,}48$ ja $1{,}46$. Kuidun päähän lähes akselin suuntaisesti tuleva valo osuu ytimen ja kuoren rajapintaan hyvin loivasti eli suurella tulokulmalla, joka on suurempi kuin rajakulma. Valo kokonaisheijastuu joka kerta takaisin ytimeen ja etenee kuitua pitkin siksakkia myös silloin, kun kuitu kaartuu loivasti. Jos valo tulee kuidun päähän liian jyrkässä kulmassa, se osuu rajapintaan rajakulmaa pienemmällä tulokulmalla, ja jokaisessa osumassa osa siitä taittuu kuoreen ja katoaa ytimestä. Jyrkkä mutka pienentää tulokulmaa samalla tavalla, joten kuitua ei saa taittaa terävälle mutkalle.
Miksi kuidussa on kuori
Paljas lasisauva pitää valon sisällään ilmassakin, ja vieläpä jyrkemmin tulevan valon, koska lasin ja ilman taitekertoimien ero on suuri ja rajakulma siksi pieni. Lasin pintaan tarttuva vesi, rasva tai toinen kuitu kuitenkin muuttaa rajapintaa, ja kosketuskohdasta valoa vuotaa ulos. Kuori pitää heijastavan rajapinnan puhtaana kuidun sisällä, ja muovinen suojapäällyste suojaa lasia naarmuilta. Kun ytimen ja kuoren taitekertoimien ero on pieni, kuidussa pysyvät vain lähes akselin suuntaiset säteet. Niiden kulkumatkat ovat lähes yhtä pitkät, joten lyhyet valopulssit venyvät matkalla vain vähän.
Tietoa valopulsseina
Tietoliikenteessä tieto kulkee kuidussa lyhyinä valopulsseina. Valona käytetään yleensä infrapunavaloa, jonka aallonpituus on noin $1550\,\text{nm}$, koska kuidun kvartsilasi vaimentaa sitä vähiten. Valon teho pienenee kuidussa puoleen vasta noin $15\,\text{km}$:n matkalla, joten pitkillä yhteyksillä pulssit vahvistetaan vain noin $50$–$100\,\text{km}$:n välein. Esimerkiksi Cinian merikaapeli C-Lion1 kulkee Itämeren pohjassa Helsingistä Saksan Rostockiin, ja sen pituus on $1172\,\text{km}$ (Cinia, 2016). Valo etenee lasissa hitaammin kuin tyhjiössä, joten kuitu viivästyttää signaalia hieman enemmän kuin pelkkä matka antaisi odottaa.
Tähystin
Lääkärin kuituendoskoopissa eli tähystimessä on kaksi kuitukimppua. Toinen vie valoa kehon sisään, ja toinen tuo kuvan takaisin. Kuvakimpun tuhannet kuidut ovat kimpun kummassakin päässä samassa järjestyksessä, ja kukin kuitu kuljettaa yhden kuvapisteen valon. Kimppu taipuu, joten sillä nähdään mutkan taakse esimerkiksi mahalaukkuun.
Timantin säihke
Timantin taitekerroin on $2{,}42$, joten sen rajakulma ilmaa vasten on vain $24{,}4^\circ$. Hiotun timantin alaviistopinnat on kallistettu niin, että yläpinnasta tuleva valo osuu niihin rajakulmaa suuremmalla tulokulmalla. Valo kokonaisheijastuu ja palaa ylöspäin katsojaa kohti. Samanmuotoisessa lasikivessä rajakulma on $41{,}8^\circ$, joten osa samasta valosta taittuu ulos kiven alapuolelta, ja lasi säihkyy vähemmän.
Rajakulma
Rajakulmassa taitekulma on $90^\circ$, ja $\sin 90^\circ = 1$. Kun taittumislakiin sijoitetaan tulokulmaksi rajakulma ja taitekulmaksi $90^\circ$, saadaan rajakulmalle
$$\begin{aligned} n_1 \sin\alpha_\text{r} &= n_2 \sin 90^\circ \\[6pt] \sin\alpha_\text{r} &= \frac{n_2}{n_1} \end{aligned}$$
missä $\alpha_\text{r}$ on rajakulma rajapinnan normaalista mitattuna, $n_1$ sen aineen taitekerroin, josta valo tulee, ja $n_2$ sen aineen taitekerroin, johon valo on menossa. Rajakulma on olemassa vain, kun $n_1 > n_2$: muuten $n_2 : n_1 \ge 1$. Kun tulokulma on suurempi kuin rajakulma, valo kokonaisheijastuu. Mitä suurempi taitekertoimien ero on, sitä pienempi on rajakulma, kuten kuvaajasta näkyy.
Valon kulkuaika kuidussa
Aineessa, jonka taitekerroin on $n$, valo etenee nopeudella $v = c : n$ (luku Valon heijastuminen ja taittuminen). Matkaan $s$ kuluu siksi aika
$$t = \frac{s}{v} = \frac{n s}{c}$$
missä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ on valon nopeus tyhjiössä. Kuidun lasissa $n \approx 1{,}47$, joten valo etenee nopeudella noin $2{,}04 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ eli noin kahdella kolmasosalla tyhjiön valonnopeudesta. Kaava antaa kuidun akselin suuntaisen säteen kulkuajan. Siksakkia etenevä säde kulkee hieman pidemmän matkan ja tulee perille hieman myöhemmin.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että valo voi kokonaisheijastua mistä tahansa rajapinnasta, kunhan tulokulma on tarpeeksi suuri, esimerkiksi myös silloin, kun valo tulee ilmasta veteen. Ilmasta veteen tuleva valo taittuu kuitenkin normaalia kohti, ja taittunut säde on olemassa kaikilla tulokulmilla, joten osa valosta pääsee aina veteen. Kokonaisheijastuminen vaatii, että valo tulee suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän taitekertoimen aineeseen. Toinen virhe on luulla, että valokuidun sisäpinta on peilattu. Kuidussa ei ole peilipintaa: ydin ja kuori ovat kumpikin läpinäkyvää lasia, ja valo pysyy ytimessä, koska kuoren taitekerroin on pienempi ja tulokulma on suurempi kuin rajakulma.
Tiivistelmä
- Kun valo tulee suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän taitekertoimen aineeseen, se taittuu normaalista poispäin. Rajakulmassa $\alpha_\text{r}$ taitekulma on $90^\circ$.
- Rajakulma saadaan yhtälöstä $\sin\alpha_\text{r} = n_2 : n_1$, kun $n_1 > n_2$. Kun tulokulma on suurempi kuin rajakulma, kaikki valo heijastuu takaisin: tapahtuu kokonaisheijastuminen.
- Valokuidussa ytimen taitekerroin on hieman suurempi kuin kuoren, ja valo etenee ytimessä kokonaisheijastuen. Liian jyrkästi tuleva valo vuotaa ulos.
- Kuitua käytetään tiedonsiirrossa, tähystimissä ja valaisimissa. Kuidussa valo etenee nopeudella $v = c : n$, ja kulkuaika on $t = n s : c$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: mikä pitää valon merikaapelin kuidussa, ja miksi kuidussa on kuori, vaikka paljas lasi heijastaisi valon ilmaa vasten vielä paremmin?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Valokuidun ytimen taitekerroin on $1{,}48$ ja kuoren $1{,}46$. Kuinka suuri on rajakulma ytimen ja kuoren rajapinnassa? Ytimessä etenevä säde osuu rajapintaan $83^\circ$:n tulokulmassa. Pysyykö se ytimessä?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}48$, kuoren taitekerroin $n_2 = 1{,}46$ ja säteen tulokulma $\alpha = 83^\circ$. Kysytään rajakulmaa $\alpha_\text{r}$ ja sitä, kokonaisheijastuuko säde.
Vaihe 2/7
Periaate. Valo tulee ytimestä kuoreen eli suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän, joten rajakulma on olemassa. Rajakulmassa taitekulma olisi $90^\circ$, joten rajakulman sini saadaan taittumislaista. Jos tulokulma on suurempi kuin rajakulma, säde kokonaisheijastuu.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} n_1 \sin\alpha_\text{r} &= n_2 \sin 90^\circ \\[6pt] \sin\alpha_\text{r} &= \frac{n_2}{n_1} \\[6pt] \alpha_\text{r} &= \sin^{-1}\frac{n_2}{n_1} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja, ja kulma saadaan asteina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} \sin\alpha_\text{r} &= \frac{1{,}46}{1{,}48} \\ &= 0{,}9865 \\[6pt] \alpha_\text{r} &= \sin^{-1} 0{,}9865 \\ &= 80{,}57^\circ \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Rajakulma on $\alpha_\text{r} \approx 80{,}6^\circ$, kolmella merkitsevällä numerolla kuten taitekertoimet. Tulokulma $83^\circ$ on suurempi kuin rajakulma, joten säde kokonaisheijastuu ja pysyy ytimessä.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Taitekertoimet ovat lähes yhtä suuret, joten säde taittuu kuoreen vain vähän ja rajakulman pitää olla lähellä $90^\circ$:ta, kuten tuloksessa. Lasin ja ilman rajapinnassa ero on paljon suurempi, ja rajakulma on vain noin $42^\circ$. Tarkistus:
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: merikaapelin viive
Merikaapeli C-Lion1 on $1172\,\text{km}$ pitkä (Cinia, 2016). Oletetaan, että kuidun lasin taitekerroin on $1{,}47$ ja että valopulssi kulkee kuidun akselin suuntaisesti.
Kuinka kauan pulssilta kestää kulkea Helsingistä Rostockiin? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Vastaa millisekunteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Valo etenee lasissa hitaammin kuin tyhjiössä. Millä nopeudella?
Vihje 2: mikä yhteys
Nopeus lasissa on $v = c : n$, ja kulkuaika $t = s : v = n s : c$.
Vihje 3: välivaihe
$t = 1{,}47 \cdot 1\,172\,000\,\text{m} : (3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s})$. Muunna sekunnit millisekunneiksi.
Näytä ratkaisu
Annettu
kaapelin pituus $s = 1172\,\text{km}$, lasin taitekerroin $n = 1{,}47$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
valopulssin kulkuaika $t$ millisekunteina
Periaate
Lasissa valo etenee tasaisella nopeudella $v = c : n$, joka on pienempi kuin valon nopeus tyhjiössä. Pulssi kulkee akselin suuntaisesti, joten sen matka on kaapelin pituus, ja kulkuaika on matka jaettuna nopeudella.
Kaava
$v = \dfrac{c}{n}$ ja $t = \dfrac{s}{v}$, josta $t = \dfrac{n s}{c}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.
Sijoitus
Vastaus
$5{,}74\,\text{ms}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}47$ ja valon nopeus.
Järkevyys
Valo kulkee lasissa nopeudella noin $2 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ eli $200\,\text{km}$ millisekunnissa, joten $1172\,\text{km}$:n matkaan kuluu noin $6\,\text{ms}$. Tyhjiössä aika olisi $3{,}91\,\text{ms}$, ja lasissa se on $1{,}47$-kertainen.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Lasin taitekerroin on $1{,}60$. Kuinka suuri on lasin ja ilman rajapinnan rajakulma?
Vastaus
$\sin\alpha_\text{r}$$= 1{,}00 : 1{,}60$$= 0{,}625$joten $\alpha_\text{r} = 38{,}7^\circ$. Valo kokonaisheijastuu, kun se tulee lasista ilmaan tätä suuremmalla tulokulmalla.
- Miksi hiottu timantti säihkyy enemmän kuin samanmuotoinen lasikivi?
Vastaus
Timantin taitekerroin $2{,}42$ on suuri, joten sen rajakulma ilmaa vasten on vain $24{,}4^\circ$. Kiven sisällä valo osuu alaviistopintoihin useimmiten rajakulmaa suuremmalla tulokulmalla, kokonaisheijastuu ja palaa ylöspäin katsojaa kohti. Lasin rajakulma $41{,}8^\circ$ on suurempi, joten osa valosta vuotaa ulos kiven alapuolelta.
1. Käsite: kokonaisheijastumisen ehto
2. Laske: valaisinkuidun rajakulma
Koristevalaisimen muovikuidun ytimen taitekerroin on $1{,}49$ ja kuoren $1{,}40$. Kuinka suuri on rajakulma ytimen ja kuoren rajapinnassa? Vastaa asteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Valo tulee ytimestä kuoreen. Kumpi taitekerroin on $n_1$?
Vihje 2: mikä yhteys
$\sin\alpha_\text{r} = n_2 : n_1$, missä $n_1$ on ytimen taitekerroin.
Vihje 3: välivaihe
$\sin\alpha_\text{r} = 1{,}40 : 1{,}49$. Ota tuloksesta käänteinen sini.
Näytä ratkaisu
Annettu
ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}49$, kuoren taitekerroin $n_2 = 1{,}40$
Kysytty
rajakulma $\alpha_\text{r}$ asteina
Periaate
Valo tulee ytimestä kuoreen eli suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän, joten rajakulma on olemassa. Rajakulmassa taitekulma olisi $90^\circ$, joten taittumislaista $n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$ saadaan rajakulman sini.
Kaava
josta
Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja.
Sijoitus
Vastaus
$70{,}0^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Taitekertoimien ero $0{,}09$ on suurempi kuin tavallisessa lasikuidussa, joten rajakulma on pienempi kuin lasikuidun noin $80^\circ$, mutta paljon suurempi kuin lasin ja ilman rajakulma noin $42^\circ$. Tarkistus: $1{,}49 \cdot \sin 69{,}98^\circ = 1{,}40$.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: valokuitu
Selitä, miten valokuitu johtaa valoa, vaikka se on läpinäkyvää lasia. Selitä myös, miksi liian jyrkästi kuidun päähän tuleva valo ei pysy kuidussa.
Mallivastaus
Kuidun ytimen taitekerroin on hieman suurempi kuin kuoren. Ytimessä etenevä valo osuu ytimen ja kuoren rajapintaan suurella tulokulmalla. Kun tulokulma on suurempi kuin rajakulma $\sin\alpha_\text{r} = n_2 : n_1$, taittunutta sädettä ei ole, ja kaikki valo heijastuu takaisin ytimeen. Näin valo etenee kuitua pitkin kokonaisheijastuen kerta toisensa jälkeen. Jos valo tulee kuidun päähän jyrkässä kulmassa, se kulkee ytimessä jyrkästi ja osuu seinään pienellä tulokulmalla. Kun tulokulma on rajakulmaa pienempi, osa valosta taittuu jokaisessa osumassa kuoreen ja katoaa ytimestä.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Kokonaisheijastus
- Ilmiö, jossa valo heijastuu kokonaan takaisin tiheämmästä aineesta rajakulman ylittyessä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 12-1Ydintehtävä
Uima-altaan pohjalla oleva lamppu lähettää valoa vedenpintaa kohti. Veden taitekerroin on $1{,}33$ ja ilman $1{,}00$. Kuinka suuri on veden ja ilman rajapinnan rajakulma?
Vastaus
$48{,}8^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$
Kysytty
veden ja ilman rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r}$ asteina
Periaate
Lampun valo tulee vedestä ilmaan eli suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän, joten rajakulma on olemassa. Rajakulmassa taitekulma on $90^\circ$, joten rajakulman sini saadaan taittumislaista $n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja, ja kulma saadaan asteina.
Sijoitus
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{1{,}00}{1{,}33}$$= \sin^{-1} 0{,}7519$$= 48{,}75^\circ$Vastaus
$48{,}8^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet $1{,}33$ ja $1{,}00$.
Järkevyys
Rajakulman on oltava $0^\circ$:n ja $90^\circ$:n välissä. Veden taitekerroin on pienempi kuin lasin ($1{,}50$, rajakulma $41{,}8^\circ$), joten veden rajakulman pitää olla suurempi kuin lasin, kuten tuloksessa. Tarkistus: $1{,}33 \cdot \sin 48{,}75^\circ = 1{,}00$.
- Tehtävä 12-2Ydintehtävä
Timantin taitekerroin on $2{,}42$. Kuinka suuri on timantin ja ilman rajapinnan rajakulma?
Vastaus
$24{,}4^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
timantin taitekerroin $n_1 = 2{,}42$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$
Kysytty
timantin ja ilman rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r}$ asteina
Periaate
Valo tulee timantista ilmaan eli suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän, joten rajakulma on olemassa. Rajakulmassa taitekulma on $90^\circ$, ja taittumislaista $n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$ saadaan rajakulman sini.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja.
Sijoitus
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{1{,}00}{2{,}42}$$= \sin^{-1} 0{,}4132$$= 24{,}41^\circ$Vastaus
$24{,}4^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Timantin taitekerroin on suuri, joten rajakulman pitää olla paljon pienempi kuin veden $48{,}8^\circ$ tai lasin $41{,}8^\circ$, kuten tuloksessa. Pieni rajakulma selittää, miksi timantin sisällä valo kokonaisheijastuu helposti ja timantti säihkyy. Tarkistus: $2{,}42 \cdot \sin 24{,}41^\circ = 1{,}00$.
- Tehtävä 12-3
Akvaarion lasiseinän taitekerroin on $1{,}52$, ja sen sisäpintaa vasten on vettä, jonka taitekerroin on $1{,}33$. Kuinka suuri on rajakulma, kun valo tulee lasista veteen?
Vastaus
$61{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
lasin taitekerroin $n_1 = 1{,}52$, veden taitekerroin $n_2 = 1{,}33$
Kysytty
lasin ja veden rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r}$ asteina, kun valo tulee lasista veteen
Periaate
Lasin taitekerroin on suurempi kuin veden, joten lasista veteen tulevalla valolla on rajakulma. Rajakulmassa taitekulma on $90^\circ$, ja taittumislaista $n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$ saadaan rajakulman sini.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{n_2}{n_1}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä lukuja.
Sijoitus
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{1{,}33}{1{,}52}$$= \sin^{-1} 0{,}8750$$= 61{,}04^\circ$Vastaus
$61{,}0^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Lasin ja veden taitekertoimet ovat lähempänä toisiaan kuin lasin ja ilman, joten rajakulman pitää olla suurempi kuin lasin ja ilman rajakulma noin $41^\circ$, kuten tuloksessa. Tarkistus: $1{,}52 \cdot \sin 61{,}04^\circ = 1{,}33$.
- Tehtävä 12-4
Valokuidun lasin taitekerroin on $1{,}47$. Kuinka suuri on valon nopeus kuidun lasissa? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$2{,}04 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lasin taitekerroin $n = 1{,}47$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
valon nopeus $v$ kuidun lasissa kilometreinä sekunnissa
Periaate
Taitekerroin kertoo, kuinka monta kertaa suurempi valon nopeus tyhjiössä on kuin valon nopeus aineessa. Siksi lasissa valo etenee nopeudella $c : n$.
Kaava
$n = \dfrac{c}{v}$, josta $v = \dfrac{c}{n}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$, joten
$1\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$= \tfrac{1}{1000}\,\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$Sijoitus
$v$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}{1{,}47}$$= 2{,}041 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 2{,}041 \cdot 10^5\,\text{km/s}$Vastaus
$2{,}04 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}47$.
Järkevyys
Nopeus on noin kaksi kolmasosaa valon nopeudesta tyhjiössä, $300\,000\,\text{km/s}$, kuten lasille pitää. Se on pienempi kuin $c$, koska taitekerroin on suurempi kuin yksi.
- Tehtävä 12-5
Valopulssi etenee valokuidussa nopeudella $2{,}0 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Kuinka kauan pulssilta kestää kulkea $100\,\text{km}$:n pituinen kuitu? Anna vastaus millisekunteina.
Vastaus
$0{,}50\,\text{ms}$
Näytä ratkaisu
Annettu
valon nopeus kuidussa $v = 2{,}0 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, kuidun pituus $s = 100\,\text{km}$
Kysytty
kulkuaika $t$ millisekunteina
Periaate
Pulssi etenee kuidussa tasaisella nopeudella, joten kulkuaika on matka jaettuna nopeudella.
Kaava
$v = \dfrac{s}{t}$, josta $t = \dfrac{s}{v}$
Muunnokset
$s$$= 100\,\text{km}$$= 100 \cdot 1000\,\text{m}$$= 1{,}00 \cdot 10^5\,\text{m}$Lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{1{,}00 \cdot 10^5\,\text{m}}{2{,}0 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$= 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{s}$$= 0{,}50\,\text{ms}$Vastaus
$0{,}50\,\text{ms}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeus $2{,}0 \cdot 10^8\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Valo kulkee kuidussa $200\,\text{km}$ millisekunnissa, joten puoleen matkaan, $100\,\text{km}$:iin, kuluu puoli millisekuntia. Aika on lyhyt, kuten valon nopeudella pitää.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 12-6Ydintehtävä
Valokuidun ytimen taitekerroin on $1{,}47$, ja ytimen ja kuoren rajapinnan rajakulma on $82{,}0^\circ$. Kuinka suuri on kuoren taitekerroin?
Vastaus
$1{,}46$
Näytä ratkaisu
Annettu
ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}47$, ytimen ja kuoren rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r} = 82{,}0^\circ$
Kysytty
kuoren taitekerroin $n_2$
Periaate
Valo tulee ytimestä kuoreen, ja rajakulmassa taitekulma on $90^\circ$. Taittumislaista $n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$ saadaan yhteys rajakulman ja taitekertoimien välille, ja siitä voidaan ratkaista kuoren taitekerroin.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta $n_2 = n_1 \sin\alpha_\text{r}$
Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulma on asteina.
Sijoitus
$n_2$$= 1{,}47 \cdot \sin 82{,}0^\circ$$= 1{,}47 \cdot 0{,}9903$$= 1{,}456$Vastaus
$1{,}46$
Kolme merkitsevää numeroa kuten ytimen taitekerroin $1{,}47$ ja kulma $82{,}0^\circ$.
Järkevyys
Kuoren taitekertoimen pitää olla pienempi kuin ytimen, jotta kokonaisheijastuminen on mahdollinen, ja rajakulma lähellä $90^\circ$:ta tarkoittaa, että taitekertoimet ovat lähes samat. Tulos $1{,}46$ on vähän pienempi kuin $1{,}47$, kuten pitää.
- Tehtävä 12-7Ydintehtävä
Kiikarissa valo käännetään lasiprismalla, jonka poikkileikkaus on suorakulmainen tasakylkinen kolmio. Valo tulee prismaan pitkän sivutahkon läpi ja osuu prisman sisällä lyhyelle sivutahkolle (kateettitahkolle) $45^\circ$:n tulokulmassa, ja sen pitää kokonaisheijastua siitä. Prisman ulkopuolella on ilmaa.
Kuinka suuri prisman lasin taitekertoimen on vähintään oltava?
Vastaus
$1{,}41$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulokulma prisman lyhyelle sivutahkolle (kateettitahkolle) $\alpha = 45^\circ$, prisman ulkopuolella ilmaa $n_2 = 1{,}00$
Kysytty
prisman lasin pienin taitekerroin $n$, jolla valo kokonaisheijastuu
Periaate
Valo kokonaisheijastuu lasista ilmaan, kun tulokulma on suurempi kuin rajakulma tai yhtä suuri. Siksi rajakulma saa olla enintään $45^\circ$. Rajakulma pienenee, kun lasin taitekerroin kasvaa, joten pienin sallittu taitekerroin on se, jolla rajakulma on täsmälleen $45^\circ$.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r} = \dfrac{n_2}{n}$, josta rajalla $\alpha_\text{r} = \alpha$ saadaan $n = \dfrac{n_2}{\sin\alpha}$
Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä.
Sijoitus
$n$$= \dfrac{1{,}00}{\sin 45^\circ}$$= \dfrac{1{,}00}{0{,}7071}$$= 1{,}414$Vastaus
vähintään $1{,}41$, kolme merkitsevää numeroa kuten ilman taitekerroin $1{,}00$.
Järkevyys
Tavallisen lasin taitekerroin on noin $1{,}5$ ja rajakulma ilmaa vasten noin $42^\circ$, joten $45^\circ$:n tulokulma ylittää sen, ja kiikarin lasiprisma toimii peilinä. Vesi ($1{,}33$) ei riittäisi, koska sen rajakulma $48{,}8^\circ$ on yli $45^\circ$.
- Tehtävä 12-8
Läpinäkyvän muovisauvan ja ilman rajapinnan rajakulmaksi mitattiin $42{,}0^\circ$. Kuinka suuri on valon nopeus muovissa? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$2{,}01 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
muovin ja ilman rajapinnan rajakulma $\alpha_\text{r} = 42{,}0^\circ$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
valon nopeus $v$ muovissa kilometreinä sekunnissa
Periaate
Rajakulmasta saadaan muovin taitekerroin, koska rajakulmassa taitekulma ilmassa on $90^\circ$. Taitekerroin taas kertoo, kuinka monta kertaa hitaammin valo etenee muovissa kuin tyhjiössä.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r} = \dfrac{n_2}{n}$, josta $n = \dfrac{n_2}{\sin\alpha_\text{r}}$, ja $v = \dfrac{c}{n}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.
Sijoitus
$n$$= \dfrac{1{,}00}{\sin 42{,}0^\circ}$$= \dfrac{1{,}00}{0{,}6691}$$= 1{,}494$$v$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}{1{,}494}$$= 2{,}007 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 2{,}007 \cdot 10^5\,\text{km/s}$Vastaus
$2{,}01 \cdot 10^5\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten rajakulma $42{,}0^\circ$.
Järkevyys
Muovin taitekerroin $1{,}49$ on lasin luokkaa, joten valon nopeus on noin kaksi kolmasosaa tyhjiön valonnopeudesta, kuten lasissakin. Nopeus on pienempi kuin $c$.
- Tehtävä 12-9
Kahden kaupungin välinen valokuitu on $250\,\text{km}$ pitkä, ja kuidun lasin taitekerroin on $1{,}46$.
Kuinka kauan kuidun akselin suuntaisesti kulkevalta valopulssilta kestää kulkea kaupungista toiseen? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Anna vastaus millisekunteina.
Vastaus
$1{,}22\,\text{ms}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuidun pituus $s = 250\,\text{km}$, lasin taitekerroin $n = 1{,}46$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
valopulssin kulkuaika $t$ millisekunteina
Periaate
Lasissa valo etenee tasaisella nopeudella $v = c : n$. Pulssi kulkee kuidun akselin suuntaisesti, joten sen matka on kuidun pituus, ja kulkuaika on matka jaettuna nopeudella.
Kaava
$v = \dfrac{c}{n}$ ja $t = \dfrac{s}{v}$, josta $t = \dfrac{n s}{c}$
Muunnokset
$s$$= 250\,\text{km}$$= 250 \cdot 1000\,\text{m}$$= 2{,}50 \cdot 10^5\,\text{m}$Lopuksi $1\,\text{s} = 1000\,\text{ms}$.
Sijoitus
$t$$= \dfrac{1{,}46 \cdot 2{,}50 \cdot 10^5\,\text{m}}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$= 1{,}217 \cdot 10^{-3}\,\text{s}$$= 1{,}217\,\text{ms}$Vastaus
$1{,}22\,\text{ms}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekerroin $1{,}46$ ja kuidun pituus $250\,\text{km}$.
Järkevyys
Kuidussa valo kulkee noin $200\,\text{km}$ millisekunnissa, joten $250\,\text{km}$:n matkaan kuluu vähän yli millisekunti. Tyhjiössä aika olisi $0{,}833\,\text{ms}$, ja lasissa se on $1{,}46$-kertainen.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 12-10
Uima-altaan pohjalla on pieni lamppu $1{,}80\,\text{m}$:n syvyydellä. Veden taitekerroin on $1{,}33$. Pimeällä altaan yläpuolelta katsottuna lampun valoa tulee vedenpinnasta ulos vain ympyrän muotoiselta alueelta, jonka keskipiste on suoraan lampun yläpuolella. Ympyrän ulkopuolella pinta näyttää tummalta.
Kuinka suuri on ympyrän säde?
Vastaus
$2{,}05\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lampun syvyys $h = 1{,}80\,\text{m}$, veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$
Kysytty
sen ympyrän säde $r$, jolta valoa tulee ulos vedenpinnasta
Periaate
Lampusta lähtevät säteet osuvat vedenpintaan sitä suuremmalla tulokulmalla, mitä kauempana lampun yläpuolelta ne osuvat pintaan. Valoa pääsee ilmaan vain, kun tulokulma on pienempi kuin rajakulma; sitä suuremmilla tulokulmilla valo kokonaisheijastuu. Ympyrän reunalla säde osuu pintaan juuri rajakulmassa, ja pinnan normaali on pystysuora, joten syvyys, säde ja valonsäde muodostavat suorakulmaisen kolmion.
Kaava
$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$$\tan\alpha_\text{r} = \dfrac{r}{h}$, josta $r = h \tan\alpha_\text{r}$
Muunnokset
Ei tarvita: syvyys on metreinä, ja säde saadaan metreinä.
Sijoitus
$\alpha_\text{r}$$= \sin^{-1}\dfrac{1{,}00}{1{,}33}$$= 48{,}75^\circ$$r$$= 1{,}80\,\text{m} \cdot \tan 48{,}75^\circ$$= 1{,}80\,\text{m} \cdot 1{,}140$$= 2{,}053\,\text{m}$Vastaus
$2{,}05\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten syvyys $1{,}80\,\text{m}$ ja taitekerroin $1{,}33$.
Järkevyys
Rajakulma on vähän yli $45^\circ$, ja $45^\circ$:n kulmalla säde olisi yhtä suuri kuin syvyys. Siksi säteen pitää olla vähän suurempi kuin $1{,}80\,\text{m}$, kuten tuloksessa.
- Tehtävä 12-11
Valokuidun ytimen taitekerroin on $1{,}480$ ja kuoren $1{,}460$.
Kuituun lähetetään lyhyt valopulssi. Osa valosta kulkee kuidun akselin suuntaisesti, ja osa etenee siksakkia niin, että se osuu ytimen ja kuoren rajapintaan juuri rajakulmassa.
Kuinka paljon myöhemmin siksakkia kulkeva valo saapuu $1{,}00\,\text{km}$:n pituisen suoran kuidun päähän kuin akselin suuntainen valo? Valon nopeus tyhjiössä on $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Anna vastaus nanosekunteina.
Vastaus
$68\,\text{ns}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}480$, kuoren taitekerroin $n_2 = 1{,}460$, kuidun pituus $L = 1{,}00\,\text{km}$, valon nopeus tyhjiössä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
siksakkia ja akselin suuntaisesti kulkevan valon saapumisaikojen ero $\Delta t$ nanosekunteina
Periaate
Molemmat etenevät ytimessä samalla nopeudella $v = c : n_1$, mutta siksakkia kulkevan valon matka on pidempi. Kun säde osuu seinään rajakulmassa, se kulkee kulmassa $90^\circ - \alpha_\text{r}$ akseliin nähden. Jokaisella akselin suuntaisella matkan osalla $\Delta x$ säteen oma matka on $\Delta x : \sin\alpha_\text{r}$, joten koko matka on $L : \sin\alpha_\text{r}$.
Kaava
$t_1$$= \dfrac{n_1 L}{c}$$t_2$$= \dfrac{n_1 L}{c \sin\alpha_\text{r}}$$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$josta
$\Delta t$$= t_2 - t_1$$= \dfrac{n_1 L}{c}\left(\dfrac{n_1}{n_2} - 1\right)$Muunnokset
$L$$= 1{,}00\,\text{km}$$= 1{,}00 \cdot 1000\,\text{m}$Lopuksi $1\,\text{s} = 10^9\,\text{ns}$.
Sijoitus
$\Delta t$$= \dfrac{1{,}480 \cdot 1000\,\text{m}}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}} \cdot \left(\dfrac{1{,}480}{1{,}460} - 1\right)$$= 4{,}933 \cdot 10^{-6}\,\text{s} \cdot 0{,}01370$$= 6{,}758 \cdot 10^{-8}\,\text{s}$$= 67{,}58\,\text{ns}$Vastaus
$68\,\text{ns}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska taitekertoimien erotus $1{,}480 - 1{,}460 = 0{,}020$ on kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Siksakkia kulkevan valon matka on vain noin $1{,}4\,\%$ pidempi, ja koko kulkuaika on noin $4{,}9\,\mu\text{s}$, joten ero on noin $1{,}4\,\%$ siitä eli kymmeniä nanosekunteja. Ero kasvaa matkan mukana, joten pitkillä yhteyksillä lyhyet pulssit venyisivät. Siksi tietoliikennekuiduissa ytimen ja kuoren taitekertoimien ero tehdään hyvin pieneksi.
- Tehtävä 12-12
Paljaassa lasisauvassa ($n = 1{,}50$) etenevä valonsäde osuu sauvan kylkeen $60^\circ$:n tulokulmassa. Ilmaa vasten säde kokonaisheijastuu. Sauvan kylkeen tarttuu kuitenkin vesipisara ($n = 1{,}33$) juuri siihen kohtaan, johon säde osuu.
Kuinka suuressa kulmassa normaaliin nähden säde jatkaa vesipisarassa?
Vastaus
$77{,}6^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
lasin taitekerroin $n_1 = 1{,}50$, veden taitekerroin $n_2 = 1{,}33$, tulokulma $\alpha_1 = 60^\circ$
Kysytty
taitekulma $\alpha_2$ vesipisarassa asteina
Periaate
Ensin tarkistetaan, kokonaisheijastuuko säde myös vettä vasten: lasin ja veden rajakulma on $\sin\alpha_\text{r} = 1{,}33 : 1{,}50$, josta $\alpha_\text{r} = 62{,}46^\circ$. Tulokulma $60^\circ$ on pienempi kuin rajakulma, joten säde ei kokonaisheijastu vaan taittuu veteen. Taitekulma saadaan taittumislaista. Ilmaa vasten rajakulma on vain $41{,}8^\circ$, joten ilmaa vasten säde kokonaisheijastuu.
Kaava
$n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2$, josta
$\alpha_2$$= \sin^{-1}\dfrac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2}$Muunnokset
Ei tarvita: taitekertoimet ovat yksiköttömiä, ja kulmat ovat asteina.
Sijoitus
$\alpha_2$$= \sin^{-1}\dfrac{1{,}50 \cdot \sin 60^\circ}{1{,}33}$$= \sin^{-1}\dfrac{1{,}299}{1{,}33}$$= \sin^{-1} 0{,}9767$$= 77{,}61^\circ$Vastaus
$77{,}6^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taitekertoimet.
Järkevyys
Valo tulee suuremman taitekertoimen aineesta, joten se taittuu normaalista poispäin: taitekulma on suurempi kuin tulokulma $60^\circ$, kuten tuloksessa. Tulokulma on lähellä rajakulmaa $62{,}46^\circ$, joten taitekulma on lähellä $90^\circ$:ta. Tämä selittää, miksi paljaan kuidun pintaan tarttuva vesi päästää valoa ulos.
Valokuvat
- Demostration of Total-Internal-Reflection(TIR) in a wine glass. Keerthi. lähde, CC BY 4.0
- Fiber optic illuminated. Hustvedt. lähde, CC BY-SA 3.0
_in_a_wine_glass.jpg){kind=link}
