Valon interferenssi ja diffraktio
Miksi laserosoittimen säde piirtää seinälle kokonaisen rivin valopisteitä, kun se kulkee ohuen läpinäkyvän kalvon läpi?
Pohjatiedot
- Kahden samassa vaiheessa värähtelevän lähteen aallot vahvistavat toisiaan, kun matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksialuku Aaltojen interferenssi
- Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ja näkyvän valon aallonpituus on $400$–$700\,\text{nm}$luku Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri
- Prismassa violetti valo taittuu eniten, koska lasin taitekerroin on sille suurinluku Dispersio: prisma ja sateenkaari
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 5.
Pohdinta
Fysiikan tunnilla opettaja sammuttaa valot ja ohjaa punaisen laserosoittimen säteen diakehyksen läpi. Kehyksessä on ohut läpinäkyvä kalvo, joka näyttää aivan tavalliselta muovilta. Seinälle ei ilmestykään yksi valopiste, vaan vaakasuora rivi tasavälisiä punaisia pisteitä.
Miten yksi suora valonsäde voi jakautua moneen suuntaan, ja mikä määrää pisteiden paikat?
Valinnainen Kertaa: interferenssi
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: tiheämpi hila
Ennuste 2: valon väri
Tutki
Laserin säde kulkee hilan läpi varjostimelle. Muuta hilan viivatiheyttä, valon aallonpituutta ja varjostimen etäisyyttä ja seuraa, mihin valopisteet osuvat.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä hilan viivatiheyttä $N$ eli viivojen määrää millimetrillä, laserin aallonpituutta $\lambda$ ja varjostimen etäisyyttä $L$ hilasta. Kuva on ylhäältä: laser on vasemmalla, hila sen edessä ja varjostin oikealla. Varjostimen asteikko näyttää etäisyyden $x$ keskimaksimista senttimetreinä. Kaari näyttää ensimmäisen kertaluvun kulman $\theta_1$ säteen suunnasta. Himmeä säde, joka ei osu varjostimeen, on maksimi, joka menee varjostimen reunan ohi. Lukemista näet hilavakion $d$, kahden ensimmäisen kertaluvun kulmat ja etäisyydet sekä maksimien määrän.
Mallin oletukset
Laserin säde tulee kohtisuoraan hilaan, ja varjostin on kohtisuorassa säteeseen nähden. Valo on yhtä aallonpituutta. Kuva on mittakaavassa: varjostin on $1{,}80\,\text{m}$ leveä. Malli laskee vain maksimien suunnat. Korkeampien kertalukujen pisteiden himmeneminen on vain havainnollistus, ei laskettu arvo, eikä mallissa näy rakojen leveyden vaikutusta. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Hilavakio lasketaan viivatiheydestä:
$$d = \frac{1\,\text{mm}}{N}$$
Kertaluvun $k$ maksimi on suunnassa, jolle $d\sin\theta = k\lambda$. Maksimi syntyy vain, kun $k\lambda < d$, joten maksimeja on $2k_\text{max} + 1$, missä $k_\text{max}$ on suurin tämän ehdon täyttävä kokonaisluku. Varjostimella maksimin etäisyys keskimaksimista on $x = L\tan\theta$.
Koe 1: hilan viivatiheys
Testaa ennuste 1. Aallonpituus on $650\,\text{nm}$ ja varjostimen etäisyys $1{,}00\,\text{m}$; muuta vain viivatiheyttä $N$. Kirjaa ainakin arvot $300$, $600$ ja $1000$. Seuraa kulmaa $\theta_1$ ja etäisyyttä $x_1$.
Alkutila: viivatiheys $N$ = $300\,\text{viivaa/mm}$, aallonpituus $\lambda$ = $650\,\text{nm}$, varjostimen etäisyys $L$ = $1{,}0\,\text{m}$. Vakiona: aallonpituus $\lambda$, varjostimen etäisyys $L$. Muutetaan: viivatiheys $N$.
| viivatiheys $N$ | $\theta _1$ $(^\circ)$ | $x_1$ $(\text{cm})$ |
|---|
Laske rivin $N = 600$ lukemista vierekkäisten rakojen matkaero $\Delta s = d\sin\theta_1$, kun hilavakio on $d = 1\,\text{mm} : 600$. Vastaa nanometreinä ja vertaa tulosta laserin aallonpituuteen.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Hilavakio on $d = 1\,\text{mm} : 600$. Kuinka paljon se on nanometreinä?
Vihje 2: mikä yhteys
$1\,\text{mm} = 1\,000\,000\,\text{nm}$, joten
Vihje 3: välivaihe
Kerro hilavakio taulukon kulman sinillä: $1667\,\text{nm} \cdot \sin 22{,}95^\circ$.
Näytä ratkaisu
Annettu
viivatiheys $N = 600$ viivaa millimetrillä, simulaation lukema $\theta_1 = 22{,}95^\circ$, laserin aallonpituus $\lambda = 650\,\text{nm}$
Kysytty
vierekkäisten rakojen matkaero $\Delta s$ ensimmäisen kertaluvun maksimin suunnassa nanometreinä
Periaate
Kun valo tulee kohtisuoraan hilaan, kulmassa $\theta$ lähtevien säteiden matkaero vierekkäisistä raoista on $d\sin\theta$. Ensimmäisen kertaluvun maksimissa aaltojen pitäisi saapua samassa vaiheessa, joten matkaeron pitäisi olla yksi aallonpituus.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$ ja $\Delta s = d\sin\theta_1$
Muunnokset
$1\,\text{mm} = 1\,000\,000\,\text{nm}$, joten
Sijoitus
Vastaus
$650\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus; matkaero on täsmälleen laserin aallonpituus.
Järkevyys
Muilla riveillä tulee sama: $3333\,\text{nm} \cdot \sin 11{,}24^\circ = 650\,\text{nm}$ ja $1000\,\text{nm} \cdot \sin 40{,}54^\circ = 650\,\text{nm}$. Tiheämmässä hilassa $d$ on pienempi, joten $\sin\theta_1$:n on oltava suurempi, jotta tulo pysyy aallonpituuden suuruisena.
Koe 2: aallonpituus
Testaa ennuste 2. Hilassa on $600$ viivaa millimetrillä, ja varjostimen etäisyys on $1{,}00\,\text{m}$; muuta vain aallonpituutta $\lambda$. Kirjaa ainakin sininen $450\,\text{nm}$, vihreä $532\,\text{nm}$ ja punainen $650\,\text{nm}$.
Alkutila: viivatiheys $N$ = $600\,\text{viivaa/mm}$, aallonpituus $\lambda$ = $450\,\text{nm}$, varjostimen etäisyys $L$ = $1{,}0\,\text{m}$. Vakiona: viivatiheys $N$, varjostimen etäisyys $L$. Muutetaan: aallonpituus $\lambda$.
| aallonpituus $\lambda$ | $\theta _1$ $(^\circ)$ | $x_1$ $(\text{cm})$ |
|---|
Laske hilayhtälöstä, kuinka suuressa kulmassa vihreän valon ($532\,\text{nm}$) ensimmäisen kertaluvun maksimi on, kun hilassa on $600$ viivaa millimetrillä. Vertaa tulosta simulaation lukemaan.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin hilavakio $d = 1\,\text{mm} : 600$ metreinä.
Vihje 2: mikä yhteys
Hilayhtälöstä $\sin\theta_1 = \lambda : d$, kun $k = 1$.
Vihje 3: välivaihe
Ota tuloksesta käänteinen sini.
Näytä ratkaisu
Annettu
viivatiheys $N = 600$ viivaa millimetrillä, aallonpituus $\lambda = 532\,\text{nm}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
ensimmäisen kertaluvun maksimin kulma $\theta_1$ keskimaksimin suunnasta asteina
Periaate
Valo tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimi on suunnassa, jossa vierekkäisten rakojen matkaero $d\sin\theta$ on kokonainen määrä aallonpituuksia. Ensimmäisessä kertaluvussa matkaero on yksi aallonpituus.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$ ja $d\sin\theta_1 = k\lambda$, josta
Muunnokset
$532\,\text{nm} = 532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.
Sijoitus
Vastaus
$18{,}6^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus $532\,\text{nm}$; sama kuin simulaation lukema $18{,}61^\circ$.
Järkevyys
Vihreän aallonpituus on sinisen $450\,\text{nm}$ ja punaisen $650\,\text{nm}$ välissä, ja niin on kulmakin:
Tarkistus: $1{,}667\,\mu\text{m} \cdot \sin 18{,}61^\circ = 0{,}532\,\mu\text{m}$.
Valinnainen Lisäkoe: varjostimen etäisyys
Hilassa on $300$ viivaa millimetrillä, ja aallonpituus on $650\,\text{nm}$; muuta vain varjostimen etäisyyttä $L$. Kirjaa ainakin arvot $0{,}50\,\text{m}$, $1{,}00\,\text{m}$ ja $2{,}00\,\text{m}$. Muuttuuko kulma $\theta_1$, ja miten etäisyys $x_1$ muuttuu?
Alkutila: viivatiheys $N$ = $300\,\text{viivaa/mm}$, aallonpituus $\lambda$ = $650\,\text{nm}$, varjostimen etäisyys $L$ = $0{,}5\,\text{m}$. Vakiona: viivatiheys $N$, aallonpituus $\lambda$. Muutetaan: varjostimen etäisyys $L$.
| varjostimen etäisyys $L$ | $\theta _1$ $(^\circ)$ | $x_1$ $(\text{cm})$ | $x_2$ $(\text{cm})$ |
|---|
Johtopäätös: mikä määrää maksimien suunnat
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miten hilan viivatiheys ja valon aallonpituus vaikuttavat ensimmäisen kertaluvun maksimin kulmaan? Mikä suure pysyi kokeessa 1 samana, vaikka hila vaihtui?
Mallivastaus
Kokeessa 1 tiheämpi hila suurensi kulmaa: $300$ viivan hilalla $\theta_1 = 11{,}24^\circ$ ja $x_1 = 19{,}9\,\text{cm}$, $600$ viivan hilalla $22{,}95^\circ$ ja $42{,}4\,\text{cm}$ ja $1000$ viivan hilalla $40{,}54^\circ$ ja $85{,}5\,\text{cm}$. Tulo $d\sin\theta_1$ oli joka rivillä $650\,\text{nm}$ eli laserin aallonpituus: maksimissa vierekkäisten rakojen matkaero on yksi aallonpituus. Kokeessa 2 pidempi aallonpituus suurensi kulmaa: sininen $450\,\text{nm}$ $15{,}66^\circ$, vihreä $532\,\text{nm}$ $18{,}61^\circ$ ja punainen $650\,\text{nm}$ $22{,}95^\circ$. Hilassa punainen valo poikkeaa siis eniten, toisin kuin prismassa. Tulokset sopivat ehtoon $d\sin\theta = k\lambda$. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Mittaus: vihreän laserin aallonpituus
Keksitty esimerkkiaineisto
Opiskelijat mittasivat vihreän laserosoittimen aallonpituuden hilalla. Laser, hila ja varjostin asetettiin riviin niin, että säde osui kohtisuoraan sekä hilaan että varjostimeen. Mittanauhalla mitattiin hilan etäisyys varjostimesta ja symmetristen maksimien välit. Valopisteen keskikohdan arvioiminen oli epävarminta, joten välin mittausepävarmuudeksi arvioitiin $0{,}3\,\text{cm}$. Silloin keskimaksimista mitatun etäisyyden $x$ epävarmuus on puolet siitä, $\Delta x = 0{,}15\,\text{cm}$.
| suure | arvo | mittausepävarmuus |
|---|---|---|
| hilan viivatiheys $N$ | $300$ viivaa millimetrillä | (valmistajan arvo) |
| hilan etäisyys varjostimesta $L$ | $1{,}500\,\text{m}$ | $\Delta L = 0{,}005\,\text{m}$ |
| maksimien $+1$ ja $-1$ väli | $48{,}4\,\text{cm}$ | $0{,}3\,\text{cm}$ |
| maksimien $+2$ ja $-2$ väli | $101{,}2\,\text{cm}$ | $0{,}3\,\text{cm}$ |
Laske laserin aallonpituus toisen kertaluvun maksimeista. Vastaa nanometreinä. Arvioi ratkaisun lopuksi, kuinka suuri tuloksen epävarmuus on.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Maksimien $+2$ ja $-2$ väli on kaksi kertaa toisen kertaluvun maksimin etäisyys $x_2$ keskimaksimista.
Vihje 2: mikä yhteys
Laske ensin kulma yhtälöstä $\tan\theta_2 = x_2 : L$ ja sitten aallonpituus hilayhtälöstä, jossa $k = 2$.
Vihje 3: välivaihe
$d = 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : 300$.
Näytä ratkaisu
Annettu
viivatiheys $N = 300$ viivaa millimetrillä, hilan etäisyys varjostimesta $L = 1{,}500\,\text{m}$ ($\Delta L = 0{,}005\,\text{m}$), maksimien $\pm 2$ väli $101{,}2\,\text{cm}$, kertaluku $k = 2$, $\Delta x = 0{,}15\,\text{cm}$
Kysytty
laserin valon aallonpituus $\lambda$ nanometreinä ja sen epävarmuus
Periaate
Säde tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimit noudattavat hilayhtälöä. Varjostin on kohtisuorassa säteeseen nähden, joten kulma saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, jonka kateetit ovat $x_2$ ja $L$. Kauempi maksimi antaa pienemmän suhteellisen epävarmuuden, koska sen $x$ on suurempi.
Kaava
$\tan\theta_2 = \dfrac{x_2}{L}$ ja $d\sin\theta_2 = k\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{d\sin\theta_2}{k}$, missä $d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$
Muunnokset
Sijoitus
joten
Epävarmuus: suurin arvo saadaan, kun $x_2 = 50{,}75\,\text{cm}$ ja $L = 1{,}495\,\text{m}$, ja se on $536\,\text{nm}$; pienin arvo, kun $x_2 = 50{,}45\,\text{cm}$ ja $L = 1{,}505\,\text{m}$, on $530\,\text{nm}$.
Vastaus
$533\,\text{nm}$
Epävarmuus noin $3\,\text{nm}$; kolme merkitsevää numeroa, koska epävarmuus on muutaman nanometrin luokkaa.
Järkevyys
Vihreän laserosoittimen ilmoitettu aallonpituus $532\,\text{nm}$ on välillä $530$–$536\,\text{nm}$. Ensimmäisen kertaluvun maksimeista ($x_1 = 24{,}2\,\text{cm}$) samalla tavalla saadaan $531\,\text{nm}$ ja väli $526$–$536\,\text{nm}$ eli epävarmuus noin $5\,\text{nm}$: kauempi maksimi todella antaa tarkemman tuloksen.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Valo aaltona
Luvussa Aaltojen interferenssi nähtiin, että kahden samassa vaiheessa värähtelevän saman taajuuden lähteen aallot muodostavat pysyvän interferenssikuvion. Kohdissa, joissa aaltojen matkaero $\Delta s$ on kokonainen määrä aallonpituuksia, aallot vahvistavat toisiaan. Kohdissa, joissa matkaero on puolikkaan aallonpituuden verran yli kokonaisen määrän, ne heikentävät toisiaan. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä (luku Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri), joten valonkin pitäisi interferoida. Näkyvän valon aallonpituus on kuitenkin vain $400$–$700\,\text{nm}$, joten valon interferenssikuvion yksityiskohdat ovat hyvin pieniä.
Koherentti valo
Pysyvä kuvio syntyy vain, kun lähteet ovat koherentteja: niillä on sama taajuus, ja niiden vaihe-ero pysyy samana. Kaksi tavallista lamppua ei tuota kuviota. Lampun valoa lähettävät lukemattomat atomit toisistaan riippumatta, joten kahden lampun valon vaihe-ero vaihtelee satunnaisesti ja hyvin nopeasti. Vahvistavan ja heikentävän interferenssin kohdat vaihtavat silloin paikkaa jatkuvasti, ja silmä näkee vain tasaisen valaistuksen. Laserin valo on koherenttia. Koherentit lähteet saadaan myös jakamalla yhden lähteen valo kahteen osaan, esimerkiksi kahdella raolla.
Diffraktio raossa
Kun valo kulkee kapean raon läpi, se ei jatka terävänä kimppuna, vaan leviää raon taakse myös suuntiin, jotka jäisivät varjoon. Tämä on diffraktiota, joka on tuttua vesiaalloista (luku Aaltojen heijastuminen ja diffraktio). Diffraktio on voimakasta, kun raon leveys on aallonpituuden suuruusluokkaa. Mitä kapeampi rako on, sitä laajemmalle valo leviää: kun rakoa kavennetaan, varjostimelle syntyvä kirkas keskialue levenee eikä kapene. Ikkunasta tuleva valo ei näytä taipuvan, koska ikkuna on miljoonia kertoja aallonpituutta leveämpi.
Youngin kaksoiskoe
Thomas Young teki 1800-luvun alussa kokeen, joka osoitti valon aaltoliikkeeksi. Hän ohjasi saman valon kahteen kapeaan, lähekkäiseen rakoon. Diffraktion vuoksi valo leviää kummastakin raosta laajalle, ja rakojen aallot menevät päällekkäin. Koska molempien rakojen valo tulee samasta aaltorintamasta, raot toimivat koherentteina lähteinä. Varjostimelle syntyy tasavälisiä kirkkaita ja tummia juovia. Keskellä on kirkas juova, koska sinne on kummastakin raosta yhtä pitkä matka. Seuraavassa kirkkaassa juovassa matkaero on yksi aallonpituus. Tummat juovat ovat interferenssin tunnusmerkki: niihin tulee kahdesta raosta yhdessä vähemmän valoa kuin kummastakin raosta yksinään.
Hila
Hila on levy tai kalvo, jossa on suuri määrä tasavälisiä kapeita rakoja tai viivoja. Vierekkäisten rakojen etäisyys on hilavakio $d$. Koulun hiloissa on tavallisesti $100$, $300$ tai $600$ viivaa millimetrillä. Hilan kirkkaat maksimit syntyvät samoihin suuntiin kuin kaksoisraon kirkkaat juovat, kun rakojen väli on sama, eli suuntiin, joissa vierekkäisten rakojen matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia. Silloin jokaisen raon aalto saapuu samassa vaiheessa. Jo vähän sivummalla eri rakojen aallot ovat eri vaiheissa ja kumoavat toisensa lähes kokonaan. Siksi hilan maksimit ovat kapeita ja kirkkaita, ja niiden välissä on lähes pimeää. Laserin valo piirtää varjostimelle teräviä pisteitä, joiden paikat voi mitata tarkasti.
Valkoinen valo hilassa
Mitä pidempi aallonpituus on, sitä suuremman matkaeron ja siksi suuremman poikkeamakulman maksimi vaatii. Valkoisen valon kaikki värit menevät keskimaksimiin samaan suuntaan, joten keskimaksimi on valkoinen. Sen molemmin puolin valo hajoaa spektriksi: violetti poikkeaa vähiten ja punainen eniten. Prismassa järjestys on päinvastainen, koska violetin valon taitekerroin on suurin (luku Dispersio: prisma ja sateenkaari). Kauempana keskimaksimista eri kertalukujen spektrit menevät osittain päällekkäin. Spektrometreissä valon aallonpituudet mitataan hilan avulla.
CD-levy heijastushilana
CD-levyn tietoraita kiertää levyn pinnalla tiheänä spiraalina, ja raidan vierekkäisten kierrosten etäisyys on $1{,}6\,\mu\text{m}$ (standardi IEC 60908, 1999). DVD-levyllä etäisyys on $0{,}74\,\mu\text{m}$ (standardi ECMA-267, 2001). Levyn pinnasta heijastuva valo käyttäytyy samoin kuin hilan läpi kulkeva valo: tasavälisistä raidoista heijastuneet aallot interferoivat, ja kukin aallonpituus vahvistuu omassa suunnassaan. Siksi levyn pinnalla näkyy sateenkaaren värejä, jotka vaihtuvat katselukulman mukaan. Tällaista hilaa sanotaan heijastushilaksi.
Hilayhtälö
Kun valo tulee kohtisuoraan hilaan, vierekkäisistä raoista kulmassa $\theta$ lähtevien säteiden matkaero saadaan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta: $\Delta s = d\sin\theta$. Kulma $\theta$ mitataan tulevan valon suunnasta eli keskimaksimin suunnasta. Maksimi syntyy, kun matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia:
$$d \sin\theta = k\lambda$$
missä $d$ on hilavakio ($\text{m}$), $\theta$ maksimin suunta tulevan valon suuntaan nähden, $k = 0, 1, 2, \ldots$ maksimin kertaluku ja $\lambda$ valon aallonpituus ($\text{m}$). Kertaluku $k = 0$ on keskimaksimi. Sen kummallakin puolella on samanlaiset maksimit, joten toisen puolen kertaluvut merkitään usein negatiivisina.
Hilavakio viivatiheydestä
Hilan valmistaja ilmoittaa yleensä, kuinka monta viivaa hilassa on millimetrin matkalla. Jos millimetrillä on $N$ viivaa, vierekkäisten viivojen etäisyys on
$$d = \frac{1\,\text{mm}}{N}$$
Esimerkiksi kun millimetrillä on $300$ viivaa, $d = 1\,\text{mm} : 300 = 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : 300 = 3{,}33 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$ eli $3{,}33\,\mu\text{m}$. Mitä tiheämpi hila on, sitä pienempi on $d$ ja sitä suuremmassa kulmassa saman kertaluvun maksimi on.
Kuinka monta maksimia syntyy
Sinin arvo on enintään $1$, joten kertaluvun on täytettävä ehto $k\lambda < d$. Tasarajalla $k\lambda = d$ valo kulkisi hilan pinnan suuntaisesti eikä osuisi varjostimelle. Esimerkiksi kun hilassa on $600$ viivaa millimetrillä ja valon aallonpituus on $650\,\text{nm}$, $d : \lambda = 1{,}667\,\mu\text{m} : 0{,}650\,\mu\text{m} = 2{,}56$. Maksimeja syntyy kertaluvuilla $k = 0, \pm 1, \pm 2$ eli viisi kappaletta.
Kulma varjostimelta
Kulmaa ei yleensä mitata suoraan, vaan varjostimelta mitataan etäisyyksiä. Kun varjostin on kohtisuorassa laserin sädettä vastaan etäisyydellä $L$ hilasta ja maksimi on etäisyydellä $x$ keskimaksimista, kuvan suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
$$\tan\theta = \frac{x}{L}$$
Sini ja tangentti ovat lähes yhtä suuret vain pienillä kulmilla, joten ensin lasketaan kulma tangentista ja vasta sitten kulman sini. Esimerkiksi kun hilassa on $600$ viivaa millimetrillä ja vihreän laserin aallonpituus on $532\,\text{nm}$, $\theta_1 = 18{,}6^\circ$, ja metrin päässä olevalla varjostimella $x_1 = 33{,}7\,\text{cm}$.
Laserin aallonpituuden mittaaminen
Hilalla voi mitata laserin aallonpituuden koulun laboratoriossa. Laser, hila ja varjostin asetetaan riviin niin, että säde osuu kohtisuoraan sekä hilaan että varjostimeen. Mittanauhalla mitataan hilan etäisyys varjostimesta $L$ ja kahden symmetrisen maksimin $+k$ ja $-k$ välinen etäisyys, jonka puolikas on $x$. Kahden pisteen välin mittaaminen on tarkempaa kuin keskimaksimin paikan arvioiminen. Laserosoittimen säteeseen ei saa katsoa, eikä sitä saa suunnata kenenkään silmiin.
Suurin epävarmuus syntyy yleensä siitä, mihin valopisteen keskikohta arvioidaan. Jos $x$ voidaan mitata esimerkiksi epävarmuudella $\Delta x = 0{,}2\,\text{cm}$, kauempana olevasta maksimista saadaan pienempi suhteellinen epävarmuus, koska sen $x$ on suurempi. Tulosta verrataan valmistajan ilmoittamaan arvoon: punaisen laserosoittimen aallonpituus on yleensä noin $650\,\text{nm}$ ja vihreän $532\,\text{nm}$.
Yleinen virhekäsitys
Moni olettaa, että hila taivuttaa sinistä ja violettia valoa eniten, kuten prisma. Hilassa on päinvastoin: maksimin suunnan määrää ehto $d\sin\theta = k\lambda$, joten pisin aallonpituus eli punainen valo poikkeaa eniten. Prismassa violetti taittuu eniten, koska lasin taitekerroin on violetille valolle suurin. Toinen virhe on luulla, että kapeampi rako tekee valokimpusta kapeamman. Kun rako on aallonpituuden suuruusluokkaa, diffraktio levittää valoa sitä enemmän, mitä kapeampi rako on.
Tiivistelmä
- Valo on aaltoliikettä: koherenttien lähteiden valo interferoi, ja varjostimelle syntyy kirkkaita ja tummia kohtia.
- Diffraktiossa valo leviää kapean raon taakse. Mitä kapeampi rako, sitä laajemmalle valo leviää.
- Hilan maksimit ovat suunnissa, joille $d\sin\theta = k\lambda$, ja hilavakio on $d = 1\,\text{mm} : N$.
- Varjostimelta mitatuista etäisyyksistä saadaan $\tan\theta = x : L$. Näin hilalla mitataan laserin aallonpituus.
- Valkoinen valo hajoaa hilassa spektriksi, jossa punainen valo poikkeaa eniten. CD-levy on heijastushila.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi läpinäkyvän kalvon läpi kulkenut laserin säde piirsi seinälle rivin pisteitä, ja mikä määräsi pisteiden välit?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Punaisen laserosoittimen säde osuu kohtisuoraan hilaan, jossa on $300$ viivaa millimetrillä. Hilasta $2{,}00\,\text{m}$:n päässä olevalla varjostimella ensimmäisen kertaluvun maksimit $k = 1$ ja $k = -1$ ovat $79{,}2\,\text{cm}$:n päässä toisistaan. Kuinka suuri on laserin valon aallonpituus?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Viivatiheys $N = 300$ viivaa millimetrillä, varjostimen etäisyys $L = 2{,}00\,\text{m}$ ja maksimien $\pm 1$ välinen etäisyys $79{,}2\,\text{cm}$, joten ensimmäinen maksimi on etäisyydellä $x = 39{,}6\,\text{cm}$ keskimaksimista. Kertaluku on $k = 1$. Kysytään aallonpituutta $\lambda$.
Vaihe 2/7
Periaate. Maksimien suunnat noudattavat hilayhtälöä $d\sin\theta = k\lambda$, koska säde tulee kohtisuoraan hilaan. Varjostin on kohtisuorassa säteeseen nähden, joten kulma saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, jonka kateetit ovat $x$ ja $L$. Hilavakio saadaan viivatiheydestä.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{x}{L} \\[6pt] d\sin\theta &= k\lambda \\[6pt] \lambda &= \frac{d\sin\theta}{k} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Hilavakio on
ja maksimin etäisyys on
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{x}{L} \\ &= \frac{0{,}396\,\text{m}}{2{,}00\,\text{m}} = 0{,}198 \\ \theta &= 11{,}20^\circ \\[6pt] \lambda &= \frac{d\sin\theta}{k} \\ &= \frac{3{,}333 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot \sin 11{,}20^\circ}{1} \\ &= 6{,}474 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Aallonpituus on
kolmella merkitsevällä numerolla kuten etäisyydet $2{,}00\,\text{m}$ ja $79{,}2\,\text{cm}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Punaisen valon aallonpituus on noin $620$–$750\,\text{nm}$, ja punaisen laserosoittimen ilmoitettu aallonpituus on yleensä noin $650\,\text{nm}$, joten tulos on uskottava. Kulma on pieni, joten $\sin\theta$ on lähes sama kuin $\tan\theta = 0{,}198$. Tangentilla laskettu arvo $660\,\text{nm}$ olisi vähän liian suuri, kuten pitääkin, sillä tangentti on aina siniä suurempi.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: DVD-levy heijastushilana
DVD-levyn tietoraidan vierekkäisten kierrosten etäisyys on $0{,}74\,\mu\text{m}$ (standardi ECMA-267, 2001). Punaisen laserin säde, jonka aallonpituus on $650\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan levyn pintaan. Oletetaan, että levy toimii heijastushilana, jonka hilavakio on raitojen etäisyys.
Kuinka suuressa kulmassa tulevaan säteeseen nähden ensimmäisen kertaluvun maksimi heijastuu?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Heijastushilassa maksimien suunnat noudattavat samaa hilayhtälöä kuin läpäisyhilassa. Mikä on hilavakio?
Vihje 2: mikä yhteys
Hilavakio on $d = 0{,}74\,\mu\text{m}$, ja ensimmäisessä kertaluvussa $\sin\theta = \lambda : d$.
Vihje 3: välivaihe
Ota tuloksesta käänteinen sini.
Näytä ratkaisu
Annettu
raitojen etäisyys $d = 0{,}74\,\mu\text{m}$ (ECMA-267, 2001), aallonpituus $\lambda = 650\,\text{nm}$, kertaluku $k = 1$, valo kohtisuoraan levyyn
Kysytty
ensimmäisen kertaluvun maksimin kulma $\theta$ tulevaan säteeseen nähden asteina
Periaate
Tasavälisistä raidoista heijastuneet aallot interferoivat samoin kuin hilan raoista tulleet. Kun valo tulee kohtisuoraan, vierekkäisistä raidoista kulmassa $\theta$ heijastuneiden aaltojen matkaero on $d\sin\theta$, ja maksimi syntyy, kun se on kokonainen määrä aallonpituuksia.
Kaava
$d\sin\theta = k\lambda$, josta $\theta = \sin^{-1}\dfrac{k\lambda}{d}$
Muunnokset
$650\,\text{nm} = 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja $0{,}74\,\mu\text{m} = 0{,}74 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
Vastaus
$61^\circ$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten raitaväli $0{,}74\,\mu\text{m}$.
Järkevyys
Aallonpituus on lähes raitavälin suuruinen, joten kulman on oltava suuri. CD-levyllä ($1{,}6\,\mu\text{m}$) sama maksimi olisi vain $24^\circ$:n kulmassa. Toista kertalukua DVD-levyltä ei synny, koska
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Hilassa on $250$ viivaa millimetrillä. Kuinka suuri on hilavakio?
Vastaus
$d$$= 1\,\text{mm} : 250$$= 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : 250$$= 4{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$= 4{,}0\,\mu\text{m}$ - Miksi kaksi tavallista lamppua ei tuota seinälle kirkkaiden ja tummien juovien kuviota, vaikka laser ja kaksoisrako tuottavat?
Vastaus
Kahden lampun valo ei ole koherenttia: lamppujen lukemattomat atomit lähettävät valoa toisistaan riippumatta, joten valojen vaihe-ero vaihtelee satunnaisesti ja hyvin nopeasti. Vahvistavan ja heikentävän interferenssin kohdat vaihtavat paikkaa jatkuvasti, ja silmä näkee tasaisen valaistuksen. Kaksoisraossa molemmat raot saavat valonsa samasta aaltorintamasta, joten niiden vaihe-ero pysyy samana.
1. Käsite: kapea rako
2. Laske: natriumvalo hilassa
Natriumlampun keltaisen valon aallonpituus on $589\,\text{nm}$. Valo osuu kohtisuoraan hilaan, jossa on $500$ viivaa millimetrillä. Kuinka suuressa kulmassa keskimaksimin suunnasta on toisen kertaluvun maksimi? Vastaa asteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin hilavakio $d = 1\,\text{mm} : 500$ metreinä.
Vihje 2: mikä yhteys
Hilayhtälöstä $\sin\theta = k\lambda : d$, missä $k = 2$.
Vihje 3: välivaihe
Ota tuloksesta käänteinen sini.
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 589\,\text{nm}$, viivatiheys $N = 500$ viivaa millimetrillä, kertaluku $k = 2$
Kysytty
toisen kertaluvun maksimin kulma $\theta$ keskimaksimin suunnasta asteina
Periaate
Valo tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimit ovat suunnissa, joissa vierekkäisten rakojen matkaero $d\sin\theta$ on kokonainen määrä aallonpituuksia. Toisen kertaluvun maksimissa matkaero on kaksi aallonpituutta.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$ ja $d\sin\theta = k\lambda$, josta $\theta = \sin^{-1}\dfrac{k\lambda}{d}$
Muunnokset
$589\,\text{nm} = 589 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.
Sijoitus
Vastaus
$36{,}1^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus $589\,\text{nm}$.
Järkevyys
Ensimmäisen kertaluvun maksimi on $17{,}13^\circ$:n kulmassa. Toisen kertaluvun kulma on suurempi mutta ei kaksinkertainen, koska kulman sini kaksinkertaistuu, ei kulma. Tarkistus:
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: CD-levyn värit
Selitä, miksi valkoisessa valossa CD-levyn pinnalla näkyy sateenkaaren värejä ja miksi värit vaihtuvat, kun levyä kallistetaan.
Mallivastaus
CD-levyn tietoraita kiertää pinnalla tasavälisenä spiraalina, ja vierekkäisten kierrosten etäisyys on $1{,}6\,\mu\text{m}$. Levy toimii heijastushilana: tasavälisistä raidoista heijastuneet aallot interferoivat, ja aalto vahvistuu suunnassa, jossa vierekkäisistä raidoista heijastuneiden aaltojen matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia. Valkoisessa valossa on kaikkia näkyvän valon aallonpituuksia, ja kukin vahvistuu omassa suunnassaan: pidempi aallonpituus eli punainen suuremmassa kulmassa kuin sininen. Siksi silmään tulee eri kohdista ja eri kulmista eri värejä. Kun levyä kallistetaan, silmän suunta levyyn nähden muuttuu, ja silmään osuu toisen aallonpituuden maksimi.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Hila
- Optinen komponentti, jonka rakojen kautta valo taipuu ja hajoaa spektriksi.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 13-1Ydintehtävä
Hilassa on $300$ viivaa millimetrillä. Kuinka suuri on hilavakio? Anna vastaus mikrometreinä.
Vastaus
$3{,}33\,\mu\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
viivatiheys $N = 300$ viivaa millimetrillä
Kysytty
hilavakio $d$ mikrometreinä
Periaate
Hilavakio on vierekkäisten viivojen etäisyys. Kun millimetrin matkalla on $N$ tasavälistä viivaa, viivojen väli on millimetri jaettuna viivojen määrällä.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$
Muunnokset
$1\,\text{mm} = 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$ ja lopuksi $1\,\mu\text{m} = 1 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{1 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{300}$$= 3{,}333 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$= 3{,}333\,\mu\text{m}$Vastaus
$3{,}33\,\mu\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten viivatiheys $300$.
Järkevyys
Hilavakio on muutaman näkyvän valon aallonpituuden suuruinen ($3{,}33\,\mu\text{m} = 3330\,\text{nm}$), joten diffraktio ja interferenssi näkyvät selvästi. Tarkistus:
$300 \cdot 3{,}333\,\mu\text{m}$$= 1000\,\mu\text{m}$$= 1\,\text{mm}$ - Tehtävä 13-2Ydintehtävä
Punaisen laserin valo, jonka aallonpituus on $650\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan hilaan, jonka hilavakio on $2{,}00\,\mu\text{m}$. Kuinka suuressa kulmassa keskimaksimin suunnasta on ensimmäisen kertaluvun maksimi?
Vastaus
$19{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 650\,\text{nm}$, hilavakio $d = 2{,}00\,\mu\text{m}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
ensimmäisen kertaluvun maksimin kulma $\theta$ asteina
Periaate
Valo tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimien suunnat noudattavat hilayhtälöä: maksimi syntyy suuntaan, jossa vierekkäisten rakojen matkaero $d\sin\theta$ on kokonainen määrä aallonpituuksia.
Kaava
$d\sin\theta = k\lambda$, josta $\theta = \sin^{-1}\dfrac{k\lambda}{d}$
Muunnokset
$650\,\text{nm} = 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja $2{,}00\,\mu\text{m} = 2{,}00 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\theta$$= \sin^{-1}\dfrac{1 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{2{,}00 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$$= \sin^{-1} 0{,}325$$= 18{,}97^\circ$Vastaus
$19{,}0^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten hilavakio $2{,}00\,\mu\text{m}$.
Järkevyys
Aallonpituus on noin kolmasosa hilavakiosta, joten $\sin\theta$ on noin $0{,}33$ ja kulma noin $19^\circ$, selvästi alle $90^\circ$. Tarkistus: $2{,}00\,\mu\text{m} \cdot \sin 18{,}97^\circ = 0{,}650\,\mu\text{m}$.
- Tehtävä 13-3
Valo osuu kohtisuoraan hilaan, jonka hilavakio on $2{,}50\,\mu\text{m}$. Toisen kertaluvun maksimi on $30{,}0^\circ$:n kulmassa keskimaksimin suunnasta. Kuinka suuri on valon aallonpituus? Anna vastaus nanometreinä.
Vastaus
$625\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
hilavakio $d = 2{,}50\,\mu\text{m}$, kertaluku $k = 2$, maksimin kulma $\theta = 30{,}0^\circ$
Kysytty
valon aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Valo tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimin suunta noudattaa hilayhtälöä. Toisen kertaluvun maksimissa vierekkäisten rakojen matkaero on kaksi aallonpituutta.
Kaava
$d\sin\theta = k\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{d\sin\theta}{k}$
Muunnokset
$2{,}50\,\mu\text{m} = 2{,}50 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$ ja lopuksi $1\,\text{nm} = 1 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{2{,}50 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot \sin 30{,}0^\circ}{2}$$= \dfrac{2{,}50 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot 0{,}500}{2}$$= 6{,}25 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 625\,\text{nm}$Vastaus
$625\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten hilavakio ja kulma.
Järkevyys
Aallonpituus on näkyvän valon alueella $400$–$700\,\text{nm}$; $625\,\text{nm}$ on oranssinpunaista valoa. Jos kertaluku olisi unohdettu, tulos $1250\,\text{nm}$ olisi infrapunaa, joten jakaminen kahdella on tarpeen. Tarkistus:
$2 \cdot 625\,\text{nm}$$= 1250\,\text{nm}$$= 2500\,\text{nm} \cdot 0{,}500$ - Tehtävä 13-4
Varjostin on $1{,}20\,\text{m}$:n päässä hilasta kohtisuorassa laserin sädettä vastaan. Ensimmäisen kertaluvun maksimi on varjostimella $30{,}0\,\text{cm}$:n päässä keskimaksimista. Kuinka suuressa kulmassa keskimaksimin suunnasta maksimi on?
Vastaus
$14{,}0^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
varjostimen etäisyys hilasta $L = 1{,}20\,\text{m}$, ensimmäisen maksimin etäisyys keskimaksimista $x = 30{,}0\,\text{cm}$
Kysytty
maksimin kulma $\theta$ keskimaksimin suunnasta asteina
Periaate
Varjostin on kohtisuorassa laserin sädettä vastaan, joten hila, keskimaksimi ja maksimi muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka kateetit ovat $L$ ja $x$. Kulman tangentti on vastaisen ja viereisen kateetin suhde.
Kaava
$\tan\theta = \dfrac{x}{L}$, josta $\theta = \tan^{-1}\dfrac{x}{L}$
Muunnokset
$x$$= 30{,}0\,\text{cm}$$= 30{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}300\,\text{m}$Sijoitus
$\theta$$= \tan^{-1}\dfrac{0{,}300\,\text{m}}{1{,}20\,\text{m}}$$= \tan^{-1} 0{,}250$$= 14{,}04^\circ$Vastaus
$14{,}0^\circ$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydet $1{,}20\,\text{m}$ ja $30{,}0\,\text{cm}$.
Järkevyys
Maksimi on neljäsosan varjostimen etäisyydestä sivussa, joten kulman pitää olla selvästi alle $45^\circ$:n, jolla $x$ olisi yhtä suuri kuin $L$. Tarkistus: $1{,}20\,\text{m} \cdot \tan 14{,}04^\circ = 0{,}300\,\text{m}$.
- Tehtävä 13-5
Helium-neonlaserin valon aallonpituus on $633\,\text{nm}$. Kun valo osuu kohtisuoraan hilaan, ensimmäisen kertaluvun maksimi on $22{,}0^\circ$:n kulmassa keskimaksimin suunnasta. Kuinka suuri on hilavakio? Anna vastaus mikrometreinä.
Vastaus
$1{,}69\,\mu\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 633\,\text{nm}$, kertaluku $k = 1$, maksimin kulma $\theta = 22{,}0^\circ$
Kysytty
hilavakio $d$ mikrometreinä
Periaate
Valo tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimin suunta noudattaa hilayhtälöä. Ensimmäisen kertaluvun maksimissa vierekkäisten rakojen matkaero on yksi aallonpituus.
Kaava
$d\sin\theta = k\lambda$, josta $d = \dfrac{k\lambda}{\sin\theta}$
Muunnokset
$633\,\text{nm} = 633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja lopuksi $1\,\mu\text{m} = 1 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{1 \cdot 633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{\sin 22{,}0^\circ}$$= \dfrac{633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{0{,}3746}$$= 1{,}690 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$= 1{,}690\,\mu\text{m}$Vastaus
$1{,}69\,\mu\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus ja kulma.
Järkevyys
Hilavakion on oltava suurempi kuin aallonpituus, jotta ensimmäinen maksimi syntyy, ja $1{,}69\,\mu\text{m}$ on noin $2{,}7$ kertaa $0{,}633\,\mu\text{m}$. Se vastaa noin $590$ viivaa millimetrillä, mikä on tavallinen koulun hila.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 13-6Ydintehtävä
Sinisen laserin valo, jonka aallonpituus on $450\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan hilaan, jossa on $600$ viivaa millimetrillä. Hilan takana on niin leveä varjostin, että kaikki syntyvät maksimit osuvat siihen.
Kuinka monta valopistettä varjostimella näkyy?
Vastaus
$7$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 450\,\text{nm}$, viivatiheys $N = 600$ viivaa millimetrillä
Kysytty
varjostimelle syntyvien valopisteiden lukumäärä
Periaate
Jokainen maksimi on yksi valopiste. Hilayhtälön mukaan $\sin\theta = k\lambda : d$, ja koska sini on enintään $1$, maksimi syntyy vain kertaluvuilla, joille $k\lambda < d$. Keskimaksimin kummallakin puolella on yhtä monta maksimia.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$ ja $k < \dfrac{d}{\lambda}$; pisteitä on $2k_\text{max} + 1$, missä $k_\text{max}$ on suurin ehdon täyttävä kokonaisluku.
Muunnokset
$d$$= 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : 600$$= 1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$450\,\text{nm} = 450 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\dfrac{d}{\lambda}$$= \dfrac{1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}{450 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 3{,}70$joten $k_\text{max} = 3$ ja pisteitä on $2 \cdot 3 + 1 = 7$.
Vastaus
$7$
Valopistettä: keskimaksimi ja kertaluvut $\pm 1$, $\pm 2$ ja $\pm 3$. Vastaus on kokonaisluku, joten pyöristystä ei tarvita.
Järkevyys
Kolmannen kertaluvun maksimissa
$\sin\theta$$= 3 \cdot 0{,}450 : 1{,}667$$= 0{,}81$eli $\theta = 54^\circ$, mikä on mahdollinen. Neljännessä $\sin\theta = 1{,}08$, mikä on mahdotonta, joten neljännen kertaluvun maksimia ei synny.
- Tehtävä 13-7Ydintehtävä
Punaisen laserin valo, jonka aallonpituus on $650\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan hilaan, jossa on $100$ viivaa millimetrillä. Varjostin on $2{,}50\,\text{m}$:n päässä hilasta kohtisuorassa sädettä vastaan.
Kuinka kaukana keskimaksimista ensimmäisen kertaluvun maksimi on varjostimella? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$16{,}3\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 650\,\text{nm}$, viivatiheys $N = 100$ viivaa millimetrillä, varjostimen etäisyys $L = 2{,}50\,\text{m}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
ensimmäisen maksimin etäisyys $x$ keskimaksimista senttimetreinä
Periaate
Valo tulee kohtisuoraan hilaan, joten maksimin kulma saadaan hilayhtälöstä. Varjostin on kohtisuorassa sädettä vastaan, joten maksimin paikka saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, jonka kateetit ovat $L$ ja $x$.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$, $d\sin\theta = k\lambda$ ja $\tan\theta = \dfrac{x}{L}$, joista $\theta = \sin^{-1}\dfrac{k\lambda}{d}$ ja $x = L\tan\theta$
Muunnokset
$d$$= 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : 100$$= 1{,}00 \cdot 10^{-5}\,\text{m}$$650\,\text{nm} = 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$\theta$$= \sin^{-1}\dfrac{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{1{,}00 \cdot 10^{-5}\,\text{m}}$$= \sin^{-1} 0{,}0650$$= 3{,}727^\circ$$x$$= 2{,}50\,\text{m} \cdot \tan 3{,}727^\circ$$= 2{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}06514$$= 0{,}1628\,\text{m}$$= 16{,}28\,\text{cm}$Vastaus
$16{,}3\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyys $2{,}50\,\text{m}$.
Järkevyys
Harvan hilan kulma on pieni, joten
$\tan\theta$$\approx \sin\theta$$= 0{,}065$$x$$\approx 2{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}065$$= 16\,\text{cm}$Pisteiden väli on helppo mitata mittanauhalla.
- Tehtävä 13-8
Vihreän laserin säde, jonka aallonpituus on $532\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan hilaan, jonka viivatiheys ei ole tiedossa. Hilasta $1{,}00\,\text{m}$:n päässä olevalla varjostimella ensimmäisen kertaluvun maksimit $k = 1$ ja $k = -1$ ovat $66{,}8\,\text{cm}$:n päässä toisistaan.
Kuinka monta viivaa hilassa on millimetrillä?
Vastaus
$596$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 532\,\text{nm}$, varjostimen etäisyys $L = 1{,}00\,\text{m}$, maksimien $\pm 1$ välinen etäisyys $66{,}8\,\text{cm}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
hilan viivatiheys $N$ eli viivojen määrä millimetrillä
Periaate
Maksimit ovat symmetrisesti keskimaksimin molemmin puolin, joten ensimmäinen maksimi on puolen pisteiden välin päässä keskimaksimista. Kulma saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, hilavakio hilayhtälöstä ja viivatiheys hilavakiosta.
Kaava
$\tan\theta = \dfrac{x}{L}$, $d\sin\theta = k\lambda$ ja $d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$, joista $d = \dfrac{k\lambda}{\sin\theta}$ ja $N = \dfrac{1\,\text{mm}}{d}$
Muunnokset
$x$$= 66{,}8\,\text{cm} : 2$$= 33{,}4\,\text{cm}$$= 33{,}4 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}334\,\text{m}$$532\,\text{nm} = 532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja $1\,\text{mm} = 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\theta$$= \tan^{-1}\dfrac{0{,}334\,\text{m}}{1{,}00\,\text{m}}$$= 18{,}47^\circ$$d$$= \dfrac{532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{\sin 18{,}47^\circ}$$= \dfrac{532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{0{,}3168}$$= 1{,}679 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$N$$= \dfrac{1 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{1{,}679 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$$= 595{,}5$Vastaus
noin $596$ viivaa millimetrillä, kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydet. Hila on todennäköisesti valmistajan $600$ viivan millimetrihila, ja ero johtuu mittausepävarmuudesta.
Järkevyys
Kun hilassa on $600$ viivaa millimetrillä, vihreän valon ensimmäinen maksimi on $18{,}6^\circ$:n kulmassa, mikä on lähellä saatua $18{,}5^\circ$:a. Tarkistus: $1{,}679\,\mu\text{m} \cdot 0{,}3168 = 0{,}532\,\mu\text{m}$.
- Tehtävä 13-9
Valkoinen valo, jossa on kaikkia aallonpituuksia välillä $400$–$700\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan hilaan, jossa on $300$ viivaa millimetrillä. Varjostin on $1{,}00\,\text{m}$:n päässä hilasta kohtisuorassa valoa vastaan.
Kuinka leveä ensimmäisen kertaluvun spektri on varjostimella eli kuinka kaukana toisistaan sen violetti ja punainen reuna ovat? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$9{,}39\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituudet $\lambda_\text{v} = 400\,\text{nm}$ (violetti reuna) ja $\lambda_\text{p} = 700\,\text{nm}$ (punainen reuna), viivatiheys $N = 300$ viivaa millimetrillä, varjostimen etäisyys $L = 1{,}00\,\text{m}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
ensimmäisen kertaluvun spektrin leveys $\Delta x$ varjostimella senttimetreinä
Periaate
Jokainen aallonpituus poikkeaa omaan kulmaansa hilayhtälön mukaan, joten spektri alkaa violetin valon maksimista ja päättyy punaisen valon maksimiin. Kumpikin paikka saadaan suorakulmaisesta kolmiosta, ja leveys on niiden erotus.
Kaava
$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$, $\theta = \sin^{-1}\dfrac{k\lambda}{d}$, $x = L\tan\theta$ ja $\Delta x = x_\text{p} - x_\text{v}$
Muunnokset
$d$$= 1 \cdot 10^{-3}\,\text{m} : 300$$= 3{,}333 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$aallonpituudet $400 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja $700 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$, lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$\theta_\text{v}$$= \sin^{-1}\dfrac{400 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{3{,}333 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$$= \sin^{-1} 0{,}120$$= 6{,}892^\circ$$\theta_\text{p}$$= \sin^{-1} 0{,}210$$= 12{,}12^\circ$$x_\text{v}$$= 1{,}00\,\text{m} \cdot \tan 6{,}892^\circ$$= 0{,}1209\,\text{m}$$x_\text{p}$$= 1{,}00\,\text{m} \cdot \tan 12{,}12^\circ$$= 0{,}2148\,\text{m}$$\Delta x$$= 0{,}2148\,\text{m} - 0{,}1209\,\text{m}$$= 0{,}0939\,\text{m}$$= 9{,}39\,\text{cm}$Vastaus
$9{,}39\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyys $1{,}00\,\text{m}$ ja aallonpituudet.
Järkevyys
Pienillä kulmilla $x$ on likimain verrannollinen aallonpituuteen, joten leveyden pitää olla vähän yli $(700 - 400) : 700$ eli $43\,\%$ punaisen maksimin etäisyydestä $21{,}5\,\text{cm}$: $9{,}39\,\text{cm}$ on $44\,\%$, kuten pitää.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 13-10
Hilaan osuu kohtisuoraan valkoista valoa, jossa on kaikkia aallonpituuksia välillä $400$–$700\,\text{nm}$. Toisen kertaluvun spektrin punaisen reunan ($700\,\text{nm}$) kanssa samaan suuntaan osuu kolmannen kertaluvun maksimi, jonka aallonpituus on toinen.
Kuinka suuri tämä aallonpituus on? Mitä tulos kertoo toisen ja kolmannen kertaluvun spektreistä? Anna vastaus nanometreinä.
Vastaus
$467\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
toisen kertaluvun ($k = 2$) aallonpituus $\lambda_2 = 700\,\text{nm}$, kolmas kertaluku $k = 3$, valkoisen valon aallonpituudet $400$–$700\,\text{nm}$
Kysytty
aallonpituus $\lambda_3$, jonka kolmannen kertaluvun maksimi on samassa suunnassa, ja mitä se kertoo spektreistä
Periaate
Samassa suunnassa $\theta$ hilayhtälön vasen puoli $d\sin\theta$ on molemmille aallonpituuksille sama, joten myös oikeat puolet ovat yhtä suuret. Hilavakiota ei tarvita, koska se supistuu pois: tulos pätee jokaiselle hilalle.
Kaava
$d\sin\theta = 2\lambda_2$ ja $d\sin\theta = 3\lambda_3$, joten $3\lambda_3 = 2\lambda_2$ ja $\lambda_3 = \dfrac{2\lambda_2}{3}$
Muunnokset
Ei tarvita: aallonpituudet pysyvät nanometreinä, koska yksikkö supistuu suhteessa $2 : 3$.
Sijoitus
$\lambda_3$$= \dfrac{2 \cdot 700\,\text{nm}}{3}$$= 466{,}7\,\text{nm}$Vastaus
$467\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus $700\,\text{nm}$. Sininen $467\,\text{nm}$ on valkoisessa valossa mukana, ja kolmannen kertaluvun spektri alkaa violetista $400\,\text{nm}$:stä vielä pienemmästä kulmasta. Siksi toisen kertaluvun spektrin punainen pää ja kolmannen kertaluvun spektrin violetti ja sininen osa menevät päällekkäin.
Järkevyys
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun spektrit eivät mene päällekkäin, koska toisen kertaluvun violetin $2 \cdot 400\,\text{nm} = 800\,\text{nm}$ on enemmän kuin ensimmäisen kertaluvun punaisen $700\,\text{nm}$. Toisen ja kolmannen kertaluvun välillä $3 \cdot 400\,\text{nm} = 1200\,\text{nm}$ on vähemmän kuin $2 \cdot 700\,\text{nm} = 1400\,\text{nm}$, joten päällekkäisyys on odotettavaa.
- Tehtävä 13-11
Opiskelija tutkii CD-levyä heijastushilana. Hän tekee pahviseen varjostimeen reiän ja ohjaa punaisen laserin säteen, jonka aallonpituus on $650\,\text{nm}$, reiän läpi kohtisuoraan levyn pintaan. Varjostin on levyn suuntainen $10{,}0\,\text{cm}$:n päässä levystä.
Levystä heijastuneet ensimmäisen kertaluvun maksimit näkyvät varjostimella reiän molemmin puolin $89\,\text{mm}$:n päässä toisistaan.
Kuinka suuri on levyn vierekkäisten raitojen etäisyys? Anna vastaus mikrometreinä.
Vastaus
$1{,}6\,\mu\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 650\,\text{nm}$, varjostimen etäisyys levystä $L = 10{,}0\,\text{cm}$, maksimien $\pm 1$ välinen etäisyys $89\,\text{mm}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
raitojen etäisyys $d$ mikrometreinä
Periaate
CD-levyn tasaväliset raidat toimivat heijastushilana: kohtisuoraan tulevan valon heijastuneet maksimit noudattavat samaa hilayhtälöä kuin läpäisevässä hilassa, ja $d$ on raitojen väli. Varjostin on levyn suuntainen eli kohtisuorassa tulevaa sädettä vastaan, joten kulma saadaan suorakulmaisesta kolmiosta. Maksimi on puolen pisteiden välin päässä reiästä.
Kaava
$\tan\theta = \dfrac{x}{L}$ ja $d\sin\theta = k\lambda$, joista $d = \dfrac{k\lambda}{\sin\theta}$
Muunnokset
$x$$= 89\,\text{mm} : 2$$= 44{,}5\,\text{mm}$$= 4{,}45\,\text{cm}$kulmaan riittää, että $x$ ja $L$ ovat samassa yksikössä. $650\,\text{nm} = 0{,}650\,\mu\text{m}$.
Sijoitus
$\theta$$= \tan^{-1}\dfrac{4{,}45\,\text{cm}}{10{,}0\,\text{cm}}$$= \tan^{-1} 0{,}445$$= 23{,}99^\circ$$d$$= \dfrac{1 \cdot 0{,}650\,\mu\text{m}}{\sin 23{,}99^\circ}$$= \dfrac{0{,}650\,\mu\text{m}}{0{,}4066}$$= 1{,}599\,\mu\text{m}$Vastaus
$1{,}6\,\mu\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten pisteiden väli $89\,\text{mm}$.
Järkevyys
CD-levyn standardin mukainen raitaväli on $1{,}6\,\mu\text{m}$, joten mittaus osuu kohdalleen. Raitaväli on noin $2{,}5$ kertaa aallonpituus, joten maksimeja on vain kahta kertalukua kummallakin puolella, ja ensimmäisen kertaluvun kulma $24^\circ$ on kohtuullinen.
- Tehtävä 13-12
Hilan viivatiheyttä ei tunneta. Kun punaisen laserin säde, jonka aallonpituus on $650\,\text{nm}$, osuu kohtisuoraan hilaan, ensimmäisen kertaluvun maksimi on $1{,}00\,\text{m}$:n päässä olevalla varjostimella $19{,}9\,\text{cm}$:n päässä keskimaksimista.
Samassa asetelmassa vihreän laserin ensimmäisen kertaluvun maksimi on $16{,}2\,\text{cm}$:n päässä keskimaksimista.
Kuinka suuri on vihreän laserin valon aallonpituus? Anna vastaus nanometreinä.
Vastaus
$533\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
punaisen laserin aallonpituus $\lambda_\text{p} = 650\,\text{nm}$, varjostimen etäisyys $L = 1{,}00\,\text{m}$, punaisen ensimmäisen maksimin etäisyys $x_\text{p} = 19{,}9\,\text{cm}$ ja vihreän $x_\text{v} = 16{,}2\,\text{cm}$, kertaluku $k = 1$
Kysytty
vihreän laserin aallonpituus $\lambda_\text{v}$ nanometreinä
Periaate
Hila on molemmilla lasereilla sama, joten tunnetun punaisen laserin mittauksesta saadaan ensin hilavakio, eli hila kalibroidaan. Sen jälkeen vihreän valon aallonpituus saadaan samasta hilayhtälöstä. Kulmat saadaan suorakulmaisista kolmioista, koska varjostin on kohtisuorassa sädettä vastaan.
Kaava
$\tan\theta = \dfrac{x}{L}$ ja $d\sin\theta = k\lambda$, joista
$d$$= \dfrac{\lambda_\text{p}}{\sin\theta_\text{p}}$$\lambda_\text{v} = d\sin\theta_\text{v}$
Muunnokset
$x_\text{p}$$= 19{,}9 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}199\,\text{m}$$x_\text{v} = 0{,}162\,\text{m}$ ja $650\,\text{nm} = 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\theta_\text{p}$$= \tan^{-1}\dfrac{0{,}199\,\text{m}}{1{,}00\,\text{m}}$$= 11{,}25^\circ$$d$$= \dfrac{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{\sin 11{,}25^\circ}$$= \dfrac{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{0{,}1952}$$= 3{,}330 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$\theta_\text{v}$$= \tan^{-1} 0{,}162$$= 9{,}202^\circ$$\lambda_\text{v}$$= 3{,}330 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot \sin 9{,}202^\circ$$= 3{,}330 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot 0{,}1599$$= 5{,}326 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 532{,}6\,\text{nm}$Vastaus
$533\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydet $19{,}9\,\text{cm}$ ja $16{,}2\,\text{cm}$.
Järkevyys
Vihreän laserosoittimen ilmoitettu aallonpituus on $532\,\text{nm}$, ja vihreä maksimi on lähempänä keskimaksimia kuin punainen, koska lyhyempi aallonpituus poikkeaa vähemmän. Hilavakio $3{,}33\,\mu\text{m}$ vastaa $300$ viivaa millimetrillä, mikä on tavallinen koulun hila.
Valokuvat
- Laser Interference. Wisky. lähde, CC BY-SA 3.0
- Diffraction Pattern Green Laser. Laurie. lähde, CC BY 4.0
