Hajoamislaki ja puoliintumisaika

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-1Ydintehtävä

   Isotooppikuvausta varten valmistetun teknetium-$99\text{m}$-valmisteen aktiivisuus on $740\,\text{MBq}$. Teknetium-$99\text{m}$:n puoliintumisaika on $6{,}01\,\text{h}$. Kuinka suuri valmisteen aktiivisuus on $18{,}0\,\text{h}$ myöhemmin? Anna vastaus megabecquereleinä.

   MBqTarkista
   Vastaus

   $92{,}8\,\text{MBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 740\,\text{MBq}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 6{,}01\,\text{h}$, aika $t = 18{,}0\,\text{h}$

   Kysytty

   valmisteen aktiivisuus $A$ hetkellä $t$ megabecquereleinä

   Periaate

   Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään, $A = \lambda N$, joten se pienenee hajoamislain mukaan: jokainen puoliintumisaika puolittaa sen. Valmisteessa on valtavasti ytimiä, joten laki pätee tarkasti.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika ja puoliintumisaika ovat molemmat tunteina, joten niiden suhde on paljas luku, ja aktiivisuus saadaan samassa yksikössä kuin $A_0$.

   Sijoitus

   $A$$= 740\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{18{,}0\,\text{h} / 6{,}01\,\text{h}}$

   $= 740\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}9950}$

   $= 740\,\text{MBq} \cdot 0{,}12543$

   $= 92{,}82\,\text{MBq}$

   Vastaus

   $92{,}8\,\text{MBq}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisajassa $6{,}01\,\text{h}$ ja ajassa $18{,}0\,\text{h}$.

   Järkevyys

   Aikaa kului lähes tasan kolme puoliintumisaikaa, joten aktiivisuuden pitäisi olla noin kahdeksasosa alkuarvosta: $740\,\text{MBq} : 8 = 92{,}5\,\text{MBq}$. Tulos on hieman suurempi, koska kolmea puoliintumisaikaa puuttuu vielä vähän.

2. Tehtävä 9-2Ydintehtävä

   Radonia sisältävä ilmanäyte suljetaan tiiviiseen astiaan. Radon-222:n puoliintumisaika on $3{,}82\,\text{d}$. Kuinka monta prosenttia radonytimistä on hajoamatta $10{,}0\,\text{d}$:n kuluttua? Oletetaan, ettei astiaan synny uutta radonia.

   %Tarkista
   Vastaus

   $16{,}3\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   puoliintumisaika $T_{1/2} = 3{,}82\,\text{d}$, aika $t = 10{,}0\,\text{d}$, astiaan ei synny uutta radonia

   Kysytty

   hajoamattomien radonytimien osuus $\tfrac{N}{N_0}$ prosentteina

   Periaate

   Radonytimet hajoavat toisistaan riippumatta, ja ilmanäytteessä niitä on hyvin paljon, joten niiden määrä noudattaa hajoamislakia. Koska uutta radonia ei synny, määrä vain pienenee.

   Kaava

   $N = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$, josta

   $\dfrac{N}{N_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika ja puoliintumisaika ovat molemmat vuorokausina. Lopuksi osuus muutetaan prosenteiksi: $1 = 100\,\%$.

   Sijoitus

   $\dfrac{N}{N_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10{,}0\,\text{d} / 3{,}82\,\text{d}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}6178}$

   $= 0{,}16292$

   $= 16{,}292\,\%$

   Vastaus

   $16{,}3\,\%$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisajassa $3{,}82\,\text{d}$ ja ajassa $10{,}0\,\text{d}$.

   Järkevyys

   Aikaa kului vähän yli kaksi ja puoli puoliintumisaikaa. Kahden jälkeen jäljellä olisi $25\,\%$ ja kolmen jälkeen $12{,}5\,\%$; tulos on näiden välissä.

3. Tehtävä 9-3

   Cesium-137:n puoliintumisaika on $30{,}1\,\text{a}$. Mikä on sen hajoamisvakio? Anna vastaus yksikössä $\tfrac{1}{\text{a}}$.

   1/aTarkista
   Vastaus

   $0{,}0230\,\tfrac{1}{\text{a}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   cesium-137:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 30{,}1\,\text{a}$

   Kysytty

   hajoamisvakio $\lambda$ yksikössä $\tfrac{1}{\text{a}}$

   Periaate

   Puoliintumisajan kohdalla hajoamattomia ytimiä on puolet, joten hajoamislain muodossa $N = N_0 e^{-\lambda t}$ on $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac{1}{2}$. Tästä saadaan hajoamisvakion ja puoliintumisajan yhteys.

   Kaava

   $\lambda T_{1/2} = \ln 2$, josta $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kun puoliintumisaika on vuosina, hajoamisvakio saadaan suoraan yksikössä $\tfrac{1}{\text{a}}$.

   Sijoitus

   $\lambda$$= \dfrac{0{,}69315}{30{,}1\,\text{a}}$

   $= 0{,}023028\,\tfrac{1}{\text{a}}$

   Vastaus

   $0{,}0230\,\tfrac{1}{\text{a}}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisajassa $30{,}1\,\text{a}$.

   Järkevyys

   Hajoamisvakio kertoo, että vuodessa hajoaa noin $2{,}3\,\%$ ytimistä. Silloin puolet hajoaa suunnilleen ajassa $0{,}69 : 0{,}023\,\tfrac{1}{\text{a}} \approx 30\,\text{a}$, mikä täsmää puoliintumisaikaan.

4. Tehtävä 9-4

   Koboltti-60-säteilylähteessä on $3{,}20 \cdot 10^{12}$ hajoamatonta ydintä. Koboltti-60:n hajoamisvakio on $4{,}17 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Mikä on lähteen aktiivisuus? Anna vastaus kilobecquereleinä.

   kBqTarkista
   Vastaus

   $13{,}3\,\text{kBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hajoamattomien ytimien määrä $N = 3{,}20 \cdot 10^{12}$, hajoamisvakio $\lambda = 4{,}17 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Kysytty

   lähteen aktiivisuus $A$ kilobecquereleinä

   Periaate

   Jokainen ydin hajoaa sekunnissa todennäköisyydellä $\lambda$, joten $N$ ytimestä hajoaa sekunnissa keskimäärin $\lambda N$. Tämä on aktiivisuus.

   Kaava

   $A = \lambda N$

   Muunnokset

   $1\,\text{Bq} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$ ja $1\,\text{kBq} = 1000\,\text{Bq}$.

   Sijoitus

   $A$$= 4{,}17 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 3{,}20 \cdot 10^{12}$

   $= 13\,344\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   $= 13\,344\,\text{Bq}$

   $= 13{,}344\,\text{kBq}$

   Vastaus

   $13{,}3\,\text{kBq}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten ytimien määrässä ja hajoamisvakiossa.

   Järkevyys

   Arviolla $4 \cdot 10^{-9} \cdot 3 \cdot 10^{12} = 1{,}2 \cdot 10^{4}$ eli noin $12\,\text{kBq}$. Ytimiä on paljon, mutta koboltti-60 hajoaa hitaasti, joten vain pieni osa ytimistä hajoaa sekunnissa.

5. Tehtävä 9-5

   Näytteen aktiivisuus pienenee $48{,}0\,\text{h}$:ssa arvosta $800\,\text{kBq}$ arvoon $200\,\text{kBq}$. Mikä on näytteen isotoopin puoliintumisaika? Anna vastaus tunteina.

   hTarkista
   Vastaus

   $24{,}0\,\text{h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 800\,\text{kBq}$, aktiivisuus $A = 200\,\text{kBq}$ ajan $t = 48{,}0\,\text{h}$ kuluttua

   Kysytty

   puoliintumisaika $T_{1/2}$ tunteina

   Periaate

   Aktiivisuus puolittuu jokaisen puoliintumisajan aikana, koska se on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään. Lasketaan, montako puoliintumisaikaa mahtuu aikaan $t$: $800\,\text{kBq} \to 400\,\text{kBq} \to 200\,\text{kBq}$ on kaksi puolittumista.

   Kaava

   $\dfrac{A}{A_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   $= \tfrac{1}{4}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}$

   joten $\tfrac{t}{T_{1/2}} = 2$ ja $T_{1/2} = \dfrac{t}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika on tunteina, ja vastaus kysytään tunteina.

   Sijoitus

   $T_{1/2}$$= \dfrac{48{,}0\,\text{h}}{2}$

   $= 24{,}0\,\text{h}$

   Vastaus

   $24{,}0\,\text{h}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten ajassa $48{,}0\,\text{h}$.

   Järkevyys

   Tarkistus hajoamislailla:

   $800\,\text{kBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{48{,}0\,\text{h} / 24{,}0\,\text{h}}$

   $= 800\,\text{kBq} \cdot \tfrac{1}{4}$

   $= 200\,\text{kBq}$

   kuten tehtävässä.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-6Ydintehtävä

   Jodi-131:n puoliintumisaika on $8{,}02\,\text{d}$. Mikä on sen hajoamisvakio yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$? Anna vastaus yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$.

   10⁻⁶ 1/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}00 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jodi-131:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 8{,}02\,\text{d}$

   Kysytty

   hajoamisvakio $\lambda$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Periaate

   Puoliintumisajan kohdalla $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac{1}{2}$, koska puolet ytimistä on hajonnut. Hajoamisvakio halutaan sekunteina, joten puoliintumisaika muutetaan ensin sekunneiksi.

   Kaava

   $\lambda T_{1/2} = \ln 2$, josta $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

   Muunnokset

   $1\,\text{d}$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 86\,400\,\text{s}$

   joten

   $T_{1/2}$$= 8{,}02 \cdot 86\,400\,\text{s}$

   $= 692\,928\,\text{s}$

   Sijoitus

   $\lambda$$= \dfrac{0{,}69315}{692\,928\,\text{s}}$

   $= 1{,}00032 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Vastaus

   $1{,}00 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisajassa $8{,}02\,\text{d}$.

   Järkevyys

   Sekunnissa hajoaa noin miljoonasosa ytimistä, joten vuorokaudessa hajoaa noin $86\,400 \cdot 10^{-6} \approx 0{,}09$ eli $9\,\%$ jäljellä olevista. Koska $0{,}91^{8} \approx 0{,}47$, kahdeksan vuorokauden jälkeen jäljellä on noin puolet, mikä sopii puoliintumisaikaan $8{,}02\,\text{d}$.

2. Tehtävä 9-7Ydintehtävä

   Vanhan savuilmaisimen säteilylähteessä on amerikium-241:tä, ja lähteen aktiivisuus on $37\,\text{kBq}$. Amerikium-241:n puoliintumisaika on $433\,\text{a}$. Kuinka monta amerikiumydintä lähteessä on? Käytä $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$. Anna vastaus yksikössä $10^{14}$.

   · 10¹⁴Tarkista
   Vastaus

   $7{,}3 \cdot 10^{14}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aktiivisuus $A = 37\,\text{kBq}$, amerikium-241:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 433\,\text{a}$, $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$

   Kysytty

   ytimien määrä $N$ yksikössä $10^{14}$

   Periaate

   Aktiivisuus on hajoamisvakion ja ytimien määrän tulo, $A = \lambda N$, ja hajoamisvakio saadaan puoliintumisajasta. Koska aktiivisuus on hajoamisia sekunnissa, hajoamisvakion on oltava yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$.

   Kaava

   $A = \lambda N$ ja $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$, joten

   $N$$= \dfrac{A}{\lambda}$

   $= \dfrac{A\,T_{1/2}}{\ln 2}$

   Muunnokset

   $A$$= 37\,\text{kBq}$

   $= 37 \cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   $T_{1/2}$$= 433 \cdot 365{,}25 \cdot 86\,400\,\text{s}$

   $= 1{,}36644 \cdot 10^{10}\,\text{s}$

   Sijoitus

   $N$$= \dfrac{37 \cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 1{,}36644 \cdot 10^{10}\,\text{s}}{0{,}69315}$

   $= 7{,}294 \cdot 10^{14}$

   Vastaus

   $7{,}3 \cdot 10^{14}$

   Ydintä, kaksi merkitsevää numeroa kuten aktiivisuudessa $37\,\text{kBq}$.

   Järkevyys

   Hajoamisvakio on $\lambda = 5{,}07 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{1}{\text{s}}$, ja

   $5{,}07 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 7{,}29 \cdot 10^{14}$

   $\approx 3{,}7 \cdot 10^{4}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   mikä on annettu aktiivisuus. Ytimiä on paljon, koska pitkäikäinen amerikium hajoaa hitaasti; massana tämä on vain noin $0{,}3\,\mu\text{g}$.

3. Tehtävä 9-8

   PET-kuvauksessa käytettävää fluori-18-valmistetta, jonka aktiivisuus on $2{,}00\,\text{GBq}$, kuljetetaan tuotantolaitokselta sairaalaan. Matka kestää $2\,\text{h}\ 30\,\text{min}$. Fluori-18:n puoliintumisaika on $110\,\text{min}$. Mikä on valmisteen aktiivisuus sen saapuessa? Anna vastaus megabecquereleinä.

   MBqTarkista
   Vastaus

   $777\,\text{MBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 2{,}00\,\text{GBq}$, matkan kesto $t = 2\,\text{h}\ 30\,\text{min}$, fluori-18:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 110\,\text{min}$

   Kysytty

   aktiivisuus $A$ perillä megabecquereleinä

   Periaate

   Aktiivisuus noudattaa hajoamislakia, koska se on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään. Aika ja puoliintumisaika on ilmaistava samassa yksikössä, jotta eksponentti on paljas luku.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   $t$$= 2\,\text{h}\ 30\,\text{min}$

   $= 2 \cdot 60\,\text{min} + 30\,\text{min}$

   $= 150\,\text{min}$

   $A_0$$= 2{,}00\,\text{GBq}$

   $= 2000\,\text{MBq}$

   Sijoitus

   $A$$= 2000\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{150\,\text{min} / 110\,\text{min}}$

   $= 2000\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1{,}3636}$

   $= 2000\,\text{MBq} \cdot 0{,}38860$

   $= 777{,}20\,\text{MBq}$

   Vastaus

   $777\,\text{MBq}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten alkuaktiivisuudessa $2{,}00\,\text{GBq}$ ja puoliintumisajassa $110\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Matka kesti vähän yli yhden puoliintumisajan, joten aktiivisuuden pitäisi olla hieman alle puolet alkuarvosta, eli alle $1000\,\text{MBq}$. Kahden puoliintumisajan jälkeen se olisi $500\,\text{MBq}$; tulos on näiden välissä.

4. Tehtävä 9-9

   Teollisuuden säteilylähteessä on alussa $5{,}00\,\text{mg}$ koboltti-60:tä. Koboltti-60:n puoliintumisaika on $5{,}27\,\text{a}$. Kuinka paljon koboltti-60:tä lähteessä on $15{,}0\,\text{a}$:n kuluttua? Anna vastaus milligrammoina.

   mgTarkista
   Vastaus

   $0{,}695\,\text{mg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkumassa $m_0 = 5{,}00\,\text{mg}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 5{,}27\,\text{a}$, aika $t = 15{,}0\,\text{a}$

   Kysytty

   jäljellä olevan koboltti-60:n massa $m$ milligrammoina

   Periaate

   Jokaisella koboltti-60-ytimellä on sama massa, joten hajoamattoman koboltin massa on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään ja noudattaa samaa hajoamislakia kuin $N$.

   Kaava

   $N = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ ja $m \propto N$, joten $m = m_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: aika ja puoliintumisaika ovat vuosina, ja massa saadaan milligrammoina.

   Sijoitus

   $m$$= 5{,}00\,\text{mg} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{15{,}0\,\text{a} / 5{,}27\,\text{a}}$

   $= 5{,}00\,\text{mg} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}8463}$

   $= 5{,}00\,\text{mg} \cdot 0{,}13905$

   $= 0{,}69526\,\text{mg}$

   Vastaus

   $0{,}695\,\text{mg}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten alkumassassa $5{,}00\,\text{mg}$ ja puoliintumisajassa $5{,}27\,\text{a}$.

   Järkevyys

   Aikaa kului vajaat kolme puoliintumisaikaa, joten massan pitäisi olla hieman yli kahdeksasosa alkuperäisestä: $5{,}00\,\text{mg} : 8 = 0{,}625\,\text{mg}$. Hajonneiden ytimien tilalle tulee nikkeli-60:tä, joten lähteen kokonaismassa ei juuri muutu.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 9-10

   Elävässä kasvissa hiili-14:n osuus hiilestä pysyy vakiona, koska kasvi ottaa ilmasta jatkuvasti uutta hiiltä. Kasvin kuoltua hiili-14 hajoaa, eikä uutta tule tilalle.

   Arkeologisesta puunpalasta mitattu hiili-14:n aktiivisuus grammaa hiiltä kohti on $38{,}0\,\%$ elävän puun vastaavasta aktiivisuudesta. Hiili-14:n puoliintumisaika on $5700\,\text{a}$.

   Kuinka kauan sitten puu kuoli? Anna vastaus vuosina.

   aTarkista
   Vastaus

   $7960\,\text{a}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   näytteen aktiivisuus on $38{,}0\,\%$ elävän puun aktiivisuudesta grammaa hiiltä kohti, hiili-14:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 5700\,\text{a}$

   Kysytty

   puun kuolemasta kulunut aika $t$ vuosina

   Periaate

   Elävässä puussa hiili-14:n osuus pysyy vakiona, joten kuolinhetkellä aktiivisuus grammaa kohti oli sama kuin elävässä puussa. Sen jälkeen aktiivisuus on pienentynyt hajoamislain mukaan. Kun osuus $\tfrac{A}{A_0}$ tunnetaan, kulunut aika ratkaistaan eksponentista logaritmin avulla.

   Kaava

   $\dfrac{A}{A_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   joten

   $\ln \dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \ln 2$

   $t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (A_0 / A)}{\ln 2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: $\tfrac{A_0}{A} = \tfrac{100\,\%}{38{,}0\,\%}$ on paljas luku, ja aika saadaan samassa yksikössä kuin puoliintumisaika eli vuosina.

   Sijoitus

   $t$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln 2{,}6316}{0{,}69315}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{0{,}96758}{0{,}69315}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot 1{,}3959$

   $= 7957\,\text{a}$

   Vastaus

   $7960\,\text{a}$

   Eli noin $7{,}96 \cdot 10^{3}\,\text{a}$, kolme merkitsevää numeroa kuten osuudessa $38{,}0\,\%$.

   Järkevyys

   Yhden puoliintumisajan jälkeen aktiivisuutta olisi $50\,\%$ ja kahden jälkeen $25\,\%$. $38\,\%$ on näiden välissä, joten iän pitää olla $5700$–$11\,400$ vuotta. Tulos $1{,}40$ puoliintumisaikaa sopii tähän.

2. Tehtävä 9-11

   Säteilymittari näyttää radioaktiivisen näytteen lähellä alussa $820$ pulssia minuutissa ja $10{,}0\,\text{min}$ myöhemmin $230$ pulssia minuutissa. Kun näyte viedään pois, mittari näyttää taustasäteilyä $30$ pulssia minuutissa.

   Mikä on näytteen isotoopin puoliintumisaika? Anna vastaus minuutteina.

   minTarkista
   Vastaus

   $5{,}05\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pulssitaajuus alussa $820$ pulssia minuutissa ja $t = 10{,}0\,\text{min}$ myöhemmin $230$ pulssia minuutissa, taustasäteily $30$ pulssia minuutissa

   Kysytty

   puoliintumisaika $T_{1/2}$ minuutteina

   Periaate

   Mittari laskee sekä näytteen että ympäristön säteilyä. Vain näytteen osuus on verrannollinen sen aktiivisuuteen ja pienenee hajoamislain mukaan, joten tausta vähennetään ensin. Taustan oletetaan pysyvän samana koko mittauksen ajan.

   Kaava

   $\dfrac{R_1}{R_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   joten

   $\ln \dfrac{R_0}{R_1}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \ln 2$

   $T_{1/2}$$= \dfrac{t \ln 2}{\ln (R_0 / R_1)}$

   missä $R_0$ ja $R_1$ ovat näytteen nettopulssitaajuudet

   Muunnokset

   Ei yksikkömuunnoksia: pulssitaajuuksien suhde on paljas luku, ja aika on minuutteina. Nettopulssitaajuudet: $R_0 = 820 - 30 = 790$ ja $R_1 = 230 - 30 = 200$ pulssia minuutissa.

   Sijoitus

   $T_{1/2}$$= \dfrac{10{,}0\,\text{min} \cdot 0{,}69315}{\ln (790 : 200)}$

   $= \dfrac{6{,}9315\,\text{min}}{\ln 3{,}95}$

   $= \dfrac{6{,}9315\,\text{min}}{1{,}3737}$

   $= 5{,}0458\,\text{min}$

   Vastaus

   $5{,}05\,\text{min}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten ajassa $10{,}0\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Nettopulssitaajuus pieneni $790$:stä $200$:aan eli lähes neljäsosaan, joten $10\,\text{min}$ on vähän alle kaksi puoliintumisaikaa ja puoliintumisaika vähän yli $5\,\text{min}$. Ilman taustan vähentämistä suhde olisi $820 : 230 = 3{,}57$, ja puoliintumisaika olisi virheellisesti noin $5{,}5\,\text{min}$.

3. Tehtävä 9-12

   Ydinvoimalaonnettomuuden laskeumanäytteessä jodi-131:n ja cesium-137:n aktiivisuudet ovat aluksi yhtä suuret. Jodi-131:n puoliintumisaika on $8{,}02\,\text{d}$ ja cesium-137:n $30{,}1\,\text{a}$.

   Kuinka monta prosenttia näytteen kokonaisaktiivisuudesta on jodi-131:n hajoamisista $30{,}0\,\text{d}$:n kuluttua? Käytä $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$ ja oleta, ettei tytärytimien hajoamisia lasketa.

   %Tarkista
   Vastaus

   $6{,}97\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aktiivisuudet aluksi yhtä suuret $A_\text{I,0} = A_\text{Cs,0} = A_0$, jodi-131:n puoliintumisaika $8{,}02\,\text{d}$, cesium-137:n $30{,}1\,\text{a}$, aika $t = 30{,}0\,\text{d}$, $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$

   Kysytty

   jodi-131:n osuus kokonaisaktiivisuudesta prosentteina

   Periaate

   Kumpikin isotooppi hajoaa omalla puoliintumisajallaan toisesta riippumatta, ja kummankin aktiivisuus noudattaa hajoamislakia. Kokonaisaktiivisuus on niiden summa. Koska alkuaktiivisuudet ovat yhtä suuret, $A_0$ supistuu osuudesta pois.

   Kaava

   $A_\text{I} = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{I}}$ ja $A_\text{Cs} = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{Cs}}$, joten osuus on

   $p$$= \dfrac{A_\text{I}}{A_\text{I} + A_\text{Cs}}$

   $= \dfrac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{I}}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{I}} + \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{Cs}}}$

   Muunnokset

   $T_\text{Cs}$$= 30{,}1\,\text{a}$

   $= 30{,}1 \cdot 365{,}25\,\text{d}$

   $= 10\,994\,\text{d}$

   jotta kaikki ajat ovat vuorokausina.

   Sijoitus

   $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30{,}0\,\text{d} / 8{,}02\,\text{d}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3{,}7406}$

   $= 0{,}074809$

   $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30{,}0\,\text{d} / 10\,994\,\text{d}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}0027288}$

   $= 0{,}99811$

   joten

   $p$$= \dfrac{0{,}074809}{0{,}074809 + 0{,}99811}$

   $= \dfrac{0{,}074809}{1{,}07292}$

   $= 0{,}069725$

   $= 6{,}9725\,\%$

   Vastaus

   $6{,}97\,\%$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisajoissa ja ajassa $30{,}0\,\text{d}$.

   Järkevyys

   Kuukaudessa kuluu lähes neljä jodin puoliintumisaikaa, joten jodin aktiivisuus on pudonnut alle kymmenesosaan, kun taas cesiumin aktiivisuus on lähes ennallaan. Jodin osuuden on siis oltava alle $10\,\%$ mutta yli nollan, kuten tulos on. Siksi onnettomuuden jälkeen jodi on suuri ongelma ensimmäiset viikot, cesium vuosikymmeniä.