Hajoamislaki ja puoliintumisaika

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-1Ydintehtävä

   Isotooppikuvausta varten valmistetun teknetium-$99\text{m}$-valmisteen aktiivisuus on $740\,\text{MBq}$. Teknetium-$99\text{m}$:n puoliintumisaika on $6{,}01\,\text{h}$. Kuinka suuri valmisteen aktiivisuus on $18{,}0\,\text{h}$ myöhemmin? Anna vastaus megabecquereleinä.

   MBqTarkista
   Vastaus

   $92{,}8\,\text{MBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 740\,\text{MBq}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 6{,}01\,\text{h}$, aika $t = 18{,}0\,\text{h}$

   Kysytty

   valmisteen aktiivisuus $A$ hetkellä $t$ megabecquereleinä

   Periaate

   Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään, $A = \lambda N$. Siksi se pienenee hajoamislain mukaan: jokainen puoliintumisaika puolittaa sen. Valmisteessa on valtavasti ytimiä, joten laki pätee tarkasti.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Aika ja puoliintumisaika ovat molemmat tunteina, joten niiden suhde on pelkkä luku. Aktiivisuus saadaan samassa yksikössä kuin $A_0$.

   Sijoitus

   $A$$= 740\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{18{,}0\,\text{h} / 6{,}01\,\text{h}}$

   $= 740\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}9950}$

   $= 740\,\text{MBq} \cdot 0{,}12543$

   $= 92{,}82\,\text{MBq}$

   Vastaus

   $92{,}8\,\text{MBq}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska puoliintumisajassa $6{,}01\,\text{h}$ ja ajassa $18{,}0\,\text{h}$ on kolme.

   Järkevyys

   Aikaa kului lähes tasan kolme puoliintumisaikaa. Siksi aktiivisuuden pitäisi olla noin kahdeksasosa alkuarvosta: $740\,\text{MBq} : 8 = 92{,}5\,\text{MBq}$. Tulos on hieman suurempi, koska kolmeen puoliintumisaikaan puuttuu vielä vähän.

2. Tehtävä 9-2Ydintehtävä

   Radonia sisältävä ilmanäyte suljetaan tiiviiseen astiaan. Radon-222:n puoliintumisaika on $3{,}82\,\text{d}$. Kuinka monta prosenttia radonytimistä on hajoamatta $10{,}0\,\text{d}$:n kuluttua? Oleta, että astiaan ei synny uutta radonia.

   %Tarkista
   Vastaus

   $16{,}3\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   puoliintumisaika $T_{1/2} = 3{,}82\,\text{d}$, aika $t = 10{,}0\,\text{d}$, astiaan ei synny uutta radonia

   Kysytty

   hajoamattomien radonytimien osuus $\tfrac{N}{N_0}$ prosentteina

   Periaate

   Radonytimet hajoavat toisistaan riippumatta, ja ilmanäytteessä niitä on hyvin paljon. Siksi niiden määrä noudattaa hajoamislakia. Uutta radonia ei synny, joten määrä vain pienenee.

   Kaava

   $N = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$, josta

   $\dfrac{N}{N_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Aika ja puoliintumisaika ovat molemmat vuorokausina. Lopuksi osuus muutetaan prosenteiksi: $1 = 100\,\%$.

   Sijoitus

   $\dfrac{N}{N_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10{,}0\,\text{d} / 3{,}82\,\text{d}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}6178}$

   $= 0{,}16292$

   $= 16{,}292\,\%$

   Vastaus

   $16{,}3\,\%$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska puoliintumisajassa $3{,}82\,\text{d}$ ja ajassa $10{,}0\,\text{d}$ on kolme.

   Järkevyys

   Aikaa kului vähän yli kaksi ja puoli puoliintumisaikaa. Kahden jälkeen jäljellä olisi $25\,\%$ ja kolmen jälkeen $12{,}5\,\%$. Tulos on näiden välissä.

3. Tehtävä 9-3

   Cesium-137:n puoliintumisaika on $30{,}1\,\text{a}$. Mikä on sen hajoamisvakio? Anna vastaus yksikössä $\tfrac{1}{\text{a}}$.

   1/aTarkista
   Vastaus

   $0{,}0230\,\tfrac{1}{\text{a}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   cesium-137:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 30{,}1\,\text{a}$

   Kysytty

   hajoamisvakio $\lambda$ yksikössä $\tfrac{1}{\text{a}}$

   Periaate

   Puoliintumisajan kohdalla hajoamattomia ytimiä on puolet. Hajoamislaissa $N = N_0 e^{-\lambda t}$ tämä tarkoittaa, että $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac{1}{2}$. Tästä saadaan hajoamisvakion ja puoliintumisajan yhteys.

   Kaava

   $\lambda T_{1/2} = \ln 2$, josta $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kun puoliintumisaika on vuosina, hajoamisvakio saadaan suoraan yksikössä $\tfrac{1}{\text{a}}$.

   Sijoitus

   $\lambda$$= \dfrac{0{,}69315}{30{,}1\,\text{a}}$

   $= 0{,}023028\,\tfrac{1}{\text{a}}$

   Vastaus

   $0{,}0230\,\tfrac{1}{\text{a}}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska puoliintumisajassa $30{,}1\,\text{a}$ on kolme.

   Järkevyys

   Hajoamisvakio kertoo, että vuodessa hajoaa noin $2{,}3\,\%$ ytimistä. Silloin puolet hajoaa suunnilleen ajassa $0{,}69 : 0{,}023\,\tfrac{1}{\text{a}} \approx 30\,\text{a}$. Se täsmää puoliintumisaikaan.

4. Tehtävä 9-4

   Koboltti-60-säteilylähteessä on $3{,}20 \cdot 10^{12}$ hajoamatonta ydintä. Koboltti-60:n hajoamisvakio on $4{,}17 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Mikä on lähteen aktiivisuus? Anna vastaus kilobecquereleinä.

   kBqTarkista
   Vastaus

   $13{,}3\,\text{kBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   hajoamattomien ytimien määrä $N = 3{,}20 \cdot 10^{12}$, hajoamisvakio $\lambda = 4{,}17 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Kysytty

   lähteen aktiivisuus $A$ kilobecquereleinä

   Periaate

   Jokainen ydin hajoaa sekunnissa todennäköisyydellä $\lambda$. Siksi $N$ ytimestä hajoaa sekunnissa keskimäärin $\lambda N$. Tämä on aktiivisuus.

   Kaava

   $A = \lambda N$

   Muunnokset

   $1\,\text{Bq} = 1\,\tfrac{1}{\text{s}}$ ja $1\,\text{kBq} = 1000\,\text{Bq}$.

   Sijoitus

   $A$$= 4{,}17 \cdot 10^{-9}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 3{,}20 \cdot 10^{12}$

   $= 13\,344\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   $= 13\,344\,\text{Bq}$

   $= 13{,}344\,\text{kBq}$

   Vastaus

   $13{,}3\,\text{kBq}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska ytimien määrässä ja hajoamisvakiossa on kolme.

   Järkevyys

   Arvio $4 \cdot 10^{-9} \cdot 3 \cdot 10^{12} = 1{,}2 \cdot 10^{4}$ on noin $12\,\text{kBq}$. Ytimiä on paljon, mutta koboltti-60 hajoaa hitaasti. Siksi vain pieni osa ytimistä hajoaa sekunnissa.

5. Tehtävä 9-5

   Näytteen aktiivisuus pienenee $48{,}0\,\text{h}$:ssa arvosta $800\,\text{kBq}$ arvoon $200\,\text{kBq}$. Mikä on näytteen isotoopin puoliintumisaika? Anna vastaus tunteina.

   hTarkista
   Vastaus

   $24{,}0\,\text{h}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 800\,\text{kBq}$, aktiivisuus $A = 200\,\text{kBq}$ ajan $t = 48{,}0\,\text{h}$ kuluttua

   Kysytty

   puoliintumisaika $T_{1/2}$ tunteina

   Periaate

   Aktiivisuus puolittuu jokaisen puoliintumisajan aikana, koska se on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään. Lasketaan, montako puoliintumisaikaa on kulunut ajassa $t$. Ketju $800\,\text{kBq} \to 400\,\text{kBq} \to 200\,\text{kBq}$ on kaksi puolittumista.

   Kaava

   $\dfrac{A}{A_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   $= \tfrac{1}{4}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}$

   joten $\tfrac{t}{T_{1/2}} = 2$ ja $T_{1/2} = \dfrac{t}{2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Aika on tunteina, ja vastaus kysytään tunteina.

   Sijoitus

   $T_{1/2}$$= \dfrac{48{,}0\,\text{h}}{2}$

   $= 24{,}0\,\text{h}$

   Vastaus

   $24{,}0\,\text{h}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska ajassa $48{,}0\,\text{h}$ on kolme.

   Järkevyys

   Tarkistus hajoamislailla:

   $800\,\text{kBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{48{,}0\,\text{h} / 24{,}0\,\text{h}}$

   $= 800\,\text{kBq} \cdot \tfrac{1}{4}$

   $= 200\,\text{kBq}$

   Tulos on sama kuin tehtävässä.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 9-6Ydintehtävä

   Jodi-131:n puoliintumisaika on $8{,}02\,\text{d}$. Mikä on sen hajoamisvakio yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$? Anna vastaus yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$.

   10⁻⁶ 1/sTarkista
   Vastaus

   $1{,}00 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   jodi-131:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 8{,}02\,\text{d}$

   Kysytty

   hajoamisvakio $\lambda$ yksikössä $10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Periaate

   Puoliintumisajan kohdalla $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac{1}{2}$, koska puolet ytimistä on hajonnut. Hajoamisvakio halutaan sekunteina. Siksi puoliintumisaika muutetaan ensin sekunneiksi.

   Kaava

   $\lambda T_{1/2} = \ln 2$, josta $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$

   Muunnokset

   $1\,\text{d}$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$

   $= 86\,400\,\text{s}$

   joten

   $T_{1/2}$$= 8{,}02 \cdot 86\,400\,\text{s}$

   $= 692\,928\,\text{s}$

   Sijoitus

   $\lambda$$= \dfrac{0{,}69315}{692\,928\,\text{s}}$

   $= 1{,}00032 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Vastaus

   $1{,}00 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska puoliintumisajassa $8{,}02\,\text{d}$ on kolme.

   Järkevyys

   Sekunnissa hajoaa noin miljoonasosa ytimistä. Vuorokaudessa hajoaa siis noin $86\,400 \cdot 10^{-6} \approx 0{,}09$ eli $9\,\%$ jäljellä olevista. Koska $0{,}91^{8} \approx 0{,}47$, kahdeksan vuorokauden jälkeen jäljellä on noin puolet. Se sopii puoliintumisaikaan $8{,}02\,\text{d}$.

2. Tehtävä 9-7Ydintehtävä

   Vanhan savuilmaisimen säteilylähteessä on amerikium-241:tä, ja lähteen aktiivisuus on $37\,\text{kBq}$. Amerikium-241:n puoliintumisaika on $433\,\text{a}$. Kuinka monta amerikiumydintä lähteessä on? Käytä arvoa $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$. Anna vastaus yksikössä $10^{14}$.

   · 10¹⁴Tarkista
   Vastaus

   $7{,}3 \cdot 10^{14}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aktiivisuus $A = 37\,\text{kBq}$, amerikium-241:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 433\,\text{a}$, $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$

   Kysytty

   ytimien määrä $N$ yksikössä $10^{14}$

   Periaate

   Aktiivisuus on hajoamisvakion ja ytimien määrän tulo, $A = \lambda N$. Hajoamisvakio saadaan puoliintumisajasta. Aktiivisuus on hajoamisia sekunnissa, joten hajoamisvakion on oltava yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$.

   Kaava

   $A = \lambda N$ ja $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$, joten

   $N$$= \dfrac{A}{\lambda}$

   $= \dfrac{A\,T_{1/2}}{\ln 2}$

   Muunnokset

   $A$$= 37\,\text{kBq}$

   $= 37 \cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   $T_{1/2}$$= 433 \cdot 365{,}25 \cdot 86\,400\,\text{s}$

   $= 1{,}36644 \cdot 10^{10}\,\text{s}$

   Sijoitus

   $N$$= \dfrac{37 \cdot 10^{3}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 1{,}36644 \cdot 10^{10}\,\text{s}}{0{,}69315}$

   $= 7{,}294 \cdot 10^{14}$

   Vastaus

   $7{,}3 \cdot 10^{14}$

   Ydintä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska aktiivisuudessa $37\,\text{kBq}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Hajoamisvakio on $\lambda = 5{,}07 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{1}{\text{s}}$. Tulo

   $5{,}07 \cdot 10^{-11}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 7{,}29 \cdot 10^{14}$

   $\approx 3{,}7 \cdot 10^{4}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

   on annettu aktiivisuus. Ytimiä on paljon, koska pitkäikäinen amerikium hajoaa hitaasti. Massana tämä on vain noin $0{,}3\,\mu\text{g}$.

3. Tehtävä 9-8

   PET-kuvauksessa käytetään fluori-18-valmistetta, jonka aktiivisuus on $2{,}00\,\text{GBq}$. Valmiste kuljetetaan tuotantolaitokselta sairaalaan. Matka kestää $2\,\text{h}\ 30\,\text{min}$. Fluori-18:n puoliintumisaika on $110\,\text{min}$. Mikä on valmisteen aktiivisuus sen saapuessa? Anna vastaus megabecquereleinä.

   MBqTarkista
   Vastaus

   $777\,\text{MBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 2{,}00\,\text{GBq}$, matkan kesto $t = 2\,\text{h}\ 30\,\text{min}$, fluori-18:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 110\,\text{min}$

   Kysytty

   aktiivisuus $A$ perillä megabecquereleinä

   Periaate

   Aktiivisuus noudattaa hajoamislakia, koska se on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään. Aika ja puoliintumisaika on ilmaistava samassa yksikössä, jotta eksponentti on pelkkä luku.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   $t$$= 2\,\text{h}\ 30\,\text{min}$

   $= 2 \cdot 60\,\text{min} + 30\,\text{min}$

   $= 150\,\text{min}$

   $A_0$$= 2{,}00\,\text{GBq}$

   $= 2000\,\text{MBq}$

   Sijoitus

   $A$$= 2000\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{150\,\text{min} / 110\,\text{min}}$

   $= 2000\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1{,}3636}$

   $= 2000\,\text{MBq} \cdot 0{,}38860$

   $= 777{,}20\,\text{MBq}$

   Vastaus

   $777\,\text{MBq}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska alkuaktiivisuudessa $2{,}00\,\text{GBq}$ ja puoliintumisajassa $110\,\text{min}$ on kolme.

   Järkevyys

   Matka kesti vähän yli yhden puoliintumisajan. Siksi aktiivisuuden pitäisi olla hieman alle puolet alkuarvosta eli alle $1000\,\text{MBq}$. Kahden puoliintumisajan jälkeen se olisi $500\,\text{MBq}$. Tulos on näiden välissä.

4. Tehtävä 9-9

   Teollisuuden säteilylähteessä on alussa $5{,}00\,\text{mg}$ koboltti-60:tä. Koboltti-60:n puoliintumisaika on $5{,}27\,\text{a}$. Kuinka paljon koboltti-60:tä lähteessä on $15{,}0\,\text{a}$:n kuluttua? Anna vastaus milligrammoina.

   mgTarkista
   Vastaus

   $0{,}695\,\text{mg}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkumassa $m_0 = 5{,}00\,\text{mg}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 5{,}27\,\text{a}$, aika $t = 15{,}0\,\text{a}$

   Kysytty

   jäljellä olevan koboltti-60:n massa $m$ milligrammoina

   Periaate

   Jokaisella koboltti-60-ytimellä on sama massa. Siksi hajoamattoman koboltin massa on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään ja noudattaa samaa hajoamislakia kuin $N$.

   Kaava

   $N = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ ja $m \propto N$, joten $m = m_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Aika ja puoliintumisaika ovat vuosina, ja massa saadaan milligrammoina.

   Sijoitus

   $m$$= 5{,}00\,\text{mg} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{15{,}0\,\text{a} / 5{,}27\,\text{a}}$

   $= 5{,}00\,\text{mg} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}8463}$

   $= 5{,}00\,\text{mg} \cdot 0{,}13905$

   $= 0{,}69526\,\text{mg}$

   Vastaus

   $0{,}695\,\text{mg}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska alkumassassa $5{,}00\,\text{mg}$ ja puoliintumisajassa $5{,}27\,\text{a}$ on kolme.

   Järkevyys

   Aikaa kului vajaat kolme puoliintumisaikaa. Siksi massan pitäisi olla hieman yli kahdeksasosa alkuperäisestä: $5{,}00\,\text{mg} : 8 = 0{,}625\,\text{mg}$. Hajonneiden ytimien tilalle tulee nikkeli-60:tä, joten lähteen kokonaismassa ei juuri muutu.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 9-10

   Elävässä kasvissa hiili-14:n osuus hiilestä pysyy vakiona, koska kasvi ottaa ilmasta jatkuvasti uutta hiiltä. Kun kasvi kuolee, hiili-14 hajoaa, eikä uutta tule tilalle.

   Arkeologisesta puunpalasta mitattu hiili-14:n aktiivisuus grammaa hiiltä kohti on $38{,}0\,\%$ elävän puun vastaavasta aktiivisuudesta. Hiili-14:n puoliintumisaika on $5700\,\text{a}$.

   Kuinka kauan sitten puu kuoli? Anna vastaus vuosina.

   aTarkista
   Vastaus

   $7960\,\text{a}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   näytteen aktiivisuus on $38{,}0\,\%$ elävän puun aktiivisuudesta grammaa hiiltä kohti, hiili-14:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 5700\,\text{a}$

   Kysytty

   puun kuolemasta kulunut aika $t$ vuosina

   Periaate

   Elävässä puussa hiili-14:n osuus pysyy vakiona. Kuolinhetkellä aktiivisuus grammaa kohti oli siis sama kuin elävässä puussa. Sen jälkeen aktiivisuus on pienentynyt hajoamislain mukaan. Kun osuus $\tfrac{A}{A_0}$ tunnetaan, kulunut aika ratkaistaan eksponentista logaritmin avulla.

   Kaava

   $\dfrac{A}{A_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   joten

   $\ln \dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \ln 2$

   $t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (A_0 / A)}{\ln 2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Suhde $\tfrac{A_0}{A} = \tfrac{100\,\%}{38{,}0\,\%}$ on pelkkä luku, ja aika saadaan samassa yksikössä kuin puoliintumisaika eli vuosina.

   Sijoitus

   $t$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln 2{,}6316}{0{,}69315}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{0{,}96758}{0{,}69315}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot 1{,}3959$

   $= 7957\,\text{a}$

   Vastaus

   $7960\,\text{a}$

   Eli noin $7{,}96 \cdot 10^{3}\,\text{a}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska osuudessa $38{,}0\,\%$ on kolme.

   Järkevyys

   Yhden puoliintumisajan jälkeen aktiivisuutta olisi $50\,\%$ ja kahden jälkeen $25\,\%$. Osuus $38\,\%$ on näiden välissä, joten iän pitää olla $5700$–$11\,400$ vuotta. Tulos $1{,}40$ puoliintumisaikaa sopii tähän.

2. Tehtävä 9-11

   Säteilymittari näyttää radioaktiivisen näytteen lähellä alussa $820$ pulssia minuutissa. Kun $10{,}0\,\text{min}$ on kulunut, mittari näyttää $230$ pulssia minuutissa. Kun näyte viedään pois, mittari näyttää taustasäteilyä $30$ pulssia minuutissa.

   Mikä on näytteen isotoopin puoliintumisaika? Anna vastaus minuutteina.

   minTarkista
   Vastaus

   $5{,}05\,\text{min}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pulssitaajuus alussa $820$ pulssia minuutissa ja $t = 10{,}0\,\text{min}$ myöhemmin $230$ pulssia minuutissa, taustasäteily $30$ pulssia minuutissa

   Kysytty

   puoliintumisaika $T_{1/2}$ minuutteina

   Periaate

   Mittari laskee sekä näytteen että ympäristön säteilyä. Vain näytteen osuus on verrannollinen sen aktiivisuuteen ja pienenee hajoamislain mukaan. Siksi tausta vähennetään ensin. Taustan oletetaan pysyvän samana koko mittauksen ajan.

   Kaava

   $\dfrac{R_1}{R_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   joten

   $\ln \dfrac{R_0}{R_1}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \ln 2$

   $T_{1/2}$$= \dfrac{t \ln 2}{\ln (R_0 / R_1)}$

   missä $R_0$ ja $R_1$ ovat näytteen nettopulssitaajuudet

   Muunnokset

   Yksikkömuunnoksia ei ole. Pulssitaajuuksien suhde on pelkkä luku, ja aika on minuutteina. Nettopulssitaajuudet: $R_0 = 820 - 30 = 790$ ja $R_1 = 230 - 30 = 200$ pulssia minuutissa.

   Sijoitus

   $T_{1/2}$$= \dfrac{10{,}0\,\text{min} \cdot 0{,}69315}{\ln (790 : 200)}$

   $= \dfrac{6{,}9315\,\text{min}}{\ln 3{,}95}$

   $= \dfrac{6{,}9315\,\text{min}}{1{,}3737}$

   $= 5{,}0458\,\text{min}$

   Vastaus

   $5{,}05\,\text{min}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska ajassa $10{,}0\,\text{min}$ on kolme.

   Järkevyys

   Nettopulssitaajuus pieneni arvosta $790$ arvoon $200$ eli lähes neljäsosaan. Siksi $10\,\text{min}$ on vähän alle kaksi puoliintumisaikaa ja puoliintumisaika on vähän yli $5\,\text{min}$. Ilman taustan vähentämistä suhde olisi $820 : 230 = 3{,}57$, ja puoliintumisaika olisi virheellisesti noin $5{,}5\,\text{min}$.

3. Tehtävä 9-12

   Ydinvoimalaonnettomuuden laskeumanäytteessä jodi-131:n ja cesium-137:n aktiivisuudet ovat aluksi yhtä suuret. Jodi-131:n puoliintumisaika on $8{,}02\,\text{d}$ ja cesium-137:n $30{,}1\,\text{a}$.

   Kuinka monta prosenttia näytteen kokonaisaktiivisuudesta on jodi-131:n hajoamisia $30{,}0\,\text{d}$:n kuluttua? Käytä arvoa $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$ ja oleta, ettei tytärytimien hajoamisia lasketa.

   %Tarkista
   Vastaus

   $6{,}97\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   aktiivisuudet aluksi yhtä suuret $A_\text{I,0} = A_\text{Cs,0} = A_0$, jodi-131:n puoliintumisaika $8{,}02\,\text{d}$, cesium-137:n $30{,}1\,\text{a}$, aika $t = 30{,}0\,\text{d}$, $1\,\text{a} = 365{,}25\,\text{d}$

   Kysytty

   jodi-131:n osuus kokonaisaktiivisuudesta prosentteina

   Periaate

   Kumpikin isotooppi hajoaa omalla puoliintumisajallaan toisesta riippumatta, ja kummankin aktiivisuus noudattaa hajoamislakia. Kokonaisaktiivisuus on niiden summa. Alkuaktiivisuudet ovat yhtä suuret, joten $A_0$ supistuu osuudesta pois.

   Kaava

   $A_\text{I} = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{I}}$ ja $A_\text{Cs} = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{Cs}}$, joten osuus on

   $p$$= \dfrac{A_\text{I}}{A_\text{I} + A_\text{Cs}}$

   $= \dfrac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{I}}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{I}} + \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_\text{Cs}}}$

   Muunnokset

   $T_\text{Cs}$$= 30{,}1\,\text{a}$

   $= 30{,}1 \cdot 365{,}25\,\text{d}$

   $= 10\,994\,\text{d}$

   jotta kaikki ajat ovat vuorokausina.

   Sijoitus

   $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30{,}0\,\text{d} / 8{,}02\,\text{d}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3{,}7406}$

   $= 0{,}074809$

   $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{30{,}0\,\text{d} / 10\,994\,\text{d}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}0027288}$

   $= 0{,}99811$

   joten

   $p$$= \dfrac{0{,}074809}{0{,}074809 + 0{,}99811}$

   $= \dfrac{0{,}074809}{1{,}07292}$

   $= 0{,}069725$

   $= 6{,}9725\,\%$

   Vastaus

   $6{,}97\,\%$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska puoliintumisajoissa ja ajassa $30{,}0\,\text{d}$ on kolme.

   Järkevyys

   Kuukaudessa kuluu lähes neljä jodin puoliintumisaikaa. Siksi jodin aktiivisuus on pudonnut alle kymmenesosaan, mutta cesiumin aktiivisuus on lähes ennallaan. Jodin osuuden on siis oltava alle $10\,\%$ mutta yli nollan, kuten tulos on. Siksi onnettomuuden jälkeen jodi on suuri ongelma ensimmäiset viikot ja cesium vuosikymmeniä.