Massavaje ja ytimen sidosenergia
Miksi helium-4-atomi on kevyempi kuin kaksi vetyatomia ja kaksi neutronia yhteensä, vaikka se koostuu juuri niistä?
Pohjatiedot
- Ydin koostuu protoneista ja neutroneista, ja hajoamisyhtälössä massaluku ja varausluku säilyvätluku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen
- Energia voidaan ilmoittaa elektronivoltteina: $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Helium-4-atomissa on kaksi protonia, kaksi neutronia ja kaksi elektronia. Samat hiukkaset ovat kahdessa vetyatomissa ja kahdessa neutronissa, ja niiden yhteinen massa on $4{,}032980\,\text{u}$. Helium-4-atomin massa on kuitenkin vain $4{,}002603\,\text{u}$. Ero on alle prosentti, mutta massat tunnetaan miljoonasosan tarkkuudella, joten ero on todellinen.
Mihin helium-4:n puuttuva massa on mennyt, kun protonit ja neutronit liittyvät yhteen ytimeksi?
Valinnainen Kertaa: alfahajoaminen
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kevyistä raskaisiin
Ennuste 2: helium vai litium
Tutki
Valitse ydin. Vaaka vertaa erillisten nukleonien massaa atomin massaan, ja kuvaaja näyttää jokaisen tutkimasi ytimen sidosenergian nukleonia kohti.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Ydin -valikosta ydinlaji. Vasemmassa kupissa ovat ytimen $Z$ vetyatomia ja $N$ neutronia erillään (punainen protoni, harmaa neutroni), oikeassa kupissa sama atomi, jonka nukleonit ovat sitoutuneet tiiviiksi ytimeksi. Kuppien alla ovat niiden massat ja yläreunassa massavaje $\Delta m$. Vaaka kallistuu raskaamman eli erillisten nukleonien puolelle; kallistus on liioiteltu, jotta sen näkee. Kuvaajaan jää piste jokaisesta tutkimastasi ytimestä, ja nykyinen ydin on rengastettu. Näytä kaikki ytimet piirtää myös taulukon muut ytimet vaaleina renkaina, ja Tyhjennä kuvaaja poistaa tutkitut pisteet.
Mallin oletukset
Atomien massat ovat atomimassataulukon AME2020 arvoja (IAEA:n Atomic Mass Data Center) kuuden desimaalin tarkkuudella. Massavaje lasketaan vetyatomien ${}^{1}\text{H}$ eikä protonien massoista, jotta elektronien massat kumoutuvat. Elektronien omaa, hyvin pientä sidosenergiaa atomissa ei oteta huomioon. Taulukossa on $32$ ydinlajia, yksi tai kaksi kustakin alkuaineesta. Lukemat ovat näistä massoista laskettuja mallin arvoja eivätkä omia mittauksia.
Laskennan selitys
Erillisten nukleonien massa on $Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n}$, missä $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$ ja $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$. Massavaje on $\Delta m = Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi}$, ja sidosenergia saadaan sijoittamalla $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ yhtälöön $E_\text{B} = \Delta m\,c^2$. Kuvaajan pystyakselilla on $\tfrac{E_\text{B}}{A}$ ja vaaka-akselilla massaluku $A$.
Koe 1: kevyet ytimet
Testaa ennuste 2. Valitse ytimet järjestyksessä vety-2 (deuterium), helium-4, litium-7, hiili-12 ja happi-16. Kirjaa jokaisesta massavaje $\Delta m$, sidosenergia $E_\text{B}$ ja sidosenergia nukleonia kohti $\tfrac{E_\text{B}}{A}$, ainakin kolmesta ensimmäisestä.
Alkutila: ydin: vety-2. Vakiona: ei mitään. Muutetaan: ydin.
| ydin | $\Delta m$ $(\text{u})$ | $E_\text{B}$ $(\text{MeV})$ | $E_\text{B}/A$ $(\text{MeV})$ |
|---|
Koe 2: keskiraskaat ja raskaat ytimet
Testaa ennuste 1. Kirjaa samat suureet ytimistä rauta-56, nikkeli-62, hopea-107, lyijy-208 ja uraani-238, ainakin kolmesta. Paina lopuksi Näytä kaikki ytimet ja katso koko kuvaajaa.
Alkutila: ydin: rauta-56. Vakiona: ei mitään. Muutetaan: ydin.
| ydin | $\Delta m$ $(\text{u})$ | $E_\text{B}$ $(\text{MeV})$ | $E_\text{B}/A$ $(\text{MeV})$ |
|---|
Johtopäätös: sidosenergiakäyrä
Kirjoita taulukoidesi perusteella: Miten sidosenergia nukleonia kohti muuttuu massaluvun kasvaessa, ja minkä ytimien kohdalla se on suurin? Mikä kevyt ydin poikkeaa naapureistaan? Kumpi on tiiviimmin sidottu, rauta-56 vai uraani-238, vaikka uraanin koko sidosenergia on paljon suurempi?
Mallivastaus
Mallin arvoina sidosenergia nukleonia kohti kasvaa jyrkästi kevyillä ytimillä: vety-2 $1{,}112\,\text{MeV}$, litium-7 $5{,}607\,\text{MeV}$, hiili-12 $7{,}680\,\text{MeV}$ ja happi-16 $7{,}976\,\text{MeV}$. Helium-4 poikkeaa: sen arvo $7{,}074\,\text{MeV}$ on suurempi kuin raskaamman litium-7:n. Suurin arvo on keskiraskailla ytimillä, nikkeli-62:lla $8{,}795\,\text{MeV}$ ja rauta-56:lla $8{,}790\,\text{MeV}$. Siitä arvo pienenee loivasti: hopea-107 $8{,}554\,\text{MeV}$, lyijy-208 $7{,}868\,\text{MeV}$ ja uraani-238 $7{,}570\,\text{MeV}$. Uraani-238:n koko sidosenergia $1801{,}7\,\text{MeV}$ on suurempi kuin raudan $492{,}3\,\text{MeV}$, koska nukleoneja on enemmän, mutta nukleonia kohti rauta on tiiviimmin sidottu. Kevyissä ytimissä nukleonilla on vähän naapureita, joihin vahva vuorovaikutus sen sitoo; raskaissa ytimissä protonien sähköinen hylkiminen, joka ulottuu koko ytimen yli, heikentää sidosta.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Atomimassayksikkö
Atomien ja ytimien massat ilmoitetaan atomimassayksikköinä. Atomimassayksikkö $\text{u}$ on määritelty niin, että hiili-12-atomin massa on tasan $12\,\text{u}$, joten $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$. Protonin ja neutronin massat ovat kumpikin noin $1\,\text{u}$, joten atomin massa atomimassayksikköinä on lähellä sen massalukua $A$, mutta ei tasan sama. Taulukon arvot ovat atomien massoja: niihin sisältyvät myös elektronit. Vetyatomin ${}^{1}\text{H}$ massa on protonin ja elektronin massa yhteensä.
| Hiukkanen | Merkintä | Massa ($\text{u}$) |
|---|---|---|
| vety-1 | ${}^{1}\text{H}$ | $1{,}007825$ |
| neutroni | $\text{n}$ | $1{,}008665$ |
| vety-2 | ${}^{2}\text{H}$ | $2{,}014102$ |
| helium-4 | ${}^{4}\text{He}$ | $4{,}002603$ |
| hiili-12 | ${}^{12}\text{C}$ | $12{,}000000$ |
| happi-16 | ${}^{16}\text{O}$ | $15{,}994915$ |
| rauta-56 | ${}^{56}\text{Fe}$ | $55{,}934936$ |
| uraani-238 | ${}^{238}\text{U}$ | $238{,}050787$ |
Lähde: atomimassataulukko AME2020 (Atomic Mass Evaluation 2020, IAEA:n Atomic Mass Data Center), pyöristetty kuuteen desimaaliin. Ytimen massoissa tarvitaan näin monta desimaalia, koska tärkeät erot ovat pieniä.
Massavaje
Helium-4-atomissa on kaksi protonia, kaksi neutronia ja kaksi elektronia. Samat hiukkaset ovat kahdessa vetyatomissa ja kahdessa neutronissa, joiden yhteinen massa on $2 \cdot 1{,}007825\,\text{u} + 2 \cdot 1{,}008665\,\text{u} = 4{,}032980\,\text{u}$. Helium-4-atomin massa on kuitenkin vain $4{,}002603\,\text{u}$. Kun nukleonit ovat sitoutuneet ytimeksi, niiden massa on pienempi kuin erillään. Erotus $4{,}032980\,\text{u} - 4{,}002603\,\text{u} = 0{,}030377\,\text{u}$ on ytimen massavaje $\Delta m$, noin $0{,}76\,\%$ atomin massasta. Vetyatomeja käytetään erillisten protonien sijaan, jotta elektronien massat kumoutuvat: molemmilla puolilla on kaksi elektronia.
Massa ja energia
Massavaje ei ole kadonnutta ainetta. Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan massa ja energia ovat ekvivalentit: kappaleen energian muutos $\Delta E$ muuttaa sen massaa määrällä $\tfrac{\Delta E}{c^2}$, missä $c$ on valon nopeus. Kun protonit ja neutronit sitoutuvat ytimeksi, vahva vuorovaikutus vetää ne yhteen ja energiaa vapautuu, esimerkiksi gammafotoneina. Syntyneen ytimen energia ja siksi myös massa on pienempi kuin erillisten nukleonien. Sama energia tarvitaan, jos ydin hajotetaan takaisin erillisiksi nukleoneiksi. Tämä energia on ytimen sidosenergia $E_\text{B}$.
Miksi massan muutosta ei huomaa arjessa
Massan ja energian ekvivalenssi koskee kaikkia energian muutoksia, mutta $c^2$ on niin suuri, että tavallisissa ilmiöissä massan muutos on mittaamattoman pieni. Grammaa massaa vastaa energia
$$\begin{aligned} E &= 1{,}00 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \\ &\quad \cdot (2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2 \\ &\approx 9{,}0 \cdot 10^{13}\,\text{J}. \end{aligned}$$
Kun hiili palaa, massa pienenee vain noin kymmenesmiljardisosan. Ytimissä sidosenergia on niin suuri, että massavaje on noin $0{,}8\,\%$ atomin massasta niin helium-4:llä kuin uraani-238:llakin. Siksi ydinfysiikassa energia lasketaan suoraan massojen erotuksesta.
Sidosenergia
Massavaje ja sidosenergia
Ytimessä ${}^{A}_{Z}\text{X}$ on $Z$ protonia ja $N = A - Z$ neutronia. Massavaje lasketaan atomimassoista:
$$\Delta m = Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi}$$
missä $m_\text{H}$ on vetyatomin ${}^{1}\text{H}$ massa, $m_\text{n}$ neutronin massa ja $m_\text{atomi}$ atomin ${}^{A}_{Z}\text{X}$ massa. Ytimen sidosenergia on massavajetta vastaava energia
$$E_\text{B} = \Delta m\,c^2$$
missä $E_\text{B}$ on sidosenergia ja $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ valon nopeus. Elektronien omaa sidosenergiaa atomissa ei oteta huomioon, koska se on enintään satoja kiloelektronivoltteja ja raskaimmillakin atomeilla alle tuhannesosa ytimen sidosenergiasta.
Atomimassayksikkö energiana
Ytimien energiat ilmoitetaan megaelektronivoltteina: $1\,\text{MeV} = 10^{6}\,\text{eV}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602177 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Lasketaan, paljonko energiaa vastaa massa $1\,\text{u}$. Koska massavaje on pieni erotus, vakioissa käytetään tässä kuutta merkitsevää numeroa:
$$\begin{aligned} E &= 1\,\text{u} \cdot c^2 \\ &= 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \\ &\quad \cdot (2{,}99792 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2 \\ &= 1{,}49241 \cdot 10^{-10}\,\text{J} \\ &= \frac{1{,}49241 \cdot 10^{-10}}{1{,}602177 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV} \\ &= 9{,}3149 \cdot 10^{8}\,\text{eV} \\ &\approx 931{,}5\,\text{MeV} \end{aligned}$$
Siis $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Kun massavaje on atomimassayksikköinä, tämä sijoitetaan yksikön paikalle, ja $c^2$ supistuu: esimerkiksi $0{,}001000\,\text{u} \cdot c^2 = 0{,}001000 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2 = 0{,}9315\,\text{MeV}$. Neljän numeron vakioilla $1{,}661 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ tulos olisi $931{,}9\,\text{MeV}$, joten neljän numeron vakiot muuttavat jo neljättä numeroa.
Sidosenergia nukleonia kohti
Ytimien sidoksen lujuutta vertaillaan sidosenergialla nukleonia kohti
$$\frac{E_\text{B}}{A}$$
missä $A$ on massaluku eli nukleonien määrä. Kuvaajassa se on laskettu atomimassoista $32$ ytimelle. Kevyillä ytimillä arvo kasvaa jyrkästi, koska jokaisella nukleonilla on yhä enemmän naapureita, joihin vahva vuorovaikutus sitoo sen. Helium-4 on poikkeuksellisen tiiviisti sidottu. Arvo on suurin, noin $8{,}8\,\text{MeV}$, rauta-56:n ja nikkeli-62:n kohdalla. Raskaammilla ytimillä se pienenee loivasti, koska vahva vuorovaikutus vaikuttaa vain lähinaapureiden välillä, mutta protonien sähköinen hylkiminen ulottuu koko ytimen yli.
Kuvaajasta näkyy, milloin ydinreaktio vapauttaa energiaa: kun syntyvät ytimet ovat tiiviimmin sidottuja kuin alkuperäiset, sidosenergia kasvaa ja ero vapautuu. Kevyiden ytimien yhtyminen eli fuusio ja raskaan ytimen halkeaminen eli fissio siirtävät nukleoneja kohti kuvaajan huippua. Niitä tarkastellaan luvussa Fissio, fuusio ja ydinvoima.
Reaktioenergia
Ydinreaktiossa ytimet muuttuvat: ydin hajoaa, tai ytimeen osuu toinen ydin tai hiukkanen. Reaktiossa massaluku ja varausluku säilyvät (luku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen), mutta massa ei. Reaktioenergia on
$$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$$
missä $m_\text{alku}$ on lähtöaineiden ja $m_\text{loppu}$ syntyvien hiukkasten massojen summa. Kun $Q > 0$, energiaa vapautuu syntyvien hiukkasten liike-energiaksi ja gammasäteilyksi; kun $Q < 0$, reaktio tarvitsee energiaa. Atomimassoja voi käyttää, kun elektronien määrä on molemmin puolin sama, kuten alfahajoamisessa, beeta miinus -hajoamisessa ja useimmissa ydinreaktioissa. Beeta miinus -hajoamisessa syntyvän elektronin massaa ei lisätä erikseen, koska tytäratomin atomimassaan sisältyy jo yksi elektroni enemmän. Esimerkiksi uraani-238:n alfahajoamisessa ${}^{238}_{92}\text{U} \to {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$ massa pienenee $0{,}004583\,\text{u}$, joten $Q = 0{,}004583 \cdot 931{,}5\,\text{MeV} \approx 4{,}27\,\text{MeV}$.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että sidosenergia on ytimeen varastoitunutta energiaa, joka vapautuu, kun ydin hajotetaan osiin. Asia on päinvastoin. Sidosenergia vapautui, kun ydin muodostui, ja sama energia tarvitaan, jotta ydin saadaan hajotettua erillisiksi nukleoneiksi. Siksi ydin on kevyempi kuin sen osat. Suuri sidosenergia nukleonia kohti tarkoittaa tiiviisti sidottua, pysyvää ydintä, ei energiavarastoa. Ydinreaktiossa energiaa vapautuu, kun syntyvien ytimien sidosenergia on yhteensä suurempi kuin alkuperäisten.
Toinen virhe on ajatella, että massa säilyy ydinreaktiossa kuten kemiassa. Ydinreaktiossa säilyvät massaluku eli nukleonien määrä ja varausluku, mutta massa muuttuu vapautuvan energian verran, $\Delta m = \tfrac{Q}{c^2}$.
Tiivistelmä
- Atomimassat ilmoitetaan atomimassayksikköinä: $1\,\text{u}$ on $\tfrac{1}{12}$ hiili-12-atomin massasta, eli $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$.
- Ydin on kevyempi kuin sen erilliset nukleonit. Massavaje on $\Delta m = Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi}$.
- Sidosenergia $E_\text{B} = \Delta m\,c^2$ tarvitaan ytimen hajottamiseen nukleoneiksi, ja se vapautuu ytimen muodostuessa. Sijoitus $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ antaa energian megaelektronivoltteina.
- Sidosenergia nukleonia kohti on suurin, noin $8{,}8\,\text{MeV}$, raudan ja nikkelin kohdalla; fuusio ja fissio vapauttavat energiaa, koska ne siirtävät nukleoneja tiiviimmin sidottuihin ytimiin.
- Reaktioenergia on $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$: massa ei säily ydinreaktiossa, vaikka massaluku ja varausluku säilyvät.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: mihin helium-4-atomista puuttuva massa $0{,}030377\,\text{u}$ on mennyt, ja miksi helium-4 on kevyempi kuin sen osat?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Laske helium-4-ytimen ${}^{4}_{2}\text{He}$ sidosenergia ja sidosenergia nukleonia kohti. Käytä atomimassoja $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$, $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$ ja $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$ (AME2020) sekä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Järjestysluku $Z = 2$, massaluku $A = 4$, joten neutroneja on $N = A - Z = 2$. Atomimassat $m_\text{atomi} = 4{,}002603\,\text{u}$, $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$ ja $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$. Kysytään sidosenergiaa $E_\text{B}$ ja sidosenergiaa nukleonia kohti $\tfrac{E_\text{B}}{A}$ megaelektronivoltteina.
Vaihe 2/7
Periaate. Ydin on kevyempi kuin sen erilliset nukleonit, ja massavajetta $\Delta m$ vastaa sidosenergia $E_\text{B} = \Delta m\,c^2$. Lasketaan atomimassoilla: kahdessa vetyatomissa on kaksi elektronia kuten helium-4-atomissakin, joten elektronien massat kumoutuvat.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Massavaje, sidosenergia ja sen osuus yhtä nukleonia kohti:
$$\begin{aligned} \Delta m &= Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi} \\ E_\text{B} &= \Delta m\,c^2 \\ \frac{E_\text{B}}{A} &= \frac{\Delta m\,c^2}{A} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Massaa ei muunneta kilogrammoiksi: massavajeen yksikön paikalle sijoitetaan $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu ja energia saadaan suoraan megaelektronivoltteina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Ensin massavaje, sitten energia:
$$\begin{aligned} \Delta m &= Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi} \\ &= 2 \cdot 1{,}007825\,\text{u} \\ &\quad + 2 \cdot 1{,}008665\,\text{u} \\ &\quad - 4{,}002603\,\text{u} \\ &= 0{,}030377\,\text{u} \\[6pt] E_\text{B} &= \Delta m\,c^2 = 0{,}030377\,\text{u} \cdot c^2 \\ &= 0{,}030377 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2 \\ &= 28{,}296\,\text{MeV} \\[6pt] \frac{E_\text{B}}{A} &= \frac{28{,}296\,\text{MeV}}{4} \\ &= 7{,}074\,\text{MeV} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Helium-4-ytimen sidosenergia on $28{,}30\,\text{MeV}$ ja sidosenergia nukleonia kohti $7{,}074\,\text{MeV}$, neljä merkitsevää numeroa kuten muuntoluvussa $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Pyöristetyillä luvuilla $\Delta m \approx 0{,}03\,\text{u}$ ja $0{,}03 \cdot 900\,\text{MeV} = 27\,\text{MeV}$, lähellä tulosta. Massavaje on noin $0{,}8\,\%$ atomin massasta, kuten ytimillä yleensä, ja arvo $7{,}07\,\text{MeV}$ nukleonia kohti on kuvaajan helium-4:n piste, selvästi naapureitaan suurempi.
Valinnainen Etsi virhe
Siirrä: alfahajoamisen energia
Savuilmaisimien vanhemmissa malleissa ja avaruusluotainten lämmönlähteissä on käytetty alfasäteilijöitä. Polonium-210 ${}^{210}_{84}\text{Po}$ hajoaa alfahajoamisella lyijy-206:ksi. Atomimassat ovat $m({}^{210}\text{Po}) = 209{,}982874\,\text{u}$, $m({}^{206}\text{Pb}) = 205{,}974465\,\text{u}$ ja $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$ (AME2020). Kuinka suuri energia yhdessä hajoamisessa vapautuu? Vastaa megaelektronivoltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kirjoita hajoamisyhtälö. Mitkä hiukkaset ovat alussa ja mitkä lopussa?
Vihje 2: mikä yhteys
Reaktioenergia on $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, ja lopussa ovat sekä lyijy-206 että alfahiukkanen eli helium-4.
Vihje 3: välivaihe
Massojen erotus on $0{,}005806\,\text{u}$. Sijoita $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$m({}^{210}\text{Po}) = 209{,}982874\,\text{u}$, $m({}^{206}\text{Pb}) = 205{,}974465\,\text{u}$, $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$ (AME2020), $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
hajoamisessa vapautuva energia eli reaktioenergia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Alfahajoamisessa ${}^{210}_{84}\text{Po} \to {}^{206}_{82}\text{Pb} + {}^{4}_{2}\text{He}$ massaluku ja varausluku säilyvät, mutta syntyvien atomien massa on pienempi kuin poloniumatomin. Massan vähenemistä vastaava energia vapautuu, lähinnä alfahiukkasen liike-energiaksi. Atomimassat käyvät, koska elektroneja on molemmin puolin $84$: lyijyatomissa $82$ ja heliumatomissa $2$.
Kaava
$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, missä $m_\text{alku} = m({}^{210}\text{Po})$ ja $m_\text{loppu} = m({}^{206}\text{Pb}) + m({}^{4}\text{He})$
Muunnokset
Massaa ei muunneta kilogrammoiksi: yksikön $\text{u}$ paikalle sijoitetaan $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.
Sijoitus
joten
Vastaus
$5{,}408\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten massojen erotuksessa $0{,}005806\,\text{u}$.
Järkevyys
$Q > 0$, kuten itsestään tapahtuvassa hajoamisessa pitää. Liikemäärän säilymisen vuoksi kevyt alfahiukkanen saa energiasta noin osuuden $\tfrac{206}{210}$ eli noin $5{,}30\,\text{MeV}$; mitattu alfahiukkasten energia $5{,}30\,\text{MeV}$ täsmää. Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin uraani-238:n alfahajoamisen $4{,}27\,\text{MeV}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Vismutti-209-ytimen sidosenergia on $1640\,\text{MeV}$ ja kalsium-40-ytimen $342\,\text{MeV}$. Kumpi ydin on tiiviimmin sidottu?
Vastaus
Kalsium-40. Sidoksen lujuutta kuvaa sidosenergia nukleonia kohti: vismutilla $1640\,\text{MeV} : 209 \approx 7{,}85\,\text{MeV}$ ja kalsiumilla $342\,\text{MeV} : 40 \approx 8{,}55\,\text{MeV}$. Vismutin koko sidosenergia on suurempi vain siksi, että nukleoneja on enemmän.
- Miksi massavajeen laskussa käytetään vetyatomin massaa eikä protonin massaa, kun ytimen massana on atomin massa?
Vastaus
Atomin massaan sisältyvät sen $Z$ elektronia. Kun erillisinä hiukkasina käytetään $Z$ vetyatomia, niissäkin on $Z$ elektronia, joten elektronien massat kumoutuvat erotuksesta ja jäljelle jää ytimen massavaje.
1. Käsite
2. Lue sidosenergiakäyrää
Valinnainen 3. Selitä ja vertaa
Kun hiili palaa, $\text{C} + \text{O}_2 \to \text{CO}_2$, jokaista $44{,}0\,\text{g}$:aa lähtöaineita kohti vapautuu $393{,}5\,\text{kJ}$ energiaa. Muuttuuko massa palamisessa? Miksi kemiassa sanotaan, että massa säilyy, kun taas ydinreaktioissa energia lasketaan massan muutoksesta?
Mallivastaus
Massa muuttuu, koska massan ja energian ekvivalenssi koskee kaikkia energian muutoksia. Palamistuotteiden massa on pienempi määrällä $\Delta m = \tfrac{E}{c^2} = \tfrac{393{,}5 \cdot 10^{3}\,\text{J}}{(2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2} \approx 4{,}4 \cdot 10^{-12}\,\text{kg}$, mikä on noin $10^{-10}$ eli kymmenesmiljardisosa lähtöaineiden massasta. Niin pientä muutosta ei voi punnita, joten kemiassa massa säilyy käytännössä. Ydinreaktioissa suhteellinen massan muutos on satojatuhansia tai miljoonia kertoja suurempi: uraani-238:n alfahajoamisessa noin $2 \cdot 10^{-5}$ ja uraani-235:n fissiossa noin $10^{-3}$ lähtöaineiden massasta. Siksi ydinreaktion energia lasketaan massojen erotuksesta.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 10-1Ydintehtävä
Hiili-12-atomin massa on tasan $12{,}000000\,\text{u}$. Vetyatomin massa on $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$ ja neutronin $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$. Kuinka suuri on hiili-12-ytimen ${}^{12}_{6}\text{C}$ massavaje? Anna vastaus atomimassayksikköinä.
Vastaus
$0{,}098940\,\text{u}$
Näytä ratkaisu
Annettu
hiili-12-atomin massa $m_\text{atomi} = 12{,}000000\,\text{u}$, $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$, $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$; ytimessä ${}^{12}_{6}\text{C}$ on $Z = 6$ protonia ja $N = 12 - 6 = 6$ neutronia
Kysytty
massavaje $\Delta m$ atomimassayksikköinä
Periaate
Ydin on kevyempi kuin sen erilliset nukleonit. Kun käytetään vetyatomien massoja, niissä on kuusi elektronia kuten hiiliatomissakin, joten elektronien massat kumoutuvat ja erotus on ytimen massavaje.
Kaava
$\Delta m = Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi}$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki massat ovat atomimassayksikköinä.
Sijoitus
$\Delta m$$= 6 \cdot 1{,}007825\,\text{u} + 6 \cdot 1{,}008665\,\text{u} - 12{,}000000\,\text{u}$$= 6{,}046950\,\text{u} + 6{,}051990\,\text{u} - 12{,}000000\,\text{u}$$= 0{,}098940\,\text{u}$Vastaus
$0{,}098940\,\text{u}$
Kuusi desimaalia kuten annetuissa massoissa.
Järkevyys
Erillisten nukleonien massa on noin $12{,}10\,\text{u}$, joten massavaje on noin $0{,}8\,\%$ siitä, kuten ytimillä yleensä. Tulos on positiivinen, koska sitoutunut ydin on kevyempi kuin osansa.
- Tehtävä 10-2Ydintehtävä
Happi-16-ytimen massavaje on $0{,}137005\,\text{u}$. Kuinka suuri on ytimen sidosenergia? Käytä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$127{,}6\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
happi-16-ytimen massavaje $\Delta m = 0{,}137005\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
sidosenergia $E_\text{B}$ megaelektronivoltteina
Periaate
Massan ja energian ekvivalenssin mukaan massavajetta vastaa energia $\Delta m\,c^2$. Juuri tämä energia tarvitaan, jotta ydin hajotetaan erillisiksi nukleoneiksi.
Kaava
$E_\text{B} = \Delta m\,c^2$
Muunnokset
Massaa ei muunneta kilogrammoiksi: yksikön $\text{u}$ paikalle sijoitetaan $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.
Sijoitus
$E_\text{B}$$= 0{,}137005\,\text{u} \cdot c^2$$= 0{,}137005 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$$= 127{,}620\,\text{MeV}$Vastaus
$127{,}6\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten muuntoluvussa $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.
Järkevyys
Arviolla $0{,}14 \cdot 900\,\text{MeV} \approx 126\,\text{MeV}$. Nukleonia kohti tämä on $127{,}6\,\text{MeV} : 16 \approx 8{,}0\,\text{MeV}$, mikä sopii sidosenergian kuvaajaan happi-16:n kohdalla.
- Tehtävä 10-3
Uraani-238-ytimen ${}^{238}_{92}\text{U}$ sidosenergia on $1801{,}7\,\text{MeV}$. Kuinka suuri on sen sidosenergia nukleonia kohti? Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$7{,}570\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
uraani-238-ytimen sidosenergia $E_\text{B} = 1801{,}7\,\text{MeV}$, massaluku $A = 238$
Kysytty
sidosenergia nukleonia kohti $\tfrac{E_\text{B}}{A}$ megaelektronivoltteina
Periaate
Sidosenergia nukleonia kohti kertoo, kuinka paljon energiaa keskimäärin tarvitaan yhden nukleonin irrottamiseen. Se saadaan jakamalla koko sidosenergia nukleonien määrällä eli massaluvulla.
Kaava
$E_\text{B}$$= A \cdot \dfrac{E_\text{B}}{A}$joten kysytty suure on $\dfrac{E_\text{B}}{A}$ eli sidosenergia jaettuna massaluvulla
Muunnokset
Ei tarvita: energia on valmiiksi megaelektronivoltteina, ja massaluku on paljas luku.
Sijoitus
$\dfrac{E_\text{B}}{A}$$= \dfrac{1801{,}7\,\text{MeV}}{238}$$= 7{,}5702\,\text{MeV}$Vastaus
$7{,}570\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten muuntoluvussa $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolla sidosenergia $1801{,}7\,\text{MeV}$ on laskettu.
Järkevyys
Sidosenergian kuvaajassa raskaimpien ytimien arvo on noin $7{,}6\,\text{MeV}$, vähemmän kuin raudan noin $8{,}8\,\text{MeV}$. Arvio $1800 : 240 = 7{,}5$ täsmää.
- Tehtävä 10-4
Kuinka suurta energiaa vastaa massa $1{,}00\,\text{g}$? Valon nopeus on $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Anna vastaus yksikössä $10^{13}\,\text{J}$.
Vastaus
$8{,}99 \cdot 10^{13}\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
massa $m = 1{,}00\,\text{g}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
massaa vastaava energia $E$ yksikössä $10^{13}\,\text{J}$
Periaate
Massa ja energia ovat ekvivalentit: massaa $m$ vastaa energia $mc^2$. Lasketaan SI-yksiköissä, jotta energia saadaan jouleina.
Kaava
$E = mc^2$
Muunnokset
$1{,}00\,\text{g} = 1{,}00 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$, ja $1\,\text{kg} \cdot \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 1\,\text{J}$.
Sijoitus
$E$$= 1{,}00 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot (2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2$$= 1{,}00 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 8{,}988 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$$= 8{,}988 \cdot 10^{13}\,\text{J}$Vastaus
$8{,}99 \cdot 10^{13}\,\text{J}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $1{,}00\,\text{g}$.
Järkevyys
Arviolla $10^{-3} \cdot (3 \cdot 10^{8})^2 = 9 \cdot 10^{13}$. Energia on valtava: koska
$1\,\text{GWh}$$= 10^{9}\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s}$$= 3{,}6 \cdot 10^{12}\,\text{J}$se on noin $25\,\text{GWh}$, eli ydinvoimalaitosyksikkö, jonka sähköteho on $1600\,\text{MW}$, tuottaa sen sähkönä noin $16\,\text{h}$:ssa.
- Tehtävä 10-5
Deuteriumytimen ${}^{2}_{1}\text{H}$ sidosenergia on $2{,}224\,\text{MeV}$. Kuinka suuri on sen massavaje? Käytä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Anna vastaus yksikössä $10^{-3}\,\text{u}$.
Vastaus
$2{,}388 \cdot 10^{-3}\,\text{u}$
Näytä ratkaisu
Annettu
deuteriumytimen sidosenergia $E_\text{B} = 2{,}224\,\text{MeV}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
massavaje $\Delta m$ yksikössä $10^{-3}\,\text{u}$
Periaate
Sidosenergia on massavajetta vastaava energia. Kun energia tunnetaan, massavaje saadaan jakamalla se luvulla $c^2$.
Kaava
$E_\text{B} = \Delta m\,c^2$, josta $\Delta m = \dfrac{E_\text{B}}{c^2}$
Muunnokset
$1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ eli $1\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} = \tfrac{1}{931{,}5}\,\text{u}$; lopuksi $1\,\text{u} = 1000 \cdot 10^{-3}\,\text{u}$.
Sijoitus
$\Delta m$$= \dfrac{2{,}224\,\text{MeV}}{c^2}$$= 2{,}224 \cdot \tfrac{1}{931{,}5}\,\text{u}$$= 0{,}0023876\,\text{u}$$= 2{,}3876 \cdot 10^{-3}\,\text{u}$Vastaus
$2{,}388 \cdot 10^{-3}\,\text{u}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten sidosenergiassa ja muuntoluvussa.
Järkevyys
Deuteriumissa on vain kaksi nukleonia, joten massavaje on pieni: noin $0{,}12\,\%$ atomin massasta $2{,}014\,\text{u}$, paljon vähemmän kuin raskaammilla ytimillä. Tarkistus: $0{,}002388 \cdot 931{,}5\,\text{MeV} = 2{,}224\,\text{MeV}$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 10-6Ydintehtävä
Rauta-56-atomin ${}^{56}_{26}\text{Fe}$ massa on $55{,}934936\,\text{u}$. Vetyatomin massa on $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$ ja neutronin $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$. Kuinka suuri on rauta-56-ytimen sidosenergia nukleonia kohti? Käytä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$8{,}790\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rauta-56-atomin massa $m_\text{atomi} = 55{,}934936\,\text{u}$, $Z = 26$, $A = 56$, joten $N = 30$; $m_\text{H} = 1{,}007825\,\text{u}$, $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
sidosenergia nukleonia kohti $\tfrac{E_\text{B}}{A}$ megaelektronivoltteina
Periaate
Ytimen massavajetta vastaa sidosenergia $E_\text{B} = \Delta m\,c^2$. Vetyatomien massoja käytetään, jotta $26$ elektronin massat kumoutuvat rautaatomin elektronien kanssa. Jaetaan lopuksi nukleonien määrällä.
Kaava
$\Delta m = Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi}$ ja $E_\text{B} = \Delta m\,c^2$, joten
$\dfrac{E_\text{B}}{A}$$= \dfrac{(Z\,m_\text{H} + N\,m_\text{n} - m_\text{atomi})\,c^2}{A}$Muunnokset
Yksikön $\text{u}$ paikalle sijoitetaan $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.
Sijoitus
$\Delta m$$= 26 \cdot 1{,}007825\,\text{u} + 30 \cdot 1{,}008665\,\text{u} - 55{,}934936\,\text{u}$$= 26{,}203450\,\text{u} + 30{,}259950\,\text{u} - 55{,}934936\,\text{u}$$= 0{,}528464\,\text{u}$joten
$\dfrac{E_\text{B}}{A}$$= \dfrac{0{,}528464 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}}{56}$$= \dfrac{492{,}264\,\text{MeV}}{56}$$= 8{,}7904\,\text{MeV}$Vastaus
$8{,}790\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten muuntoluvussa $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.
Järkevyys
Rauta-56 on sidosenergian kuvaajan huipulla, noin $8{,}8\,\text{MeV}$, mikä täsmää. Arvio: $\Delta m \approx 0{,}53\,\text{u}$ ja $0{,}53 \cdot 930 : 56 \approx 8{,}8$.
- Tehtävä 10-7Ydintehtävä
Radium-226 hajoaa alfahajoamisella: ${}^{226}_{88}\text{Ra} \to {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{4}_{2}\text{He}$. Atomimassat ovat $m({}^{226}\text{Ra}) = 226{,}025410\,\text{u}$, $m({}^{222}\text{Rn}) = 222{,}017578\,\text{u}$ ja $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$. Kuinka suuri energia hajoamisessa vapautuu? Käytä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$4{,}871\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m({}^{226}\text{Ra}) = 226{,}025410\,\text{u}$, $m({}^{222}\text{Rn}) = 222{,}017578\,\text{u}$, $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
hajoamisessa vapautuva energia eli reaktioenergia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Reaktiossa massaluku ja varausluku säilyvät, mutta massa pienenee, ja massan vähenemistä vastaava energia vapautuu hiukkasten liike-energiaksi. Atomimassoja voi käyttää, koska alfahajoamisessa elektroneja on molemmin puolin $88$: radonatomissa $86$ ja heliumatomissa $2$.
Kaava
$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, missä $m_\text{alku} = m({}^{226}\text{Ra})$ ja $m_\text{loppu} = m({}^{222}\text{Rn}) + m({}^{4}\text{He})$
Muunnokset
Yksikön $\text{u}$ paikalle sijoitetaan $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.
Sijoitus
$m_\text{alku} - m_\text{loppu}$$= 226{,}025410\,\text{u} - 222{,}017578\,\text{u} - 4{,}002603\,\text{u}$$= 0{,}005229\,\text{u}$joten
$Q$$= 0{,}005229 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}$$= 4{,}8708\,\text{MeV}$Vastaus
$4{,}871\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten massojen erotuksessa $0{,}005229\,\text{u}$.
Järkevyys
$Q$ on positiivinen, kuten itsestään tapahtuvassa hajoamisessa pitää. Alfahiukkasten energiat ovat tyypillisesti $4$–$9\,\text{MeV}$, ja tulos on samaa suuruusluokkaa kuin uraani-238:n alfahajoamisen $4{,}27\,\text{MeV}$.
- Tehtävä 10-8
Happi-16-ytimen massavaje on $0{,}137005\,\text{u}$. Laske ytimen sidosenergia jouleina muuntamalla massavaje ensin kilogrammoiksi. Käytä $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Anna vastaus yksikössä $10^{-11}\,\text{J}$.
Vastaus
$2{,}045 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
massavaje $\Delta m = 0{,}137005\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
sidosenergia $E_\text{B}$ yksikössä $10^{-11}\,\text{J}$
Periaate
Sidosenergia on massavajetta vastaava energia. SI-yksiköissä massa on kilogrammoina ja nopeus metreinä sekunnissa, jolloin energia saadaan jouleina.
Kaava
$E_\text{B} = \Delta m\,c^2$
Muunnokset
$\Delta m$$= 0{,}137005\,\text{u}$$= 0{,}137005 \cdot 1{,}66054 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$$= 2{,}27502 \cdot 10^{-28}\,\text{kg}$Sijoitus
$E_\text{B}$$= 2{,}27502 \cdot 10^{-28}\,\text{kg} \cdot (2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2$$= 2{,}27502 \cdot 10^{-28}\,\text{kg} \cdot 8{,}98800 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$$= 2{,}04479 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$Vastaus
$2{,}045 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten valon nopeudessa $2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Muunnetaan elektronivolteiksi sijoittamalla $1\,\text{J} = \tfrac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$:
$2{,}045 \cdot 10^{-11} : 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{eV}$$\approx 1{,}277 \cdot 10^{8}\,\text{eV}$$= 127{,}7\,\text{MeV}$lähes sama kuin muuntoluvulla $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ laskettu $127{,}6\,\text{MeV}$; ero johtuu vakioiden pyöristyksestä.
- Tehtävä 10-9
Aurinko säteilee avaruuteen tehon $3{,}83 \cdot 10^{26}\,\text{W}$. Säteilyn energia syntyy Auringon ytimen ydinreaktioissa, joten Auringon massa pienenee.
Kuinka paljon Auringon massa pienenee vuorokaudessa säteilyn vuoksi? Valon nopeus on $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Anna vastaus yksikössä $10^{14}\,\text{kg}$.
Vastaus
$3{,}68 \cdot 10^{14}\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Auringon säteilyteho $P = 3{,}83 \cdot 10^{26}\,\text{W}$, aika $t = 1\,\text{vrk}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
Auringon massan väheneminen $\Delta m$ vuorokaudessa yksikössä $10^{14}\,\text{kg}$
Periaate
Säteily vie Auringosta energiaa $E = Pt$. Massan ja energian ekvivalenssin mukaan energian väheneminen pienentää massaa määrällä $\tfrac{E}{c^2}$. Oletetaan teho vakioksi ja jätetään aurinkotuulen vievä aine huomiotta.
Kaava
$E = Pt$ ja $E = \Delta m\,c^2$, joten $\Delta m = \dfrac{Pt}{c^2}$
Muunnokset
$t$$= 1\,\text{vrk}$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$$= 86\,400\,\text{s}$ja $1\,\text{W} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$.
Sijoitus
$\Delta m$$= \dfrac{3{,}83 \cdot 10^{26}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}} \cdot 86\,400\,\text{s}}{(2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2}$$= \dfrac{3{,}3091 \cdot 10^{31}\,\text{J}}{8{,}988 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$$= 3{,}6817 \cdot 10^{14}\,\text{kg}$Vastaus
$3{,}68 \cdot 10^{14}\,\text{kg}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten säteilytehossa $3{,}83 \cdot 10^{26}\,\text{W}$.
Järkevyys
Sekunnissa Aurinko menettää noin $4{,}3 \cdot 10^{9}\,\text{kg}$, ja $86\,400$ sekunnissa noin
$4 \cdot 10^{9}\,\text{kg} \cdot 9 \cdot 10^{4}$$\approx 4 \cdot 10^{14}\,\text{kg}$Auringon massaan, noin $2 \cdot 10^{30}\,\text{kg}$, verrattuna määrä on mitätön.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 10-10
Helium-4-ytimestä halutaan irrottaa yksi neutroni, jolloin jäljelle jää helium-3-ydin: ${}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{3}_{2}\text{He} + \text{n}$. Atomimassat ovat $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$ ja $m({}^{3}\text{He}) = 3{,}016029\,\text{u}$, ja neutronin massa on $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$.
Kuinka paljon energiaa neutronin irrottaminen vaatii? Käytä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$20{,}58\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$, $m({}^{3}\text{He}) = 3{,}016029\,\text{u}$, $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, vertailuarvo $\tfrac{E_\text{B}}{A} = 7{,}07\,\text{MeV}$
Kysytty
neutronin irrottamiseen tarvittava energia $E$ megaelektronivoltteina
Periaate
Lopputilan hiukkaset, helium-3 ja vapaa neutroni, ovat yhteensä raskaampia kuin helium-4. Reaktio ei siis vapauta energiaa, vaan sitä täytyy tuoda massojen erotusta vastaava määrä, eli reaktioenergia on negatiivinen. Atomimassoja voi käyttää, koska molemmissa heliumatomeissa on kaksi elektronia.
Kaava
$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$ ja tarvittava energia $E = -Q$, joten $E = (m_\text{loppu} - m_\text{alku})\,c^2$, missä $m_\text{loppu} = m({}^{3}\text{He}) + m_\text{n}$ ja $m_\text{alku} = m({}^{4}\text{He})$
Muunnokset
Yksikön $\text{u}$ paikalle sijoitetaan $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.
Sijoitus
$m_\text{loppu} - m_\text{alku}$$= 3{,}016029\,\text{u} + 1{,}008665\,\text{u} - 4{,}002603\,\text{u}$$= 0{,}022091\,\text{u}$joten
$E$$= 0{,}022091 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}$$= 20{,}578\,\text{MeV}$Vastaus
$20{,}58\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten muuntoluvussa. Tämä on lähes kolme kertaa niin paljon kuin helium-4:n sidosenergia nukleonia kohti, $7{,}07\,\text{MeV}$.
Järkevyys
Energian on oltava positiivinen, koska tiiviisti sidottua ydintä hajotetaan. Se on suurempi kuin keskiarvo $7{,}07\,\text{MeV}$, koska jäljelle jäävä helium-3 on paljon löyhemmin sidottu: sen sidosenergia on vain noin $7{,}7\,\text{MeV}$ eli $2{,}6\,\text{MeV}$ nukleonia kohti, joten neutronin irrotus vie suurimman osan helium-4:n sidosenergiasta $28{,}3\,\text{MeV}$. Siksi helium-4 on poikkeuksellisen pysyvä.
- Tehtävä 10-11
Kaksi deuteriumydintä yhtyy helium-4-ytimeksi: ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{2}_{1}\text{H} \to {}^{4}_{2}\text{He}$. Deuteriumin sidosenergia nukleonia kohti on $1{,}112\,\text{MeV}$ ja helium-4:n $7{,}074\,\text{MeV}$. Kuinka suuri energia reaktiossa vapautuu? Laske se sidosenergioista ilman atomimassoja. Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$23{,}85\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
deuteriumin $\tfrac{E_\text{B}}{A} = 1{,}112\,\text{MeV}$ ($A = 2$), helium-4:n $\tfrac{E_\text{B}}{A} = 7{,}074\,\text{MeV}$ ($A = 4$)
Kysytty
reaktioenergia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Kuvitellaan reaktio kahdessa vaiheessa: deuteriumytimet hajotetaan ensin nukleoneiksi, mihin tarvitaan niiden sidosenergia, ja nukleonit kootaan sitten helium-4-ytimeksi, jolloin vapautuu sen sidosenergia. Nukleonien määrä säilyy, joten vapautuva energia on sidosenergioiden kasvu. Energian säilymisen vuoksi välivaiheilla ei ole väliä.
Kaava
$Q = E_\text{B}({}^{4}\text{He}) - 2\,E_\text{B}({}^{2}\text{H})$, missä $E_\text{B} = A \cdot \tfrac{E_\text{B}}{A}$, joten
$Q$$= 4 \cdot \tfrac{E_\text{B}}{A}({}^{4}\text{He}) - 2 \cdot 2 \cdot \tfrac{E_\text{B}}{A}({}^{2}\text{H})$Muunnokset
Ei tarvita: kaikki energiat ovat megaelektronivoltteina.
Sijoitus
$Q$$= 4 \cdot 7{,}074\,\text{MeV} - 2 \cdot 2 \cdot 1{,}112\,\text{MeV}$$= 28{,}296\,\text{MeV} - 4{,}448\,\text{MeV}$$= 23{,}848\,\text{MeV}$Vastaus
$23{,}85\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten annetuissa sidosenergioissa $1{,}112\,\text{MeV}$ ja $7{,}074\,\text{MeV}$.
Järkevyys
Atomimassoista sama tulos:
$(2 \cdot 2{,}014102\,\text{u} - 4{,}002603\,\text{u})\,c^2$$= 0{,}025601 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}$$\approx 23{,}85\,\text{MeV}$Energiaa vapautuu, koska helium-4 on kuvaajassa paljon ylempänä kuin deuterium: tämä on fuusion energian lähde.
- Tehtävä 10-12
Kattilassa on $1{,}00\,\text{kg}$ vettä, joka jäähtyy lämpötilasta $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$ lämpötilaan $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$. Veden ominaislämpökapasiteetti on $4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$ ja valon nopeus $2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Kuinka paljon veden massa pienenee jäähtyessä? Anna vastaus yksikössä $10^{-12}\,\text{kg}$.
Vastaus
$2{,}80 \cdot 10^{-12}\,\text{kg}$
Näytä ratkaisu
Annettu
veden massa $m = 1{,}00\,\text{kg}$, alkulämpötila $80{,}0\,{}^\circ\text{C}$, loppulämpötila $20{,}0\,{}^\circ\text{C}$, ominaislämpökapasiteetti $c_\text{v} = 4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
veden massan väheneminen $\Delta m$ yksikössä $10^{-12}\,\text{kg}$
Periaate
Jäähtyessään vesi luovuttaa lämpöä $Q = c_\text{v} m \Delta T$, ja sen sisäenergia pienenee saman verran, koska olomuoto ei muutu. Massan ja energian ekvivalenssi koskee kaikkia energian muutoksia, joten massa pienenee määrällä $\tfrac{Q}{c^2}$.
Kaava
$Q = c_\text{v} m \Delta T$ ja $Q = \Delta m\,c^2$, joten
$\Delta m$$= \dfrac{c_\text{v} m \Delta T}{c^2}$Muunnokset
$c_\text{v}$$= 4{,}19\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$$= 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$lämpötilan muutos on sama celsiusasteina ja kelvineinä:
$\Delta T$$= 80{,}0\,{}^\circ\text{C} - 20{,}0\,{}^\circ\text{C}$$= 60{,}0\,\text{K}$Sijoitus
$\Delta m$$= \dfrac{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 1{,}00\,\text{kg} \cdot 60{,}0\,\text{K}}{(2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2}$$= \dfrac{2{,}514 \cdot 10^{5}\,\text{J}}{8{,}988 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$$= 2{,}797 \cdot 10^{-12}\,\text{kg}$Vastaus
$2{,}80 \cdot 10^{-12}\,\text{kg}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa, ominaislämpökapasiteetissa ja lämpötilan muutoksessa.
Järkevyys
Massan muutos on noin kolme biljoonasosaa veden massasta, paljon alle minkään vaa'an tarkkuuden. Siksi massan ja energian ekvivalenssi näkyy käytännössä vain ydinreaktioissa, joissa massavaje on lähes prosentti.