Valosähköinen ilmiö ja fotoni
Miksi heikkokin ultraviolettivalo irrottaa elektroneja sinkkilevystä, mutta kirkaskaan punainen valo ei irrota yhtäkään?
Pohjatiedot
- Aallon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $v = f\lambda$luku Mekaaninen aaltoliike
- Liikkuvan kappaleen liike-energia on $E_\text{k} = \tfrac{1}{2} m v^2$luku Liike-energia, potentiaalienergia ja mekaaninen energia
- Energia säilyy, kun se muuttuu muodosta toiseenluku Energialajit ja energian säilyminen
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Sinkkilevy on kiinnitetty elektroskooppiin ja varattu negatiiviseksi, joten elektroskoopin lehdet ovat erillään. Kun levyä valaistaan pienellä ultraviolettilampulla, lehdet painuvat alas sekunneissa: levy menettää elektroneja. Kun saman levyn eteen tuodaan kirkas punainen lamppu, joka säteilee monta kertaa enemmän valotehoa, lehdet pysyvät erillään, vaikka valaistusta jatkettaisiin tunnin.
Miksi heikko ultraviolettivalo irrottaa elektroneja, mutta voimakas punainen valo ei, ja mitä tämä kertoo valon energiasta?
Valinnainen Kertaa: taajuus ja aallonpituus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kirkkaampi punainen valo
Ennuste 2: kaksinkertainen intensiteetti
Tutki
Valaise metallilevyä eri aallonpituuksilla ja intensiteeteillä. Seuraa, irtoaako elektroneja, kuinka monta ja kuinka suurella energialla.
Simulaatio
Käyttöohje
Energiat ovat elektronivoltteina ($\text{eV}$). Se on fotonien ja elektronien pienille energioille kätevä energian yksikkö: $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Säädä valon aallonpituutta $\lambda$ ja intensiteettiä sekä valitse metalli. Lamppu lähettää fotoneja aaltoviivoina, joiden väri on valon väri; ultravioletti, jota silmä ei näe, on piirretty violettina. Siniset pisteet ovat irronneita elektroneja. Oikealla (puhelimessa alla) energiat ovat mittakaavassa: vasen pylväs on yhden fotonin energia $hf$, oikea elektronin irrotustyö $W$ ja sen päällä suurin liike-energia $E_\text{k,max}$. Lukemissa näkyvät taajuus, fotonin energia, irrotustyö, suurin liike-energia ja kuvassa irtoavien elektronien määrä sekunnissa. Nopeus muuttaa vain kuvan liikkeen tahtia, ei lukemia.
Mallin oletukset
Valo saapuu fotoneina, joiden energia on $E = hf$. Yksi fotoni luovuttaa koko energiansa yhdelle elektronille; elektroni ei kerää energiaa useammalta fotonilta. Mallissa jokainen riittävän energinen fotoni irrottaa elektronin, mutta todellisuudessa vain pieni osa fotoneista irrottaa elektronin, ja elektroneja irtoaa miljardeja kertoja enemmän kuin kuvassa. Irtoavien elektronien liike-energiat vaihtelevat, koska osa menettää energiaa matkalla metallin pintaan; lukema kertoo suurimman. Irrotustyöt ovat tyypillisiä taulukkoarvoja: todellisen pinnan puhtaus muuttaa niitä. Mallin intensiteetti on fotonien määrä sekunnissa; todellisessa valossa saman tehon lyhytaaltoisessa valossa on vähemmän fotoneja, koska jokainen fotoni kantaa enemmän energiaa. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja. Mallin tulokset vastaavat sitä, mitä 1900-luvun alun kokeissa mitattiin.
Laskennan selitys
Fotonin taajuus on $f = \tfrac{c}{\lambda}$ ja energia $E = hf = \tfrac{hc}{\lambda}$, missä $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ ja $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Energia elektronivoltteina saadaan jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$. Jos $E \geq W$, suurin liike-energia on $E_\text{k,max} = E - W$, muuten elektroneja ei irtoa. Kuvassa fotoneja tulee $0{,}4$ sekunnissa intensiteetin prosenttiyksikköä kohti, eli intensiteetillä $50\,\%$ niitä tulee $20$ sekunnissa.
Koe 1: punainen valo, vain intensiteetti muuttuu
Testaa ennuste 1. Natriumlevyä valaistaan punaisella valolla, $\lambda = 650\,\text{nm}$; muuta vain intensiteettiä. Kirjaa lukemat ainakin kahdella intensiteetillä, esimerkiksi $20\,\%$ ja $100\,\%$. Irtoaako elektroneja jollain intensiteetillä?
Alkutila: aallonpituus = $650\,\text{nm}$, intensiteetti = $20\,\%$, metalli: natrium. Vakiona: aallonpituus, metalli. Muutetaan: intensiteetti.
| intensiteetti | $E$ $(\text{eV})$ | $E_\text{k,max}$ $(\text{eV})$ | $n$ $(1/\text{s})$ |
|---|
Koe 2: violetti valo, vain intensiteetti muuttuu
Testaa ennuste 2. Natriumlevyä valaistaan violetilla valolla, $\lambda = 405\,\text{nm}$; muuta vain intensiteettiä. Kirjaa lukemat ainakin intensiteeteillä $20\,\%$ ja $40\,\%$, mieluiten myös $100\,\%$. Miten elektronien määrä ja suurin liike-energia muuttuvat?
Alkutila: aallonpituus = $405\,\text{nm}$, intensiteetti = $20\,\%$, metalli: natrium. Vakiona: aallonpituus, metalli. Muutetaan: intensiteetti.
| intensiteetti | $E$ $(\text{eV})$ | $E_\text{k,max}$ $(\text{eV})$ | $n$ $(1/\text{s})$ |
|---|
Koe 3: vain aallonpituus muuttuu
Arvaa ensin: kasvaako vai pieneneekö suurin liike-energia, kun aallonpituus lyhenee eli taajuus kasvaa? Intensiteetti on nyt $50\,\%$, joten mallissa fotoneja tulee sekunnissa yhtä monta joka aallonpituudella; muuta vain aallonpituutta. Kirjaa lukemat ainakin aallonpituuksilla $300\,\text{nm}$, $400\,\text{nm}$ ja $500\,\text{nm}$. Etsi sitten aallonpituus, jolla elektronien irtoaminen loppuu, ja kirjaa lukemat sen molemmin puolin. Vertaa, kuinka paljon fotonin energia ja suurin liike-energia muuttuvat mittausten välillä.
Alkutila: aallonpituus = $300\,\text{nm}$, intensiteetti = $50\,\%$, metalli: natrium. Vakiona: intensiteetti, metalli. Muutetaan: aallonpituus.
| aallonpituus | $E$ $(\text{eV})$ | $E_\text{k,max}$ $(\text{eV})$ | $n$ $(1/\text{s})$ |
|---|
Lue taulukostasi, mikä on pisin aallonpituus, jolla natriumista vielä irtoaa elektroneja. Tarkista arvio laskemalla se natriumin irrotustyöstä $W = 2{,}28\,\text{eV}$ (käytä $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$). Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Elektroneja irtoaa juuri ja juuri, kun yhden fotonin energia on yhtä suuri kuin irrotustyö.
Vihje 2: mikä yhteys
Ratkaise yhtälöstä $\tfrac{hc}{\lambda_0} = W$ aallonpituus $\lambda_0$. Muunna $W$ ensin jouleiksi.
Vihje 3: välivaihe
joten $\lambda_0 = \tfrac{hc}{W}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
natriumin irrotustyö $W = 2{,}28\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$; taulukosta: aallonpituudella $540\,\text{nm}$ elektroneja irtoaa, $545\,\text{nm}$:llä ei
Kysytty
pisin irrottava aallonpituus eli raja-aallonpituus $\lambda_0$ nanometreinä
Periaate
Yksi fotoni antaa energiansa yhdelle elektronille, joten elektroni irtoaa juuri ja juuri, kun fotonin energia on täsmälleen irrotustyön suuruinen. Pidemmillä aallonpituuksilla fotonin energia on pienempi kuin $W$.
Kuvaajan lukeminen
Taulukossa suurin liike-energia pienenee aallonpituuden kasvaessa ja on $540\,\text{nm}$:ssä enää noin $0{,}02\,\text{eV}$; $545\,\text{nm}$:ssä elektroneja ei irtoa. Raja on siis näiden välissä, noin $544\,\text{nm}$:ssä.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda_0} = W$, joten $\lambda_0 = \dfrac{hc}{W}$
Muunnokset
tulos metreistä nanometreiksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$
Sijoitus
Osoittaja on
joten
Vastaus
$544\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten irrotustyössä $2{,}28\,\text{eV}$.
Järkevyys
Laskettu arvo on taulukon rajojen $540\,\text{nm}$ ja $545\,\text{nm}$ välissä. Pyöreillä luvuilla $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 2{,}28\,\text{eV} \approx 544\,\text{nm}$. Se on vihreää valoa, joten punainen ja keltainen valo eivät irrota natriumista elektroneja, kuten punaisella valolla kokeessa 1 nähtiin.
Johtopäätös: mikä ratkaisee irtoamisen?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: mitä intensiteetti muutti ja mitä se ei muuttanut? Miten suurin liike-energia muuttui fotonin energian mukana? Miksi punainen valo ei irrottanut elektroneja natriumista millään intensiteetillä?
Mallivastaus
Punaisella valolla, $650\,\text{nm}$, elektroneja ei irronnut millään intensiteetillä: fotonin energia oli joka kerta $1{,}91\,\text{eV}$, pienempi kuin natriumin irrotustyö $2{,}28\,\text{eV}$. Violetilla valolla intensiteetin kaksinkertaistaminen kaksinkertaisti elektronien määrän, esimerkiksi $8$:sta $16$:een sekunnissa, mutta suurin liike-energia pysyi arvossa $0{,}78\,\text{eV}$. Kun aallonpituus lyheni $500\,\text{nm}$:stä $400\,\text{nm}$:iin, fotonin energia kasvoi $2{,}48\,\text{eV}$:sta $3{,}10\,\text{eV}$:iin ja suurin liike-energia yhtä paljon, $0{,}20\,\text{eV}$:sta $0{,}82\,\text{eV}$:iin; ero $W = 2{,}28\,\text{eV}$ pysyi samana. Irtoaminen loppui noin $544\,\text{nm}$:ssä. Selitys: yksi fotoni antaa energiansa yhdelle elektronille, joten fotonin energia ratkaisee, irtoaako elektroni ja kuinka suuri sen liike-energia voi olla, ja intensiteetti ratkaisee vain fotonien ja siksi elektronien määrän. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Valo irrottaa elektroneja metallista
Kun negatiivisesti varattua sinkkilevyä valaistaan ultraviolettivalolla, levy menettää varauksensa nopeasti: valo irrottaa levyn pinnasta elektroneja. Ilmiötä sanotaan valosähköiseksi ilmiöksi. Metallissa on paljon elektroneja, jotka liikkuvat vapaasti metallin sisällä mutta eivät pääse itsestään sen pinnan läpi. Pienintä energiaa, jolla elektroni saadaan irti metallista, sanotaan irrotustyöksi $W$. Se riippuu metallista: natriumilla se on noin $2{,}3\,\text{eV}$ ja sinkillä noin $4{,}3\,\text{eV}$. Yksikkö elektronivoltti esitellään tämän luvun lopussa.
Aaltomalli ei selitä havaintoja
Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ja aallon intensiteetti kertoo, kuinka paljon energiaa se tuo pinnalle sekunnissa. Aaltomallin mukaan kirkkaamman valon pitäisi siis irrottaa elektroneja helpommin ja antaa niille enemmän liike-energiaa, väristä riippumatta. Himmeällä valolla elektronin pitäisi kerätä energiaa jonkin aikaa ennen irtoamista. Kokeet, joissa irtoavien elektronien määrä ja liike-energia mitattiin tarkasti 1900-luvun alussa, antoivat aivan toisenlaisen tuloksen:
- Kynnys. Aaltomallin mukaan mikä tahansa valo irrottaisi elektroneja, kun se on tarpeeksi kirkasta. Kokeissa elektroneja ei irtoa lainkaan, jos valon taajuus on liian pieni, olipa valo kuinka kirkasta tahansa.
- Viive. Aaltomallin mukaan himmeällä valolla irtoaminen alkaisi viiveellä. Kokeissa elektroneja irtoaa heti, kun valo osuu levyyn, himmeälläkin valolla.
- Intensiteetti. Aaltomallin mukaan kirkkaampi valo antaisi elektroneille enemmän liike-energiaa. Kokeissa kirkkaampi valo irrottaa enemmän elektroneja, mutta niiden suurin liike-energia pysyy samana.
- Taajuus. Kokeissa elektronien suurin liike-energia kasvaa, kun valon taajuus kasvaa. Aaltomallissa taajuudella ei ole tällaista merkitystä.
Fotoni: valon energiakvantti
Albert Einstein selitti havainnot vuonna 1905. Valon energia ei jakaudu tasaisesti aaltoon, vaan se on pakkautunut erillisiksi annoksiksi eli kvanteiksi. Valon kvanttia sanotaan fotoniksi. Yhden fotonin energia on $E = hf$, missä $f$ on valon taajuus ja $h$ Planckin vakio. Fotoni luovuttaa koko energiansa yhdelle elektronille kerralla, eikä elektroni tavallisessa valossa ehdi kerätä energiaa useammalta fotonilta. Jos $hf < W$, elektroni ei irtoa, vaikka fotoneja tulisi kuinka paljon tahansa. Jos $hf > W$, elektroni irtoaa ja ylimääräinen energia jää sille liike-energiaksi.
Tällä mallilla jokainen havainto selittyy. Samanvärisellä valolla intensiteetti kertoo, kuinka monta fotonia pinnalle osuu sekunnissa: kirkkaampi valo irrottaa siksi enemmän elektroneja, mutta yksittäinen elektroni saa silti vain yhden fotonin energian. Taajuus määrää yhden fotonin energian ja siksi elektronin suurimman liike-energian. Viivettä ei ole, koska jo ensimmäinen riittävän energinen fotoni voi irrottaa elektronin. Tässä mallissa energia on kvantittunut: säteily ja aine vaihtavat energiaa vain kokonaisina fotonin energioina.
Elektronivoltti
Fotonin ja elektronin energiat ovat jouleina hyvin pieniä lukuja, joten niille käytetään usein yksikköä elektronivoltti ($\text{eV}$). Yksi elektronivoltti on energia, jonka elektroni saa, kun se kiihtyy sähkökentässä $1\,\text{V}$:n jännitteen läpi. Koska elektronin varauksen suuruus on $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, on $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1\,\text{V} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Muunnos tehdään sijoittamalla: esimerkiksi $3{,}20 \cdot 10^{-19}\,\text{J} = \tfrac{3{,}20 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV} \approx 2{,}00\,\text{eV}$.
Fotonin energia
Taajuus ja aallonpituus
Taajuudeltaan $f$ olevan säteilyn fotonin energia on
$$E = hf$$
missä $E$ on fotonin energia ($\text{J}$), $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ Planckin vakio ja $f$ säteilyn taajuus ($\text{Hz}$). Sähkömagneettinen säteily etenee tyhjiössä valon nopeudella $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, ja aaltoliikkeen perusyhtälö antaa $c = f\lambda$. Sijoittamalla $f = \tfrac{c}{\lambda}$ saadaan
$$E = \frac{hc}{\lambda}$$
missä $\lambda$ on säteilyn aallonpituus tyhjiössä ($\text{m}$). Mitä lyhyempi aallonpituus, sitä suurempi fotonin energia. Esimerkiksi vihreän valon, $\lambda = 500\,\text{nm}$, fotonin energia on $E = \tfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}}{500 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} = 3{,}97 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ eli $2{,}48\,\text{eV}$. Arvioita varten tulo $hc$ kannattaa muuntaa kerran elektronivolteiksi ja nanometreiksi. Koska $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ja $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$, tulo on
$$\begin{aligned} hc &= 1{,}986 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m} \\ &= \tfrac{1{,}986 \cdot 10^{-25}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}\,\text{m} \\ &\approx 1{,}240 \cdot 10^{-6}\,\text{eV}\,\text{m} \\ &= 1240\,\text{eV}\,\text{nm} \end{aligned}$$
Sen avulla saa nopean arvion: $500\,\text{nm}$:n fotonin energia on noin $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 500\,\text{nm} \approx 2{,}5\,\text{eV}$.
Valosähköinen yhtälö
Kun fotoni irrottaa elektronin, sen energia kuluu irrotustyöhön, ja loppu jää elektronin liike-energiaksi. Energian säilymisestä saadaan Einsteinin valosähköinen yhtälö
$$hf = W + E_\text{k,max}$$
missä $hf$ on fotonin energia, $W$ metallin irrotustyö ja $E_\text{k,max}$ irtoavan elektronin suurin mahdollinen liike-energia. Liike-energia on suurin, koska syvemmältä metallista irtoava elektroni menettää osan energiastaan jo matkalla pintaan, ja sen liike-energia jää pienemmäksi. Elektroneja irtoaa vain, jos $hf \geq W$. Pienin irrottava taajuus on rajataajuus $f_0 = \tfrac{W}{h}$, ja sitä vastaa pisin irrottava aallonpituus $\lambda_0 = \tfrac{hc}{W}$. Natriumilla $\lambda_0 \approx 544\,\text{nm}$, joka on vihreän valon keskivaiheilla. Punainen, keltainen ja kellertävän vihreä valo eivät siis irrota natriumista elektroneja, mutta sinivihreä, sininen ja violetti irrottavat.
Kun yhtälö kirjoitetaan muotoon $E_\text{k,max} = hf - W$, se on suoran yhtälö: suurin liike-energia kasvaa tasaisesti taajuuden mukana, ja suoran kulmakerroin on Planckin vakio $h$ kaikille metalleille. Eri metallien suorat ovat siksi yhdensuuntaiset, ja ne alkavat vaaka-akselilta kunkin metallin rajataajuudelta. Robert Millikan mittasi tällaisia suoria vuonna 1916 ja sai kulmakertoimesta Planckin vakion. Valon intensiteetti ei esiinny yhtälössä lainkaan.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kirkkaampi valo antaa elektroneille enemmän energiaa, koska kirkas valo tuo pinnalle enemmän energiaa. Kirkkaampi valo tuo kuitenkin enemmän fotoneja, ei energisempiä fotoneja. Yksi elektroni saa aina yhden fotonin energian, joten kirkkaampi valo kasvattaa irtoavien elektronien määrää mutta ei niiden suurinta liike-energiaa. Siksi kirkaskaan punainen valo ei irrota elektroneja sinkistä: jokaisen punaisen fotonin energia jää irrotustyötä pienemmäksi.
Toinen virhe on luulla, että fotoni on pieni valon ”pallo”, jolla on tietty paikka ja koko, ja että valo on siksi joko aalto tai hiukkasjoukko. Valosähköisessä ilmiössä valon energian siirtyminen näkyy kvantteina, mutta esimerkiksi valon interferenssi selittyy aaltomallilla. Valon kaksoisluonteeseen palataan luvussa Valo ja elektroni aaltoina ja hiukkasina.
Tiivistelmä
- Valosähköisessä ilmiössä valo irrottaa elektroneja metallin pinnasta. Pienin irrottamiseen tarvittava energia on metallin irrotustyö $W$.
- Valon energia on kvantittunut fotoneiksi. Fotonin energia on $E = hf = \tfrac{hc}{\lambda}$, missä $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$.
- Yksi fotoni luovuttaa energiansa yhdelle elektronille: $hf = W + E_\text{k,max}$. Elektroneja irtoaa vain, kun $hf \geq W$ eli $f \geq f_0 = \tfrac{W}{h}$.
- Valon intensiteetti määrää irtoavien elektronien määrän, taajuus niiden suurimman liike-energian.
- $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja yhtälöön $hf = W + E_\text{k,max}$. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi heikko ultraviolettivalo purkaa sinkkilevyn varauksen, mutta kirkas punainen valo ei?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Violetti laserosoitin lähettää valoa, jonka aallonpituus on $405\,\text{nm}$. Valo osuu natriumpintaan, jonka irrotustyö on $2{,}28\,\text{eV}$. Kuinka suuri on irtoavien elektronien suurin liike-energia elektronivoltteina?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Aallonpituus $\lambda = 405\,\text{nm}$, irrotustyö $W = 2{,}28\,\text{eV}$, Planckin vakio $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Kysytään suurinta liike-energiaa $E_\text{k,max}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Yksi fotoni luovuttaa koko energiansa yhdelle elektronille. Energia säilyy: fotonin energiasta irrotustyö $W$ kuluu elektronin irrottamiseen, ja loppu jää liike-energiaksi. Valosähköinen yhtälö pätee, koska fotonin energia riittää irrotukseen (tämä tarkistetaan tuloksesta).
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Valosähköisestä yhtälöstä ratkaistaan $E_\text{k,max}$, ja fotonin energia lausutaan aallonpituuden avulla:
$$E_\text{k,max} = \frac{hc}{\lambda} - W$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Aallonpituus metreiksi,
ja irrotustyö jouleiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$:
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} &E_\text{k,max} = \frac{hc}{\lambda} - W \\ &= \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{405 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} \\ &\quad - 3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \\ &= 4{,}905 \cdot 10^{-19}\,\text{J} - 3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \\ &= 1{,}252 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \\ &= \frac{1{,}252 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV} \\ &= 0{,}782\,\text{eV} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Irtoavien elektronien suurin liike-energia on $0{,}78\,\text{eV}$. Tulos ilmoitetaan kahdella desimaalilla, koska se on kahden lähes yhtä suuren energian erotus ja irrotustyö $2{,}28\,\text{eV}$ on annettu sadasosan tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Fotonin energia on $3{,}06\,\text{eV}$, joka on suurempi kuin irrotustyö $2{,}28\,\text{eV}$, joten elektroneja todella irtoaa. Liike-energia on positiivinen ja pienempi kuin fotonin energia, kuten pitää. Arvio pyöreillä luvuilla:
$3{,}1\,\text{eV} - 2{,}3\,\text{eV} = 0{,}8\,\text{eV}$.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Valomonistinputki tunnistaa hyvin heikon valon: valo irrottaa sen katodista elektroneja, ja putki vahvistaa niiden virran mitattavaksi. Erään putken katodin irrotustyö on $1{,}90\,\text{eV}$.
Mikä on pisin aallonpituus, jonka valoa putki voi havaita? Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Putki havaitsee valon vain, jos yksi fotoni pystyy irrottamaan elektronin. Mikä ehto fotonin energialle tästä seuraa?
Vihje 2: mikä yhteys
Pisimmällä havaittavalla aallonpituudella fotonin energia on täsmälleen irrotustyö: $\tfrac{hc}{\lambda_0} = W$.
Vihje 3: välivaihe
ja $\lambda_0 = \tfrac{hc}{W}$. Muunna lopuksi metrit nanometreiksi.
Näytä ratkaisu
Annettu
katodin irrotustyö $W = 1{,}90\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
pisin havaittava aallonpituus eli raja-aallonpituus $\lambda_0$ nanometreinä
Periaate
Putki havaitsee valon vain, kun valo irrottaa katodista elektroneja (valosähköinen ilmiö). Yksi fotoni antaa energiansa yhdelle elektronille, joten fotonin energian on oltava vähintään irrotustyön suuruinen. Valon heikkous ei haittaa, koska jo yksi riittävän energinen fotoni irrottaa elektronin; pitkillä aallonpituuksilla fotonin energia ei riitä.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda_0} = W$, joten $\lambda_0 = \dfrac{hc}{W}$
Muunnokset
tulos metreistä nanometreiksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$
Sijoitus
Vastaus
$653\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten irrotustyössä $1{,}90\,\text{eV}$.
Järkevyys
Pyöreillä luvuilla $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 1{,}90\,\text{eV} \approx 653\,\text{nm}$. Irrotustyö on pienempi kuin natriumin $2{,}28\,\text{eV}$, joten raja-aallonpituuden on oltava pidempi kuin natriumin $544\,\text{nm}$, ja punainen valo alkaa noin $620\,\text{nm}$:stä, joten putki havaitsee näkyvän valon punaisen alkupäähän asti; syvää punaista, kuten $700\,\text{nm}$, se ei havaitse.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Säteilyn taajuus on $1{,}0 \cdot 10^{15}\,\text{Hz}$. Kuinka suuri on yhden fotonin energia?
Vastaus
$E$$= hf$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{15}\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 6{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$eli noin $4{,}1\,\text{eV}$.
- Natriumlevyä ($W = 2{,}28\,\text{eV}$) valaistaan keltaisella valolla, $\lambda = 590\,\text{nm}$, eikä elektroneja irtoa. Kumpi auttaa: keltaisen valon kirkastaminen vai vaihtaminen siniseen valoon, $\lambda = 470\,\text{nm}$? Miksi?
Vastaus
Sininen valo. Yksi elektroni saa yhden fotonin energian, ja keltaisen valon fotonin energia $2{,}10\,\text{eV}$ on pienempi kuin irrotustyö, joten kirkastaminen tuo vain enemmän liian heikkoja fotoneja. Sinisen valon fotonin energia $2{,}64\,\text{eV}$ on suurempi kuin $2{,}28\,\text{eV}$, joten elektroneja irtoaa. Taajuus ratkaisee, irtoaako elektroneja; saman värin kirkastaminen lisää vain niiden määrää, kun niitä irtoaa.
1. Kumpi lamppu?
2. Sinisen LEDin fotoni
Sininen LED lähettää valoa, jonka aallonpituus on $450\,\text{nm}$. Kuinka suuri on yhden fotonin energia? Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Vastaa elektronivoltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Fotonin energia riippuu taajuudesta, ja taajuus saadaan aallonpituudesta.
Vihje 2: mikä yhteys
$E = \tfrac{hc}{\lambda}$, kun $\lambda$ on metreinä.
Vihje 3: välivaihe
Sijoita $h$, $c$ ja $\lambda = 450 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$, jolloin $E = 4{,}414 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Muunna tämä elektronivolteiksi.
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 450\,\text{nm}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
yhden fotonin energia $E$ elektronivoltteina
Periaate
Valon energia on kvantittunut fotoneiksi, ja yhden fotonin energia on $E = hf$. LEDin valolla on lähes yksi aallonpituus, joten kaikilla fotoneilla on suunnilleen sama energia. Taajuus saadaan aallonpituudesta: $f = \tfrac{c}{\lambda}$.
Kaava
$E = hf = \dfrac{hc}{\lambda}$
Muunnokset
energia jouleista elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$
Sijoitus
Vastaus
$2{,}76\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $450\,\text{nm}$.
Järkevyys
Pyöreillä luvuilla $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 450\,\text{nm} \approx 2{,}8\,\text{eV}$. Sininen on näkyvän valon lyhytaaltoista päätä, joten sen fotonin energia on lähellä välin $1{,}8$–$3{,}1\,\text{eV}$ yläpäätä.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: kirkkaampi valo
Kaveri sanoo: ”Jos sinistä valoa kirkastetaan, irtoavat elektronit lentävät nopeammin, koska valo tuo enemmän energiaa.” Arvioi väite. Selitä fotonimallin avulla, mitä intensiteetin kasvattaminen muuttaa ja mitä ei.
Mallivastaus
Väite ei pidä. Kirkkaampi valo tuo kyllä enemmän energiaa sekunnissa, mutta se tulee useampina fotoneina, joista jokaisen energia on edelleen $hf$, koska valon väri eli taajuus ei muutu. Yksi fotoni luovuttaa energiansa yhdelle elektronille, joten elektronin suurin liike-energia on aina $E_\text{k,max} = hf - W$ eikä riipu intensiteetistä. Kirkkaampi valo irrottaa siis enemmän elektroneja sekunnissa, ja niiden muodostama virta kasvaa, mutta nopeimmat elektronit lentävät yhtä nopeasti kuin ennenkin. Nopeampia elektroneja saadaan vain suuremmalla taajuudella, esimerkiksi violetilla tai ultraviolettivalolla.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Kvantti
- Pienin määrä, jossa tietty fysikaalinen suure voi siirtyä vuorovaikutuksessa.
- Kvantittuminen
- Energia voi tietyissä ilmiöissä saada tai siirtyä vain määrättyinä erinä.
- Fotoni
- Sähkömagneettisen säteilykentän energiakvantti, jolla ei ole lepomassaa.
- Planckin vakio
- Kvanttifysiikan perusvakio, joka yhdistää fotonin energian säteilyn taajuuteen.
- Fotonin energia
- Kasvaa säteilyn taajuuden kasvaessa ja aallonpituuden pienentyessä.$$E = hf = \dfrac{hc}{\lambda}$$
- Elektronivoltti
- Energia, jonka alkeisvaraus saa yhden voltin jännitteessä.$$1\,\text{eV} \approx 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$
- Valosähköilmiö
- Riittävän suuritaajuinen sähkömagneettinen säteily voi irrottaa elektroneja aineen pinnasta.
- Irrotustyö
- Pienin energia, joka tarvitaan elektronin irrottamiseen tietyn aineen pinnasta.
- Rajataajuus
- Pienin säteilyn taajuus, jolla elektroneja voi irrota tietystä aineesta.
- Maksimiliike-energia
- Nopeimman irronneen elektronin energia saadaan energian säilymisestä.$$E_{\text{k,max}} = hf - W_0$$
- Valosähköilmiön energiayhtälö
- Fotonin energia kuluu irrotustyöhön ja elektronin liike-energiaksi.$$hf = W_0 + E_{\text{k,max}}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-1Ydintehtävä
Vihreä laserosoitin lähettää valoa, jonka aallonpituus on $532\,\text{nm}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Kuinka suuri on yhden fotonin energia? Anna vastaus jouleina.
Vastaus
$3{,}73 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 532\,\text{nm}$, Planckin vakio $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
yhden fotonin energia $E$ jouleina
Periaate
Valon energia on kvantittunut fotoneiksi, ja yhden fotonin energia riippuu vain valon taajuudesta: $E = hf$. Koska tunnetaan aallonpituus, taajuus lausutaan aaltoliikkeen perusyhtälöstä $c = f\lambda$.
Kaava
$E = hf$ ja $f = \dfrac{c}{\lambda}$, joten $E = \dfrac{hc}{\lambda}$
Muunnokset
$\lambda$$= 532\,\text{nm}$$= 532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$E$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 3{,}734 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$Vastaus
$3{,}73 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $532\,\text{nm}$.
Järkevyys
Elektronivoltteina energia on
$3{,}734 \cdot 10^{-19}\,\text{J} : 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$$\approx 2{,}33\,\text{eV}$Näkyvän valon fotonien energiat ovat noin $1{,}8$–$3{,}1\,\text{eV}$, ja vihreä on tämän välin keskellä.
- Tehtävä 1-2Ydintehtävä
Mikroaaltouuni lämmittää ruokaa sähkömagneettisella säteilyllä, jonka taajuus on $2{,}45\,\text{GHz}$. Planckin vakio on $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$. Kuinka suuri on yhden mikroaaltofotonin energia? Anna vastaus jouleina.
Vastaus
$1{,}62 \cdot 10^{-24}\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taajuus $f = 2{,}45\,\text{GHz}$, Planckin vakio $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$
Kysytty
yhden mikroaaltofotonin energia $E$ jouleina
Periaate
Mikroaallot ovat sähkömagneettista säteilyä kuten valo, joten niidenkin energia on kvantittunut fotoneiksi. Fotonin energia on Planckin vakio kerrottuna säteilyn taajuudella.
Kaava
$E = hf$
Muunnokset
$f$$= 2{,}45\,\text{GHz}$$= 2{,}45 \cdot 10^{9}\,\text{Hz}$Sijoitus
$E$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}45 \cdot 10^{9}\,\tfrac{1}{\text{s}}$$= 1{,}623 \cdot 10^{-24}\,\text{J}$Vastaus
$1{,}62 \cdot 10^{-24}\,\text{J}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $2{,}45\,\text{GHz}$.
Järkevyys
Taajuus on noin $2 \cdot 10^{5}$ kertaa pienempi kuin näkyvän valon taajuus (noin $5 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$), joten fotonin energiankin on oltava sen verran pienempi kuin noin $3 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$:
$3 \cdot 10^{-19}\,\text{J} : (2 \cdot 10^{5})$$\approx 1{,}5 \cdot 10^{-24}\,\text{J}$Mikroaaltofotoni ei siksi irrota elektroneja eikä riko molekyylejä.
- Tehtävä 1-3
Fotonin energia on $3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Elektronivoltti on $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Kuinka suuri on fotonin energia elektronivoltteina?
Vastaus
$2{,}0\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin energia $E = 3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
energia $E$ elektronivoltteina
Periaate
Elektronivoltti on energian yksikkö kuten joule: $1\,\text{eV}$ on elektronin energian muutos $1\,\text{V}$:n jännitteen yli. Energia muunnetaan sijoittamalla yhtälö $1\,\text{J} = \tfrac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$.
Kaava
$E\,(\text{eV})$$= \dfrac{E\,(\text{J})}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \cdot 1\,\text{eV}$Muunnokset
Muunnos joulesta elektronivolteiksi on itse tehtävä; muita muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$E$$= \dfrac{3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \cdot 1\,\text{eV}$$= 1{,}998\,\text{eV}$Vastaus
$2{,}0\,\text{eV}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten energiassa $3{,}2 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Järkevyys
$1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ on yksi elektronivoltti, ja annettu energia on tämän kaksinkertainen, joten tuloksen on oltava noin $2\,\text{eV}$. Se on suunnilleen oranssin ja punaisen valon rajalla olevan fotonin energia.
- Tehtävä 1-4
Vettä ja pintoja desinfioidaan UV-C-lampuilla, joiden säteilyn aallonpituus on $254\,\text{nm}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Kuinka suuri on yhden fotonin energia? Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$4{,}88\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 254\,\text{nm}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
yhden fotonin energia $E$ elektronivoltteina
Periaate
Fotonin energia on $E = hf$, ja taajuus saadaan aallonpituudesta, koska säteily etenee valon nopeudella: $f = \tfrac{c}{\lambda}$. Tulos jouleina muunnetaan lopuksi elektronivolteiksi.
Kaava
$E = \dfrac{hc}{\lambda}$
Muunnokset
$\lambda$$= 254\,\text{nm}$$= 254 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$energia jouleista elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$
Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$E$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{254 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 7{,}821 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= \dfrac{7{,}821 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$$= 4{,}882\,\text{eV}$Vastaus
$4{,}88\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $254\,\text{nm}$.
Järkevyys
Pyöreillä luvuilla
$E$$\approx 1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 254\,\text{nm}$$\approx 4{,}9\,\text{eV}$UV-C-fotonin energia on selvästi suurempi kuin näkyvän valon $1{,}8$–$3{,}1\,\text{eV}$, ja juuri siksi se vaurioittaa mikrobien perimää.
- Tehtävä 1-5
Sinkin irrotustyö on $4{,}31\,\text{eV}$. Sinkkilevyyn osuu fotoneja, joiden energia on $5{,}00\,\text{eV}$. Kuinka suuri on irtoavien elektronien suurin liike-energia? Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$0{,}69\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
sinkin irrotustyö $W = 4{,}31\,\text{eV}$, fotonin energia $hf = 5{,}00\,\text{eV}$
Kysytty
irtoavien elektronien suurin liike-energia $E_\text{k,max}$ elektronivoltteina
Periaate
Yksi fotoni luovuttaa koko energiansa yhdelle elektronille. Energia säilyy: irrotustyö kuluu elektronin irrottamiseen, ja loppu jää liike-energiaksi. Liike-energia on suurin elektroneilla, jotka eivät menetä energiaa matkalla pintaan.
Kaava
$hf = W + E_\text{k,max}$, joten $E_\text{k,max} = hf - W$
Muunnokset
Ei tarvita: kumpikin energia on elektronivoltteina.
Sijoitus
$E_\text{k,max}$$= 5{,}00\,\text{eV} - 4{,}31\,\text{eV}$$= 0{,}69\,\text{eV}$Vastaus
$0{,}69\,\text{eV}$
Sadasosan tarkkuudella kuten molemmat energiat.
Järkevyys
Fotonin energia on suurempi kuin irrotustyö, joten elektroneja irtoaa, ja liike-energia on positiivinen. Se on vain pieni osa fotonin energiasta, koska fotonin energia ylittää irrotustyön vain vähän.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-6Ydintehtävä
Cesiumin irrotustyö on $2{,}14\,\text{eV}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Mikä on pisin aallonpituus, jonka valo vielä irrottaa elektroneja cesiumista? Anna vastaus nanometreinä.
Vastaus
$579\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
cesiumin irrotustyö $W = 2{,}14\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
pisin irrottava aallonpituus eli raja-aallonpituus $\lambda_0$ nanometreinä
Periaate
Elektroni irtoaa vain, jos yhden fotonin energia on vähintään irrotustyön suuruinen. Fotonin energia pienenee, kun aallonpituus kasvaa, joten pisin irrottava aallonpituus on se, jolla fotonin energia on täsmälleen $W$ ja liike-energia nolla.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda_0} = W$, joten $\lambda_0 = \dfrac{hc}{W}$
Muunnokset
$W$$= 2{,}14\,\text{eV}$$= 2{,}14 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}428 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$tulos metreistä nanometreiksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$
Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$\lambda_0$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{3{,}428 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$$= 5{,}794 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 579{,}4\,\text{nm}$Vastaus
$579\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten irrotustyössä $2{,}14\,\text{eV}$.
Järkevyys
Tarkistus pyöreillä luvuilla: $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 2{,}14\,\text{eV} \approx 580\,\text{nm}$. Se on keltaista valoa, joten vihreä ja sininen valo irrottavat elektroneja cesiumista, punainen ei. Cesiumin irrotustyö on pienempi kuin natriumin $2{,}28\,\text{eV}$, joten sen raja-aallonpituuden on oltava pidempi kuin natriumin $544\,\text{nm}$, kuten on.
- Tehtävä 1-7Ydintehtävä
Punainen laserosoitin lähettää valoa, jonka aallonpituus on $650\,\text{nm}$, teholla $5{,}0\,\text{mW}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ ja $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$. Kuinka monta fotonia laser lähettää sekunnissa?
Vastaus
$1{,}6 \cdot 10^{16}$
Näytä ratkaisu
Annettu
laserin teho $P = 5{,}0\,\text{mW}$, aallonpituus $\lambda = 650\,\text{nm}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
sekunnissa lähtevien fotonien lukumäärä $N$ yksikössä $\tfrac{1}{\text{s}}$
Periaate
Valon energia kulkee fotoneina, joilla kaikilla on sama energia $E = \tfrac{hc}{\lambda}$, koska laservalolla on yksi aallonpituus. Teho on sekunnissa lähtevä energia, joten fotonien määrä sekunnissa on teho jaettuna yhden fotonin energialla.
Kaava
$P = N E = N \dfrac{hc}{\lambda}$, joten $N = \dfrac{P \lambda}{hc}$
Muunnokset
$P$$= 5{,}0\,\text{mW}$$= 5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W}$$\lambda$$= 650\,\text{nm}$$= 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$N$$= \dfrac{5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W} \cdot 650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}$$= 1{,}636 \cdot 10^{16}\,\tfrac{1}{\text{s}}$Vastaus
$1{,}6 \cdot 10^{16}$
Fotonia sekunnissa, kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa $5{,}0\,\text{mW}$.
Järkevyys
Yhden fotonin energia on noin $3 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$, ja
$5 \cdot 10^{-3}\,\text{J} : (3 \cdot 10^{-19}\,\text{J})$$\approx 1{,}7 \cdot 10^{16}$Yksiköt:
$\tfrac{\text{W} \cdot \text{m}}{\text{J}\,\text{s} \cdot \text{m/s}}$$= \tfrac{\text{J/s}}{\text{J}}$$= \tfrac{1}{\text{s}}$Fotoneja on niin paljon, ettei yksittäisiä fotoneja huomaa tavallisessa valossa.
- Tehtävä 1-8
Kaukoultraviolettilamppu lähettää säteilyä, jonka aallonpituus on $222\,\text{nm}$. Säteily osuu magnesiumpintaan, jonka irrotustyö on $3{,}68\,\text{eV}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Kuinka suuri on irtoavien elektronien suurin liike-energia? Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$1{,}91\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 222\,\text{nm}$, magnesiumin irrotustyö $W = 3{,}68\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
irtoavien elektronien suurin liike-energia $E_\text{k,max}$ elektronivoltteina
Periaate
Yksi fotoni luovuttaa energiansa yhdelle elektronille, ja energia säilyy: fotonin energiasta kuluu irrotustyö, loppu jää liike-energiaksi (valosähköinen yhtälö). Fotonin energia lasketaan aallonpituudesta.
Kaava
$hf = W + E_\text{k,max}$ ja $hf = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten
$E_\text{k,max}$$= \dfrac{hc}{\lambda} - W$Muunnokset
$\lambda$$= 222\,\text{nm}$$= 222 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$fotonin energia jouleista elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$
Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{222 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 8{,}948 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 5{,}586\,\text{eV}$joten
$E_\text{k,max}$$= 5{,}586\,\text{eV} - 3{,}68\,\text{eV}$$= 1{,}906\,\text{eV}$Vastaus
$1{,}91\,\text{eV}$
Sadasosan tarkkuudella kuten irrotustyö $3{,}68\,\text{eV}$.
Järkevyys
Arvio: $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 222\,\text{nm} \approx 5{,}6\,\text{eV}$, ja $5{,}6\,\text{eV} - 3{,}7\,\text{eV} \approx 1{,}9\,\text{eV}$. Fotonin energia ylittää irrotustyön, joten elektroneja todella irtoaa.
- Tehtävä 1-9
Tuntematonta metallia valaistaan ultraviolettisäteilyllä, jonka aallonpituus on $300\,\text{nm}$. Irtoavien elektronien suurimmaksi liike-energiaksi mitataan $1{,}85\,\text{eV}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Kuinka suuri on metallin irrotustyö? Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$2{,}28\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 300\,\text{nm}$, suurin liike-energia $E_\text{k,max} = 1{,}85\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
metallin irrotustyö $W$ elektronivoltteina
Periaate
Valosähköinen yhtälö kertoo energian säilymisen: fotonin energia on irrotustyön ja suurimman liike-energian summa. Kun fotonin energia ja suurin liike-energia tunnetaan, irrotustyö on niiden erotus.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= W + E_\text{k,max}$joten
$W$$= \dfrac{hc}{\lambda} - E_\text{k,max}$Muunnokset
$\lambda$$= 300\,\text{nm}$$= 300 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$fotonin energia jouleista elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$
Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{300 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 6{,}622 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 4{,}133\,\text{eV}$joten
$W$$= 4{,}133\,\text{eV} - 1{,}85\,\text{eV}$$= 2{,}283\,\text{eV}$Vastaus
$2{,}28\,\text{eV}$
Sadasosan tarkkuudella kuten mitattu liike-energia $1{,}85\,\text{eV}$.
Järkevyys
Irrotustyö on positiivinen ja pienempi kuin fotonin energia, kuten pitää. Arvo sopii natriumille ($2{,}28\,\text{eV}$), joten metalli voi olla natriumia.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 1-10
Natriumpintaa, jonka irrotustyö on $2{,}28\,\text{eV}$, valaistaan ultraviolettisäteilyllä, jonka aallonpituus on $350\,\text{nm}$. Elektronin massa on $9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Kuinka suuri on nopeimpien irtoavien elektronien vauhti? Anna vastaus yksikössä $\text{m/s}$.
Vastaus
$6{,}66 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
natriumin irrotustyö $W = 2{,}28\,\text{eV}$, aallonpituus $\lambda = 350\,\text{nm}$, elektronin massa $m = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
nopeimpien elektronien vauhti $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Nopeimmat elektronit saavat suurimman liike-energian $E_\text{k,max} = hf - W$ (valosähköinen yhtälö, energian säilyminen). Vauhti saadaan liike-energiasta $E_\text{k} = \tfrac{1}{2} m v^2$, joka pätee, koska vauhti jää paljon valon nopeutta pienemmäksi (tämä tarkistetaan lopuksi). Liike-energian on oltava jouleina, jotta vauhti tulee yksikössä $\text{m/s}$.
Kaava
$E_\text{k,max}$$= \dfrac{hc}{\lambda} - W$$\dfrac{1}{2} m v^2 = E_\text{k,max}$, joten
$v$$= \sqrt{\dfrac{2 E_\text{k,max}}{m}}$Muunnokset
$\lambda$$= 350\,\text{nm}$$= 350 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$$W$$= 2{,}28\,\text{eV}$$= 2{,}28 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$E_\text{k,max}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{350 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} - 3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 5{,}676 \cdot 10^{-19}\,\text{J} - 3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 2{,}023 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$joten
$v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 2{,}023 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}}}$$= 6{,}665 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$Vastaus
$6{,}66 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa ja irrotustyössä.
Järkevyys
Vauhti on noin $0{,}2\,\%$ valon nopeudesta, joten kaava $\tfrac{1}{2} m v^2$ on käyttökelpoinen. Liike-energia on $1{,}26\,\text{eV}$, ja $1\,\text{eV}$:n elektronin vauhti on noin $6 \cdot 10^{5}\,\text{m/s}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Yksiköt:
$\sqrt{\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$$= \sqrt{\tfrac{\text{kg}\,\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{kg}}}$$= \text{m/s}$ - Tehtävä 1-11
Natriumpintaa, jonka irrotustyö on $2{,}28\,\text{eV}$, valaistaan hyvin himmeällä sinisellä valolla, jonka intensiteetti on $1{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{W/m}^2$. Kokeessa elektroneja alkaa irrota heti.
Tutki, mitä aaltomalli ennustaisi: oletetaan, että yksi elektroni kerää kaiken energian, joka osuu sen kohdalle pinta-alalle $1{,}0 \cdot 10^{-20}\,\text{m}^2$ (suunnilleen yhden atomin poikkipinta-ala), eikä energiaa häviä minnekään. $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Kuinka kauan elektronin pitäisi kerätä energiaa, ennen kuin se on saanut irrotustyön verran? Anna vastaus vuorokausina.
Vastaus
$420\,\text{vrk}$
Näytä ratkaisu
Annettu
irrotustyö $W = 2{,}28\,\text{eV}$, intensiteetti $I = 1{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{W/m}^2$, elektronin keräysala $A = 1{,}0 \cdot 10^{-20}\,\text{m}^2$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$; oletus: kaikki alalle osuva energia kertyy yhdelle elektronille
Kysytty
aika $t$, jossa elektroni kerää irrotustyön verran energiaa, vuorokausina
Periaate
Aaltomallissa valon energia jakautuu tasaisesti koko aaltorintamalle. Intensiteetti on teho pinta-alaa kohti, joten alalle $A$ tuleva teho on $P = IA$, ja ajassa $t$ elektroni saa energian $E = Pt = IAt$. Irtoaminen alkaisi, kun $E = W$.
Kaava
$W = I A t$, joten $t = \dfrac{W}{I A}$
Muunnokset
$W$$= 2{,}28\,\text{eV}$$= 2{,}28 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$aika sekunneista vuorokausiksi
$1\,\text{vrk}$$= 24 \cdot 3600\,\text{s}$$= 86\,400\,\text{s}$Sijoitus
$t$$= \dfrac{3{,}653 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{1{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{W/m}^2 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-20}\,\text{m}^2}$$= 3{,}653 \cdot 10^{7}\,\text{s}$$= \dfrac{3{,}653 \cdot 10^{7}}{86\,400}\,\text{vrk}$$= 422{,}8\,\text{vrk}$Vastaus
noin $420\,\text{vrk}$ eli yli vuosi, kaksi merkitsevää numeroa kuten intensiteetissä ja pinta-alassa.
Järkevyys
Yksiköt:
$\tfrac{\text{J}}{\text{W/m}^2 \cdot \text{m}^2}$$= \tfrac{\text{J}}{\text{J/s}}$$= \text{s}$Aaltomallin ennuste, yli vuoden viive, on täysin ristiriidassa havainnon kanssa: elektroneja irtoaa heti. Fotonimalli selittää tämän: himmeässäkin valossa on fotoneja, ja jokainen sinisen valon fotoni, noin $2{,}7\,\text{eV}$, riittää yksinään irrottamaan elektronin.
- Tehtävä 1-12
Tuntematonta metallia valaistaan kahdella eri taajuudella, ja irtoavien elektronien suurin liike-energia mitataan. Taajuudella $7{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ se on $0{,}60\,\text{eV}$ ja taajuudella $1{,}00 \cdot 10^{15}\,\text{Hz}$ se on $1{,}84\,\text{eV}$. Suurin liike-energia riippuu taajuudesta lineaarisesti.
Mikä on metallin rajataajuus, jonka alapuolella elektroneja ei irtoa? Anna vastaus hertseinä.
Vastaus
$5{,}5 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
mittauspisteet $(f_1, E_1) = (7{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$; $0{,}60\,\text{eV})$ ja $(f_2, E_2) = (1{,}00 \cdot 10^{15}\,\text{Hz}$; $1{,}84\,\text{eV})$, joissa $E$ on suurin liike-energia; riippuvuus on lineaarinen
Kysytty
rajataajuus $f_0$ hertseinä
Periaate
Valosähköisen yhtälön mukaan $E_\text{k,max} = hf - W$ on taajuuden suhteen suora. Rajataajuudella elektroni juuri ja juuri irtoaa, joten suurin liike-energia on nolla: rajataajuus on kohta, jossa suora leikkaa taajuusakselin. Suoran kulmakerroin saadaan kahdesta mittauspisteestä.
Kaava
kulmakerroin $k = \dfrac{E_2 - E_1}{f_2 - f_1}$, ja suoralla $E = E_1 + k(f - f_1)$; ehdosta $E = 0$ saadaan $f_0 = f_1 - \dfrac{E_1}{k}$
Muunnokset
Ei tarvita: energiat ovat samassa yksikössä ja taajuudet hertseinä, joten yksiköt supistuvat.
Sijoitus
$k$$= \dfrac{1{,}84\,\text{eV} - 0{,}60\,\text{eV}}{1{,}00 \cdot 10^{15}\,\text{Hz} - 7{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}}$$= \dfrac{1{,}24\,\text{eV}}{3{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}}$$= 4{,}133 \cdot 10^{-15}\,\tfrac{\text{eV}}{\text{Hz}}$joten
$f_0$$= 7{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz} - \dfrac{0{,}60\,\text{eV}}{4{,}133 \cdot 10^{-15}\,\text{eV/Hz}}$$= 7{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz} - 1{,}452 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$$= 5{,}548 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$Vastaus
$5{,}5 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $7{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ ja energiassa $0{,}60\,\text{eV}$.
Järkevyys
Kulmakertoimen pitää olla Planckin vakio:
$k$$= 4{,}133 \cdot 10^{-15}\,\tfrac{\text{eV}}{\text{Hz}}$$= 4{,}133 \cdot 10^{-15} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}\,\text{s}$$= 6{,}62 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$kuten on. Rajataajuus on pienempi kuin kumpikin mittaustaajuus, kuten pitää, koska kummallakin taajuudella elektroneja irtosi. Irrotustyö on $W = h f_0 \approx 2{,}3\,\text{eV}$, joten metalli voi olla natriumia.
Valokuvat
- Photomultiplier Tube (PMT). Motokoka. lähde, CC BY-SA 4.0
.jpg){kind=link}