RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 6.1

Kvantti-ilmiöt, ydin ja säteily

Miksi kasvihuoneen kirkkaat punaiset kasvivalot eivät vaurioita kasvien eivätkä puutarhurin DNA:ta, vaikka niiden teho on kilowatteja, mutta heikkokin röntgensäteily voi vaurioittaa?

Pohjatiedot

Pohdinta

Talvella kasvihuoneen tomaatit kasvavat LED-kasvivalojen alla. Valojen yhteinen teho on useita kilowatteja, ja suurin osa valosta on punaista, aallonpituus noin $660\,\text{nm}$. Hammaslääkärin röntgenlaitteen säteilyn teho on paljon pienempi, mutta sen fotonien energia on noin $60\,\text{keV}$. Vesimolekyylin ionisaatioenergia on $12{,}6\,\text{eV}$. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta kaavaa ei.

Miksi suuri valoteho ei ionisoi, mutta pieni röntgenteho ionisoi? Kuinka suuri on yhden punaisen fotonin energia elektronivoltteina?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: kirkkaampi punainen valo

Sinkkilevyä valaistaan punaisella valolla, eikä levystä irtoa elektroneja. Valon intensiteetti kymmenkertaistetaan, mutta väri pysyy samana. Mitä tapahtuu?

Lähtötaso 2: fotoni vetykaasussa

Perustilassa olevien vetyatomien läpi kulkee fotoneja, joiden energia on $11{,}0\,\text{eV}$. Vedyn tasot ovat $E_1 = -13{,}6\,\text{eV}$, $E_2 = -3{,}40\,\text{eV}$ ja $E_3 = -1{,}51\,\text{eV}$. Mitä fotoneille tapahtuu?

Lähtötaso 3: punainen ja sininen LED

Punainen ja sininen LED kytketään vuorotellen säädettävään jännitelähteeseen, ja jännitettä kasvatetaan nollasta. Kumpi alkaa johtaa ja loistaa pienemmällä jännitteellä?

Lähtötaso 4: jodi-131 kolmen viikon päästä

Jodi-131:n puoliintumisaika on $8{,}0$ vuorokautta. Näytteessä on aluksi $N_0$ jodi-131-ydintä. Kuinka suuri osa ytimistä on hajoamatta $24$ vuorokauden kuluttua?

Lähtötaso 5: hiili-14:n hajoaminen

Hiili-14 ($Z = 6$) hajoaa beeta miinus -hajoamisella. Mikä ydin syntyy? Typen järjestysluku on $7$ ja boorin $5$.

Lähtötaso 6: radon sisäilmassa

Radonin ja sen hajoamistuotteiden alfasäteily pysähtyy jo paperiarkkiin. Miksi radon on silti suomalaisten suurin säteilyannoksen lähde?

Tutki

Kolme tuntematonta lähdettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Lukemat on laskettu läpäisykyvyn mallista, kun lähteen C gammasäteilyn puoliintumispaksuus lyijyssä on $5{,}5\,\text{mm}$, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Koulun säteilylaboratoriossa on kolme suljettua säteilylähdettä A, B ja C, joiden merkinnät ovat kuluneet. Jokainen lähde asetettiin vuorollaan GM-putken eteen samalle etäisyydelle, ja pulssit laskettiin minuutin ajan ilman estettä ja kolmen eri esteen takana. Taustasäteily oli ilman lähdettä $20$ pulssia minuutissa.

Este A B C
ei estettä $640$ $530$ $980$
paperiarkki $22$ $516$ $962$
alumiini $3{,}0\,\text{mm}$ $19$ $24$ $603$
lyijy $10\,\text{mm}$ $21$ $21$ $196$

Päättele taulukosta, mitä säteilyä kukin lähde lähettää. Määritä sitten lähteen C gammasäteilylle lyijyn puoliintumispaksuus ja vertaa sitä cesium-137:n gammasäteilyn arvoon $5{,}5\,\text{mm}$. Vastaa alla puoliintumispaksuudella. Mallivastauksessa perustellaan myös lähteiden säteilylajit.

Kuinka suuri on lyijyn puoliintumispaksuus lähteen C gammasäteilylle?

mm
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä osa lähteen C säteilystä pääsee $3{,}0\,\text{mm}$:n alumiinin läpi? Mikä osa $10\,\text{mm}$:n lyijyn läpi?

Vihje 2: mikä yhteys

Vähennä ensin tausta $20$ pulssia minuutissa. Alumiinin takana jäljellä on lähes pelkkä gammasäteily, $583$ pulssia minuutissa.

Vihje 3: välivaihe

$\tfrac{176}{583} = \left(\tfrac12\right)^{d/d_{1/2}}$, kun $d = 10\,\text{mm}$. Ratkaise $d_{1/2}$ logaritmin avulla.

Näytä ratkaisu

Annettu

pulssit minuutissa ilman estettä, paperin, $3{,}0\,\text{mm}$:n alumiinin ja $10\,\text{mm}$:n lyijyn takana; taustasäteily $20$ pulssia minuutissa. Lähteen C lukemat $980$, $962$, $603$ ja $196$; taulukosta lyijyn puoliintumispaksuus $5{,}5\,\text{mm}$ cesium-137:n gammasäteilylle

Kysytty

lyijyn puoliintumispaksuus $d_{1/2}$ lähteen C gammasäteilylle yksikössä $\text{mm}$

Periaate

Alfasäteily pysähtyy paperiin ja beetasäteily muutaman millimetrin alumiiniin, mutta gammasäteily vain vaimenee: jokainen puoliintumispaksuus puolittaa sen (luku Ionisoiva säteily ja elimistö). Lähteen A lukema putoaa paperin takana taustan tasolle, joten se lähettää vain alfasäteilyä. Lähteen B lukema putoaa vasta alumiinin takana taustan tasolle, joten se lähettää beetasäteilyä. Lähteen C lukema pienenee alumiinin takana mutta ei häviä, joten se lähettää beeta- ja gammasäteilyä. Alumiinin takana jäljellä on lähes pelkkä gammasäteily, joten sitä verrataan lyijyn takana mitattuun. Ensin vähennetään tausta.

Kaava

$I = I_0 \left(\tfrac12\right)^{d/d_{1/2}}$, joten

$\ln\tfrac{I_0}{I}$$= \tfrac{d}{d_{1/2}} \ln 2$
$d_{1/2}$$= \dfrac{d \ln 2}{\ln (I_0 : I)}$

Muunnokset

Pulssimäärät ovat samassa yksikössä, joten niiden suhde on paljas luku, eikä muunnoksia tarvita.

Sijoitus

$I_0 = 603 - 20 = 583$ ja $I = 196 - 20 = 176$ pulssia minuutissa, joten

$d_{1/2}$$= \dfrac{10\,\text{mm} \cdot \ln 2}{\ln (583 : 176)}$
$= \dfrac{10\,\text{mm} \cdot 0{,}693}{1{,}198}$
$= 5{,}79\,\text{mm}$

Vastaus

$d_{1/2} \approx 5{,}8\,\text{mm}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska lyijyn paksuus $10\,\text{mm}$ ja satunnaisesti vaihtelevat pulssimäärät eivät anna parempaa tarkkuutta.

Järkevyys

Kymmenen millimetriä on vajaat kaksi puoliintumispaksuutta, ja nettolukema pieneni noin kolmasosaan, kuten $\left(\tfrac12\right)^{1{,}7} \approx 0{,}31$ ennustaa. Tulos on hieman suurempi kuin taulukon $5{,}5\,\text{mm}$, koska myös alumiini vaimentaa gammasäteilyä noin $6\,\%$, joten $583$ on hieman liian pieni arvio alkuperäisestä gammasäteilystä. Kun tämä korjataan, saadaan $5{,}5\,\text{mm}$, joten lähde C voi hyvin olla cesium-137.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Moduulin ilmiöt yhdistää kvantittunut energia. Valo vaihtaa energiaa aineen kanssa fotoneina, joiden energia on $E = hf$, ja yksi fotoni luovuttaa energiansa yhdelle elektronille. Atomin elektronit ja ytimen nukleonit voivat olla vain tietyissä energiatiloissa, joten siirtymissä syntyy tai katoaa tietyn energian fotoni. Elektronien tasojen erot ovat elektronivoltteja, ytimen tasojen ja ydinreaktioiden energiat miljoonia elektronivoltteja. Ytimessä massa ja energia liittyvät toisiinsa: $E = mc^2$.

$\text{kvantittunut energia}$
$E = hf,\quad E = mc^2$
$\textbf{fotoni ja atomi}$
$\text{eV}$
$hf = W + E_\text{k,max}$
$\text{irtoaminen}$
$hf = E_\text{y} - E_\text{a}$
$\text{spektri}$
$eU_\text{k} \approx hf$
$\text{LED}$
$\textbf{ydin}$
$\text{MeV}$
$N = N_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$
$\text{hajoaminen}$
$A = \lambda N$
$\text{aktiivisuus}$
$Q = \Delta m\,c^2$
$\text{reaktio}$
$\textbf{säteily ja ihminen}$
$\text{annos}$
$D = E/m$
$\text{absorboitunut}$
$H_\text{T} = w_\text{R} D_\text{T}$
$\text{painotettu}$
$\dot{H} \propto 1/r^2$
$\text{etäisyys}$
$\text{joka haarassa: yksi hiukkanen, sitten lukumäärä}$

Kokeen moderni fysiikka -tehtävässä kannattaa ensin kysyä, mitä yksi hiukkanen tekee: mikä on yhden fotonin energia, mikä siirtymä tai hajoaminen tapahtuu ja mitkä luvut säilyvät. Vasta sitten lasketaan, kuinka monta fotonia tai ydintä on, eli teho, aktiivisuus tai annos.

Tästä saadaan vastaus alun kysymykseen. Kasvivalon punaisen fotonin ($660\,\text{nm}$) energia on $E = \tfrac{hc}{\lambda} \approx 1{,}9\,\text{eV}$, mikä on paljon vähemmän kuin vesimolekyylin ionisaatioenergia $12{,}6\,\text{eV}$. Suurempi teho tuo vain enemmän samanlaisia fotoneja, eikä yksikään niistä irrota elektronia. Hammasröntgenin fotonin energia on noin $60\,\text{keV}$, yli $30\,000$-kertainen, joten jo yksi fotoni voi ionisoida ja vaurioittaa DNA:ta.

$1$
$10^{2}$
$10^{4}$
$10^{6}$
$E\ (\text{eV})$
$\text{veden ionisaatioenergia } 12{,}6\,\text{eV}$
$\text{ei ionisoi}$
$\text{ionisoi}$
$\text{punainen LED}$
$1{,}9\,\text{eV}$
$\text{röntgen}$
$60\,\text{keV}$
$\text{gamma}$
$662\,\text{keV}$
$\text{elektronien tasot}$
$\text{ytimen tasot}$
$\text{näkyvä valo } 1{,}7\text{–}3{,}3\,\text{eV}$
$\text{logaritminen asteikko}$

Fotonit, ydin ja säteily

Fotoni ja atomi

$$\begin{aligned} E &= hf = \frac{hc}{\lambda} \\ hf &= W + E_\text{k,max} \\ hf &= E_\text{y} - E_\text{a} \\ p &= \frac{h}{\lambda} \end{aligned}$$

missä $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ on Planckin vakio, $f$ taajuus, $\lambda$ aallonpituus, $W$ metallin irrotustyö, $E_\text{k,max}$ irtoavan elektronin suurin liike-energia, $E_\text{y}$ ja $E_\text{a}$ ylemmän ja alemman energiatilan energiat ja $p$ fotonin liikemäärä. Elektroneja irtoaa vain, kun $hf \geq W$. Atomi absorboi vain fotonin, jonka energia on täsmälleen tasojen erotus, ellei fotoni ionisoi atomia. Vedyllä $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. LEDin kynnysjännitteellä $eU_\text{k} \approx hf$. Muunnokset: $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ja $hc \approx 1240\,\text{eV}\,\text{nm}$.

Ydin ja hajoaminen

$$\begin{aligned} N &= N_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}} \\ A &= \lambda N,\quad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \\ Q &= (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2 \end{aligned}$$

missä $N$ on hajoamattomien ytimien määrä hetkellä $t$, $T_{1/2}$ puoliintumisaika, $A$ aktiivisuus ($\text{Bq}$), $\lambda$ hajoamisvakio ja $Q$ reaktioenergia. Hajoamisyhtälössä massaluku ja varausluku säilyvät: alfahajoamisessa $Z$ pienenee kahdella ja $A$ neljällä, beeta miinus -hajoamisessa $Z$ kasvaa yhdellä. Hajoamislaki kuvaa suurta ydinjoukkoa. Sidosenergia on $E_\text{B} = \Delta m\,c^2$, ja $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Fissio ja fuusio vapauttavat energiaa, koska tuotteiden sidosenergia nukleonia kohti on suurempi.

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$\tfrac14$
$\tfrac12$
$1$
$0$
$n$
$N/N_0,\ I/I_0$
$\tfrac18$
$n = \tfrac{t}{T_{1/2}}\ \text{tai}\ n = \tfrac{d}{d_{1/2}}$

Säteily ja annos

$$\begin{aligned} D &= \frac{E}{m},\quad H_\text{T} = w_\text{R} D_\text{T} \\ H &= \dot{H} t \\ \dot{H}_2 &= \dot{H}_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \\ \dot{H} &= \dot{H}_0 \left(\tfrac12\right)^{d/d_{1/2}} \end{aligned}$$

missä $D$ on absorboitunut annos ($\text{Gy}$), $E$ absorboitunut energia, $m$ kudoksen massa, $H_\text{T}$ ekvivalenttiannos ($\text{Sv}$), $w_\text{R}$ säteilyn painotuskerroin (alfa $20$, beeta ja gamma $1$), $\dot{H}$ annosnopeus, $t$ aika, $r$ etäisyys ja $d_{1/2}$ puoliintumispaksuus. Neliölaki pätee pistemäiselle lähteelle, kun ilma ei vaimenna säteilyä. Puoliintumispaksuus koskee fotonisäteilyä, koska alfa- ja beetasäteilyllä on kantama. Galaksien etääntymisnopeus on $v = H_0 d$, ja pienellä punasiirtymällä $v = cz$.

Yleisiä virheitä

  • Kirkkaampi valo, energisemmät fotonit. Intensiteetti kertoo fotonien määrän; yhden fotonin energian määrää taajuus.
  • Fotoni kantaa tason energian. Fotonin energia on tasojen erotus $E_\text{y} - E_\text{a}$, ei $|E_n|$.
  • Elektronivoltit kaavaan, jossa $h$ on jouleina. Muunna ensin: $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
  • Kaksi puoliintumisaikaa hajottaa kaiken. Kahden puoliintumisajan jälkeen jäljellä on neljäsosa, ja jokainen puoliintumisaika puolittaa jäljellä olevan.
  • Massaluku ja massa sekaisin. Massaluku säilyy, mutta massa pienenee, kun energiaa vapautuu.
  • Taustaa ei vähennetä. Pulssimäärästä vähennetään taustasäteily ennen kuin lasketaan suhteita.
  • Etäisyyden kaksinkertaistus puolittaa. Pistemäisen lähteen annosnopeus pienenee neljäsosaan.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: laserosoittimen fotonit

Vihreän laserosoittimen teho on $5{,}0\,\text{mW}$ ja aallonpituus $532\,\text{nm}$. Opiskelija laski fotonin energiaksi $\tfrac{hc}{\lambda} = 2{,}33\,\text{eV}$ ja kirjoitti: ”Fotoneja lähtee sekunnissa $\tfrac{P}{E} = \tfrac{5{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W}}{2{,}33\,\text{eV}} = 2{,}1 \cdot 10^{-3}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue kuvaaja: sidosenergia nukleonia kohti

Kuvaajassa on ytimien sidosenergia nukleonia kohti massaluvun funktiona. Mikä väite on oikein?
$50$
$100$
$150$
$200$
$250$
$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$0$
$A$
$E_\text{B}/A\ (\text{MeV})$

Perusteltu väite: mikä hajoaminen on mahdollinen?

Vapaan neutronin massa on $939{,}6\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, protonin $938{,}3\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja elektronin $0{,}51\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Mikä hajoaminen voi tapahtua itsestään?

Perusteltu väite: elektronit yksi kerrallaan

Kaksoisrakokokeessa elektronisuihku on niin heikko, että laitteessa on kerrallaan vain yksi elektroni. Ilmaisimelle kertyy osumia pitkän aikaa. Mikä väite on oikein?

Hammasröntgen

Hammaslääkärin röntgenputkessa elektronit kiihdytetään katodilta anodille jännitteellä $65\,\text{kV}$. Anodissa jarruttava elektroni voi luovuttaa koko liike-energiansa yhdelle fotonille. Kuinka lyhyt on röntgensäteilyn lyhin aallonpituus?

nm
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kuinka suuren liike-energian elektroni saa jännitteessä $U$?

Vihje 2: mikä yhteys

Elektroni saa energian $eU$, ja suurin fotonin energia on $hf = eU$.

Vihje 3: välivaihe

$\lambda_\text{min} = \tfrac{hc}{eU}$. Muunna lopuksi metrit nanometreiksi.

Näytä ratkaisu

Annettu

kiihdytysjännite $U = 65\,\text{kV}$, $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

Kysytty

lyhin aallonpituus $\lambda_\text{min}$ yksikössä $\text{nm}$

Periaate

Sähkökenttä tekee elektroniin työn $eU$, joten elektroni saapuu anodille liike-energialla $eU$. Suurin fotonin energia syntyy, kun elektroni luovuttaa koko liike-energiansa yhdelle fotonille. Suurinta energiaa vastaa lyhin aallonpituus (luku Säteily lääketieteessä ja teknologiassa).

Kaava

$hf_\text{max}$$= \dfrac{hc}{\lambda_\text{min}}$
$= eU$

joten $\lambda_\text{min} = \dfrac{hc}{eU}$

Muunnokset

$65\,\text{kV}$$= 65 \cdot 1000\,\text{V}$
$= 65\,000\,\text{V}$

ja lopuksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$

Sijoitus

$\lambda_\text{min}$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 65\,000\,\text{V}}$
$= 1{,}908 \cdot 10^{-11}\,\text{m}$
$= 0{,}01908\,\text{nm}$

Vastaus

$\lambda_\text{min} \approx 0{,}019\,\text{nm}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännite $65\,\text{kV}$.

Järkevyys

Arvio $hc \approx 1240\,\text{eV}\,\text{nm}$ antaa $1240\,\text{eV}\,\text{nm} : 65\,000\,\text{eV} \approx 0{,}019\,\text{nm}$. Aallonpituus on kymmeniä tuhansia kertoja lyhyempi kuin näkyvän valon, kuten röntgensäteilyllä kuuluu.

Järvestä löytynyt ruuhi

Järven pohjasta nostetun puuruuhen näytteessä hiili-14:n aktiivisuus hiiligrammaa kohti on $72{,}0\,\%$ elävän puun arvosta. Hiili-14:n puoliintumisaika on $5700$ vuotta.

Kuinka vanha ruuhi on? Oletetaan, että hiili-14:n osuus elävässä puussa on pysynyt samana.

a
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kun puu kaadettiin, uutta hiili-14:ää ei enää tullut. Mitä aktiivisuudelle tapahtui sen jälkeen?

Vihje 2: mikä yhteys

$A = A_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$, missä $\tfrac{A}{A_0} = 0{,}720$.

Vihje 3: välivaihe
$t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (A_0 : A)}{\ln 2}$
Näytä ratkaisu

Annettu

aktiivisuuden suhde $\tfrac{A}{A_0} = 0{,}720$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 5700\,\text{a}$

Kysytty

ruuhen ikä $t$ vuosina

Periaate

Elävä puu ottaa hiiltä ilmasta, joten sen hiili-14:n osuus pysyy samana. Kun puu kaadettiin, hiili-14:ää alkoi vain hajota, ja aktiivisuus pienenee hajoamislain mukaan (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Grammaa kohti laskettu aktiivisuus ei riipu näytteen koosta.

Kaava

$\dfrac{A}{A_0}$$= \left(\dfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$

joten

$\ln\dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \ln 2$
$t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (A_0 : A)}{\ln 2}$

Muunnokset

Ikä saadaan samassa yksikössä kuin puoliintumisaika, vuosina, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$t$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln (1 : 0{,}720)}{\ln 2}$
$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{0{,}3285}{0{,}6931}$
$= 2701\,\text{a}$

Vastaus

$t \approx 2700\,\text{a}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten puoliintumisaika $5700\,\text{a}$.

Järkevyys

Yksi puoliintumisaika jättäisi $50\,\%$, joten $72\,\%$ tarkoittaa alle puolta puoliintumisajasta, ja $2700\,\text{a} \approx 0{,}47\,T_{1/2}$. Tarkistus: $\left(\tfrac12\right)^{0{,}474} \approx 0{,}72$.

Kahden deuteriumytimen fuusio

Fuusiokokeessa kaksi deuteriumydintä yhtyy: ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{2}_{1}\text{H} \to {}^{3}_{2}\text{He} + {}^{1}_{0}\text{n}$. Atomimassat ovat ${}^{2}\text{H}$: $2{,}014102\,\text{u}$, ${}^{3}\text{He}$: $3{,}016029\,\text{u}$ ja neutroni $1{,}008665\,\text{u}$. Kuinka paljon energiaa yksi reaktio vapauttaa?

MeV
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mistä vapautuva energia tulee? Vertaa lähtöaineiden ja tuotteiden massoja.

Vihje 2: mikä yhteys

$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$. Atomimassoja voi käyttää, koska elektronien määrä on molemmin puolin kaksi.

Vihje 3: välivaihe

Sijoita massaero atomimassayksiköinä ja $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$m({}^{2}\text{H}) = 2{,}014102\,\text{u}$, $m({}^{3}\text{He}) = 3{,}016029\,\text{u}$, $m_\text{n} = 1{,}008665\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$

Kysytty

yhden reaktion vapauttama energia $Q$ yksikössä $\text{MeV}$

Periaate

Ydinreaktiossa massaluku ja varausluku säilyvät, mutta massa ei: tuotteet ovat kevyempiä, ja massaeroa vastaava energia vapautuu tuotteiden liike-energiaksi (luvut Massavaje ja ytimen sidosenergia ja Fissio, fuusio ja ydinvoima). Atomimassoja voi käyttää, koska elektroneja on kummallakin puolella kaksi.

Kaava

$Q$$= (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$
$= \left(2m({}^{2}\text{H}) - m({}^{3}\text{He}) - m_\text{n}\right)c^2$

Muunnokset

Massaero sijoitetaan atomimassayksikköinä, ja yksikön paikalle sijoitetaan $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.

Sijoitus

$\Delta m$$= 2 \cdot 2{,}014102\,\text{u} - 3{,}016029\,\text{u} - 1{,}008665\,\text{u}$
$= 0{,}003510\,\text{u}$

joten

$Q$$= 0{,}003510 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$
$= 3{,}270\,\text{MeV}$

Vastaus

$Q \approx 3{,}27\,\text{MeV}$

Kolme merkitsevää numeroa, koska massaero $0{,}003510\,\text{u}$ tunnetaan neljän numeron tarkkuudella ja muunnoskerroin $931{,}5$ neljällä.

Järkevyys

Massa pienenee vain noin $0{,}09\,\%$, mikä on ydinreaktioille tyypillistä. Tulos on pienempi kuin deuteriumin ja tritiumin fuusion $17{,}6\,\text{MeV}$, koska helium-3 on paljon heikommin sidottu kuin helium-4.

Gammalähde varastossa

Teollisuuden mittalaitteessa on cesium-137-lähde, jonka annosnopeus on $1{,}6\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}}$ metrin etäisyydellä. Varastossa työntekijä on $5{,}0\,\text{m}$:n päässä lähteestä, ja välissä on $11\,\text{mm}$ lyijyä. Lyijyn puoliintumispaksuus on $5{,}5\,\text{mm}$.

Kuinka suuri on annosnopeus työntekijän kohdalla? Vastaa yksikössä $\mu\text{Sv/h}$.

µSv/h
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kaksi asiaa pienentää annosnopeutta: etäisyys ja lyijy. Laske kummankin vaikutus erikseen kertoimena.

Vihje 2: mikä yhteys

Etäisyys $1{,}0\,\text{m} \to 5{,}0\,\text{m}$ antaa kertoimen $\left(\tfrac{1{,}0}{5{,}0}\right)^2$, ja $11\,\text{mm}$ on kaksi puoliintumispaksuutta.

Vihje 3: välivaihe
$\dot{H}$$= 1{,}6\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}} \cdot \tfrac{1}{25} \cdot \tfrac14$

ja $1\,\text{mSv} = 1000\,\mu\text{Sv}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

$\dot{H}_1 = 1{,}6\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}}$ etäisyydellä $r_1 = 1{,}0\,\text{m}$, työntekijän etäisyys $r_2 = 5{,}0\,\text{m}$, lyijyn paksuus $d = 11\,\text{mm}$, puoliintumispaksuus $d_{1/2} = 5{,}5\,\text{mm}$

Kysytty

annosnopeus $\dot{H}$ työntekijän kohdalla yksikössä $\mu\text{Sv/h}$

Periaate

Pistemäisestä lähteestä säteily leviää pallon pinnalle, jonka ala kasvaa etäisyyden neliönä, joten annosnopeus pienenee kuten $\tfrac{1}{r^2}$. Lyijy vaimentaa gammasäteilyä niin, että jokainen puoliintumispaksuus puolittaa sen (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa). Vaikutukset ovat toisistaan riippumattomia, joten kertoimet kerrotaan.

Kaava

$\dot{H}$$= \dot{H}_1 \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 \left(\dfrac12\right)^{d/d_{1/2}}$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{mSv} = 1000\,\mu\text{Sv}$. Paksuuksien suhde on paljas luku, koska molemmat ovat millimetreinä.

Sijoitus

$\dot{H}$$= 1{,}6\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}} \cdot \left(\dfrac{1{,}0\,\text{m}}{5{,}0\,\text{m}}\right)^2 \cdot \left(\dfrac12\right)^{11 : 5{,}5}$
$= 1{,}6\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}} \cdot 0{,}040 \cdot 0{,}25$
$= 0{,}016\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}}$
$= 16\,\tfrac{\mu\text{Sv}}{\text{h}}$

Vastaus

$\dot{H} \approx 16\,\mu\text{Sv/h}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten annosnopeus $1{,}6\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{h}}$.

Järkevyys

Etäisyys pienentää annosnopeutta $25$-kertaisesti ja lyijy $4$-kertaisesti, yhteensä $100$-kertaisesti, ja $1600\,\mu\text{Sv/h} : 100 = 16\,\mu\text{Sv/h}$. Tulos on edelleen satoja kertoja suurempi kuin ulkoilman taustasäteily, joten varastossa ei pidä oleskella turhaan.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Fluori-18 ($Z = 9$) hajoaa beeta plus -hajoamisella. Mikä ydin syntyy?
    Vastaus

    Beeta plus -hajoamisessa protoni muuttuu neutroniksi, joten $Z$ pienenee yhdellä ja massaluku säilyy: ${}^{18}_{9}\text{F} \to {}^{18}_{8}\text{O} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu$. Syntyy happi-18. Kertaa tarvittaessa luku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen.

  2. Kuinka suuri on $400\,\text{nm}$:n violetin valon fotonin energia elektronivoltteina?
    Vastaus

    $E = \tfrac{hc}{\lambda} \approx \tfrac{1240\,\text{eV}\,\text{nm}}{400\,\text{nm}} = 3{,}1\,\text{eV}$. Kertaa tarvittaessa luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni.

1. Käsite

Kirjan kuvassa vetyatomin $1\text{s}$-orbitaali on piirretty palloksi, jonka säde on $0{,}14\,\text{nm}$. Mitä kuva esittää?

Kertaa orbitaalin todennäköisyystulkinta luvussa Aaltomekaaninen atomimalli ja orbitaalit ja energiatasot luvussa Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli.

2. Laskeminen

Koulun cesium-137-lähteen aktiivisuus oli vuonna 1996 lähteen todistuksen mukaan $370\,\text{kBq}$. Cesium-137:n puoliintumisaika on $30{,}1$ vuotta, ja yhden atomin massa on $137\,\text{u}$, missä $1\,\text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$.

Kuinka suuri on lähteen cesium-137:n massa vuonna 2026? Vastaa nanogrammoina.

ng
Vihje 1: ohjaava kysymys

Laske ensin aktiivisuus vuonna 2026. Kuinka monta puoliintumisaikaa on kulunut?

Vihje 2: mikä yhteys

Aktiivisuus on $A = \lambda N$, missä $\lambda = \tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$, joten ytimiä on $N = \tfrac{A T_{1/2}}{\ln 2}$. Puoliintumisaika sekunteina: $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$.

Vihje 3: välivaihe

Massa on $m = N \cdot 137\,\text{u}$, ja $1\,\text{kg} = 10^{12}\,\text{ng}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

aktiivisuus vuonna 1996 $A_0 = 370\,\text{kBq}$, aika $t = 30\,\text{a}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 30{,}1\,\text{a}$, atomin massa $m_\text{a} = 137\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$

Kysytty

cesium-137:n massa $m$ vuonna 2026 yksikössä $\text{ng}$

Periaate

Aktiivisuus pienenee samaa hajoamislakia kuin ytimien määrä. Aktiivisuus on ytimien määrä kerrottuna hajoamisvakiolla, joka kertoo yhden ytimen hajoamistodennäköisyyden sekunnissa (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Lähteessä on valtavasti ytimiä, joten laki pätee hyvin. Massa on ytimien määrä kerrottuna yhden atomin massalla.

Kaava

$A = A_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$, $A = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\,N$ ja $m = N m_\text{a}$, joten

$m$$= \dfrac{A_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}\,T_{1/2}\,m_\text{a}}{\ln 2}$

Muunnokset

$370\,\text{kBq}$$= 370 \cdot 1000\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 3{,}70 \cdot 10^{5}\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$T_{1/2}$$= 30{,}1 \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$
$= 9{,}500 \cdot 10^{8}\,\text{s}$
$m_\text{a}$$= 137 \cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$
$= 2{,}274 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$

ja lopuksi $1\,\text{kg} = 10^{12}\,\text{ng}$

Sijoitus

$A$$= 3{,}70 \cdot 10^{5}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot \left(\tfrac12\right)^{30 : 30{,}1}$
$= 1{,}854 \cdot 10^{5}\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$N$$= \dfrac{1{,}854 \cdot 10^{5}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 9{,}500 \cdot 10^{8}\,\text{s}}{0{,}6931}$
$= 2{,}541 \cdot 10^{14}$
$m$$= 2{,}541 \cdot 10^{14} \cdot 2{,}274 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$
$= 5{,}78 \cdot 10^{-11}\,\text{kg}$
$= 57{,}8\,\text{ng}$

Vastaus

$m \approx 57{,}8\,\text{ng}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten aktiivisuus $370\,\text{kBq}$ ja puoliintumisaika $30{,}1\,\text{a}$.

Järkevyys

Kolmekymmentä vuotta on lähes yksi puoliintumisaika, joten aktiivisuus on lähes puolittunut, kuten $185\,\text{kBq}$ näyttää. Satojentuhansien becquerelien lähteessä on vain kymmeniä nanogrammoja cesiumia, koska yksittäisen ytimen hajoamistodennäköisyys on pieni, $\lambda \approx 7{,}3 \cdot 10^{-10}\,\tfrac{1}{\text{s}}$.

Kertaa hajoamislaki, hajoamisvakio ja aktiivisuus luvussa Hajoamislaki ja puoliintumisaika.

3. Selitä

Ydinvoimala saa energiansa uraani-235:n fissiosta, Aurinko vedyn fuusiosta heliumiksi. Selitä kuvaajan avulla, miksi sekä raskaan ytimen halkeaminen että kevyiden ytimien yhtyminen vapauttavat energiaa, ja miksi massa pienenee kummassakin.

$40$
$80$
$120$
$160$
$200$
$240$
$7{,}5$
$8$
$8{,}5$
$9$
$A$
$E_\text{B}/A\ (\text{MeV})$
$7{,}0$

Tehtävät

6.1-1 Cesium metsäsienissä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Sienten aktiivisuuspitoisuudet ovat keksitty esimerkki. Cesium-137:n puoliintumisaika, gammafotonin energia $662\,\text{keV}$ ja aikuisen annoskerroin $1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\tfrac{\text{Sv}}{\text{Bq}}$ ovat todellisia arvoja.

Tšernobylin onnettomuuden laskeumasta jäi Suomen metsiin cesium-137:ää, joka kertyy erityisesti sieniin. Cesium-137 hajoaa beeta miinus -hajoamisella barium-137m:ksi, joka on bariumin virittynyt ydin. Se purkautuu perustilaan lähettämällä gammafotonin, jonka energia on $662\,\text{keV}$. Eräällä hämäläisellä metsäalueella suppilovahverojen cesium-137-pitoisuudeksi mitattiin vuonna 1990 $2400\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$ tuoreena.

  • cesiumin järjestysluku $55$, bariumin $56$
  • cesium-137:n puoliintumisaika $30{,}1\,\text{a}$, $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$
  • annoskerroin: syöty becquerel cesium-137:ää aiheuttaa aikuiselle efektiivisen annoksen $1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\text{Sv}$
  • suomalaisen keskimääräinen efektiivinen annos on noin $5{,}9\,\text{mSv}$ vuodessa
  • oletetaan, että cesiumia poistuu sienistä vain hajoamalla
  1. a) Kirjoita cesium-137:n hajoamisen ja barium-137m:n purkautumisen yhtälöt. Kuinka suuri on gammafotonin aallonpituus? 4 p
  2. b) Kuinka suuri on samojen sienten cesium-137-pitoisuus vuonna 2026? 4 p
  3. c) Sienestäjä syö vuoden 2026 aikana $5{,}0\,\text{kg}$ tällaisia sieniä. Kuinka suuren efektiivisen annoksen hän saa sienistä? Vertaa annosta suomalaisen keskimääräiseen vuosiannokseen. 4 p
  4. d) Kuinka monta cesium-137-ydintä on vuonna 2026 yhdessä kilogrammassa sieniä, ja kuinka suuri on niiden massa? Cesium-137-atomin massa on $137\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$. 3 p

Taidot luvuista: Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen, Hajoamislaki ja puoliintumisaika, Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

cesiumin järjestysluku $55$, bariumin $56$, massaluku $137$, gammafotonin energia $E = 662\,\text{keV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

Kysytty

hajoamisen ja purkautumisen yhtälöt sekä gammafotonin aallonpituus $\lambda$

Periaate

Beeta miinus -hajoamisessa ytimen neutroni muuttuu protoniksi, joten järjestysluku kasvaa yhdellä ja massaluku säilyy. Ydin lähettää elektronin ja antineutriinon. Virittynyt ydin purkautuu lähettämällä gammafotonin, eikä järjestysluku tai massaluku muutu (luku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen). Gammafotoni on valon tavoin fotoni, jonka energia ja aallonpituus liittyvät toisiinsa (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni).

Kaava

${}^{137}_{55}\text{Cs} \to {}^{137}_{56}\text{Ba}^{\ast} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}$ ja ${}^{137}_{56}\text{Ba}^{\ast} \to {}^{137}_{56}\text{Ba} + \gamma$; $E = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten $\lambda = \dfrac{hc}{E}$

Muunnokset

$662\,\text{keV}$$= 662 \cdot 1000 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
$= 1{,}0605 \cdot 10^{-13}\,\text{J}$

ja lopuksi $1\,\text{pm} = 10^{-12}\,\text{m}$

Sijoitus

$\lambda$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{1{,}0605 \cdot 10^{-13}\,\text{J}}$
$= 1{,}873 \cdot 10^{-12}\,\text{m}$
$= 1{,}873\,\text{pm}$

Vastaus

Yhtälöt ovat yllä. Gammafotonin aallonpituus on $\lambda \approx 1{,}87\,\text{pm}$, kolme merkitsevää numeroa kuten energia $662\,\text{keV}$.

Järkevyys

Molemmissa yhtälöissä massaluvut ($137 = 137 + 0$) ja varausluvut ($55 = 56 - 1$) säilyvät. Aallonpituus on noin satakertaisesti pienempi kuin atomin halkaisija, kuten gammasäteilyllä pitää: näkyvän valon fotoni on noin $2\,\text{eV}$ ja aallonpituus noin $600\,\text{nm}$, ja $662\,000\,\text{eV}$ on noin $330\,000$-kertainen.

b)

Annettu

$A_0 = 2400\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$ vuonna 1990, puoliintumisaika $T_{1/2} = 30{,}1\,\text{a}$, aikaa $t = 2026 - 1990 = 36\,\text{a}$

Kysytty

pitoisuus $A$ vuonna 2026

Periaate

Sienissä on valtava määrä cesiumytimiä, ja jokainen hajoaa samalla todennäköisyydellä. Siksi jäljellä olevien ytimien määrä ja aktiivisuus puolittuvat jokaisessa puoliintumisajassa (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Oletuksen mukaan cesiumia ei poistu muuten eikä tule lisää.

Kaava

$A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

Muunnokset

Ajat ovat samassa yksikössä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\dfrac{t}{T_{1/2}}$$= \dfrac{36\,\text{a}}{30{,}1\,\text{a}}$
$= 1{,}196$

joten

$A$$= 2400\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}} \cdot 0{,}5^{1{,}196}$
$= 1047{,}6\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$

Vastaus

$A \approx 1050\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}} = 1{,}05 \cdot 10^{3}\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisaika.

Järkevyys

Aikaa on kulunut vähän yli yksi puoliintumisaika, joten pitoisuuden on oltava vähän alle puolet alkuperäisestä $1200\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$:sta. Tulos on sitä.

c)

Annettu

pitoisuus $1047{,}6\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$ (b-kohta), syöty massa $m = 5{,}0\,\text{kg}$, annoskerroin $1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\tfrac{\text{Sv}}{\text{Bq}}$, keskimääräinen vuosiannos $5{,}9\,\text{mSv}$

Kysytty

efektiivinen annos $H$ ja sen osuus keskimääräisestä vuosiannoksesta

Periaate

Annoskerroin kertoo, kuinka suuren efektiivisen annoksen elimistöön joutunut becquerel aiheuttaa ennen kuin cesium poistuu elimistöstä. Syötyjen becquerelien määrä on pitoisuus kertaa massa (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa).

Kaava

$H = A_m \cdot m \cdot k_\text{annos}$, missä $A_m$ on pitoisuus ja $k_\text{annos}$ annoskerroin

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{Sv} = 1000\,\text{mSv}$.

Sijoitus

Syödään

$1047{,}6\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}} \cdot 5{,}0\,\text{kg}$
$= 5238\,\text{Bq}$

joten

$H$$= 5238\,\text{Bq} \cdot 1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\tfrac{\text{Sv}}{\text{Bq}}$
$= 6{,}81 \cdot 10^{-5}\,\text{Sv}$
$= 6{,}81 \cdot 10^{-5} \cdot 1000\,\text{mSv}$
$= 0{,}0681\,\text{mSv}$

Osuus on

$0{,}0681\,\text{mSv} : 5{,}9\,\text{mSv}$
$= 0{,}0115$
$= 1{,}15\,\%$

Vastaus

Sienestäjä saa sienistä noin $0{,}068\,\text{mSv}$:n annoksen, kaksi merkitsevää numeroa kuten massa $5{,}0\,\text{kg}$ ja annoskerroin. Se on noin $1\,\%$ suomalaisen keskimääräisestä vuosiannoksesta.

Järkevyys

Annos vastaa noin seitsemää hammasröntgenkuvaa, joista kunkin annos on noin $0{,}01\,\text{mSv}$. Se on pieni verrattuna radonin noin $3\,\text{mSv}$:n keskimääräiseen osuuteen, mikä sopii siihen, että sienet ovat Suomessa vain pieni annoksen lähde.

d)

Annettu

pitoisuus $A = 1047{,}6\,\text{Bq}$ yhdessä kilogrammassa (b-kohta), $T_{1/2} = 30{,}1\,\text{a}$, $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$, atomin massa $137\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

Kysytty

cesium-137-ytimien lukumäärä $N$ ja niiden massa $m$

Periaate

Aktiivisuus on hajoamisvakion ja jäljellä olevien ytimien lukumäärän tulo, ja hajoamisvakio saadaan puoliintumisajasta (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Becquerel on yksi hajoaminen sekunnissa, joten puoliintumisaika muunnetaan sekunneiksi.

Kaava

$A = \lambda N$ ja $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$, joten $N = \dfrac{A\,T_{1/2}}{\ln 2}$; $m = N \cdot 137\,\text{u}$

Muunnokset

$30{,}1\,\text{a}$$= 30{,}1 \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$
$= 9{,}500 \cdot 10^{8}\,\text{s}$
$137\,\text{u}$$= 137 \cdot 1{,}66 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$
$= 2{,}274 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$

ja lopuksi $1\,\text{kg} = 10^{12}\,\text{ng}$

Sijoitus

$N$$= \dfrac{1047{,}6\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 9{,}500 \cdot 10^{8}\,\text{s}}{0{,}6931}$
$= 1{,}436 \cdot 10^{12}$
$m$$= 1{,}436 \cdot 10^{12} \cdot 2{,}274 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$
$= 3{,}27 \cdot 10^{-13}\,\text{kg}$
$= 0{,}327\,\text{ng}$

Vastaus

Kilogrammassa sieniä on noin $1{,}44 \cdot 10^{12}$ cesium-137-ydintä, joiden massa on noin $0{,}327\,\text{ng}$, kolme merkitsevää numeroa kuten puoliintumisaika.

Järkevyys

Ytimiä on biljoonia, mutta massa on alle nanogramman, koska yksittäinen atomi on hyvin kevyt. Hajoamisvakio $\lambda = 7{,}30 \cdot 10^{-10}\,\tfrac{1}{\text{s}}$ on pieni, joten tuhat hajoamista sekunnissa vaatii valtavan ydinjoukon.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa beeta miinus -hajoamisessa järjestysluku pienennetään tai massaluku muutetaan, tai antineutriino unohdetaan.
  • a-kohdassa energia sijoitetaan kiloelektronivoltteina kaavaan, jossa $h$ on jouleina.
  • b-kohdassa aktiivisuus puolitetaan vain kerran, koska aikaa on ”noin yksi puoliintumisaika”, tai vähennetään lineaarisesti.
  • c-kohdassa unohdetaan kertoa massalla tai muunnetaan sievertit millisieverteiksi väärään suuntaan.
  • d-kohdassa puoliintumisaika sijoitetaan vuosina, jolloin ytimiä saadaan $3{,}2 \cdot 10^{7}$-kertaisesti liian vähän (vuoden sekuntimäärä).

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Kirjoittaa ${}^{137}_{55}\text{Cs} \to {}^{137}_{56}\text{Ba}^{\ast} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}$ ja ${}^{137}_{56}\text{Ba}^{\ast} \to {}^{137}_{56}\text{Ba} + \gamma$ niin, että massaluku ja varausluku säilyvät. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_\gamma = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten $\lambda = \dfrac{hc}{E_\gamma}$, kun $E_\gamma$ on jouleina 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\lambda \approx 1{,}87 \cdot 10^{-12}\,\text{m} = 1{,}87\,\text{pm}$ 1 p

b)4 p

Perustelee, että aktiivisuus pienenee hajoamislain mukaan, koska jokainen ydin hajoaa samalla todennäköisyydellä ja uutta cesiumia ei tule. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $A = A_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$, kun $t = 36\,\text{a}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $A = 2400\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}} \cdot \left(\tfrac12\right)^{36 : 30{,}1} = 2400\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}} \cdot 0{,}4365$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $A \approx 1050\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}}$ 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. syöty aktiivisuus $A m$ ja annos $H_\text{E} = A m \cdot k$, missä $k$ on annoskerroin 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $1048\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{kg}} \cdot 5{,}0\,\text{kg} = 5240\,\text{Bq}$ ja $5240\,\text{Bq} \cdot 1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\tfrac{\text{Sv}}{\text{Bq}} \approx 6{,}8 \cdot 10^{-5}\,\text{Sv}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $H_\text{E} \approx 0{,}068\,\text{mSv}$, kaksi merkitsevää numeroa 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Noin $1\,\%$ keskimääräisestä $5{,}9\,\text{mSv}$:stä, joten sienten osuus on pieni. 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $A = \lambda N$ ja $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$, joten $N = \dfrac{A T_{1/2}}{\ln 2}$; massa $m = N \cdot 137\,\text{u}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T_{1/2} = 9{,}50 \cdot 10^{8}\,\text{s}$, $N \approx 1{,}44 \cdot 10^{12}$ ja $m \approx 3{,}3 \cdot 10^{-13}\,\text{kg}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $N \approx 1{,}4 \cdot 10^{12}$ ja $m \approx 0{,}33\,\text{ng}$ 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

6.1-2 Vedyn viivat kaukaisessa galaksissa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Galaksi ja sen spektrin aallonpituus ovat keksitty esimerkki. Vedyn viivojen laboratorioarvot $656{,}3\,\text{nm}$ ja $486{,}1\,\text{nm}$ ovat todellisia.

Lukion tähtitieteen kurssilla tutkitaan kaukoputken spektrografilla mitattua kaukaisen galaksin spektriä. Spektrissä on tummia viivoja, joista voimakkain tunnistetaan vedyn punaiseksi viivaksi.

  • vetyatomin energiatasot $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$
  • vedyn punaisen viivan aallonpituus laboratoriossa $656{,}3\,\text{nm}$ ja syaanin viivan $486{,}1\,\text{nm}$
  • galaksin spektrissä punainen viiva on aallonpituudella $671{,}8\,\text{nm}$
  • Hubblen vakio $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$
  1. a) Vedyn punainen viiva syntyy siirtymässä tasolta $3$ tasolle $2$. Laske tasojen avulla viivan aallonpituus. 4 p
  2. b) Kuinka suurella nopeudella galaksi etääntyy meistä, ja kuinka kaukana se on? 5 p
  3. c) Millä aallonpituudella vedyn syaani viiva näkyy galaksin spektrissä? 3 p
  4. d) Selitä, miksi galaksin spektrissä vedyn viivat ovat tummia eivätkä kirkkaita. 3 p

Taidot luvuista: Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli, Spektrit paljastavat atomin energiatasot, Maailmankaikkeuden kehitys

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

$E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, siirtymä tasolta $3$ tasolle $2$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

Kysytty

viivan aallonpituus $\lambda$

Periaate

Kun elektroni siirtyy ylemmältä tasolta alemmalle, atomi lähettää fotonin, jonka energia on tasojen erotus, koska energia säilyy (luku Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli). Fotonin energiasta saadaan aallonpituus (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni).

Kaava

$E_\text{f}$$= E_3 - E_2$
$= 13{,}6\,\text{eV}\left(\tfrac{1}{2^2} - \tfrac{1}{3^2}\right)$

$E_\text{f} = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten $\lambda = \dfrac{hc}{E_3 - E_2}$

Muunnokset

$1{,}8889\,\text{eV}$$= 1{,}8889 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
$= 3{,}0260 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

ja lopuksi $1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}$

Sijoitus

$E_3 - E_2$$= 13{,}6\,\text{eV} \cdot \left(\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{9}\right)$
$= 13{,}6\,\text{eV} \cdot \tfrac{5}{36}$
$= 1{,}8889\,\text{eV}$

joten

$\lambda$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{3{,}0260 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$
$= 6{,}565 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$
$= 656{,}5\,\text{nm}$

Vastaus

$\lambda \approx 656\,\text{nm}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten $13{,}6\,\text{eV}$.

Järkevyys

Tulos poikkeaa laboratorioarvosta $656{,}3\,\text{nm}$ vain $0{,}03\,\%$, ja $1{,}9\,\text{eV}$:n fotoni on punaista valoa, kuten viivan nimi kertoo.

b)

Annettu

laboratorioarvo $\lambda_0 = 656{,}3\,\text{nm}$, havaittu $\lambda = 671{,}8\,\text{nm}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$, $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$

Kysytty

etääntymisnopeus $v$ ja etäisyys $d$

Periaate

Avaruus laajenee, ja kaukaiset galaksit etääntyvät meistä. Siksi niiden valon aallonpituus on venynyt, ja punasiirtymä $z$ kertoo, kuinka paljon. Kun $z$ on pieni, etääntymisnopeus on $v = cz$. Hubblen lain mukaan nopeus on suoraan verrannollinen etäisyyteen (luku Maailmankaikkeuden kehitys).

Kaava

$z$$= \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$

$v = cz$ ja $v = H_0 d$, joten $d = \dfrac{v}{H_0}$

Muunnokset

Aallonpituudet ovat samassa yksikössä, ja nopeudet ovat yksikössä $\tfrac{\text{km}}{\text{s}}$, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$z$$= \dfrac{671{,}8\,\text{nm} - 656{,}3\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}}$
$= \dfrac{15{,}5\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}}$
$= 0{,}02362$
$v$$= 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s} \cdot 0{,}02362$
$= 7080\,\text{km/s}$
$d$$= \dfrac{7080\,\text{km/s}}{70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}}$
$= 101{,}1\,\text{Mpc}$

Vastaus

Galaksi etääntyy nopeudella $v \approx 7080\,\text{km/s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituuksien erotus $15{,}5\,\text{nm}$. Se on noin $1{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{Mpc}$:n etäisyydellä, kaksi merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakio.

Järkevyys

Nopeus on noin $2\,\%$ valon nopeudesta, joten $v = cz$ pätee. $100\,\text{Mpc}$ on noin $330$ miljoonaa valovuotta, mikä on lähigalaksien joukkoja kauempana mutta vielä kaukoputkella helposti havaittava etäisyys.

c)

Annettu

syaanin viivan laboratorioarvo $\lambda_0 = 486{,}1\,\text{nm}$, punasiirtymä $z = 0{,}02362$ (b-kohta)

Kysytty

havaittu aallonpituus $\lambda$

Periaate

Avaruuden laajeneminen venyttää kaikkia aallonpituuksia samassa suhteessa, joten punasiirtymä on sama jokaiselle spektrin viivalle (luku Maailmankaikkeuden kehitys).

Kaava

$z$$= \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$

joten $\lambda = \lambda_0(1 + z)$

Muunnokset

Aallonpituus pysyy nanometreinä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\lambda$$= 486{,}1\,\text{nm} \cdot (1 + 0{,}02362)$
$= 497{,}58\,\text{nm}$

Vastaus

$\lambda \approx 497{,}6\,\text{nm}$

Neljä merkitsevää numeroa kuten laboratorioarvo, koska siirtymä $z$ tunnetaan kolmen numeron tarkkuudella ja se muuttaa vain viimeisiä numeroita.

Järkevyys

Siirtymä $11{,}5\,\text{nm}$ on pienempi kuin punaisen viivan $15{,}5\,\text{nm}$, koska lyhyempi aallonpituus venyy samassa suhteessa vähemmän nanometrejä. Laskettu laboratorioarvo $13{,}6\,\text{eV}\left(\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{16}\right)$ antaa $486{,}3\,\text{nm}$, joten tasot ja syaanin viiva sopivat yhteen.

d)

Kysytty

miksi vedyn viivat näkyvät galaksin spektrissä tummina

Periaate

Kuuma, tiheä kappale lähettää jatkuvan spektrin. Harva kaasu absorboi vain fotoneja, joiden energia on täsmälleen kahden energiatason erotus (luvut Spektrit paljastavat atomin energiatasot ja Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli).

Mallivastaus

Galaksin valo on sen tähtien valoa. Tähden kuuma, tiheä pinta lähettää jatkuvan spektrin, jossa on kaikkia aallonpituuksia. Valo kulkee tähden uloimpien, harvempien ja viileämpien kaasukerrosten läpi, ja niissä on vetyä. Vetyatomi absorboi fotonin vain, jos fotonin energia on täsmälleen kahden energiatason erotus, esimerkiksi $E_3 - E_2 = 1{,}89\,\text{eV}$ punaiselle viivalle. Atomi virittyy ja purkautuu pian lähettämällä samanlaisen fotonin, mutta satunnaiseen suuntaan. Siksi meidän suuntaamme tulee näillä aallonpituuksilla vähemmän valoa kuin viereisillä, ja viivat näkyvät tummina absorptioviivoina. Kirkkaita viivoja nähtäisiin, jos katsottaisiin harvaa kuumaa kaasua ilman sen takana olevaa jatkuvaa spektriä, kuten kaasupurkausputkessa.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa lasketaan yhden tason energia, esimerkiksi $|E_3| = 1{,}51\,\text{eV}$, eikä tasojen erotusta.
  • a-kohdassa elektronivoltit sijoitetaan kaavaan jouleina olevan $h$:n kanssa, jolloin aallonpituudeksi tulee noin $10^{-25}\,\text{m}$, noin $10^{19}$ kertaa liian pieni arvo.
  • b-kohdassa punasiirtymä lasketaan jakamalla havaitulla aallonpituudella tai unohdetaan jakaa, jolloin $z = 15{,}5$.
  • b-kohdassa nopeus sijoitetaan metreinä sekunnissa Hubblen lakiin, jossa $H_0$ on yksikössä $\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
  • c-kohdassa syaaniin lisätään sama $15{,}5\,\text{nm}$ kuin punaiseen viivaan, vaikka sama on suhteellinen muutos.
  • d-kohdassa viivojen sanotaan olevan tummia, koska galaksi on kaukana tai koska punasiirtymä tummentaa ne.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa suhteella $\lambda = 486{,}1\,\text{nm} \cdot \dfrac{671{,}8}{656{,}3} = 497{,}6\,\text{nm}$, koska $1 + z$ on havaitun ja laboratorioarvon suhde.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee, että fotonin energia on tasojen erotus $E_3 - E_2$, koska energia säilyy siirtymässä. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_3 - E_2 = 13{,}6\,\text{eV} \cdot \left(\tfrac14 - \tfrac19\right)$ ja $\lambda = \dfrac{hc}{E_3 - E_2}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E_3 - E_2 = 1{,}889\,\text{eV} = 3{,}026 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\lambda \approx 656\,\text{nm}$ 1 p

b)5 p

Perustelee, että viiva on siirtynyt pidempiin aallonpituuksiin, koska galaksi etääntyy avaruuden laajetessa, ja että punasiirtymä on pieni, joten $v = cz$ pätee. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $z = \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$, $v = cz$ ja $d = \dfrac{v}{H_0}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $z = \dfrac{671{,}8\,\text{nm} - 656{,}3\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}} = 0{,}0236$, $v \approx 7080\,\text{km/s}$ ja $d = \dfrac{7080\,\text{km/s}}{70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}} \approx 101\,\text{Mpc}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 7{,}1 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$ ja $d \approx 100\,\text{Mpc}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakio 1 p

c)3 p

Perustelee, että punasiirtymä $z$ on sama spektrin jokaiselle viivalle. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\lambda = \lambda_0 (1 + z)$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\lambda = 486{,}1\,\text{nm} \cdot 1{,}0236 \approx 497{,}6\,\text{nm}$ 1 p

d)3 p

Selittää, että tähtien kuuma pinta lähettää jatkuvan spektrin, ja tähtien uloimmat kaasukerrokset ovat sen ja havaitsijan välissä. 1 p
Selittää, että vetyatomit absorboivat vain fotoneja, joiden energia on täsmälleen tasojen erotus, ja lähettävät energian uudelleen kaikkiin suuntiin. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Havaitsijan suuntaan tulevasta valosta puuttuu juuri vedyn aallonpituuksia, joten viivat ovat ympäristöään tummempia. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

6.1-3 Valosähköinen ilmiö ja Planckin vakio 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Jännitteet on laskettu valosähköisestä yhtälöstä, ja niihin on lisätty mittausten kaltaista vaihtelua.

Fysiikan työssä tutkitaan valokennoa, jonka katodi on kaliumia. Kun katodia valaistaan, siitä irtoaa elektroneja, jotka kulkevat tyhjiössä anodille, ja piirissä kulkee valovirta. Anodin ja katodin väliin kytketään jännite, joka hidastaa elektroneja: anodi on katodia negatiivisempi. Jännitettä kasvatetaan, kunnes valovirta juuri lakkaa. Tätä jännitettä kutsutaan pysäytysjännitteeksi $U$. Katodia valaistiin vuorotellen eri aallonpituuksilla LED-valonlähteen ja suodattimien avulla.

$\lambda\ (\text{nm})$ $U\ (\text{V})$
$365$ $1{,}15$
$405$ $0{,}80$
$436$ $0{,}61$
$470$ $0{,}38$
$505$ $0{,}21$
$590$ ei virtaa
  • $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
  1. a) Esitä pysäytysjännite valon taajuuden funktiona kuvaajana. 4 p
  2. b) Perustele, miksi pisteisiin sopii suora, ja sovita pisteisiin suora. Jatka suoraa niin, että se leikkaa molemmat akselit. 5 p
  3. c) Määritä kuvaajasta Planckin vakio. Vertaa tulosta arvoon $6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$. 6 p
  4. d) Määritä kuvaajasta kaliumin irrotustyö elektronivoltteina ja rajataajuus. Selitä, miksi aallonpituudella $590\,\text{nm}$ valovirtaa ei synny, ja muuttuisiko tilanne, jos $590\,\text{nm}$:n valoa olisi kymmenen kertaa enemmän. 5 p

Taidot luvuista: Valosähköinen ilmiö ja fotoni, Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pysäytysjännite $U$ valon taajuuden $f$ funktiona kuvaajana

Kuvaaja

Taajuus lasketaan aallonpituudesta, $f = \tfrac{c}{\lambda}$: esimerkiksi $\tfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{365 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} = 8{,}214 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$. Taajuudet ovat $8{,}214$, $7{,}402$, $6{,}876$, $6{,}379$ ja $5{,}937$ kertaa $10^{14}\,\text{Hz}$ aallonpituuksille $365$–$505\,\text{nm}$. Vaaka-akselilla on $f\ (10^{14}\,\text{Hz})$ ja pystyakselilla $U\ (\text{V})$. Aallonpituudelle $590\,\text{nm}$ ei piirretä pistettä, koska valovirtaa ei synny lainkaan, joten pysäytysjännitettä ei ole. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi.

$6{,}0$
$7{,}0$
$8{,}0$
$0{,}4$
$0{,}8$
$1{,}2$
$f\ (10^{14}\,\text{Hz})$
$U\ (\text{V})$

Mallivastaus

Pisteet nousevat tasaisesti taajuuden kasvaessa ja asettuvat likimain samalle suoralle. Suurempi taajuus antaa suuremman pysäytysjännitteen, eli elektronit irtoavat suuremmalla liike-energialla.

b)

Kysytty

perustelu sille, että pisteisiin sopii suora, sovitettu suora ja sen jatke akseleille

Kuvaaja

Yksi fotoni luovuttaa koko energiansa $hf$ yhdelle elektronille. Osa energiasta kuluu irrotustyöhön $W$, ja nopeimmalle elektronille jää liike-energia $E_\text{k,max} = hf - W$ (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni). Kun anodi on katodia negatiivisempi, sähkökenttä jarruttaa elektronia, ja sen liike-energia muuttuu sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Virta lakkaa, kun nopeinkin elektroni pysähtyy juuri ennen anodia: $eU = E_\text{k,max}$ (luku Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä). Yhdistämällä saadaan $eU = hf - W$ eli $U = \tfrac{h}{e}\,f - \tfrac{W}{e}$, joten $U$ on taajuuden lineaarinen funktio, jonka kulmakerroin on $\tfrac{h}{e}$ ja vakiotermi $-\tfrac{W}{e}$. Suora sovitetaan pisteiden lomitse ja jatketaan katkoviivana pystyakselille asti, koska vakiotermi tarvitaan irrotustyön määrittämiseen (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

$-2$
$-1$
$0$
$1$
$f\ (10^{14}\,\text{Hz})$
$U\ (\text{V})$
$2$
$4$
$6$
$8$
$f_0 \approx 5{,}43 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$
$-\tfrac{W}{e} \approx -2{,}24\,\text{V}$
$k = \tfrac{h}{e}$

Mallivastaus

Mallin $U = \tfrac{h}{e}\,f - \tfrac{W}{e}$ mukaan pisteiden pitää olla suoralla, ja ne ovatkin noin $0{,}01\,\text{V}$:n tarkkuudella samalla suoralla. Sovitettu suora leikkaa pystyakselin noin kohdassa $-2{,}24\,\text{V}$ ja vaaka-akselin noin kohdassa $5{,}43 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$. Suoran jatke negatiivisiin jännitteisiin on vain matemaattinen apu: rajataajuutta pienemmillä taajuuksilla elektroneja ei irtoa lainkaan.

c)

Annettu

b-kohdan sovitettu suora, $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$

Kysytty

Planckin vakio $h$ ja sen vertailu arvoon $6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$

Periaate

Mallin $U = \tfrac{h}{e}\,f - \tfrac{W}{e}$ mukaan suoran kulmakerroin on $k = \tfrac{h}{e}$. Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta sovitetun suoran pisteestä eikä mittauspisteistä (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet $(0$; $-2{,}24\,\text{V})$ ja $(8{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$; $1{,}06\,\text{V})$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta U}{\Delta f}$ ja $k = \dfrac{h}{e}$, joten $h = ek$

Muunnokset

$1\,\text{C} \cdot 1\,\text{V} \cdot 1\,\text{s} = 1\,\text{J}\,\text{s}$, koska $1\,\text{V} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{C}}$ ja $\tfrac{1}{\text{Hz}} = 1\,\text{s}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{1{,}06\,\text{V} - (-2{,}24\,\text{V})}{8{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz} - 0}$
$= \dfrac{3{,}30\,\text{V}}{8{,}0 \cdot 10^{14}\,\tfrac{1}{\text{s}}}$
$= 4{,}125 \cdot 10^{-15}\,\text{V}\,\text{s}$

joten

$h$$= 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 4{,}125 \cdot 10^{-15}\,\text{V}\,\text{s}$
$= 6{,}608 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$

Vastaus

$h \approx 6{,}61 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$

Kolme merkitsevää numeroa, koska jännitteet luetaan kuvaajalta noin sadasosavoltin tarkkuudella. Tulos on $0{,}3\,\%$ pienempi kuin taulukkoarvo $6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$.

Järkevyys

Ero on paljon pienempi kuin lukemisen epävarmuus, noin $1\,\%$, joten mittaus tukee mallia. Kulmakerroin ei riipu katodin aineesta, joten mikä tahansa metalli antaisi saman $h$:n.

d)

Annettu

b-kohdan suora, joka leikkaa pystyakselin kohdassa $-2{,}24\,\text{V}$, kulmakerroin $k = 4{,}125 \cdot 10^{-15}\,\text{V}\,\text{s}$ (c-kohta), $\lambda = 590\,\text{nm}$

Kysytty

irrotustyö $W$ elektronivoltteina, rajataajuus $f_0$ ja selitys aallonpituuden $590\,\text{nm}$ tulokselle

Periaate

Suoran vakiotermi on $-\tfrac{W}{e}$, joten irrotustyö elektronivoltteina on vakiotermin itseisarvo. Rajataajuudella fotonin energia riittää juuri irrotustyöhön, ja $U = 0$, joten se on suoran ja vaaka-akselin leikkauskohta. Valon intensiteetti muuttaa vain fotonien määrää, ei yhden fotonin energiaa (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni).

Kuvaajan lukeminen

Suora leikkaa pystyakselin kohdassa $-2{,}24\,\text{V}$ ja vaaka-akselin noin kohdassa $5{,}43 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$.

Kaava

$-\dfrac{W}{e} = -2{,}24\,\text{V}$, joten $W = e \cdot 2{,}24\,\text{V}$; $hf_0 = W$, joten $f_0 = \dfrac{W}{h} = \dfrac{W/e}{k}$; $f = \dfrac{c}{\lambda}$ ja $E = hf$

Muunnokset

$e \cdot 1\,\text{V} = 1\,\text{eV}$, joten $W = 2{,}24\,\text{eV}$ suoraan. Aallonpituus $590\,\text{nm} = 590 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$, ja energia muunnetaan elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$.

Sijoitus

$W$$= 2{,}24\,\text{eV}$
$f_0$$= \dfrac{2{,}24\,\text{V}}{4{,}125 \cdot 10^{-15}\,\text{V}\,\text{s}}$
$= 5{,}43 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$

Aallonpituudella $590\,\text{nm}$:

$f$$= \dfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{590 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$
$= 5{,}08 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$
$E$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 5{,}08 \cdot 10^{14}\,\tfrac{1}{\text{s}}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}}$
$= 2{,}10\,\text{eV}$

Vastaus

Kaliumin irrotustyö on $W \approx 2{,}24\,\text{eV}$ ja rajataajuus $f_0 \approx 5{,}43 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$, kolme merkitsevää numeroa kuvaajan lukutarkkuuden mukaan. Aallonpituuden $590\,\text{nm}$ valon taajuus $5{,}08 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ on rajataajuutta pienempi, eli yhden fotonin energia $2{,}10\,\text{eV}$ ei riitä irrottamaan elektronia. Kymmenkertainen valomäärä tarkoittaa kymmenkertaista määrää samanlaisia fotoneja. Yksi fotoni luovuttaa energiansa yhdelle elektronille, joten elektroneja ei irtoa edelleenkään, eikä valovirtaa synny.

Järkevyys

Rajataajuutta vastaa aallonpituus $\tfrac{c}{f_0} \approx 552\,\text{nm}$, vihreää valoa, joten keltainen $590\,\text{nm}$:n valo on rajan väärällä puolella ja kaikki mitatut violetit ja siniset aallonpituudet oikealla puolella, kuten taulukossa. Alkalimetallien irrotustyöt ovat noin $2\,\text{eV}$, joten tulos on uskottava.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa vaaka-akselille piirretään aallonpituus, jolloin pisteet eivät ole suoralla, tai pisteet yhdistetään murtoviivaksi.
  • a-kohdassa aallonpituudelle $590\,\text{nm}$ piirretään piste $U = 0$, vaikka virtaa ei synny lainkaan.
  • b-kohdassa suora pakotetaan origon kautta, jolloin irrotustyötä ei voi määrittää.
  • c-kohdassa kulmakerroin luetaan kahdesta mittauspisteestä eikä sovitetusta suorasta, tai $10^{14}$ unohdetaan, jolloin $h \approx 6{,}6 \cdot 10^{-20}\,\text{J}\,\text{s}$.
  • d-kohdassa irrotustyö ilmoitetaan negatiivisena tai jouleina, vaikka kysytään elektronivoltteja.
  • d-kohdassa väitetään, että kirkkaampi valo irrottaa elektroneja, koska energiaa on enemmän.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa laskimen tai taulukkolaskennan sovitus: $k = 4{,}13 \cdot 10^{-15}\,\text{V}\,\text{s}$, $h = 6{,}61 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ ja vakiotermi $-2{,}24\,\text{V}$.
  • d-kohdassa rajataajuus suoran yhtälöstä $f_0 = \tfrac{W}{h}$ c-kohdan arvolla tai suoraan vaaka-akselin leikkauskohdasta.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Taajuudet $f = \dfrac{c}{\lambda}$: $8{,}21$, $7{,}40$, $6{,}88$, $6{,}38$ ja $5{,}94$ yksikössä $10^{14}\,\text{Hz}$ 2 p
Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $f\ (10^{14}\,\text{Hz})$, pystyakselilla $U\ (\text{V})$; akselit nimetty ja yksiköt merkitty. 1 p
Ei piirrä pistettä aallonpituudelle $590\,\text{nm}$, koska siinä valovirtaa ei synny, eikä yhdistä pisteitä murtoviivaksi. 1 p

b)5 p

Perustelee energian säilymisellä: nopeimman elektronin liike-energia $E_\text{k,max}$ kuluu kokonaan sähkökentän tekemään jarruttavaan työhön, joten $eU = E_\text{k,max}$. 2 p
Yhdistää valosähköiseen yhtälöön: $eU = hf - W$, joten $U = \dfrac{h}{e}\,f - \dfrac{W}{e}$ on suoran yhtälö. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi suora pisteiden lomitse, jatkettuna katkoviivana pystyakselille ja vaaka-akselille. 2 p

c)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(0$; $-2{,}24\,\text{V})$ ja $(8{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$; $1{,}06\,\text{V})$: $k \approx 4{,}13 \cdot 10^{-15}\,\text{V}\,\text{s}$ 2 p
Tulkitsee kulmakertoimen: $k = \dfrac{h}{e}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $h = ek$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $h \approx 6{,}6 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$; tulokset $6{,}4$–$6{,}8 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ hyväksytään; $\text{C} \cdot \text{V}\,\text{s} = \text{J}\,\text{s}$. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Vertaa eroa taulukkoarvoon $6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ ja arvioi, onko se kuvaajan lukutarkkuuden rajoissa. 1 p

d)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Suora leikkaa pystyakselin kohdassa $-\tfrac{W}{e} \approx -2{,}24\,\text{V}$ ja vaaka-akselin kohdassa $f_0 \approx 5{,}43 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $W = e \cdot 2{,}24\,\text{V} = 2{,}24\,\text{eV}$, ja $f_0 = \dfrac{W}{h}$ tarkistuksena 1 p
Laskee, että $590\,\text{nm}$:n taajuus $5{,}08 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ on rajataajuutta pienempi, eli fotonin energia $2{,}10\,\text{eV}$ on irrotustyötä pienempi. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kirkkaampi valo tuo enemmän fotoneja mutta ei energisempiä, joten elektroneja ei irtoa vieläkään. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

6.1-4 Radon taloyhtiön kokouksessa 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Kokous ja mittaustulos ovat keksitty esimerkki. Asuntojen radonpitoisuuden viitearvo $300\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{m}^3}$ on Suomen säteilylain mukainen.

Hyvinkääläisen rivitaloyhtiön asunnoissa mitattiin talvella radonpitoisuus kahden kuukauden ajan. Yhden asunnon tulos oli $450\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{m}^3}$. Asukaskokouksessa esitettiin kolme väitettä.

  1. ”Radonin alfasäteily pysähtyy jo paperiin ja ihon pintaan, joten se ei voi olla vaarallista.”
  2. ”Radonin puoliintumisaika on vain $3{,}8$ vuorokautta. Kun pidämme ikkunat kuukauden tiiviisti kiinni, radon häviää itsestään.”
  3. ”Naapuri kävi hammasröntgenissä. Nyt hänkin on radioaktiivinen, joten lasten ei kannata olla hänen lähellään.”

Asuntojen radonpitoisuuden viitearvo on $300\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{m}^3}$. Radon-222 syntyy maaperän ja kallion uraanin hajoamissarjassa radiumista.

  1. a) Arvioi väite 1. Selitä, miten radon aiheuttaa säteilyannoksen. 5 p
  2. b) Arvioi väite 2. Kuinka suuri osa huoneessa olevista radonytimistä on mallin mukaan hajoamatta kuukauden kuluttua, ja häviääkö radon silti asunnosta? 5 p
  3. c) Arvioi väite 3. 5 p

Taidot luvuista: Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa, Ionisoiva säteily ja elimistö, Hajoamislaki ja puoliintumisaika, Säteily lääketieteessä ja teknologiassa

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

pitääkö väite 1 paikkansa ja miten radon aiheuttaa säteilyannoksen

Periaate

Alfahiukkanen on raskas ja kaksinkertaisesti varattu, joten se ionisoi tiheästi ja menettää energiansa lyhyellä matkalla: ilmassa muutamassa senttimetrissä ja kudoksessa alle kymmenesosamillimetrissä. Ulkopuolinen alfasäteily pysähtyy ihon kuolleeseen pintakerrokseen, mutta elimistön sisällä alfahiukkanen osuu suoraan eläviin soluihin. Siksi sen säteilyn painotuskerroin on $20$ (luku Ionisoiva säteily ja elimistö). Radon on kaasu, ja sen lyhytikäiset hajoamistuotteet ovat kiinteitä aineita, jotka tarttuvat ilman pölyhiukkasiin (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa).

Mallivastaus

Väitteen ensimmäinen osa pitää paikkansa: radonin alfasäteily ei läpäise paperia eikä ihoa, joten huoneen ilmassa oleva radon ei säteilytä ihoa vaarallisesti ulkopuolelta. Johtopäätös on silti väärä. Radon ja sen hajoamistuotteet, poloniumin, lyijyn ja vismutin isotoopit, hengitetään keuhkoihin, ja hajoamistuotteet tarttuvat keuhkoputkien pintaan. Siellä niiden alfahiukkaset osuvat suoraan keuhkojen soluihin. Alfahiukkanen luovuttaa koko energiansa, useita megaelektronivoltteja, muutaman solun matkalle ja voi katkaista DNA:n molemmat juosteet. Siksi saman absorboituneen annoksen ekvivalenttiannos on $20$-kertainen fotonisäteilyyn verrattuna. Radon on Suomessa suurin yksittäinen säteilyannoksen lähde ja tupakoinnin jälkeen yleisin keuhkosyövän aiheuttaja. Asunnon $450\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{m}^3}$ ylittää viitearvon $300\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{m}^3}$ $1{,}5$-kertaisesti, joten korjaustoimet kannattavat.

b)

Kysytty

pitääkö väite 2 paikkansa, kuinka suuri osa radonytimistä on hajoamatta kuukauden kuluttua ja häviääkö radon

Periaate

Suuri joukko radonytimiä hajoaa hajoamislain mukaan, ja jäljellä oleva osuus on $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Laki koskee vain ytimiä, jotka ovat huoneessa alussa. Uusia radonytimiä syntyy jatkuvasti maaperän uraanin hajoamissarjassa radiumista, ja niitä virtaa sisään perustusten raoista (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa).

Mallivastaus

Kuukaudessa, $30\,\text{vrk}$, on $\tfrac{30\,\text{vrk}}{3{,}8\,\text{vrk}} = 7{,}89$ puoliintumisaikaa, joten huoneessa alussa olleista radonytimistä on jäljellä $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{7{,}89} = 0{,}0042$, eli noin $0{,}4\,\%$. Laskelma on oikein, mutta väite on silti väärä. Radonin emoaine radium-226, jonka puoliintumisaika on noin $1600$ vuotta, ja hajoamissarjan alku uraani-238 ovat maaperässä ja kalliossa, joten radonia syntyy koko ajan uudelleen. Kun lämmin sisäilma nousee ylös ja poistuu, talon alaosaan syntyy alipaine, joka imee maaperän radonpitoista ilmaa perustusten raoista sisään. Kun ikkunat ovat kiinni, radonia hajoaa ja tulee sisään yhtä paljon, ja pitoisuus asettuu korkealle tasolle. Tiiviisti suljetussa asunnossa pitoisuus yleensä kasvaa, koska ilma vaihtuu vähemmän. Pitoisuutta pienennetään tehostamalla ilmanvaihtoa, tiivistämällä perustusten raot ja asentamalla radonimuri, joka imee ilman talon alta ulos.

c)

Kysytty

pitääkö väite 3 paikkansa

Periaate

Radioaktiivisuus on epävakaiden ytimien ominaisuus: ydin hajoaa ja lähettää säteilyä. Röntgensäteily on fotonisäteilyä, joka syntyy röntgenputkessa vain, kun putkessa on jännite (luku Säteily lääketieteessä ja teknologiassa). Röntgenfotonin energia, noin $60\,\text{keV}$, riittää ionisoimaan atomeja, mutta on liian pieni muuttamaan ytimiä (luku Ionisoiva säteily ja elimistö).

Mallivastaus

Väite on väärä. Hammasröntgenissä naapuria säteilytettiin hetken ulkoisella röntgensäteilyllä. Jokainen fotoni joko kulki kudoksen läpi kuvalevylle tai absorboitui ja ionisoi atomin kuvauksen aikana. Fotoneja ei jää elimistöön, eikä niiden energia, noin $60\,\text{keV}$, riitä muuttamaan atomiytimiä epävakaiksi, sillä ytimen hiukkasten sidosenergiat ovat megaelektronivolttien luokkaa. Kun laite sammuu, säteilyä ei enää ole, ja naapuri on säteilyn kannalta täsmälleen samanlainen kuin ennen. Ihminen voi olla hetkellisesti säteilylähde vain, jos hänen elimistöönsä viedään radioaktiivista ainetta, kuten isotooppitutkimuksen merkkiainetta tai kilpirauhasen jodihoidossa. Silloin ohjeet annetaan sairaalassa. Lasten ei siis tarvitse välttää naapuria. Hammasröntgenkuvan annos, noin $0{,}01\,\text{mSv}$, on lisäksi pieni verrattuna asunnon radonin annokseen.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa alfasäteilyn sanotaan olevan vaaratonta tai vaarallista ilman, että erotetaan ulkoinen säteily ja hengitetyt hajoamistuotteet.
  • b-kohdassa lasketaan, että kuukaudessa puolittuu kerran tai että $2 \cdot 3{,}8\,\text{vrk}$:ssa kaikki hajoaa.
  • b-kohdassa todetaan, että radon häviää, koska laskelma antaa alle $1\,\%$, eikä huomata, että radonia syntyy koko ajan lisää.
  • c-kohdassa sekoitetaan säteily ja radioaktiivinen aine tai väitetään, että röntgensäteily ”jää kehoon”.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Toteaa, että alfasäteily ei läpäise ihoa, joten ulkoinen alfasäteily ei ole vaarallista; väitteen perustelu pitää siltä osin paikkansa. 1 p
Selittää, että radon ja sen hajoamistuotteet hengitetään keuhkoihin, jolloin alfasäteily osuu suoraan keuhkojen soluihin. 2 p
Perustelee vaarallisuuden: alfahiukkanen ionisoi tiheästi ja luovuttaa energiansa muutaman solun matkalle, ja sen painotuskerroin on $20$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: radon on suomalaisten suurin säteilyannoksen lähde, ja $450\,\tfrac{\text{Bq}}{\text{m}^3}$ on $1{,}5$-kertainen viitearvoon nähden, joten pitoisuutta kannattaa pienentää. 1 p

b)5 p

Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\left(\tfrac12\right)^{30 : 3{,}8} \approx 0{,}004$ eli noin $0{,}4\,\%$ alkuperäisistä radonytimistä 1 p
Toteaa, että laskelma pätee vain ytimiin, jotka olivat huoneessa alussa. 1 p
Selittää, että maaperän uraanin hajoamissarja tuottaa radonia jatkuvasti, ja sitä virtaa sisään perustusten raoista, kun sisällä on alipainetta. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: kun ikkunat ja ilmanvaihto suljetaan, uutta radonia tulee yhtä paljon kuin ennen mutta sitä poistuu vähemmän, joten pitoisuus kasvaa. Pitoisuutta pienennetään ilmanvaihdolla ja tiivistämällä rakenteet. 1 p

c)5 p

Selittää, että röntgensäteily on fotonisäteilyä, joka joko kulkee kudoksen läpi tai absorboituu ja ionisoi atomeja kuvauksen aikana. 1 p
Perustelee, että radioaktiivisuus on epävakaiden ytimien ominaisuus, ja röntgenfotonin energia, noin $60\,\text{keV}$, ionisoi atomeja mutta ei muuta ytimiä. 2 p
Erottaa ulkoisen säteilytyksen ja radioaktiivisen aineen joutumisen elimistöön: vain jälkimmäinen tekee ihmisestä säteilylähteen, kuten isotooppitutkimuksen merkkiaine hetkellisesti. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite on väärä: kun röntgenlaite sammuu, säteilyä ei enää ole, eikä naapurista tule säteilyä lapsiin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

6.1-5 Barium-137m:n puoliintumisaika 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja mittaukset ovat keksitty esimerkki. Lukemat on laskettu puoliintumisajalla $153\,\text{s}$ ja taustalla $5$ pulssia $10\,\text{s}$:ssa, ja niihin on lisätty hajoamisen satunnaisuuden kaltaista vaihtelua.

Opiskelijaryhmä mittasi barium-137m:n puoliintumisajan. Bariumliuos huuhdeltiin isotooppigeneraattorista näytemaljaan, ja malja asetettiin GM-putken alle. Pulssit laskettiin $10\,\text{s}$:n jaksoissa $30\,\text{s}$:n välein. Ennen mittausta taustasäteilyä mitattiin kerran $10\,\text{s}$, jolloin saatiin $5$ pulssia.

$t\ (\text{s})$ pulssia $/\ 10\,\text{s}$
$0$ $398$
$30$ $361$
$60$ $304$
$90$ $276$
$120$ $231$
$150$ $212$
$180$ $188$
$210$ $163$
$240$ $136$
$270$ $127$
$300$ $104$

Ryhmän johtopäätös: ”Alussa pulsseja oli $398$, ja puolet siitä, $199$, saavutettiin noin $166\,\text{s}$:n kohdalla. Puoliintumisaika on siis $166\,\text{s}$, mikä on $8\,\%$ enemmän kuin kirjan arvo $153\,\text{s}$. Ero johtuu siitä, että liuos ehti seistä maljassa noin minuutin ennen mittausta, joten jäljelle jääneet ytimet olivat vanhempia ja hajosivat hitaammin. Taustaa ei tarvinnut vähentää, koska se oli vain $5$ pulssia.”

  1. a) Määritä puoliintumisaika aineistosta niin, että taustasäteily otetaan huomioon. 5 p
  2. b) Arvioi ryhmän johtopäätös. 5 p
  3. c) Suunnittele, miten mittausta ja tulosten käsittelyä parannetaan. 5 p

Taidot luvuista: Hajoamislaki ja puoliintumisaika, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

pulssimäärät $10\,\text{s}$:n jaksoissa ajanhetkillä $0$–$300\,\text{s}$, alussa $398$ ja lopussa $104$, tausta $5$ pulssia $10\,\text{s}$:ssa

Kysytty

puoliintumisaika $T_{1/2}$ taustasäteily huomioon ottaen

Periaate

GM-putki laskee sekä näytteen että taustasäteilyn pulssit, joten näytteen osuus saadaan vähentämällä tausta jokaisesta lukemasta. Näytteen pulssimäärä on verrannollinen aktiivisuuteen, ja aktiivisuus pienenee hajoamislain mukaan (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). Kaukana toisistaan olevat pisteet antavat vähiten herkän arvion.

Kaava

$N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$, joten

$\dfrac{N_0}{N}$$= 2^{t/T_{1/2}}$
$T_{1/2}$$= \dfrac{t \ln 2}{\ln \tfrac{N_0}{N}}$

Muunnokset

Kaikki pulssimäärät ovat samassa yksikössä, pulssia $10\,\text{s}$:ssa, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

Taustan jälkeen $N_0 = 398 - 5 = 393$ ja $N = 104 - 5 = 99$ ajassa $t = 300\,\text{s}$, joten

$T_{1/2}$$= \dfrac{300\,\text{s} \cdot 0{,}6931}{\ln \tfrac{393}{99}}$
$= \dfrac{207{,}9\,\text{s}}{1{,}3787}$
$= 150{,}8\,\text{s}$

Vastaus

$T_{1/2} \approx 151\,\text{s}$

Kolme merkitsevää numeroa, mutta laskentojen satunnaisvaihtelu, noin $\sqrt{100} = 10$ pulssia lopussa, tekee viimeisestä numerosta epävarman. Taustan vähentäminen muuttaa tulosta $155\,\text{s}$:sta $151\,\text{s}$:iin.

Järkevyys

Tulos poikkeaa kirjan arvosta $153\,\text{s}$ vain $1{,}4\,\%$. Kun kaikkiin pisteisiin sovitetaan suora $(t, \ln N)$-koordinaatistossa, saadaan $153\,\text{s}$, joten arvio on oikeaa luokkaa.

b)

Kysytty

ryhmän johtopäätöksen arvio

Periaate

Ytimellä ei ole muistia eikä ikää: jokainen barium-137m-ydin hajoaa samalla todennäköisyydellä sekunnissa riippumatta siitä, kuinka kauan se on ollut olemassa (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika). GM-putken pulssimäärä vaihtelee satunnaisesti noin $\sqrt{N}$:n verran (luku Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Ryhmän selitys on väärä. Minuutin seisominen pienentää näytteen aktiivisuutta, mutta ei muuta puoliintumisaikaa, koska jäljellä olevat ytimet hajoavat täsmälleen samalla todennäköisyydellä kuin aiemmin. Ero johtuu menetelmästä. Ryhmä luki puoliintumisajan yhden pisteparin väliltä, ja yksittäinen lukema vaihtelee satunnaisesti: $212$ pulssin lukeman epävarmuus on noin $\sqrt{212} \approx 15$ pulssia eli $7\,\%$. Kohdan $150\,\text{s}$ lukema on sattumalta suuri, mikä siirtää lukemaa myöhemmäksi. Myös taustan sivuuttaminen oli virhe. Alussa tausta on vain $1\,\%$ lukemasta, mutta lopussa jo $5\,\%$, ja vähentämättä jätetty tausta hidastaa näennäisesti vähenemistä ja pidentää puoliintumisaikaa. Lisäksi taustaa mitattiin vain kerran $10\,\text{s}$, joten sen arvo $5 \pm 2$ on hyvin epätarkka. Johtopäätös ”$166\,\text{s}$” ei siis ole luotettava. Kaikista pisteistä taustan vähentämisen jälkeen saadaan noin $151$–$153\,\text{s}$, mikä vastaa kirjan arvoa.

c)

Kysytty

miten mittausta ja tulosten käsittelyä parannetaan

Periaate

Satunnaisvirhe pienenee, kun pulsseja lasketaan enemmän tai mittaus toistetaan, ja systemaattinen virhe poistetaan korjaamalla sen syy. Kaikki mittauspisteet otetaan käyttöön sovittamalla malli (luvut Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi ja Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Mallivastaus

Taustaa mitataan ennen mittausta ja sen jälkeen pitkään, esimerkiksi $10\,\text{min}$, jolloin pulsseja kertyy noin $300$ ja taustan epävarmuus on noin $6\,\%$ eikä $45\,\%$. Tausta muunnetaan samaan yksikköön, pulssia $10\,\text{s}$:ssa, ja vähennetään jokaisesta lukemasta. Laskenta-aikaa voi pidentää esimerkiksi $20\,\text{s}$:iin ja mitata tiheämmin, jolloin yksittäisen lukeman suhteellinen epävarmuus pienenee. Kaikki pisteet käytetään: piirretään $\ln(N - N_\text{tausta})$ ajan funktiona, ja suoran kulmakerroin on $-\tfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$, tai sovitetaan laskimella malli $N = A\,e^{-Ct} + B$, jossa vakio $B$ on tausta. Mittaus toistetaan uudella näytteellä, ja tuloksia verrataan, jolloin nähdään hajonta. Näytteen etäisyys GM-putkesta pidetään koko ajan samana. Ilmoitetaan tulos epävarmuuksineen, esimerkiksi $T_{1/2} = (152 \pm 4)\,\text{s}$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa taustaa ei vähennetä tai se vähennetään vain alkulukemasta.
  • a-kohdassa puoliintumisaika luetaan suoraan lineaarisella interpoloinnilla, ikään kuin väheneminen olisi tasaista.
  • b-kohdassa hyväksytään ryhmän selitys ”vanhemmista ytimistä” tai arvioidaan vain laskuvirheitä mainitsematta satunnaisvaihtelua.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain ”tarkempaa mittaria” kertomatta, mikä mittauksessa muuttuu ja miksi.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa kaikkien pisteiden sovitus laskimella tai kuvaajasta: $T_{1/2} \approx 153\,\text{s}$.
  • a-kohdassa jokin muu kaukana toisistaan oleva pistepari taustan vähentämisen jälkeen, kunhan tulos on välillä $145$–$157\,\text{s}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Vähentää taustan jokaisesta lukemasta ennen laskemista: alussa $393$ ja lopussa $99$ pulssia $10\,\text{s}$:ssa. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $N = N_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$, joten $T_{1/2} = \dfrac{t \ln 2}{\ln (N_0 : N)}$, tai sovitus $y = A\,e^{-Ct} + B$ ja $T_{1/2} = \tfrac{\ln 2}{C}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T_{1/2} = \dfrac{300\,\text{s} \cdot 0{,}693}{\ln (393 : 99)} \approx 151\,\text{s}$ tai sovituksella noin $153\,\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $T_{1/2} \approx 150\,\text{s}$; tulokset $145$–$157\,\text{s}$ hyväksytään. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Tulos on muutaman prosentin päässä kirjan arvosta $153\,\text{s}$. 1 p

b)5 p

Toteaa, että selitys on väärä: ytimellä ei ole ikää, vaan jokaisella barium-137m-ytimellä on sama hajoamistodennäköisyys sekunnissa, joten seisominen ei muuta puoliintumisaikaa. 2 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Puoliintumisaika luettiin vain yhdestä lukemasta ja interpoloimalla kahden pisteen väliltä, joten hajoamisen satunnainen vaihtelu yhdessä lukemassa vaikuttaa siihen suoraan. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Toteaa, että tausta olisi pitänyt vähentää: kerran mitattu tausta on epävarma, ja sen osuus kasvaa lopussa: $5$ pulssia on noin $5\,\%$ lukemasta $104$. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero $166\,\text{s}$ vastaan $153\,\text{s}$ johtuu mittaus- ja lukutavasta, ei näytteestä; koko aineisto antaa noin $151$–$153\,\text{s}$. 1 p

c)5 p

Mittaa taustan pitkään, esimerkiksi $10\,\text{min}$, ennen mittausta tai sen jälkeen ja vähentää sen jokaisesta lukemasta samassa yksikössä. 1 p
Käyttää kaikkia mittauspisteitä: sovittaa pisteisiin mallin $y = A\,e^{-Ct} + B$ tai piirtää kuvaajan ja määrittää puoliintumisajan sovitetusta käyrästä. 2 p
Pidentää laskenta-aikaa tai toistaa koko mittauksen uudella näytteellä ja vertaa tuloksia, jotta satunnainen vaihtelu pienenee ja hajonta nähdään. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Arvioi tuloksen epävarmuuden toistojen hajonnasta tai sovituksen avulla ennen kuin vertaa kirjan arvoon. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (13 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

6.1-6 Ydinvoimalasta sähköä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Voimalan tehot ovat keksitty esimerkki, joka on suuren painevesilaitoksen kokoluokkaa. Kivihiilen lämpöarvo $24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$ on tyypillinen arvo.

Suomalaisen painevesireaktorilla toimivan ydinvoimalaitoksen sähköteho on $1600\,\text{MW}$, kun reaktorin lämpöteho on $4300\,\text{MW}$. Lauhduttimessa turbiinin höyry tiivistyy, ja jäähdytykseen pumpataan merivettä, joka lämpenee $11\,\text{K}$. Oletetaan, että voimala toimii koko vuoden täydellä teholla.

  • yksi uraani-235:n fissio vapauttaa keskimäärin $200\,\text{MeV}$
  • uraani-235-atomin massa $235\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$
  • meriveden ominaislämpökapasiteetti $4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$
  • $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
  • kivihiilen lämpöarvo $24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, hiilivoimalan hyötysuhde $40\,\%$
  • oletetaan, että kaikki lämpö, josta ei tule sähköä, siirtyy lauhduttimessa meriveteen
  1. a) Kuinka suuri on voimalan hyötysuhde, ja kuinka monta fissiota reaktorissa tapahtuu sekunnissa? 4 p
  2. b) Kuinka monta kilogrammaa uraani-235:tä fissioituu vuodessa? Kuinka paljon massaa muuttuu samassa ajassa energiaksi? 4 p
  3. c) Kuinka monta kilogrammaa merivettä lauhduttimen läpi on pumpattava sekunnissa? 4 p
  4. d) Kuinka monta tonnia kivihiiltä hiilivoimala polttaisi vuodessa, jos se tuottaisi saman sähköenergian? 3 p

Taidot luvuista: Fissio, fuusio ja ydinvoima, Massavaje ja ytimen sidosenergia, Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde, Polttoaineet ja lämpöarvo $E = Hm$

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

sähköteho $P_\text{s} = 1600\,\text{MW}$, lämpöteho $P_\text{l} = 4300\,\text{MW}$, energia fissiota kohden $E_\text{f} = 200\,\text{MeV}$

Kysytty

hyötysuhde $\eta$ ja fissioiden määrä sekunnissa $n$

Periaate

Hyötysuhde on hyödyllisen tehon ja käytetyn tehon suhde (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde). Reaktorin lämpöteho on yhden fission energia kertaa fissioiden määrä sekunnissa (luku Fissio, fuusio ja ydinvoima).

Kaava

$\eta = \dfrac{P_\text{s}}{P_\text{l}}$ ja $P_\text{l} = nE_\text{f}$, joten $n = \dfrac{P_\text{l}}{E_\text{f}}$

Muunnokset

$200\,\text{MeV}$$= 200 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
$= 3{,}204 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$

$4300\,\text{MW} = 4300 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

Sijoitus

$\eta$$= \dfrac{1600\,\text{MW}}{4300\,\text{MW}}$
$= 0{,}3721$
$= 37{,}21\,\%$
$n$$= \dfrac{4300 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}}{3{,}204 \cdot 10^{-11}\,\text{J}}$
$= 1{,}342 \cdot 10^{20}\,\tfrac{1}{\text{s}}$

Vastaus

Hyötysuhde on $\eta \approx 37{,}2\,\%$, ja reaktorissa tapahtuu noin $1{,}34 \cdot 10^{20}$ fissiota sekunnissa, kolme merkitsevää numeroa kuten tehot.

Järkevyys

Höyryturbiinilla toimivan lämpövoimalan hyötysuhde on tyypillisesti $30$–$40\,\%$. Fissioita on valtavasti, koska yksi fissio vapauttaa vain noin $3 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$.

b)

Annettu

$n = 1{,}342 \cdot 10^{20}\,\tfrac{1}{\text{s}}$ (a-kohta), $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$, uraani-235-atomin massa $235\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, $P_\text{l} = 4300\,\text{MW}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

Kysytty

vuodessa fissioituvan uraani-235:n massa $m$ ja energiaksi muuttuva massa $\Delta m$

Periaate

Jokainen fissio kuluttaa yhden uraani-235-ytimen. Vapautuva energia vastaa massavajetta: reaktiotuotteiden massa on pienempi kuin lähtöaineiden (luvut Massavaje ja ytimen sidosenergia ja Fissio, fuusio ja ydinvoima).

Kaava

$m = nt \cdot 235\,\text{u}$ ja $E = \Delta m\,c^2$, joten $\Delta m = \dfrac{P_\text{l}t}{c^2}$

Muunnokset

$235\,\text{u}$$= 235 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$
$= 3{,}903 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$

Sijoitus

$nt$$= 1{,}342 \cdot 10^{20}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$
$= 4{,}236 \cdot 10^{27}$

joten

$m$$= 4{,}236 \cdot 10^{27} \cdot 3{,}903 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$
$= 1653\,\text{kg}$
$\Delta m$$= \dfrac{4300 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}} \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}}{(2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2}$
$= \dfrac{1{,}357 \cdot 10^{17}\,\text{J}}{8{,}988 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$
$= 1{,}51\,\text{kg}$

Vastaus

Uraani-235:tä fissioituu vuodessa noin $1650\,\text{kg}$, ja massaa muuttuu energiaksi noin $1{,}51\,\text{kg}$, kolme merkitsevää numeroa kuten tehot.

Järkevyys

Energiaksi muuttuu vain $1{,}51 : 1653 \approx 0{,}09\,\%$ uraanin massasta, mikä on sama kuin $200\,\text{MeV}$ jaettuna uraaniatomin lepoenergialla $235 \cdot 931{,}5\,\text{MeV}$. Loput massasta jää fissiotuotteiksi ja neutroneiksi, koska nukleonien määrä säilyy.

c)

Annettu

$P_\text{l} = 4300\,\text{MW}$, $P_\text{s} = 1600\,\text{MW}$, meriveden ominaislämpökapasiteetti $c_\text{v} = 4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$, lämpeneminen $\Delta T = 11\,\text{K}$

Kysytty

meriveden massavirta $\tfrac{m}{t}$

Periaate

Energia säilyy: reaktorin lämpötehosta se osa, josta ei tule sähköä, siirtyy lauhduttimessa meriveteen (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde). Veden lämpenemiseen tarvittava lämpö on $Q = c_\text{v}m\Delta T$ (luku Sisäenergia, lämpömäärä ja energian säilyminen).

Kaava

$P_\text{l} - P_\text{s}$$= \dfrac{Q}{t}$
$= c_\text{v}\dfrac{m}{t}\Delta T$

joten

$\dfrac{m}{t}$$= \dfrac{P_\text{l} - P_\text{s}}{c_\text{v}\Delta T}$

Muunnokset

$4300\,\text{MW} - 1600\,\text{MW}$
$= 2700\,\text{MW}$
$= 2700 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

Sijoitus

$\dfrac{m}{t}$$= \dfrac{2700 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 11\,\text{K}}$
$= 58\,581\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$

Vastaus

Merivettä on pumpattava noin $5{,}9 \cdot 10^{4}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpeneminen $11\,\text{K}$.

Järkevyys

Se on noin $59\,\text{m}^3$ sekunnissa, keskikokoisen joen virtaama. Suuren ydinvoimalan jäähdytysvesi on todella tätä luokkaa, ja lämpö näkyy talvella sulana vesialueena voimalan edustalla.

d)

Annettu

sähköteho $P_\text{s} = 1600\,\text{MW}$, $t = 1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$, kivihiilen lämpöarvo $H = 24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$, hiilivoimalan hyötysuhde $\eta_\text{h} = 40\,\%$

Kysytty

vuodessa poltettavan kivihiilen massa $m_\text{h}$

Periaate

Hiilivoimala tuottaa saman sähköenergian, mutta polttoaineen energiasta vain $40\,\%$ muuttuu sähköksi (luku Energiantuotanto ja voimalaitosten hyötysuhde). Polttoaineen energia on lämpöarvo kertaa massa (luku Polttoaineet ja lämpöarvo).

Kaava

$E_\text{s} = P_\text{s}t$, $\eta_\text{h}Hm_\text{h} = E_\text{s}$, joten

$m_\text{h}$$= \dfrac{P_\text{s}t}{\eta_\text{h}H}$

Muunnokset

$1600\,\text{MW}$$= 1600 \cdot 10^{6}\,\text{W}$
$24\,\tfrac{\text{MJ}}{\text{kg}}$$= 24 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$

ja lopuksi $1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}$

Sijoitus

$E_\text{s}$$= 1600 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}} \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$
$= 5{,}050 \cdot 10^{16}\,\text{J}$

joten

$m_\text{h}$$= \dfrac{5{,}050 \cdot 10^{16}\,\text{J}}{0{,}40 \cdot 24 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}}$
$= 5{,}26 \cdot 10^{9}\,\text{kg}$
$= 5{,}26 \cdot 10^{6}\,\text{t}$

Vastaus

Hiilivoimala polttaisi noin $5{,}3 \cdot 10^{6}\,\text{t}$ eli viisi miljoonaa tonnia kivihiiltä vuodessa, kaksi merkitsevää numeroa kuten lämpöarvo ja hyötysuhde.

Järkevyys

Määrä on noin kolme miljoonaa kertaa fissioituvan uraani-235:n massa, koska yksi fissio vapauttaa noin $200\,\text{MeV}$, kun hiiliatomin palaminen vapauttaa vain muutaman elektronivoltin. Se on noin $14\,000$ tonnia päivässä, satoja junavaunullisia.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa hyötysuhde lasketaan väärin päin, $\tfrac{4300}{1600}$, tai megaelektronivoltteja ei muunneta jouleiksi.
  • b-kohdassa massaksi otetaan $\Delta m$, eli väitetään, että koko polttoaine muuttuu energiaksi, tai $\Delta m$ lasketaan sähköenergiasta lämpöenergian sijaan.
  • c-kohdassa merivedelle siirtyväksi tehoksi otetaan koko lämpöteho $4300\,\text{MW}$ tai sähköteho $1600\,\text{MW}$.
  • d-kohdassa hyötysuhteella kerrotaan eikä jaeta, jolloin hiiltä tulee $6{,}25$-kertaisesti liian vähän, tai kilogrammat jätetään muuntamatta tonneiksi.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\eta = \dfrac{P_\text{s}}{P_\text{l}}$ ja $\dfrac{N}{t} = \dfrac{P_\text{l}}{E_\text{f}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\eta = \dfrac{1600\,\text{MW}}{4300\,\text{MW}} \approx 0{,}372$; $E_\text{f} = 200 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} = 3{,}204 \cdot 10^{-11}\,\text{J}$ ja $\dfrac{N}{t} \approx 1{,}34 \cdot 10^{20}\,\tfrac{1}{\text{s}}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\eta \approx 37\,\%$ ja $1{,}3 \cdot 10^{20}$ fissiota sekunnissa 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $m = \dfrac{N}{t} \cdot t \cdot 235\,\text{u}$ ja $\Delta m = \dfrac{P_\text{l} t}{c^2}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $1{,}342 \cdot 10^{20}\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s} \cdot 235 \cdot 1{,}661 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \approx 1650\,\text{kg}$ ja $\Delta m = \dfrac{4{,}3 \cdot 10^{9}\,\text{W} \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}}{(2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2} \approx 1{,}5\,\text{kg}$ 1 p
Tulkitsee, että vain noin $0{,}09\,\%$ fissioituneen uraanin massasta muuttuu energiaksi; loput jää fissiotuotteiksi ja neutroneiksi, koska massaluku säilyy. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $m \approx 1{,}7 \cdot 10^{3}\,\text{kg}$ ja $\Delta m \approx 1{,}5\,\text{kg}$ 1 p

c)4 p

Perustelee, että energian säilymisen mukaan lämpöteho, josta ei tule sähköä, $P_\text{l} - P_\text{s} = 2700\,\text{MW}$, siirtyy lauhduttimessa meriveteen. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P_\text{l} - P_\text{s} = \dfrac{m}{t}\,c\,\Delta T$, joten $\dfrac{m}{t} = \dfrac{P_\text{l} - P_\text{s}}{c\,\Delta T}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\dfrac{m}{t} = \dfrac{2{,}7 \cdot 10^{9}\,\text{W}}{4190\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 11\,\text{K}} \approx 5{,}86 \cdot 10^{4}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. noin $5{,}9 \cdot 10^{4}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}}$ eli noin $59\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}}$ 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_\text{s} = P_\text{s} t$ ja $E_\text{s} = \eta H m$, joten $m = \dfrac{P_\text{s} t}{\eta H}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $m = \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{9}\,\text{W} \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}}{0{,}40 \cdot 24 \cdot 10^{6}\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}} \approx 5{,}3 \cdot 10^{9}\,\text{kg}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Noin $5$ miljoonaa tonnia, yli kolme miljoonaa kertaa fissioituneen uraanin massa, koska fissio vapauttaa noin $200\,\text{MeV}$ ja palaminen muutaman elektronivoltin reaktiota kohti. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.