Säteily lääketieteessä ja teknologiassa
Miksi PET-kuvauksessa potilaaseen ruiskutetaan radioaktiivista sokeria, ja miten laite päättelee, mistä kohdasta kehon sisältä säteily tuli?
Pohjatiedot
- Gammasäteilyn intensiteetti puoliintuu jokaisen puoliintumispaksuuden $d_{1/2}$ kerroksessaluku Ionisoiva säteily ja elimistö
- Aktiivisuus pienenee hajoamislain $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ mukaanluku Hajoamislaki ja puoliintumisaika
- Efektiivinen annos sievertteinä ja suojautuminen ajalla, etäisyydellä ja suojallaluku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 3.
Pohdinta
Sairaalan PET-kuvauksessa potilaaseen ruiskutetaan pieni määrä radioaktiivista sokeria. Tunnin kuluttua hän makaa renkaan muotoisen laitteen sisällä, ja ruudulle piirtyy kuva, jossa syöpäkasvain hehkuu kirkkaana. Laite ei näe kehon sisään, vaan se havaitsee vain kehosta ulos tulevia fotoneja. Toisessa huoneessa sama sairaala hoitaa syöpää säteilyllä, joka tappaa kasvaimen soluja mutta säästää ympäröivän kudoksen.
Miten kehon ulkopuolinen laite voi päätellä, mistä kohdasta kehon sisältä säteily tuli, ja miten säteilyllä voi tuhota kasvaimen vahingoittamatta liikaa tervettä kudosta?
Valinnainen Kertaa: puoliintumispaksuus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: mitä yksi havainto kertoo
Ennuste 2: kuinka monta havaintoa tarvitaan
Ennuste 3: sädehoito monesta suunnasta
Tutki
Potilaan poikkileikkaus on PET-laitteen ilmaisinrenkaassa. Kerää koinsidensseja ja seuraa, miten janoista syntyy oikealle kuva ja missä sen kirkkain kohta on.
Simulaatio
Käyttöohje
Käynnistä keruu kerää koinsidensseja, ja Pysäytä pysäyttää keruun. Koinsidensseja asettaa kerättyjen koinsidenssien määrän $N$ suoraan väliltä $0$–$2000$. Potilas valitsee, onko kehossa yksi kasvain, kaksi kasvainta vai ei kasvainta; kasvainta ei ole piirretty kehoon, vaan se löytyy kuvasta. Ilmaisu vaihtaa koinsidenssi-ilmaisun ja yksittäisten fotonien laskemisen välillä. Vasemmalla annihilaatiopisteestä lentää kaksi oranssia fotonia vastakkaisiin suuntiin, osutut ilmaisimet välähtävät ja niiden välille piirtyy jana. Oikealla on janoista laskettu kuva: mitä useampi jana kulkee kuvapisteen kautta, sitä kirkkaampi se on. Nopeus muuttaa vain keruun tahtia.
Mallin oletukset
Merkkiaine on jakautunut tasaisesti kehoon, ja kasvaimesta tulee $25\,\%$ annihilaatioista (kahdella kasvaimella $20\,\%$ kummastakin). Kasvaimen säde on noin $1\,\text{cm}$, joten sen merkkiainepitoisuus on monikymmenkertainen muuhun kehoon verrattuna. Fotonit lähtevät tarkalleen vastakkaisiin suuntiin satunnaisessa tasosuunnassa, eikä keho vaimenna tai sirota niitä. Positronin kulkemaa matkaa ja satunnaisia koinsidensseja ei ole mukana. Rengas on kaksiulotteinen ja havaitsee jokaisen fotoniparin. Malli ei käytä fotonien saapumisaikojen eroa. Todellinen laite kerää kymmeniä miljoonia koinsidensseja. Lukemat ovat mallin arvoja eivätkä mittauksia.
Laskennan selitys
Annihilaatiot arvotaan aina samassa järjestyksessä, joten sama $N$ antaa aina saman kuvan. Toinen arvontajärjestys antaisi pienillä $N$:n arvoilla toisenlaisen tuloksen, koska janojen satunnaiset leikkauskohdat vaihtelevat. Kuva on $41 \cdot 41$ pisteen ruudukko, jonka pisteiden väli on $1\,\text{cm}$. Jokainen jana lisää yhden osuman jokaiseen kuvapisteeseen, jonka etäisyys janasta on alle $0{,}6\,\text{cm}$. Kirkkain kohta on se piste, jossa osumia on eniten, ja lukema etäisyys kasvaimesta on sen etäisyys lähimmän kasvaimen keskipisteestä. Kasvaimen kautta kulkevia viivoja on niiden janojen osuus, jotka kulkevat alle $1{,}0\,\text{cm}$:n päästä kasvaimen keskipisteestä. Yksittäisten fotonien ilmaisussa kustakin parista havaitaan vain toinen fotoni, joten tiedossa on vain ilmaisin eikä janaa.
Koe 1: kuinka monta janaa tarvitaan
Testaa ennusteet 1 ja 2. Potilaalla on yksi kasvain, ja ilmaisu on koinsidenssi. Muuta vain koinsidenssien määrää $N$ ja kirjaa kuvan kirkkaimman kohdan etäisyys kasvaimesta ainakin arvoilla $N = 10$, $20$, $50$ ja $200$. Katso samalla, millaisia janoja renkaaseen piirtyy.
Alkutila: koinsidensseja $N$ = $0$, potilas: yksi kasvain, ilmaisu: koinsidenssi. Vakiona: potilas, ilmaisu. Muutetaan: koinsidensseja $N$.
| koinsidensseja $N$ | $\text{etäisyys kasvaimesta}\ (\text{cm})$ | $\text{kasvaimen kautta}\ (\%)$ |
|---|
Johtopäätös: miten PET paikantaa
Kirjoita taulukkosi perusteella: Mitä yksi koinsidenssi kertoo lähteen paikasta? Miten kirkkaimman kohdan etäisyys kasvaimesta muuttui, kun koinsidensseja kertyi lisää, ja miksi? Mitä tämä merkitsee potilaan annokselle?
Mallivastaus
Yksi koinsidenssi kertoo, että annihilaatio tapahtui jossain kahden ilmaisimen välisellä janalla, koska fotonit lähtevät vastakkaisiin suuntiin; malli ei käytä saapumisaikojen eroa. Mallin arvoilla kuvan kirkkain kohta oli $10$ koinsidenssin jälkeen noin $18\,\text{cm}$:n ja $20$:n jälkeen $4{,}0\,\text{cm}$:n päässä kasvaimesta, mutta $50$:n jälkeen enää $1{,}4\,\text{cm}$:n ja $200$:n jälkeen $0\,\text{cm}$:n päässä. Suurilla $N$:n arvoilla kasvaimen kautta kulki noin neljäsosa janoista, koska merkkiainetta on koko kehossa. Vähillä janoilla satunnaiset leikkauskohdat ovat yhtä kirkkaita kuin kasvain, ja vasta kymmenien janojen jälkeen kasvaimen kautta kulkevat janat erottuvat. Pienillä $N$:n arvoilla tulos vaihtelee sattumalta. Hyvä kuva vaatii siis paljon hajoamisia eli riittävän aktiivisuuden. Se on optimointia: aktiivisuus valitaan niin suureksi, että kuva vastaa kysymykseen, mutta ei suuremmaksi.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tutki: millä energialla röntgenkuva otetaan
Tilastoaineisto · laskettu NIST XCOM -tietokannan vaimennuskertoimista kapealle säteelle (pehmytkudoksena vesi, luuna tiivis luu), pyöristetty
Taulukossa on pehmytkudoksen ja luun puoliintumispaksuus $d_{1/2}$ kolmella röntgenfotonien energialla. Viimeinen sarake kertoo, kuinka suuri osa säteilystä pääsee $20\,\text{cm}$:n pehmytkudoskerroksen läpi, mikä vastaa aikuisen vartaloa.
| Energia | $d_{1/2}$ kudos | $d_{1/2}$ luu | $20\,\text{cm}$ kudosta |
|---|---|---|---|
| $30\,\text{keV}$ | $1{,}8\,\text{cm}$ | $0{,}27\,\text{cm}$ | $0{,}05\,\%$ |
| $60\,\text{keV}$ | $3{,}4\,\text{cm}$ | $1{,}1\,\text{cm}$ | $1{,}6\,\%$ |
| $100\,\text{keV}$ | $4{,}1\,\text{cm}$ | $1{,}9\,\text{cm}$ | $3{,}3\,\%$ |
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Röntgensäteily syntyy, kun nopeat elektronit osuvat anodiin
Röntgensäteily on suurienergistä fotonisäteilyä, joka syntyy, kun nopeat elektronit jarruttavat aineessa (jarrutussäteily) tai kun ne irrottavat elektronin atomin sisimmältä kuorelta ja ulomman kuoren elektroni siirtyy sen paikalle (karakteristinen röntgensäteily). Röntgenputkessa hehkuvasta katodista irtoavia elektroneja kiihdytetään jännitteellä $U$ kohti volframista tehtyä anodia. Jokainen elektroni saa liike-energian $eU$, joten esimerkiksi jännitteellä $80\,\text{kV}$ syntyvän fotonin energia on enintään $80\,\text{keV}$. Valtaosa elektronien energiasta, noin $99\,\%$, muuttuu anodissa lämmöksi, ja vain pieni osa säteilee röntgenfotoneina. Jarrutussäteilyn spektri on jatkuva, ja sen päällä ovat anodin atomien karakteristiset terävät piikit; volframilla ne ovat noin $59\,\text{keV}$:n kohdalla. Röntgen- ja gammafotoni ovat samaa sähkömagneettista säteilyä: nimi kertoo, syntyikö fotoni elektronien jarrutuksessa tai atomin sisäkuoren siirtymässä vai ytimen siirtymässä. Molemmat ionisoivat ja vaimenevat aineessa samalla tavalla (luku Ionisoiva säteily ja elimistö).
Röntgenkuva ja tietokonetomografia
Röntgenkuva on varjokuva. Säteily kulkee potilaan läpi ilmaisimeen, ja jokainen kudoskerros vaimentaa siitä osan. Luu vaimentaa röntgensäteilyä paljon enemmän kuin pehmytkudos, koska se on tiheämpää ja sen kalsiumatomeissa on paljon elektroneja: noin $60\,\text{keV}$:n säteilylle pehmytkudoksen puoliintumispaksuus on noin $3{,}4\,\text{cm}$, luun vain noin $1{,}1\,\text{cm}$. Luun taakse osuu siksi vähemmän säteilyä, ja luu näkyy kuvassa vaaleana. Keuhkojen ilma päästää säteilyn läpi lähes vaimentamatta, joten keuhkot näkyvät tummina. Kuvan kontrasti eli kirkkausero syntyy siis siitä, että eri kudokset vaimentavat säteilyä eri tavalla.
Tietokonetomografiassa (TT) röntgenputki ja ilmaisimet kiertävät potilaan ympäri. Laite mittaa vaimenemisen tuhansista suunnista, ja tietokone laskee niistä, kuinka paljon kukin pieni tilavuusalkio vaimentaa. Tuloksena on poikkileikkauskuva, jossa näkyvät myös toistensa takana olevat elimet. TT-tutkimuksen annos on kuitenkin monikymmenkertainen tavalliseen röntgenkuvaan verrattuna.
| Tutkimus | Efektiivinen annos |
|---|---|
| hampaan röntgenkuva | $< 0{,}01\,\text{mSv}$ |
| keuhkojen röntgenkuva | noin $0{,}02\,\text{mSv}$ |
| pään TT | noin $2\,\text{mSv}$ |
| vartalon TT | noin $5$–$10\,\text{mSv}$ |
| luuston isotooppikuvaus | noin $3\,\text{mSv}$ |
| PET-kuvaus | noin $6\,\text{mSv}$ |
Lähde: tyypilliset suuruusluokat STUKin terveydenhuollon säteilyaltistusta koskevista julkaisuista ja ICRP:n julkaisusta 128 (2015); yksittäisen tutkimuksen annos riippuu laitteesta ja potilaasta. Vertailun vuoksi suomalainen saa luonnon säteilystä keskimäärin noin $5{,}1\,\text{mSv}$ vuodessa (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa).
Isotooppikuvaus: merkkiaine näyttää elimen toiminnan
Merkkiaine on radioaktiivinen nuklidi, joka on liitetty yhdisteeseen, jota elimistö käsittelee kuten omaa ainettaan, joten se kertyy tutkittavaan elimeen. Kehon ulkopuolinen ilmaisin havaitsee merkkiaineen säteilyn. Kuva ei siksi näytä vain rakennetta, kuten röntgenkuva, vaan sen, missä elimistö toimii: esimerkiksi luuston isotooppikuvauksessa merkkiaine kertyy kohtiin, joissa luu uusiutuu vilkkaasti, kuten murtumiin ja etäpesäkkeisiin.
Yleisin merkkiaineen nuklidi on teknetium-$99\text{m}$. Se lähettää lähes pelkästään $140\,\text{keV}$:n gammasäteilyä, joka pääsee kehosta ulos ja ionisoi matkallaan harvakseltaan. Sen puoliintumisaika on $6{,}01\,\text{h}$ (luku Hajoamislaki ja puoliintumisaika), joten vuorokauden kuluttua aktiivisuudesta on jäljellä vain noin $6\,\%$, ja osa aineesta poistuu lisäksi virtsan mukana. Gammakamera kuvaa potilaan säteilyä, ja SPECT-laitteessa se kiertää potilaan ympäri, jolloin saadaan kolmiulotteinen kuva.
PET: kaksi fotonia vastakkaisiin suuntiin
PET-kuvauksen eli positroniemissiotomografian merkkiaineena on yleensä fluori-18 sokerin kaltaisessa yhdisteessä (FDG). Syöpäsolut käyttävät paljon sokeria, joten merkkiainetta kertyy niihin tavallista enemmän. Fluori-18 hajoaa $\beta^+$-hajoamisella, ja sen puoliintumisaika on $110\,\text{min}$. Hajoamisessa syntyvä positroni kulkee kudoksessa noin millimetrin ja kohtaa elektronin. Ne annihiloituvat: molempien massa muuttuu kahdeksi fotoniksi, joiden energia on $511\,\text{keV}$ ja jotka lähtevät vastakkaisiin suuntiin.
Potilasta ympäröi ilmaisinrengas. Kun kaksi vastakkaista ilmaisinta havaitsee fotonin muutaman nanosekunnin sisällä toisistaan eli koinsidenssissa, laite päättelee, että fotonit syntyivät samassa annihilaatiossa jossain näiden ilmaisimien välisellä janalla. Jos fotonien saapumisaikojen eroa ei mitata, yksi jana ei kerro, missä kohdassa janaa lähde on. Nykyaikaiset PET-laitteet mittaavat myös tämän aikaeron (lentoaika-PET) noin $0{,}3\,\text{ns}$:n tarkkuudella. Valo kulkee nanosekunnissa noin $30\,\text{cm}$, joten aikaero rajaa lähteen janalla muutaman senttimetrin matkalle. Varsinainen kuva syntyy silti vasta monista janoista: kun janoja kertyy miljoonia, ne leikkaavat tiheimmin siellä, missä merkkiainetta on eniten, ja tietokone laskee niistä kuvan. Lyhyen puoliintumisajan vuoksi fluori-18 valmistetaan hiukkaskiihdyttimellä, syklotronilla, lähellä kuvauspaikkaa, esimerkiksi Turun PET-keskuksessa.
Sädehoito: suuri annos kasvaimeen, pieni terveelle kudokselle
Sädehoito on syövän hoitoa ionisoivalla säteilyllä: suuri annos vaurioittaa syöpäsolujen DNA:ta niin paljon, että solut kuolevat. Tavallisimmin säteily tulee kehon ulkopuolelta lineaarikiihdyttimestä, joka kiihdyttää elektronit miljooniin elektronivoltteihin ja jarruttaa ne röntgensäteilyksi. Säteily kulkee aina myös terveen kudoksen läpi. Siksi kasvainta säteilytetään useasta suunnasta: keilat leikkaavat vain kasvaimen kohdalla, joten kasvain saa kaikkien keilojen annoksen mutta terve kudos kunkin keilan varrella vain yhden keilan annoksen. Hoito suunnitellaan TT-kuvan avulla.
Hoito jaetaan yleensä moneen osaan: tyypillisesti kasvain saa $2\,\text{Gy}$ kerrallaan arkipäivisin, yhteensä esimerkiksi $60\,\text{Gy}$ noin kuuden viikon aikana. Terveet solut korjaavat vaurioitaan hoitokertojen välillä paremmin kuin syöpäsolut. Säteilylähde voidaan myös viedä kasvaimen sisään tai viereen, tai potilas voi niellä merkkiaineen tapaan kertyvää lääkettä, kuten kilpirauhassyövän hoidossa käytettävää jodi-131:tä.
Säteily teollisuudessa ja tutkimuksessa
Lääkintätarvikkeet, kuten ruiskut ja leikkauskäsineet, steriloidaan valmiissa pakkauksissaan koboltti-60:n gammasäteilyllä tai elektronisuihkulla. Tavallinen annos $25\,\text{kGy}$ tappaa mikrobit, vaikka se lämmittäisi vettä vain noin $6\,\text{K}$: vaikutus perustuu ionisaatioon eikä lämpöön, eikä tuote muutu radioaktiiviseksi. Paperikoneen paksuusmittarissa beetasäteily kulkee paperiradan läpi ilmaisimeen. Mitä paksumpaa paperi on, sitä vähemmän säteilyä pääsee läpi, ja mittarin lukema ohjaa koneen säätöä jatkuvasti. Samaan tapaan gammasäteilyllä mitataan teräslevyjä, ja hitsaussaumoja kuvataan gammalähteellä.
Kodin savuilmaisimessa on noin $37\,\text{kBq}$ amerikium-241:tä, jonka alfasäteily ionisoi ilmaa pienessä kammiossa, jolloin kammion läpi kulkee heikko sähkövirta. Savuhiukkaset sitovat ioneja, virta pienenee ja hälytin soi. Amerikium-241:n puoliintumisaika on $432\,\text{a}$, joten kymmenessä vuodessa aktiivisuus pienenee vain noin $2\,\%$. Radiohiiliajoitus perustuu siihen, että ilmakehässä syntyy jatkuvasti hiili-14:ää ja elävä eliö pitää sen osuuden hiilestään samana. Kuoleman jälkeen hiili-14 hajoaa puoliintumisajalla $5700\,\text{a}$, joten jäljellä olevasta osuudesta voi laskea iän noin $50\,000$ vuoteen asti.
Potilaan ja henkilökunnan turvallisuus
Säteilylaki (859/2018) asettaa säteilyn käytölle kolme periaatetta. Oikeutus: tutkimuksesta tai hoidosta saatavan hyödyn on oltava suurempi kuin säteilyn haitta, joten röntgentutkimus tehdään vain, kun sen tulos vaikuttaa potilaan hoitoon. Optimointi: annos pidetään niin pienenä kuin käytännössä on mahdollista, kun kuva silti vastaa kysymykseen (ALARA, as low as reasonably achievable). Esimerkiksi lapsia kuvataan pienemmillä säädöillä kuin aikuisia. Annosrajat: säteilytyötä tekevän efektiivinen annos saa olla enintään $20\,\text{mSv}$ vuodessa. Potilaan annokseen annosrajoja ei sovelleta, vaan hänen suojansa ovat oikeutus ja optimointi.
Henkilökunta suojautuu ajalla, etäisyydellä ja suojalla (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa). Röntgenhoitaja käynnistää kuvauksen suojaseinän takaa, ja kuvaushuoneessa käytetään lyijyesiliinaa. Merkkiainetta käsitellään lyijy- tai volframisuojatulla ruiskulla. PET:n $511\,\text{keV}$:n fotonit läpäisevät lyijyä paljon paremmin kuin teknetium-$99\text{m}$:n $140\,\text{keV}$:n fotonit: lyijyn puoliintumispaksuus on niille noin $3{,}9\,\text{mm}$ ja $0{,}26\,\text{mm}$. Säteilytyöntekijät kantavat annosmittaria, ja säteilyn käyttöön tarvitaan Säteilyturvakeskuksen (STUK) turvallisuuslupa.
Vaimeneminen kerroksittain ja annihilaatio
Säteily usean kerroksen läpi
Jokainen kudoskerros vaimentaa säteilyä puoliintumispaksuutensa mukaan (luku Ionisoiva säteily ja elimistö). Kun säde kulkee ensin pehmytkudoksen ja sitten luun läpi, luun läpi pääsee sama osuus siitä säteilystä, joka pääsi pehmytkudoksen läpi. Osuudet siis kerrotaan:
$$I = I_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{kudos}} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{luu}}$$
missä $I_0$ on säteeseen tulevan säteilyn intensiteetti, $I$ kerrosten läpi päässeen säteilyn intensiteetti ja $n$ kerroksen paksuus puoliintumispaksuuksina: $n_\text{kudos} = d_\text{kudos} : d_{1/2}^\text{kudos}$ ja $n_\text{luu} = d_\text{luu} : d_{1/2}^\text{luu}$. Tässä $d_\text{kudos}$ ja $d_\text{luu}$ ovat pehmytkudoksen ja luun paksuudet sekä $d_{1/2}^\text{kudos}$ ja $d_{1/2}^\text{luu}$ niiden puoliintumispaksuudet. Koska $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{kudos}} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{luu}} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{kudos} + n_\text{luu}}$, puoliintumispaksuuksien lukumäärät voi myös laskea yhteen. Kerrosten järjestyksellä ei ole väliä, ja kolmannelle kerrokselle tulee kolmas samanlainen tekijä. Röntgenkuvan kontrasti saadaan vertaamalla kahta sädettä, joista toinen kulkee pelkän pehmytkudoksen ja toinen myös luun läpi. Puoliintumispaksuus riippuu fotonien energiasta. Todellisessa röntgenputken säteilyssä on monen energian fotoneja, joten tässä käytetään keskimääräistä energiaa noin $60\,\text{keV}$.
Annihilaatiofotonin energia
Kun positroni ja elektroni annihiloituvat lähes levossa, niiden yhteinen massa $2m_e$ muuttuu kokonaan fotonien energiaksi (luku Massavaje ja ytimen sidosenergia). Alussa liikemäärä on lähes nolla, joten fotoneja syntyy kaksi, ne lähtevät vastakkaisiin suuntiin ja niillä on sama energia:
$$E_\gamma = m_e c^2$$
missä $E_\gamma$ on yhden fotonin energia ($\text{J}$), $m_e = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ elektronin ja positronin massa ja $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ valon nopeus. Sijoittamalla saadaan $E_\gamma = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot (2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2 = 8{,}187 \cdot 10^{-14}\,\text{J}$. Kun sijoitetaan $1\,\text{J} = \tfrac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$, saadaan $E_\gamma = 8{,}187 \cdot 10^{-14} \cdot \tfrac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV} = 5{,}11 \cdot 10^{5}\,\text{eV} = 511\,\text{keV}$. Energia on noin $150\,000$-kertainen näkyvän valon fotoniin verrattuna, ja jokaisessa annihilaatiossa se on sama, joten PET-laite voi hylätä fotonit, joiden energia poikkeaa siitä selvästi, koska ne ovat sironneet matkalla.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että röntgenkuvauksen jälkeen potilaasta lähtee säteilyä. Röntgensäteily syntyy vain silloin, kun putkessa kulkee virta, ja se lakkaa heti, kun putki sammutetaan: potilaaseen ei jää mitään radioaktiivista. Isotooppitutkimuksessa tilanne on toinen. Merkkiaine on potilaan elimistössä, ja se säteilee, kunnes se on hajonnut tai poistunut, yleensä tunteja tai vuorokauden. Siksi PET-potilas odottaa kuvausta omassa huoneessaan, ja hoitajat pysyttelevät hänestä etäällä.
Toinen virhe on ajatella, että säteilysuojelu tarkoittaa mahdollisimman pientä annosta hinnalla millä hyvänsä. Liian pienellä annoksella kuva jää kohinaiseksi, eikä siitä näe sitä, mitä etsittiin. Tutkimus joudutaan uusimaan, ja potilas saa kaksi annosta. Optimointi tarkoittaa pienintä annosta, jolla kuva vastaa kysymykseen.
Tiivistelmä
- Röntgensäteily syntyy, kun nopeat elektronit jarruttavat anodissa tai irrottavat elektroneja sen atomien sisäkuorilta; jännite $U$ antaa fotonille enintään energian $eU$.
- Röntgenkuvan ja TT-kuvan kontrasti syntyy siitä, että luu vaimentaa säteilyä enemmän kuin pehmytkudos; kerrosten läpi pääsevät osuudet kerrotaan: $I = I_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{kudos}} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{luu}}$, missä $n = d : d_{1/2}$.
- Merkkiaine kertyy tutkittavaan elimeen; teknetium-$99\text{m}$ lähettää $140\,\text{keV}$:n gammasäteilyä, ja sen puoliintumisaika on $6{,}01\,\text{h}$.
- PET: positroni ja elektroni annihiloituvat kahdeksi vastakkaiseksi fotoniksi, joiden energia on $E_\gamma = m_e c^2 = 511\,\text{keV}$; koinsidenssi antaa janan, ja monien janojen leikkauskohdat paljastavat merkkiaineen paikan.
- Sädehoidossa kasvainta säteilytetään useasta suunnasta ja moneen osaan jaettuna, jotta kasvain saa suuren annoksen ja terve kudos pienen.
- Säteilyä käytetään myös sterilointiin, paksuusmittareihin, savuilmaisimiin ja radiohiiliajoitukseen.
- Säteilyn käytön periaatteet ovat oikeutus, optimointi ja annosrajat; henkilökunta suojautuu ajalla, etäisyydellä ja suojalla.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mallin arvoihin ja teoriaan. Palaa sitten alun kysymykseen: miten PET-laite päättelee merkkiaineen paikan, ja miten sädehoito säästää tervettä kudosta?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kyynärvarren röntgenkuvassa säde A kulkee $8{,}0\,\text{cm}$ pehmytkudosta. Säde B kulkee $5{,}0\,\text{cm}$ pehmytkudosta ja $3{,}0\,\text{cm}$ luuta. Säteilyn keskimääräisellä energialla noin $60\,\text{keV}$ pehmytkudoksen puoliintumispaksuus on $3{,}4\,\text{cm}$ ja luun $1{,}1\,\text{cm}$. Kuinka monta kertaa suurempi intensiteetti osuu ilmaisimeen säteen A kohdalla kuin säteen B kohdalla?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Säde A: pehmytkudosta $d_\text{A} = 8{,}0\,\text{cm}$. Säde B: pehmytkudosta $d_\text{kudos} = 5{,}0\,\text{cm}$ ja luuta $d_\text{luu} = 3{,}0\,\text{cm}$. Puoliintumispaksuudet $d_{1/2}^\text{kudos} = 3{,}4\,\text{cm}$ ja $d_{1/2}^\text{luu} = 1{,}1\,\text{cm}$. Kysytään intensiteettien suhdetta ${I_\text{A} : I_\text{B}}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Kumpaankin säteeseen tulee sama intensiteetti $I_0$. Jokainen kerros päästää läpi osuuden $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ siihen tulevasta säteilystä, missä $n$ on kerroksen paksuus puoliintumispaksuuksina. Säteen B osuudet kerrotaan, eli sen puoliintumispaksuuksien lukumäärät lasketaan yhteen. Suhteessa $I_0$ supistuu.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Säteelle A $n_\text{A} = d_\text{A} : d_{1/2}^\text{kudos}$ ja säteelle B
Kun $I_\text{A} = I_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{A}}$ ja $I_\text{B} = I_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{B}}$, suhde on
$$\begin{aligned} \frac{I_\text{A}}{I_\text{B}} &= \frac{I_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{A}}}{I_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n_\text{B}}} \\ &= 2^{\,n_\text{B} - n_\text{A}} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: kaikki paksuudet ovat senttimetreinä, joten lukumäärien $n$ yksiköt supistuvat.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin puoliintumispaksuuksien lukumäärät:
$$\begin{aligned} n_\text{A} &= d_\text{A} : d_{1/2}^\text{kudos} \\ &= 8{,}0\,\text{cm} : 3{,}4\,\text{cm} = 2{,}353 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} n_\text{B} &= d_\text{kudos} : d_{1/2}^\text{kudos} + d_\text{luu} : d_{1/2}^\text{luu} \\ &= 5{,}0\,\text{cm} : 3{,}4\,\text{cm} \\ &\quad + 3{,}0\,\text{cm} : 1{,}1\,\text{cm} \\ &= 1{,}471 + 2{,}727 = 4{,}198 \end{aligned}$$
Suhde on
$$\begin{aligned} \frac{I_\text{A}}{I_\text{B}} &= 2^{\,n_\text{B} - n_\text{A}} \\ &= 2^{\,4{,}198 - 2{,}353} \\ &= 2^{\,1{,}845} = 3{,}59 \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Säteen A kohdalla ilmaisimeen osuu noin $3{,}6$-kertainen intensiteetti, kaksi merkitsevää numeroa kuten paksuuksissa ja puoliintumispaksuuksissa. Luu näkyy siksi kuvassa selvästi vaaleampana kuin pelkkä pehmytkudos.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Lasketaan sama toista tietä, läpi päässeiden osuuksien kautta: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}353} = 0{,}1957$ ja $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4{,}198} = 0{,}05449$, joten
kuten edellä. Suhde on myös suuruusluokaltaan järkevä: säteellä B on noin kaksi puoliintumispaksuutta enemmän, ja $2^2 = 4$.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella: merkkiaineen matka sairaalaan
PET-kuvauksen merkkiaine valmistetaan syklotronilla toisessa kaupungissa kello $8.30$, ja potilaalle ruiskutetaan $300\,\text{MBq}$ kello $11.00$. Fluori-18:n puoliintumisaika on $110\,\text{min}$.
Kuinka suuri aktiivisuus potilaan annokseen on valmistettava kello $8.30$? Vastaa megabecquereleinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka kauan valmistuksesta kuluu ruiskutukseen? Kuinka monta puoliintumisaikaa se on?
Vihje 2: mikä yhteys
Hajoamislaki $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ antaa ruiskutushetken aktiivisuuden $A$. Nyt tunnetaan $A$, ja kysytään $A_0$.
Vihje 3: välivaihe
Aikaa kuluu $150\,\text{min}$ eli $\tfrac{150}{110} = 1{,}36$ puoliintumisaikaa, joten $A_0 = 300\,\text{MBq} \cdot 2^{1{,}36}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
tarvittava aktiivisuus ruiskutushetkellä $A = 300\,\text{MBq}$, valmistus kello $8.30$, ruiskutus kello $11.00$, fluori-18:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 110\,\text{min}$
Kysytty
valmistushetken aktiivisuus $A_0$ megabecquereleinä
Periaate
Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään, joten se pienenee hajoamislain mukaan: jokainen puoliintumisaika puolittaa sen. Matkan aikana ei lisätä eikä poisteta ainetta, joten laki kuvaa koko kuljetuksen.
Kaava
$A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$, josta $A_0 = A \cdot 2^{t/T_{1/2}}$
Muunnokset
Kulunut aika
samassa yksikössä kuin puoliintumisaika.
Sijoitus
Vastaus
$770\,\text{MBq}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska annos $300\,\text{MBq}$ on annettu kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Aikaa kuluu vähän yli yksi puoliintumisaika ja selvästi alle kaksi, joten kertoimen on oltava $2$:n ja $4$:n välissä: $2{,}57$ on. Yhden puoliintumisajan jälkeen $772\,\text{MBq}$:stä olisi jäljellä $386\,\text{MBq}$, ja seuraavat $40\,\text{min}$ pienentävät sen $300\,\text{MBq}$:iin. Lyhyen puoliintumisajan vuoksi syklotronin on oltava muutaman tunnin matkan päässä.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Miksi yksi koinsidenssi ei riitä PET-kuvauksessa paikantamaan merkkiaineen kertymää?
Vastaus
Yksi koinsidenssi kertoo vain, että annihilaatio tapahtui jossain kahden ilmaisimen välisellä janalla, koska fotonit lähtevät vastakkaisiin suuntiin. Merkkiainetta on koko kehossa, joten janoja tulee kaikkialta, ja kertymä erottuu vasta, kun monet janat leikkaavat samassa kohdassa. Saapumisaikojen ero rajaa lähteen janalla vain muutaman senttimetrin matkalle, joten kuva syntyy silti monista janoista.
- Mitä tarkoittavat säteilyn lääketieteellisen käytön periaatteet oikeutus ja optimointi?
Vastaus
Oikeutus: tutkimuksesta tai hoidosta saatavan hyödyn on oltava suurempi kuin säteilyn haitta, joten se tehdään vain, kun tulos vaikuttaa hoitoon. Optimointi: annos pidetään niin pienenä kuin käytännössä on mahdollista, kun kuva silti vastaa kysymykseen. Liian pieni annos voi pakottaa uusimaan kuvauksen.
1. Käsite
2. Laske annihilaatiofotonin taajuus
Annihilaatiossa syntyvän fotonin energia on $511\,\text{keV}$. Kuinka suuri on fotonin taajuus? Vastaa hertseinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä yhtälö yhdistää fotonin energian ja taajuuden (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni)?
Vihje 2: mikä yhteys
Muuta energia jouleiksi: $511\,\text{keV} = 511 \cdot 10^{3} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Vihje 3: välivaihe
$E = 8{,}186 \cdot 10^{-14}\,\text{J}$, ja $f = \tfrac{E}{h}$, missä $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin energia $E = 511\,\text{keV}$, Planckin vakio $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin taajuus $f$ hertseinä
Periaate
Fotonin energia on verrannollinen sen taajuuteen, $E = hf$ (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni). Annihilaatiofotoni on sähkömagneettisen säteilyn kvantti kuten näkyvän valon fotoni, joten sama yhtälö pätee.
Kaava
$E = hf$, josta $f = \dfrac{E}{h}$
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$1{,}24 \cdot 10^{20}\,\text{Hz}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten energiassa $511\,\text{keV}$.
Järkevyys
Näkyvän valon taajuus on noin $5 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ ja fotonin energia noin $2\,\text{eV}$. Energia on nyt noin $2{,}6 \cdot 10^{5}$-kertainen, joten taajuuden pitää olla yhtä monta kertaa suurempi:
kuten tulos.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä ja siirrä
PET-potilaalle on juuri ruiskutettu fluori-18-merkkiainetta, ja hän odottaa tunnin ennen kuvausta. Selitä, miksi hoitaja pysyttelee tänä aikana etäällä potilaasta, vaikka röntgenkuvatun potilaan vieressä voi olla heti kuvauksen jälkeen. Kerro kaksi muuta keinoa, joilla hoitajan annos pidetään pienenä, ja miksi PET-merkkiaineen ruiskusuojan on oltava paksumpi kuin teknetium-$99\text{m}$:n.
Mallivastaus
Merkkiaine on potilaan elimistössä, ja jokaisessa fluori-18:n hajoamisessa syntyy kaksi $511\,\text{keV}$:n fotonia, jotka pääsevät kehosta ulos. Potilas on siis säteilylähde, kunnes merkkiaine on hajonnut tai poistunut. Röntgensäteily sen sijaan syntyy vain, kun putki on päällä, eikä potilaaseen jää mitään radioaktiivista. Hoitaja pienentää annostaan etäisyydellä, koska annosnopeus pienenee etäisyyden neliön mukaan, ja ajalla, koska annos on annosnopeus kertaa oleskeluaika: hän tekee potilaan luona vain välttämättömän nopeasti. Lisäksi merkkiainetta käsitellään lyijy- tai volframisuojan takaa, ja hoitaja kantaa annosmittaria. $511\,\text{keV}$:n fotonit läpäisevät lyijyä paljon paremmin kuin $140\,\text{keV}$:n fotonit: lyijyn puoliintumispaksuus on noin $3{,}9\,\text{mm}$ eikä $0{,}26\,\text{mm}$, joten saman vaimennuksen saavuttamiseen tarvitaan noin $15$ kertaa paksumpi suoja.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 14-1Ydintehtävä
Röntgensäde kulkee $6{,}8\,\text{cm}$ paksun pehmytkudoskerroksen läpi. Pehmytkudoksen puoliintumispaksuus tälle säteilylle on $3{,}4\,\text{cm}$. Kuinka monta prosenttia säteilystä pääsee kudoksen läpi?
Vastaus
$25\,\%$
Näytä ratkaisu
Annettu
pehmytkudoksen paksuus $d = 6{,}8\,\text{cm}$, puoliintumispaksuus $d_{1/2} = 3{,}4\,\text{cm}$
Kysytty
läpi päässeen säteilyn osuus ${I : I_0}$ prosentteina
Periaate
Jokainen puoliintumispaksuuden kerros päästää läpi puolet siihen tulevasta röntgensäteilystä, koska jokaisella fotonilla on jokaisessa kerroksessa sama todennäköisyys vuorovaikuttaa.
Kaava
$I = I_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$, josta
$\dfrac{I}{I_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$Muunnokset
Ei tarvita: paksuus ja puoliintumispaksuus ovat molemmat senttimetreinä. Lopuksi osuus muutetaan prosenteiksi kertomalla $100\,\%$:lla.
Sijoitus
$\dfrac{I}{I_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6{,}8\,\text{cm} / 3{,}4\,\text{cm}}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}$$= 0{,}25$$= 25\,\%$Vastaus
$25\,\%$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten paksuuksissa $6{,}8\,\text{cm}$ ja $3{,}4\,\text{cm}$.
Järkevyys
Kerroksessa on täsmälleen kaksi puoliintumispaksuutta: ensimmäinen puolittaa säteilyn $50\,\%$:iin ja toinen $25\,\%$:iin. Säteily heikkenee mutta ei lopu, kuten fotonisäteilylle kuuluu.
- Tehtävä 14-2Ydintehtävä
Luuston isotooppikuvausta varten potilaalle annetaan teknetium-$99\text{m}$-merkkiainetta, jonka aktiivisuus on $600\,\text{MBq}$. Teknetium-$99\text{m}$:n puoliintumisaika on $6{,}01\,\text{h}$.
Kuinka suuri merkkiaineen aktiivisuus on $24{,}0\,\text{h}$:n kuluttua, jos aineesta ei poistuisi mitään elimistöstä? Anna vastaus megabecquereleinä.
Vastaus
$38\,\text{MBq}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkuaktiivisuus $A_0 = 600\,\text{MBq}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 6{,}01\,\text{h}$, aika $t = 24{,}0\,\text{h}$
Kysytty
aktiivisuus $A$ hetkellä $t$ megabecquereleinä
Periaate
Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään, joten se pienenee hajoamislain mukaan: jokainen puoliintumisaika puolittaa sen. Tehtävä olettaa, ettei ainetta poistu elimistöstä, joten vain hajoaminen pienentää aktiivisuutta.
Kaava
$A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$
Muunnokset
Ei tarvita: aika ja puoliintumisaika ovat molemmat tunteina.
Sijoitus
$A$$= 600\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{24{,}0\,\text{h} / 6{,}01\,\text{h}}$$= 600\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3{,}9933}$$= 600\,\text{MBq} \cdot 0{,}062789$$= 37{,}67\,\text{MBq}$Vastaus
$38\,\text{MBq}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska aktiivisuus $600\,\text{MBq}$ on annettu kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Vuorokaudessa kuluu lähes tasan neljä puoliintumisaikaa, ja $600\,\text{MBq} : 16 = 37{,}5\,\text{MBq}$. Todellisuudessa aktiivisuus on vielä pienempi, koska osa merkkiaineesta poistuu virtsan mukana.
- Tehtävä 14-3
PET-kuvauksen FDG-merkkiaineen efektiivinen annos on aikuiselle noin $0{,}019\,\text{mSv}$ jokaista ruiskutettua megabecquerelia kohti. Kuinka suuren efektiivisen annoksen potilas saa, kun hänelle ruiskutetaan $300\,\text{MBq}$? Anna vastaus millisieverteinä.
Vastaus
$5{,}7\,\text{mSv}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ruiskutettu aktiivisuus $A = 300\,\text{MBq}$, annos megabecquerelia kohti $0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}}$
Kysytty
potilaan efektiivinen annos $H_\text{E}$ millisieverteinä
Periaate
Jokainen ruiskutettu megabecquerel hajoaa elimistössä samalla tavalla ja antaa saman annoksen, joten efektiivinen annos on suoraan verrannollinen ruiskutettuun aktiivisuuteen.
Kaava
$H_\text{E} = 0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}} \cdot A$
Muunnokset
Ei tarvita: aktiivisuus on megabecquereleinä, ja kertoimen yksikkö on millisievert megabecquerelia kohti.
Sijoitus
$H_\text{E}$$= 0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}} \cdot 300\,\text{MBq}$$= 5{,}7\,\text{mSv}$Vastaus
$5{,}7\,\text{mSv}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kertoimessa $0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}}$.
Järkevyys
Arviolla $0{,}02 \cdot 300 = 6$. Annos on samaa suuruusluokkaa kuin luonnon säteilyn keskimääräinen vuosiannos Suomessa $5{,}1\,\text{mSv}$, mikä sopii luvun annostaulukon arvoon noin $6\,\text{mSv}$.
- Tehtävä 14-4
Sädehoidossa kasvain, jonka massa on $50\,\text{g}$, saa yhdellä hoitokerralla absorboituneen annoksen $2{,}0\,\text{Gy}$. Kuinka paljon säteilyenergiaa kasvain absorboi hoitokerran aikana? Anna vastaus jouleina.
Vastaus
$0{,}10\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kasvaimen massa $m = 50\,\text{g}$, absorboitunut annos $D = 2{,}0\,\text{Gy}$
Kysytty
kasvaimen absorboima energia $E$ jouleina
Periaate
Absorboitunut annos on kudoksen absorboima energia massaa kohti (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa), joten energia on annos kertaa massa.
Kaava
$D = \dfrac{E}{m}$, josta $E = D m$
Muunnokset
$1\,\text{Gy}$$= 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$$m$$= 50\,\text{g}$$= 50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$$= 0{,}050\,\text{kg}$Sijoitus
$E$$= 2{,}0\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}050\,\text{kg}$$= 0{,}10\,\text{J}$Vastaus
$0{,}10\,\text{J}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten annoksessa $2{,}0\,\text{Gy}$ ja massassa $50\,\text{g}$.
Järkevyys
Energia on hyvin pieni: se lämmittäisi kasvainta vain noin $0{,}0005\,\text{K}$. Vaikutus perustuu siihen, että energia tulee ionisaatioina, jotka rikkovat DNA:ta, eikä lämpenemiseen.
- Tehtävä 14-5
Savuilmaisimessa on amerikium-241:tä, jonka aktiivisuus on uutena $37\,\text{kBq}$. Amerikium-241:n puoliintumisaika on $432\,\text{a}$. Kuinka suuri aktiivisuus on $100\,\text{a}$:n kuluttua? Anna vastaus kilobecquereleinä.
Vastaus
$32\,\text{kBq}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkuaktiivisuus $A_0 = 37\,\text{kBq}$, amerikium-241:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 432\,\text{a}$, aika $t = 100\,\text{a}$
Kysytty
aktiivisuus $A$ kilobecquereleinä
Periaate
Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään ja pienenee siksi hajoamislain mukaan. Savuilmaisimen lähde on suljettu, joten ainetta ei poistu muuten kuin hajoamalla.
Kaava
$A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$
Muunnokset
Ei tarvita: aika ja puoliintumisaika ovat molemmat vuosina.
Sijoitus
$A$$= 37\,\text{kBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{100\,\text{a} / 432\,\text{a}}$$= 37\,\text{kBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}23148}$$= 37\,\text{kBq} \cdot 0{,}85176$$= 31{,}52\,\text{kBq}$Vastaus
$32\,\text{kBq}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten aktiivisuudessa $37\,\text{kBq}$.
Järkevyys
Sata vuotta on alle neljäsosa puoliintumisajasta, joten aktiivisuus ei ehdi puolittua vaan pienenee selvästi alle $50\,\%$: se pieneni noin $15\,\%$. Siksi savuilmaisimen lähde toimii koko laitteen käyttöiän.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 14-6Ydintehtävä
Elävän puun hiilestä mitataan hiili-14:n aktiivisuudeksi $0{,}23\,\text{Bq}$ grammaa kohti. Arkeologisesta kaivauksesta löytyneen puuhiilen vastaava aktiivisuus on $0{,}029\,\text{Bq}$ grammaa kohti. Hiili-14:n puoliintumisaika on $5700\,\text{a}$.
Kuinka vanha puuhiili on? Anna vastaus vuosina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.
Vastaus
$1{,}7 \cdot 10^{4}\,\text{a}$
Näytä ratkaisu
Annettu
elävän puun hiilen aktiivisuus $A_0 = 0{,}23\,\text{Bq}$ grammaa kohti, löydön aktiivisuus $A = 0{,}029\,\text{Bq}$ grammaa kohti, hiili-14:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 5700\,\text{a}$
Kysytty
puuhiilen ikä $t$ vuosina
Periaate
Elävä puu pitää hiili-14:n osuuden hiilestään samana kuin ilmakehässä. Kun puu kuolee, uutta hiili-14:ää ei tule, ja aktiivisuus grammaa kohti pienenee hajoamislain mukaan. Iän ratkaisemiseksi eksponentissa oleva aika ratkaistaan logaritmilla.
Kaava
$A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$, josta $\dfrac{A_0}{A} = 2^{t/T_{1/2}}$. Otetaan molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi ja käytetään sääntöä $\ln 2^{x} = x \ln 2$:
$\ln \dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln 2$josta
$t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (A_0 : A)}{\ln 2}$Muunnokset
Ei tarvita: aktiivisuudet ovat samassa yksikössä, joten niiden suhde on paljas luku, ja ikä saadaan vuosina kuten puoliintumisaika.
Sijoitus
$t$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln (0{,}23 : 0{,}029)}{\ln 2}$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln 7{,}931}{0{,}69315}$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{2{,}0708}{0{,}69315}$$= 5700\,\text{a} \cdot 2{,}9875$$= 17\,029\,\text{a}$Vastaus
$1{,}7 \cdot 10^{4}\,\text{a}$
Eli noin $17\,000$ vuotta, kaksi merkitsevää numeroa kuten aktiivisuuksissa $0{,}23\,\text{Bq}$ ja $0{,}029\,\text{Bq}$.
Järkevyys
Aktiivisuus on pienentynyt noin kahdeksasosaan, ja $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$, joten aikaa on kulunut lähes kolme puoliintumisaikaa: $3 \cdot 5700\,\text{a} = 17\,100\,\text{a}$. Ikä on alle radiohiiliajoituksen rajan, noin $50\,000$ vuotta.
- Tehtävä 14-7Ydintehtävä
Terästehtaan paksuusmittarissa amerikium-241:n $60\,\text{keV}$:n gammasäteily kulkee ohuen teräsnauhan läpi ilmaisimeen. Ilman nauhaa ilmaisin laskee $1200$ fotonia sekunnissa ja nauhan kanssa $900$ fotonia sekunnissa, kun taustasäteily on vähennetty. Teräksen puoliintumispaksuus tälle säteilylle on $0{,}73\,\text{mm}$.
Kuinka paksu nauha on? Anna vastaus millimetreinä.
Vastaus
$0{,}30\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pulssitaajuus ilman nauhaa $I_0 = 1200\,\tfrac{1}{\text{s}}$, nauhan kanssa $I = 900\,\tfrac{1}{\text{s}}$ (taustasäteily vähennetty), teräksen puoliintumispaksuus $d_{1/2} = 0{,}73\,\text{mm}$
Kysytty
nauhan paksuus $d$ millimetreinä
Periaate
Fotonisäteilyn intensiteetti vaimenee teräksessä puoliintumispaksuuden mukaan, ja ilmaisimen nettopulssitaajuus on verrannollinen siihen osuvan säteilyn intensiteettiin. Siksi pulssitaajuuksien suhde on sama kuin intensiteettien suhde.
Kaava
$I = I_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$, josta $\dfrac{I_0}{I} = 2^{d/d_{1/2}}$. Otetaan molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi ja käytetään sääntöä $\ln 2^{x} = x \ln 2$:
$\ln \dfrac{I_0}{I}$$= \dfrac{d}{d_{1/2}} \cdot \ln 2$josta
$d$$= d_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (I_0 : I)}{\ln 2}$Muunnokset
Ei tarvita: pulssitaajuudet ovat samassa yksikössä, ja paksuus saadaan millimetreinä kuten puoliintumispaksuus.
Sijoitus
$d$$= 0{,}73\,\text{mm} \cdot \dfrac{\ln (1200 : 900)}{\ln 2}$$= 0{,}73\,\text{mm} \cdot \dfrac{0{,}28768}{0{,}69315}$$= 0{,}73\,\text{mm} \cdot 0{,}41504$$= 0{,}3030\,\text{mm}$Vastaus
$0{,}30\,\text{mm}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten puoliintumispaksuudessa $0{,}73\,\text{mm}$.
Järkevyys
Nauha päästää läpi $900 : 1200 = 75\,\%$, mikä on enemmän kuin puolet, joten nauhan on oltava ohuempi kuin yksi puoliintumispaksuus $0{,}73\,\text{mm}$. Jos nauha paksunee, pulssitaajuus pienenee, ja mittari ohjaa valssia ohentamaan sitä.
- Tehtävä 14-8
Vartalon TT-tutkimuksesta potilas saa efektiivisen annoksen $8{,}0\,\text{mSv}$. Suomalainen saa luonnon säteilystä keskimäärin noin $5{,}1\,\text{mSv}$ vuodessa. Kuinka monen vuorokauden luonnon säteilyannosta TT-tutkimus vastaa? Vuodessa on $365$ vuorokautta.
Vastaus
$570\,\text{d}$
Näytä ratkaisu
Annettu
TT-tutkimuksen annos $H = 8{,}0\,\text{mSv}$, luonnon säteilyn annos $5{,}1\,\text{mSv}$ vuodessa, vuodessa $365$ vuorokautta
Kysytty
aika $t$ vuorokausina, jona luonnon säteily antaa saman annoksen
Periaate
Luonnon säteilyn annos kertyy vuoden mittaan keskimäärin tasaisesti, joten annos on suoraan verrannollinen aikaan: annos on annosnopeus kertaa aika.
Kaava
$H = \dot{H} t$, josta $t = \dfrac{H}{\dot{H}}$
Muunnokset
Annosnopeus muutetaan vuorokautta kohti sijoittamalla $1\,\text{a} = 365\,\text{d}$:
$\dot{H}$$= \tfrac{5{,}1\,\text{mSv}}{1\,\text{a}}$$= \tfrac{5{,}1\,\text{mSv}}{365\,\text{d}}$Sijoitus
$t$$= \dfrac{8{,}0\,\text{mSv}}{5{,}1\,\text{mSv} : 365\,\text{d}}$$= \dfrac{8{,}0}{5{,}1} \cdot 365\,\text{d}$$= 1{,}5686 \cdot 365\,\text{d}$$= 572{,}5\,\text{d}$Vastaus
noin $570\,\text{d}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten annoksissa $8{,}0\,\text{mSv}$ ja $5{,}1\,\text{mSv}$.
Järkevyys
TT-tutkimuksen annos on hieman suurempi kuin luonnon vuosiannos, joten ajan pitää olla vähän yli vuoden: $572\,\text{d}$ on noin puolitoista vuotta. Annos on merkittävä, ja siksi TT-tutkimuksen on oltava oikeutettu.
- Tehtävä 14-9
PET-potilaasta lähtevän säteilyn annosnopeus on heti merkkiaineen ruiskutuksen jälkeen $1{,}0\,\text{m}$:n etäisyydellä $30\,\mu\text{Sv/h}$. Hoitaja auttaa potilasta $5{,}0\,\text{min}$ ajan $0{,}50\,\text{m}$:n etäisyydellä.
Kuinka suuren annoksen hoitaja saa? Oletetaan, että potilasta voi pitää pistemäisenä lähteenä ja että annosnopeus pysyy tämän ajan vakiona. Anna vastaus mikrosieverteinä.
Vastaus
$10\,\mu\text{Sv}$
Näytä ratkaisu
Annettu
annosnopeus $\dot{H}_1 = 30\,\mu\text{Sv/h}$ etäisyydellä $r_1 = 1{,}0\,\text{m}$, hoitajan etäisyys $r_2 = 0{,}50\,\text{m}$, aika $t = 5{,}0\,\text{min}$
Kysytty
hoitajan annos $H$ mikrosieverteinä
Periaate
Potilasta pidetään pistemäisenä lähteenä, joten annosnopeus on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa). Annosnopeus pysyy tämän ajan vakiona, joten annos on annosnopeus kertaa aika.
Kaava
$\dot{H}_2 = \dot{H}_1 \left(\tfrac{r_1}{r_2}\right)^2$ ja $H = \dot{H}_2 t$, joten
$H$$= \dot{H}_1 \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 t$Muunnokset
$t$$= 5{,}0\,\text{min}$$= 5{,}0 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{h}$$= 0{,}08333\,\text{h}$Sijoitus
$H$$= 30\,\mu\text{Sv/h} \cdot \left(\dfrac{1{,}0\,\text{m}}{0{,}50\,\text{m}}\right)^2 \cdot 0{,}08333\,\text{h}$$= 30\,\mu\text{Sv/h} \cdot 4 \cdot 0{,}08333\,\text{h}$$= 120\,\mu\text{Sv/h} \cdot 0{,}08333\,\text{h}$$= 10\,\mu\text{Sv}$Vastaus
$10\,\mu\text{Sv}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten annosnopeudessa $30\,\mu\text{Sv/h}$ ja ajassa $5{,}0\,\text{min}$.
Järkevyys
Puolet lyhyempi etäisyys nelinkertaistaa annosnopeuden $120\,\mu\text{Sv/h}$:iin, ja viisi minuuttia on kahdestoistaosa tunnista: $120 : 12 = 10$. Metrin päässä hoitaja saisi samassa ajassa vain $2{,}5\,\mu\text{Sv}$, joten etäisyys on tehokas suoja.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 14-10
Kasvain saa sädehoidossa $30$ hoitokertaa, kullakin kerralla $2{,}0\,\text{Gy}$. Kullakin kerralla säteily annetaan viidestä eri suunnasta, ja jokainen keila antaa kasvaimeen yhtä suuren osan annoksesta.
Keilan tulokohdassa, ennen kasvainta, terve kudos saa keilasta $1{,}3$-kertaisen annoksen siihen verrattuna, mitä sama keila antaa kasvaimeen.
Kuinka suuren kokonaisannoksen terve kudos yhden keilan tulokohdassa saa koko hoidon aikana? Oletetaan, että muut keilat eivät kulje tämän kohdan kautta. Anna vastaus grayna.
Vastaus
$16\,\text{Gy}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$30$ hoitokertaa, kasvaimen annos kerralla $2{,}0\,\text{Gy}$, $5$ keilaa, joista kukin antaa kasvaimeen saman osan, tulokohdan annos $1{,}3$-kertainen keilan kasvainannokseen verrattuna
Kysytty
terveen kudoksen kokonaisannos $D$ yhden keilan tulokohdassa grayna
Periaate
Keilojen annokset summautuvat vain siellä, missä keilat leikkaavat, eli kasvaimessa. Tulokohdan kautta kulkee vain yksi keila, joten se saa vain tämän keilan annoksen, joka on $1{,}3$-kertainen keilan kasvaimeen antamaan annokseen. Hoitokertojen annokset lasketaan yhteen.
Kaava
yhden keilan kasvainannos $\tfrac{2{,}0\,\text{Gy}}{5}$, joten
$D$$= 30 \cdot 1{,}3 \cdot \dfrac{D_\text{kerta}}{5}$missä $D_\text{kerta} = 2{,}0\,\text{Gy}$
Muunnokset
Ei tarvita: kaikki annokset ovat grayna.
Sijoitus
$D$$= 30 \cdot 1{,}3 \cdot \dfrac{2{,}0\,\text{Gy}}{5}$$= 30 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}40\,\text{Gy}$$= 30 \cdot 0{,}52\,\text{Gy}$$= 15{,}6\,\text{Gy}$Vastaus
noin $16\,\text{Gy}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten kertoimessa $1{,}3$ ja annoksessa $2{,}0\,\text{Gy}$.
Järkevyys
Kasvain saa yhteensä $30 \cdot 2{,}0\,\text{Gy} = 60\,\text{Gy}$, terve kudos tulokohdassa noin neljäsosan siitä. Yhdellä keilalla tulokohta saisi $1{,}3 \cdot 60\,\text{Gy} = 78\,\text{Gy}$, enemmän kuin kasvain, joten useat suunnat ovat välttämättömiä.
- Tehtävä 14-11
Mammografiassa röntgenputken jännite on noin $30\,\text{kV}$, ja fotonien keskimääräinen energia on noin $20\,\text{keV}$. Oletetaan tässä fotonien energiaksi $30\,\text{keV}$. Tällä energialla pehmytkudoksen puoliintumispaksuus on $1{,}8\,\text{cm}$ ja luun tai kalkkeuman $0{,}27\,\text{cm}$.
Kaksi yhtä pitkää sädettä kulkee kudoksen läpi: toinen pelkän pehmytkudoksen läpi, toisen matkalla $1{,}0\,\text{cm}$ pehmytkudosta on korvautunut samanpaksuisella kalkkeutuneella kudoksella, joka vaimentaa kuin luu.
Kuinka monta kertaa suurempi intensiteetti osuu ilmaisimeen pelkän pehmytkudoksen läpi kulkeneen säteen kohdalla?
Vastaus
$8{,}9$
Näytä ratkaisu
Annettu
pehmytkudoksen puoliintumispaksuus $d_{1/2}^\text{kudos} = 1{,}8\,\text{cm}$, kalkkeuman $d_{1/2}^\text{luu} = 0{,}27\,\text{cm}$, korvautuneen kerroksen paksuus $d = 1{,}0\,\text{cm}$
Kysytty
intensiteettien suhde ${I_\text{A} : I_\text{B}}$, kun säde A kulkee pelkän pehmytkudoksen ja säde B kalkkeuman läpi
Periaate
Säteet ovat yhtä pitkiä ja kulkevat muuten saman pehmytkudoksen läpi, joten muiden kerrosten osuudet ovat molemmille samat ja supistuvat suhteesta. Ero tulee vain $1{,}0\,\text{cm}$:n kerroksesta: säteellä A se on pehmytkudosta, säteellä B kalkkeumaa. Kerrosten läpi päässeet osuudet kerrotaan.
Kaava
$\dfrac{I_\text{A}}{I_\text{B}}$$= \dfrac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}^\text{kudos}}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}^\text{luu}}}$$= 2^{d/d_{1/2}^\text{luu} - d/d_{1/2}^\text{kudos}}$Muunnokset
Ei tarvita: kaikki paksuudet ovat senttimetreinä.
Sijoitus
$\dfrac{I_\text{A}}{I_\text{B}}$$= 2^{1{,}0\,\text{cm} / 0{,}27\,\text{cm} - 1{,}0\,\text{cm} / 1{,}8\,\text{cm}}$$= 2^{3{,}7037 - 0{,}5556}$$= 2^{3{,}1481}$$= 8{,}87$Vastaus
noin $8{,}9$, kaksi merkitsevää numeroa kuten puoliintumispaksuuksissa $1{,}8\,\text{cm}$ ja $0{,}27\,\text{cm}$.
Järkevyys
Kalkkeumassa on noin $3{,}7$ puoliintumispaksuutta, pehmytkudoksessa olisi ollut noin $0{,}56$, joten säde B puolittuu noin kolme kertaa useammin: $2^3 = 8$. Pienellä energialla kontrasti on suuri, ja siksi pienetkin kalkkeumat näkyvät mammografiassa.
- Tehtävä 14-12
PET-merkkiaineen $511\,\text{keV}$:n fotoneille lyijyn puoliintumispaksuus on $3{,}9\,\text{mm}$. Kuinka paksu lyijysuoja ruiskun ympärillä tarvitaan, jotta suojan läpi pääsee vain $5{,}0\,\%$ säteilystä? Anna vastaus millimetreinä.
Vastaus
$17\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lyijyn puoliintumispaksuus $511\,\text{keV}$:n fotoneille $d_{1/2} = 3{,}9\,\text{mm}$, läpi pääsevä osuus ${I : I_0} = 5{,}0\,\% = 0{,}050$
Kysytty
lyijysuojan paksuus $d$ millimetreinä
Periaate
Jokainen puoliintumispaksuus puolittaa fotonisäteilyn intensiteetin, joten vaimeneminen noudattaa yhtälöä $I = I_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$. Paksuus on eksponentissa, joten se ratkaistaan logaritmilla.
Kaava
$\dfrac{I_0}{I} = 2^{d/d_{1/2}}$. Otetaan molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi ja käytetään sääntöä $\ln 2^{x} = x \ln 2$:
$\ln \dfrac{I_0}{I}$$= \dfrac{d}{d_{1/2}} \cdot \ln 2$josta
$d$$= d_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (I_0 : I)}{\ln 2}$Muunnokset
$5{,}0\,\% = 0{,}050$, joten ${I_0 : I} = {1 : 0{,}050} = 20$. Paksuus saadaan millimetreinä kuten puoliintumispaksuus.
Sijoitus
$d$$= 3{,}9\,\text{mm} \cdot \dfrac{\ln 20}{\ln 2}$$= 3{,}9\,\text{mm} \cdot \dfrac{2{,}9957}{0{,}69315}$$= 3{,}9\,\text{mm} \cdot 4{,}3219$$= 16{,}86\,\text{mm}$Vastaus
noin $17\,\text{mm}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten puoliintumispaksuudessa $3{,}9\,\text{mm}$ ja osuudessa $5{,}0\,\%$.
Järkevyys
Neljä puoliintumispaksuutta päästäisi läpi $\tfrac{1}{16} \approx 6{,}3\,\%$ ja viisi $\tfrac{1}{32} \approx 3{,}1\,\%$, joten paksuuden on oltava $4 \cdot 3{,}9\,\text{mm} = 15{,}6\,\text{mm}$:n ja $5 \cdot 3{,}9\,\text{mm} = 19{,}5\,\text{mm}$:n välissä. Teknetium-$99\text{m}$:n $140\,\text{keV}$:n fotoneille sama vaimennus vaatisi vain noin $1\,\text{mm}$ lyijyä, koska niiden puoliintumispaksuus on noin $0{,}26\,\text{mm}$.
Valokuvat
- Bron - CERMEP - Salle du scanner TEP-CT de 2010, scanner de face. Romainbehar. lähde, CC0 1.0
- Linear Accelerator - Elekta Compact model. Narenfox. lähde, CC BY-SA 4.0
