Standardimalli: perushiukkaset ja vuorovaikutukset

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 15-1Ydintehtävä

   Baryoni $\Delta^{++}$ koostuu kolmesta $u$-kvarkista. Laske sen varaus alkeisvarauksen $e$ monikertana. Kvarkkien varaukset: $u$ ($+\tfrac{2}{3}e$), $d$ ja $s$ ($-\tfrac{1}{3}e$); antikvarkin varaus on vastakkainen.

   eTarkista
   Vastaus

   $+2\,e$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\Delta^{++} = u\,u\,u$, $u$-kvarkin varaus $q_u = +\tfrac{2}{3}e$

   Kysytty

   hiukkasen varaus $q$ alkeisvarauksen $e$ monikertana

   Periaate

   Hadronin varaus on sen kvarkkien varausten summa, koska varaus on additiivinen ja säilyvä suure. Kaikki kolme kvarkkia ovat samaa lajia.

   Kaava

   $q = q_u + q_u + q_u$, josta $q = 3\,q_u$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska varaukset ilmoitetaan alkeisvarauksen $e$ monikertoina.

   Sijoitus

   $q$$= 3 \cdot \left(+\tfrac{2}{3}e\right)$

   $= +2\,e$

   Vastaus

   $+2\,e$

   Tulos on tarkka, koska kvarkkien varaukset ovat tarkkoja murtolukuja.

   Järkevyys

   Varaus on alkeisvarauksen kokonaislukumonikerta, kuten jokaisella hadronilla, ja se sopii merkintään $\Delta^{++}$, jossa kaksi plusmerkkiä tarkoittaa varausta $+2e$. Protonissa yksi $u$ on vaihtunut $d$:ksi, ja varaus on yhtä pienempi.

2. Tehtävä 15-2Ydintehtävä

   Antiprotoni $\bar{p}$ koostuu antikvarkeista $\bar{u}\,\bar{u}\,\bar{d}$. Laske sen varaus alkeisvarauksen $e$ monikertana. Kvarkkien varaukset: $u$ ($+\tfrac{2}{3}e$), $d$ ja $s$ ($-\tfrac{1}{3}e$); antikvarkin varaus on vastakkainen.

   eTarkista
   Vastaus

   $-1\,e$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\bar{p} = \bar{u}\,\bar{u}\,\bar{d}$; $u$-kvarkin varaus $+\tfrac{2}{3}e$, $d$-kvarkin $-\tfrac{1}{3}e$

   Kysytty

   antiprotonin varaus $q$ alkeisvarauksen monikertana

   Periaate

   Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin vastaavan kvarkin, joten $\bar{u}$:n varaus on $-\tfrac{2}{3}e$ ja $\bar{d}$:n $+\tfrac{1}{3}e$. Hadronin varaus on osiensa varausten summa.

   Kaava

   $q = 2\,q_{\bar{u}} + q_{\bar{d}}$, josta $q = -2\,q_u - q_d$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska varaukset ovat alkeisvarauksen monikertoja.

   Sijoitus

   $q$$= -2 \cdot \tfrac{2}{3}e - \left(-\tfrac{1}{3}e\right)$

   $= -\tfrac{4}{3}e + \tfrac{1}{3}e$

   $= -1\,e$

   Vastaus

   $-1\,e$

   Tulos on tarkka, koska kvarkkien varaukset ovat tarkkoja murtolukuja.

   Järkevyys

   Antiprotonin varauksen on oltava protonin $+e$ vastakkainen, koska antihiukkasella on sama massa mutta vastakkainen varaus. Tulos täsmää.

3. Tehtävä 15-3

   Antineutroni koostuu kolmesta antikvarkista $\bar{u}\,\bar{d}\,\bar{d}$. Mikä on sen baryoniluku $B$?

   Tarkista
   Vastaus

   $-1$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   antineutroni $\bar{n} = \bar{u}\,\bar{d}\,\bar{d}$: kvarkkeja $n_\text{q} = 0$, antikvarkkeja $n_{\bar{\text{q}}} = 3$

   Kysytty

   baryoniluku $B$

   Periaate

   Baryoniluku lasketaan kvarkeista: jokainen kvarkki antaa $+\tfrac{1}{3}$ ja jokainen antikvarkki $-\tfrac{1}{3}$. Antineutronissa on vain antikvarkkeja.

   Kaava

   $B$$= \dfrac{n_\text{q} - n_{\bar{\text{q}}}}{3}$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska kvarkkien määrät ovat lukumääriä.

   Sijoitus

   $B = \dfrac{0 - 3}{3} = -1$

   Vastaus

   $-1$

   Tulos on tarkka, koska antikvarkit lasketaan kappaleina.

   Järkevyys

   Neutronin baryoniluku on $1$, ja antihiukkasella baryoniluku on vastakkainen. Antineutronin varaus on $-\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = 0$ kuten neutronilla, joten antineutroni eroaa neutronista nimenomaan baryoniluvultaan.

4. Tehtävä 15-4

   Levossa olevat elektroni ja positroni annihiloituvat kahdeksi fotoniksi. Elektronin ja positronin lepoenergia on kummankin $m_e c^2 = 511{,}0\,\text{keV}$. Kuinka suuri on yhden fotonin energia kiloelektronivoltteina?

   keVTarkista
   Vastaus

   $511{,}0\,\text{keV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   elektroni ja positroni levossa, kummankin lepoenergia $m_e c^2 = 511{,}0\,\text{keV}$; syntyy kaksi fotonia

   Kysytty

   yhden fotonin energia $E_\gamma$ kiloelektronivoltteina

   Periaate

   Annihilaatiossa hiukkasten koko energia muuttuu fotonien energiaksi, joten energia säilyy. Levossa olevien hiukkasten liikemäärä on nolla, joten kahden fotonin on lähdettävä vastakkaisiin suuntiin yhtä suurella liikemäärällä ja siis yhtä suurella energialla.

   Kaava

   $2\,m_e c^2 = 2\,E_\gamma$, josta $E_\gamma = m_e c^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska lepoenergia on annettu kiloelektronivoltteina.

   Sijoitus

   $E_\gamma = 511{,}0\,\text{keV}$

   Vastaus

   $511{,}0\,\text{keV}$

   Neljä merkitsevää numeroa kuten annetussa lepoenergiassa.

   Järkevyys

   Kahden fotonin yhteinen energia $1022\,\text{keV}$ on elektronin ja positronin lepoenergioiden summa. Fotonit ovat gammasäteilyä, jonka energiat ovat kiloelektronivolttien tai megaelektronivolttien luokkaa, kuten ytimen gammafotoneilla.

5. Tehtävä 15-5

   Helium-4-ytimessä on kaksi protonia ($uud$) ja kaksi neutronia ($udd$). Kuinka monta $u$-kvarkkia ytimessä on?

   Tarkista
   Vastaus

   $6$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   helium-4-ytimessä kaksi protonia ($uud$) ja kaksi neutronia ($udd$)

   Kysytty

   $u$-kvarkkien määrä $N_u$

   Periaate

   Ytimen kvarkit ovat sen nukleonien kvarkit. Protonissa on kaksi $u$-kvarkkia ja neutronissa yksi.

   Kaava

   $N_u = 2 \cdot n_p + 1 \cdot n_n$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska lasketaan kappalemääriä.

   Sijoitus

   $N_u = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6$

   Vastaus

   $6$

   Tulos on tarkka kokonaisluku.

   Järkevyys

   Ytimessä on $4 \cdot 3 = 12$ kvarkkia, joista $d$-kvarkkeja on $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 6$, ja $6 + 6 = 12$. Varaus on $6 \cdot \tfrac{2}{3}e - 6 \cdot \tfrac{1}{3}e = +2e$, kuten kahden protonin ytimellä pitää.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 15-6Ydintehtävä

   Kuinka monta $d$-kvarkkia on hiili-12-ytimessä ${}^{12}_{6}\text{C}$?

   Tarkista
   Vastaus

   $18$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ydin ${}^{12}_{6}\text{C}$: järjestysluku $Z = 6$, massaluku $A = 12$; protoni $uud$, neutroni $udd$

   Kysytty

   $d$-kvarkkien määrä $N_d$

   Periaate

   Ensin lasketaan protonien ja neutronien määrät ytimen merkinnästä, sitten niiden $d$-kvarkit: protonissa on yksi $d$-kvarkki ja neutronissa kaksi.

   Kaava

   $N = A - Z$ ja $N_d = 1 \cdot Z + 2 \cdot N$, josta $N_d = Z + 2\,(A - Z)$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska lasketaan kappalemääriä.

   Sijoitus

   $N_d$$= 6 + 2 \cdot (12 - 6)$

   $= 6 + 12$

   $= 18$

   Vastaus

   $18$

   Tulos on tarkka kokonaisluku.

   Järkevyys

   Ytimessä on $12 \cdot 3 = 36$ kvarkkia, joista $u$-kvarkkeja on $2 \cdot 6 + 6 = 18$, ja $18 + 18 = 36$. Varaus on $18 \cdot \tfrac{2}{3}e - 18 \cdot \tfrac{1}{3}e = +6e$, kuten kuuden protonin ytimellä.

2. Tehtävä 15-7Ydintehtävä

   Lambdabaryoni $\Lambda^0$ hajoaa reaktiolla $\Lambda^0 \to p + \pi^-$. Kuinka paljon energiaa hajoamisessa vapautuu? Massat ovat $m_\Lambda = 1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_p = 938{,}272\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_\pi = 139{,}570\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ (Particle Data Group 2024). Vastaa megaelektronivoltteina.

   MeVTarkista
   Vastaus

   $37{,}84\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\Lambda^0 \to p + \pi^-$, $m_\Lambda = 1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_p = 938{,}272\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_\pi = 139{,}570\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$

   Kysytty

   hajoamisessa vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Hajoava hiukkanen on raskaampi kuin syntyvät yhteensä, ja massojen erotusta vastaava energia vapautuu syntyvien hiukkasten liike-energiaksi ($E = mc^2$). Hajoaminen on sallittu: varaus $0 = 1 - 1$, baryoniluku $1 = 1 + 0$ ja leptoniluku $0 = 0 + 0$ säilyvät.

   Kaava

   $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, josta $Q = (m_\Lambda - m_p - m_\pi)\,c^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten $c^2$ supistuu.

   Sijoitus

   $Q$$= (1115{,}683 - 938{,}272 - 139{,}570)\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 37{,}841\,\text{MeV}$

   Vastaus

   $37{,}84\,\text{MeV}$

   ; massat on annettu tuhannesosan tarkkuudella, joten myös $37{,}841\,\text{MeV}$ kelpaa.

   Järkevyys

   Pyöristettynä $1116 - 938 - 140 = 38$, lähellä tulosta. Energia on positiivinen, joten hajoaminen on energian puolesta mahdollinen, ja se on vain noin $3\,\%$ lambdan lepoenergiasta, koska tuotteet ovat lähes yhtä raskaat.

3. Tehtävä 15-8

   Gammafotoni voi muuttua atomiytimen lähellä elektroniksi ja positroniksi, jos sen energia on vähintään elektronin ja positronin lepoenergioiden summa $2 \cdot 0{,}511\,\text{MeV}$.

   Mikä on tällaisen fotonin suurin mahdollinen aallonpituus? Vastaa pikometreinä.

   Vakiot: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{MeV} = 10^{6}\,\text{eV}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ja $1\,\text{pm} = 10^{-12}\,\text{m}$.

   pmTarkista
   Vastaus

   $1{,}21\,\text{pm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   fotonin pienin energia $E = 2 \cdot 0{,}511\,\text{MeV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Kysytty

   suurin aallonpituus $\lambda$ pikometreinä

   Periaate

   Parinmuodostuksessa fotonin energiasta syntyvät elektronin ja positronin massat, joten fotonin energian on oltava vähintään niiden lepoenergioiden summa. Fotonin energia on $\tfrac{hc}{\lambda}$, joten pienin energia vastaa suurinta aallonpituutta.

   Kaava

   $E = \dfrac{hc}{\lambda}$, josta $\lambda = \dfrac{hc}{E}$

   Muunnokset

   $E$$= 2 \cdot 0{,}511 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$

   $= 1{,}6372 \cdot 10^{-13}\,\text{J}$

   lopuksi $1\,\text{m} = 10^{12}\,\text{pm}$.

   Sijoitus

   $\lambda$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot \dfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{1{,}6372 \cdot 10^{-13}\,\text{J}}$

   $= 1{,}2133 \cdot 10^{-12}\,\text{m}$

   $= 1{,}2133\,\text{pm}$

   Vastaus

   $1{,}21\,\text{pm}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lepoenergiassa $0{,}511\,\text{MeV}$.

   Järkevyys

   Gammafotonin aallonpituus on pikometrien luokkaa, kuten luvun Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen gammasäteilyllä. Pidempiaaltoinen fotoni ei riitä parin syntymiseen, koska sen energia on pienempi kuin $1{,}022\,\text{MeV}$.

4. Tehtävä 15-9

   Neutroni koostuu kvarkeista $u\,d\,d$. Kvarkkien massat ovat $m_u = 2{,}16\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_d = 4{,}70\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, ja neutronin massa on $939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ (Particle Data Group 2024). Kuinka monta prosenttia neutronin massasta on sen kvarkkien massojen summa?

   %Tarkista
   Vastaus

   $1{,}23\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   neutroni $udd$, $m_u = 2{,}16\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_d = 4{,}70\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_n = 939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$

   Kysytty

   kvarkkien massojen summan osuus $x$ neutronin massasta prosentteina

   Periaate

   Ensin lasketaan kolmen kvarkin massojen summa, sitten verrataan sitä neutronin massaan yhdellä jakolaskulla. Massat ovat samassa yksikössä, joten osuus on yksikötön.

   Kaava

   $m_\text{kvarkit} = m_u + 2\,m_d$, josta

   $x$$= \dfrac{m_u + 2\,m_d}{m_n} \cdot 100\,\%$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska kaikki massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja yksikkö supistuu.

   Sijoitus

   $x$$= \dfrac{2{,}16\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} + 2 \cdot 4{,}70\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}}{939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}} \cdot 100\,\%$

   $= \dfrac{11{,}56}{939{,}565} \cdot 100\,\%$

   $= 1{,}2304\,\%$

   Vastaus

   $1{,}23\,\%$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten kvarkkien massoissa.

   Järkevyys

   Kvarkkien massat ovat muutamia $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, neutronin lähes $1000\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten osuus on noin prosentin luokkaa. Loput noin $99\,\%$ neutronin massasta on kvarkkeja sitovan vahvan vuorovaikutuksen energiaa.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 15-10

   Omega-baryoni $\Omega^-$ koostuu kolmesta $s$-kvarkista, ja sen massa on $1672{,}45\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Sen hajoamiseksi ehdotetaan kolmea reaktiota: (1) $\Omega^- \to K^- + \pi^0$, (2) $\Omega^- \to \Sigma^0 + K^-$ ja (3) $\Omega^- \to \Lambda^0 + K^-$.

   Hiukkaset: $\Lambda^0 = u\,d\,s$ ($1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$), $\Sigma^0 = u\,d\,s$ ($1192{,}642\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$), mesoni $K^- = s\,\bar{u}$ ($493{,}677\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$) ja varaukseton mesoni $\pi^0$ ($134{,}977\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$) (Particle Data Group 2024).

   Päättele varauksen, baryoniluvun ja energian avulla, mikä reaktioista on mahdollinen, ja laske siinä vapautuva energia megaelektronivoltteina. Kvarkkien varaukset: $u$ ($+\tfrac{2}{3}e$), $d$ ja $s$ ($-\tfrac{1}{3}e$).

   MeVTarkista
   Vastaus

   $63{,}09\,\text{MeV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\Omega^- = s\,s\,s$, $m_\Omega = 1672{,}45\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $\Lambda^0 = u\,d\,s$, $m_\Lambda = 1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $\Sigma^0 = u\,d\,s$, $m_\Sigma = 1192{,}642\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $K^- = s\,\bar{u}$, $m_K = 493{,}677\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $\pi^0$ varaukseton mesoni, $m_\pi = 134{,}977\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$

   Kysytty

   mahdollinen reaktio ja siinä vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina

   Periaate

   Reaktio on mahdollinen vain, jos varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät ja vapautuva energia on positiivinen, koska levossa oleva hiukkanen ei voi tuottaa itseään raskaampia tuotteita. Varaukset ja baryoniluvut lasketaan kvarkeista. Leptoneja ei ole mukana, joten $L = 0$ kaikkialla. Varaukset: $\Omega^-$: $3 \cdot \left(-\tfrac{1}{3}\right)e = -e$; $\Lambda^0$ ja $\Sigma^0$: $\left(\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3}\right)e = 0$; $K^-$: $\left(-\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3}\right)e = -e$. Baryoniluku on baryoneille $\tfrac{3 - 0}{3} = 1$ ja mesoneille $\tfrac{1 - 1}{3} = 0$.

   Kaava

   $q_\text{alku} = q_\text{loppu}$,

   $B_\text{alku}$$= B_\text{loppu}$

   $Q$$= (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$

   $> 0$

   reaktiolle (3) $Q = (m_\Omega - m_\Lambda - m_K)\,c^2$

   Muunnokset

   Ei tarvita: massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten $c^2$ supistuu.

   Sijoitus

   (1) varaus $-1 = -1 + 0$ säilyy, mutta baryoniluku $1 \ne 0 + 0$, joten reaktio on kielletty. (2) varaus $-1 = 0 - 1$ ja baryoniluku $1 = 1 + 0$ säilyvät, mutta

   $Q$$= (1672{,}45 - 1192{,}642 - 493{,}677)\,\text{MeV}$

   $= -13{,}869\,\text{MeV}$

   $< 0$

   joten energia ei riitä. (3) varaus $-1 = 0 - 1$ ja baryoniluku $1 = 1 + 0$ säilyvät, ja

   $Q$$= (1672{,}45 - 1115{,}683 - 493{,}677)\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$

   $= 63{,}090\,\text{MeV}$

   Vastaus

   Reaktio (3) $\Omega^- \to \Lambda^0 + K^-$ on mahdollinen, ja siinä vapautuu $63{,}09\,\text{MeV}$, sadasosan tarkkuudella kuten omegan massa.

   Järkevyys

   Pyöristettynä $1672 - 1116 - 494 = 62$, lähellä tulosta. Reaktiot (2) ja (3) eroavat vain baryonin massaltaan: kevyempi $\Lambda^0$ jättää energiaa yli, raskaampi $\Sigma^0$ ei. Pelkkä varaus ei kerro kvarkkien lajia: myös $\Delta^- = d\,d\,d$ on varaukseltaan $-e$, mutta sen massa on vain noin $1232\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, koska $d$-kvarkki on kevyempi kuin $s$-kvarkki. Havaittu $\Omega^-$ hajoaa useimmiten juuri reaktiolla (3).

2. Tehtävä 15-11

   Tieteiskirjallisuudessa avaruusalukset kulkevat antiaineella. Kuinka paljon energiaa vapautuisi, kun $1{,}0\,\text{g}$ antiainetta annihiloituu $1{,}0\,\text{g}$:n kanssa tavallista ainetta ja kaikki massa muuttuu säteilyn energiaksi ($c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$)?

   10¹⁴ JTarkista
   Vastaus

   $1{,}8 \cdot 10^{14}\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   antiaineen massa $1{,}0\,\text{g}$ ja tavallisen aineen massa $1{,}0\,\text{g}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$

   Kysytty

   vapautuva energia $E$ yksikössä $10^{14}\,\text{J}$

   Periaate

   Annihilaatiossa sekä antiaineen että tavallisen aineen massa muuttuu säteilyn energiaksi, joten mukana on koko massa $2{,}0\,\text{g}$. Massan ja energian ekvivalenssi antaa energian.

   Kaava

   $E = mc^2$, jossa $m = m_\text{anti} + m_\text{aine}$, josta $E = (m_\text{anti} + m_\text{aine})\,c^2$

   Muunnokset

   $1{,}0\,\text{g} + 1{,}0\,\text{g}$$= 2{,}0\,\text{g}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

   ja $1\,\text{kg} \cdot \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 1\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $E$$= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot (2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 8{,}988 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 1{,}798 \cdot 10^{14}\,\text{J}$

   Vastaus

   $1{,}8 \cdot 10^{14}\,\text{J}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $1{,}0\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Arviolla $2 \cdot 10^{-3} \cdot (3 \cdot 10^{8})^2 = 1{,}8 \cdot 10^{14}$. Tavallinen virhe olisi käyttää vain antiaineen massaa, jolloin tulos olisi puolet. Energia vastaa noin $50\,\text{GWh}$, sillä $1\,\text{GWh} = 3{,}6 \cdot 10^{12}\,\text{J}$.

3. Tehtävä 15-12

   Antineutriinot havaittiin ensimmäisen kerran vuonna 1956 ydinreaktorin vieressä reaktiolla $\bar{\nu}_e + p \to n + X$. Päättele varauksen, baryoniluvun ja leptoniluvun säilymisestä, mikä hiukkanen $X$ on. Mikä on hiukkasen $X$ leptoniluku $L$?

   Tarkista
   Vastaus

   $L_X = -1$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   reaktio $\bar{\nu}_e + p \to n + X$; taulukosta $\bar{\nu}_e$: $q = 0$, $B = 0$, $L = -1$; $p$: $q = +1$, $B = 1$, $L = 0$; $n$: $q = 0$, $B = 1$, $L = 0$

   Kysytty

   hiukkasen $X$ leptoniluku $L_X$

   Periaate

   Varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät kaikissa hiukkasreaktioissa, joten hiukkasen $X$ luvut saadaan alku- ja lopputilan erotuksesta. Ne kertovat myös, mikä hiukkanen $X$ on.

   Kaava

   $L_{\bar{\nu}} + L_p = L_n + L_X$, josta $L_X = L_{\bar{\nu}} + L_p - L_n$

   Muunnokset

   Ei tarvita, koska luvut ovat yksiköttömiä.

   Sijoitus

   $L_X = -1 + 0 - 0 = -1$; samoin $q_X = 0 + 1 - 0 = +1$ ja $B_X = 0 + 1 - 1 = 0$

   Vastaus

   $L_X = -1$

   Tulos on tarkka kokonaisluku. Hiukkanen, jonka $q = +1$, $B = 0$ ja $L = -1$, on antilepton eli positroni $e^+$: $\bar{\nu}_e + p \to n + e^+$.

   Järkevyys

   Reaktio on beeta plus -hajoamisen kaltainen: protoni muuttuu neutroniksi ja syntyy positroni. Cowanin ja Reinesin koe havaitsi juuri positronin annihilaatiosta syntyneet $511\,\text{keV}$:n fotonit ja neutronin sieppauksen.