Maailmankaikkeuden kehitys
Miksi kaukaisten galaksien spektriviivat ovat siirtyneet punaiseen päin, ja sitä enemmän, mitä kauempana galaksi on?
Pohjatiedot
- Atomi absorboi ja lähettää vain fotoneja, joiden energia on kahden energiatason erotus, joten jokaisella alkuaineella on omat spektriviivansaluku Spektrit paljastavat atomin energiatasot
- Kevyiden ytimien fuusio vapauttaa energiaa, koska sidosenergia nukleonia kohti kasvaa rautaan astiluku Fissio, fuusio ja ydinvoima
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Kaukaisen galaksin valon spektrissä näkyvät vedyn tutut absorptioviivat, mutta ne ovat väärissä kohdissa. Punainen viiva, joka laboratoriossa on aallonpituudella $656{,}3\,\text{nm}$, näkyy aallonpituudella $669{,}4\,\text{nm}$, ja sinivihreä viiva on siirtynyt $486{,}1\,\text{nm}$:stä $495{,}8\,\text{nm}$:iin. Siirtymät ovat eri suuret, mutta kumpikin on $2{,}0\,\%$ viivan omasta aallonpituudesta. Lähes jokaisen galaksin viivat ovat siirtyneet samalla tavalla pidempiin aallonpituuksiin.
Mitä viivojen siirtymä kertoo galakseista, ja mitä siitä voi päätellä maailmankaikkeuden menneisyydestä?
Valinnainen Kertaa: absorptioviivat
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: punasiirtymä ja etäisyys
Ennuste 2: olemmeko keskipisteessä?
Tutki
Valitse galaksi. Vertaa sen vedyn viivoja laboratorion viivoihin, ja kokoa kuvaajaan galaksien nopeudet etäisyyden funktiona. Sovita lopuksi pisteisiin origon kautta kulkeva suora.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse Galaksi-valikosta galaksi $1$–$8$. Karttaan galaksi on rengastettu, ja siitä Linnunrataan kulkee valoaalto, jonka aallonpituus venyy matkalla. Spektrikuvassa ylempänä ovat vedyn absorptioviivat laboratoriossa ja alempana samat viivat galaksin valossa; katkoviiva näyttää punaisen $\text{H}\alpha$-viivan siirtymän. Lukemissa ovat galaksin etäisyys $d$, $\text{H}\alpha$-viivan aallonpituus ja siirtymä $\Delta\lambda$, punasiirtymä $z$ ja nopeus $v$. Jokainen valitsemasi galaksi jättää kuvaajaan pisteen $(d, v)$. Liukusäädin Suoran kulmakerroin $H_0$ kääntää origon kautta kulkevaa suoraa $v = H_0\,d$: säädä se kulkemaan pisteiden keskeltä. Nopeus muuttaa vain valoaallon liikettä, ja Tyhjennä kuvaaja poistaa pisteet.
Mallin oletukset
Galaksit ja niiden etäisyydet ovat keksittyjä, mutta niiden nopeudet noudattavat Hubblen ja Lemaîtren lakia, johon on lisätty jokaiselle galaksille oma, muutaman sadan kilometrin sekuntinopeus. Etäisyydet oletetaan tunnetuiksi tarkasti, kuten ne olisi mitattu esimerkiksi supernovien kirkkaudesta. Punasiirtymät ovat pieniä, alle $0{,}1$, joten nopeus on $v = cz$. Kartta näyttää galaksien suunnat ja etäisyydet suunnilleen oikeassa suhteessa, ja valoaallon venyminen on liioiteltu kahdeksankertaiseksi. Lukemat ovat mallin arvoja eivätkä mittauksia.
Laskennan selitys
Jokainen vedyn viiva näkyy aallonpituudella $\lambda = \lambda_0\,(1 + z)$, joten punasiirtymä on $z = \tfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}$ ja nopeus $v = cz$, missä $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$. Laboratorion aallonpituudet ovat $\text{H}\alpha$ $656{,}3\,\text{nm}$, $\text{H}\beta$ $486{,}1\,\text{nm}$, $\text{H}\gamma$ $434{,}0\,\text{nm}$ ja $\text{H}\delta$ $410{,}2\,\text{nm}$. Suoran kulmakertoimesta lasketaan aika $\tfrac{1}{H_0}$ sijoittamalla $1\,\text{Mpc} = 3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}$ ja $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$; se näytetään miljardeina vuosina.
Koe: punasiirtymä ja etäisyys
Testaa ennuste 1. Valitse galaksit vuorotellen ja kirjaa jokaisesta etäisyys $d$, $\text{H}\alpha$-viivan siirtymä $\Delta\lambda$, punasiirtymä $z$ ja nopeus $v$, ainakin viidestä galaksista, mieluiten kaikista kahdeksasta. Katso, miten pisteet asettuvat kuvaajaan.
Alkutila: galaksi: galaksi 1, $H_0$ = $50\,\text{km/s/Mpc}$. Vakiona: ei mitään. Muutetaan: galaksi.
| galaksi | $d$ $(\text{Mpc})$ | $\Delta \lambda$ $(\text{nm})$ | $z$ | $v$ $(\text{km/s})$ |
|---|
Säädä liukusäädintä $H_0$, kunnes suora kulkee pisteiden keskeltä niin, että pisteitä jää suunnilleen yhtä paljon suoran kummallekin puolelle. Mikä on sovituksesi antama Hubblen vakio yksikössä $\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Suoran pitää kulkea origon kautta, koska omalla galaksillamme ($d = 0$) ei ole etääntymisnopeutta.
Vihje 2: mikä yhteys
Älä yritä osua yhteen pisteeseen: kaukaisimmat galaksit määräävät kulmakertoimen tarkimmin, koska niiden oma liike on pieni verrattuna laajenemisnopeuteen.
Vihje 3: välivaihe
Tarkista sovituksesi laskemalla kaukaisimman galaksin nopeuden ja etäisyyden suhde: $19\,030\,\text{km/s} : 275\,\text{Mpc}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
simulaation kahdeksan galaksin mallin arvot, esimerkiksi galaksi 4: $d = 110\,\text{Mpc}$, $v = 7560\,\text{km/s}$ ja galaksi 8: $d = 275\,\text{Mpc}$, $v = 19\,030\,\text{km/s}$
Kysytty
Hubblen vakio $H_0$ eli sovitetun suoran kulmakerroin yksikössä $\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$
Periaate
Hubblen ja Lemaîtren lain $v = H_0\,d$ kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, koska etäisyydellä nolla ei ole laajenemisnopeutta. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla; tässä hajonta johtuu galaksien omasta liikkeestä. Siksi kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta eikä kahdesta vierekkäisestä pisteestä.
Kuvaajan lukeminen
Kun $H_0$ on noin $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, suora kulkee pisteiden keskeltä: galaksit 1, 3, 5 ja 7 ovat hieman suoran yläpuolella ja galaksit 2, 4, 6 ja 8 hieman alapuolella. Suoralta luetaan piste etäisyydellä $d = 200\,\text{Mpc}$, jossa $v = 14\,000\,\text{km/s}$.
Kaava
$v = H_0\,d$, joten $H_0 = \dfrac{v}{d}$
Muunnokset
Ei tarvita: nopeus on kilometreinä sekunnissa ja etäisyys megaparsekeina, kuten kysytyssä yksikössä.
Sijoitus
Vastaus
noin $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$; silmämääräinen sovitus antaa kaksi merkitsevää numeroa, ja muutaman yksikön ero on hyväksyttävä.
Järkevyys
Kaukaisimmasta galaksista $19\,030 : 275 \approx 69$ ja galaksista 4 $7560 : 110 \approx 69$, lähellä sovitusta. Pienimmän neliösumman suora origon kautta antaa $69{,}8\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$. Lukemissa $\tfrac{1}{H_0} \approx 14 \cdot 10^{9}\,\text{a}$, lähellä maailmankaikkeuden ikää $13{,}8$ miljardia vuotta.
Johtopäätös: Hubblen ja Lemaîtren laki
Kirjoita taulukkosi ja kuvaajan perusteella: Miten galaksin nopeus riippuu sen etäisyydestä? Miksi pisteet eivät ole täsmälleen suoralla? Mitä sovittamasi suoran kulmakerroin $H_0$ ja aika $\tfrac{1}{H_0}$ kertovat maailmankaikkeudesta?
Mallivastaus
Mallin arvoina nopeus kasvaa suoraan verrannollisesti etäisyyteen: galaksi 2 ($45\,\text{Mpc}$) loittonee $2840\,\text{km/s}$, galaksi 4 ($110\,\text{Mpc}$) $7560\,\text{km/s}$ ja galaksi 8 ($275\,\text{Mpc}$) $19\,030\,\text{km/s}$. Pisteet ovat lähellä origon kautta kulkevaa suoraa $v = H_0\,d$, jonka kulmakerroin on noin $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$. Pisteet poikkeavat suorasta muutamia satoja kilometrejä sekunnissa, koska galakseilla on myös omaa liikettään; kaukaisilla galakseilla se on pieni verrattuna laajenemisnopeuteen. Suhteellisuus tarkoittaa, että kaikki etäisyydet kasvavat samassa suhteessa eli avaruus laajenee. Jos laajenemisnopeus olisi pysynyt samana, kaikki galaksit olisivat olleet samassa paikassa ajan $\tfrac{1}{H_0} \approx 14$ miljardia vuotta sitten.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Galaksin spektri ja punasiirtymä
Galaksin valo on sen miljardien tähtien valoa. Kun valo hajotetaan spektriksi, siinä näkyy tummia absorptioviivoja, jotka syntyvät, kun tähtien kaasukehän atomit absorboivat tietyn energian fotoneja (luku Spektrit paljastavat atomin energiatasot). Vedyn viivat ovat samat kuin laboratoriossa, joten ne tunnistetaan. Kaukaisen galaksin spektrissä jokainen viiva on kuitenkin siirtynyt pidempään aallonpituuteen eli punaiseen päin. Tätä kutsutaan punasiirtymäksi. Siirtymä ei ole joka viivalla yhtä monta nanometriä, vaan joka viivalla sama osuus omasta aallonpituudestaan: kuvan galaksissa $5{,}0\,\%$. Siirtymän suuruutta kuvaa punasiirtymä $z$.
Maailmankaikkeus laajenee
Lähes kaikkien galaksien valossa on punasiirtymä, ja sitä suurempi, mitä kauempana galaksi on. Georges Lemaître päätteli vuonna 1927 ja Edwin Hubble osoitti mittauksillaan vuonna 1929, että galaksit loittonevat meistä nopeudella, joka on suoraan verrannollinen niiden etäisyyteen. Syy ei ole se, että olisimme keskipisteessä. Avaruus itse laajenee: kaikki galaksien väliset etäisyydet kasvavat samassa suhteessa. Kun etäisyydet kasvavat esimerkiksi $1{,}5$-kertaisiksi, kaksi kertaa kauempana oleva galaksi siirtyy samassa ajassa kaksi kertaa pidemmän matkan. Mistä tahansa galaksista katsottuna kaikki muut loittonevat samalla tavalla, joten laajenemisella ei ole keskipistettä. Galaksit itse ja niiden tähdet eivät laajene, koska painovoima pitää ne koossa.
Punasiirtymä syntyy, kun avaruuden laajeneminen venyttää valon aallonpituutta sen matkatessa galaksista meille. Lähellä olevien galaksien punasiirtymää voi tulkita kuten ääntä, jonka lähde loittonee: mitä nopeammin lähde loittonee, sitä pidempänä aallonpituus saapuu.
Alkuräjähdys
Jos galaksit loittonevat toisistaan nyt, ne olivat menneisyydessä lähempänä toisiaan. Laajenemista taaksepäin seuraamalla päädytään tilaan, jossa koko nykyinen havaittava maailmankaikkeus oli hyvin tiheä ja kuuma. Tästä tilasta alkanutta laajenemista kutsutaan alkuräjähdykseksi. Se tapahtui noin $13{,}8$ miljardia vuotta sitten. Nimestään huolimatta alkuräjähdys ei ollut räjähdys, jossa aine lensi tyhjään avaruuteen jostakin pisteestä: se tapahtui kaikkialla, ja avaruus itse alkoi laajeta. Laajetessaan maailmankaikkeus jäähtyi, ja jäähtyminen määrää, missä järjestyksessä ytimet, atomit, tähdet ja galaksit syntyivät.
Ensimmäiset ytimet
Ensimmäisten sekuntien jälkeen maailmankaikkeudessa oli protoneja, neutroneja, elektroneja, fotoneja ja neutriinoja. Noin kolmen minuutin kuluttua lämpötila oli laskenut miljardiin kelviniin, ja protonit ja neutronit alkoivat yhtyä fuusiossa ytimiksi (luku Fissio, fuusio ja ydinvoima). Lähes kaikki neutronit päätyivät helium-4-ytimiin, koska niiden sidosenergia nukleonia kohti on kevyistä ytimistä suurin (luku Massavaje ja ytimen sidosenergia). Neutroneja oli tällöin noin yksi seitsemää protonia kohti. Siksi noin $25\,\%$ massasta päätyi heliumiksi ja noin $75\,\%$ jäi vedyksi, eli yksittäisiksi protoneiksi. Noin $20$ minuutin kuluttua maailmankaikkeus oli jo liian kylmä ja harva fuusiolle, joten raskaampia alkuaineita syntyi vain hivenen. Vanhimpien tähtien ja kaasupilvien havaittu heliumin osuus on juuri tätä luokkaa.
Kosminen taustasäteily
Ytimet eivät heti saaneet elektroneja ympärilleen. Fotonien energia oli niin suuri, että ne ionisoivat jokaisen syntyvän atomin, ja vapaat elektronit sirottivat fotoneja joka suuntaan: maailmankaikkeus oli kuin hehkuvaa sumua. Noin $380\,000$ vuoden kuluttua lämpötila oli laskenut noin $3000\,\text{K}$:iin. Silloin fotoneja, joiden energia riittää vetyatomin ionisoimiseen eli on vähintään $13{,}6\,\text{eV}$ (luku Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli), ei enää ollut tarpeeksi. Elektronit sitoutuivat ytimiin atomeiksi, ja koska atomi absorboi vain energiatasojensa erotusta vastaavia fotoneja, maailmankaikkeus muuttui läpinäkyväksi.
Tuolloin vapautunut valo on yhä matkalla. Laajeneminen on venyttänyt sen aallonpituudet noin $1100$-kertaisiksi, joten nyt se on mikroaaltoja, joiden tyypillinen aallonpituus on noin $1{,}06\,\text{mm}$. Tämä on kosminen taustasäteily. Arno Penzias ja Robert Wilson löysivät sen vuonna 1965. Sitä tulee joka suunnasta lähes tasaisesti, ja sen spektri vastaa kappaletta, jonka lämpötila on $2{,}725\,\text{K}$.
Tähdet valmistavat raskaammat alkuaineet
Muutaman sadan miljoonan vuoden kuluttua painovoima oli koonnut vety- ja heliumkaasua pilviksi, joiden ytimissä lämpötila nousi niin korkeaksi, että fuusio alkoi: syntyivät ensimmäiset tähdet. Tähti, kuten Aurinko, fuusioi ytimessään vetyä heliumiksi suurimman osan elämästään. Kun vety ytimestä loppuu, ydin kutistuu ja kuumenee, ja helium alkaa fuusioitua hiileksi ja hapeksi. Hyvin massiivisissa tähdissä fuusio jatkuu yhä raskaampiin ytimiin aina rautaan asti. Fuusio vapauttaa energiaa vain niin kauan kuin syntyvä ydin on tiiviimmin sidottu kuin lähtöytimet, ja sidosenergiakäyrän huippu on rauta-56:n kohdalla.
Kun massiivisen tähden ytimessä on rautaa, fuusio ei enää tuota energiaa, joka pitäisi ytimen koossa. Ydin luhistuu, ja tähti räjähtää supernovana. Rautaa raskaammat alkuaineet, kuten kulta ja uraani, syntyvät pääosin neutronisieppauksessa: ytimet sieppaavat neutroneja, ja osa neutroneista muuttuu beeta miinus -hajoamisessa protoneiksi (luku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen). Nopeaa neutronisieppausta tapahtuu supernovissa ja kahden neutronitähden törmäyksissä, joista yksi havaittiin vuonna 2017. Supernovat ja tähtituulet levittävät alkuaineet avaruuteen, ja niistä syntyy uusia tähtiä ja planeettoja. Aurinko ja Maa syntyivät tällaisesta kaasusta noin $4{,}6$ miljardia vuotta sitten, joten kehomme hiili, happi ja rauta ovat syntyneet aiempien tähtien sisällä.
Pimeä aine ja pimeä energia
Galaksien tähdet ja kaasu kiertävät galaksin keskustaa. Näkyvän aineen painovoiman perusteella kaukana keskustasta kiertävien tähtien ratanopeuden pitäisi pienentyä, mutta mitattu nopeus pysyy lähes vakiona kauas galaksin laitamille. Myös galaksijoukkojen galaksit liikkuvat niin nopeasti, ja joukot taivuttavat takanaan olevan valon niin paljon, että niissä on oltava paljon enemmän massaa kuin näkyy. Tätä näkymätöntä, valoa säteilemätöntä ja absorboimatonta ainetta kutsutaan pimeäksi aineeksi. Se ei voi olla tavallista ainetta, sillä tavallisen aineen kokonaismäärä on päätelty sekä alkuräjähdyksen heliumin ja deuteriumin määristä että taustasäteilystä. Mistä pimeä aine koostuu, ei tiedetä.
Vuonna 1998 kaukaisten supernovien mittaukset osoittivat, että laajeneminen kiihtyy eikä hidastu, kuten painovoiman perusteella odotettiin. Kiihtymisen syytä kutsutaan pimeäksi energiaksi, mutta sen luonne on fysiikan suurimpia avoimia kysymyksiä. Planck-satelliitin taustasäteilymittausten mukaan maailmankaikkeuden energiasisällöstä tavallista ainetta on vain noin $5\,\%$, pimeää ainetta noin $26\,\%$ ja pimeää energiaa noin $69\,\%$. Avoin kysymys on myös Hubblen vakion tarkka arvo: taustasäteilystä päätelty arvo ja lähigalaksien etäisyyksistä mitattu arvo eroavat toisistaan enemmän kuin mittausten epävarmuudet sallisivat.
Hubblen ja Lemaîtren laki
Punasiirtymä ja etääntymisnopeus
Punasiirtymä on spektriviivan aallonpituuden muutos suhteessa sen aallonpituuteen laboratoriossa:
$$z = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}$$
missä $\lambda$ on galaksin valosta mitattu aallonpituus, $\lambda_0$ saman viivan aallonpituus laboratoriossa ja $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0$ aallonpituuden muutos. Punasiirtymä on paljas luku ilman yksikköä, ja se on sama spektrin jokaiselle viivalle. Kun punasiirtymä on pieni, noin $z < 0{,}1$, galaksin etääntymisnopeus on likimain
$$v = c\,z$$
missä $v$ on etääntymisnopeus ja $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$ valon nopeus. Esimerkiksi punasiirtymä $z = 0{,}010$ tarkoittaa nopeutta $v = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s} \cdot 0{,}010 \approx 3000\,\text{km/s}$. Hyvin kaukaisille galakseille, joiden punasiirtymä on suuri, yhtälö ei enää päde.
Hubblen ja Lemaîtren laki
Galaksien etäisyyksiä mitataan megaparsekeina: $1\,\text{Mpc} = 3{,}086 \cdot 10^{22}\,\text{m}$, eli valo kulkee megaparsekin noin $3{,}26$ miljoonassa vuodessa. Galaksin etääntymisnopeus on suoraan verrannollinen sen etäisyyteen:
$$v = H_0\,d$$
missä $v$ on etääntymisnopeus, $d$ galaksin etäisyys ja $H_0$ Hubblen vakio, jonka arvo on noin $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$. Se tarkoittaa, että jokaista megaparsekia kohti etääntymisnopeus kasvaa noin $70\,\text{km/s}$. Hubblen vakio on $(d, v)$-kuvaajan origon kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi ja siksi, että galakseilla on myös omaa liikettään, tyypillisesti muutamia satoja kilometrejä sekunnissa. Kaukaisilla galakseilla oma liike on pieni verrattuna laajenemisnopeuteen.
Maailmankaikkeuden ikä
Jos galaksi on liikkunut koko ajan nopeudella $v = H_0\,d$, se on ollut samassa paikassa kuin me ajan $t = \tfrac{d}{v}$ sitten. Sijoitetaan Hubblen ja Lemaîtren laki:
$$t = \frac{d}{v} = \frac{d}{H_0\,d} = \frac{1}{H_0}$$
Etäisyys supistuu pois, joten aika on sama kaikille galakseille. Arvolla $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, kun megaparsekin paikalle sijoitetaan $1\,\text{Mpc} = 3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}$ ja vuoden paikalle $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$:
$$\begin{aligned} t &= \frac{1}{H_0} \\ &= \frac{1\,\text{Mpc}}{70\,\text{km/s}} \\ &= \frac{3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}}{70\,\text{km/s}} \\ &= 4{,}41 \cdot 10^{17}\,\text{s} \\ &= \frac{4{,}41 \cdot 10^{17}}{3{,}156 \cdot 10^{7}}\,\text{a} \\ &\approx 1{,}4 \cdot 10^{10}\,\text{a} \end{aligned}$$
Arvio on noin $14$ miljardia vuotta, lähellä tarkempaa arvoa $13{,}8$ miljardia vuotta. Arvio ei ole tarkka, koska laajenemisnopeus ei ole ollut koko ajan sama: ensin painovoima hidasti laajenemista, ja viimeiset miljardit vuodet pimeä energia on kiihdyttänyt sitä.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että alkuräjähdys oli räjähdys tietyssä avaruuden kohdassa ja että galaksit lentävät siitä poispäin tyhjään avaruuteen. Silloin räjähdyksen keskipiste olisi jossain, ja sieltä katsottuna galaksit loittonisivat eri tavalla kuin muualta katsottuna. Havainnot osoittavat toisin: mistä suunnasta tahansa katsottuna galaksit loittonevat samalla tavalla, ja taustasäteilyä tulee joka suunnasta lähes tasaisesti. Laajeneminen ei tapahdu avaruudessa, vaan avaruus itse laajenee, ja kaikki galaksien väliset etäisyydet kasvavat samassa suhteessa. Laajenemisella ei ole keskipistettä eikä reunaa.
Toinen virhe on ajatella, että punasiirtymä tarkoittaa galaksin olevan väriltään punainen. Punasiirtymä on spektriviivojen siirtymä pidempiin aallonpituuksiin. Siirtymä on aina sama osuus viivan omasta aallonpituudesta, joten sininen viiva siirtyy vähemmän nanometrejä kuin punainen.
Tiivistelmä
- Kaukaisten galaksien spektriviivat ovat siirtyneet pidempiin aallonpituuksiin. Punasiirtymä on $z = \tfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}$, ja pienellä punasiirtymällä etääntymisnopeus on $v = cz$.
- Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan $v = H_0\,d$, missä $H_0 \approx 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$. Avaruus laajenee, eikä laajenemisella ole keskipistettä.
- Maailmankaikkeuden iän arvio on $\tfrac{1}{H_0} \approx 14$ miljardia vuotta; tarkempi arvo on $13{,}8$ miljardia vuotta.
- Alkuräjähdyksen ensimmäisten minuuttien fuusiossa noin $25\,\%$ massasta muuttui heliumiksi ja loput jäi vedyksi.
- Kosminen taustasäteily vapautui, kun maailmankaikkeus jäähtyi noin $3000\,\text{K}$:iin ja atomit syntyivät; laajeneminen on venyttänyt sen mikroaalloiksi, joiden lämpötila on $2{,}725\,\text{K}$.
- Tähdet fuusioivat alkuaineita rautaan asti, ja raskaammat syntyvät neutronisieppauksessa supernovissa ja neutronitähtien törmäyksissä.
- Tavallista ainetta on vain noin $5\,\%$ maailmankaikkeuden energiasisällöstä; pimeä aine ja pimeä energia ovat yhä avoimia kysymyksiä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeen mallin arvoihin ja teoriaan. Palaa sitten alun kysymykseen: mitä galaksien punasiirtymä kertoo maailmankaikkeuden menneisyydestä, ja miksi se ei tarkoita, että olisimme keskipisteessä?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Galaksin spektrissä vedyn punainen $\text{H}\alpha$-viiva, jonka aallonpituus laboratoriossa on $656{,}3\,\text{nm}$, näkyy aallonpituudella $679{,}3\,\text{nm}$. Galaksin etäisyys on mitattu muulla tavalla, ja se on $150\,\text{Mpc}$. Laske galaksin etääntymisnopeus ja sen avulla Hubblen vakion arvo.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Laboratorion aallonpituus $\lambda_0 = 656{,}3\,\text{nm}$, galaksin valosta mitattu aallonpituus $\lambda = 679{,}3\,\text{nm}$, etäisyys $d = 150\,\text{Mpc}$ ja valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$. Kysytään etääntymisnopeutta $v$ ja Hubblen vakiota $H_0$.
Vaihe 2/7
Periaate. Viivan siirtymä pidempään aallonpituuteen on punasiirtymä $z = \tfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}$. Se on pieni, joten etääntymisnopeus on $v = cz$. Hubblen ja Lemaîtren lain $v = H_0\,d$ mukaan Hubblen vakio on nopeuden ja etäisyyden suhde.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Punasiirtymä, nopeus ja Hubblen vakio:
$$\begin{aligned} z &= \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \\ v &= c\,z \\ H_0 &= \frac{v}{d} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: aallonpituuksien yksikkö supistuu punasiirtymästä, valon nopeus on valmiiksi kilometreinä sekunnissa ja etäisyys megaparsekeina, joten $H_0$ saadaan suoraan yksikössä $\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Ensin punasiirtymä, sitten nopeus ja Hubblen vakio:
$$\begin{aligned} z &= \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \\ &= \frac{679{,}3\,\text{nm} - 656{,}3\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}} \\ &= \frac{23{,}0\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}} = 0{,}035045 \\[6pt] v &= c\,z \\ &= 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s} \cdot 0{,}035045 \\ &= 10\,506\,\text{km/s} \\[6pt] H_0 &= \frac{10\,506\,\text{km/s}}{150\,\text{Mpc}} \\ &= 70{,}04\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Galaksin etääntymisnopeus on $1{,}05 \cdot 10^{4}\,\text{km/s}$ ja Hubblen vakio $70{,}0\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituuksien erotuksessa $23{,}0\,\text{nm}$ ja etäisyydessä $150\,\text{Mpc}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Nopeus on noin $3{,}5\,\%$ valon nopeudesta, joten punasiirtymä on pieni ja yhtälö $v = cz$ pätee. Pyöristetyillä luvuilla $\tfrac{23}{660} \approx 0{,}035$ ja $0{,}035 \cdot 300\,000\,\text{km/s} \approx 10\,500\,\text{km/s}$. Tulos $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$ on sama kuin Hubblen vakion tunnettu arvo.
Valinnainen Etsi virhe
Siirrä: kalsiumin viiva
Galaksien spektreissä näkyy vedyn lisäksi muiden alkuaineiden viivoja. Kalsiumionin violetin K-viivan aallonpituus laboratoriossa on $393{,}4\,\text{nm}$. Galaksijoukon galaksien valossa viiva näkyy aallonpituudella $401{,}3\,\text{nm}$.
Kuinka kaukana galaksijoukko on, kun $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$ ja $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$? Vastaa megaparsekeina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä suure kertoo, kuinka paljon viiva on siirtynyt suhteessa omaan aallonpituuteensa? Tarvitset siihen laboratorion aallonpituuden.
Vihje 2: mikä yhteys
Punasiirtymästä saat nopeuden $v = cz$, ja Hubblen ja Lemaîtren laista $v = H_0\,d$ etäisyyden.
Vihje 3: välivaihe
Siirtymä on $\Delta\lambda = 7{,}9\,\text{nm}$, joten
Näytä ratkaisu
Annettu
kalsiumin K-viiva laboratoriossa $\lambda_0 = 393{,}4\,\text{nm}$ ja galaksijoukon valossa $\lambda = 401{,}3\,\text{nm}$, $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$
Kysytty
galaksijoukon etäisyys $d$ megaparsekeina
Periaate
Punasiirtymä on sama jokaiselle alkuaineen viivalle, joten myös kalsiumin viivasta saadaan $z = \tfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}$. Punasiirtymä on pieni, joten nopeus on $v = cz$, ja Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan etäisyys on nopeus jaettuna Hubblen vakiolla.
Kaava
$v = cz$ ja $v = H_0\,d$, joten
Muunnokset
Ei tarvita: nanometrit supistuvat punasiirtymästä, ja kun valon nopeus on kilometreinä sekunnissa, kilometrit sekunnissa supistuvat ja etäisyys saadaan megaparsekeina.
Sijoitus
Vastaus
$86\,\text{Mpc}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten siirtymässä $7{,}9\,\text{nm}$ ja Hubblen vakiossa $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Järkevyys
Siirtymä on noin $2\,\%$ aallonpituudesta, joten nopeus on noin $2\,\%$ valon nopeudesta eli $6000\,\text{km/s}$, ja $6000 : 70 \approx 86$. Etäisyys on samaa suuruusluokkaa kuin lähimpien suurten galaksijoukkojen, noin $100\,\text{Mpc}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Miksi alkuräjähdyksen jälkeisinä minuutteina syntyi lähes pelkästään vetyä ja heliumia eikä esimerkiksi hiiltä tai rautaa?
Vastaus
Fuusio oli mahdollista vain noin minuuteista $3$ minuuttiin $20$, sillä sen jälkeen maailmankaikkeus oli laajentunut liian kylmäksi ja harvaksi, jotta varatut ytimet olisivat yhä törmänneet riittävän lujaa. Tänä aikana protonit ja neutronit ehtivät yhtyä lähinnä helium-4:ksi, joka on kevyistä ytimistä tiiviimmin sidottu. Raskaammat alkuaineet syntyivät vasta tähdissä satojen miljoonien vuosien kuluttua.
- Mitä havaintoa pimeällä aineella yritetään selittää? Nimeä yksi.
Vastaus
Esimerkiksi galaksien laitamien tähdet ja kaasu kiertävät galaksin keskustaa yhtä nopeasti kuin lähempänä olevat, vaikka näkyvän aineen painovoima ei riittäisi pitämään niitä radoillaan. Myös galaksijoukkojen galaksien suuret nopeudet ja joukkojen aiheuttama valon taipuminen vaativat paljon enemmän massaa kuin näkyy.
1. Käsite
2. Lue Hubblen vakio kuvaajasta
Kuvaajassa on yhdeksän galaksin etääntymisnopeus $v$ etäisyyden $d$ funktiona, ja pisteisiin on sovitettu origon kautta kulkeva suora. Mikä on kuvaajan mukainen Hubblen vakio yksikössä $\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Hubblen vakio on suoran kulmakerroin, $H_0 = \tfrac{v}{d}$.
Vihje 2: mikä yhteys
Lue kulmakerroin sovitetun suoran pisteestä, ei yksittäisestä galaksista. Valitse suoralta piste, joka on ruudukon viivojen risteyksessä.
Vihje 3: välivaihe
Suora kulkee pisteen $d = 250\,\text{Mpc}$, $v = 18\,000\,\text{km/s}$ kautta.
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaaja galaksien nopeudesta $v$ etäisyyden $d$ funktiona ja pisteisiin sovitettu origon kautta kulkeva suora
Kysytty
Hubblen vakio $H_0$ yksikössä $\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$
Periaate
Hubblen ja Lemaîtren lain $v = H_0\,d$ mukaan Hubblen vakio on $(d, v)$-kuvaajan origon kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Galaksien oma liike hajottaa pisteitä, joten kulmakerroin luetaan sovitetulta suoralta eikä yksittäisestä pisteestä.
Kuvaajan lukeminen
Suora kulkee origon ja ruudukon pisteen $d = 250\,\text{Mpc}$, $v = 18\,000\,\text{km/s}$ kautta. Origossa $v = 0$, joten kulmakerroin on näiden lukemien suhde.
Kaava
$v = H_0\,d$, joten $H_0 = \dfrac{v}{d}$
Muunnokset
Ei tarvita: nopeus on kilometreinä sekunnissa ja etäisyys megaparsekeina, kuten kysytyssä yksikössä.
Sijoitus
Vastaus
$72\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$
Kaksi merkitsevää numeroa, jotka kuvaajasta voi lukea.
Järkevyys
Toinen suoran piste, $d = 125\,\text{Mpc}$ ja $v = 9000\,\text{km/s}$, antaa saman kulmakertoimen. Arvo on lähellä tunnettua arvoa $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, ja sitä vastaava ikäarvio $\tfrac{1}{H_0}$ on noin $13{,}6$ miljardia vuotta.
Harjoittele tason 1 tehtävissä, joissa käytetään Hubblen ja Lemaîtren lakia.
Valinnainen 3. Selitä: mistä kulta tulee?
Kultasormuksen kulta-197-ytimissä on $197$ nukleonia. Miksi kultaa ei syntynyt alkuräjähdyksessä eikä Auringon kaltaisen tähden fuusiossa? Missä se syntyi? Käytä perustelussa sidosenergiakäyrää.
Mallivastaus
Alkuräjähdyksen jälkeen fuusiota kesti vain noin $20$ minuuttia, ja siinä syntyi lähinnä heliumia. Tähdissä fuusio vapauttaa energiaa vain niin kauan kuin syntyvä ydin on tiiviimmin sidottu kuin lähtöytimet eli sidosenergia nukleonia kohti kasvaa. Sidosenergiakäyrän huippu on rauta-56:n kohdalla, noin $8{,}8\,\text{MeV}$, joten rautaa raskaampien ytimien muodostaminen fuusiolla vaatisi energiaa eikä vapauttaisi sitä. Auringon kaltainen tähti fuusioi lisäksi vain vetyä heliumiksi ja lopuksi heliumia hiileksi ja hapeksi. Kulta syntyi neutronisieppauksessa: kun ytimeen tarttuu nopeasti paljon neutroneja ja osa niistä muuttuu beeta miinus -hajoamisessa protoneiksi, syntyy raskaita ytimiä. Tällaista nopeaa neutronisieppausta tapahtuu supernovissa ja neutronitähtien törmäyksissä. Sormuksen kulta on siis syntynyt tähtien räjähdyksissä tai törmäyksissä ennen Aurinkokunnan syntyä.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 16-1Ydintehtävä
Vedyn sinivihreän $\text{H}\beta$-viivan aallonpituus laboratoriossa on $486{,}1\,\text{nm}$. Erään galaksin spektrissä sama viiva näkyy aallonpituudella $492{,}4\,\text{nm}$. Kuinka suuri on galaksin punasiirtymä $z$?
Vastaus
$0{,}013$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\text{H}\beta$-viivan aallonpituus laboratoriossa $\lambda_0 = 486{,}1\,\text{nm}$ ja galaksin spektrissä $\lambda = 492{,}4\,\text{nm}$
Kysytty
punasiirtymä $z$, paljas luku ilman yksikköä
Periaate
Galaksin valossa näkyy sama vedyn viiva kuin laboratoriossa, mutta siirtyneenä pidempään aallonpituuteen. Punasiirtymä on aallonpituuden muutos suhteessa viivan laboratorioaallonpituuteen.
Kaava
$z$$= \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$Muunnokset
Ei tarvita: molemmat aallonpituudet ovat nanometreinä, ja yksikkö supistuu.
Sijoitus
$z$$= \dfrac{492{,}4\,\text{nm} - 486{,}1\,\text{nm}}{486{,}1\,\text{nm}}$$= \dfrac{6{,}3\,\text{nm}}{486{,}1\,\text{nm}}$$= 0{,}01296$Vastaus
$0{,}013$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituuksien erotuksessa $6{,}3\,\text{nm}$.
Järkevyys
Viiva siirtyi noin $6\,\text{nm}$ eli hieman yli prosentin aallonpituudestaan, joten $z \approx 0{,}01$ on oikeaa suuruusluokkaa. Punasiirtymä on positiivinen, koska viiva siirtyi pidempään aallonpituuteen.
- Tehtävä 16-2Ydintehtävä
Galaksin punasiirtymä on $z = 0{,}0250$. Kuinka suurella nopeudella galaksi etääntyy meistä? Valon nopeus on $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$. Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$7{,}50 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
punasiirtymä $z = 0{,}0250$, valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$
Kysytty
etääntymisnopeus $v$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Kun punasiirtymä on pieni, noin $z < 0{,}1$, galaksin etääntymisnopeus on punasiirtymän ja valon nopeuden tulo. Tässä $z = 0{,}0250$ on pieni, joten yhtälö pätee.
Kaava
$v = c\,z$
Muunnokset
Ei tarvita: valon nopeus on valmiiksi kilometreinä sekunnissa, ja punasiirtymä on paljas luku.
Sijoitus
$v$$= 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s} \cdot 0{,}0250$$= 7495\,\text{km/s}$Vastaus
$7{,}50 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten punasiirtymässä $0{,}0250$.
Järkevyys
Punasiirtymä $0{,}025$ tarkoittaa, että nopeus on $2{,}5\,\%$ valon nopeudesta: $0{,}025 \cdot 300\,000\,\text{km/s} = 7500\,\text{km/s}$. Nopeus on paljon pienempi kuin valon nopeus, kuten pienellä punasiirtymällä pitää.
- Tehtävä 16-3
Galaksi on etäisyydellä $120\,\text{Mpc}$. Kuinka suurella nopeudella se etääntyy meistä Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan, kun Hubblen vakio on $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$? Anna vastaus kilometreinä sekunnissa.
Vastaus
$8{,}4 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
galaksin etäisyys $d = 120\,\text{Mpc}$, Hubblen vakio $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$
Kysytty
etääntymisnopeus $v$ kilometreinä sekunnissa
Periaate
Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan galaksin etääntymisnopeus on suoraan verrannollinen sen etäisyyteen, koska avaruuden laajeneminen kasvattaa kaikkia etäisyyksiä samassa suhteessa. Galaksin oma liike jätetään huomiotta.
Kaava
$v = H_0\,d$
Muunnokset
Ei tarvita: etäisyys on megaparsekeina, joten megaparsek supistuu ja nopeus saadaan kilometreinä sekunnissa.
Sijoitus
$v$$= 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}} \cdot 120\,\text{Mpc}$$= 8400\,\text{km/s}$Vastaus
$8{,}4 \cdot 10^{3}\,\text{km/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakiossa $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Järkevyys
Jokaista megaparsekia kohti nopeus kasvaa $70\,\text{km/s}$, joten $100\,\text{Mpc}$:n päässä nopeus on $7000\,\text{km/s}$ ja $120\,\text{Mpc}$:n päässä hieman enemmän. Nopeus on alle $3\,\%$ valon nopeudesta.
- Tehtävä 16-4
Galaksi etääntyy meistä nopeudella $5250\,\text{km/s}$. Kuinka kaukana galaksi on, kun Hubblen vakio on $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$? Anna vastaus megaparsekeina.
Vastaus
$75\,\text{Mpc}$
Näytä ratkaisu
Annettu
etääntymisnopeus $v = 5250\,\text{km/s}$, Hubblen vakio $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$
Kysytty
galaksin etäisyys $d$ megaparsekeina
Periaate
Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan nopeus on suoraan verrannollinen etäisyyteen. Kun nopeus tunnetaan, etäisyys saadaan jakamalla nopeus Hubblen vakiolla. Galaksin oma liike jätetään huomiotta.
Kaava
$v = H_0\,d$, joten $d = \dfrac{v}{H_0}$
Muunnokset
Ei tarvita: kilometrit sekunnissa supistuvat, ja etäisyys saadaan megaparsekeina.
Sijoitus
$d$$= \dfrac{5250\,\text{km/s}}{70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}}$$= 75\,\text{Mpc}$Vastaus
$75\,\text{Mpc}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakiossa $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Järkevyys
Tarkistus kertomalla:
$70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}} \cdot 75\,\text{Mpc}$$= 5250\,\text{km/s}$sama kuin annettu nopeus. Etäisyys on samaa suuruusluokkaa kuin lähigalaksijoukkojen, kymmeniä megaparsekeja.
- Tehtävä 16-5
Kosmisen taustasäteilyn tyypillinen aallonpituus on $1{,}06\,\text{mm}$. Kuinka suuri on tämän aallonpituuden fotonin energia? Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Anna vastaus yksikössä $10^{-3}\,\text{eV}$.
Vastaus
$1{,}17 \cdot 10^{-3}\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 1{,}06\,\text{mm}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin energia $E$ yksikössä $10^{-3}\,\text{eV}$
Periaate
Taustasäteily on sähkömagneettista säteilyä, jonka energia on kvantittunut fotoneiksi (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni). Fotonin energia on kääntäen verrannollinen sen aallonpituuteen.
Kaava
$E = hf$ ja $f = \dfrac{c}{\lambda}$, joten $E = \dfrac{hc}{\lambda}$
Muunnokset
$1{,}06\,\text{mm} = 1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$. Jouleista elektronivoltteihin sijoitetaan
$1\,\text{J}$$= \dfrac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$Sijoitus
$E$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot \dfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}$$= 1{,}8740 \cdot 10^{-22}\,\text{J}$$= \dfrac{1{,}8740 \cdot 10^{-22}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$$= 1{,}1698 \cdot 10^{-3}\,\text{eV}$Vastaus
$1{,}17 \cdot 10^{-3}\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $1{,}06\,\text{mm}$.
Järkevyys
Näkyvän valon fotonin energia on $1{,}7$–$3{,}3\,\text{eV}$ ja aallonpituus noin $500\,\text{nm}$. Taustasäteilyn aallonpituus on noin $2000$ kertaa pidempi, joten energia on noin $2000$ kertaa pienempi: $2\,\text{eV} : 2000 = 1 \cdot 10^{-3}\,\text{eV}$.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 16-6Ydintehtävä
Vedyn $\text{H}\alpha$-viivan aallonpituus laboratoriossa on $656{,}3\,\text{nm}$. Galaksin spektrissä viiva näkyy aallonpituudella $671{,}0\,\text{nm}$. Kuinka kaukana galaksi on, kun Hubblen vakio on $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$ ja valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$? Anna vastaus megaparsekeina.
Vastaus
$96\,\text{Mpc}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\text{H}\alpha$-viiva laboratoriossa $\lambda_0 = 656{,}3\,\text{nm}$ ja galaksin spektrissä $\lambda = 671{,}0\,\text{nm}$, $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$
Kysytty
galaksin etäisyys $d$ megaparsekeina
Periaate
Viivan siirtymästä saadaan punasiirtymä $z$ ja siitä etääntymisnopeus $v = cz$, koska punasiirtymä on pieni. Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan nopeus on verrannollinen etäisyyteen, joten etäisyys on nopeus jaettuna Hubblen vakiolla.
Kaava
$z$$= \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$$v = cz$ ja $v = H_0\,d$, joten
$d$$= \dfrac{c\,(\lambda - \lambda_0)}{H_0\,\lambda_0}$Muunnokset
Ei tarvita: nanometrit supistuvat punasiirtymästä, ja kilometrit sekunnissa supistuvat, kun nopeus jaetaan Hubblen vakiolla.
Sijoitus
$z$$= \dfrac{671{,}0\,\text{nm} - 656{,}3\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}}$$= \dfrac{14{,}7\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}}$$= 0{,}022398$$v$$= 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s} \cdot 0{,}022398$$= 6715\,\text{km/s}$$d$$= \dfrac{6715\,\text{km/s}}{70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}}$$= 95{,}93\,\text{Mpc}$Vastaus
$96\,\text{Mpc}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakiossa $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Järkevyys
Punasiirtymä $z \approx 0{,}022$ on pieni, joten $v = cz$ pätee. Arviolla
$v$$\approx 0{,}022 \cdot 300\,000\,\text{km/s}$$= 6600\,\text{km/s}$$6600 : 70 \approx 94$, lähellä tulosta.
- Tehtävä 16-7Ydintehtävä
Planck-satelliitin taustasäteilymittauksista saatu Hubblen vakion arvo on $H_0 = 67{,}4\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$. Arvioi maailmankaikkeuden ikä olettaen, että laajenemisnopeus on pysynyt samana. Käytä $1\,\text{Mpc} = 3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}$ ja $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$. Anna vastaus yksikössä $10^{9}\,\text{a}$ eli miljardeina vuosina.
Vastaus
$14{,}5 \cdot 10^{9}\,\text{a}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Hubblen vakio $H_0 = 67{,}4\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, $1\,\text{Mpc} = 3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}$, $1\,\text{a} = 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s}$
Kysytty
maailmankaikkeuden iän arvio $t$ miljardeina vuosina
Periaate
Jos laajenemisnopeus on pysynyt samana, galaksi, joka on nyt etäisyydellä $d$ ja loittonee nopeudella $v = H_0\,d$, oli samassa paikassa kuin me ajan $t = \tfrac{d}{v}$ sitten. Etäisyys supistuu, joten aika on sama kaikille galakseille.
Kaava
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{d}{H_0\,d}$, joten $t = \dfrac{1}{H_0}$
Muunnokset
Megaparsekin paikalle sijoitetaan $1\,\text{Mpc} = 3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}$, jotta kilometrit supistuvat, ja sekunnit muutetaan vuosiksi sijoittamalla
$1\,\text{s}$$= \dfrac{1}{3{,}156 \cdot 10^{7}}\,\text{a}$Sijoitus
$t$$= \dfrac{1\,\text{Mpc}}{67{,}4\,\text{km/s}}$$= \dfrac{3{,}086 \cdot 10^{19}\,\text{km}}{67{,}4\,\text{km/s}}$$= 4{,}5786 \cdot 10^{17}\,\text{s}$$= \dfrac{4{,}5786 \cdot 10^{17}}{3{,}156 \cdot 10^{7}}\,\text{a}$$= 1{,}4508 \cdot 10^{10}\,\text{a}$Vastaus
$14{,}5 \cdot 10^{9}\,\text{a}$
Eli noin $14{,}5$ miljardia vuotta, kolme merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakiossa $67{,}4\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Järkevyys
Arvolla $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$ arvio on noin $14{,}0$ miljardia vuotta; pienempi Hubblen vakio tarkoittaa hitaampaa laajenemista ja siksi pidempää aikaa. Tarkka ikä $13{,}8$ miljardia vuotta on lähellä, koska laajeneminen ensin hidastui ja sitten kiihtyi.
- Tehtävä 16-8
Kosmisen taustasäteilyn tyypillinen aallonpituus on nyt $1{,}06\,\text{mm}$. Säteilyn vapautumisen jälkeen maailmankaikkeuden laajeneminen on venyttänyt kaikki sen aallonpituudet noin $1100$-kertaisiksi.
Kuinka suuri oli tyypillisen fotonin energia säteilyn vapautuessa? Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$1{,}3\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nykyinen aallonpituus $\lambda_\text{nyt} = 1{,}06\,\text{mm}$, venymiskerroin $1100$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin energia $E$ säteilyn vapautuessa elektronivoltteina
Periaate
Laajeneminen on venyttänyt jokaisen aallonpituuden $1100$-kertaiseksi, joten vapautuessaan aallonpituus oli $1100$ kertaa lyhyempi kuin nyt. Fotonin energia saadaan aallonpituudesta, kuten luvussa Valosähköinen ilmiö ja fotoni.
Kaava
$\lambda$$= \dfrac{\lambda_\text{nyt}}{1100}$$E = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten
$E$$= \dfrac{1100\,hc}{\lambda_\text{nyt}}$Muunnokset
$1{,}06\,\text{mm} = 1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$, ja jouleista elektronivoltteihin sijoitetaan
$1\,\text{J}$$= \dfrac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{1{,}06 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{1100}$$= 9{,}636 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$E$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot \dfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{9{,}636 \cdot 10^{-7}\,\text{m}}$$= 2{,}0615 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= \dfrac{2{,}0615 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$$= 1{,}287\,\text{eV}$Vastaus
$1{,}3\,\text{eV}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten venymiskertoimessa $1100$.
Järkevyys
Aallonpituus $964\,\text{nm}$ on lähi-infrapunaa, hieman näkyvän valon rajan $1{,}7\,\text{eV}$ alapuolella. Tyypillinen fotoni oli siis paljon heikompi kuin vedyn ionisoimiseen tarvittava $13{,}6\,\text{eV}$. Fotoneja on kuitenkin valtavasti enemmän kuin atomeja, joten atomit pysyivät ionisoituina niin kauan, kuin harvinaisia yli $13{,}6\,\text{eV}$:n fotoneja riitti. Kun lämpötila laski noin $3000\,\text{K}$:iin, niitä oli liian vähän, elektronit sitoutuivat atomeihin ja valo pääsi kulkemaan vapaasti.
- Tehtävä 16-9
Galaksi A on etäisyydellä $42{,}0\,\text{Mpc}$, ja se etääntyy meistä nopeudella $2950\,\text{km/s}$. Galaksi B etääntyy nopeudella $11\,300\,\text{km/s}$.
Kuinka kaukana galaksi B on, kun molemmat noudattavat Hubblen ja Lemaîtren lakia ja galaksien oma liike jätetään huomiotta? Anna vastaus megaparsekeina.
Vastaus
$161\,\text{Mpc}$
Näytä ratkaisu
Annettu
galaksi A: $d_\text{A} = 42{,}0\,\text{Mpc}$, $v_\text{A} = 2950\,\text{km/s}$; galaksi B: $v_\text{B} = 11\,300\,\text{km/s}$
Kysytty
galaksin B etäisyys $d_\text{B}$ megaparsekeina
Periaate
Hubblen ja Lemaîtren lain mukaan kaikilla galakseilla on sama Hubblen vakio, joten nopeuden ja etäisyyden suhde on sama: kuinka monta kertaa nopeammin galaksi loittonee, niin monta kertaa kauempana se on. Galaksien oma liike jätetään huomiotta.
Kaava
$H_0$$= \dfrac{v_\text{A}}{d_\text{A}}$$= \dfrac{v_\text{B}}{d_\text{B}}$joten
$d_\text{B}$$= d_\text{A} \cdot \dfrac{v_\text{B}}{v_\text{A}}$Muunnokset
Ei tarvita: nopeuksien yksikkö supistuu, ja etäisyys saadaan megaparsekeina.
Sijoitus
$d_\text{B}$$= 42{,}0\,\text{Mpc} \cdot \dfrac{11\,300\,\text{km/s}}{2950\,\text{km/s}}$$= 42{,}0\,\text{Mpc} \cdot 3{,}8305$$= 160{,}88\,\text{Mpc}$Vastaus
$161\,\text{Mpc}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten annetuissa etäisyydessä ja nopeuksissa.
Järkevyys
Galaksi B loittonee noin neljä kertaa nopeammin, joten sen pitää olla noin neljä kertaa kauempana: $4 \cdot 42\,\text{Mpc} \approx 170\,\text{Mpc}$. Galaksista A saatu Hubblen vakio on $2950 : 42{,}0 \approx 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, tunnettu arvo.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 16-10
Kun ytimiä alkoi syntyä muutama minuutti alkuräjähdyksen jälkeen, protoneja oli noin seitsemän kertaa niin paljon kuin neutroneja. Lähes kaikki neutronit sitoutuivat helium-4-ytimiin, joissa on kaksi protonia ja kaksi neutronia, ja loput protonit jäivät vetyytimiksi.
Oletetaan, että protonin ja neutronin massat ovat yhtä suuret. Kuinka suuri osa ytimien kokonaismassasta oli heliumia? Anna vastaus prosentteina.
Vastaus
$25\,\%$
Näytä ratkaisu
Annettu
protoneja seitsemän jokaista neutronia kohti, kaikki neutronit helium-4-ytimissä (kaksi protonia ja kaksi neutronia), protonin ja neutronin massat yhtä suuret
Kysytty
heliumin osuus ytimien kokonaismassasta prosentteina
Periaate
Koska protonin ja neutronin massat oletetaan yhtä suuriksi, massaosuus on sama kuin nukleonien osuus. Jokaista heliumytimen kahta neutronia kohti heliumytimeen tarvitaan kaksi protonia, joten heliumissa on kaksinkertainen määrä nukleoneja neutroneihin verrattuna. Nukleonien kokonaismäärä ei muutu fuusiossa.
Kaava
Kun neutroneja on $n$ ja protoneja $p$, heliumiin sitoutuu $2n$ nukleonia, joten massaosuus on $Y = \dfrac{2n}{n + p}$
Muunnokset
Ei tarvita: lasketaan nukleonien lukumääriä, ja osuus muutetaan lopuksi prosenteiksi kertomalla luvulla $100\,\%$.
Sijoitus
Tarkastellaan joukkoa, jossa $n = 1$ ja $p = 7$:
$Y$$= \dfrac{2 \cdot 1}{1 + 7}$$= \dfrac{2}{8}$$= 0{,}25$$= 25\,\%$Vastaus
$25\,\%$
; suhde $1 : 7$ on likiarvo, joten tulos on noin neljäsosa.
Järkevyys
Esimerkiksi $16$ nukleonista $2$ on neutroneja ja $14$ protoneja: syntyy yksi heliumydin ($4$ nukleonia) ja $12$ vetyydintä, ja $\tfrac{4}{16} = 25\,\%$. Tulos vastaa vanhimmista tähdistä ja kaasupilvistä havaittua heliumin osuutta, noin neljäsosaa massasta.
- Tehtävä 16-11
Punaisen jättiläistähden kuumassa ytimessä kolme helium-4-ydintä voi yhtyä hiili-12-ytimeksi: $3\,{}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{12}_{6}\text{C}$. Atomimassat ovat $m({}^{4}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}$ ja $m({}^{12}\text{C}) = 12{,}000000\,\text{u}$. Kuinka suuri energia yhdessä reaktiossa vapautuu? Käytä $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Anna vastaus megaelektronivoltteina.
Vastaus
$7{,}274\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
helium-4-atomin massa $m_\text{He} = 4{,}002603\,\text{u}$, hiili-12-atomin massa $m_\text{C} = 12{,}000000\,\text{u}$, $1\,\text{u} = 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
reaktiossa $3\,{}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{12}_{6}\text{C}$ vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Fuusiossa vapautuu energiaa, kun syntyvä ydin on lähtöytimiä tiiviimmin sidottu ja siksi kevyempi kuin ne yhteensä (luku Massavaje ja ytimen sidosenergia). Atomimassat käyvät, koska elektroneja on molemmin puolin kuusi.
Kaava
$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, missä lähtöaineina on kolme heliumatomia ja tuotteena yksi hiiliatomi, joten $Q = (3\,m_\text{He} - m_\text{C})\,c^2$
Muunnokset
Massaa ei muunneta kilogrammoiksi: yksikön $\text{u}$ paikalle sijoitetaan $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, jolloin $c^2$ supistuu.
Sijoitus
$m_\text{alku} - m_\text{loppu}$$= 3 \cdot 4{,}002603\,\text{u} - 12{,}000000\,\text{u}$$= 12{,}007809\,\text{u} - 12{,}000000\,\text{u}$$= 0{,}007809\,\text{u}$joten
$Q$$= 0{,}007809 \cdot 931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$$= 7{,}2741\,\text{MeV}$Vastaus
$7{,}274\,\text{MeV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten massojen erotuksessa $0{,}007809\,\text{u}$ ja muuntoluvussa $931{,}5\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$.
Järkevyys
$Q > 0$, joten reaktio vapauttaa energiaa, kuten fuusiossa sidosenergiakäyrän huipun vasemmalla puolella pitää. Nukleonia kohti energiaa vapautuu $7{,}274\,\text{MeV} : 12 \approx 0{,}6\,\text{MeV}$, mikä vastaa käyrän nousua helium-4:n $7{,}07\,\text{MeV}$:stä hiili-12:n $7{,}68\,\text{MeV}$:iin.
- Tehtävä 16-12
Galaksin spektrissä näkyy vedyn kolme absorptioviivaa aallonpituuksilla $447{,}2\,\text{nm}$, $500{,}9\,\text{nm}$ ja $676{,}2\,\text{nm}$. Laboratoriossa vedyn viivojen aallonpituudet ovat $434{,}0\,\text{nm}$, $486{,}1\,\text{nm}$ ja $656{,}3\,\text{nm}$. Päättele, mikä galaksin viiva vastaa mitäkin laboratorion viivaa, ja laske galaksin etäisyys. Hubblen vakio on $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$ ja valon nopeus $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$. Anna vastaus megaparsekeina.
Vastaus
$1{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{Mpc}$
Näytä ratkaisu
Annettu
galaksin viivat $447{,}2\,\text{nm}$, $500{,}9\,\text{nm}$ ja $676{,}2\,\text{nm}$; laboratorion viivat $434{,}0\,\text{nm}$, $486{,}1\,\text{nm}$ ja $656{,}3\,\text{nm}$; $H_0 = 70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s}$
Kysytty
galaksin etäisyys $d$ megaparsekeina
Periaate
Punasiirtymässä jokainen aallonpituus kasvaa samassa suhteessa, joten viivojen järjestys säilyy: lyhin vastaa lyhintä ja pisin pisintä. Parit tarkistetaan suhteella: $\tfrac{447{,}2}{434{,}0} = 1{,}030$, $\tfrac{500{,}9}{486{,}1} = 1{,}030$ ja $\tfrac{676{,}2}{656{,}3} = 1{,}030$. Suhde on sama, joten parit ovat oikein, ja $z = 0{,}030$ on pieni, joten $v = cz$. Etäisyys saadaan Hubblen ja Lemaîtren laista. Tarkimmin $z$ saadaan pisimmästä viivasta, jonka siirtymä on suurin.
Kaava
$z$$= \dfrac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0}$$v = cz$ ja $v = H_0\,d$, joten
$d$$= \dfrac{c\,(\lambda - \lambda_0)}{H_0\,\lambda_0}$Muunnokset
Ei tarvita: nanometrit ja kilometrit sekunnissa supistuvat.
Sijoitus
$z$$= \dfrac{676{,}2\,\text{nm} - 656{,}3\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}}$$= \dfrac{19{,}9\,\text{nm}}{656{,}3\,\text{nm}}$$= 0{,}030322$$v$$= 2{,}998 \cdot 10^{5}\,\text{km/s} \cdot 0{,}030322$$= 9090{,}5\,\text{km/s}$$d$$= \dfrac{9090{,}5\,\text{km/s}}{70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}}$$= 129{,}9\,\text{Mpc}$Vastaus
$1{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{Mpc}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten Hubblen vakiossa $70\,\tfrac{\text{km/s}}{\text{Mpc}}$.
Järkevyys
Siirtymät $13{,}2\,\text{nm}$, $14{,}8\,\text{nm}$ ja $19{,}9\,\text{nm}$ eivät ole yhtä suuria, mutta kukin on $3{,}0\,\%$ omasta aallonpituudestaan, kuten punasiirtymässä pitää. Arvio: $0{,}03 \cdot 300\,000\,\text{km/s} = 9000\,\text{km/s}$ ja $9000 : 70 \approx 130$.
Valokuvat
- Hubble ultra deep field. NASA and ESA. lähde, public domain
