Standardimalli: perushiukkaset ja vuorovaikutukset
Miksi vapaa neutroni hajoaa keskimäärin noin vartissa, mutta protonin hajoamista ei ole havaittu koskaan, vaikka molemmat koostuvat samoista hiukkasista?
Pohjatiedot
- Beeta miinus -hajoamisessa ytimen neutroni muuttuu protoniksi. Samalla syntyy elektroni ja antineutriinoluku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen
- Massa ja energia ovat sama asia eri muodossa: $E = mc^2$. Massa voidaan ilmoittaa yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$luku Massavaje ja ytimen sidosenergia
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Standardimalli
- Teoria, joka kertoo, mitä perushiukkasia on olemassa ja miten ne vuorovaikuttavat keskenään.
- Kvarkki
- Perushiukkanen, josta protonit ja neutronit koostuvat. Jokaisessa protonissa ja neutronissa on kolme kvarkkia.
- Leptoni
- Perushiukkanen, joka ei koostu kvarkeista. Esimerkiksi elektroni ja neutriino ovat leptoneja.
- Välittäjähiukkanen
- Hiukkanen, jota toiset hiukkaset vaihtavat keskenään. Vaihto aiheuttaa vuorovaikutuksen, esimerkiksi fotoni välittää sähkömagneettisen vuorovaikutuksen.
- Perusvuorovaikutus
- Yksi neljästä tavasta, joilla hiukkaset vaikuttavat toisiinsa: vahva, sähkömagneettinen, heikko ja gravitaatio.
Pohdinta
Vapaa neutroni on neutroni, joka on irrotettu ytimestä. Se ei säily pitkään. Keskimäärin noin $15\,\text{min}$ kuluttua se on muuttunut protoniksi, elektroniksi ja antineutriinoksi. Protonin hajoamista on etsitty vuosikymmeniä valtavilla vesisäiliöillä, joissa on yli $10^{33}$ protonia. Yhtään hajoamista ei ole nähty. Protoni ja neutroni ovat kuitenkin lähes yhtä raskaita, ja molemmat koostuvat kolmesta kvarkista.
Miksi neutroni hajoaa helposti, mutta protoni pysyy ennallaan?
Valinnainen Kertaa: beeta miinus -hajoaminen
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kvarkkien varaukset
Ennuste 2: miksi protoni ei hajoa?
Tutki
Hadronien varaukset ja kvarkit
Mitattu aineisto · Varaukset ja kvarkkisisällöt: Particle Data Group, Review of Particle Physics 2024.
Taulukossa on kuuden hadronin kvarkit ja mitattu varaus. Viiva kirjaimen päällä tarkoittaa antikvarkkia. Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin kvarkin varaus.
| Hiukkanen | Kvarkit | Mitattu varaus |
|---|---|---|
| protoni $p$ | $u\,u\,d$ | $+1\,e$ |
| neutroni $n$ | $u\,d\,d$ | $0$ |
| delta $\Delta^{++}$ | $u\,u\,u$ | $+2\,e$ |
| delta $\Delta^{-}$ | $d\,d\,d$ | $-1\,e$ |
| pioni $\pi^+$ | $u\,\bar{d}$ | $+1\,e$ |
| pioni $\pi^-$ | $d\,\bar{u}$ | $-1\,e$ |
Päättele taulukosta $u$-kvarkin varaus alkeisvarauksen $e$ monikertana. Vastaa desimaalilukuna.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Etsi taulukosta hiukkanen, jossa on vain yhtä kvarkkilajia.
Vihje 2: mikä yhteys
Hiukkasessa $\Delta^{++}$ on kolme $u$-kvarkkia, ja sen varaus on $+2e$.
Vihje 3: välivaihe
Jaa varaus kolmen kvarkin kesken: $2 : 3$.
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta $\Delta^{++} = u\,u\,u$, varaus $q = +2\,e$
Kysytty
yhden $u$-kvarkin varaus $q_u$ alkeisvarauksen monikertana
Periaate
Hadronin varaus on sen kvarkkien varausten summa, koska varaukset voi laskea yhteen. Hiukkasessa $\Delta^{++}$ on kolme samanlaista $u$-kvarkkia, joten jokaisella on kolmasosa varauksesta.
Kaava
$q = 3\,q_u$, josta $q_u = \dfrac{q}{3}$
Muunnokset
Ei tarvita, koska varaukset ovat alkeisvarauksen $e$ monikertoja.
Sijoitus
$q_u = \dfrac{+2\,e}{3} = +0{,}667\,e$
Vastaus
$+0{,}667\,e$
Eli tarkasti $+\tfrac{2}{3}e$. Murtoluku on tarkka, koska varaukset ovat kokonaislukuja. Desimaaleja on kolme.
Järkevyys
Hiukkasesta $\Delta^- = d\,d\,d$ saadaan samoin $q_d = -\tfrac{1}{3}e$. Protonille tulee silloin $\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = 1$ ja neutronille $\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0$, kuten taulukossa. Pionille $\pi^+ = u\bar{d}$ tulee $\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} = 1$.
Mitkä reaktiot tapahtuvat?
Mitattu aineisto · Havainnot: Particle Data Group, Review of Particle Physics 2024; antineutriinon reaktio Cowan ja Reines 1956; protonin hajoamisen etsintä Super-Kamiokande-koe.
Ensimmäisessä taulukossa on hiukkasten varaus $q$ alkeisvarauksina, baryoniluku $B$ ja leptoniluku $L$. Toisessa taulukossa on reaktioita. Osa reaktioista on havaittu, ja osaa ei ole havaittu koskaan. Laske jokaisen reaktion kummallekin puolelle $q$:n, $B$:n ja $L$:n summa.
| Hiukkanen | $q$ | $B$ | $L$ |
|---|---|---|---|
| $p$ | $+1$ | $1$ | $0$ |
| $n$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $e^-$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $e^+$ | $+1$ | $0$ | $-1$ |
| $\bar{\nu}_e$ | $0$ | $0$ | $-1$ |
| $\pi^0$, $\gamma$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| Reaktio | Havaittu? |
|---|---|
| $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$ | kyllä |
| $n \to p + e^-$ | ei koskaan |
| $e^- + e^+ \to \gamma + \gamma$ | kyllä |
| $\bar{\nu}_e + p \to n + e^+$ | kyllä |
| $p + p \to p + p + \pi^0$ | kyllä |
| $p + p \to p + p + n$ | ei koskaan |
| $p \to e^+ + \pi^0$ | ei koskaan, vaikka sitä on etsitty |
Johtopäätös: mikä erottaa havaitut reaktiot?
Vertaa taulukon havaittuja ja havaitsemattomia reaktioita. Mitkä luvut säilyvät kaikissa havaituissa reaktioissa? Nimeä jokaisesta havaitsemattomasta reaktiosta luku, joka ei säily.
Mallivastaus
Kaikissa havaituissa reaktioissa varauksen, baryoniluvun ja leptoniluvun summa on alussa ja lopussa sama. Esimerkiksi reaktiossa $\bar{\nu}_e + p \to n + e^+$ luku $q$ on $0 + 1 = 0 + 1$, luku $B$ on $0 + 1 = 1 + 0$ ja luku $L$ on $-1 + 0 = 0 + (-1)$. Havaitsemattomissa reaktioissa jokin luku muuttuu. Reaktiossa $n \to p + e^-$ leptoniluku muuttuu luvusta $0$ lukuun $1$. Reaktiossa $p + p \to p + p + n$ baryoniluku muuttuu luvusta $2$ lukuun $3$. Reaktiossa $p \to e^+ + \pi^0$ baryoniluku muuttuu luvusta $1$ lukuun $0$ ja leptoniluku luvusta $0$ lukuun $-1$. Varaus säilyy kaikissa taulukon reaktioissa, joten pelkkä varaus ei riitä erottamaan reaktioita toisistaan.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Aineen pienimmät rakenneosat
Atomi koostuu ytimestä ja elektroneista. Ydin koostuu protoneista ja neutroneista (luku Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen). Protoni ja neutroni eivät kuitenkaan ole alkeishiukkasia. Kumpikin koostuu kolmesta kvarkista. Elektronille ja kvarkeille ei ole pystytty mittaamaan kokoa. Kokeiden mukaan ne ovat pienempiä kuin noin $10^{-18}\,\text{m}$. Tällaisia hiukkasia sanotaan perushiukkasiksi eli alkeishiukkasiksi. Perushiukkasella ei ole pienempiä osia. Hiukkasfysiikan standardimalli on teoria, joka kertoo, mitä perushiukkasia on olemassa ja miten ne vaikuttavat toisiinsa eli vuorovaikuttavat. Se on yksi fysiikan tarkimmin testatuista teorioista.
Kvarkit ja leptonit
Aineen perushiukkasia on kahta lajia. Kvarkkeja on kuusi: $u$ (up), $d$ (down), $c$ (charm), $s$ (strange), $t$ (top) ja $b$ (bottom). Kvarkin varaus on alkeisvarauksen $e$ murto-osa. Kvarkkien $u$, $c$ ja $t$ varaus on $+\tfrac{2}{3}e$. Kvarkkien $d$, $s$ ja $b$ varaus on $-\tfrac{1}{3}e$. Leptoneja on myös kuusi. Kolmen leptonin varaus on $-e$: elektroni $e^-$, myoni $\mu^-$ ja tau $\tau^-$. Kolme muuta leptonia on neutriinoja $\nu_e$, $\nu_\mu$ ja $\nu_\tau$, ja ne ovat sähköisesti neutraaleja eli varauksettomia. Leptonit eivät koostu kvarkeista. Vahva vuorovaikutus ei myöskään vaikuta niihin.
Hiukkaset jakautuvat kolmeen sukupolveen. Kaikki tavallinen aine koostuu ensimmäisen sukupolven hiukkasista $u$, $d$ ja $e^-$. Toisen ja kolmannen sukupolven hiukkaset ovat samanlaisia mutta raskaampia. Esimerkiksi myonin massa on noin $207$ kertaa elektronin massa. Raskaat kvarkit ja varatut leptonit hajoavat nopeasti kevyemmiksi hiukkasiksi. Siksi niitä syntyy vain suurienergisissä törmäyksissä, esimerkiksi kiihdyttimissä tai kun kosminen säteily osuu ilmakehään. Neutriinot vuorovaikuttavat hyvin heikosti. Auringon fuusiossa syntyviä neutriinoja kulkee kehomme läpi joka sekunti kymmeniä miljardeja jokaista neliösenttimetriä kohti.
Hadronit koostuvat kvarkeista
Kvarkeista koostuvia hiukkasia sanotaan hadroneiksi. Hadroni, jossa on kolme kvarkkia, on baryoni. Protoni on baryoni $uud$ ja neutroni on baryoni $udd$. Hadronin varaus on sen kvarkkien varausten summa. Protonin varaus on $+\tfrac{2}{3}e + \tfrac{2}{3}e - \tfrac{1}{3}e = +e$. Neutronin varaus on $+\tfrac{2}{3}e - \tfrac{1}{3}e - \tfrac{1}{3}e = 0$. Hadroni, jossa on yksi kvarkki ja yksi antikvarkki, on mesoni. Esimerkiksi pioni $\pi^+ = u\bar{d}$ on mesoni. Kvarkkien murtolukuvaraukset sopivat aina yhteen niin, että hadronin varaus on alkeisvarauksen kokonaislukumonikerta.
Vapaata kvarkkia ei ole koskaan havaittu. Vahva vuorovaikutus pitää kvarkit hadronin sisällä. Jos kvarkkia yritetään repiä irti, työhön kuluva energia synnyttää uusia kvarkki–antikvarkki-pareja. Siksi törmäyksestä lähtee hadroneja eikä yksittäisiä kvarkkeja.
Antihiukkaset ja annihilaatio
Jokaisella hiukkasella on antihiukkanen. Sillä on sama massa kuin hiukkasella, mutta varaus sekä baryoni- ja leptoniluku ovat vastakkaiset. Elektronin antihiukkanen on positroni $e^+$, joka syntyy beeta plus -hajoamisessa. Antihiukkanen merkitään viivalla hiukkasen symbolin päällä. Esimerkiksi $\bar{u}$ on anti-$u$-kvarkki ja $\bar{\nu}_e$ on elektronin antineutriino. Kun hiukkanen ja sen antihiukkanen kohtaavat, ne voivat annihiloitua eli tuhota toisensa. Molemmat häviävät, ja niiden koko energia muuttuu esimerkiksi fotoneiksi. Kun elektroni ja positroni ovat lähes levossa, syntyy kaksi fotonia, jotka lähtevät vastakkaisiin suuntiin. Kummankin fotonin energia on $m_e c^2 = 511\,\text{keV}$. Tähän perustuu PET-kuvaus (luku Säteily lääketieteessä ja teknologiassa).
Käänteinen ilmiö on parinmuodostus. Atomiytimen lähellä fotoni voi muuttua elektroniksi ja positroniksi, jos fotonin energia on vähintään $2 m_e c^2 = 1{,}022\,\text{MeV}$. Massa ja energia muuttuvat toisikseen yhtälön $E = mc^2$ mukaisesti (luku Massavaje ja ytimen sidosenergia).
Neljä perusvuorovaikutusta
Kaikki tunnetut voimat johtuvat neljästä perusvuorovaikutuksesta. Standardimallin mukaan vuorovaikutus välittyy välittäjähiukkasten avulla. Hiukkaset lähettävät ja vastaanottavat välittäjähiukkasia, ja tämä muuttaa niiden liikettä.
- vahva: välittäjä gluoni $g$, vaikuttaa kvarkkeihin
- sähkömagneettinen: välittäjä fotoni $\gamma$, vaikuttaa varattuihin hiukkasiin
- heikko: välittäjät $W^+$, $W^-$ ja $Z^0$, vaikuttaa kvarkkeihin ja leptoneihin
- gravitaatio: välittäjä gravitoni (hypoteettinen eli vain oletettu), vaikuttaa kaikkeen
Sähkömagneettisen vuorovaikutuksen ja gravitaation kantama on rajaton. Kantama kertoo, kuinka kauas vuorovaikutus ulottuu. Vahva vuorovaikutus ulottuu vain noin $10^{-15}\,\text{m}$:n päähän ja heikko noin $10^{-18}\,\text{m}$:n päähän (suuruusluokkia).
Fotoni on sähkömagneettisen vuorovaikutuksen välittäjähiukkanen. Kun kaksi elektronia hylkii toisiaan, ne vaihtavat fotoneja. Sama hiukkanen on myös valon kvantti eli valon pienin osa (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni). Vuorovaikutuksessa vaihdettuja fotoneja ei kuitenkaan havaita valona.
Vahva vuorovaikutus sitoo kvarkit hadroneiksi. Se vaikuttaa myös nukleonien eli protonien ja neutronien välillä ytimessä. Heikko vuorovaikutus voi muuttaa kvarkin lajin, ja se aiheuttaa beetahajoamisen. Gravitaatio on perusvuorovaikutuksista heikoin. Kahden protonin välinen sähköinen hylkimisvoima on noin $10^{36}$ kertaa suurempi kuin niiden välinen gravitaatiovoima. Gravitaation välittäjää gravitonia ei ole havaittu, eikä gravitaatio kuulu standardimalliin.
Higgsin bosoni ja CERN
Standardimallin mukaan avaruuden täyttää Higgsin kenttä. Kun hiukkanen vuorovaikuttaa tämän kentän kanssa, se saa massan. Näin massan saavat $W$- ja $Z$-bosonit, kvarkit ja varatut leptonit. Fotoni ja gluoni jäävät massattomiksi. Kentän kvantti on Higgsin bosoni. Se löydettiin vuonna 2012 Euroopan hiukkasfysiikan tutkimuskeskuksessa CERNissä, LHC-kiihdyttimellä. Sen massa on noin $125\,\tfrac{\text{GeV}}{c^2}$. Protonin massasta vain noin $1\,\%$ on sen kvarkkien massaa. Loput on kvarkkeja sitovan vahvan vuorovaikutuksen energiaa.
LHC on $27\,\text{km}$ pitkä maanalainen rengas Sveitsin ja Ranskan rajalla. Siinä kaksi protonisuihkua kiihdytetään vastakkaisiin suuntiin energiaan $6{,}8\,\text{TeV}$. Suihkut törmäytetään ilmaisimien keskellä. Törmäyksen energiasta syntyy uusia, raskaita hiukkasia yhtälön $E = mc^2$ mukaisesti. Ilmaisimet mittaavat niiden hajoamistuotteiden radat ja energiat. Suomi on ollut CERNin jäsen vuodesta 1991.
Säilymislait hiukkasreaktioissa
Varaus, baryoniluku ja leptoniluku
Kaikissa havaituissa hiukkasreaktioissa ja hajoamisissa säilyy kolme lukua. Säilyminen tarkoittaa, että luku on sama ennen reaktiota ja sen jälkeen. Luvut lasketaan yhteen reaktion kummallakin puolella. Varaus säilyy:
$$q_\text{alku} = q_\text{loppu}$$
missä $q$ on hiukkasten varausten summa alkeisvarauksen $e$ monikertoina. Hiukkasen baryoniluku on
$$B = \frac{n_\text{q} - n_{\bar{\text{q}}}}{3}$$
missä $n_\text{q}$ on kvarkkien ja $n_{\bar{\text{q}}}$ antikvarkkien määrä. Baryonin $B$ on siis $1$, antibaryonin $-1$ ja mesonin $0$. Baryoniluku säilyy:
$$B_\text{alku} = B_\text{loppu}$$
Leptoniluku $L$ on leptonille $+1$, antileptonille $-1$ ja muille hiukkasille $0$. Leptoniluku säilyy:
$$L_\text{alku} = L_\text{loppu}$$
Tarkemmin jokaisen sukupolven leptoniluku säilyy erikseen. Tämän luvun tehtävissä riittää kuitenkin yhteinen $L$.
Taulukossa ovat tämän luvun hiukkasten luvut: protoni $p$, neutroni $n$, antiprotoni $\bar{p}$, elektroni $e^-$, myoni $\mu^-$, positroni $e^+$, neutriino $\nu$, antineutriino $\bar{\nu}$, pionit ja fotoni $\gamma$.
| Hiukkanen | $q$ | $B$ | $L$ |
|---|---|---|---|
| $p$ | $+1$ | $1$ | $0$ |
| $n$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\bar{p}$ | $-1$ | $-1$ | $0$ |
| $e^-$, $\mu^-$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $e^+$ | $+1$ | $0$ | $-1$ |
| $\nu$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $\bar{\nu}$ | $0$ | $0$ | $-1$ |
| $\pi^+$ | $+1$ | $0$ | $0$ |
| $\pi^0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $\pi^-$ | $-1$ | $0$ | $0$ |
| $\gamma$ | $0$ | $0$ | $0$ |
Energia ratkaisee, voiko hiukkanen hajota
Hiukkanen voi hajota itsestään vain kevyemmiksi hiukkasiksi. Hajoamisessa vapautuva energia on
$$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$$
missä $m_\text{alku}$ on hajoavan hiukkasen massa ja $m_\text{loppu}$ on syntyvien hiukkasten massojen summa (luku Massavaje ja ytimen sidosenergia). Hajoaminen on mahdollinen vain, kun $Q > 0$ ja kaikki kolme lukua säilyvät. Hiukkasten massat ilmoitetaan yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Silloin $c^2$ supistuu pois, ja $Q$ saadaan suoraan megaelektronivoltteina.
Protoni on kevyin baryoni. Baryoniluku säilyy, joten protonin hajoamistuotteissa pitäisi olla baryoni. Protonia kevyempää baryonia ei kuitenkaan ole. Siksi protonin hajoamista ei ole nähty. Kokeiden mukaan protonin elinikä on yli $10^{34}$ vuotta.
Beetahajoaminen kvarkkitasolla
Beeta miinus -hajoamisessa neutroni muuttuu protoniksi. Kvarkkitasolla yksi neutronin $d$-kvarkki muuttuu $u$-kvarkiksi heikon vuorovaikutuksen välittäjähiukkasen $W^-$ välityksellä:
$$\begin{aligned} &d \to u + W^- \\ &W^- \to e^- + \bar{\nu}_e \end{aligned}$$
missä $W^-$ on heikon vuorovaikutuksen välittäjähiukkanen, $e^-$ elektroni ja $\bar{\nu}_e$ elektronin antineutriino. $W^-$-bosoni on hyvin raskas, noin $80\,\tfrac{\text{GeV}}{c^2}$. Se muuttuu elektroniksi ja antineutriinoksi niin nopeasti, ettei se ehdi kulkea mitattavaa matkaa. Kaksi muuta kvarkkia eivät osallistu, joten $udd$ muuttuu muodoksi $uud$. Beeta plus -hajoamisessa ytimen protonin $u$-kvarkki muuttuu $W^+$-bosonin välityksellä $d$-kvarkiksi. Silloin syntyy positroni ja neutriino.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että protonin massa on sen kolmen kvarkin massojen summa, kuten talon massa on sen tiilten massojen summa. Kvarkkien massat ovat kuitenkin vain noin $1\,\%$ protonin massasta. Suurin osa protonin massasta on kvarkkeja sitovan vahvan vuorovaikutuksen energiaa, $m = \tfrac{E}{c^2}$. Siksi kvarkkeja ei myöskään saa irti kuin tiiliä. Irrottamiseen kuluva energia synnyttää uusia hadroneja.
Toinen virhe on ajatella, että antiaineella on negatiivinen massa tai että se on jotenkin "vastakkaista energiaa". Antihiukkasen massa ja energia ovat positiiviset ja samat kuin hiukkasen. Vastakkaisia ovat varaus, baryoniluku ja leptoniluku. Siksi annihilaatiossa kaikki luvut summautuvat nollaksi, ja massa muuttuu kokonaan säteilyn energiaksi.
Tiivistelmä
- Standardimallin perushiukkaset ovat kuusi kvarkkia, kuusi leptonia, välittäjähiukkaset ja Higgsin bosoni. Tavallinen aine koostuu kvarkeista $u$ ja $d$ sekä elektroneista.
- Kvarkin varaus on $+\tfrac{2}{3}e$ tai $-\tfrac{1}{3}e$. Baryoni on kolme kvarkkia (protoni $uud$, neutroni $udd$). Mesoni on kvarkki ja antikvarkki. Vapaita kvarkkeja ei havaita.
- Perusvuorovaikutukset ja niiden välittäjät: vahva (gluoni), sähkömagneettinen (fotoni), heikko ($W^\pm$, $Z^0$) ja gravitaatio (hypoteettinen gravitoni).
- Higgsin kenttä antaa massan $W$- ja $Z$-bosoneille, kvarkeille ja varatuille leptoneille. Sen kvantti Higgsin bosoni löydettiin CERNissä vuonna 2012.
- Antihiukkasella on sama massa ja vastakkainen varaus. Hiukkanen ja antihiukkanen voivat annihiloitua säteilyksi.
- Hiukkasreaktiossa säilyvät varaus, baryoniluku ja leptoniluku. Hajoaminen vaatii, että $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2 > 0$.
- Beeta miinus -hajoamisessa $d \to u + W^-$ ja $W^- \to e^- + \bar{\nu}_e$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi taulukoihin ja teoriaan. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi neutroni voi hajota protoniksi, mutta protoni ei voi hajota miksikään?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Vapaa neutroni hajoaa reaktiolla $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$. Näytä, että varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät, ja laske hajoamisessa vapautuva energia. Massat ovat $m_n = 939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_p = 938{,}272\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_e = 0{,}511\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ (Particle Data Group 2024). Antineutriinon massa on alle $1\,\tfrac{\text{eV}}{c^2}$, joten sitä ei oteta huomioon.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Tunnettuja ovat reaktio $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$ ja taulukon luvut $q$, $B$ ja $L$. Lisäksi tunnetaan massat $m_n = 939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_p = 938{,}272\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_e = 0{,}511\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Kysytään, säilyvätkö $q$, $B$ ja $L$. Lisäksi kysytään vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina.
Vaihe 2/7
Periaate. Hajoaminen on mahdollinen, jos varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät. Lisäksi syntyvien hiukkasten massan täytyy olla pienempi kuin neutronin massa. Massojen erotusta vastaava energia vapautuu syntyvien hiukkasten liike-energiaksi.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Säilymislait ja energia:
$$\begin{aligned} q_n &= q_p + q_e + q_{\bar{\nu}} \\ B_n &= B_p + B_e + B_{\bar{\nu}} \\ L_n &= L_p + L_e + L_{\bar{\nu}} \\ Q &= (m_n - m_p - m_e)\,c^2 \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Niitä ei tarvita. Massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten kertolaskussa $c^2$ supistuu pois. Energia saadaan suoraan megaelektronivoltteina.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Luvut taulukosta ja massat:
$$\begin{aligned} &q_n = q_p + q_e + q_{\bar{\nu}} \\ &0 = (+1) + (-1) + 0 \\[6pt] &B_n = B_p + B_e + B_{\bar{\nu}} \\ &1 = 1 + 0 + 0 \\[6pt] &L_n = L_p + L_e + L_{\bar{\nu}} \\ &0 = 0 + 1 + (-1) \\[6pt] &Q = (m_n - m_p - m_e)\,c^2 \\ &= (939{,}565 - 938{,}272 \\ &\quad - 0{,}511)\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2 \\ &= 0{,}782\,\text{MeV} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät, joten hajoaminen on mahdollinen. Siinä vapautuu $0{,}782\,\text{MeV}$ energiaa. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska massat on annettu tuhannesosan $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Neutroni on $1{,}293\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ protonia raskaampi. Myös elektroni on lopputilassa, joten sen massa $0{,}511\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ on jo vähennetty erotuksesta. Jäljelle jää vajaa megaelektronivoltti. Se on samaa suuruusluokkaa kuin ytimien beetahajoamisten energiat luvussa Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen. Ilman antineutriinoa leptoniluku olisi lopussa $1$, joten antineutriinon on pakko syntyä.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Kosmisen säteilyn törmäyksissä yläilmakehässä syntyy myoneja, ja niitä tulee maanpinnalle jatkuvasti. Myoni hajoaa reaktiolla $\mu^- \to e^- + \bar{\nu}_e + \nu_\mu$.
Kuinka paljon energiaa hajoamisessa vapautuu? Massat ovat $m_\mu = 105{,}658\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_e = 0{,}511\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Neutriinojen massat ovat niin pieniä, ettei niitä oteta huomioon. Vastaa megaelektronivoltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Vapautuva energia on massojen erotusta vastaava energia $Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$.
Vihje 2: mikä yhteys
Alussa on vain myoni. Lopussa on elektroni ja kaksi neutriinoa, joiden massat jätetään pois.
Vihje 3: välivaihe
$Q = (105{,}658 - 0{,}511)\,\text{MeV}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$\mu^- \to e^- + \bar{\nu}_e + \nu_\mu$, $m_\mu = 105{,}658\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_e = 0{,}511\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, neutriinojen massat ovat merkityksettömän pienet
Kysytty
hajoamisessa vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Hajoavan hiukkasen massa on suurempi kuin syntyvien hiukkasten massojen summa. Erotusta vastaava energia vapautuu syntyvien hiukkasten liike-energiaksi ($E = mc^2$). Hajoaminen on sallittu, koska varaus $-1 = -1 + 0 + 0$ ja leptoniluku $1 = 1 + (-1) + 1$ säilyvät.
Kaava
$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, josta $Q = (m_\mu - m_e)\,c^2$
Muunnokset
Ei tarvita. Massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten $c^2$ supistuu ja $Q$ saadaan megaelektronivoltteina.
Sijoitus
Vastaus
$105{,}147\,\text{MeV}$
Tuhannesosan tarkkuudella kuten annetut massat.
Järkevyys
Elektroni on noin $200$ kertaa myonia kevyempi, joten lähes koko myonin lepoenergia, noin $106\,\text{MeV}$, vapautuu. Energia on yli sata kertaa suurempi kuin neutronin hajoamisen $0{,}782\,\text{MeV}$, koska myonin ja elektronin massaero on paljon suurempi kuin neutronin ja protonin massaero.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Kirjoita, mitä neutronin beeta miinus -hajoamisessa tapahtuu kvarkkien tasolla. Nimeä myös välittäjähiukkanen.
Vastaus
Yksi neutronin $d$-kvarkki muuttuu $u$-kvarkiksi: $d \to u + W^-$. Sen jälkeen $W^-$-bosoni muuttuu elektroniksi ja antineutriinoksi: $W^- \to e^- + \bar{\nu}_e$. Neutroni $udd$ muuttuu protoniksi $uud$. Välittäjä $W^-$ kuuluu heikkoon vuorovaikutukseen.
- Onko reaktio $p + n \to p + p + e^-$ mahdollinen? Perustele säilymislaeilla.
Vastaus
Ei ole. Varaus säilyy ($1 + 0 = 1 + 1 - 1$) ja baryoniluku säilyy ($1 + 1 = 1 + 1 + 0$). Leptoniluku ei kuitenkaan säily. Alussa $L = 0$, mutta lopussa elektronin takia $L = 1$.
1. Käsite
2. Mesonin varaus
$D^+$-mesoni koostuu $c$-kvarkista ja anti-$d$-kvarkista $\bar{d}$. Laske sen varaus alkeisvarauksen $e$ monikertana.
Vihje 1: ohjaava kysymys
$c$-kvarkin varaus on sama kuin $u$-kvarkin varaus.
Vihje 2: mikä yhteys
Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin kvarkin varaus. Kvarkin $\bar{d}$ varaus on $+\tfrac{1}{3}e$.
Vihje 3: välivaihe
Laske yhteen $+\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$D^+ = c\,\bar{d}$; $c$-kvarkin varaus on $+\tfrac{2}{3}e$ ja $d$-kvarkin varaus on $-\tfrac{1}{3}e$
Kysytty
mesonin varaus $q$ alkeisvarauksen monikertana
Periaate
Hadronin varaus on sen kvarkkien ja antikvarkkien varausten summa. Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin kvarkin varaus, joten kvarkin $\bar{d}$ varaus on $+\tfrac{1}{3}e$.
Kaava
$q = q_c + q_{\bar{d}}$, josta $q = q_c - q_d$
Muunnokset
Ei tarvita, koska varaukset ovat alkeisvarauksen $e$ monikertoja.
Sijoitus
Vastaus
$+1\,e$
Tulos on tarkka, koska kvarkkien varaukset ovat tarkkoja murtolukuja.
Järkevyys
Varaus on alkeisvarauksen kokonaislukumonikerta, kuten jokaisella hadronilla, ja se sopii merkintään $D^+$. Mesonin baryoniluku on $\tfrac{1 - 1}{3} = 0$.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Välittäjähiukkaset
Selitä kolmella tai neljällä virkkeellä, mitä tarkoittaa, että fotoni on sähkömagneettisen vuorovaikutuksen välittäjähiukkanen. Miksi gravitonia sanotaan hypoteettiseksi eli vain oletetuksi?
Mallivastaus
Standardimallin mukaan varatut hiukkaset vuorovaikuttavat lähettämällä ja vastaanottamalla fotoneja. Fotonien vaihto muuttaa hiukkasten liikettä. Esimerkiksi kaksi elektronia hylkii toisiaan. Sama fotoni on valon ja muun sähkömagneettisen säteilyn kvantti. Muut perusvuorovaikutukset välittyvät samalla tavalla omilla välittäjillään. Vahva vuorovaikutus välittyy gluoneilla ja heikko vuorovaikutus $W$- ja $Z$-bosoneilla. Gravitonia sanotaan hypoteettiseksi, koska sitä ei ole havaittu eikä gravitaatio kuulu standardimalliin.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-1Ydintehtävä
Baryoni $\Delta^{++}$ koostuu kolmesta $u$-kvarkista. Laske sen varaus alkeisvarauksen $e$ monikertana. Kvarkkien varaukset: $u$ ($+\tfrac{2}{3}e$), $d$ ja $s$ ($-\tfrac{1}{3}e$). Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin kvarkin varaus.
Vastaus
$+2\,e$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\Delta^{++} = u\,u\,u$, $u$-kvarkin varaus $q_u = +\tfrac{2}{3}e$
Kysytty
hiukkasen varaus $q$ alkeisvarauksen $e$ monikertana
Periaate
Hadronin varaus on sen kvarkkien varausten summa, koska varaukset voi laskea yhteen ja varaus säilyy. Kaikki kolme kvarkkia ovat samaa lajia.
Kaava
$q = q_u + q_u + q_u$, josta $q = 3\,q_u$
Muunnokset
Ei tarvita, koska varaukset ilmoitetaan alkeisvarauksen $e$ monikertoina.
Sijoitus
$q$$= 3 \cdot \left(+\tfrac{2}{3}e\right)$$= +2\,e$Vastaus
$+2\,e$
Tulos on tarkka, koska kvarkkien varaukset ovat tarkkoja murtolukuja.
Järkevyys
Varaus on alkeisvarauksen kokonaislukumonikerta, kuten jokaisella hadronilla. Se sopii merkintään $\Delta^{++}$, jossa kaksi plusmerkkiä tarkoittaa varausta $+2e$. Protonissa yksi $u$ on vaihtunut $d$:ksi, ja varaus on yhtä pienempi.
- Tehtävä 15-2Ydintehtävä
Antiprotoni $\bar{p}$ koostuu antikvarkeista $\bar{u}\,\bar{u}\,\bar{d}$. Laske sen varaus alkeisvarauksen $e$ monikertana. Kvarkkien varaukset: $u$ ($+\tfrac{2}{3}e$), $d$ ja $s$ ($-\tfrac{1}{3}e$). Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin kvarkin varaus.
Vastaus
$-1\,e$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\bar{p} = \bar{u}\,\bar{u}\,\bar{d}$; $u$-kvarkin varaus on $+\tfrac{2}{3}e$ ja $d$-kvarkin varaus on $-\tfrac{1}{3}e$
Kysytty
antiprotonin varaus $q$ alkeisvarauksen monikertana
Periaate
Antikvarkin varaus on vastakkainen kuin vastaavan kvarkin varaus. Siksi kvarkin $\bar{u}$ varaus on $-\tfrac{2}{3}e$ ja kvarkin $\bar{d}$ varaus on $+\tfrac{1}{3}e$. Hadronin varaus on osiensa varausten summa.
Kaava
$q = 2\,q_{\bar{u}} + q_{\bar{d}}$, josta $q = -2\,q_u - q_d$
Muunnokset
Ei tarvita, koska varaukset ovat alkeisvarauksen monikertoja.
Sijoitus
$q$$= -2 \cdot \tfrac{2}{3}e - \left(-\tfrac{1}{3}e\right)$$= -\tfrac{4}{3}e + \tfrac{1}{3}e$$= -1\,e$Vastaus
$-1\,e$
Tulos on tarkka, koska kvarkkien varaukset ovat tarkkoja murtolukuja.
Järkevyys
Antiprotonin varauksen on oltava vastakkainen kuin protonin varaus $+e$, koska antihiukkasella on sama massa mutta vastakkainen varaus. Tulos täsmää.
- Tehtävä 15-3
Antineutroni koostuu kolmesta antikvarkista $\bar{u}\,\bar{d}\,\bar{d}$. Mikä on sen baryoniluku $B$?
Vastaus
$-1$
Näytä ratkaisu
Annettu
antineutroni $\bar{n} = \bar{u}\,\bar{d}\,\bar{d}$: kvarkkeja $n_\text{q} = 0$, antikvarkkeja $n_{\bar{\text{q}}} = 3$
Kysytty
baryoniluku $B$
Periaate
Baryoniluku lasketaan kvarkeista. Jokainen kvarkki antaa luvun $+\tfrac{1}{3}$ ja jokainen antikvarkki luvun $-\tfrac{1}{3}$. Antineutronissa on vain antikvarkkeja.
Kaava
$B$$= \dfrac{n_\text{q} - n_{\bar{\text{q}}}}{3}$Muunnokset
Ei tarvita, koska kvarkkien määrät ovat lukumääriä.
Sijoitus
$B = \dfrac{0 - 3}{3} = -1$
Vastaus
$-1$
Tulos on tarkka, koska antikvarkit lasketaan kappaleina.
Järkevyys
Neutronin baryoniluku on $1$, ja antihiukkasen baryoniluku on vastakkainen. Antineutronin varaus on $-\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = 0$ kuten neutronin varaus. Antineutroni eroaa siis neutronista nimenomaan baryoniluvun takia.
- Tehtävä 15-4
Levossa olevat elektroni ja positroni annihiloituvat eli tuhoutuvat kahdeksi fotoniksi. Elektronin ja positronin lepoenergia on kummankin $m_e c^2 = 511{,}0\,\text{keV}$. Kuinka suuri on yhden fotonin energia kiloelektronivoltteina?
Vastaus
$511{,}0\,\text{keV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
elektroni ja positroni levossa, kummankin lepoenergia $m_e c^2 = 511{,}0\,\text{keV}$; syntyy kaksi fotonia
Kysytty
yhden fotonin energia $E_\gamma$ kiloelektronivoltteina
Periaate
Annihilaatiossa hiukkasten koko energia muuttuu fotonien energiaksi, joten energia säilyy. Levossa olevien hiukkasten liikemäärä on nolla. Siksi kahden fotonin on lähdettävä vastakkaisiin suuntiin yhtä suurella liikemäärällä ja siis yhtä suurella energialla.
Kaava
$2\,m_e c^2 = 2\,E_\gamma$, josta $E_\gamma = m_e c^2$
Muunnokset
Ei tarvita, koska lepoenergia on annettu kiloelektronivoltteina.
Sijoitus
$E_\gamma = 511{,}0\,\text{keV}$
Vastaus
$511{,}0\,\text{keV}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten annetussa lepoenergiassa.
Järkevyys
Kahden fotonin yhteinen energia $1022\,\text{keV}$ on elektronin ja positronin lepoenergioiden summa. Fotonit ovat gammasäteilyä. Gammasäteilyn energiat ovat kiloelektronivolttien tai megaelektronivolttien luokkaa, kuten ytimen gammafotoneilla.
- Tehtävä 15-5
Helium-4-ytimessä on kaksi protonia ($uud$) ja kaksi neutronia ($udd$). Kuinka monta $u$-kvarkkia ytimessä on?
Vastaus
$6$
Näytä ratkaisu
Annettu
helium-4-ytimessä kaksi protonia ($uud$) ja kaksi neutronia ($udd$)
Kysytty
$u$-kvarkkien määrä $N_u$
Periaate
Ytimen kvarkit ovat sen nukleonien kvarkit. Protonissa on kaksi $u$-kvarkkia ja neutronissa yksi.
Kaava
$N_u = 2 \cdot n_p + 1 \cdot n_n$
Muunnokset
Ei tarvita, koska lasketaan kappalemääriä.
Sijoitus
$N_u = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6$
Vastaus
$6$
Tulos on tarkka kokonaisluku.
Järkevyys
Ytimessä on $4 \cdot 3 = 12$ kvarkkia. Niistä $d$-kvarkkeja on $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 6$, ja $6 + 6 = 12$. Varaus on $6 \cdot \tfrac{2}{3}e - 6 \cdot \tfrac{1}{3}e = +2e$, kuten kahden protonin ytimellä pitää.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-6Ydintehtävä
Kuinka monta $d$-kvarkkia on hiili-12-ytimessä ${}^{12}_{6}\text{C}$?
Vastaus
$18$
Näytä ratkaisu
Annettu
ydin ${}^{12}_{6}\text{C}$: järjestysluku $Z = 6$, massaluku $A = 12$; protoni $uud$, neutroni $udd$
Kysytty
$d$-kvarkkien määrä $N_d$
Periaate
Ensin lasketaan protonien ja neutronien määrät ytimen merkinnästä. Sitten lasketaan niiden $d$-kvarkit: protonissa on yksi $d$-kvarkki ja neutronissa kaksi.
Kaava
$N = A - Z$ ja $N_d = 1 \cdot Z + 2 \cdot N$, josta $N_d = Z + 2\,(A - Z)$
Muunnokset
Ei tarvita, koska lasketaan kappalemääriä.
Sijoitus
$N_d$$= 6 + 2 \cdot (12 - 6)$$= 6 + 12$$= 18$Vastaus
$18$
Tulos on tarkka kokonaisluku.
Järkevyys
Ytimessä on $12 \cdot 3 = 36$ kvarkkia. Niistä $u$-kvarkkeja on $2 \cdot 6 + 6 = 18$, ja $18 + 18 = 36$. Varaus on $18 \cdot \tfrac{2}{3}e - 18 \cdot \tfrac{1}{3}e = +6e$, kuten kuuden protonin ytimellä.
- Tehtävä 15-7Ydintehtävä
Lambdabaryoni $\Lambda^0$ hajoaa reaktiolla $\Lambda^0 \to p + \pi^-$. Kuinka paljon energiaa hajoamisessa vapautuu? Massat ovat $m_\Lambda = 1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_p = 938{,}272\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_\pi = 139{,}570\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ (Particle Data Group 2024). Vastaa megaelektronivoltteina.
Vastaus
$37{,}84\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\Lambda^0 \to p + \pi^-$, $m_\Lambda = 1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_p = 938{,}272\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_\pi = 139{,}570\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
hajoamisessa vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Hajoava hiukkanen on raskaampi kuin syntyvät hiukkaset yhteensä. Massojen erotusta vastaava energia vapautuu syntyvien hiukkasten liike-energiaksi ($E = mc^2$). Hajoaminen on sallittu, koska varaus $0 = 1 - 1$, baryoniluku $1 = 1 + 0$ ja leptoniluku $0 = 0 + 0$ säilyvät.
Kaava
$Q = (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$, josta $Q = (m_\Lambda - m_p - m_\pi)\,c^2$
Muunnokset
Ei tarvita. Massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten $c^2$ supistuu.
Sijoitus
$Q$$= (1115{,}683 - 938{,}272 - 139{,}570)\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$$= 37{,}841\,\text{MeV}$Vastaus
$37{,}84\,\text{MeV}$
Massat on annettu tuhannesosan tarkkuudella, joten myös $37{,}841\,\text{MeV}$ kelpaa.
Järkevyys
Pyöristettynä $1116 - 938 - 140 = 38$, lähellä tulosta. Energia on positiivinen, joten hajoaminen on energian puolesta mahdollinen. Energia on vain noin $3\,\%$ lambdan lepoenergiasta, koska hajoamistuotteet ovat lähes yhtä raskaat kuin lambda.
- Tehtävä 15-8
Gammafotoni voi muuttua atomiytimen lähellä elektroniksi ja positroniksi, jos fotonin energia on vähintään elektronin ja positronin lepoenergioiden summa $2 \cdot 0{,}511\,\text{MeV}$.
Mikä on tällaisen fotonin suurin mahdollinen aallonpituus? Vastaa pikometreinä.
Vakiot: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{MeV} = 10^{6}\,\text{eV}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ja $1\,\text{pm} = 10^{-12}\,\text{m}$.
Vastaus
$1{,}21\,\text{pm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin pienin energia $E = 2 \cdot 0{,}511\,\text{MeV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
suurin aallonpituus $\lambda$ pikometreinä
Periaate
Parinmuodostuksessa fotonin energiasta syntyvät elektronin ja positronin massat. Siksi fotonin energian on oltava vähintään niiden lepoenergioiden summa. Fotonin energia on $\tfrac{hc}{\lambda}$, joten pienin energia vastaa suurinta aallonpituutta.
Kaava
$E = \dfrac{hc}{\lambda}$, josta $\lambda = \dfrac{hc}{E}$
Muunnokset
$E$$= 2 \cdot 0{,}511 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 1{,}6372 \cdot 10^{-13}\,\text{J}$Lopuksi $1\,\text{m} = 10^{12}\,\text{pm}$.
Sijoitus
$\lambda$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot \dfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{1{,}6372 \cdot 10^{-13}\,\text{J}}$$= 1{,}2133 \cdot 10^{-12}\,\text{m}$$= 1{,}2133\,\text{pm}$Vastaus
$1{,}21\,\text{pm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lepoenergiassa $0{,}511\,\text{MeV}$.
Järkevyys
Gammafotonin aallonpituus on pikometrien luokkaa, kuten luvun Atomiydin ja radioaktiivinen hajoaminen gammasäteilyllä. Pidempiaaltoinen fotoni ei riitä parin syntymiseen, koska sen energia on pienempi kuin $1{,}022\,\text{MeV}$.
- Tehtävä 15-9
Neutroni koostuu kvarkeista $u\,d\,d$. Kvarkkien massat ovat $m_u = 2{,}16\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja $m_d = 4{,}70\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Neutronin massa on $939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ (Particle Data Group 2024). Kuinka monta prosenttia neutronin massasta on sen kvarkkien massojen summa?
Vastaus
$1{,}23\,\%$
Näytä ratkaisu
Annettu
neutroni $udd$, $m_u = 2{,}16\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_d = 4{,}70\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, $m_n = 939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
kvarkkien massojen summan osuus $x$ neutronin massasta prosentteina
Periaate
Ensin lasketaan kolmen kvarkin massojen summa. Sitten summaa verrataan neutronin massaan yhdellä jakolaskulla. Massat ovat samassa yksikössä, joten osuus on yksikötön.
Kaava
$m_\text{kvarkit} = m_u + 2\,m_d$, josta
$x$$= \dfrac{m_u + 2\,m_d}{m_n} \cdot 100\,\%$Muunnokset
Ei tarvita, koska kaikki massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja yksikkö supistuu.
Sijoitus
$x$$= \dfrac{2{,}16\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} + 2 \cdot 4{,}70\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}}{939{,}565\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}} \cdot 100\,\%$$= \dfrac{11{,}56}{939{,}565} \cdot 100\,\%$$= 1{,}2304\,\%$Vastaus
$1{,}23\,\%$
Kolme merkitsevää numeroa kuten kvarkkien massoissa.
Järkevyys
Kvarkkien massat ovat muutamia $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$ ja neutronin massa on lähes $1000\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Osuus on siis noin prosentin luokkaa. Loput noin $99\,\%$ neutronin massasta on kvarkkeja sitovan vahvan vuorovaikutuksen energiaa.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 15-10
Omega-baryoni $\Omega^-$ koostuu kolmesta $s$-kvarkista, ja sen massa on $1672{,}45\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$. Sen hajoamiseksi ehdotetaan kolmea reaktiota: (1) $\Omega^- \to K^- + \pi^0$, (2) $\Omega^- \to \Sigma^0 + K^-$ ja (3) $\Omega^- \to \Lambda^0 + K^-$.
Hiukkaset: $\Lambda^0 = u\,d\,s$ ($1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$), $\Sigma^0 = u\,d\,s$ ($1192{,}642\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$), mesoni $K^- = s\,\bar{u}$ ($493{,}677\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$) ja varaukseton mesoni $\pi^0$ ($134{,}977\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$) (Particle Data Group 2024).
Päättele varauksen, baryoniluvun ja energian avulla, mikä reaktioista on mahdollinen. Laske siinä vapautuva energia megaelektronivoltteina. Kvarkkien varaukset: $u$ ($+\tfrac{2}{3}e$), $d$ ja $s$ ($-\tfrac{1}{3}e$).
Vastaus
$63{,}09\,\text{MeV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$\Omega^- = s\,s\,s$, $m_\Omega = 1672{,}45\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $\Lambda^0 = u\,d\,s$, $m_\Lambda = 1115{,}683\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $\Sigma^0 = u\,d\,s$, $m_\Sigma = 1192{,}642\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $K^- = s\,\bar{u}$, $m_K = 493{,}677\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$; $\pi^0$ on varaukseton mesoni, $m_\pi = 134{,}977\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$
Kysytty
mahdollinen reaktio ja siinä vapautuva energia $Q$ megaelektronivoltteina
Periaate
Reaktio on mahdollinen vain, jos varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät ja vapautuva energia on positiivinen. Levossa oleva hiukkanen ei nimittäin voi tuottaa itseään raskaampia hiukkasia. Varaukset ja baryoniluvut lasketaan kvarkeista. Leptoneja ei ole mukana, joten $L = 0$ kaikkialla. Varaukset: $\Omega^-$: $3 \cdot \left(-\tfrac{1}{3}\right)e = -e$; $\Lambda^0$ ja $\Sigma^0$: $\left(\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3}\right)e = 0$; $K^-$: $\left(-\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3}\right)e = -e$. Baryoniluku on baryoneille $\tfrac{3 - 0}{3} = 1$ ja mesoneille $\tfrac{1 - 1}{3} = 0$.
Kaava
$q_\text{alku} = q_\text{loppu}$,
$B_\text{alku}$$= B_\text{loppu}$$Q$$= (m_\text{alku} - m_\text{loppu})\,c^2$$> 0$reaktiolle (3) $Q = (m_\Omega - m_\Lambda - m_K)\,c^2$
Muunnokset
Ei tarvita. Massat ovat yksikössä $\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, joten $c^2$ supistuu.
Sijoitus
(1) Varaus $-1 = -1 + 0$ säilyy, mutta baryoniluku $1 \ne 0 + 0$, joten reaktio on kielletty. (2) Varaus $-1 = 0 - 1$ ja baryoniluku $1 = 1 + 0$ säilyvät, mutta
$Q$$= (1672{,}45 - 1192{,}642 - 493{,}677)\,\text{MeV}$$= -13{,}869\,\text{MeV}$$< 0$joten energia ei riitä. (3) Varaus $-1 = 0 - 1$ ja baryoniluku $1 = 1 + 0$ säilyvät, ja
$Q$$= (1672{,}45 - 1115{,}683 - 493{,}677)\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2} \cdot c^2$$= 63{,}090\,\text{MeV}$Vastaus
Reaktio (3) $\Omega^- \to \Lambda^0 + K^-$ on mahdollinen, ja siinä vapautuu $63{,}09\,\text{MeV}$, sadasosan tarkkuudella kuten omegan massa.
Järkevyys
Pyöristettynä $1672 - 1116 - 494 = 62$, lähellä tulosta. Reaktiot (2) ja (3) eroavat vain baryonin massan takia. Kevyempi $\Lambda^0$ jättää energiaa yli, mutta raskaampi $\Sigma^0$ ei. Pelkkä varaus ei kerro kvarkkien lajia. Myös $\Delta^- = d\,d\,d$ on varaukseltaan $-e$, mutta sen massa on vain noin $1232\,\tfrac{\text{MeV}}{c^2}$, koska $d$-kvarkki on kevyempi kuin $s$-kvarkki. Havaittu $\Omega^-$ hajoaa useimmiten juuri reaktiolla (3).
- Tehtävä 15-11
Tieteiskirjallisuudessa avaruusalukset kulkevat antiaineella. Kuinka paljon energiaa vapautuisi, kun $1{,}0\,\text{g}$ antiainetta annihiloituu $1{,}0\,\text{g}$:n kanssa tavallista ainetta ja kaikki massa muuttuu säteilyn energiaksi ($c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$)?
Vastaus
$1{,}8 \cdot 10^{14}\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
antiaineen massa $1{,}0\,\text{g}$ ja tavallisen aineen massa $1{,}0\,\text{g}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
vapautuva energia $E$ yksikössä $10^{14}\,\text{J}$
Periaate
Annihilaatiossa sekä antiaineen että tavallisen aineen massa muuttuu säteilyn energiaksi. Mukana on siis koko massa $2{,}0\,\text{g}$. Massan ja energian yhteys $E = mc^2$ antaa energian.
Kaava
$E = mc^2$, jossa $m = m_\text{anti} + m_\text{aine}$, josta $E = (m_\text{anti} + m_\text{aine})\,c^2$
Muunnokset
$1{,}0\,\text{g} + 1{,}0\,\text{g}$$= 2{,}0\,\text{g}$$= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$ja $1\,\text{kg} \cdot \tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 1\,\text{J}$.
Sijoitus
$E$$= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot (2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s})^2$$= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 8{,}988 \cdot 10^{16}\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$$= 1{,}798 \cdot 10^{14}\,\text{J}$Vastaus
$1{,}8 \cdot 10^{14}\,\text{J}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa $1{,}0\,\text{g}$.
Järkevyys
Arviolla $2 \cdot 10^{-3} \cdot (3 \cdot 10^{8})^2 = 1{,}8 \cdot 10^{14}$. Tavallinen virhe olisi käyttää vain antiaineen massaa, jolloin tulos olisi puolet. Energia vastaa noin $50\,\text{GWh}$, sillä $1\,\text{GWh} = 3{,}6 \cdot 10^{12}\,\text{J}$.
- Tehtävä 15-12
Antineutriinot havaittiin ensimmäisen kerran vuonna 1956 ydinreaktorin vieressä reaktiolla $\bar{\nu}_e + p \to n + X$. Päättele varauksen, baryoniluvun ja leptoniluvun säilymisestä, mikä hiukkanen $X$ on. Mikä on hiukkasen $X$ leptoniluku $L$?
Vastaus
$L_X = -1$
Näytä ratkaisu
Annettu
reaktio $\bar{\nu}_e + p \to n + X$; taulukosta $\bar{\nu}_e$: $q = 0$, $B = 0$, $L = -1$; $p$: $q = +1$, $B = 1$, $L = 0$; $n$: $q = 0$, $B = 1$, $L = 0$
Kysytty
hiukkasen $X$ leptoniluku $L_X$
Periaate
Varaus, baryoniluku ja leptoniluku säilyvät kaikissa hiukkasreaktioissa. Hiukkasen $X$ luvut saadaan siis alkutilan ja lopputilan erotuksesta. Ne kertovat myös, mikä hiukkanen $X$ on.
Kaava
$L_{\bar{\nu}} + L_p = L_n + L_X$, josta $L_X = L_{\bar{\nu}} + L_p - L_n$
Muunnokset
Ei tarvita, koska luvut ovat yksiköttömiä.
Sijoitus
$L_X = -1 + 0 - 0 = -1$; samoin $q_X = 0 + 1 - 0 = +1$ ja $B_X = 0 + 1 - 1 = 0$
Vastaus
$L_X = -1$
Tulos on tarkka kokonaisluku. Hiukkanen, jonka $q = +1$, $B = 0$ ja $L = -1$, on antilepton eli positroni $e^+$: $\bar{\nu}_e + p \to n + e^+$.
Järkevyys
Reaktio on beeta plus -hajoamisen kaltainen: protoni muuttuu neutroniksi ja syntyy positroni. Cowanin ja Reinesin kokeessa havaittiin juuri positronin annihilaatiosta syntyneet $511\,\text{keV}$:n fotonit ja neutronin sieppaus.
Valokuvat
- CERN LHC CMS 01. SimonWaldherr. lähde, CC BY-SA 4.0
- Atlas detector CERN feb2007. Sindre Skrede. lähde, public domain
