Säteily lääketieteessä ja teknologiassa

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 14-1Ydintehtävä

   Röntgensäde kulkee $6{,}8\,\text{cm}$ paksun pehmytkudoskerroksen läpi. Pehmytkudoksen puoliintumispaksuus tälle säteilylle on $3{,}4\,\text{cm}$. Kuinka monta prosenttia säteilystä pääsee kudoksen läpi?

   %Tarkista
   Vastaus

   $25\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pehmytkudoksen paksuus $d = 6{,}8\,\text{cm}$, puoliintumispaksuus $d_{1/2} = 3{,}4\,\text{cm}$

   Kysytty

   läpi päässeen säteilyn osuus ${I : I_0}$ prosentteina

   Periaate

   Jokainen puoliintumispaksuuden paksuinen kerros päästää läpi puolet siihen tulevasta röntgensäteilystä. Syy on se, että jokaisella fotonilla on jokaisessa kerroksessa sama todennäköisyys vuorovaikuttaa aineen kanssa.

   Kaava

   $I = I_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$, josta

   $\dfrac{I}{I_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita, koska paksuus ja puoliintumispaksuus ovat molemmat senttimetreinä. Lopuksi osuus muutetaan prosenteiksi kertomalla se luvulla $100\,\%$.

   Sijoitus

   $\dfrac{I}{I_0}$$= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6{,}8\,\text{cm} / 3{,}4\,\text{cm}}$

   $= \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}$

   $= 0{,}25$

   $= 25\,\%$

   Vastaus

   $25\,\%$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten paksuuksissa $6{,}8\,\text{cm}$ ja $3{,}4\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Kerroksessa on täsmälleen kaksi puoliintumispaksuutta. Ensimmäinen puolittaa säteilyn $50\,\%$:iin ja toinen $25\,\%$:iin. Säteily heikkenee mutta ei lopu kokonaan, kuten fotonisäteilylle kuuluu.

2. Tehtävä 14-2Ydintehtävä

   Luuston isotooppikuvausta varten potilaalle annetaan teknetium-$99\text{m}$-merkkiainetta. Sen aktiivisuus on $600\,\text{MBq}$. Teknetium-$99\text{m}$:n puoliintumisaika on $6{,}01\,\text{h}$.

   Kuinka suuri merkkiaineen aktiivisuus on $24{,}0\,\text{h}$:n kuluttua, jos aineesta ei poistuisi mitään elimistöstä? Anna vastaus megabecquereleinä.

   MBqTarkista
   Vastaus

   $38\,\text{MBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 600\,\text{MBq}$, puoliintumisaika $T_{1/2} = 6{,}01\,\text{h}$, aika $t = 24{,}0\,\text{h}$

   Kysytty

   aktiivisuus $A$ hetkellä $t$ megabecquereleinä

   Periaate

   Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään. Se pienenee siis hajoamislain mukaan: jokainen puoliintumisaika puolittaa sen. Tehtävässä oletetaan, ettei ainetta poistu elimistöstä. Vain hajoaminen pienentää siis aktiivisuutta.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita, koska aika ja puoliintumisaika ovat molemmat tunteina.

   Sijoitus

   $A$$= 600\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{24{,}0\,\text{h} / 6{,}01\,\text{h}}$

   $= 600\,\text{MBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3{,}9933}$

   $= 600\,\text{MBq} \cdot 0{,}062789$

   $= 37{,}67\,\text{MBq}$

   Vastaus

   $38\,\text{MBq}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska aktiivisuus $600\,\text{MBq}$ on annettu kahden tai kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella.

   Järkevyys

   Vuorokaudessa kuluu lähes tasan neljä puoliintumisaikaa, ja $600\,\text{MBq} : 16 = 37{,}5\,\text{MBq}$. Todellisuudessa aktiivisuus on vielä pienempi, koska osa merkkiaineesta poistuu virtsan mukana.

3. Tehtävä 14-3

   PET-kuvauksen FDG-merkkiaineen efektiivinen annos on aikuiselle noin $0{,}019\,\text{mSv}$ jokaista ruiskutettua megabecquerelia kohti. Potilaalle ruiskutetaan $300\,\text{MBq}$. Kuinka suuren efektiivisen annoksen potilas saa? Anna vastaus millisieverteinä.

   mSvTarkista
   Vastaus

   $5{,}7\,\text{mSv}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ruiskutettu aktiivisuus $A = 300\,\text{MBq}$, annos megabecquerelia kohti $0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}}$

   Kysytty

   potilaan efektiivinen annos $H_\text{E}$ millisieverteinä

   Periaate

   Jokainen ruiskutettu megabecquerel hajoaa elimistössä samalla tavalla ja antaa saman annoksen. Efektiivinen annos on siis suoraan verrannollinen ruiskutettuun aktiivisuuteen.

   Kaava

   $H_\text{E} = 0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}} \cdot A$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Aktiivisuus on megabecquereleinä, ja kertoimen yksikkö on millisievert megabecquerelia kohti.

   Sijoitus

   $H_\text{E}$$= 0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}} \cdot 300\,\text{MBq}$

   $= 5{,}7\,\text{mSv}$

   Vastaus

   $5{,}7\,\text{mSv}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kertoimessa $0{,}019\,\tfrac{\text{mSv}}{\text{MBq}}$.

   Järkevyys

   Arvio: $0{,}02 \cdot 300 = 6$. Annos on samaa suuruusluokkaa kuin luonnon säteilyn keskimääräinen vuosiannos Suomessa, $5{,}1\,\text{mSv}$. Se sopii luvun annostaulukon arvoon, noin $6\,\text{mSv}$.

4. Tehtävä 14-4

   Sädehoidossa kasvaimen massa on $50\,\text{g}$. Kasvain saa yhdellä hoitokerralla absorboituneen annoksen $2{,}0\,\text{Gy}$. Kuinka paljon säteilyenergiaa kasvain absorboi hoitokerran aikana? Anna vastaus jouleina.

   JTarkista
   Vastaus

   $0{,}10\,\text{J}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kasvaimen massa $m = 50\,\text{g}$, absorboitunut annos $D = 2{,}0\,\text{Gy}$

   Kysytty

   kasvaimen absorboima energia $E$ jouleina

   Periaate

   Absorboitunut annos on kudoksen absorboima energia massaa kohti (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa). Energia on siis annos kertaa massa.

   Kaava

   $D = \dfrac{E}{m}$, josta $E = D m$

   Muunnokset

   Yksikkö $1\,\text{Gy} = 1\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}}$. Massa muutetaan kilogrammoiksi:

   $m$$= 50\,\text{g}$

   $= 50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}050\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $E$$= 2{,}0\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 0{,}050\,\text{kg}$

   $= 0{,}10\,\text{J}$

   Vastaus

   $0{,}10\,\text{J}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annoksessa $2{,}0\,\text{Gy}$ ja massassa $50\,\text{g}$.

   Järkevyys

   Energia on hyvin pieni. Se lämmittäisi kasvainta vain noin $0{,}0005\,\text{K}$. Vaikutus ei perustu lämpenemiseen. Energia tulee ionisaatioina, jotka rikkovat DNA:ta.

5. Tehtävä 14-5

   Savuilmaisimessa on amerikium-241:tä. Sen aktiivisuus on uutena $37\,\text{kBq}$. Amerikium-241:n puoliintumisaika on $432\,\text{a}$. Kuinka suuri aktiivisuus on $100\,\text{a}$:n kuluttua? Anna vastaus kilobecquereleinä.

   kBqTarkista
   Vastaus

   $32\,\text{kBq}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuaktiivisuus $A_0 = 37\,\text{kBq}$, amerikium-241:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 432\,\text{a}$, aika $t = 100\,\text{a}$

   Kysytty

   aktiivisuus $A$ kilobecquereleinä

   Periaate

   Aktiivisuus on verrannollinen hajoamattomien ytimien määrään. Se pienenee siksi hajoamislain mukaan. Savuilmaisimen lähde on suljettu, joten ainetta ei poistu muuten kuin hajoamalla.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita, koska aika ja puoliintumisaika ovat molemmat vuosina.

   Sijoitus

   $A$$= 37\,\text{kBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{100\,\text{a} / 432\,\text{a}}$

   $= 37\,\text{kBq} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}23148}$

   $= 37\,\text{kBq} \cdot 0{,}85176$

   $= 31{,}52\,\text{kBq}$

   Vastaus

   $32\,\text{kBq}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten aktiivisuudessa $37\,\text{kBq}$.

   Järkevyys

   Sata vuotta on alle neljäsosa puoliintumisajasta. Aktiivisuus ei ehdi puolittua, vaan se pienenee selvästi alle $50\,\%$: se pieneni noin $15\,\%$. Siksi savuilmaisimen lähde toimii koko laitteen käyttöiän.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 14-6Ydintehtävä

   Elävän puun hiilestä mitataan hiili-14:n aktiivisuudeksi $0{,}23\,\text{Bq}$ grammaa kohti. Arkeologisesta kaivauksesta löytyneen puuhiilen vastaava aktiivisuus on $0{,}029\,\text{Bq}$ grammaa kohti. Hiili-14:n puoliintumisaika on $5700\,\text{a}$.

   Kuinka vanha puuhiili on? Anna vastaus vuosina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

   aTarkista
   Vastaus

   $1{,}7 \cdot 10^{4}\,\text{a}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   elävän puun hiilen aktiivisuus $A_0 = 0{,}23\,\text{Bq}$ grammaa kohti, löydön aktiivisuus $A = 0{,}029\,\text{Bq}$ grammaa kohti, hiili-14:n puoliintumisaika $T_{1/2} = 5700\,\text{a}$

   Kysytty

   puuhiilen ikä $t$ vuosina

   Periaate

   Elävä puu pitää hiili-14:n osuuden hiilestään samana kuin ilmakehässä. Kun puu kuolee, uutta hiili-14:ää ei tule, ja aktiivisuus grammaa kohti pienenee hajoamislain mukaan. Aika on yhtälössä eksponentissa eli potenssin kohdalla. Se ratkaistaan logaritmilla.

   Kaava

   $A = A_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$, josta $\dfrac{A_0}{A} = 2^{t/T_{1/2}}$. Otetaan molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi ja käytetään sääntöä $\ln 2^{x} = x \ln 2$:

   $\ln \dfrac{A_0}{A}$$= \dfrac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln 2$

   josta

   $t$$= T_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (A_0 : A)}{\ln 2}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Aktiivisuudet ovat samassa yksikössä, joten niiden suhde on pelkkä luku. Ikä saadaan vuosina, kuten puoliintumisaika.

   Sijoitus

   $t$$= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln (0{,}23 : 0{,}029)}{\ln 2}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{\ln 7{,}931}{0{,}69315}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot \dfrac{2{,}0708}{0{,}69315}$

   $= 5700\,\text{a} \cdot 2{,}9875$

   $= 17\,029\,\text{a}$

   Vastaus

   $1{,}7 \cdot 10^{4}\,\text{a}$

   Eli noin $17\,000$ vuotta. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten aktiivisuuksissa $0{,}23\,\text{Bq}$ ja $0{,}029\,\text{Bq}$.

   Järkevyys

   Aktiivisuus on pienentynyt noin kahdeksasosaan, ja $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$. Aikaa on siis kulunut lähes kolme puoliintumisaikaa: $3 \cdot 5700\,\text{a} = 17\,100\,\text{a}$. Ikä on alle radiohiiliajoituksen rajan, joka on noin $50\,000$ vuotta.

2. Tehtävä 14-7Ydintehtävä

   Terästehtaan paksuusmittarissa amerikium-241:n gammasäteily kulkee ohuen teräsnauhan läpi ilmaisimeen. Fotonien energia on $60\,\text{keV}$. Taustasäteily on vähennetty. Ilman nauhaa ilmaisin laskee $1200$ fotonia sekunnissa ja nauhan kanssa $900$ fotonia sekunnissa. Teräksen puoliintumispaksuus tälle säteilylle on $0{,}73\,\text{mm}$.

   Kuinka paksu nauha on? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $0{,}30\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pulssitaajuus ilman nauhaa $I_0 = 1200\,\tfrac{1}{\text{s}}$, nauhan kanssa $I = 900\,\tfrac{1}{\text{s}}$ (taustasäteily vähennetty), teräksen puoliintumispaksuus $d_{1/2} = 0{,}73\,\text{mm}$

   Kysytty

   nauhan paksuus $d$ millimetreinä

   Periaate

   Fotonisäteilyn intensiteetti vaimenee teräksessä puoliintumispaksuuden mukaan. Ilmaisimen nettopulssitaajuus on verrannollinen siihen osuvan säteilyn intensiteettiin. Pulssitaajuuksien suhde on siis sama kuin intensiteettien suhde.

   Kaava

   $I = I_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$, josta $\dfrac{I_0}{I} = 2^{d/d_{1/2}}$. Otetaan molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi ja käytetään sääntöä $\ln 2^{x} = x \ln 2$:

   $\ln \dfrac{I_0}{I}$$= \dfrac{d}{d_{1/2}} \cdot \ln 2$

   josta

   $d$$= d_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (I_0 : I)}{\ln 2}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita. Pulssitaajuudet ovat samassa yksikössä, ja paksuus saadaan millimetreinä, kuten puoliintumispaksuus.

   Sijoitus

   $d$$= 0{,}73\,\text{mm} \cdot \dfrac{\ln (1200 : 900)}{\ln 2}$

   $= 0{,}73\,\text{mm} \cdot \dfrac{0{,}28768}{0{,}69315}$

   $= 0{,}73\,\text{mm} \cdot 0{,}41504$

   $= 0{,}3030\,\text{mm}$

   Vastaus

   $0{,}30\,\text{mm}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten puoliintumispaksuudessa $0{,}73\,\text{mm}$.

   Järkevyys

   Nauha päästää läpi $900 : 1200 = 75\,\%$. Se on enemmän kuin puolet, joten nauhan on oltava ohuempi kuin yksi puoliintumispaksuus, $0{,}73\,\text{mm}$. Jos nauha paksunee, pulssitaajuus pienenee, ja mittari ohjaa valssia ohentamaan nauhaa.

3. Tehtävä 14-8

   Vartalon TT-tutkimuksesta potilas saa efektiivisen annoksen $8{,}0\,\text{mSv}$. Suomalainen saa luonnon säteilystä keskimäärin noin $5{,}1\,\text{mSv}$ vuodessa. Kuinka monen vuorokauden luonnon säteilyannosta TT-tutkimus vastaa? Vuodessa on $365$ vuorokautta.

   dTarkista
   Vastaus

   $570\,\text{d}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   TT-tutkimuksen annos $H = 8{,}0\,\text{mSv}$, luonnon säteilyn annos $5{,}1\,\text{mSv}$ vuodessa, vuodessa $365$ vuorokautta

   Kysytty

   aika $t$ vuorokausina, jona luonnon säteily antaa saman annoksen

   Periaate

   Luonnon säteilyn annos kertyy vuoden mittaan keskimäärin tasaisesti. Annos on siis suoraan verrannollinen aikaan: annos on annosnopeus kertaa aika.

   Kaava

   $H = \dot{H} t$, josta $t = \dfrac{H}{\dot{H}}$

   Muunnokset

   Annosnopeus muutetaan vuorokautta kohti sijoittamalla $1\,\text{a} = 365\,\text{d}$:

   $\dot{H}$$= \tfrac{5{,}1\,\text{mSv}}{1\,\text{a}}$

   $= \tfrac{5{,}1\,\text{mSv}}{365\,\text{d}}$

   Sijoitus

   $t$$= \dfrac{8{,}0\,\text{mSv}}{5{,}1\,\text{mSv} : 365\,\text{d}}$

   $= \dfrac{8{,}0}{5{,}1} \cdot 365\,\text{d}$

   $= 1{,}5686 \cdot 365\,\text{d}$

   $= 572{,}5\,\text{d}$

   Vastaus

   noin $570\,\text{d}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annoksissa $8{,}0\,\text{mSv}$ ja $5{,}1\,\text{mSv}$.

   Järkevyys

   TT-tutkimuksen annos on hieman suurempi kuin luonnon vuosiannos. Ajan pitää siis olla vähän yli vuoden, ja $572\,\text{d}$ on noin puolitoista vuotta. Annos on merkittävä, ja siksi TT-tutkimuksen on oltava oikeutettu.

4. Tehtävä 14-9

   PET-potilaasta lähtevän säteilyn annosnopeus on heti merkkiaineen ruiskutuksen jälkeen $30\,\mu\text{Sv/h}$, kun etäisyys potilaaseen on $1{,}0\,\text{m}$. Hoitaja auttaa potilasta $5{,}0\,\text{min}$ ajan $0{,}50\,\text{m}$:n etäisyydellä.

   Kuinka suuren annoksen hoitaja saa? Oleta, että potilas on pistemäinen lähde ja että annosnopeus pysyy tämän ajan vakiona. Anna vastaus mikrosieverteinä.

   µSvTarkista
   Vastaus

   $10\,\mu\text{Sv}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   annosnopeus $\dot{H}_1 = 30\,\mu\text{Sv/h}$ etäisyydellä $r_1 = 1{,}0\,\text{m}$, hoitajan etäisyys $r_2 = 0{,}50\,\text{m}$, aika $t = 5{,}0\,\text{min}$

   Kysytty

   hoitajan annos $H$ mikrosieverteinä

   Periaate

   Potilasta pidetään pistemäisenä lähteenä. Annosnopeus on silloin kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön (luku Säteilyannos ja säteilyturvallisuus Suomessa). Annosnopeus pysyy tämän ajan vakiona, joten annos on annosnopeus kertaa aika.

   Kaava

   $\dot{H}_2 = \dot{H}_1 \left(\tfrac{r_1}{r_2}\right)^2$ ja $H = \dot{H}_2 t$, joten

   $H$$= \dot{H}_1 \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 t$

   Muunnokset

   Aika muutetaan tunneiksi:

   $t$$= 5{,}0\,\text{min}$

   $= 5{,}0 \cdot \tfrac{1}{60}\,\text{h}$

   $= 0{,}08333\,\text{h}$

   Sijoitus

   $H$$= 30\,\mu\text{Sv/h} \cdot \left(\dfrac{1{,}0\,\text{m}}{0{,}50\,\text{m}}\right)^2 \cdot 0{,}08333\,\text{h}$

   $= 30\,\mu\text{Sv/h} \cdot 4 \cdot 0{,}08333\,\text{h}$

   $= 120\,\mu\text{Sv/h} \cdot 0{,}08333\,\text{h}$

   $= 10\,\mu\text{Sv}$

   Vastaus

   $10\,\mu\text{Sv}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten annosnopeudessa $30\,\mu\text{Sv/h}$ ja ajassa $5{,}0\,\text{min}$.

   Järkevyys

   Puolet lyhyempi etäisyys nelinkertaistaa annosnopeuden arvoon $120\,\mu\text{Sv/h}$. Viisi minuuttia on kahdestoistaosa tunnista, ja $120 : 12 = 10$. Metrin päässä hoitaja saisi samassa ajassa vain $2{,}5\,\mu\text{Sv}$. Etäisyys on siis tehokas suoja.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 14-10

   Kasvain saa sädehoidossa $30$ hoitokertaa, ja kullakin kerralla annos on $2{,}0\,\text{Gy}$. Joka kerralla säteily annetaan viidestä eri suunnasta. Jokainen keila antaa kasvaimeen yhtä suuren osan annoksesta.

   Keilan tulokohdassa terve kudos saa ennen kasvainta keilasta $1{,}3$-kertaisen annoksen siihen verrattuna, mitä sama keila antaa kasvaimeen.

   Kuinka suuren kokonaisannoksen terve kudos yhden keilan tulokohdassa saa koko hoidon aikana? Oleta, että muut keilat eivät kulje tämän kohdan kautta. Anna vastaus grayna.

   GyTarkista
   Vastaus

   $16\,\text{Gy}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $30$ hoitokertaa, kasvaimen annos kerralla $2{,}0\,\text{Gy}$, $5$ keilaa, joista kukin antaa kasvaimeen saman osan, tulokohdan annos $1{,}3$-kertainen keilan kasvainannokseen verrattuna

   Kysytty

   terveen kudoksen kokonaisannos $D$ yhden keilan tulokohdassa grayna

   Periaate

   Keilojen annokset summautuvat vain siellä, missä keilat leikkaavat, eli kasvaimessa. Tulokohdan kautta kulkee vain yksi keila. Tulokohta saa siis vain tämän keilan annoksen, joka on $1{,}3$-kertainen keilan kasvaimeen antamaan annokseen verrattuna. Hoitokertojen annokset lasketaan yhteen.

   Kaava

   yhden keilan kasvainannos on $\tfrac{2{,}0\,\text{Gy}}{5}$, joten

   $D$$= 30 \cdot 1{,}3 \cdot \dfrac{D_\text{kerta}}{5}$

   missä $D_\text{kerta} = 2{,}0\,\text{Gy}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita, koska kaikki annokset ovat grayna.

   Sijoitus

   $D$$= 30 \cdot 1{,}3 \cdot \dfrac{2{,}0\,\text{Gy}}{5}$

   $= 30 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}40\,\text{Gy}$

   $= 30 \cdot 0{,}52\,\text{Gy}$

   $= 15{,}6\,\text{Gy}$

   Vastaus

   noin $16\,\text{Gy}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten kertoimessa $1{,}3$ ja annoksessa $2{,}0\,\text{Gy}$.

   Järkevyys

   Kasvain saa yhteensä $30 \cdot 2{,}0\,\text{Gy} = 60\,\text{Gy}$. Terve kudos tulokohdassa saa noin neljäsosan siitä. Yhdellä keilalla tulokohta saisi $1{,}3 \cdot 60\,\text{Gy} = 78\,\text{Gy}$, enemmän kuin kasvain. Useat suunnat ovat siis välttämättömiä.

2. Tehtävä 14-11

   Mammografiassa röntgenputken jännite on noin $30\,\text{kV}$, ja fotonien keskimääräinen energia on noin $20\,\text{keV}$. Oleta tässä fotonien energiaksi $30\,\text{keV}$. Tällä energialla pehmytkudoksen puoliintumispaksuus on $1{,}8\,\text{cm}$ ja luun tai kalkkeuman $0{,}27\,\text{cm}$.

   Kaksi yhtä pitkää sädettä kulkee kudoksen läpi. Toinen säde kulkee pelkän pehmytkudoksen läpi. Toisen säteen matkalla $1{,}0\,\text{cm}$ pehmytkudosta on korvautunut samanpaksuisella kalkkeutuneella kudoksella, joka vaimentaa kuten luu.

   Kuinka monta kertaa suurempi intensiteetti osuu ilmaisimeen pelkän pehmytkudoksen läpi kulkeneen säteen kohdalla?

   Tarkista
   Vastaus

   $8{,}9$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   pehmytkudoksen puoliintumispaksuus $d_{1/2}^\text{kudos} = 1{,}8\,\text{cm}$, kalkkeuman $d_{1/2}^\text{luu} = 0{,}27\,\text{cm}$, korvautuneen kerroksen paksuus $d = 1{,}0\,\text{cm}$

   Kysytty

   intensiteettien suhde ${I_\text{A} : I_\text{B}}$, kun säde A kulkee pelkän pehmytkudoksen ja säde B kalkkeuman läpi

   Periaate

   Säteet ovat yhtä pitkiä ja kulkevat muuten saman pehmytkudoksen läpi. Muiden kerrosten osuudet ovat siis molemmille samat, ja ne supistuvat suhteesta pois. Ero tulee vain $1{,}0\,\text{cm}$:n kerroksesta. Säteellä A se on pehmytkudosta ja säteellä B kalkkeumaa. Kerrosten läpi päässeet osuudet kerrotaan.

   Kaava

   $\dfrac{I_\text{A}}{I_\text{B}}$$= \dfrac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}^\text{kudos}}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}^\text{luu}}}$

   $= 2^{d/d_{1/2}^\text{luu} - d/d_{1/2}^\text{kudos}}$

   Muunnokset

   Niitä ei tarvita, koska kaikki paksuudet ovat senttimetreinä.

   Sijoitus

   $\dfrac{I_\text{A}}{I_\text{B}}$$= 2^{1{,}0\,\text{cm} / 0{,}27\,\text{cm} - 1{,}0\,\text{cm} / 1{,}8\,\text{cm}}$

   $= 2^{3{,}7037 - 0{,}5556}$

   $= 2^{3{,}1481}$

   $= 8{,}87$

   Vastaus

   noin $8{,}9$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten puoliintumispaksuuksissa $1{,}8\,\text{cm}$ ja $0{,}27\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Kalkkeumassa on noin $3{,}7$ puoliintumispaksuutta. Pehmytkudoksessa olisi ollut noin $0{,}56$. Säde B puolittuu siis noin kolme kertaa useammin, ja $2^3 = 8$. Pienellä energialla kontrasti on suuri. Siksi pienetkin kalkkeumat näkyvät mammografiassa.

3. Tehtävä 14-12

   PET-merkkiaineen fotonien energia on $511\,\text{keV}$. Näille fotoneille lyijyn puoliintumispaksuus on $3{,}9\,\text{mm}$. Kuinka paksu lyijysuoja ruiskun ympärillä tarvitaan, jotta suojan läpi pääsee vain $5{,}0\,\%$ säteilystä? Anna vastaus millimetreinä.

   mmTarkista
   Vastaus

   $17\,\text{mm}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   lyijyn puoliintumispaksuus fotoneille, joiden energia on $511\,\text{keV}$, $d_{1/2} = 3{,}9\,\text{mm}$, läpi pääsevä osuus ${I : I_0} = 5{,}0\,\% = 0{,}050$

   Kysytty

   lyijysuojan paksuus $d$ millimetreinä

   Periaate

   Jokainen puoliintumispaksuus puolittaa fotonisäteilyn intensiteetin. Vaimeneminen noudattaa siis yhtälöä $I = I_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{d/d_{1/2}}$. Paksuus on eksponentissa, joten se ratkaistaan logaritmilla.

   Kaava

   $\dfrac{I_0}{I} = 2^{d/d_{1/2}}$. Otetaan molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi ja käytetään sääntöä $\ln 2^{x} = x \ln 2$:

   $\ln \dfrac{I_0}{I}$$= \dfrac{d}{d_{1/2}} \cdot \ln 2$

   josta

   $d$$= d_{1/2} \cdot \dfrac{\ln (I_0 : I)}{\ln 2}$

   Muunnokset

   Osuus muutetaan desimaaliluvuksi: $5{,}0\,\% = 0{,}050$, joten ${I_0 : I} = {1 : 0{,}050} = 20$. Paksuus saadaan millimetreinä, kuten puoliintumispaksuus.

   Sijoitus

   $d$$= 3{,}9\,\text{mm} \cdot \dfrac{\ln 20}{\ln 2}$

   $= 3{,}9\,\text{mm} \cdot \dfrac{2{,}9957}{0{,}69315}$

   $= 3{,}9\,\text{mm} \cdot 4{,}3219$

   $= 16{,}86\,\text{mm}$

   Vastaus

   noin $17\,\text{mm}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten puoliintumispaksuudessa $3{,}9\,\text{mm}$ ja osuudessa $5{,}0\,\%$.

   Järkevyys

   Neljä puoliintumispaksuutta päästäisi läpi $\tfrac{1}{16} \approx 6{,}3\,\%$ ja viisi $\tfrac{1}{32} \approx 3{,}1\,\%$. Paksuuden on siis oltava lukujen $4 \cdot 3{,}9\,\text{mm} = 15{,}6\,\text{mm}$ ja $5 \cdot 3{,}9\,\text{mm} = 19{,}5\,\text{mm}$ välissä. Teknetium-$99\text{m}$:n fotoneille, joiden energia on $140\,\text{keV}$, sama vaimennus vaatisi vain noin $1\,\text{mm}$ lyijyä, koska niiden puoliintumispaksuus on noin $0{,}26\,\text{mm}$.