Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli
Miksi vetyä sisältävän lampun valo hajoaa hilassa vain neljäksi selvästi näkyväksi värilliseksi viivaksi, ja miksi juuri aallonpituuksille $656\,\text{nm}$, $486\,\text{nm}$, $434\,\text{nm}$ ja $410\,\text{nm}$?
Pohjatiedot
- Fotonin energia on $E = hf = \tfrac{hc}{\lambda}$, ja energia voidaan ilmoittaa elektronivoltteinaluku Valosähköinen ilmiö ja fotoni
- Kaasun viivaspektri kertoo, että atomin energia voi saada vain tiettyjä arvojaluku Spektrit paljastavat atomin energiatasot
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 6.
Pohdinta
Pimennetyssä luokassa ohut lasiputki, jossa on vetykaasua, hehkuu vaaleanpunaisen violettina, kun siihen kytketään jännite. Kun valoa katsotaan hilan läpi, tasaisen sateenkaaren sijaan näkyy vain neljä kapeaa viivaa: punainen, syaani, sininen ja violetti. Viivojen paikat ovat aina samat, olipa putki missä tahansa laboratoriossa.
Mikä vetyatomissa päättää, että se lähettää juuri nämä neljä aallonpituutta, ja voiko ne laskea?
Valinnainen Kertaa: fotonin energia
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: yhä ylemmiltä tasoilta tasolle 2
Valinnainen Ennuste 2: perustilaan
Ennuste 3: liian suuri fotoni
Tutki
Valitse emissio tai absorptio, aseta tasot ja paina painiketta. Seuraa elektronia Bohrin kuvassa ja energiatasokaaviossa ja katso, mihin viiva syntyy spektriin.
Simulaatio
Käyttöohje
Tilanne valitsee emission tai absorption. Emissiossa valitset ylemmän tason $n_\text{y}$ ($2$–$6$) ja alemman tason $n_\text{a}$ ($1$–$3$) ja painat Siirtymä: elektroni putoaa, fotoni lähtee, ja sen viiva jää spektrinauhaan. Absorptiossa valitset atomin tilan $n_\text{a}$ ja saapuvan fotonin energian $hf$ ja painat Lähetä fotoni. Lukemissa näkyvät tasojen energiat, fotonin energia ja aallonpituus sekä absorption tulos. Spektrinauhassa on kolme osaa, joilla kullakin on oma aallonpituusasteikkonsa: ultravioletti, näkyvä valo ja infrapuna. Oranssi kolmio näyttää nykyisen fotonin paikan. Tyhjennä spektri poistaa kerätyt viivat. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia.
Mallin oletukset
Tasojen energiat ovat annettu tieto $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, ja energian nollakohta on vapaa, levossa oleva elektroni. Bohrin kuvan ratojen säteet ovat kaavamaisia: Bohrin mallissa säde kasvaa kuten $n^2$. Energiatasokaavio on mittakaavassa tasosta $n = 2$ ylöspäin; tasojen $1$ ja $2$ väliä on lyhennetty. Absorptiossa fotonin energian on oltava tasojen erotus $0{,}03\,\text{eV}$:n tarkkuudella; malli laskee tasot $n = 30$ asti, vaikka kuvissa näkyy kuusi. Lähellä arvoa $13{,}6\,\text{eV}$ ylemmät tasot ovat niin tiheässä, että perustilasta jokainen liukusäätimen arvo välillä $13{,}20$–$13{,}55\,\text{eV}$ osuu jonkin tason erotukseen ja absorboituu. Jokainen fotoni osuu atomiin, joka on tilassa $n_\text{a}$. Arvot ovat mallin laskemia, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Emissiossa fotonin energia ja aallonpituus ovat
$$hf = E_\text{y} - E_\text{a}, \qquad \lambda = \frac{hc}{E_\text{y} - E_\text{a}},$$
missä energiaero muunnetaan jouleiksi kertomalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\tfrac{\text{J}}{\text{eV}}$. Absorptiossa malli etsii tason $m > n_\text{a}$, jolle $E_m - E_\text{a} = hf$. Jos $hf \geq -E_\text{a}$, elektroni irtoaa, ja sen liike-energia on $E_\text{k} = hf + E_\text{a}$.
Koe 1: Balmerin sarja
Testaa ennuste 1. Alempi taso on $n_\text{a} = 2$; muuta vain ylempää tasoa. Kirjaa fotonin energia ja aallonpituus lähtötasoilla $3$, $4$, $5$ ja $6$, ja paina välillä Siirtymä, niin näet viivan syntyvän spektriin. Laske, kuinka paljon aallonpituus muuttuu askeleesta toiseen.
Alkutila: tilanne: emissio, alempi taso $n_\text{a}$ = $2$, ylempi taso $n_\text{y}$ = $3$. Vakiona: tilanne, alempi taso $n_\text{a}$. Muutetaan: ylempi taso $n_\text{y}$.
| ylempi taso $n_\text{y}$ | $hf$ $(\text{eV})$ | $\lambda$ $(\text{nm})$ |
|---|
Valinnainen Koe 2: siirtymät perustilaan
Testaa ennuste 2. Alempi taso on nyt perustila $n_\text{a} = 1$; muuta ylempää tasoa ja kirjaa ainakin siirtymät $2 \to 1$ ja $3 \to 1$. Mihin spektrinauhan osaan viivat osuvat?
Alkutila: tilanne: emissio, alempi taso $n_\text{a}$ = $1$, ylempi taso $n_\text{y}$ = $2$. Vakiona: tilanne, alempi taso $n_\text{a}$. Muutetaan: ylempi taso $n_\text{y}$.
| ylempi taso $n_\text{y}$ | $hf$ $(\text{eV})$ | $\lambda$ $(\text{nm})$ |
|---|
Koe 3: mitkä fotonit perustila absorboi?
Testaa ennuste 3. Atomi on perustilassa $n_\text{a} = 1$; muuta vain saapuvan fotonin energiaa. Kirjaa ainakin energiat $10{,}20\,\text{eV}$, $11{,}00\,\text{eV}$, $12{,}10\,\text{eV}$ ja $14{,}00\,\text{eV}$ ja paina välillä Lähetä fotoni. Sarake taso jälkeen kertoo, mille tasolle elektroni päätyi.
Alkutila: tilanne: absorptio, atomin tila $n_\text{a}$ = $1$, fotonin energia $hf$ = $10{,}2\,\text{eV}$. Vakiona: tilanne, atomin tila $n_\text{a}$. Muutetaan: fotonin energia $hf$.
| fotonin energia $hf$ | taso jälkeen | $E_\text{k}$ $(\text{eV})$ |
|---|
Johtopäätös: mikä määrää viivat?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miksi Balmerin sarjan aallonpituudet lyhenevät ja tihenevät, kun lähtötaso nousee? Mitkä fotonit perustilassa oleva atomi absorboi?
Mallivastaus
Fotonin energia on tasojen erotus $E_\text{y} - E_\text{a}$. Kun lähtötaso nousee, erotus kasvaa ($1{,}89\,\text{eV}$, $2{,}55\,\text{eV}$, $2{,}86\,\text{eV}$, $3{,}02\,\text{eV}$) ja aallonpituus lyhenee ($656\,\text{nm}$, $486\,\text{nm}$, $434\,\text{nm}$, $410\,\text{nm}$). Erot pienenevät, koska ylemmät tasot ovat lähellä toisiaan. Valinnaisen kokeen 2 arvot näyttävät lisäksi, että perustilaan päättyvien siirtymien energiat ovat yli $10\,\text{eV}$ ja aallonpituudet alle $122\,\text{nm}$, joten ne ovat ultraviolettia. Perustilan atomi absorboi vain fotonit, joiden energia on tasojen erotus ($10{,}20\,\text{eV}$, $12{,}10\,\text{eV}$), ei fotonia $11{,}00\,\text{eV}$. Vähintään $13{,}6\,\text{eV}$:n fotoni ionisoi, ja ylimäärä jää elektronin liike-energiaksi. Arvot ovat mallin laskemia tasoista $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Vetyatomin energia on kvantittunut
Vetyatomissa on yksi protoni ja yksi elektroni. Atomin energia eli elektronin liike-energian ja sähköisen potentiaalienergian summa voi saada vain tiettyjä arvoja, energiatasoja. Tasot numeroidaan kokonaisluvulla $n = 1, 2, 3, \ldots$ Energian nollakohdaksi valitaan tilanne, jossa elektroni on levossa kaukana protonista eli irti atomista. Sidotun elektronin energia on siksi negatiivinen: elektronin irrottaminen vaatii energiaa.
Alin taso $n = 1$ on perustila, jonka energia on $-13{,}6\,\text{eV}$. Ylemmät tasot $n = 2, 3, \ldots$ ovat viritystiloja. Ne tihenevät ylöspäin ja lähestyvät nollaa. Energia, joka tarvitaan elektronin irrottamiseen perustilasta, on vedyn ionisaatioenergia $13{,}6\,\text{eV}$. Viritystilassa atomi pysyy tavallisesti vain noin $10^{-8}\,\text{s}$ ja palaa sitten alemmalle tasolle.
Siirtymässä syntyy tai katoaa fotoni
Kun elektroni siirtyy ylemmältä tasolta alemmalle, atomin energia pienenee ja erotus lähtee yhtenä fotonina. Energia säilyy, joten fotonin energia on tasojen erotus. Koska tasoja on vain tiettyjä, myös erotuksia on vain tiettyjä: vety lähettää vain tiettyjä aallonpituuksia, ja sen spektri on viivaspektri.
Siirtymät samalle alemmalle tasolle muodostavat sarjan. Tasolle $n = 1$ päättyvät siirtymät (Lymanin sarja) ovat suuria energiaharppauksia, ja niiden fotonit ovat ultraviolettia. Tasolle $n = 2$ päättyvät siirtymät (Balmerin sarja) tuottavat vedyn neljä kirkasta näkyvää viivaa; seuraavat viivat ($397\,\text{nm}$, $389\,\text{nm}$, …) ovat himmeitä ja näkyvän valon violetilla reunalla, jossa silmä on epäherkkä. Tasolle $n = 3$ päättyvät (Paschenin sarja) ovat infrapunaa.
Absorptio on käänteinen tapahtuma. Atomi absorboi fotonin vain, jos fotonin energia on täsmälleen jonkin tasoparin erotus: elektroni siirtyy silloin ylemmälle tasolle. Muun energian fotoni menee atomin ohi absorboitumatta. Poikkeus on ionisaatio: fotoni, jonka energia on vähintään ionisaatioenergia, voi irrottaa elektronin, ja ylimääräinen energia jää vapaan elektronin liike-energiaksi.
Bohrin malli historiallisena välivaiheena
Tanskalainen Niels Bohr esitti vuonna 1913 mallin, jossa elektroni kiertää protonia ympyräradalla, mutta vain tietyillä sallituilla radoilla. Sallitulla radalla elektroni ei säteile, vaikka klassisen fysiikan mukaan kiertävän varauksen pitäisi menettää energiaa säteilynä. Valoa syntyy vain, kun elektroni siirtyy radalta toiselle, ja fotonin energia on ratojen energioiden erotus. Radan säde kasvaa kuten $n^2$: perustilan säde on noin $0{,}053\,\text{nm}$, radan $n = 2$ neljä kertaa ja radan $n = 3$ yhdeksän kertaa suurempi.
Malli oli suuri edistysaskel. Siitä saadut vedyn energiatasot ovat samat, jotka spektriviivoista mitataan, ja se selitti vetyatomin koon ja ionisaatioenergian. Mallilla on kuitenkin rajansa. Se toimii vain atomeille ja ioneille, joissa on yksi elektroni, eikä se kerro, miksi jotkin spektriviivat ovat kirkkaampia kuin toiset. Elektronilla ei myöskään ole todellisuudessa rataa: luvussa Aaltomekaaninen atomimalli ja orbitaalit elektronin paikkaa kuvataan todennäköisyyksillä. Energiatasot säilyvät uudessakin mallissa, mutta kiertoradat jäävät pois.
Vetyatomin energiatasot ja siirtymän fotoni
Vetyatomin energiatasot ovat
$$E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$$
missä $E_n$ on tason $n$ energia ja $n = 1, 2, 3, \ldots$ on tason järjestysluku. Lauseke on tässä annettu tieto, joka vastaa mitattua vedyn spektriä.
Kun elektroni siirtyy tasolta, jonka energia on $E_\text{y}$, alemmalle tasolle, jonka energia on $E_\text{a}$, syntyvän fotonin energia ja aallonpituus ovat
$$\begin{aligned} hf &= E_\text{y} - E_\text{a} \\ \lambda &= \frac{hc}{E_\text{y} - E_\text{a}} \end{aligned}$$
missä $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ on Planckin vakio, $f$ fotonin taajuus, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ valon nopeus ja $\lambda$ aallonpituus. Absorptiossa samat kaavat antavat fotonin, joka nostaa elektronin tasolta $E_\text{a}$ tasolle $E_\text{y}$. Energiat lasketaan ensin elektronivoltteina, ja erotus muunnetaan jouleiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
| Sarja | Alempi taso | Alue | $\lambda$ (nm) |
|---|---|---|---|
| Lyman | $n = 1$ | ultravioletti | $91{,}2$–$122$ |
| Balmer | $n = 2$ | näkyvä ja lähi-UV | $365$–$656$ |
| Paschen | $n = 3$ | infrapuna | $821$–$1876$ |
Kunkin sarjan pisin aallonpituus tulee siirtymästä lähimmältä ylemmältä tasolta ja lyhin eli sarjan raja siirtymästä, joka alkaa vapaasta elektronista. Koska tasot tihenevät ylöspäin, sarjan viivat tihenevät rajaa kohti.
Yleinen virhekäsitys
Moni laskee fotonin energian yhden tason energiasta, esimerkiksi siirtymälle $4 \to 2$ arvosta $|E_4| = 0{,}85\,\text{eV}$. Silloin aallonpituudeksi tulisi noin $1460\,\text{nm}$, vaikka siirtymä tuottaa syaanin viivan $486\,\text{nm}$. Fotoni ei kanna tason energiaa vaan tasojen erotuksen $E_\text{y} - E_\text{a}$. Negatiivinen tason energia ei myöskään tarkoita, että energiaa puuttuisi: se kertoo, kuinka paljon energiaa elektronin irrottaminen vaatii.
Toinen virhe on pitää Bohrin ratoja todellisina kiertoratoina, joilla elektroni kiertää kuin planeetta. Bohrin malli antaa vedylle oikeat energiat, mutta elektronin rataa ei voi havaita, eikä sitä nykyisessä atomimallissa ole.
Tiivistelmä
- Vetyatomin energia on kvantittunut: $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Perustila on $n = 1$, viritystilat $n \geq 2$, ja ionisaatioenergia perustilasta on $13{,}6\,\text{eV}$.
- Siirtymässä ylemmältä tasolta alemmalle syntyy fotoni, jonka energia on tasojen erotus: $hf = E_\text{y} - E_\text{a}$ ja $\lambda = \tfrac{hc}{E_\text{y} - E_\text{a}}$.
- Atomi absorboi vain fotonin, jonka energia on tasojen erotus, tai ionisoituu fotonista, jonka energia on vähintään ionisaatioenergia.
- Tasolle $n = 2$ päättyvät siirtymät (Balmerin sarja) antavat vedyn näkyvät viivat $656\,\text{nm}$, $486\,\text{nm}$, $434\,\text{nm}$ ja $410\,\text{nm}$; tasolle $n = 1$ päättyvät ovat ultraviolettia.
- Bohrin malli (1913) selitti vedyn spektrin sallituilla radoilla, mutta se toimii vain yhden elektronin atomeille. Aaltomekaaninen malli säilyttää energiatasot ja hylkää radat.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: miksi vetylampun valosta näkyy selvästi juuri neljä viivaa? Mitä tapahtuu siirtymille, jotka päättyvät tasoille $n = 1$ ja $n = 3$?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Vetylampun punainen viiva syntyy, kun vetyatomin elektroni siirtyy tasolta $n = 3$ tasolle $n = 2$. Laske syntyvän fotonin aallonpituus.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Ylempi taso $n = 3$, alempi taso $n = 2$, tasojen energiat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ ja $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Kysytään fotonin aallonpituutta $\lambda$.
Vaihe 2/7
Periaate. Energia säilyy: atomin energia pienenee tasojen erotuksen verran, ja juuri tämän energian vie mukanaan yksi fotoni. Fotonin energia on $hf = \tfrac{hc}{\lambda}$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Merkitään fotonin energia tasojen erotukseksi ja ratkaistaan aallonpituus:
$$\begin{aligned} \frac{hc}{\lambda} &= E_3 - E_2 \\ \lambda &= \frac{hc}{E_3 - E_2} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Tasojen energiat ovat elektronivoltteina, mutta $h$ on yksikössä $\text{J}\,\text{s}$. Energiaero muunnetaan siksi jouleiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin energiaero ja sitten aallonpituus:
$$\begin{aligned} &E_3 - E_2 \\ &= -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{9} + \frac{13{,}6\,\text{eV}}{4} \\ &= 1{,}8889\,\text{eV} \\ &= 1{,}8889 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \\ &= 3{,}0260 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \\[6pt] hc &= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \\ &\quad \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s} \\ &= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m} \\[6pt] \lambda &= \frac{hc}{E_3 - E_2} \\ &= \frac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{3{,}0260 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \\ &= 6{,}5647 \cdot 10^{-7}\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Aallonpituus on
Tulos ilmoitetaan kolmella merkitsevällä numerolla, koska perustilan energia $13{,}6\,\text{eV}$ tunnetaan kolmen numeron tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Aallonpituus $656\,\text{nm}$ on punaista valoa, ja juuri sellainen viiva vedyn spektrissä näkyy. Fotonin energia $1{,}89\,\text{eV}$ on näkyvän valon fotonien välillä $1{,}7$–$3{,}3\,\text{eV}$. Pienin Balmerin sarjan energiaero antaa sarjan pisimmän aallonpituuden, kuten pitääkin.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Kuuman tähden kaasukehässä osa vetyatomeista on viritystilassa $n = 4$. Tällaiseen atomiin osuu tähden punaista valoa, jonka aallonpituus on $656\,\text{nm}$. Fotoni ionisoi atomin.
Kuinka suuri on irronneen elektronin liike-energia? Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Vastaa elektronivoltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin fotonin energia elektronivoltteina ja tason $n = 4$ energia. Kuinka paljon energiaa elektronin irrottaminen tästä tilasta vaatii?
Vihje 2: mikä yhteys
Elektroni nousee tasolta $E_4 = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{16}$ energiaan nolla, ja fotonin loppuenergia jää liike-energiaksi: $E_\text{k} = hf + E_4$.
Vihje 3: välivaihe
muunna tämä elektronivolteiksi ja lisää $E_4 = -0{,}850\,\text{eV}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
atomi tilassa $n = 4$, $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, valon aallonpituus $\lambda = 656\,\text{nm}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
irronneen elektronin liike-energia $E_\text{k}$ elektronivoltteina
Periaate
Ionisaatiossa elektroni nousee tasolta $E_4$ energiaan nolla, ja koska vapaalla elektronilla ei ole tasoja, fotonin energian ei tarvitse olla tasojen erotus, vaan ylimäärä jää liike-energiaksi. Energia säilyy, joten $hf + E_4 = E_\text{k}$.
Kaava
$hf + E_4 = E_\text{k}$ ja $hf = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten
$$E_\text{k} = \frac{hc}{\lambda} + E_4$$
Muunnokset
fotonin energia jouleista elektronivolteiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}04\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $656\,\text{nm}$ ja arvossa $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Liike-energia on positiivinen ja pienempi kuin fotonin energia $1{,}89\,\text{eV}$, kuten pitää. Perustilasta sama punainen fotoni ei ionisoisi, koska siihen tarvitaan $13{,}6\,\text{eV}$: korkealla viritystilassa elektroni on niin heikosti sidottu, että näkyvä valo riittää.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Kuinka paljon energiaa perustilassa oleva vetyatomi tarvitsee, jotta sen elektroni siirtyy tasolle $n = 3$ ($E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$)?
Vastaus
$E_3 - E_1$$= -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{9} + 13{,}6\,\text{eV}$$= 12{,}1\,\text{eV}$Fotonin on tuotava täsmälleen tämä energia, jotta se absorboituu.
- Miksi vedyn spektrissä näkyvän valon viivat syntyvät juuri siirtymistä, jotka päättyvät tasolle $n = 2$?
Vastaus
Tasolle $n = 2$ päättyvien siirtymien energiat ovat enintään $3{,}40\,\text{eV}$, ja neljän pienimmän ($1{,}89$–$3{,}02\,\text{eV}$) fotonit ovat näkyvää valoa. Perustilaan päättyvien siirtymien energiat ovat yli $10\,\text{eV}$ (ultravioletti) ja tasolle $n = 3$ päättyvien alle $1{,}51\,\text{eV}$ (infrapuna).
1. Käsite
2. Siirtymän aallonpituus
Vetyatomin elektroni siirtyy tasolta $n = 5$ tasolle $n = 3$. Laske syntyvän fotonin aallonpituus, kun tasojen energiat ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Käytä arvoja $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Fotonin energia on tasojen erotus $E_5 - E_3$, ei kummankaan tason energia.
Vihje 2: mikä yhteys
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
ylempi taso $n = 5$, alempi taso $n = 3$, $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$ ja $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Energia säilyy: atomin energia pienenee tasojen erotuksen verran, ja sen vie yksi fotoni, jonka energia on $\tfrac{hc}{\lambda}$.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda} = E_5 - E_3$, josta
$$\lambda = \frac{hc}{E_5 - E_3}$$
Muunnokset
lopuksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$.
Sijoitus
Tulo
Vastaus
$1{,}28 \cdot 10^{3}\,\text{nm}$
Eli noin $1280\,\text{nm}$, kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Siirtymä päättyy tasolle $n = 3$, joten se kuuluu Paschenin sarjaan ja on infrapunaa. Aallonpituus on sarjan alueella $821$–$1876\,\text{nm}$ ja lyhyempi kuin siirtymän $4 \to 3$ aallonpituus $1876\,\text{nm}$, koska energiaero on suurempi.
Harjoittele tasojen erotuksen laskemista tason 2 tehtävissä.
Valinnainen 3. Bohrin malli
Bohrin mallia sanotaan atomimallien historiassa välivaiheeksi. Mitä malli selitti oikein, ja miksi siitä on luovuttu? Vastaa kolmella tai neljällä virkkeellä.
Mallivastaus
Bohrin malli selitti, miksi vety lähettää ja absorboi vain tiettyjä aallonpituuksia: elektroni voi olla vain sallituilla radoilla, ja fotonin energia on ratojen energioiden erotus. Mallista saadut vedyn energiatasot $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$ vastaavat mitattuja spektriviivoja ja ionisaatioenergiaa. Malli ei kuitenkaan toimi atomeille, joissa on useampi elektroni, eikä se selitä viivojen kirkkauseroja. Lisäksi elektronilla ei ole havaittavaa rataa; aaltomekaaninen malli kuvaa elektronin paikkaa todennäköisyyksillä mutta säilyttää energiatasot.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Energiataso
- Elektronilla voi atomissa olla vain tiettyjä sallittuja energioita.
- Perustila
- Atomin matalin mahdollinen energiatila.
- Viritystila
- Atomin tila, jossa elektronisysteemillä on enemmän energiaa kuin perustilassa.
- Virittyminen
- Atomi vastaanottaa energiaa ja siirtyy korkeammalle energiatasolle.
- Ionisaatioenergia
- Pienin energia, jolla elektroni voidaan irrottaa atomista kokonaan.
- Vetyatomin energia
- Elektronin sallittu energia riippuu pääkvanttiluvusta.$$E_n = -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-1Ydintehtävä
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Mikä on vetyatomin energia, kun elektroni on tasolla $n = 4$? Anna vastaus etumerkkeineen elektronivoltteina.
Vastaus
$-0{,}850\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vetyatomin energiatasot $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, taso $n = 4$
Kysytty
tason $n = 4$ energia $E_4$ elektronivoltteina etumerkkeineen
Periaate
Vetyatomin energia on kvantittunut, ja tason $n$ energia saadaan annetusta lausekkeesta. Energian nollakohta on vapaa elektroni, joten sidotun elektronin energia on negatiivinen.
Kaava
$E_n = -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, josta $E_4 = -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{4^2}$
Muunnokset
Ei tarvita, koska vastaus pyydetään elektronivoltteina kuten lausekkeessa.
Sijoitus
$E_4$$= -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{16}$$= -0{,}850\,\text{eV}$Vastaus
$-0{,}850\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten perustilan energiassa $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Arvo on negatiivinen ja paljon lähempänä nollaa kuin perustilan $-13{,}6\,\text{eV}$, kuten pitääkin: ylemmät tasot ovat lähellä nollaa ja tihenevät. Tasolla $n = 2$ energia on $-3{,}40\,\text{eV}$, joten $-0{,}850\,\text{eV}$ on neljäsosa siitä, koska $4^2 = 16$ on neljä kertaa $2^2 = 4$.
- Tehtävä 3-2Ydintehtävä
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Vetyatomin elektroni siirtyy tasolta $n = 4$ perustilaan $n = 1$. Kuinka suuri on syntyvän fotonin energia elektronivoltteina?
Vastaus
$12{,}8\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vetyatomin energiatasot $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, ylempi taso $n = 4$, alempi taso $n = 1$
Kysytty
fotonin energia $hf$ elektronivoltteina
Periaate
Energia säilyy: kun elektroni siirtyy alemmalle tasolle, atomin energia pienenee tasojen erotuksen verran, ja juuri tämän energian vie yksi fotoni.
Kaava
$hf = E_\text{y} - E_\text{a}$, josta $hf = E_4 - E_1$
Muunnokset
Ei tarvita, koska tasojen energiat ja vastaus ovat elektronivoltteina.
Sijoitus
$hf$$= -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{16} - \left(-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{1}\right)$$= -0{,}850\,\text{eV} + 13{,}6\,\text{eV}$$= 12{,}75\,\text{eV}$Vastaus
$12{,}8\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa; tulos pyöristetään yhden desimaalin tarkkuuteen kuten arvo $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Energia on hieman pienempi kuin ionisaatioenergia $13{,}6\,\text{eV}$, koska taso $n = 4$ on lähellä nollaa. Fotonin energia on suurempi kuin näkyvän valon fotonien $1{,}7$–$3{,}3\,\text{eV}$, joten fotoni on ultraviolettia, kuten kaikki perustilaan päättyvät siirtymät.
- Tehtävä 3-3
Vedyn spektrissä on syaani viiva, jonka aallonpituus on $486\,\text{nm}$. Kuinka suuri on tämän valon fotonin energia? Anna vastaus elektronivoltteina ($h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$).
Vastaus
$2{,}55\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 486\,\text{nm}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin energia $E$ elektronivoltteina
Periaate
Valo koostuu fotoneista, ja yhden fotonin energia riippuu vain valon aallonpituudesta: mitä lyhyempi aallonpituus, sitä suurempi energia.
Kaava
$E = hf = \dfrac{hc}{\lambda}$
Muunnokset
$\lambda$$= 486\,\text{nm}$$= 486 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$Lopuksi joulet muunnetaan elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$, koska $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Sijoitus
Tulo
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$$E$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{486 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 4{,}0874 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= \dfrac{4{,}0874 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\,\text{eV}$$= 2{,}5514\,\text{eV}$Vastaus
$2{,}55\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $486\,\text{nm}$.
Järkevyys
Näkyvän valon fotonien energiat ovat noin $1{,}7$–$3{,}3\,\text{eV}$, ja syaani valo on spektrin keskivaiheilla. Tulos on myös vedyn tasojen $n = 4$ ja $n = 2$ erotus: $-0{,}850\,\text{eV} + 3{,}40\,\text{eV} = 2{,}55\,\text{eV}$.
- Tehtävä 3-4
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Vetyatomi on viritystilassa $n = 3$. Kuinka paljon energiaa tarvitaan elektronin irrottamiseen atomista tästä tilasta? Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$1{,}51\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vetyatomin energiatasot $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, atomi tilassa $n = 3$
Kysytty
elektronin irrottamiseen tarvittava energia $E_\text{ion}$ elektronivoltteina
Periaate
Energian nollakohta on levossa oleva vapaa elektroni. Elektronin irrottaminen tasolta $n = 3$ nostaa atomin energian arvosta $E_3$ nollaan, joten siihen tarvitaan energiaero $0 - E_3$.
Kaava
$E_\text{ion}$$= 0 - E_3$$= \dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{3^2}$Muunnokset
Ei tarvita, koska energiat ovat elektronivoltteina.
Sijoitus
$E_\text{ion}$$= 0 - \left(-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{9}\right)$$= 1{,}5111\,\text{eV}$Vastaus
$1{,}51\,\text{eV}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Viritystilasta elektroni irtoaa paljon helpommin kuin perustilasta, jossa tarvitaan $13{,}6\,\text{eV}$: tasolla $n = 3$ energia on vain yhdeksäsosa perustilan energiasta. Jo punaisen valon fotoni, jonka energia on noin $1{,}9\,\text{eV}$, riittää irrottamaan elektronin tästä tilasta.
- Tehtävä 3-5
Vetyatomin siirtymässä syntyvän fotonin energia on $1{,}89\,\text{eV}$. Mikä on fotonin taajuus? Anna vastaus terahertseinä ($1\,\text{THz} = 10^{12}\,\text{Hz}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$).
Vastaus
$457\,\text{THz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin energia $E = 1{,}89\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin taajuus $f$ terahertseinä
Periaate
Fotonin energia on verrannollinen sen taajuuteen, ja verrannollisuuskerroin on Planckin vakio.
Kaava
$E = hf$, josta $f = \dfrac{E}{h}$
Muunnokset
$E$$= 1{,}89\,\text{eV}$$= 1{,}89 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}0278 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$Lopuksi $1\,\text{THz} = 10^{12}\,\text{Hz}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{3{,}0278 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}$$= 4{,}5695 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$$= 456{,}95\,\text{THz}$Vastaus
$457\,\text{THz}$
Eli $4{,}57 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$, kolme merkitsevää numeroa kuten energiassa $1{,}89\,\text{eV}$.
Järkevyys
Näkyvän valon taajuudet ovat noin $400$–$790\,\text{THz}$, ja $457\,\text{THz}$ on punaisen pään lähellä. Tarkistus aallonpituudella:
$\lambda$$= \tfrac{c}{f}$$= \tfrac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{4{,}5695 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}}$$\approx 656\,\text{nm}$mikä on vedyn punainen viiva. Yksikkö:
$\tfrac{\text{J}}{\text{J}\,\text{s}}$$= \tfrac{1}{\text{s}}$$= \text{Hz}$
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-6Ydintehtävä
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Vetyatomin elektroni siirtyy tasolta $n = 5$ tasolle $n = 2$. Laske syntyvän valon aallonpituus nanometreinä ($h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$).
Vastaus
$434\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
vetyatomin energiatasot $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, siirtymä tasolta $n = 5$ tasolle $n = 2$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
valon aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Energia säilyy: atomin energia pienenee tasojen erotuksen verran, ja sen vie yksi fotoni, jonka energia on $\tfrac{hc}{\lambda}$.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda} = E_5 - E_2$, josta $\lambda = \dfrac{hc}{E_5 - E_2}$
Muunnokset
Energiaero lasketaan elektronivoltteina ja muunnetaan jouleiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Lopuksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$.
Sijoitus
Tulo
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$$E_5 - E_2$$= -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{25} + \dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{4}$$= 2{,}856\,\text{eV}$$= 2{,}856 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 4{,}5753 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$\lambda$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{4{,}5753 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$$= 4{,}3417 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 434{,}17\,\text{nm}$Vastaus
$434\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Siirtymä päättyy tasolle $n = 2$, joten viiva kuuluu Balmerin sarjaan ja on näkyvää valoa. Se on lyhyempi kuin siirtymän $4 \to 2$ viiva $486\,\text{nm}$, koska energiaero on suurempi, ja vedyn spektrissä on sininen viiva juuri kohdassa $434\,\text{nm}$.
- Tehtävä 3-7Ydintehtävä
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Vedyn violetti spektriviiva, jonka aallonpituus on $410\,\text{nm}$, syntyy siirtymässä, joka päättyy tasolle $n = 2$. Miltä tasolta siirtymä alkaa? Anna vastaukseksi tason järjestysluku $n$.
Vastaus
$n = 6$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 410\,\text{nm}$, alempi taso $n_\text{a} = 2$, $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
ylemmän tason järjestysluku $n$
Periaate
Fotonin energia on tasojen erotus. Kun fotonin energia ja alemman tason energia tunnetaan, ylemmän tason energia saadaan niiden summana, ja siitä tason järjestysluku.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda} = E_n - E_2$, josta $E_n = E_2 + \dfrac{hc}{\lambda}$ ja lausekkeesta $E_n = -\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$ ratkaistuna
$n$$= \sqrt{\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{-E_n}}$Muunnokset
$\lambda = 410 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$; fotonin energia muunnetaan elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Sijoitus
Tulo
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{410 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 4{,}8451 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}0244\,\text{eV}$$E_n$$= -3{,}40\,\text{eV} + 3{,}0244\,\text{eV}$$= -0{,}3756\,\text{eV}$$n$$= \sqrt{\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{0{,}3756\,\text{eV}}}$$= \sqrt{36{,}21}$$= 6{,}017$Vastaus
$n = 6$
Järjestysluku on kokonaisluku, ja laskettu $6{,}02$ poikkeaa siitä vain pyöristyksen verran.
Järkevyys
Tarkistus toiseen suuntaan:
$E_6 - E_2$$= -0{,}378\,\text{eV} + 3{,}40\,\text{eV}$$= 3{,}02\,\text{eV}$mikä vastaa aallonpituutta $410\,\text{nm}$. Violetti viiva on Balmerin näkyvistä viivoista lyhin, joten sen ylemmän tason on oltava korkein näistä neljästä.
- Tehtävä 3-8
Kuvassa on kuvitteellisen atomin energiatasokaavio. Atomin elektroni siirtyy tasolta $E_3$ tasolle $E_2$. Laske syntyvän fotonin aallonpituus nanometreinä. Lue tasojen energiat kuvasta ($h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$).
Vastaus
$620\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvitteellisen atomin energiatasokaavio, siirtymä tasolta $E_3$ tasolle $E_2$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Energia säilyy kaikissa atomeissa samoin kuin vedyssä: fotonin energia on siirtymän tasojen erotus. Kaavio korvaa vedyn lausekkeen.
Kuvaajan lukeminen
Taso $E_3$ on ruudukon viivalla $-3\,\text{eV}$ ja taso $E_2$ viivalla $-5\,\text{eV}$, joten $E_3 = -3{,}0\,\text{eV}$ ja $E_2 = -5{,}0\,\text{eV}$. Energiaero on
$E_3 - E_2$$= -3{,}0\,\text{eV} - (-5{,}0\,\text{eV})$$= 2{,}0\,\text{eV}$Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda} = E_3 - E_2$, josta $\lambda = \dfrac{hc}{E_3 - E_2}$
Muunnokset
$E_3 - E_2$$= 2{,}0\,\text{eV}$$= 2{,}0 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}204 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ja lopuksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$.
Sijoitus
Tulo
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$$\lambda$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{3{,}204 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$$= 6{,}2000 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 620{,}00\,\text{nm}$Vastaus
$620\,\text{nm}$
Eli $6{,}2 \cdot 10^{2}\,\text{nm}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvasta luettu energiaero $2{,}0\,\text{eV}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Energiaero $2{,}0\,\text{eV}$ on näkyvän valon fotonien välillä $1{,}7$–$3{,}3\,\text{eV}$, ja $620\,\text{nm}$ on oranssinpunaista valoa. Pienempi energiaero kuin vedyn punaisessa viivassa ($1{,}89\,\text{eV}$) antaisi pidemmän aallonpituuden; tässä ero on hieman suurempi ja aallonpituus hieman lyhyempi kuin $656\,\text{nm}$.
- Tehtävä 3-9
Perustilassa olevaan vetyatomiin osuu ultraviolettifotoni, jonka aallonpituus on $80{,}0\,\text{nm}$. Fotoni ionisoi atomin; vedyn ionisaatioenergia perustilasta on $13{,}6\,\text{eV}$. Kuinka suuri on irronneen elektronin liike-energia elektronivoltteina ($h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$)?
Vastaus
$1{,}9\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin aallonpituus $\lambda = 80{,}0\,\text{nm}$, vedyn ionisaatioenergia perustilasta $E_\text{ion} = 13{,}6\,\text{eV}$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
irronneen elektronin liike-energia $E_\text{k}$ elektronivoltteina
Periaate
Energia säilyy. Fotonin energiasta kuluu ionisaatioenergian verran elektronin irrottamiseen, ja loppu jää vapaan elektronin liike-energiaksi. Ionisaatiossa fotonin energian ei tarvitse vastata mitään tasoparin erotusta, kunhan se on vähintään ionisaatioenergia.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= E_\text{ion} + E_\text{k}$josta
$E_\text{k}$$= \dfrac{hc}{\lambda} - E_\text{ion}$Muunnokset
$\lambda = 80{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$; fotonin energia muunnetaan elektronivolteiksi jakamalla luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Sijoitus
Tulo
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{80{,}0 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 2{,}4831 \cdot 10^{-18}\,\text{J}$$= 15{,}500\,\text{eV}$$E_\text{k}$$= 15{,}500\,\text{eV} - 13{,}6\,\text{eV}$$= 1{,}900\,\text{eV}$Vastaus
$1{,}9\,\text{eV}$
Erotus ilmoitetaan yhden desimaalin tarkkuudella kuten ionisaatioenergia $13{,}6\,\text{eV}$, joten tuloksessa on kaksi merkitsevää numeroa.
Järkevyys
Fotonin energia on vain vähän yli ionisaatioenergian, joten elektronille jää pieni liike-energia. Tarkistus: aallonpituus $80{,}0\,\text{nm}$ on lyhyempi kuin Lymanin sarjan raja $91{,}2\,\text{nm}$, joten fotoni todella voi ionisoida perustilassa olevan atomin.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 3-10
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Purkausputkessa elektronit, joiden liike-energia on $12{,}5\,\text{eV}$, törmäävät perustilassa oleviin vetyatomeihin. Törmäyksessä atomi voi ottaa elektronilta vain sen energiaosuuden, joka vastaa jotakin sen tasoparin erotusta.
Kuinka monta eri aallonpituutta virittyneet atomit voivat lähettää palatessaan perustilaan, kun mukaan lasketaan myös välitasojen kautta kulkevat siirtymät? Laske eri tasoparit, joiden välillä siirtymä on mahdollinen: jokainen tasopari antaa yhden aallonpituuden.
Vastaus
$3$
Näytä ratkaisu
Annettu
törmäävien elektronien liike-energia $12{,}5\,\text{eV}$, atomit perustilassa $n = 1$, $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$
Kysytty
niiden eri aallonpituuksien lukumäärä, joita virittyneet atomit voivat lähettää
Periaate
Atomi voi ottaa törmäyksessä vain energian, joka vie sen jollekin ylemmälle tasolle, joten selvitetään, mitkä tasot ovat enintään $12{,}5\,\text{eV}$:n päässä perustilasta. Oletetaan, että kukin atomi saa energiaa yhdestä törmäyksestä ollessaan perustilassa; jo virittynyttä atomia uudelleen osuva elektroni voisi nostaa sen korkeammalle, mutta sitä ei tässä huomioida. Viritystilasta atomi voi palata suoraan tai välitasojen kautta, ja jokainen eri tasopari antaa oman aallonpituutensa.
Kaava
viritysenergia
$E_n - E_1$$= 13{,}6\,\text{eV} - \dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$taso on saavutettavissa, jos $E_n - E_1 \leq 12{,}5\,\text{eV}$
Muunnokset
Ei tarvita, koska kaikki energiat ovat elektronivoltteina.
Sijoitus
$E_2 - E_1$$= 13{,}6\,\text{eV} - 3{,}40\,\text{eV}$$= 10{,}2\,\text{eV}$$E_3 - E_1$$= 13{,}6\,\text{eV} - 1{,}511\,\text{eV}$$= 12{,}09\,\text{eV}$$E_4 - E_1$$= 13{,}6\,\text{eV} - 0{,}850\,\text{eV}$$= 12{,}75\,\text{eV}$Tasot $2$ ja $3$ ovat saavutettavissa, taso $4$ ei, koska $12{,}75\,\text{eV} > 12{,}5\,\text{eV}$. Mahdolliset siirtymät ovat $3 \to 1$, $3 \to 2$ ja $2 \to 1$.
Vastaus
$3$
Eri aallonpituutta: $3 \to 1$ ($102\,\text{nm}$), $2 \to 1$ ($122\,\text{nm}$) ja $3 \to 2$ ($656\,\text{nm}$).
Järkevyys
Kaasu hehkuisi näkyvässä valossa vain punaisena, koska vain siirtymä $3 \to 2$ päättyy tasolle $2$; muut kaksi ovat ultraviolettia. Jos elektronien energia olisi vähintään $12{,}75\,\text{eV}$, myös taso $4$ ja syaani viiva tulisivat mukaan.
- Tehtävä 3-11
Heliumionissa $\text{He}^+$ on vain yksi elektroni, kuten vetyatomissa, mutta ytimessä on kaksi protonia. Ionin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{54{,}4\,\text{eV}}{n^2}$. Tähden spektrissä havaitaan viiva, joka syntyy ionin siirtymässä tasolta $n = 4$ tasolle $n = 3$. Laske viivan aallonpituus nanometreinä ($h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$).
Vastaus
$469\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
heliumionin energiatasot $E_n = -\tfrac{54{,}4\,\text{eV}}{n^2}$, siirtymä tasolta $n = 4$ tasolle $n = 3$, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
viivan aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Ionissa on yksi elektroni, joten sen energia on kvantittunut samalla tavalla kuin vedyssä, vain energiat ovat suurempia. Energia säilyy: fotonin energia on tasojen erotus.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda} = E_4 - E_3$, josta $\lambda = \dfrac{hc}{E_4 - E_3}$
Muunnokset
Energiaero muunnetaan jouleiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ ja lopuksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$.
Sijoitus
Tulo
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$$E_4 - E_3$$= -\dfrac{54{,}4\,\text{eV}}{16} + \dfrac{54{,}4\,\text{eV}}{9}$$= 2{,}6444\,\text{eV}$$= 2{,}6444 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 4{,}2364 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$\lambda$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{4{,}2364 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$$= 4{,}6891 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 468{,}91\,\text{nm}$Vastaus
$469\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten arvossa $54{,}4\,\text{eV}$.
Järkevyys
Heliumionin tasot ovat nelinkertaisia vetyyn verrattuna, joten siirtymän $4 \to 3$ energiaero on nelinkertainen vedyn vastaavaan $0{,}661\,\text{eV}$:iin verrattuna, ja aallonpituus on neljäsosa vedyn infrapunaviivasta $1876\,\text{nm}$: $1876\,\text{nm} : 4 = 469\,\text{nm}$. Viiva on sinistä näkyvää valoa.
- Tehtävä 3-12
Vetyatomin energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Kuumassa vetykaasussa yksi atomi palaa tasolta $n = 2$ perustilaan ja lähettää fotonin. Fotoni osuu toiseen vetyatomiin, joka on viritystilassa $n = 2$.
Riittääkö fotonin energia ionisoimaan tämän atomin? Jos riittää, kuinka suuri on irronneen elektronin liike-energia elektronivoltteina?
Vastaus
$6{,}8\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ensimmäinen atomi siirtyy tasolta $n = 2$ tasolle $n = 1$, toinen atomi on tilassa $n = 2$, $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$
Kysytty
riittääkö fotoni ionisaatioon, ja irronneen elektronin liike-energia $E_\text{k}$ elektronivoltteina
Periaate
Ensimmäisen atomin fotonin energia on tasojen $2$ ja $1$ erotus. Toisen atomin ionisaatioon tilasta $n = 2$ tarvitaan energia $0 - E_2$. Jos fotonin energia on suurempi, elektroni irtoaa, ja ylimäärä jää sen liike-energiaksi, koska energia säilyy.
Kaava
$hf = E_2 - E_1$ ja $hf = (0 - E_2) + E_\text{k}$, josta $E_\text{k} = (E_2 - E_1) - (0 - E_2)$
Muunnokset
Ei tarvita, koska kaikki energiat ovat elektronivoltteina.
Sijoitus
$hf$$= -3{,}40\,\text{eV} - (-13{,}6\,\text{eV})$$= 10{,}2\,\text{eV}$ionisaatioon tarvitaan $0 - (-3{,}40\,\text{eV}) = 3{,}40\,\text{eV}$, ja
$E_\text{k}$$= 10{,}2\,\text{eV} - 3{,}40\,\text{eV}$$= 6{,}80\,\text{eV}$Vastaus
Riittää; liike-energia on $6{,}8\,\text{eV}$. Erotus ilmoitetaan yhden desimaalin tarkkuudella kuten fotonin energia $10{,}2\,\text{eV}$.
Järkevyys
Perustilaan päättyvän siirtymän fotoni on ultraviolettia ja paljon energisempi kuin näkyvä valo, ja tilasta $n = 2$ elektroni irtoaa jo $3{,}40\,\text{eV}$:lla, joten ionisaatio on odotettava. Perustilassa olevaa atomia sama fotoni ei voisi ionisoida, koska $10{,}2\,\text{eV} < 13{,}6\,\text{eV}$; se voisi vain virittää sen tasolle $2$.
Valokuvat
- Hydrogen discharge tube. Alchemist-hp (www.pse-mendelejew.de). lähde, Free Art License 1.3
- Orion Nebula - Hubble 2006 mosaic. NASA, ESA, M. Robberto (STScI/ESA) and the Hubble Space Telescope Orion Treasury Project Team. lähde, public domain
