Valo ja elektroni aaltoina ja hiukkasina
Miksi hyvin heikko valo tai elektronisuihku piirtää varjostimelle ensin satunnaisia yksittäisiä pisteitä, joista vasta tuhansien osumien jälkeen syntyy raitakuvio?
Pohjatiedot
- Kaksi aaltoa vahvistaa tai heikentää toisiaan sen mukaan, kuinka suuri niiden matkaero onluku Aaltojen interferenssi
- Fotonin energia on $E = hf = \tfrac{hc}{\lambda}$, ja yksi fotoni voi irrottaa metallista enintään yhden elektroninluku Valosähköinen ilmiö ja fotoni
- Kun atomi siirtyy alemmalle energiatasolle, se lähettää fotonin, jonka energia on tasojen erotusluku Vetyatomin energiatasot ja Bohrin malli
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 2.
Pohdinta
Vuonna 1989 japanilainen tutkimusryhmä lähetti elektroneja yksi kerrallaan kohti kaksoisrakoa vastaavaa laitetta ja kuvasi varjostinta videolle. Ensimmäiset elektronit näkyivät yksittäisinä valopisteinä, jotka syttyivät näennäisesti satunnaisiin kohtiin. Kun pisteitä oli kertynyt kymmeniä tuhansia, varjostimella näkyi säännöllisiä raitoja. Sama koe voidaan tehdä niin heikolla valolla, että laitteessa on kerrallaan yleensä vain yksi fotoni.
Kulkeeko jokainen elektroni tai fotoni vain toisen raon kautta, ja jos kulkee, mistä raidat tulevat?
Kertaa: valosähköinen ilmiö
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: toinen rako auki
Ennuste 2: kulkureitin mittaus
Tutki
Lähetä fotoneja tai elektroneja yksi kerrallaan kahden raon läpi ja katso, miten yksittäisistä osumista syntyy kuvio.
Simulaatio
Käyttöohje
Käynnistä lähettää kvantteja yksi kerrallaan: haalea aalto leviää lähteestä rakojen läpi, ja kvantti havaitaan varjostimella yhtenä pisteenä. +1000 osumaa lisää tuhat osumaa kerralla. Tyhjennä tyhjentää varjostimen. Valitse Hiukkaset, Raot (vain vasen, molemmat tai vain oikea) ja Kulkureitin mittaus. Kun mittaus on päällä, rakojen vieressä olevista lampuista syttyy se, jonka kautta kvantti kulki. Ylhäällä on laite ylhäältä katsottuna, keskellä varjostin edestä ja alhaalla osumien pylväskuvaaja $0{,}5\,\text{mm}$:n väleissä. Liukusäädin siirtää vihreää laskentaväliä $x_0 \pm 0{,}2\,\text{mm}$. Kun vaihdat hiukkasia, rakoja tai mittausta, varjostin tyhjenee. Nopeus muuttaa vain animaation tahtia.
Mallin oletukset
Osumapaikat arvotaan mallin todennäköisyysjakaumasta, joten luvut ovat mallin arvoja eivätkä mittauksia. Arvonta alkaa jokaisen tyhjennyksen jälkeen samasta kohdasta, joten sama koe antaa aina samat luvut. Fotonien ja elektronien kuviot on piirretty samaan mittakaavaan vertailun helpottamiseksi; todellisissa kokeissa raitaväli on aivan erilainen. Rakojen leveys ja etäisyys on piirretty suurennettuina. Kulkureitin mittaus on ihanteellinen: se kertoo aina oikean raon. Laitteessa on kerrallaan vain yksi kvantti, eikä kvantteja katoa matkalla. Haalea aalto havainnollistaa todennäköisyysaaltoa eikä ole mitattava suure.
Laskennan selitys
Kun molemmat raot ovat auki eikä reittiä mitata, osumien todennäköisyys kohdassa $x$ on verrannollinen aaltomallin intensiteettiin
$$I(x) \propto \cos^2\!\left(\frac{\pi x}{s}\right) \cdot \left(\frac{\sin(\pi x / a)}{\pi x / a}\right)^2$$
missä raitojen väli on $s = 2{,}0\,\text{mm}$ ja yhden raon kuvion ensimmäinen nollakohta on $a = 10\,\text{mm}$. Yhdellä raolla tai mitatulla reitillä ensimmäinen tekijä puuttuu, joten raitoja ei ole. Tumma raita on siellä, missä $\cos^2$-tekijä on nolla: $x = \pm 1{,}0\,\text{mm}, \pm 3{,}0\,\text{mm}, \ldots$. Osuus on $n : N$, missä $n$ on laskentavälin osumat ja $N$ kaikki osumat. Katkoviiva on odotettu osumamäärä $N$ kertaa välin todennäköisyys.
Koe 1: yksi rako vai kaksi
Testaa ennuste 1. Fotonit, kulkureitin mittaus pois ja laskentaväli $x_0 = 1{,}0\,\text{mm}$ pysyvät vakioina; vaihda vain rakoja. Seuraa ensin muutamaa yksittäistä fotonia Käynnistä-painikkeella. Paina sitten +1000 osumaa ja kirjaa mittaus. Avaa molemmat raot, paina taas +1000 osumaa ja kirjaa.
Alkutila: hiukkaset: fotonit, raot: vain vasen, kulkureitin mittaus: ei mitata, laskentaväli = $1\,\text{mm}$. Vakiona: hiukkaset, kulkureitin mittaus, laskentaväli. Muutetaan: raot.
| raot | $N$ | $n$ | $n$ : $N$ $(\%)$ |
|---|
Koe 2: kumman raon kautta?
Testaa ennuste 2. Nyt lähetetään elektroneja, ja molemmat raot ovat auki. Laskentaväli on tummassa raidassa $x_0 = 1{,}0\,\text{mm}$. Paina +1000 osumaa ilman kulkureitin mittausta ja kirjaa. Kytke sitten mittaus päälle, paina +1000 osumaa ja kirjaa. Vertaa varjostimen kuvioita.
Alkutila: hiukkaset: elektronit, raot: molemmat, kulkureitin mittaus: ei mitata, laskentaväli = $1\,\text{mm}$. Vakiona: hiukkaset, raot, laskentaväli. Muutetaan: kulkureitin mittaus.
| kulkureitin mittaus | $N$ | $n$ | $n$ : $N$ $(\%)$ |
|---|
Johtopäätös: kuula vai aalto?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: miten laskentavälin osuus muuttui, kun toinen rako avattiin, ja kun kulkureitti mitattiin? Miksi tulosta ei voi selittää sillä, että jokainen kvantti kulkee kuulan tavoin yhden raon kautta? Mikä on aallon ja yksittäisen osuman yhteys?
Mallivastaus
Yhden raon kanssa laskentaväliin $x_0 = 1{,}0\,\text{mm}$ osui $43$ fotonia $1000$:sta, mutta kun molemmat raot olivat auki, vain $3$. Jos fotonit kulkisivat kuulina jommankumman raon kautta, jakauma olisi kahden yhden raon kuvion summa, ja osuus pysyisi samana kuin yhden raon kanssa. Kumpikin rako vaikuttaa jokaiseen kvanttiin: sen aalto kulkee molempien rakojen kautta, ja tässä kohdassa aallot heikentävät toisiaan. Elektronit käyttäytyivät samoin. Kun reitti mitattiin, tumma raita katosi ($43$ osumaa), koska tieto reitistä poistaa interferenssin. Yksittäinen osuma on satunnainen piste, mutta aallon intensiteetti kertoo, millä todennäköisyydellä osuma tulee kuhunkin kohtaan. Luvut ovat mallin arvoja.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Comptonin sirontakoe
Mallin laskemia arvoja
Arthur Compton suuntasi vuonna 1923 röntgensäteilyä grafiittiin ja mittasi, mikä on eri suuntiin siroavan säteilyn aallonpituus $\lambda'$. Tulevan säteilyn aallonpituus oli $\lambda = 0{,}0711\,\text{nm}$. Taulukon arvot on laskettu Comptonin mallista, ja Comptonin mittaukset noudattivat niitä.
| Sirontakulma | $\lambda'$ ($\text{nm}$) |
|---|---|
| $0^\circ$ | $0{,}0711$ |
| $45^\circ$ | $0{,}0718$ |
| $90^\circ$ | $0{,}0735$ |
| $135^\circ$ | $0{,}0752$ |
| $180^\circ$ | $0{,}0760$ |
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Aalto vai hiukkanen?
Kaksoisrakokokeessa valo kulkee kahden kapean, lähekkäisen raon läpi varjostimelle. Varjostimelle syntyy kirkkaiden ja tummien raitojen kuvio, jonka aaltomalli selittää: kahdesta raosta lähtevät aallot vahvistavat toisiaan siellä, missä matkaero on aallonpituuden monikerta, ja heikentävät toisiaan siellä, missä matkaero on puolikas aallonpituus, puolitoista aallonpituutta tai muu puolikkaan aallonpituuden pariton monikerta (luku Aaltojen interferenssi). Valosähköisessä ilmiössä valo kuitenkin luovuttaa energiansa kvantteina: yksi fotoni, jonka energia on $hf$, voi irrottaa enintään yhden elektronin (luku Valosähköinen ilmiö ja fotoni). Kumpikin havainto pitää paikkansa. Miten sama valo voi olla molempia?
Yksi kvantti kerrallaan
Kun kaksoisrakokoe tehdään niin heikolla valolla, että laitteessa on keskimäärin alle yksi fotoni kerrallaan, herkkä ilmaisin rekisteröi jokaisen fotonin yhtenä pisteenä. Yksittäisen pisteen paikkaa ei voi ennustaa. Kun pisteitä kertyy tuhansia, ne muodostavat saman raitakuvion kuin voimakas valo. Sama toistuu elektroneilla: elektronisuihkulla tehdyssä kaksoisrakokokeessa jokainen elektroni osuu varjostimeen yhdessä kohdassa, mutta osumat kasautuvat raidoiksi. Elektroni, jota on totuttu pitämään pienenä hiukkasena, käyttäytyy siis kulkiessaan aallon tavoin, ja fotoni, jota aaltomalli kuvaa hyvin, havaitaan hiukkasen tavoin.
Aalto kertoo todennäköisyyden
Aaltomalli ei kerro, mihin yksittäinen fotoni tai elektroni osuu. Se kertoo, millä todennäköisyydellä kvantti havaitaan kussakin kohdassa: missä aallon intensiteetti on suuri, osumia tulee paljon, ja tummissa raidoissa niitä ei juuri tule. Kun vain toinen rako on auki, kahden raon raidat katoavat. Kun molemmat raot ovat auki, tummiin raitoihin tulee osumia vähemmän kuin yhden raon kanssa, joten toisen raon avaaminen vähentää osumia näissä kohdissa. Tätä ei voi selittää sillä, että jokainen kvantti kulkisi pienen kuulan tavoin vain toisen raon kautta. Jos koejärjestelyssä mitataan, kumman raon kautta kukin kvantti kulkee, raitakuvio häviää ja jakauma on kahden yhden raon kuvion summa.
Ilmiötä, jossa samalla kohteella on sekä aalto- että hiukkasominaisuuksia, kutsutaan aalto-hiukkasdualismiksi. Se ei tarkoita, että fotoni tai elektroni vaihtaisi muotoaan. Kumpikaan klassinen malli, aalto tai kuula, ei yksin kuvaa kvanttioliota, ja koejärjestely ratkaisee, kumpi ominaisuus näkyy. Kulkiessaan kvanttiolio käyttäytyy aallon tavoin, ja havaittaessa se rekisteröidään yhdessä kohdassa kuin hiukkanen.
Fotonin neljä mallia
Fotonia kuvataan fysiikassa usealla mallilla. Jokainen toimii omassa ilmiöpiirissään, eikä mikään niistä ole yksin koko kuva.
- Kentän tila: valo on sähkö- ja magneettikentän värähtelyä, joka etenee aaltona. Malli selittää interferenssin ja diffraktion.
- Kentän kvantti: säteilykentän energia muuttuu vain kokonaisina kvantteina $hf$. Malli selittää valosähköisen ilmiön ja spektriviivat.
- Kvanttihiukkanen: fotoni havaitaan yhdessä kohdassa, ja se kantaa energiaa ja liikemäärää. Malli selittää yksittäiset osumat ja Comptonin ilmiön.
- Vuorovaikutuksen välittäjä: sähkövarausten välinen sähkömagneettinen vuorovaikutus välittyy fotonien avulla. Malli kuuluu hiukkasfysiikan standardimalliin.
Fotonilla ei ole lepomassaa, ja tyhjiössä se etenee aina valon nopeudella $c$. Se ei siis ole pieni kuula, joka voisi olla levossa.
Fotonin liikemäärä
Vaikka fotonilla ei ole massaa, sillä on liikemäärä, joka riippuu sen energiasta:
$$p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}$$
missä $p$ on fotonin liikemäärä ($\text{kg}\cdot\text{m/s}$), $E = hf = \tfrac{hc}{\lambda}$ fotonin energia ($\text{J}$), $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$ valon nopeus, $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$ Planckin vakio ja $\lambda$ aallonpituus ($\text{m}$). Yksikkö täsmää: $\tfrac{\text{J}\,\text{s}}{\text{m}} = \tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 \cdot \text{s}}{\text{m}} = \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Näkyvän valon fotonin liikemäärä on pieni: aallonpituudella $500\,\text{nm}$ se on ${1{,}3 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}$. Röntgenfotonin, jonka aallonpituus on $0{,}0711\,\text{nm}$, liikemäärä on noin $7000$-kertainen, ${9{,}3 \cdot 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}$. Lyhyt aallonpituus tarkoittaa siis suurta energiaa ja suurta liikemäärää.
Comptonin ilmiö
Arthur Compton suuntasi vuonna 1923 röntgensäteilyä grafiittiin ja mittasi sironneen säteilyn aallonpituuden. Sironneen säteilyn aallonpituus oli pidempi kuin tulevan, ja ero kasvoi sirontakulman kasvaessa. Tätä kutsutaan Comptonin ilmiöksi. Aaltomalli ei selitä sitä: aallon tahdissa värähtelevät elektronit säteilisivät samalla taajuudella kuin tuleva säteily. Fotonimallissa ilmiö on törmäys. Fotoni luovuttaa osan energiastaan ja liikemäärästään lähes vapaalle elektronille, joka lähtee liikkeelle. Energia säilyy:
$$hf = hf' + E_\text{k}$$
missä $hf$ on tulevan fotonin energia, $hf'$ sironneen fotonin energia ja $E_\text{k}$ elektronin saama liike-energia. Koska $hf' < hf$, sironneen fotonin taajuus on pienempi ja aallonpituus $\lambda'$ pidempi kuin tulevan. Myös liikemäärä säilyy vektorisuureena: $\overline{p} = \overline{p}' + \overline{p}_e$, missä $\overline{p}_e$ on elektronin liikemäärä.
Fotonivirta
Valon teho $P$ kertoo, kuinka paljon energiaa valo kuljettaa sekunnissa. Koska jokainen fotoni tuo energian $hf$, sekunnissa kulkevien fotonien lukumäärä on
$$\frac{N}{t} = \frac{P}{hf}$$
missä $N$ on fotonien lukumäärä, $t$ aika ($\text{s}$), $P$ teho ($\text{W}$) ja $hf$ yhden fotonin energia ($\text{J}$). Tavallisessa valossa fotoneja on niin paljon, että valo näyttää jatkuvalta virralta. Vasta hyvin heikossa valossa yksittäiset fotonit erottuvat.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kaksoisrakokokeen raitakuvio syntyy, kun fotonit tai elektronit törmäilevät toisiinsa, tai että jokainen kvantti kulkee pienen kuulan tavoin vain jommankumman raon kautta. Esimerkin heikossa valossa fotonit tulevat yksi kerrallaan, ja kuvio syntyy silti. Kun osumia lasketaan yhtä monta yhteensä, kuulamallissa osumien osuus $n : N$ tietyssä kohdassa pysyisi samana kuin yhden raon kanssa, koska toinen rako vain lisäisi osumia (jos lähde lähettää yhtä monta kvanttia sekunnissa yhtä kauan). Todellisuudessa tummiin raitoihin osuu osuudeltaan selvästi vähemmän kuin yhden raon kanssa.
Toinen virhe on ajatella, ettei fotonilla ole liikemäärää, koska sillä ei ole massaa. Comptonin ilmiössä fotoni luovuttaa elektronille sekä energiaa että liikemäärää, ja valo, joka heijastuu peilistä tai imeytyy pintaan, työntää sitä. Fotonin liikemäärä on $p = \tfrac{h}{\lambda}$.
Kolmas virhe on ajatella, että aalto-hiukkasdualismi tarkoittaa kohteen olevan välillä aalto ja välillä hiukkanen. Kvanttiolio on koko ajan sama: aaltomalli kertoo havaitsemisen todennäköisyyden, ja havaittaessa kvantti rekisteröidään yhdessä kohdassa.
Tiivistelmä
- Kaksoisrakokokeessa yksittäiset fotonit ja elektronit osuvat varjostimeen yksi kerrallaan satunnaisiin kohtiin, mutta tuhansista osumista syntyy aaltomallin raitakuvio.
- Aalto kertoo todennäköisyyden: missä aallon intensiteetti on suuri, siellä osumia tulee paljon. Jos mitataan, kumman raon kautta kvantti kulkee, raidat häviävät.
- Aalto-hiukkasdualismi: fotonilla ja elektronilla on sekä aalto- että hiukkasominaisuuksia, ja koejärjestely ratkaisee, kumpi näkyy.
- Fotonia kuvataan neljällä mallilla: kentän tila, kentän kvantti, kvanttihiukkanen ja vuorovaikutuksen välittäjä.
- Fotonin liikemäärä on $p = \tfrac{E}{c} = \tfrac{h}{\lambda}$. Comptonin ilmiössä fotoni luovuttaa elektronille energiaa ja liikemäärää, joten sironneen fotonin aallonpituus on pidempi: $hf = hf' + E_\text{k}$.
- Fotoneja kulkee sekunnissa $\tfrac{N}{t} = \tfrac{P}{hf}$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: kulkeeko jokainen elektroni vain toisen raon kautta, ja mistä raidat tulevat?
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kaksoisrakokokeessa käytetään punaista laservaloa, jonka aallonpituus on $633\,\text{nm}$. Valo himmennetään suodattimilla niin, että rakoihin tulevan valon teho on $1{,}0 \cdot 10^{-13}\,\text{W}$. Kuinka monta fotonia rakoihin tulee sekunnissa, ja kuinka pitkä matka on peräkkäisten fotonien välillä keskimäärin? Onko $1{,}2\,\text{m}$:n pituisessa laitteessa yleensä useampi fotoni yhtä aikaa?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. ${\lambda = 633\,\text{nm}}$, ${P = 1{,}0 \cdot 10^{-13}\,\text{W}}$, ${h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}$ ja ${c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$. Kysytään fotonien lukumäärää sekunnissa $\tfrac{N}{t}$ ja peräkkäisten fotonien keskimääräistä etäisyyttä $d$.
Vaihe 2/7
Periaate. Valon energia kulkee fotoneina, joten teho on sekunnissa saapuvien fotonien yhteenlaskettu energia: $P = \tfrac{N}{t} \cdot hf$. Fotonit etenevät nopeudella $c$. Sekunnissa valo etenee matkan $c$, ja tälle matkalle mahtuu $\tfrac{N}{t}$ fotonia, joten keskimääräinen väli on matka jaettuna fotonien lukumäärällä.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \frac{N}{t} &= \frac{P}{hf}, \quad hf = \frac{hc}{\lambda} \\ d &= \frac{c}{N/t} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Aallonpituus metreinä: $633\,\text{nm} = 633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$. Teho on jo watteina eli jouleina sekunnissa.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin yhden fotonin energia, sitten fotonien lukumäärä sekunnissa ja lopuksi niiden väli:
$$\begin{aligned} hf &= \frac{hc}{\lambda} \\ &= \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{633 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} \\ &\quad \cdot 2{,}998 \cdot 10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ &= 3{,}138 \cdot 10^{-19}\,\text{J} \\[6pt] \frac{N}{t} &= \frac{P}{hf} \\ &= \frac{1{,}0 \cdot 10^{-13}\,\text{W}}{3{,}138 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \\ &= 3{,}187 \cdot 10^{5}\,\tfrac{1}{\text{s}} \\[6pt] d &= \frac{c}{N/t} \\ &= \frac{2{,}998 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{3{,}187 \cdot 10^{5}\,\tfrac{1}{\text{s}}} \\ &= 940{,}8\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Rakoihin tulee noin $3{,}2 \cdot 10^5$ fotonia sekunnissa, ja peräkkäisten fotonien väli on keskimäärin noin $9{,}4 \cdot 10^2\,\text{m}$. Kaksi merkitsevää numeroa, koska teho $1{,}0 \cdot 10^{-13}\,\text{W}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella. Laitteen pituus $1{,}2\,\text{m}$ on vain noin tuhannesosa ($0{,}13\,\%$) fotonien välistä, joten laitteessa on yleensä enintään yksi fotoni kerrallaan.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Keskimäärin laitteessa on $1{,}2\,\text{m} : 940{,}8\,\text{m} \approx 0{,}0013$ fotonia, joten useimmiten siellä ei ole yhtään fotonia ja kaksi yhtä aikaa on harvinaista. Tavallinen $1\,\text{mW}$:n laserosoitin lähettää noin $3 \cdot 10^{15}$ fotonia sekunnissa, joten valoa on himmennetty noin $10^{10}$-kertaisesti, mikä onnistuu tummilla suodattimilla. Raitakuvio ei siis voi syntyä fotonien keskinäisestä vuorovaikutuksesta.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Aurinkopurje on ohut, peilimäinen kalvo, jota auringonvalo työntää avaruudessa. Maan etäisyydellä Auringosta auringonvalon intensiteetti eli teho pinta-alaa kohti on $1361\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$. Purjeen pinta-ala on $32\,\text{m}^2$, ja se on kohtisuorassa valoa vastaan. Oleta, että kaikki valo heijastuu suoraan takaisin.
Kuinka suuren voiman valo kohdistaa purjeeseen? Vastaa mikronewtoneina ($\mu\text{N}$).
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä on voiman ja liikemäärän yhteys? Kuinka paljon yhden fotonin liikemäärä muuttuu, kun se heijastuu suoraan takaisin?
Vihje 2: mikä yhteys
Sekunnissa purjeeseen tulee energia $P = IA$. Kaikkien näiden fotonien liikemäärä yhteensä on $\tfrac{P}{c}$, koska jokaisella fotonilla $p = \tfrac{E}{c}$.
Vihje 3: välivaihe
Heijastuksessa liikemäärä muuttuu kaksinkertaisesti:
Näytä ratkaisu
Annettu
auringonvalon intensiteetti $I = 1361\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, purjeen pinta-ala $A = 32\,\text{m}^2$, valo heijastuu kohtisuoraan takaisin; $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
valon purjeeseen kohdistama voima $F$ mikronewtoneina
Periaate
Voima on liikemäärän muutos aikayksikössä. Jokaisen fotonin liikemäärä on $p = \tfrac{E}{c}$. Kun fotoni heijastuu suoraan takaisin, sen liikemäärä muuttuu arvosta $p$ arvoon $-p$, joten purje saa liikemäärän $2p$. Sekunnissa purjeeseen tulee energia $P = IA$, joten fotonien liikemäärää tulee sekunnissa $\tfrac{P}{c}$.
Kaava
missä $P = IA$, joten $F = \dfrac{2IA}{c}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{N} = 10^6\,\mu\text{N}$.
Sijoitus
Vastaus
$2{,}9 \cdot 10^2\,\mu\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten pinta-alassa $32\,\text{m}^2$.
Järkevyys
Voima on noin $0{,}3\,\text{mN}$, suunnilleen $30\,\text{mg}$:n kappaleen, esimerkiksi riisinjyvän, paino. Se on pieni, mutta tyhjiössä se vaikuttaa jatkuvasti, joten kevyt luotain kiihtyy kuukausien aikana suureen nopeuteen. Jos purje imisi valon, voima olisi puolet, $145\,\mu\text{N}$.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Nimeä yksi ilmiö, jossa valo käyttäytyy aallon tavoin, ja yksi, jossa se käyttäytyy hiukkasen tavoin.
Vastaus
Aallon tavoin: kaksoisrakokokeen raitakuvio eli interferenssi (myös diffraktio). Hiukkasen tavoin: valosähköinen ilmiö, Comptonin ilmiö tai heikon valon yksittäiset osumat varjostimella.
- Kumman fotonin liikemäärä on suurempi: punaisen valon ($700\,\text{nm}$) vai sinisen valon ($450\,\text{nm}$)? Perustele.
Vastaus
Sinisen. Fotonin liikemäärä on $p = \tfrac{h}{\lambda}$, joten lyhyempi aallonpituus antaa suuremman liikemäärän: sinisen fotonin liikemäärä on $700 : 450 \approx 1{,}6$-kertainen.
1. Käsite
2. Comptonin ilmiö
Röntgenfotoni, jonka aallonpituus on $0{,}0600\,\text{nm}$, siroaa lähes vapaasta elektronista. Sironneen fotonin aallonpituus on $0{,}0624\,\text{nm}$. Kuinka suuren liike-energian elektroni saa? Vastaa elektronivoltteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mihin fotonin menettämä energia joutuu?
Vihje 2: mikä yhteys
kun aallonpituudet ovat metreinä.
Vihje 3: välivaihe
Tulevan fotonin energia on $3{,}3108 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$ ja sironneen $3{,}1835 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$. Jaa erotus luvulla $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
tulevan röntgenfotonin aallonpituus $\lambda = 0{,}0600\,\text{nm}$, sironneen $\lambda' = 0{,}0624\,\text{nm}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
elektronin saama liike-energia $E_\text{k}$ elektronivoltteina
Periaate
Comptonin ilmiössä fotoni törmää lähes vapaaseen elektroniin. Energia säilyy, joten elektroni saa sen energian, jonka fotoni menettää: $hf = hf' + E_\text{k}$. Kummankin fotonin energia saadaan aallonpituudesta.
Kaava
josta
Muunnokset
$0{,}0600\,\text{nm} = 0{,}0600 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja $0{,}0624\,\text{nm} = 0{,}0624 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$. Lopuksi joulet elektronivolteiksi: $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Sijoitus
Elektronivolteiksi:
Vastaus
$7{,}9 \cdot 10^2\,\text{eV}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska aallonpituuksien ero $0{,}0024\,\text{nm}$ tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Tulevan fotonin energia on
ja aallonpituus kasvaa $4\,\%$, joten energiasta siirtyy elektronille noin $4\,\%$ eli noin $0{,}8\,\text{keV}$. Elektroni saa energiaa ja fotoni menettää, joten $E_\text{k}$ on positiivinen.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Arvioi väite
Ystäväsi väittää: ”Valo on oikeasti aaltoa. Fotoni on vain laskuapu, jota tarvitaan valosähköisessä ilmiössä.” Arvioi väite kaksoisrakokokeen ja Comptonin ilmiön avulla.
Mallivastaus
Väite on vain osittain oikea. Aaltomalli selittää kaksoisrakokokeen raitakuvion, mutta heikolla valolla tehdyssä kokeessa valo havaitaan yksittäisinä fotoneina, jotka osuvat varjostimeen yksi kerrallaan yhteen kohtaan. Comptonin ilmiössä sironneen röntgensäteilyn aallonpituus kasvaa sirontakulman mukana, mitä aaltomalli ei selitä. Fotonimallissa fotoni luovuttaa elektronille osan energiastaan ja liikemäärästään $p = \tfrac{h}{\lambda}$, kuten törmäyksessä. Fotoni ei siis ole pelkkä laskuapu. Valo ei ole pelkkää aaltoa eikä pelkkiä kuulia: aalto kertoo todennäköisyyden, ja fotoni on kvantti, joka havaitaan yhdessä kohdassa. Tämä on aalto-hiukkasdualismi.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Aaltohiukkasdualismi
- Säteilyllä ja ainehiukkasilla voi olla sekä aaltomaisia että hiukkasmaisia ominaisuuksia.
- Fotonin liikemäärä
- Massattomalla säteilykvantilla on liikemäärä.$$p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{E}{c}$$
- Comptonin sironta
- Fotonin törmäys elektroniin muuttaa fotonin energiaa ja aallonpituutta.
- Kaksoisrakokoe
- Yksittäiset hiukkaset muodostavat vähitellen aaltoliikkeelle ominaisen interferenssikuvion.
- Interferenssi
- Aaltojen yhdistyminen vahvistaa tai heikentää havaittua vaikutusta eri kohdissa.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-1Ydintehtävä
Vihreä laserosoitin lähettää valoa, jonka aallonpituus on $532\,\text{nm}$. Kuinka suuri on yhden fotonin liikemäärä? Anna vastaus yksikössä $10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Vastaus
$1{,}25 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 532\,\text{nm}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$
Kysytty
fotonin liikemäärä $p$ yksikössä $10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Periaate
Fotonilla ei ole massaa, mutta sillä on liikemäärä, joka riippuu vain aallonpituudesta. Valo on yhden aallonpituuden valoa, joten jokaisella fotonilla on sama liikemäärä.
Kaava
$p = \dfrac{h}{\lambda}$
Muunnokset
$532\,\text{nm} = 532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$. Yksikkö: $\tfrac{\text{J}\,\text{s}}{\text{m}} = \text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Sijoitus
$p$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 1{,}2455 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$Vastaus
$1{,}25 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $532\,\text{nm}$.
Järkevyys
Teoriaosan mukaan $500\,\text{nm}$:n fotonin liikemäärä on $1{,}3 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Aallonpituus $532\,\text{nm}$ on vähän pidempi, joten liikemäärä on vähän pienempi, kuten pitääkin. Arvo on hyvin pieni, koska $h$ on hyvin pieni.
- Tehtävä 4-2Ydintehtävä
Röntgenputken molybdeenianodi lähettää voimakkaasti röntgensäteilyä, jonka aallonpituus on $0{,}0711\,\text{nm}$. Kuinka suuri on tämän säteilyn fotonin liikemäärä? Anna vastaus yksikössä $10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Vastaus
$9{,}32 \cdot 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
röntgensäteilyn aallonpituus $\lambda = 0{,}0711\,\text{nm}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$
Kysytty
fotonin liikemäärä $p$ yksikössä $10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Periaate
Fotonin liikemäärä riippuu vain sen aallonpituudesta, joten sama kaava pätee röntgensäteilyyn kuin näkyvään valoon.
Kaava
$p = \dfrac{h}{\lambda}$
Muunnokset
$0{,}0711\,\text{nm} = 0{,}0711 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$
Sijoitus
$p$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{0{,}0711 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 9{,}3193 \cdot 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$Vastaus
$9{,}32 \cdot 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $0{,}0711\,\text{nm}$.
Järkevyys
Aallonpituus on noin $7000$ kertaa lyhyempi kuin näkyvän valon $500\,\text{nm}$, joten liikemäärä on noin $7000$ kertaa suurempi:
$7000 \cdot 1{,}3 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$\approx 9 \cdot 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ - Tehtävä 4-3
Fotonin liikemäärä on $3{,}60 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Mikä on fotonin aallonpituus? Anna vastaus nanometreinä.
Vastaus
$184\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin liikemäärä $p = 3{,}60 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$
Kysytty
fotonin aallonpituus $\lambda$ nanometreinä
Periaate
Fotonin liikemäärä ja aallonpituus ovat kääntäen verrannolliset, joten tunnetusta liikemäärästä saadaan aallonpituus.
Kaava
$p = \dfrac{h}{\lambda}$, josta $\lambda = \dfrac{h}{p}$
Muunnokset
$\tfrac{\text{J}\,\text{s}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}}$$= \tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}}{\text{kg}\cdot\text{m/s}}$$= \text{m}$Lopuksi $1\,\text{m} = 10^9\,\text{nm}$.
Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{3{,}60 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}$$= 1{,}8406 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$= 184{,}06\,\text{nm}$Vastaus
$184\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten liikemäärässä $3{,}60 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Järkevyys
Liikemäärä on noin kolminkertainen näkyvän valon $500\,\text{nm}$:n fotoniin ($1{,}3 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$) verrattuna, joten aallonpituuden on oltava noin kolmasosa: $500\,\text{nm} : 2{,}7 \approx 185\,\text{nm}$. Fotoni kuuluu ultraviolettisäteilyyn.
- Tehtävä 4-4
Fotonin liikemäärä on $2{,}00 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Kuinka suuri on fotonin energia? Anna vastaus yksikössä $10^{-19}\,\text{J}$.
Vastaus
$6{,}00 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotonin liikemäärä $p = 2{,}00 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$; $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
fotonin energia $E$ yksikössä $10^{-19}\,\text{J}$
Periaate
Fotonin liikemäärä on sen energia jaettuna valon nopeudella, koska fotoni etenee aina nopeudella $c$ eikä sillä ole massaa.
Kaava
$p = \dfrac{E}{c}$, josta $E = pc$
Muunnokset
Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä, ja
$\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$= \text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$$= \text{J}$Sijoitus
$E$$= 2{,}00 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 5{,}996 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$Vastaus
$6{,}00 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten liikemäärässä $2{,}00 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Järkevyys
Elektronivoltteina energia on
$\tfrac{5{,}996 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \cdot 1\,\text{eV}$$\approx 3{,}7\,\text{eV}$Fotonin aallonpituus on
$\lambda$$= \tfrac{h}{p}$$= \tfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{2{,}00 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}$$\approx 331\,\text{nm}$joten fotoni kuuluu lähi-ultraviolettiin, vähän näkyvän valon violetin pään ($400\,\text{nm}$) ulkopuolelle. Se on järkevä, koska liikemäärä on noin puolitoistakertainen $500\,\text{nm}$:n fotonin liikemäärään verrattuna.
- Tehtävä 4-5
Laser, jonka teho on $1{,}0\,\text{mW}$, lähettää fotoneja, joista kunkin energia on $3{,}14 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$. Kuinka monta fotonia laser lähettää sekunnissa? Anna vastaus yksikössä $10^{15}\,\tfrac{1}{\text{s}}$.
Vastaus
$3{,}2 \cdot 10^{15}\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Näytä ratkaisu
Annettu
laserin teho $P = 1{,}0\,\text{mW}$, yhden fotonin energia $hf = 3{,}14 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonien lukumäärä sekunnissa $\tfrac{N}{t}$ yksikössä $10^{15}\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Periaate
Valon energia kulkee fotoneina. Teho on sekunnissa lähtevien fotonien yhteenlaskettu energia, joten fotonien määrä sekunnissa on teho jaettuna yhden fotonin energialla.
Kaava
$P = \dfrac{N}{t} \cdot hf$, josta $\dfrac{N}{t} = \dfrac{P}{hf}$
Muunnokset
$1{,}0\,\text{mW}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{W}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{\text{J}}{\text{s}}$Sijoitus
$\dfrac{N}{t}$$= \dfrac{1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{J/s}}{3{,}14 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$$= 3{,}185 \cdot 10^{15}\,\tfrac{1}{\text{s}}$Vastaus
$3{,}2 \cdot 10^{15}\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten tehossa $1{,}0\,\text{mW}$.
Järkevyys
Fotonin energia $3{,}14 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$ on punaisen valon fotonin energia. Yksi millijoule vaatii siis tuhansia biljoonia fotoneja, joten tavallinen valo näyttää jatkuvalta. Luku on samaa suuruusluokkaa kuin luvun esimerkissä mainittu laserosoittimen fotonimäärä.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 4-6Ydintehtävä
Röntgenfotoni, jonka aallonpituus on $0{,}0711\,\text{nm}$, siroaa grafiitin lähes vapaasta elektronista. Sironneen fotonin aallonpituus on $0{,}0735\,\text{nm}$. Kuinka suuren liike-energian elektroni saa? Anna vastaus elektronivoltteina.
Vastaus
$5{,}7 \cdot 10^2\,\text{eV}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulevan fotonin aallonpituus $\lambda = 0{,}0711\,\text{nm}$, sironneen $\lambda' = 0{,}0735\,\text{nm}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
elektronin saama liike-energia $E_\text{k}$ elektronivoltteina
Periaate
Comptonin ilmiössä fotoni törmää lähes vapaaseen elektroniin. Energia säilyy, joten elektroni saa sen energian, jonka fotoni menettää: $hf = hf' + E_\text{k}$. Fotonien energiat saadaan aallonpituuksista.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{hc}{\lambda'} + E_\text{k}$josta
$E_\text{k}$$= \dfrac{hc}{\lambda} - \dfrac{hc}{\lambda'}$Muunnokset
$0{,}0711\,\text{nm} = 0{,}0711 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$ ja $0{,}0735\,\text{nm} = 0{,}0735 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$. Lopuksi joulet elektronivolteiksi sijoittamalla $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$.
Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$E_\text{k}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{0{,}0711 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} - \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{0{,}0735 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 2{,}7939 \cdot 10^{-15}\,\text{J} - 2{,}7027 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$$= 9{,}123 \cdot 10^{-17}\,\text{J}$ja elektronivoltteina
$E_\text{k}$$= \dfrac{9{,}123 \cdot 10^{-17}\,\text{J}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \cdot 1\,\text{eV}$$= 569{,}5\,\text{eV}$Vastaus
$5{,}7 \cdot 10^2\,\text{eV}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska aallonpituuksien ero $0{,}0024\,\text{nm}$ tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Tulevan fotonin energia on
$\tfrac{2{,}7939 \cdot 10^{-15}\,\text{J}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}} \cdot 1\,\text{eV}$$\approx 17{,}4\,\text{keV}$Aallonpituus kasvaa noin $3\,\%$, joten fotoni menettää noin $3\,\%$ energiastaan, noin $0{,}6\,\text{keV}$. Elektroni saa energiaa, joten tulos on positiivinen.
- Tehtävä 4-7Ydintehtävä
Cesium-137:n hajoamisessa syntyy gammafotoni, jonka energia on $662\,\text{keV}$. Kuinka suuri on fotonin liikemäärä? Anna vastaus yksikössä $10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Vastaus
$3{,}54 \cdot 10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
gammafotonin energia $E = 662\,\text{keV}$; $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
fotonin liikemäärä $p$ yksikössä $10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Periaate
Fotonin liikemäärä on sen energia jaettuna valon nopeudella. Energia on annettu elektronivoltteina, joten se muutetaan ensin jouleiksi.
Kaava
$p = \dfrac{E}{c}$
Muunnokset
$662\,\text{keV}$$= 662 \cdot 10^3\,\text{eV}$$= 662 \cdot 10^3 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 1{,}0605 \cdot 10^{-13}\,\text{J}$Sijoitus
$p$$= \dfrac{1{,}0605 \cdot 10^{-13}\,\text{J}}{2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$= 3{,}5374 \cdot 10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$Vastaus
$3{,}54 \cdot 10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten energiassa $662\,\text{keV}$.
Järkevyys
Gammafotonin energia on noin $40$ kertaa röntgenfotonin $17{,}4\,\text{keV}$:n energia, joten liikemäärä on noin $40$ kertaa tason 1 tehtävän 2 röntgenfotonin liikemäärä:
$40 \cdot 9{,}3 \cdot 10^{-24}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$\approx 3{,}7 \cdot 10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ - Tehtävä 4-8
Valokuidussa kulkevan infrapunavalon aallonpituus on $1550\,\text{nm}$. Fotoni osuu peiliin kohtisuorasti ja heijastuu suoraan takaisin. Kuinka suuren liikemäärän peili saa yhdestä fotonista? Anna vastaus yksikössä $10^{-28}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Vastaus
$8{,}55 \cdot 10^{-28}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 1550\,\text{nm}$, fotoni heijastuu kohtisuorasti takaisin; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$
Kysytty
peilin yhdestä fotonista saama liikemäärä $\Delta p$ yksikössä $10^{-28}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Periaate
Liikemäärä säilyy. Heijastuksessa fotonin liikemäärä kääntyy vastakkaiseksi, joten sen muutos on $p - (-p) = 2p$. Peili saa saman suuruisen liikemäärän fotonin tulosuuntaan, koska kokonaisliikemäärä säilyy. Heijastuneen fotonin aallonpituus on sama, koska raskas peili ei juuri saa energiaa.
Kaava
$\Delta p = p - (-p)$, missä $p = \dfrac{h}{\lambda}$, joten $\Delta p = 2 \cdot \dfrac{h}{\lambda}$
Muunnokset
$1550\,\text{nm} = 1550 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$
Sijoitus
$\Delta p$$= \dfrac{2 \cdot 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{1550 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 8{,}550 \cdot 10^{-28}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$Vastaus
$8{,}55 \cdot 10^{-28}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $1550\,\text{nm}$ (vakio $2$ on tarkka).
Järkevyys
Aallonpituus on noin kolme kertaa vihreän valon $532\,\text{nm}$, joten yhden fotonin liikemäärä on noin kolmasosa arvosta $1{,}25 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ eli noin $4 \cdot 10^{-28}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$, ja heijastus kaksinkertaistaa sen.
- Tehtävä 4-9
Herkkä valoilmaisin laskee $2{,}40 \cdot 10^{4}$ fotonia sekunnissa. Valon aallonpituus on $550\,\text{nm}$. Kuinka suuri on ilmaisimeen tulevan valon teho? Anna vastaus yksikössä $10^{-15}\,\text{W}$.
Vastaus
$8{,}67 \cdot 10^{-15}\,\text{W}$
Näytä ratkaisu
Annettu
fotoneja sekunnissa $\tfrac{N}{t} = 2{,}40 \cdot 10^4\,\tfrac{1}{\text{s}}$, aallonpituus $\lambda = 550\,\text{nm}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
Kysytty
valon teho $P$ yksikössä $10^{-15}\,\text{W}$
Periaate
Teho on sekunnissa saapuvien fotonien yhteenlaskettu energia. Jokaisen fotonin energia on $hf = \tfrac{hc}{\lambda}$, koska valo on yhden aallonpituuden valoa.
Kaava
$P = \dfrac{N}{t} \cdot hf$, missä $hf = \dfrac{hc}{\lambda}$, joten
$P$$= \dfrac{N}{t} \cdot \dfrac{hc}{\lambda}$Muunnokset
$550\,\text{nm} = 550 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$
Sijoitus
$hc$$= 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$$= 1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}$joten
$hf$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{550 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 3{,}6118 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$P$$= 2{,}40 \cdot 10^4\,\tfrac{1}{\text{s}} \cdot 3{,}6118 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 8{,}668 \cdot 10^{-15}\,\text{W}$Vastaus
$8{,}67 \cdot 10^{-15}\,\text{W}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten fotonimäärässä $2{,}40 \cdot 10^4$ ja aallonpituudessa $550\,\text{nm}$.
Järkevyys
Teho on miljoonasosamiljardisosa watista, joten tällainen valo on silmälle näkymättömän heikkoa. Tarkistus toisin päin:
$\tfrac{8{,}668 \cdot 10^{-15}\,\text{W}}{3{,}6118 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}$$= 2{,}40 \cdot 10^4\,\tfrac{1}{\text{s}}$
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 4-10
Laserjäähdytyksessä natriumatomia vastaan suunnataan laservaloa, jonka aallonpituus on $589\,\text{nm}$. Atomi imee fotonin kerrallaan, ja jokainen fotoni pienentää atomin liikemäärää fotonin liikemäärän verran.
Natriumatomin massa on $3{,}82 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, ja sen nopeus on aluksi $3{,}00 \cdot 10^{2}\,\text{m/s}$.
Kuinka monta fotonia atomin on imettävä, jotta se pysähtyy? Oleta, että kaikki fotonit tulevat suoraan vastaan, ja jätä atomin uudelleen lähettämien fotonien vaikutus huomiotta, koska ne lähtevät satunnaisiin suuntiin. Anna vastaus yksikössä $10^{4}$.
Vastaus
$1{,}02 \cdot 10^4$
Näytä ratkaisu
Annettu
aallonpituus $\lambda = 589\,\text{nm}$, atomin massa $m = 3{,}82 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 3{,}00 \cdot 10^2\,\text{m/s}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$
Kysytty
tarvittavien fotonien lukumäärä $N$ yksikössä $10^4$
Periaate
Liikemäärä säilyy. Kun atomi imee vastaan tulevan fotonin, atomin liikemäärä pienenee fotonin liikemäärän $\tfrac{h}{\lambda}$ verran, joten sen nopeus pienenee määrän $\Delta v = \tfrac{h}{\lambda m}$. Atomi pysähtyy, kun $N$ fotonia on pienentänyt sen liikemäärän $m v_0$ nollaan. Uudelleen lähetetyt fotonit lähtevät satunnaisiin suuntiin, joten ne kumoavat toistensa vaikutuksen keskimäärin.
Kaava
$m v_0 = N p$, missä $p = \dfrac{h}{\lambda}$, joten $N = \dfrac{m v_0}{p}$
Muunnokset
$589\,\text{nm} = 589 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$
Sijoitus
$p$$= \dfrac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}}{589 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 1{,}1250 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$$m v_0$$= 3{,}82 \cdot 10^{-26}\,\text{kg} \cdot 3{,}00 \cdot 10^2\,\text{m/s}$$= 1{,}146 \cdot 10^{-23}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$joten
$N$$= \dfrac{1{,}146 \cdot 10^{-23}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{1{,}1250 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}$$= 1{,}0187 \cdot 10^4$Vastaus
$1{,}02 \cdot 10^4$
Fotonia, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa, nopeudessa ja aallonpituudessa.
Järkevyys
Yksi fotoni muuttaa atomin nopeutta
$\tfrac{1{,}1250 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{3{,}82 \cdot 10^{-26}\,\text{kg}}$$\approx 0{,}029\,\text{m/s}$joten $300\,\text{m/s}$:n pysäyttämiseen tarvitaan noin $300 : 0{,}029 \approx 10\,000$ fotonia. Atomi voi imeä ja lähettää fotoneja miljoonia kertoja sekunnissa, joten jarrutus kestää vain noin millisekunnin.
- Tehtävä 4-11
Röntgenfotoni, jonka aallonpituus on $0{,}0500\,\text{nm}$, siroaa lähes vapaasta elektronista. Elektroni saa liike-energian $1{,}00\,\text{keV}$. Mikä on sironneen fotonin aallonpituus? Anna vastaus nanometreinä neljän desimaalin tarkkuudella.
Vastaus
$0{,}0521\,\text{nm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tulevan fotonin aallonpituus $\lambda = 0{,}0500\,\text{nm}$, elektronin liike-energia $E_\text{k} = 1{,}00\,\text{keV}$; $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}$, $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
sironneen fotonin aallonpituus $\lambda'$ nanometreinä
Periaate
Comptonin ilmiössä energia säilyy: tulevan fotonin energia jakautuu sironneelle fotonille ja elektronille. Sironneen fotonin energiasta saadaan sen aallonpituus.
Kaava
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{hc}{\lambda'} + E_\text{k}$josta
$\lambda'$$= \dfrac{hc}{hc/\lambda - E_\text{k}}$Muunnokset
$0{,}0500\,\text{nm}$$= 0{,}0500 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$$1{,}00\,\text{keV}$$= 1{,}00 \cdot 10^3 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 1{,}602 \cdot 10^{-16}\,\text{J}$Sijoitus
$\dfrac{hc}{\lambda}$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{0{,}0500 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 3{,}9729 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$joten sironneen fotonin energia on
$3{,}9729 \cdot 10^{-15}\,\text{J} - 0{,}1602 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$$= 3{,}8127 \cdot 10^{-15}\,\text{J}$$\lambda'$$= \dfrac{1{,}9865 \cdot 10^{-25}\,\text{J}\,\text{m}}{3{,}8127 \cdot 10^{-15}\,\text{J}}$$= 5{,}210 \cdot 10^{-11}\,\text{m}$$= 0{,}05210\,\text{nm}$Vastaus
$0{,}0521\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $0{,}0500\,\text{nm}$ ja energiassa $1{,}00\,\text{keV}$.
Järkevyys
Tulevan fotonin energia on noin $24{,}8\,\text{keV}$, ja elektroni saa siitä $1{,}00\,\text{keV}$ eli noin $4\,\%$. Fotonin aallonpituus kasvaa siis noin $4\,\%$: $0{,}0500\,\text{nm} \cdot 1{,}04 = 0{,}0520\,\text{nm}$. Aallonpituus kasvaa, kuten Comptonin ilmiössä pitää.
- Tehtävä 4-12
Levossa oleva vetyatomi siirtyy energiatasolta $n = 3$ tasolle $n = 2$ ja lähettää fotonin. Vedyn energiatasot ovat $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$. Atomi saa fotonin liikemäärän suuruisen, vastakkaissuuntaisen liikemäärän eli rekyylin.
Kuinka suuri on atomin nopeus fotonin lähdön jälkeen? Vetyatomin massa on $1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$. Anna vastaus metreinä sekunnissa.
Vastaus
$0{,}604\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
siirtymä $n = 3 \to n = 2$, $E_n = -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}$, vetyatomin massa $m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$, atomi aluksi levossa; $c = 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
Kysytty
atomin rekyylinopeus $v$ metreinä sekunnissa
Periaate
Fotonin energia on energiatasojen erotus. Liikemäärä säilyy: aluksi kokonaisliikemäärä on nolla, joten fotonin lähdön jälkeen atomin liikemäärä $mv$ on yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen kuin fotonin liikemäärä $\tfrac{E}{c}$. Atomin saama liike-energia on niin pieni, että fotonin energia on käytännössä tasojen erotus.
Kaava
$E = E_3 - E_2$ ja $mv = \dfrac{E}{c}$, josta $v = \dfrac{E}{mc}$
Muunnokset
$E_3$$= -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{9}$$= -1{,}511\,\text{eV}$$E_2$$= -\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{4}$$= -3{,}400\,\text{eV}$joten
$E$$= 1{,}889\,\text{eV}$$= 1{,}889 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$$= 3{,}026 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$Sijoitus
$v$$= \dfrac{3{,}026 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$= 0{,}6044\,\text{m/s}$Vastaus
$0{,}604\,\text{m/s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja energiassa $13{,}6\,\text{eV}$.
Järkevyys
Fotonin liikemäärä on
$\tfrac{3{,}026 \cdot 10^{-19}\,\text{J}}{2{,}998 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$$\approx 1{,}0 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$suunnilleen yhtä suuri kuin vetyatomin massa kilogrammoina, joten nopeus on alle $1\,\text{m/s}$. Se on hyvin pieni verrattuna atomien lämpöliikkeen nopeuksiin, jotka ovat huoneenlämmössä kilometrejä sekunnissa, joten rekyyli ei näy arkisissa havainnoissa. Fotoni on punaista valoa, $656\,\text{nm}$.
Valokuvat
- Electron microscope at Oak Ridge National Lab. (7209791480). Oak Ridge National Laboratory (U.S. Department of Energy). lähde, public domain
.jpg){kind=link}