RuukkilabraLukion fysiikka
FY9 · Luku 5.3

Magnetismi, induktio ja valo

Miksi saaren mökeille tuleva sähkö kulkee merikaapelissa $20\,\text{kV}$:n jännitteellä, vaikka mökeissä käytetään $230\,\text{V}$:n jännitettä?

Pohjatiedot

Pohdinta

Saaristokylän kymmenen mökkiä saa sähkönsä mantereelta $1{,}0\,\text{km}$:n pituista merikaapelia pitkin. Kaapelin johtimien yhteinen resistanssi on $0{,}50\,\Omega$, ja kaapelia pitkin siirretään mantereelta enintään $40\,\text{kW}$:n teho. Mökeissä jännite on $230\,\text{V}$, mutta kaapelissa siirtojännite on $20\,\text{kV}$. Kokeessa tällainen tilanne voi olla tehtävän alku: luvut on annettu, mutta kaavaa ei.

Kuinka suuri virta kaapelissa kulkisi kummallakin jännitteellä, ja kuinka suuri osa tehosta muuttuisi kaapelissa lämmöksi?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 6 kysymystä

Lähtötaso 1: protoni magneettikentässä

Protoni lentää tyhjiökammiossa kohtisuoraan homogeenista magneettikenttää vastaan. Sähkökenttää ei ole. Miten protonin liike muuttuu kentässä?

Lähtötaso 2: magneetti käämin sisällä

Voimakas neodyymimagneetti on paikallaan käämin sisällä, ja käämin päät on kytketty jännitemittariin. Mitä mittari näyttää?

Lähtötaso 3: loittoneva magneetti

Kevyt kuparirengas roikkuu langan varassa. Sauvamagneetin pohjoisnapa on renkaan vieressä, ja magneetti vedetään nopeasti poispäin renkaasta. Miten rengas liikkuu?

Lähtötaso 4: kaksi virtajohdinta

Kahdessa rinnakkaisessa pitkässä johtimessa kulkee samansuuntainen virta. Mitä johtimet tekevät toisilleen?

Lähtötaso 5: valo lasista ilmaan

Valo tulee lasin sisältä lasin ja ilman rajapintaan tulokulmassa $50^\circ$. Lasin taitekerroin on $1{,}52$, joten rajakulma on noin $41^\circ$. Mitä valolle tapahtuu?

Lähtötaso 6: valkoinen valo hilassa

Valkoinen valo tulee kohtisuoraan hilaan. Mikä väri poikkeaa ensimmäisen kertaluvun spektrissä eniten keskimaksimin suunnasta?

Tutki

Magneetti neljässä putkessa

Keksitty esimerkkiaineisto · Keksitty esimerkki: muoviputken aika on laskettu vapaasta pudotuksesta, ja metalliputkien ajat ovat koulukokeiden suuruusluokkaa.

Fysiikan tunnilla sama $12{,}0\,\text{g}$:n neodyymimagneetti pudotettiin neljään pystysuoraan putkeen, joiden pituus on $1{,}00\,\text{m}$. Putkien halkaisijat ovat samat, eikä magneetti tartu yhteenkään niistä. Putoamisaika luettiin puhelimen hidastetusta videosta. Videolta näkyy myös, että alumiini- ja kupariputkessa magneetti putoaa lähes koko matkan tasaisella vauhdilla.

Putki $t\ (\text{s})$
muovi $0{,}46$
alumiini $3{,}4$
kupari $6{,}3$
kupari, jossa pitkittäinen rako $0{,}62$

Pohdi ensin, miksi metalliputket hidastavat magneettia, vaikka se ei tartu niihin, ja miksi rako muuttaa tuloksen. Vastaa alla kupariputken luvulla. Mallivastauksessa verrataan kaikkia putkia.

Millä teholla magneetin potentiaalienergiaa muuttuu kupariputken sisäenergiaksi? Vastaa milliwatteina.

mW
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä voima jarruttaa magneettia, kun se putoaa tasaisella vauhdilla? Kuinka suuri sen on oltava?

Vihje 2: mikä yhteys

Tasaisessa liikkeessä jarruttava voima on yhtä suuri kuin paino $mg$, ja vauhti on $v = \tfrac{h}{t}$.

Vihje 3: välivaihe

Teho on $P = Fv = mg \cdot \tfrac{h}{t}$, ja lopuksi $1\,\text{W} = 1000\,\text{mW}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

magneetin massa $m = 12{,}0\,\text{g}$, putken pituus $h = 1{,}00\,\text{m}$, kupariputken putoamisaika $t = 6{,}3\,\text{s}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; vauhti lähes koko matkan tasainen

Kysytty

teho $P$, jolla potentiaalienergiaa muuttuu kupariputken sisäenergiaksi, yksikössä $\text{mW}$

Periaate

Putoava magneetti muuttaa putken läpi kulkevaa magneettivuota, joten metalliputkeen syntyy pyörrevirtoja. Lenzin lain mukaan niiden kenttä vastustaa muutosta ja jarruttaa magneettia, ja virrat lämmittävät putkea (luku Lenzin laki ja pyörrevirrat). Vauhti on tasainen, joten Newtonin ensimmäisen lain mukaan jarruttava voima on yhtä suuri kuin paino, ja liike-energia ei muutu: koko potentiaalienergian väheneminen muuttuu sisäenergiaksi. Teho on voima kertaa vauhti.

Kaava

$v = \dfrac{h}{t}$, $F = mg$ ja $P = Fv = \dfrac{mgh}{t}$

Muunnokset

$12{,}0\,\text{g}$$= 12{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$
$= 0{,}0120\,\text{kg}$

ja lopuksi $1\,\text{W} = 1000\,\text{mW}$

Sijoitus

$v$$= \dfrac{1{,}00\,\text{m}}{6{,}3\,\text{s}}$
$= 0{,}159\,\text{m/s}$

joten

$P$$= 0{,}0120\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}159\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$= 0{,}01869\,\text{W}$
$= 18{,}69\,\text{mW}$

Vastaus

$P \approx 19\,\text{mW}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten putoamisaika $6{,}3\,\text{s}$.

Järkevyys

Muoviputki ei jarruta: vapaan pudotuksen aika on

$\sqrt{\tfrac{2h}{g}}$$= \sqrt{\tfrac{2 \cdot 1{,}00\,\text{m}}{9{,}81\,\text{m/s}^2}}$
$\approx 0{,}45\,\text{s}$

sama kuin mitattu $0{,}46\,\text{s}$. Kuparin resistiivisyys on pienempi kuin alumiinin, joten pyörrevirrat ja jarrutus ovat voimakkaampia. Alumiiniputkessa teho on

$\tfrac{0{,}0120\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}00\,\text{m}}{3{,}4\,\text{s}}$
$\approx 35\,\text{mW}$

suurempi, koska sama energia muuttuu lyhyemmässä ajassa. Rako katkaisee putken ympäri kiertävien virtojen reitin, joten jarrutus jää pieneksi. Kupariputken lopussa liike-energiaa on vain

$\tfrac12 \cdot 0{,}0120\,\text{kg} \cdot (0{,}159\,\text{m/s})^2$
$\approx 0{,}15\,\text{mJ}$

kun potentiaalienergiaa vapautui $118\,\text{mJ}$.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Moduulin ilmiöt liittyvät kahteen kenttään. Magneettikenttä $\overline{B}$ kohdistaa voiman vain liikkuvaan varaukseen ja virtajohtimeen, ja voima on kohtisuorassa sekä liikettä että kenttää vastaan. Muuttuva magneettivuo synnyttää jännitteen: tähän perustuvat generaattori, muuntaja, induktioliesi ja pyörrevirtajarru. Kun sähkö- ja magneettikenttä muuttuvat ja synnyttävät toisensa, syntyy sähkömagneettinen aalto, jonka näkyvä osa on valo.

$\text{magneettikenttä}$
$\overline{B},\ \Phi = BA$
$\textbf{voimat kentässä}$
$\text{liike tai virta}$
$F = qvB\sin\alpha$
$\text{varaus}$
$F = IlB\sin\alpha$
$\text{johdin}$
$B = \mu_0 I/(2\pi r)$
$\text{johtimen kenttä}$
$\textbf{induktio}$
$\text{muuttuva vuo}$
$e = -N\,\Delta\Phi/\Delta t$
$\text{induktiolaki}$
$e_0 = NBA \cdot 2\pi f$
$\text{generaattori}$
$U_1/U_2 = N_1/N_2$
$\text{muuntaja}$
$\textbf{valo}$
$\text{sm-aalto}$
$n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2$
$\text{taittuminen}$
$d\sin\theta = k\lambda$
$\text{hila}$
$I = I_0\cos^2\theta$
$\text{polarisaatio}$

Kokeen tehtävissä kannattaa ensin kysyä, mikä muuttuu. Jos vuo ei muutu, jännitettä ei synny. Kun valo siirtyy aineesta toiseen, taajuus säilyy, mutta nopeus ja aallonpituus muuttuvat. Valon värit ja kirkkaat ja tummat kohdat selittyvät joko taittumisella tai interferenssillä, ja tehtävässä on tunnistettava, kummasta on kyse.

Tästä saadaan vastaus alun kysymykseen. Kaapelia pitkin siirretään mantereelta $40\,\text{kW}$:n teho, ja kaapelin resistanssi on $0{,}50\,\Omega$. Jännitteellä $230\,\text{V}$ kaapelissa kulkisi virta $I = \tfrac{P}{U} \approx 174\,\text{A}$, ja lämmöksi muuttuisi $RI^2 \approx 15\,\text{kW}$ eli $38\,\%$ tehosta. Jännitteellä $20\,\text{kV}$ virta on vain $2{,}0\,\text{A}$, ja häviö on $2{,}0\,\text{W}$. Muuntajat nostavat jännitteen mantereella ja laskevat sen saaressa.

$P = 40\,\text{kW},\ R = 0{,}50\,\Omega$
$U = 230\,\text{V}$
$I \approx 174\,\text{A}$
$\text{perille } 25\,\text{kW}$
$15\,\text{kW}$
$\text{lämmöksi } 38\,\%$
$U = 20\,\text{kV}$
$I = 2{,}0\,\text{A}$
$\text{perille lähes } 40\,\text{kW}$
$\text{lämmöksi } 2{,}0\,\text{W} = 0{,}005\,\%$

Magnetismi, induktio ja valo

Magneettikenttä ja voimat

$$\begin{aligned} F &= qvB\sin\alpha \\ r &= \frac{mv}{qB} \\ F &= IlB\sin\alpha \\ B &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \\ B &= \mu_0 \frac{NI}{l} \end{aligned}$$

missä $q$ on varaus ($\text{C}$), $v$ vauhti ($\text{m/s}$), $B$ magneettivuon tiheys ($\text{T}$), $\alpha$ nopeuden tai johtimen ja kentän välinen kulma, $m$ massa ($\text{kg}$), $r$ ympyräradan säde tai etäisyys johtimesta ($\text{m}$), $I$ virta ($\text{A}$), $l$ johtimen tai käämin pituus ($\text{m}$), $N$ kierrosten lukumäärä ja $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. Säteen kaava pätee, kun nopeus on kohtisuorassa homogeenista kenttää vastaan ja pieni valon nopeuteen verrattuna. Magneettinen voima ei muuta vauhtia. Johtimen kaava pätee pitkälle suoralle johtimelle ja käämin kaava pitkän käämin keskelle.

$r$
$+$
$+$
$+$
$+$
$\overline{v}$
$\overline{F}_\text{m}$
$\overline{B}\ \text{paperiin}$
$r = mv/(qB)$

Induktio ja vaihtovirta

$$\begin{aligned} e &= -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \\ e_0 &= NBA \cdot 2\pi f \\ U &= \frac{U_0}{\sqrt{2}} \\ \frac{U_1}{U_2} &= \frac{N_1}{N_2} = \frac{I_2}{I_1} \\ P_\text{h} &= RI^2 \end{aligned}$$

missä $e$ on induktiojännite ($\text{V}$), $\Phi = BA$ magneettivuo ($\text{Wb}$), kun kenttä on kohtisuorassa pintaa $A$ vastaan, $e_0$ generaattorin jännitteen huippuarvo, $f$ pyörimistaajuus ($\text{Hz}$), $U$ ja $U_0$ tehollinen arvo ja huippuarvo, indeksit $1$ ja $2$ muuntajan ensiö- ja toisiopuoli ja $P_\text{h}$ siirtojohdon häviöteho, kun $I = \tfrac{P}{U}$. Miinusmerkki on Lenzin laki: induktiovirta vastustaa vuon muutosta. Kentässä liikkuvan tangon jännite on $e = vBl$. Muuntajan yhtälö koskee ideaalista muuntajaa ja vaihtojännitettä.

Valo

$$\begin{aligned} c &= f\lambda \\ \lambda_\text{max} T &= b \\ n_1\sin\alpha_1 &= n_2\sin\alpha_2 \\ \sin\alpha_\text{r} &= \frac{n_2}{n_1} \\ d\sin\theta &= k\lambda \\ I &= I_0\cos^2\theta \end{aligned}$$

missä $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $f$ taajuus, $\lambda$ aallonpituus, $T$ absoluuttinen lämpötila ($\text{K}$), $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$, $n = \tfrac{c}{v}$ taitekerroin, $\alpha$ kulmat normaalista, $\alpha_\text{r}$ rajakulma, kun $n_1 > n_2$, $d$ hilavakio, $\theta$ hilassa maksimin suunta, $k = 0, 1, 2, \ldots$ ja $I_0$ polarisoituneen valon intensiteetti ennen analysaattoria. Malusin laissa $\theta$ on polarisaation suunnan ja analysaattorin läpäisysuunnan välinen kulma. Ohuessa kalvossa matkaero on $2nd$, kun valo tulee lähes kohtisuoraan. Kun vain toinen heijastus kääntää aallon, $2nd = \left(k + \tfrac12\right)\lambda$ antaa vahvistavan interferenssin; kun molemmat kääntävät, $2nd = k\lambda$.

Yleisiä virheitä

  • Voima kentän suuntaan. Magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta ja kenttää vastaan, ja negatiiviseen varaukseen se osoittaa vastakkaiseen suuntaan.
  • Suuri kenttä, suuri jännite. Induktiojännite riippuu vuon muutosnopeudesta, ei vuon suuruudesta.
  • Lenz vastustaa kenttää. Induktiovirta vastustaa vuon muutosta: loittonevaa magneettia rengas vetää.
  • Häviö kaavasta $\tfrac{U^2}{R}$. Siirtojännite ei ole johdon yli. Laske ensin $I = \tfrac{P}{U}$, sitten $RI^2$.
  • Huippuarvo ja tehollinen arvo sekaisin. Pistorasian $230\,\text{V}$ on tehollinen arvo.
  • Kulma pinnasta. Tulo- ja taitekulmat mitataan normaalista.
  • Pieni kulma hilassa. Laske kulma ensin tangentista $\tan\theta = \tfrac{x}{L}$ ja vasta sitten sini.
  • Wien celsiusasteina. Lämpötila on kelvineinä.

Kertaa tarvittaessa

Sovella

Etsi virhe: voimajohdon häviö

Voimalaitos siirtää tehon $50\,\text{MW}$ voimajohtoa pitkin jännitteellä $110\,\text{kV}$. Johtimien resistanssi on yhteensä $4{,}0\,\Omega$. Opiskelija laski häviötehon: ”$P_\text{h} = \tfrac{U^2}{R} = \tfrac{(110\,000\,\text{V})^2}{4{,}0\,\Omega} = 3{,}0\,\text{GW}$.” Mikä ratkaisussa on väärin?

Lue kuvaaja: generaattorin jännite

Kuvaajassa on pienen generaattorin jännite ajan funktiona. Mikä väite on oikein?
$20$
$40$
$60$
$80$
$100$
$-12$
$-6$
$0$
$6$
$12$
$t\ (\text{ms})$
$e\ (\text{V})$

Mikä hiukkanen: kaartuva rata

Kuvassa hiukkanen tulee vasemmalta tyhjiökammion magneettikenttään, joka osoittaa paperiin sisään, ja sen rata kaartuu alaspäin. Hiukkanen on protoni, elektroni tai neutroni. Mikä väite on oikein?
$\overline{B}\ \text{paperiin}$

Perusteltu väite: polaroidut aurinkolasit

Kalastaja huomaa, että polaroidut aurinkolasit poistavat järven pinnasta heijastuvan häikäisyn lähes kokonaan mutta himmentävät rantametsää vain vähän. Mikä selitys on oikein?

Lentokoneen siivet

Matkustajakone lentää vaakasuoraan Etelä-Suomen yllä nopeudella $230\,\text{m/s}$. Siipien kärkien etäisyys toisistaan on $34\,\text{m}$. Maan magneettikentän suuruus on siellä $52\,\mu\text{T}$, ja sen pystykomponentti on $50\,\mu\text{T}$.

Kuinka suuri induktiojännite syntyy siipien kärkien välille?

V
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä kentän komponentti on kohtisuorassa sekä siipeä että nopeutta vastaan, kun kone lentää vaakasuoraan?

Vihje 2: mikä yhteys

Vaakasuora siipi liikkuu vaakasuoraan, joten jännitteeseen vaikuttaa vain kentän pystykomponentti $B_\text{v}$.

Vihje 3: välivaihe

Liikkuvan johtimen jännite on $e = vB_\text{v}l$.

Näytä ratkaisu

Annettu

nopeus $v = 230\,\text{m/s}$ vaakasuoraan, siiven pituus kärjestä kärkeen $l = 34\,\text{m}$, kentän pystykomponentti $B_\text{v} = 50\,\mu\text{T}$ (koko kenttä $52\,\mu\text{T}$)

Kysytty

siipien kärkien välinen induktiojännite $e$ yksikössä $\text{V}$

Periaate

Siiven johtavuuselektronit liikkuvat koneen mukana kentässä, ja magneettinen voima siirtää niitä siiven suuntaan, kunnes kärkien väliin syntyy jännite (luku Sähkömagneettinen induktio). Voima siiven suuntaan syntyy vain siitä kentän komponentista, joka on kohtisuorassa sekä nopeutta että siipeä vastaan. Kun siipi ja nopeus ovat vaakasuoria, se on pystykomponentti (luku Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä).

Kaava

$e = vB_\text{v}l$

Muunnokset

$50\,\mu\text{T} = 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

Sijoitus

$e$$= 230\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot 34\,\text{m}$
$= 0{,}391\,\text{V}$

Vastaus

$e \approx 0{,}39\,\text{V}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten pystykomponentti $50\,\mu\text{T}$ ja pituus $34\,\text{m}$.

Järkevyys

Yksiköt sopivat: $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{T} \cdot \text{m} = \text{V}$. Jännite on pienen pariston luokkaa, koska Maan kenttä on heikko. Koneen sisällä sitä ei voi mitata, koska mittarin johtimiin syntyy sama jännite.

Siriuksen lämpötila

Siriuksen, taivaan kirkkaimman tähden, säteilyn spektrin huippu on aallonpituudella $292\,\text{nm}$. Oletetaan, että tähti säteilee kuin musta kappale. Kuinka suuri on Siriuksen pintalämpötila?

K
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä laki yhdistää mustan kappaleen spektrin huipun aallonpituuden ja lämpötilan?

Vihje 2: mikä yhteys

Wienin siirtymälaki $\lambda_\text{max} T = b$, missä $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$.

Vihje 3: välivaihe

$T = \tfrac{b}{\lambda_\text{max}}$, kun aallonpituus on metreinä: $292\,\text{nm} = 292 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$.

Näytä ratkaisu

Annettu

spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max} = 292\,\text{nm}$, Wienin vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; tähti säteilee likimain kuin musta kappale

Kysytty

pintalämpötila $T$ yksikössä $\text{K}$

Periaate

Mustan kappaleen spektrin huippu on sitä lyhyemmällä aallonpituudella, mitä kuumempi kappale on, ja huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan (luku Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri). Tähden pinta säteilee likimain kuin musta kappale.

Kaava

$\lambda_\text{max} T = b$, joten $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$

Muunnokset

$292\,\text{nm}$$= 292 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$
$= 2{,}92 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$

Sijoitus

$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{2{,}92 \cdot 10^{-7}\,\text{m}}$
$= 9925\,\text{K}$

Vastaus

$T \approx 9{,}92 \cdot 10^3\,\text{K}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituus $292\,\text{nm}$.

Järkevyys

Auringon pintalämpötila on noin $5800\,\text{K}$, ja sen huippu on noin $500\,\text{nm}$:n kohdalla. Sirius on lähes kaksi kertaa kuumempi, joten huippu on lähes puolet lyhyemmällä aallonpituudella, ultraviolettialueella. Siksi Sirius näyttää sinivalkoiselta.

Sukeltajan ikkuna

Sukeltaja on $3{,}0\,\text{m}$:n syvyydellä tyynessä järvessä ja katsoo suoraan ylöspäin. Hän näkee taivaan vain pyöreästä alueesta suoraan yläpuolellaan. Sen ulkopuolella vedenpinta näyttää peililtä, josta heijastuu järven pohja. Veden taitekerroin on $1{,}33$.

Kuinka suuri on pyöreän alueen säde vedenpinnalla?

m
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mistä suunnista ilmasta tuleva valo voi ylipäätään saapua sukeltajan silmään?

Vihje 2: mikä yhteys

Alueen reunalla valo tulee ilmasta lähes pinnan suuntaisesti ja taittuu veteen rajakulmassa: $\sin\alpha_\text{r} = \tfrac{1{,}00}{1{,}33}$.

Vihje 3: välivaihe

Säde on $r = h\tan\alpha_\text{r}$, missä $h$ on syvyys.

Näytä ratkaisu

Annettu

syvyys $h = 3{,}0\,\text{m}$, veden taitekerroin $n_1 = 1{,}33$, ilman taitekerroin $n_2 = 1{,}00$

Kysytty

pyöreän alueen säde $r$ vedenpinnalla yksikössä $\text{m}$

Periaate

Ilmasta veteen tuleva valo taittuu kohti normaalia. Suurin taitekulma syntyy, kun valo tulee pinnan suuntaisesti, ja se on sama kuin rajakulma veden ja ilman välillä (luvut Valon heijastuminen ja taittuminen ja Kokonaisheijastuminen ja valokuitu). Siksi taivaan valo saapuu silmään vain kartiosta, jonka puolikas huippukulma on $\alpha_\text{r}$. Kauempaa pintaa katsottaessa veden alta tuleva valo kokonaisheijastuu, ja pinta näyttää peililtä.

Kaava

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$

$\tan\alpha_\text{r} = \dfrac{r}{h}$, joten $r = h\tan\alpha_\text{r}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{1{,}00}{1{,}33}$
$= 0{,}752$

joten

$\alpha_\text{r}$$= 48{,}75^\circ$
$r$$= 3{,}0\,\text{m} \cdot \tan 48{,}75^\circ$
$= 3{,}0\,\text{m} \cdot 1{,}140$
$= 3{,}42\,\text{m}$

Vastaus

$r \approx 3{,}4\,\text{m}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten syvyys $3{,}0\,\text{m}$.

Järkevyys

Rajakulma on vähän yli $45^\circ$, joten säteen on oltava vähän suurempi kuin syvyys, kuten $3{,}4\,\text{m} > 3{,}0\,\text{m}$. Syvemmällä alue on suurempi mutta näyttää samankokoiselta, koska kulma pysyy samana.

Öljykalvo lätäkössä

Lätäkön vedenpinnalla on ohut öljykalvo, jonka paksuus on eräässä kohdassa $300\,\text{nm}$. Öljyn taitekerroin on $1{,}45$ ja veden $1{,}33$. Valkoinen valo tulee kalvoon lähes kohtisuoraan.

Mikä näkyvän valon ($400$–$700\,\text{nm}$) aallonpituus heijastuu kalvon tästä kohdasta voimakkaimmin?

nm
Vihje 1: ohjaava kysymys

Kumpi kalvon kahdesta heijastuksesta kääntää aallon? Vertaa taitekertoimia kummallakin pinnalla.

Vihje 2: mikä yhteys

Ilmasta öljyyn ($1{,}00 \to 1{,}45$) heijastus kääntää aallon, öljystä veteen ($1{,}45 \to 1{,}33$) ei. Yhdellä käännöksellä vahvistavan interferenssin ehto on $2nd = \left(k + \tfrac12\right)\lambda$.

Vihje 3: välivaihe

$\lambda = \tfrac{2nd}{k + \frac12}$. Kokeile arvoja $k = 0, 1, 2$ ja valitse näkyvä aallonpituus.

Näytä ratkaisu

Annettu

kalvon paksuus $d = 300\,\text{nm}$, öljyn taitekerroin $n = 1{,}45$, veden taitekerroin $1{,}33$, valo tulee lähes kohtisuoraan; näkyvä valo $400$–$700\,\text{nm}$

Kysytty

näkyvän valon aallonpituus $\lambda$, joka heijastuu voimakkaimmin

Periaate

Kalvon ylä- ja alapinnasta heijastuneet aallot interferoivat, ja niiden matkaero on $2nd$. Aalto kääntyy, kun se heijastuu suuremman taitekertoimen ainetta vasten (luku Ohuen kalvon interferenssi). Yläpinnassa $1{,}00 \to 1{,}45$ aalto kääntyy, alapinnassa $1{,}45 \to 1{,}33$ ei. Yksi käännös vastaa puolen aallonpituuden lisäsiirtymää, joten vahvistava ehto on $2nd = \left(k + \tfrac12\right)\lambda$.

Kaava

$2nd = \left(k + \tfrac12\right)\lambda$, joten $\lambda = \dfrac{2nd}{k + \frac12}$, $k = 0, 1, 2, \ldots$

Muunnokset

Pidetään pituudet nanometreinä, koska vastauskin halutaan nanometreinä.

Sijoitus

$2nd$$= 2 \cdot 1{,}45 \cdot 300\,\text{nm}$
$= 870\,\text{nm}$

Kun $k = 0$:

$\lambda$$= \dfrac{870\,\text{nm}}{0{,}5}$
$= 1740\,\text{nm}$

kun $k = 1$:

$\lambda$$= \dfrac{870\,\text{nm}}{1{,}5}$
$= 580\,\text{nm}$

kun $k = 2$:

$\lambda$$= \dfrac{870\,\text{nm}}{2{,}5}$
$= 348\,\text{nm}$

Vastaus

$\lambda = 580\,\text{nm}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten paksuus $300\,\text{nm}$ ja taitekerroin $1{,}45$. Muut ratkaisut ovat infrapunaa ja ultraviolettia.

Järkevyys

$580\,\text{nm}$ on keltaista valoa, joten kalvon kohta näyttää kellertävältä. Paksuus vaihtelee kalvossa, joten väri vaihtuu kohdasta toiseen, kuten lätäkön öljykalvossa näkyy.

Tarkista osaamisesi

Exit ticket

Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

  1. Elektroni lentää magneettikentän suuntaisesti. Kuinka suuri magneettinen voima siihen vaikuttaa?
    Vastaus

    Ei lainkaan. $F = qvB\sin\alpha$, ja kentän suuntaisessa liikkeessä $\alpha = 0^\circ$, joten $\sin 0^\circ = 0$ ja $F = 0$.

  2. Valon nopeus timantissa on $1{,}24 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on timantin taitekerroin?
    Vastaus

    $n = \tfrac{c}{v} = \tfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{1{,}24 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}} \approx 2{,}42$.

1. Käsite

Generaattorin käämi pyörii tasaisesti homogeenisessa magneettikentässä. Missä asennossa käämiin syntyvä jännite on suurimmillaan?

Kertaa vuon muutos ja generaattorin jännite luvussa Generaattori ja vaihtovirta ja induktiolaki luvussa Sähkömagneettinen induktio.

2. Laskeminen

Halogeenivalaisimen muuntajan ensiökäämissä on $920$ kierrosta ja toisiokäämissä $48$ kierrosta. Ensiö on kytketty $230\,\text{V}$:n verkkojännitteeseen, ja toisiopiirin lampun virta on $4{,}6\,\text{A}$. Oletetaan, että muuntaja on ideaalinen.

Kuinka suuri virta kulkee ensiökäämissä?

A
Vihje 1: ohjaava kysymys

Mikä ideaalisessa muuntajassa säilyy, kun jännite muuttuu?

Vihje 2: mikä yhteys

Teho säilyy, $U_1 I_1 = U_2 I_2$, ja $\tfrac{U_1}{U_2} = \tfrac{N_1}{N_2}$.

Vihje 3: välivaihe

$I_1 = I_2 \cdot \tfrac{N_2}{N_1}$

Näytä ratkaisu

Annettu

kierrokset $N_1 = 920$ ja $N_2 = 48$, ensiöjännite $U_1 = 230\,\text{V}$, toisiovirta $I_2 = 4{,}6\,\text{A}$; muuntaja ideaalinen

Kysytty

ensiövirta $I_1$ yksikössä $\text{A}$

Periaate

Ideaalisessa muuntajassa jännitteiden suhde on kierrosten suhde, ja teho säilyy, joten virtojen suhde on kierrosten käänteinen suhde (luku Muuntaja ja sähköenergian siirto). Jännitteet ja virrat ovat tehollisia arvoja.

Kaava

$\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{I_2}{I_1}$, joten $I_1 = I_2 \cdot \dfrac{N_2}{N_1}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$I_1$$= 4{,}6\,\text{A} \cdot \dfrac{48}{920}$
$= 0{,}240\,\text{A}$

Vastaus

$I_1 \approx 0{,}24\,\text{A}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten virta $4{,}6\,\text{A}$.

Järkevyys

Toisiojännite on

$U_2$$= 230\,\text{V} \cdot \tfrac{48}{920}$
$= 12{,}0\,\text{V}$

Teho on toisiossa $12{,}0\,\text{V} \cdot 4{,}6\,\text{A} \approx 55\,\text{W}$ ja ensiössä $230\,\text{V} \cdot 0{,}240\,\text{A} \approx 55\,\text{W}$, sama, kuten pitää.

Kertaa muuntajan jännitteet ja virrat luvussa Muuntaja ja sähköenergian siirto.

3. Selitä

Sähkömagneetin pystysuoran rautasydämen ympärille on pujotettu kevyt alumiinirengas. Kun sähkömagneetin tasavirta kytketään, rengas hyppää ylös ja putoaa takaisin. Kun virta on jo kytkettynä, rengas lepää paikallaan. Jos renkaassa on kapea rako, se ei hyppää lainkaan. Selitä havainnot.

Tehtävät

5.3-1 Pienvesivoimalan sähkö 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Voimala ja luvut ovat keksitty esimerkki. Todellisessa generaattorissa on useita käämejä ja napapareja; tässä käytetään yhden käämin mallia.

Vanha pienvesivoimala kunnostetaan. Vesiturbiini pyörittää generaattoria, jota tarkastellaan yksinkertaisessa mallissa: yksi käämi pyörii tasaisesti homogeenisessa magneettikentässä. Voimalan sähkö siirretään muuntajan kautta $12\,\text{km}$:n pituista $20{,}0\,\text{kV}$:n linjaa pitkin kylään.

  • käämissä $60$ kierrosta, pinta-ala $0{,}060\,\text{m}^2$
  • magneettivuon tiheys $0{,}50\,\text{T}$, pyörimistaajuus $50\,\text{Hz}$
  • siirrettävä teho $150\,\text{kW}$, linjan johtimien resistanssi yhteensä $6{,}0\,\Omega$
  • muuntaja on ideaalinen
  1. a) Kuinka suuri on generaattorin jännitteen huippuarvo? Kuinka suuri on sen tehollinen arvo? 4 p
  2. b) Generaattorin tehollinen jännite $400\,\text{V}$ nostetaan muuntajalla linjan jännitteeksi. Mikä on muuntajan toisio- ja ensiökäämin kierrosten lukumäärien suhde? Kuinka suuret virrat kulkevat muuntajan kummallakin puolella? 4 p
  3. c) Kuinka suuri osa siirrettävästä tehosta muuttuu linjassa lämmöksi? Mitä tapahtuisi, jos sama teho yritettäisiin siirtää samaa linjaa pitkin suoraan generaattorin jännitteellä $400\,\text{V}$? 4 p
  4. d) Huoltomies ehdottaa, että samaan muuntajaan kytkettäisiin myös kylän aurinkopaneelien tasajännite, jotta senkin jännite saataisiin nostettua linjaan. Arvioi ehdotus. 3 p

Taidot luvuista: Generaattori ja vaihtovirta, Muuntaja ja sähköenergian siirto, Sähkömagneettinen induktio

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

kierrokset $N = 60$, pinta-ala $A = 0{,}060\,\text{m}^2$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}50\,\text{T}$, pyörimistaajuus $f = 50\,\text{Hz}$

Kysytty

jännitteen huippuarvo $e_0$ ja tehollinen arvo $U$

Periaate

Kun käämi pyörii tasaisesti homogeenisessa kentässä, sen läpi kulkeva vuo vaihtelee jaksollisesti, ja induktiolain mukaan käämiin syntyy sinimuotoinen jännite. Jännite on huippuarvossaan, kun käämin taso on kentän suuntainen, koska vuo muuttuu silloin nopeimmin (luvut Sähkömagneettinen induktio ja Generaattori ja vaihtovirta). Tehollinen arvo on se tasajännite, joka antaisi vastukseen saman keskimääräisen tehon; sinimuotoisella jännitteellä se on huippuarvo jaettuna luvulla $\sqrt{2}$.

Kaava

$e_0 = NBA \cdot 2\pi f$ ja $U = \dfrac{e_0}{\sqrt{2}}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$e_0$$= 60 \cdot 0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}060\,\text{m}^2 \cdot 2\pi \cdot 50\,\tfrac{1}{\text{s}}$
$= 565{,}5\,\text{V}$
$U$$= \dfrac{565{,}5\,\text{V}}{\sqrt{2}}$
$= 399{,}9\,\text{V}$

Vastaus

Huippuarvo on $e_0 \approx 570\,\text{V}$ ja tehollinen arvo $U \approx 400\,\text{V}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten magneettivuon tiheys $0{,}50\,\text{T}$ ja pinta-ala $0{,}060\,\text{m}^2$.

Järkevyys

Yksiköt sopivat:

$\text{T} \cdot \text{m}^2 \cdot \tfrac{1}{\text{s}}$$= \tfrac{\text{Wb}}{\text{s}}$
$= \text{V}$

Tehollinen arvo on huippuarvoa pienempi, kuten pitää, ja $400\,\text{V}$ on tavallinen teollisuuden jännite.

b)

Annettu

generaattorin tehollinen jännite $U_1 = 400\,\text{V}$, linjan jännite $U_2 = 20{,}0\,\text{kV}$, teho $P = 150\,\text{kW}$; muuntaja ideaalinen

Kysytty

kierrosten suhde $N_2 : N_1$ sekä virrat $I_1$ ja $I_2$

Periaate

Ideaalisessa muuntajassa jännitteiden suhde on kierrosten lukumäärien suhde, ja teho säilyy: $U_1 I_1 = U_2 I_2$ (luku Muuntaja ja sähköenergian siirto). Kun jännite kasvaa, virta pienenee samassa suhteessa. Jännitteet ja virrat ovat tehollisia arvoja, joten $P = UI$.

Kaava

$\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{U_2}{U_1}$, $I_1 = \dfrac{P}{U_1}$ ja $I_2 = \dfrac{P}{U_2}$

Muunnokset

$20{,}0\,\text{kV}$$= 20{,}0 \cdot 1000\,\text{V}$
$= 20\,000\,\text{V}$
$150\,\text{kW}$$= 150 \cdot 1000\,\text{W}$
$= 150\,000\,\text{W}$

Sijoitus

$\dfrac{N_2}{N_1}$$= \dfrac{20\,000\,\text{V}}{400\,\text{V}}$
$= 50$
$I_1$$= \dfrac{150\,000\,\text{W}}{400\,\text{V}}$
$= 375\,\text{A}$
$I_2$$= \dfrac{150\,000\,\text{W}}{20\,000\,\text{V}}$
$= 7{,}50\,\text{A}$

Vastaus

Toisiokäämissä on $50$ kertaa niin monta kierrosta kuin ensiökäämissä. Generaattorin puolella virta on $I_1 \approx 375\,\text{A}$ ja linjassa $I_2 \approx 7{,}50\,\text{A}$, kolme merkitsevää numeroa kuten jännite $20{,}0\,\text{kV}$ ja teho $150\,\text{kW}$.

Järkevyys

Virtojen suhde $375 : 7{,}50 = 50$ on sama kuin kierrosten suhde, ja

$U_2 I_2$$= 20\,000\,\text{V} \cdot 7{,}50\,\text{A}$
$= 150\,\text{kW}$

sama kuin ensiössä.

c)

Annettu

linjan virta $I_2 = 7{,}50\,\text{A}$ (b-kohta), resistanssi $R = 6{,}0\,\Omega$, teho $P = 150\,\text{kW}$; vertailuksi jännite $400\,\text{V}$

Kysytty

lämmöksi muuttuvan tehon osuus $\tfrac{P_\text{h}}{P}$ ja mitä tapahtuisi jännitteellä $400\,\text{V}$

Periaate

Linjan resistanssissa sähköenergiaa muuttuu sisäenergiaksi teholla $RI^2$. Siirtojännite $20\,\text{kV}$ ei ole linjan resistanssin yli, joten häviö lasketaan virrasta, joka saadaan siirrettävästä tehosta (luku Muuntaja ja sähköenergian siirto).

Kaava

$I = \dfrac{P}{U}$ ja $P_\text{h} = RI^2$, osuus $\dfrac{P_\text{h}}{P}$

Muunnokset

Lopuksi osuus prosentteina: kerrotaan luvulla $100\,\%$.

Sijoitus

$P_\text{h}$$= 6{,}0\,\Omega \cdot (7{,}50\,\text{A})^2$
$= 337{,}5\,\text{W}$

joten

$\dfrac{P_\text{h}}{P}$$= \dfrac{337{,}5\,\text{W}}{150\,000\,\text{W}}$
$= 0{,}00225$
$= 0{,}225\,\%$

Jännitteellä $400\,\text{V}$:

$I$$= 375\,\text{A}$
$RI^2$$= 6{,}0\,\Omega \cdot (375\,\text{A})^2$
$= 843\,750\,\text{W}$
$\approx 844\,\text{kW}$

Vastaus

Linjassa muuttuu lämmöksi noin $0{,}23\,\%$ tehosta, kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssi $6{,}0\,\Omega$. Jännitteellä $400\,\text{V}$ lauseke $RI^2$ antaisi $844\,\text{kW}$, yli viisinkertaisen siirrettävään tehoon verrattuna. Se tarkoittaa, että siirto ei onnistuisi lainkaan: jo linjan jännitehäviö $RI = 6{,}0\,\Omega \cdot 375\,\text{A} = 2250\,\text{V}$ olisi suurempi kuin koko jännite.

Järkevyys

Häviö on verrannollinen virran neliöön, ja virta kääntäen verrannollinen jännitteeseen, joten $50$-kertainen jännite pienentää häviötä kertoimella $50^2 = 2500$: $844\,\text{kW} : 2500 \approx 340\,\text{W}$, sama tulos.

d)

Kysytty

toimiiko muuntaja tasajännitteellä

Periaate

Muuntajan toisiojännite syntyy induktiolla: ensiövirta synnyttää rautasydämeen magneettivuon, ja vain vuon muutos indusoi toisiokäämiin jännitteen (luvut Sähkömagneettinen induktio ja Muuntaja ja sähköenergian siirto).

Mallivastaus

Ehdotus ei toimi. Tasavirta synnyttää rautasydämeen vakiovuon, eikä muuttumaton vuo indusoi toisiokäämiin jännitettä. Vain virran kytkentähetkellä vuo muuttuu, ja toisioon syntyy lyhyt jännitepiikki. Siksi aurinkopaneelien tasajännite muutetaan ensin vaihtojännitteeksi vaihtosuuntaajalla, ja vasta sen jälkeen muuntaja voi nostaa sen linjan jännitteeksi. Lisäksi tasavirralla ensiökäämin virtaa rajoittaa vain sen pieni resistanssi, joten käämi voisi ylikuumentua.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa annetaan huippuarvo tehollisena arvona tai jaetaan väärään suuntaan, $e_0 \cdot \sqrt{2} \approx 800\,\text{V}$.
  • a-kohdassa unohdetaan kerroin $2\pi$, jolloin $e_0 = 90\,\text{V}$.
  • b-kohdassa virrat käännetään: suuremman jännitteen puolella virta on pienempi.
  • c-kohdassa häviö lasketaan lausekkeesta $\tfrac{U^2}{R} = \tfrac{(20\,000\,\text{V})^2}{6{,}0\,\Omega} \approx 67\,\text{MW}$; siirtojännite ei ole linjan resistanssin yli.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa vertailu suhteena: $\tfrac{P_\text{h,400}}{P_\text{h,20k}} = \left(\tfrac{20\,000}{400}\right)^2 = 2500$, kun todetaan, että $400\,\text{V}$:n siirto on mahdoton.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee, että käämin läpi kulkeva vuo muuttuu jaksollisesti, ja jännite on huippuarvossaan, kun käämin taso on kentän suuntainen; tehollinen arvo on tasajännite, joka antaa saman keskimääräisen tehon. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $e_0 = NBA \cdot 2\pi f$ ja $U = \dfrac{e_0}{\sqrt{2}}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $e_0 = 60 \cdot 0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}060\,\text{m}^2 \cdot 2\pi \cdot 50\,\text{Hz} \approx 565\,\text{V}$ ja $U \approx 400\,\text{V}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $e_0 \approx 570\,\text{V}$ ja $U \approx 400\,\text{V}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten $0{,}50\,\text{T}$ ja $0{,}060\,\text{m}^2$ 1 p

b)4 p

Perustelee, että ideaalisessa muuntajassa jännitteiden suhde on kierrosten suhde ja teho säilyy, joten virta pienenee samassa suhteessa kuin jännite kasvaa. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{U_2}{U_1}$ ja $I = \dfrac{P}{U}$ kummallakin puolella 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\dfrac{20\,000\,\text{V}}{400\,\text{V}} = 50$, $I_1 = \dfrac{150\,000\,\text{W}}{400\,\text{V}} = 375\,\text{A}$ ja $I_2 = \dfrac{150\,000\,\text{W}}{20\,000\,\text{V}} = 7{,}50\,\text{A}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $N_2 : N_1 = 50$, $I_1 \approx 375\,\text{A}$ ja $I_2 \approx 7{,}50\,\text{A}$ 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $P_\text{h} = RI^2$, missä $I = \dfrac{P}{U}$, ja osuus $\dfrac{P_\text{h}}{P}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $P_\text{h} = 6{,}0\,\Omega \cdot (7{,}50\,\text{A})^2 \approx 340\,\text{W}$, joten osuus on $\dfrac{338\,\text{W}}{150\,000\,\text{W}} \approx 0{,}23\,\%$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Jännitteellä $400\,\text{V}$ virta olisi $375\,\text{A}$ ja lauseke $RI^2$ antaisi $844\,\text{kW}$, enemmän kuin koko teho: jo jännitehäviö $RI = 2250\,\text{V}$ olisi suurempi kuin $400\,\text{V}$, joten siirto ei onnistuisi lainkaan. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. Osuus $0{,}23\,\%$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten resistanssi $6{,}0\,\Omega$ 1 p

d)3 p

Selittää, että muuntajan toisiojännite syntyy induktiolla rautasydämen muuttuvasta magneettivuosta: tasavirralla vuo on vakio, joten toisioon ei synny jännitettä (paitsi hetkellisesti kytkettäessä). 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ehdotus ei toimi: tasajännite on ensin muutettava vaihtojännitteeksi vaihtosuuntaajalla, ja vasta sitten muuntaja voi nostaa sen. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.3-2 Valokuitu saareen 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tilanne on keksitty esimerkki. Taitekertoimet ja vaimennus ovat tavallisen tietoliikennekuidun suuruusluokkaa.

Saaristokylään vedetään valokuitu mantereelta merenpohjaa pitkin. Kuidun ytimessä etenevä infrapunavalo kuljettaa tietoa lyhyinä pulsseina.

  • ytimen taitekerroin $1{,}470$, kuoren taitekerroin $1{,}455$
  • kuidun pituus $14{,}0\,\text{km}$, vaimennuskerroin $0{,}22\,\text{dB/km}$
  • reitillä on neljä jatkosta, joista kukin vaimentaa $0{,}10\,\text{dB}$
  • lähettimen teho kuituun $2{,}0\,\text{mW}$
  • valon nopeus tyhjiössä $3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$
  1. a) Kuinka suuri tulokulma ytimen ja kuoren rajapinnassa vähintään tarvitaan, jotta valo pysyy ytimessä? Kuinka suuri kulma valonsäteen ja kuidun akselin välillä saa silloin enintään olla? 4 p
  2. b) Kuinka kauan valopulssi kulkee kuidun akselin suuntaisesti mantereelta saareen? Kuinka paljon kauemmin kulkee säde, jonka kulma kuidun akseliin on suurin mahdollinen, jolla se vielä pysyy ytimessä? 4 p
  3. c) Kuinka suuri teho saapuu saaren vastaanottimeen? 4 p
  4. d) Selitä, miksi valo pysyy kuidussa, vaikka kuitu kaartuu loivasti merenpohjan muotojen mukaan, mutta vuotaa ulos, jos kuitu taitetaan jyrkälle mutkalle. 3 p

Taidot luvuista: Kokonaisheijastuminen ja valokuitu, Soveltava luku: langaton lataus, induktioliesi ja kuituyhteys, Valon heijastuminen ja taittuminen

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}470$, kuoren taitekerroin $n_2 = 1{,}455$

Kysytty

pienin tulokulma $\alpha_\text{r}$, jolla valo pysyy ytimessä, ja suurin kulma säteen ja kuidun akselin välillä

Periaate

Valo pysyy ytimessä, jos se kokonaisheijastuu ytimen ja kuoren rajapinnasta. Kokonaisheijastuminen on mahdollista, koska valo tulee suuremman taitekertoimen aineesta pienemmän taitekertoimen aineeseen, ja se tapahtuu, kun tulokulma on rajakulmaa suurempi (luku Kokonaisheijastuminen ja valokuitu). Tulokulma mitataan rajapinnan normaalista, ja normaali on kohtisuorassa kuidun akselia vastaan, joten säteen ja akselin välinen kulma on $90^\circ - \alpha$.

Kaava

$n_1 \sin\alpha_\text{r} = n_2 \sin 90^\circ$, joten

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{n_2}{n_1}$

ja akselin suhteen $\beta_\text{max} = 90^\circ - \alpha_\text{r}$

Muunnokset

Taitekertoimet ovat yksiköttömiä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$\sin\alpha_\text{r}$$= \dfrac{1{,}455}{1{,}470}$
$= 0{,}9898$

joten

$\alpha_\text{r}$$= 81{,}81^\circ$
$\beta_\text{max}$$= 90^\circ - 81{,}81^\circ$
$= 8{,}19^\circ$

Vastaus

Tulokulman on oltava vähintään $81{,}8^\circ$, eli säde saa olla enintään $8{,}2^\circ$:n kulmassa kuidun akseliin nähden. Taitekertoimien ero $0{,}015$ tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella: jo $0{,}001$:n muutos siinä siirtää rajakulmaa noin $0{,}3^\circ$. Rehellinen tarkkuus on siis noin $82^\circ$ ja $8^\circ$; kymmenesosa ilmoitetaan vain vertailua varten.

Järkevyys

Taitekertoimet ovat lähes yhtä suuret, joten rajakulma on lähellä $90^\circ$: vain lähes akselin suuntaiset säteet pysyvät ytimessä. Lasin ja ilman välillä rajakulma olisi noin $43^\circ$.

b)

Annettu

kuidun pituus $s = 14{,}0\,\text{km}$, ytimen taitekerroin $n_1 = 1{,}470$, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}$, $\sin\alpha_\text{r} = 0{,}9898$ (a-kohta)

Kysytty

akselin suuntaisen pulssin kulkuaika $t$ ja jyrkimmän säteen lisäaika $\Delta t$

Periaate

Aineessa valo etenee nopeudella $v = \tfrac{c}{n}$ (luku Valon heijastuminen ja taittuminen). Akselin suuntainen säde kulkee kuidun pituuden. Jyrkin ytimessä pysyvä säde etenee kulmassa $90^\circ - \alpha_\text{r}$ akseliin nähden, joten sen kulkema matka on kuidun pituus jaettuna tämän kulman kosinilla, eli $\tfrac{s}{\sin\alpha_\text{r}}$ (luku Kokonaisheijastuminen ja valokuitu). Molemmat säteet etenevät ytimessä samalla nopeudella.

Kaava

$t = \dfrac{n_1 s}{c}$, jyrkimmälle säteelle $t' = \dfrac{t}{\sin\alpha_\text{r}}$ ja $\Delta t = t' - t$

Muunnokset

$14{,}0\,\text{km}$$= 14{,}0 \cdot 1000\,\text{m}$
$= 14\,000\,\text{m}$

ja lopuksi $1\,\text{s} = 10^6\,\mu\text{s}$

Sijoitus

$t$$= \dfrac{1{,}470 \cdot 14\,000\,\text{m}}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$
$= 6{,}860 \cdot 10^{-5}\,\text{s}$
$= 68{,}60\,\mu\text{s}$
$t'$$= \dfrac{68{,}60\,\mu\text{s}}{0{,}9898}$
$= 69{,}31\,\mu\text{s}$
$\Delta t$$= 69{,}31\,\mu\text{s} - 68{,}60\,\mu\text{s}$
$= 0{,}71\,\mu\text{s}$

Vastaus

Akselin suuntainen pulssi kulkee matkan ajassa $t \approx 68{,}6\,\mu\text{s}$, kolme merkitsevää numeroa kuten pituus $14{,}0\,\text{km}$. Jyrkimmin etenevä pulssi tulee perille noin $0{,}7\,\mu\text{s}$ myöhemmin; erotus tunnetaan vain yhden tai kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Valo etenee kuidussa nopeudella

$\tfrac{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}{1{,}470}$
$\approx 2{,}04 \cdot 10^8\,\text{m/s}$

noin kaksi kolmasosaa tyhjiön valonnopeudesta. Ero noin $1\,\%$ vastaa matkojen suhdetta $\tfrac{1}{0{,}9898} \approx 1{,}010$. Jos pulssit lähtisivät tiheämmin kuin noin mikrosekunnin välein, ne voisivat sekoittua.

c)

Annettu

vaimennuskerroin $a = 0{,}22\,\text{dB/km}$, pituus $L = 14{,}0\,\text{km}$, neljä jatkosta à $0{,}10\,\text{dB}$, lähetysteho $P_0 = 2{,}0\,\text{mW}$

Kysytty

vastaanotettu teho $P$

Periaate

Kuidun lasi vaimentaa valoa samassa suhteessa joka kilometrillä, ja vaimennus ilmoitetaan desibeleinä. Peräkkäisten osien ja jatkosten vaimennukset desibeleinä lasketaan yhteen (luku Soveltava luku: langaton lataus, induktioliesi ja kuituyhteys).

Kaava

$A$$= aL + 4 \cdot 0{,}10\,\text{dB}$
$A$$= 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{P_0}{P}$

joten $P = P_0 \cdot 10^{-A/(10\,\text{dB})}$

Muunnokset

Pituus on jo kilometreinä ja teho milliwatteina, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$A$$= 0{,}22\,\tfrac{\text{dB}}{\text{km}} \cdot 14{,}0\,\text{km} + 0{,}40\,\text{dB}$
$= 3{,}08\,\text{dB} + 0{,}40\,\text{dB}$
$= 3{,}48\,\text{dB}$

joten

$P$$= 2{,}0\,\text{mW} \cdot 10^{-0{,}348}$
$= 2{,}0\,\text{mW} \cdot 0{,}4487$
$= 0{,}897\,\text{mW}$

Vastaus

Vastaanottimeen saapuu noin $0{,}90\,\text{mW}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähetysteho $2{,}0\,\text{mW}$ ja vaimennuskerroin $0{,}22\,\text{dB/km}$.

Järkevyys

$3\,\text{dB}$ vastaa noin tehon puolittumista, joten $3{,}5\,\text{dB}$ jättää vähän alle puolet, $45\,\%$. Tulos on uskottava, koska tietoliikennekuidussa valo kulkee kymmeniä kilometrejä ilman vahvistusta.

d)

Kysytty

miksi loivasti kaartuva kuitu johtaa valoa mutta jyrkkä mutka päästää sen ulos

Periaate

Valo pysyy ytimessä, kun tulokulma ytimen ja kuoren rajapinnassa on rajakulmaa suurempi, tässä kuidussa vähintään $81{,}8^\circ$ (luku Kokonaisheijastuminen ja valokuitu).

Mallivastaus

Loivassa kaaressa rajapinnan suunta muuttuu säteen matkalla vain vähän, joten säde osuu rajapintaan edelleen lähes sen suuntaisesti, ja tulokulma pysyy rajakulmaa suurempana. Valo kokonaisheijastuu ja seuraa kuitua. Jyrkässä mutkassa ulkokaaren rajapinta kääntyy säteen eteen, joten säde osuu siihen jyrkemmin: tulokulma pienenee alle $81{,}8^\circ$:n, valo taittuu kuoreen ja vuotaa ulos. Koska rajakulma on lähellä $90^\circ$, jo melko pieni muutos tulokulmassa riittää. Siksi kuitukaapelille ilmoitetaan pienin sallittu taivutussäde.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa taitekertoimet käännetään, $\sin\alpha_\text{r} = \tfrac{n_1}{n_2} > 1$, tai kulma annetaan akselin suhteen tulokulmana.
  • b-kohdassa käytetään tyhjiön valonnopeutta, jolloin $t \approx 46{,}7\,\mu\text{s}$.
  • c-kohdassa vaimennus jaetaan kymmenellä ja kerrotaan tehoon, tai jatkosten vaimennus unohdetaan, jolloin $P \approx 0{,}98\,\text{mW}$.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee, että valo pysyy ytimessä kokonaisheijastumalla, joka on mahdollista, koska ytimen taitekerroin on suurempi kuin kuoren, ja että tulokulma mitataan rajapinnan normaalista. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\sin\alpha_\text{r} = \dfrac{n_2}{n_1}$ ja akselin suhteen $90^\circ - \alpha_\text{r}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\sin\alpha_\text{r} = \dfrac{1{,}455}{1{,}470} = 0{,}9898$, joten $\alpha_\text{r} \approx 81{,}8^\circ$ ja akselin suhteen enintään $8{,}2^\circ$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\alpha_\text{r} \approx 81{,}8^\circ$ ja $8{,}2^\circ$; tai noin $82^\circ$ ja $8^\circ$; perustelu tarkkuudelle: taitekertoimien ero tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $v = \dfrac{c}{n_1}$ ja $t = \dfrac{n_1 s}{c}$ 1 p
Perustelee, että jyrkimmin etenevä säde kulkee kuidun pituutta kohti matkan $\dfrac{s}{\sin\alpha_\text{r}}$, koska säteen ja akselin välinen kulma on $90^\circ - \alpha_\text{r}$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $t = \dfrac{1{,}470 \cdot 14\,000\,\text{m}}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}} \approx 68{,}6\,\mu\text{s}$ ja $\dfrac{68{,}6\,\mu\text{s}}{0{,}9898} \approx 69{,}3\,\mu\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $t \approx 68{,}6\,\mu\text{s}$ ja ero noin $0{,}7\,\mu\text{s}$ 1 p

c)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $A = aL + 4 \cdot 0{,}10\,\text{dB}$ ja $A = 10\,\text{dB} \cdot \lg \dfrac{P_0}{P}$, joten $P = P_0 \cdot 10^{-A/(10\,\text{dB})}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $A = 0{,}22\,\tfrac{\text{dB}}{\text{km}} \cdot 14{,}0\,\text{km} + 0{,}40\,\text{dB} = 3{,}48\,\text{dB}$ ja $P = 2{,}0\,\text{mW} \cdot 10^{-0{,}348} \approx 0{,}90\,\text{mW}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $P \approx 0{,}90\,\text{mW}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten $2{,}0\,\text{mW}$ ja $0{,}22\,\text{dB/km}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Noin $3\,\text{dB}$ puolittaa tehon, ja $3{,}5\,\text{dB}$ jättää vähän alle puolet, $45\,\%$. 1 p

d)3 p

Selittää, että loivassa kaaressa säteen tulokulma rajapinnassa pysyy rajakulmaa suurempana, mutta jyrkässä mutkassa säde osuu ulkokaaren rajapintaan jyrkemmin, tulokulma pienenee alle rajakulman ja valo taittuu kuoreen. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kuidun pysyminen valojohteena edellyttää, että tulokulma on kaikkialla vähintään $81{,}8^\circ$; siksi kaapelin taivutussäteellä on alaraja. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.3-3 Suoran johtimen magneettikenttä 20 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Aineisto on keksitty esimerkki: luvut on laskettu pitkän suoran johtimen mallista, kun $I = 12{,}0\,\text{A}$, ja niihin on lisätty noin $11\,\mu\text{T}$:n vakiokenttä ja lukemisen kaltaista vaihtelua.

Opiskelijat tutkivat suoran johtimen magneettikenttää. Pystysuorassa, $2{,}0\,\text{m}$:n pituisessa johtimessa kulki tasavirta $12{,}0\,\text{A}$. Magneettikenttäanturi asetettiin johtimen keskikohdan korkeudelle niin, että se mittasi johdinta kiertävän kentän suuntaista komponenttia. Anturin asento pidettiin samana, ja sen etäisyyttä $r$ johtimen keskiakselista muutettiin. Anturia ei nollattu ennen mittausta.

$r\ (\text{cm})$ $B\ (\mu\text{T})$
$2{,}0$ $132$
$3{,}0$ $90$
$4{,}0$ $72$
$6{,}0$ $50$
$8{,}0$ $41$
$12{,}0$ $31$
  1. a) Esitä magneettivuon tiheys etäisyyden funktiona kuvaajana. Onko magneettivuon tiheys kääntäen verrannollinen etäisyyteen? Perustele aineiston avulla. 4 p
  2. b) Esitä aineisto niin, että pisteisiin sopii suora. Perustele valintasi ja sovita pisteisiin suora. 5 p
  3. c) Määritä kuvaajasta tyhjiön permeabiliteetti $\mu_0$. Vertaa tulosta taulukkoarvoon $4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. 6 p
  4. d) Suora ei kulje origon kautta. Mitä vakiotermi kertoo mittauksesta? Kuinka suuren lukeman anturi näyttäisi mallin mukaan $50\,\text{cm}$:n päässä johtimesta, ja miksi tulos on vain arvio? 5 p

Taidot luvuista: Virtajohtimen ja käämin magneettikenttä, Graafinen esitys ja suoran sovittaminen, Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

magneettivuon tiheys etäisyyden funktiona kuvaajana ja onko se kääntäen verrannollinen etäisyyteen

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on $r\ (\text{cm})$ ja pystyakselilla $B\ (\mu\text{T})$, ja akselit alkavat nollasta. Kuusi pistettä merkitään taulukosta. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi; niiden kautta voi piirtää tasaisen käyrän.

$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$12$
$50$
$100$
$150$
$0$
$r\ (\text{cm})$
$B\ (\mu\text{T})$
$\text{loivenee}$

Mallivastaus

Kenttä pienenee etäisyyden kasvaessa yhä hitaammin, mutta se ei ole kääntäen verrannollinen etäisyyteen. Jos olisi, kaksinkertainen etäisyys puolittaisi kentän, mutta $2{,}0\,\text{cm}$:stä $4{,}0\,\text{cm}$:iin kenttä pienenee vain $132\,\mu\text{T}$:sta $72\,\mu\text{T}$:iin, ja $4{,}0\,\text{cm}$:stä $8{,}0\,\text{cm}$:iin $72\,\mu\text{T}$:sta $41\,\mu\text{T}$:iin. Myös tulo $Br$ kasvaa: $264$, $270$, $288$, $300$, $328$ ja $372\,\mu\text{T} \cdot \text{cm}$. Kääntäen verrannollisessa riippuvuudessa se olisi vakio. Käyrä ei siis lähesty nollaa vaan jotakin positiivista arvoa: kenttään näyttää sisältyvän etäisyydestä riippumaton osa.

b)

Kysytty

aineiston esitys niin, että pisteisiin sopii suora, perustelu ja sovitettu suora

Kuvaaja

Pitkän suoran johtimen kenttä on $B = \tfrac{\mu_0 I}{2\pi r} = \tfrac{\mu_0 I}{2\pi} \cdot \tfrac{1}{r}$, joten $B$ on suoraan verrannollinen etäisyyden käänteislukuun. Jos mukana on lisäksi vakiokenttä $b$, $B = k \cdot \tfrac{1}{r} + b$, joka on edelleen suora $(\tfrac{1}{r}, B)$-koordinaatistossa. Lasketaan käänteisluvut: $50{,}0$, $33{,}3$, $25{,}0$, $16{,}7$, $12{,}5$ ja $8{,}33\,\tfrac{1}{\text{m}}$. Vaaka-akselilla on $\tfrac{1}{r}\ (\tfrac{1}{\text{m}})$ ja pystyakselilla $B\ (\mu\text{T})$. Suora sovitetaan pisteiden lomitse eikä pakoteta origon kautta, jotta mahdollinen vakiokenttä näkyy.

$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
$50$
$100$
$150$
$0$
$\tfrac{1}{r}\ (\tfrac{1}{\text{m}})$
$B\ (\mu\text{T})$
$b \approx 11\,\mu\text{T}$
$k \approx 2{,}42\,\mu\text{T}\cdot\text{m}$

Mallivastaus

Pisteet asettuvat hyvin suoralle, joten pitkän suoran johtimen malli kuvaa aineistoa. Suora ei kuitenkaan kulje origon kautta, vaan leikkaa pystyakselin noin arvossa $10$–$11\,\mu\text{T}$. Tätä tulkitaan d-kohdassa.

c)

Annettu

sovitettu suora kuvaajassa; suoralta luetut pisteet $(5{,}0\,\tfrac{1}{\text{m}}$; $23\,\mu\text{T})$ ja $(50\,\tfrac{1}{\text{m}}$; $132\,\mu\text{T})$; virta $I = 12{,}0\,\text{A}$

Kysytty

tyhjiön permeabiliteetti $\mu_0$ ja sen vertailu taulukkoarvoon

Periaate

Mallin $B = \tfrac{\mu_0 I}{2\pi} \cdot \tfrac{1}{r} + b$ mukaan $(\tfrac{1}{r}, B)$-kuvaajan kulmakerroin on $k = \tfrac{\mu_0 I}{2\pi}$ (luku Virtajohtimen ja käämin magneettikenttä). Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta sovitetun suoran pisteestä, ei mittauspisteistä (luku Graafinen esitys ja suoran sovittaminen). Vakiokenttä siirtää suoraa mutta ei muuta sen kulmakerrointa, joten se ei vaikuta tulokseen.

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan kohdissa $\tfrac{1}{r} = 5{,}0\,\tfrac{1}{\text{m}}$ ja $\tfrac{1}{r} = 50\,\tfrac{1}{\text{m}}$ arvot $B \approx 23\,\mu\text{T}$ ja $B \approx 132\,\mu\text{T}$.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta B}{\Delta(1/r)}$ ja $k = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi}$, joten $\mu_0 = \dfrac{2\pi k}{I}$

Muunnokset

$1\,\mu\text{T} = 10^{-6}\,\text{T}$, ja $\text{T} = \tfrac{\text{Vs}}{\text{m}^2}$, joten $\tfrac{\text{T} \cdot \text{m}}{\text{A}} = \tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$.

Sijoitus

$k$$= \dfrac{132\,\mu\text{T} - 23\,\mu\text{T}}{50\,\tfrac{1}{\text{m}} - 5{,}0\,\tfrac{1}{\text{m}}}$
$= \dfrac{109\,\mu\text{T}}{45\,\tfrac{1}{\text{m}}}$
$= 2{,}422\,\mu\text{T} \cdot \text{m}$
$= 2{,}422 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \text{m}$

joten

$\mu_0$$= \dfrac{2\pi \cdot 2{,}422 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \text{m}}{12{,}0\,\text{A}}$
$= 1{,}268 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

Vastaus

$\mu_0 \approx 1{,}27 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten virta $12{,}0\,\text{A}$ ja kuvaajalta luetut arvot.

Järkevyys

Taulukkoarvo on

$4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$$= 1{,}257 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

joten ero on noin $0{,}9\,\%$. Lukemien vaihtelu noin $1\,\mu\text{T}$ on suurimmilla $\tfrac{1}{r}$-arvoilla alle $1\,\%$, joten ero on mittaustarkkuuden rajoissa.

d)

Annettu

suoran kulmakerroin $k \approx 2{,}42\,\mu\text{T} \cdot \text{m}$ ja vakiotermi $b \approx 10{,}9\,\mu\text{T}$ (c-kohdan luetuista pisteistä: $23\,\mu\text{T} - 2{,}422\,\mu\text{T} \cdot \text{m} \cdot 5{,}0\,\tfrac{1}{\text{m}}$), etäisyys $r = 50\,\text{cm}$, johtimen pituus $2{,}0\,\text{m}$

Kysytty

mitä vakiotermi kertoo mittauksesta ja anturin lukema $50\,\text{cm}$:n päässä

Periaate

Johtimen oma kenttä on kääntäen verrannollinen etäisyyteen, joten vakiotermi on kenttää, joka ei riipu virrasta eikä etäisyydestä. Anturi pysyi samassa asennossa eikä sitä nollattu, joten sen lukemaan sisältyy Maan magneettikentän komponentti anturin suunnassa ja anturin oma nollakohta (luvut Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä ja Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus). Lukema kauempana saadaan sovitetun suoran yhtälöstä, mutta pitkän johtimen malli pätee vain, kun etäisyys on paljon pienempi kuin johtimen pituus.

Kuvaajan lukeminen

Suora leikkaa $B$-akselin noin arvossa $11\,\mu\text{T}$; luetuista pisteistä

$b$$= 23\,\mu\text{T} - 2{,}422\,\mu\text{T} \cdot \text{m} \cdot 5{,}0\,\tfrac{1}{\text{m}}$
$= 10{,}9\,\mu\text{T}$

Kaava

$B = \dfrac{k}{r} + b$

Muunnokset

$50\,\text{cm}$$= 50 \cdot 0{,}01\,\text{m}$
$= 0{,}50\,\text{m}$

Sijoitus

$B$$= \dfrac{2{,}422\,\mu\text{T} \cdot \text{m}}{0{,}50\,\text{m}} + 10{,}9\,\mu\text{T}$
$= 4{,}84\,\mu\text{T} + 10{,}9\,\mu\text{T}$
$= 15{,}7\,\mu\text{T}$

Vastaus

Vakiotermi noin $11\,\mu\text{T}$ on johtimen virrasta riippumaton vakiokenttä: Maan magneettikentän komponentti anturin suunnassa ja anturin nollakohdan siirtymä. Sen voi tarkistaa mittaamalla lukeman virta katkaistuna, jolloin anturin pitäisi näyttää noin $11\,\mu\text{T}$. Mallin mukaan anturi näyttäisi $50\,\text{cm}$:n päässä noin $16\,\mu\text{T}$, kaksi merkitsevää numeroa, koska tulos riippuu kuvaajalta luetusta vakiotermistä. Tulos on vain arvio, koska $50\,\text{cm}$ on mitatun alueen ($2$–$12\,\text{cm}$) ulkopuolella ja johtimen pituus $2{,}0\,\text{m}$ ei ole enää paljon suurempi kuin etäisyys, joten johtimen oma kenttä on hieman pienempi kuin $4{,}8\,\mu\text{T}$.

Järkevyys

Etelä-Suomessa Maan kentän vaakakomponentti on noin $14\,\mu\text{T}$, joten $11\,\mu\text{T}$:n komponentti anturin suunnassa on uskottava. Vakiotermin saa myös kahdesta mittauksesta: jos $B = \tfrac{k}{r} + b$, niin

$b$$= 2B(4{,}0\,\text{cm}) - B(2{,}0\,\text{cm})$
$= 2 \cdot 72\,\mu\text{T} - 132\,\mu\text{T}$
$= 12\,\mu\text{T}$

lähes sama.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa pisteet yhdistetään murtoviivaksi tai päätellään kääntäen verrannollisuus pelkästä laskevasta käyrästä.
  • b-kohdassa piirretään $B$ etäisyyden funktiona logaritmiasteikolla ilman perustelua tai pakotetaan suora origon kautta, jolloin kulmakerroin ja $\mu_0$ saadaan liian suuriksi.
  • c-kohdassa unohdetaan muuntaa mikroteslat tesloiksi tai etäisyys metreiksi, jolloin tulos on kertaluokkia väärä.
  • d-kohdassa vakiotermi selitetään satunnaisvirheellä; se nostaa kaikkia lukemia saman verran.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa sovitusohjelman kulmakerroin $2{,}42\,\mu\text{T} \cdot \text{m}$ ja $\mu_0 \approx 1{,}27 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$.
  • d-kohdassa johtimen oman kentän arvio $4{,}8\,\mu\text{T}$ ja toteamus, että lukema on noin $16\,\mu\text{T}$ vakiokentän kanssa.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. Vaaka-akselilla $r\ (\text{cm})$, pystyakselilla $B\ (\mu\text{T})$; akselit alkavat nollasta. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Kuusi pistettä taulukosta; pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi. 1 p
Perustelee aineistolla: kenttä pienenee loivenevasti, mutta kaksinkertainen etäisyys ei puolita sitä, esimerkiksi $2{,}0\,\text{cm} \to 4{,}0\,\text{cm}$ antaa $132\,\mu\text{T} \to 72\,\mu\text{T}$. Tulo $Br$ kasvaa $264$:stä $372\,\mu\text{T} \cdot \text{cm}$:iin, joten $B$ ei ole kääntäen verrannollinen etäisyyteen. 2 p

b)5 p

Perustelee linearisoinnin: pitkän suoran johtimen kenttä on $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi} \cdot \dfrac{1}{r}$, joten $B$ on lineaarinen etäisyyden käänteisluvun $\dfrac{1}{r}$ suhteen, ja mahdollinen vakiokenttä vain siirtää suoraa. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\dfrac{1}{r}$ jokaiselle etäisyydelle yksikössä $\tfrac{1}{\text{m}}$, esimerkiksi $\dfrac{1}{0{,}020\,\text{m}} = 50\,\tfrac{1}{\text{m}}$. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Yksi suora pisteiden lomitse; vaaka-akselilla $\tfrac{1}{r}\ (\tfrac{1}{\text{m}})$, pystyakselilla $B\ (\mu\text{T})$. Suoraa ei pakoteta origon kautta. 2 p

c)6 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakerroin kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä, esimerkiksi $(5{,}0\,\tfrac{1}{\text{m}}$; $23\,\mu\text{T})$ ja $(50\,\tfrac{1}{\text{m}}$; $132\,\mu\text{T})$: $k \approx 2{,}42\,\mu\text{T} \cdot \text{m}$. 2 p
Tulkitsee kulmakertoimen: $k = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi}$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\mu_0 = \dfrac{2\pi k}{I}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\mu_0 \approx 1{,}27 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$; tulokset $1{,}22$–$1{,}32 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$ hyväksytään. 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Taulukkoarvo on $1{,}257 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$, joten ero on noin $1\,\%$, mikä sopii lukemien noin $1\,\mu\text{T}$:n vaihteluun. 1 p

d)5 p

Tulkitsee vakiotermin: suora leikkaa $B$-akselin noin arvossa $11\,\mu\text{T}$, joka on johtimen virrasta riippumaton vakiokenttä: Maan magneettikentän komponentti anturin suunnassa ja anturin nollakohta, koska anturia ei nollattu. Sen voi tarkistaa mittaamalla lukeman virta katkaistuna. 2 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $B = \dfrac{k}{r} + b$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $B = \dfrac{2{,}42\,\mu\text{T} \cdot \text{m}}{0{,}50\,\text{m}} + 10{,}9\,\mu\text{T} \approx 4{,}8\,\mu\text{T} + 10{,}9\,\mu\text{T} \approx 16\,\mu\text{T}$ 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Etäisyys on mitatun alueen ulkopuolella, ja $50\,\text{cm}$ ei ole enää pieni johtimen pituuteen $2{,}0\,\text{m}$ verrattuna, joten pitkän johtimen malli antaa johtimen kentäksi liian suuren arvon; lukemasta suurin osa on vakiokenttää. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 20 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.3-4 Värit kuplassa, sateenkaaressa ja CD-levyssä 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Tilanne on keksitty esimerkki. Veden taitekertoimet ja CD-levyn uraväli ovat todellisia arvoja.

Kesäjuhlissa pihalla näkyy samana iltapäivänä kolmenlaisia värejä. Lasten saippuakuplissa on värikkäitä raitoja. Nurmikon kastelusuihkun pisaroissa näkyy pieni sateenkaari, kun aurinko paistaa katsojan selän takaa. Pöydälle jätetty CD-levy heijastaa auringonvalosta värikkäitä kaaria. Juhlavieras väittää: ”Kaikki kolme syntyvät samalla tavalla: valkoinen valo taittuu vedessä tai muovissa, ja eri värit taittuvat eri määrän.”

  • veden taitekerroin punaiselle valolle $1{,}331$ ja violetille $1{,}343$
  • CD-levyn vierekkäisten urien etäisyys $1{,}6\,\mu\text{m}$
  1. a) Selitä, miten sateenkaari syntyy. Kummalla reunalla kaarta punainen on, ja miksi? 5 p
  2. b) Selitä, miten saippuakuplan värit syntyvät. Miksi kuplan ohuin yläosa näyttää juuri ennen puhkeamista tummalta? 5 p
  3. c) Selitä, miten CD-levy synnyttää värit, ja laske, missä kulmissa punainen ($650\,\text{nm}$) ja violetti ($400\,\text{nm}$) valo näkyvät ensimmäisessä kertaluvussa, kun valo tulee kohtisuoraan levyyn. Arvioi lopuksi juhlavieraan väite kokonaisuutena. 5 p

Taidot luvuista: Dispersio: prisma ja sateenkaari, Ohuen kalvon interferenssi, Valon interferenssi ja diffraktio

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

miten sateenkaari syntyy ja kummalla reunalla punainen on

Periaate

Taitekerroin riippuu aallonpituudesta (dispersio): vedessä violetin taitekerroin on suurin ja punaisen pienin. Sateenkaaressa valo taittuu pisaraan, heijastuu sen takapinnasta ja taittuu ulos (luku Dispersio: prisma ja sateenkaari).

Mallivastaus

Auringonvalo tulee pisaraan, taittuu sen etupinnassa, heijastuu pisaran takapinnasta ja taittuu uudelleen ulos. Koska veden taitekerroin on punaiselle $1{,}331$ ja violetille $1{,}343$, värit taittuvat eri määrän ja lähtevät pisarasta hieman eri suuntiin. Kirkkain valo lähtee punaisella noin $42^\circ$:n ja violetilla noin $40{,}6^\circ$:n kulmassa vastapisteen suuntaan nähden. Katsoja näkee punaista niistä pisaroista, jotka ovat $42^\circ$:n kulmassa, ja violettia hieman sisempänä olevista pisaroista. Siksi punainen on kaaren ulkoreunalla ja violetti sisäreunalla. Sateenkaaren kohdalla juhlavieraan väite pitää paikkansa: värit erottuvat, koska eri värit taittuvat vedessä eri määrän.

b)

Kysytty

miten saippuakuplan värit syntyvät ja miksi ohuin kohta näyttää tummalta

Periaate

Ohuen kalvon kahdesta pinnasta heijastuneet aallot interferoivat. Kohtisuorassa tulossa niiden matkaero on $2nd$, ja aalto kääntyy, kun se heijastuu suuremman taitekertoimen ainetta vasten (luku Ohuen kalvon interferenssi).

Mallivastaus

Kupla on ohut saippuavesikalvo, jonka molemmin puolin on ilmaa. Osa valosta heijastuu kalvon ulkopinnasta ja osa sisäpinnasta, ja nämä aallot interferoivat. Niiden matkaero $2nd$ riippuu kalvon paksuudesta $d$: joillakin aallonpituuksilla aallot vahvistavat toisiaan ja toisilla heikentävät. Valkoisesta valosta jää jäljelle aallonpituuksien sekoitus, joka näkyy värinä, ja kun kalvon paksuus vaihtelee, väri vaihtuu raidoittain. Vain ulkopinnan heijastus kääntää aallon, koska valo heijastuu siinä ilmasta saippuaveteen. Juuri ennen puhkeamista kuplan yläosa on hyvin ohut, $2nd \approx 0$, joten heijastuneet aallot ovat lähes vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa kaikilla aallonpituuksilla, ja kohta näyttää tummalta. Kuplan kohdalla väite on väärä: värit syntyvät interferenssistä, eivät taittumisesta, ja väri riippuu kalvon paksuudesta.

c)

Kysytty

miten CD-levy synnyttää värit, punaisen ja violetin ensimmäisen kertaluvun kulmat ja arvio väitteestä

Periaate

Tiheät, säännöllisin välein toistuvat urat toimivat heijastushilana. Vierekkäisistä urista heijastuneet aallot vahvistavat toisiaan suunnissa, joille $d\sin\theta = k\lambda$ (luku Valon interferenssi ja diffraktio).

Mallivastaus

CD-levyn pinnassa on spiraalina kulkeva ura, jonka vierekkäiset kierrokset ovat $1{,}6\,\mu\text{m}$:n päässä toisistaan. Jokainen ura heijastaa valoa, ja eri urista heijastuneet aallot vahvistavat toisiaan vain suunnissa, joissa niiden matkaero on kokonainen määrä aallonpituuksia. Kohtisuorassa tulossa ensimmäinen kertaluku on punaiselle $\sin\theta = \tfrac{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{1{,}6 \cdot 10^{-6}\,\text{m}} = 0{,}41$ eli $\theta \approx 24^\circ$ ja violetille $\sin\theta = \tfrac{400 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{1{,}6 \cdot 10^{-6}\,\text{m}} = 0{,}25$ eli $\theta \approx 14{,}5^\circ$. Punainen poikkeaa siis eniten, päinvastoin kuin pisarassa ja prismassa, mikä osoittaa, että värit syntyvät eri tavalla. Kokonaisuutena juhlavieraan väite on väärä. Se pitää paikkansa vain sateenkaaressa. Kuplan värit syntyvät kalvon kahden pinnan heijastusten interferenssistä ja CD-levyn värit monen uran heijastusten interferenssistä, eikä niissä tarvita taittumista.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa sanotaan, että punainen taittuu eniten, koska sen aallonpituus on pisin; vedessä violetti taittuu eniten.
  • b-kohdassa värit selitetään saippuan väriaineella tai taittumisella, tai unohdetaan heijastuksen käännös, jolloin ohuin kohta väitetään kirkkaaksi.
  • c-kohdassa kulma lasketaan ilman sinin käänteisfunktiota tai sanotaan violetin poikkeavan hilassa eniten.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Selittää, että valo taittuu pisaraan, heijastuu sen takapinnasta ja taittuu ulos, ja että veden taitekerroin riippuu aallonpituudesta (dispersio), joten värit lähtevät pisarasta eri suuntiin. 2 p
Perustelee, että punaisen taitekerroin on pienin, joten punainen näkyy suurimmassa kulmassa vastapisteestä, noin $42^\circ$, ja violetti noin $40{,}6^\circ$:n kulmassa: punainen on kaaren ulkoreunalla. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Sateenkaaren kohdalla väite pitää paikkansa: värit erottuvat, koska eri värit taittuvat vedessä eri määrän. 1 p

b)5 p

Selittää ohuen kalvon interferenssin: kalvon ulko- ja sisäpinnasta heijastuneilla aalloilla on matkaero $2nd$, ja paksuudesta riippuu, mitkä aallonpituudet vahvistuvat ja mitkä heikkenevät; väri on jäljelle jäävien aallonpituuksien sekoitus. 2 p
Perustelee tumman kohdan: vain ulkopinnan heijastus kääntää aallon, joten hyvin ohuessa kalvossa ($2nd \approx 0$) heijastuneet aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja heikentävät toisiaan kaikilla aallonpituuksilla. 2 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kuplan kohdalla väite on väärä: värit syntyvät interferenssistä, eivät taittumisesta, ja väri riippuu kalvon paksuudesta. 1 p

c)5 p

Selittää, että tiheät urat toimivat heijastushilana: vierekkäisistä urista heijastuneet aallot vahvistavat toisiaan suunnissa, joille $d\sin\theta = k\lambda$. 2 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $\sin\theta = \dfrac{650 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}{1{,}6 \cdot 10^{-6}\,\text{m}} = 0{,}41$, joten $\theta \approx 24^\circ$; violetille $\sin\theta = 0{,}25$ ja $\theta \approx 14{,}5^\circ$. 1 p
Toteaa, että hilassa punainen poikkeaa eniten, päinvastoin kuin prismassa ja pisarassa, mikä osoittaa eri syntytavan. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Väite pitää paikkansa vain sateenkaaressa. Kuplan ja CD-levyn värit syntyvät interferenssistä: kuplassa kalvon kahden pinnan, CD-levyssä monen uran heijastusten välillä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (10 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.3-5 Laserin aallonpituus hilalla 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Raportti ja mittaukset ovat keksitty esimerkki: etäisyydet on laskettu hilasta, jossa on $600$ viivaa millimetrillä, ja aallonpituudesta $532\,\text{nm}$, ja ne on pyöristetty mittanauhan lukemiksi.

Opiskelijaryhmä mittasi vihreän laserosoittimen aallonpituuden. Laser, hila ja varjostimena toimiva seinä asetettiin riviin niin, että säde osui kohtisuoraan hilaan ja seinään. Hilan pakkauksessa luki $600$ viivaa millimetrillä. Ryhmä mittasi mittanauhalla hilan etäisyyden seinästä sekä keskimaksimin etäisyyden keskimaksimin oikealla puolella olevista maksimeista.

Mitattu Arvo
hilan etäisyys seinästä $L$ $80{,}0\,\text{cm}$
keskimaksimista 1. kertaluvun maksimiin $x_1$ $27{,}0\,\text{cm}$
keskimaksimista 2. kertaluvun maksimiin $x_2$ $66{,}4\,\text{cm}$

Raportin laskut ja johtopäätökset: ”Pienillä kulmilla $\sin\theta \approx \tfrac{x}{L}$, joten $\lambda = \tfrac{d x_2}{2L} = 692\,\text{nm}$. Tulos on punaisen valon aallonpituus, joten laserin ilmoitettu aallonpituus $532\,\text{nm}$ on väärä. Kolmannen kertaluvun maksimia emme löytäneet seinältä, joten hila on viallinen.”

  1. a) Laske laserin aallonpituus kummastakin maksimista. 5 p
  2. b) Arvioi ryhmän johtopäätökset. 5 p
  3. c) Suunnittele, miten mittausta parannetaan. 5 p

Taidot luvuista: Valon interferenssi ja diffraktio, Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus, Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

hilassa $N = 600$ viivaa millimetrillä, $L = 80{,}0\,\text{cm}$, $x_1 = 27{,}0\,\text{cm}$, $x_2 = 66{,}4\,\text{cm}$

Kysytty

laserin aallonpituus $\lambda$ kummastakin maksimista

Periaate

Hilan maksimit ovat suunnissa, joille $d\sin\theta = k\lambda$, ja hilavakio on viivavälin pituus (luku Valon interferenssi ja diffraktio). Kulma saadaan varjostimen suorakulmaisesta kolmiosta, $\tan\theta = \tfrac{x}{L}$. Sini ja tangentti ovat lähes yhtä suuret vain pienillä kulmilla, joten kulma lasketaan ensin tangentista ja vasta sitten sen sini.

Kaava

$d = \dfrac{1\,\text{mm}}{N}$, $\theta_k = \tan^{-1}\dfrac{x_k}{L}$ ja $\lambda = \dfrac{d\sin\theta_k}{k}$

Muunnokset

$d$$= \dfrac{1\,\text{mm}}{600}$
$= \dfrac{1 \cdot 10^{-3}\,\text{m}}{600}$
$= 1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$

etäisyyksien suhteessa yksiköt supistuvat, ja lopuksi $1\,\text{m} = 10^9\,\text{nm}$.

Sijoitus

$\tan\theta_1$$= \dfrac{27{,}0\,\text{cm}}{80{,}0\,\text{cm}}$
$= 0{,}3375$

joten

$\theta_1$$= 18{,}65^\circ$
$\lambda$$= 1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot \sin 18{,}65^\circ$
$= 1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot 0{,}3198$
$= 533{,}0\,\text{nm}$
$\tan\theta_2$$= \dfrac{66{,}4\,\text{cm}}{80{,}0\,\text{cm}}$
$= 0{,}830$

joten

$\theta_2$$= 39{,}69^\circ$
$\lambda$$= \dfrac{1{,}667 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \cdot 0{,}6386}{2}$
$= 532{,}2\,\text{nm}$

Vastaus

Ensimmäisestä kertaluvusta $\lambda \approx 533\,\text{nm}$ ja toisesta $\lambda \approx 532\,\text{nm}$, kolme merkitsevää numeroa kuten etäisyydet.

Järkevyys

Molemmat kertaluvut antavat saman tuloksen, ja se on vihreän valon aallonpituus, kuten laserin väri kertoo. Kulma $\theta_2 \approx 40^\circ$ on niin suuri, että $\sin\theta_2 = 0{,}64$ ja $\tan\theta_2 = 0{,}83$ eroavat selvästi.

b)

Kysytty

ovatko ryhmän johtopäätökset perusteltuja

Periaate

Pienen kulman oletus $\sin\theta \approx \tfrac{x}{L}$ pätee vain pienillä kulmilla. Tulosta verrataan valmistajan arvoon epävarmuuden avulla, ja maksimien määrää rajoittaa ehto $k\lambda < d$ (luvut Valon interferenssi ja diffraktio ja Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus).

Mallivastaus

Kumpikaan johtopäätös ei ole perusteltu. Virhe on laskutavassa, ei laserissa. Pienen kulman oletus antaa ensimmäisestä kertaluvusta $\tfrac{1{,}667\,\mu\text{m} \cdot 0{,}270\,\text{m}}{0{,}800\,\text{m}} \approx 562\,\text{nm}$, noin $6\,\%$ liikaa, ja toisesta $692\,\text{nm}$, noin $30\,\%$ liikaa, koska ero tangentin ja sinin välillä kasvaa kulman kasvaessa. Oikein laskettuna tulos on $532$–$533\,\text{nm}$. Jos etäisyydet tunnetaan noin $0{,}3\,\text{cm}$:n tarkkuudella, toisen kertaluvun ääriarvot antavat noin $530$–$535\,\text{nm}$, joten tulos on sopusoinnussa valmistajan arvon $532\,\text{nm}$ kanssa. Lisäksi laser näytti vihreältä, mikä jo sulkee pois punaisen valon. Kolmas kertaluku on olemassa, koska $3\lambda = 1{,}60\,\mu\text{m} < d = 1{,}667\,\mu\text{m}$, mutta $\sin\theta_3 = 0{,}958$, $\theta_3 \approx 73^\circ$ ja maksimi on $x_3 = 0{,}800\,\text{m} \cdot \tan 73{,}3^\circ \approx 2{,}7\,\text{m}$:n päässä keskimaksimista. Se on todennäköisesti seinän reunan ulkopuolella tai niin himmeä, ettei sitä huomattu. Hila ei siis ole viallinen.

c)

Kysytty

miten mittausta parannetaan

Periaate

Suhteellinen epävarmuus pienenee, kun mitattava etäisyys on suuri verrattuna sen lukemisen epävarmuuteen. Systemaattiset virheet, kuten vino asettelu, poistetaan mittaustavalla, ja tulos ilmoitetaan epävarmuuksineen (luvut Mittaaminen ja mittauksen luotettavuus ja Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi).

Mallivastaus

Mitataan keskimaksimin molemmin puolin olevien maksimien $+k$ ja $-k$ välinen etäisyys ja puolitetaan se. Kahden valopisteen välin mittaaminen on tarkempaa kuin keskimaksimin keskikohdan arvioiminen, ja jos etäisyydet eri puolille ovat yhtä suuret, säde osuu hilaan kohtisuoraan. Käytetään toista kertalukua, jonka $x$ on suuri, tai kasvatetaan etäisyyttä $L$, jotta lukemisen epävarmuus noin $0{,}3\,\text{cm}$ on pieni osa mitatusta etäisyydestä. Arvioidaan $\Delta x$ ja $\Delta L$, lasketaan aallonpituus niiden ääriarvoilla ja ilmoitetaan tulos muodossa $\lambda \pm \Delta\lambda$, esimerkiksi $(532 \pm 3)\,\text{nm}$, jotta sitä voi verrata valmistajan arvoon. Mittaus toistetaan, mieluiten eri henkilöiden lukemina, ja laskussa käytetään tangenttia eikä pienen kulman oletusta. Turvallisuus: lasersäteeseen ei katsota, eikä sitä suunnata kenenkään silmiin, eikä heijastavia esineitä jätetä säteen tielle.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa käytetään $\sin\theta = \tfrac{x}{L}$ tai $\sin\theta = \tfrac{x}{\sqrt{x^2 + L^2}}$ unohtaen jakaa kertaluvulla.
  • a-kohdassa hilavakioksi otetaan $600\,\text{mm}$ tai $\tfrac{1}{600}\,\text{m}$.
  • b-kohdassa hyväksytään johtopäätös, koska laskettu luku ”näyttää punaiselta”, tai epävarmuutta ei verrata eroon.
  • c-kohdassa ehdotetaan vain toistoja; ne eivät poista laskutavan systemaattista virhettä.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)5 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $d = \dfrac{1\,\text{mm}}{600}$, $\tan\theta_k = \dfrac{x_k}{L}$ ja $\lambda = \dfrac{d\sin\theta_k}{k}$ 1 p
Perustelee, että kulma lasketaan ensin tangentista, koska $\sin\theta \approx \tan\theta$ vain pienillä kulmilla, ja tässä $\theta_2 \approx 40^\circ$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $d = 1{,}667\,\mu\text{m}$; $\theta_1 = 18{,}65^\circ$ ja $\lambda = 533\,\text{nm}$; $\theta_2 = 39{,}69^\circ$ ja $\lambda = \dfrac{1{,}667\,\mu\text{m} \cdot 0{,}6386}{2} = 532\,\text{nm}$ 2 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\lambda \approx 533\,\text{nm}$ ja $532\,\text{nm}$ kolmella merkitsevällä numerolla kuten etäisyydet 1 p

b)5 p

Osoittaa, että virhe on laskutavassa: pienen kulman oletus antaa $1$. kertaluvusta $562\,\text{nm}$ (noin $6\,\%$ liikaa) ja $2$. kertaluvusta $692\,\text{nm}$ (noin $30\,\%$ liikaa), koska ero kasvaa kulman kasvaessa. 2 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Kun $\Delta x \approx 0{,}3\,\text{cm}$ ja $\Delta L \approx 0{,}3\,\text{cm}$, $2$. kertaluvusta saadaan noin $530$–$535\,\text{nm}$, joten tulos on sopusoinnussa arvon $532\,\text{nm}$ kanssa. 1 p
Laskee, että $3$. kertaluku on olemassa, koska $3\lambda < d$: $\sin\theta_3 = 0{,}958$, $\theta_3 \approx 73^\circ$ ja $x_3 = L\tan\theta_3 \approx 2{,}7\,\text{m}$, joten maksimi on kaukana ja himmeä, ehkä seinän ulkopuolella. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kumpikaan johtopäätös ei ole perusteltu: laser on $532\,\text{nm}$:n vihreä laser, kuten sen värikin kertoo, eikä hila ole viallinen. 1 p

c)5 p

Mitataan symmetristen maksimien $+k$ ja $-k$ välinen etäisyys ja puolitetaan se: kahden pisteen välin mittaaminen on tarkempaa kuin keskimaksimin keskikohdan arvioiminen, ja symmetria kertoo, onko säde kohtisuorassa. 2 p
Käytetään kauempaa kertalukua tai suurempaa etäisyyttä $L$, jotta $x$ on suuri ja sen suhteellinen epävarmuus pieni. 1 p
Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Arvioidaan $\Delta x$ ja $\Delta L$, lasketaan aallonpituus niiden ääriarvoilla ja ilmoitetaan tulos muodossa $\lambda \pm \Delta\lambda$, jotta sitä voi verrata valmistajan arvoon. 1 p
Toistetaan mittaus, mieluiten eri henkilöiden lukemina, ja huolehditaan turvallisuudesta: säteeseen ei katsota, eikä sitä suunnata kenenkään silmiin. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (12 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

5.3-6 Sairaalan syklotroni 15 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Syklotroni ja luvut ovat keksitty esimerkki. Merkkiaineita valmistavien syklotronien kentät ja protonien energiat ovat tätä suuruusluokkaa.

Sairaalan syklotronissa kiihdytetään protoneja, joilla valmistetaan lyhytikäisiä radioaktiivisia merkkiaineita kuvantamista varten. Syklotronissa on kaksi D-kirjaimen muotoista onttoa elektrodia homogeenisessa magneettikentässä, joka on kohtisuorassa protonien rataa vastaan. Elektrodien sisällä protoni kiertää puoliympyrän kerrallaan, ja niiden välisessä kapeassa raossa vaihtojännite kiihdyttää sitä aina, kun se ylittää raon.

  • magneettivuon tiheys $1{,}20\,\text{T}$
  • protonin massa $1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$
  • protonin liike-energia syklotronista tullessa $8{,}0\,\text{MeV}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
  • raon jännitteen huippuarvo $50\,\text{kV}$; protoni ylittää raon aina, kun jännite on huippuarvossaan
  • protonin vauhti jää alle viidesosaan valon nopeudesta, joten klassinen mekaniikka riittää
  1. a) Osoita, että protonin kierrosaika ei riipu sen vauhdista. Millä taajuudella raon jännitteen on vaihdeltava? 4 p
  2. b) Kuinka suuri on protonin vauhti, kun se tulee ulos syklotronista? Kuinka suuri on silloin radan säde? 4 p
  3. c) Kuinka monta kierrosta protoni tekee syklotronissa? Kuinka kauan kiihdytys kestää? 4 p
  4. d) Kuinka suuri on protonin kiihtyvyys juuri ennen kuin se tulee ulos syklotronista? Mihin suuntaan se osoittaa? 3 p

Taidot luvuista: Varatun hiukkasen liike sähkö- ja magneettikentässä, Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus, Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö, Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä

Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

magneettivuon tiheys $B = 1{,}20\,\text{T}$, protonin massa $m = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}$ ja varaus $q = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$; nopeus kohtisuorassa kenttää vastaan

Kysytty

osoitus, että kierrosaika ei riipu vauhdista, ja jännitteen taajuus $f$

Periaate

Magneettinen voima $qvB$ on kohtisuorassa nopeutta vastaan, joten protoni on elektrodin sisällä tasaisessa ympyräliikkeessä, ja voima on sen keskeisvoima (luvut Varatun hiukkasen liike sähkö- ja magneettikentässä ja Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö). Kierroksella protoni kulkee ympyrän kehän $2\pi r$ (luku Ympyrärata: jaksonaika ja ratanopeus). Jännitteen suunnan on vaihduttava joka puolikierroksella, kun protoni ylittää raon, joten jännitteen taajuus on sama kuin kierrostaajuus.

Kaava

$qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, joten $r = \dfrac{mv}{qB}$, ja

$T$$= \dfrac{2\pi r}{v}$
$= \dfrac{2\pi m}{qB}$

vauhti supistuu, ja $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{qB}{2\pi m}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä; lopuksi $1\,\text{MHz} = 10^6\,\text{Hz}$.

Sijoitus

$T$$= \dfrac{2\pi \cdot 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1{,}20\,\text{T}}$
$= 5{,}468 \cdot 10^{-8}\,\text{s}$

joten

$f$$= \dfrac{1}{5{,}468 \cdot 10^{-8}\,\text{s}}$
$= 1{,}829 \cdot 10^{7}\,\text{Hz}$
$= 18{,}29\,\text{MHz}$

Vastaus

Kierrosaika $T = \tfrac{2\pi m}{qB}$ ei riipu vauhdista eikä säteestä: nopeampi protoni kulkee suuremman ympyrän samassa ajassa. Jännitteen on vaihdeltava taajuudella $f \approx 18{,}3\,\text{MHz}$, kolme merkitsevää numeroa kuten magneettivuon tiheys $1{,}20\,\text{T}$.

Järkevyys

Yksiköt:

$\tfrac{\text{kg}}{\text{C} \cdot \text{T}}$$= \tfrac{\text{kg}}{\text{C} \cdot \tfrac{\text{N}}{\text{A} \cdot \text{m}}}$
$= \tfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{N} \cdot \text{s}}$
$= \text{s}$

Taajuus on radiotaajuusaluetta, kuten syklotronien kiihdytysjännitteillä.

b)

Annettu

liike-energia $E_\text{k} = 8{,}0\,\text{MeV}$, $1\,\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$, $m$, $q$ ja $B$ kuten a-kohdassa

Kysytty

protonin vauhti $v$ ja radan säde $r$ ulos tullessa

Periaate

Klassisessa mekaniikassa liike-energia on $\tfrac12 mv^2$. Radan säde saadaan keskeisvoiman yhtälöstä kuten a-kohdassa (luku Varatun hiukkasen liike sähkö- ja magneettikentässä). Ehto on täytetty, jos vauhti jää selvästi valon nopeutta pienemmäksi.

Kaava

$v = \sqrt{\dfrac{2E_\text{k}}{m}}$ ja $r = \dfrac{mv}{qB}$

Muunnokset

$8{,}0\,\text{MeV}$$= 8{,}0 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J}$
$= 1{,}282 \cdot 10^{-12}\,\text{J}$

Sijoitus

$v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1{,}282 \cdot 10^{-12}\,\text{J}}{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}}$
$= 3{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{m/s}$
$r$$= \dfrac{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 3{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{m/s}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1{,}20\,\text{T}}$
$= 0{,}3406\,\text{m}$

Vastaus

Protonin vauhti on $v \approx 3{,}9 \cdot 10^7\,\text{m/s}$ ja radan säde $r \approx 0{,}34\,\text{m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten energia $8{,}0\,\text{MeV}$.

Järkevyys

$\tfrac{v}{c}$$= \tfrac{3{,}914 \cdot 10^7\,\text{m/s}}{3{,}00 \cdot 10^8\,\text{m/s}}$
$\approx 0{,}13$

alle viidesosa, joten klassinen malli on tehtävän ehdon mukaan riittävä. Elektrodien halkaisija noin $70\,\text{cm}$ sopii sairaalan laitteeseen.

c)

Annettu

raon jännite $U = 50\,\text{kV}$ ylityksellä, kaksi ylitystä kierroksessa, $E_\text{k} = 8{,}0\,\text{MeV}$, $T = 5{,}468 \cdot 10^{-8}\,\text{s}$ (a-kohta)

Kysytty

kierrosten lukumäärä $n$ ja kiihdytyksen kesto $t$

Periaate

Magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan, joten se ei tee työtä eikä muuta vauhtia. Vain raon sähkökenttä tekee työtä: jokaisella ylityksellä protonin liike-energia kasvaa määrän $qU$ (luku Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä). Protoni ylittää raon kahdesti kierroksessa, ja kierrosaika pysyy samana koko kiihdytyksen ajan (a-kohta).

Kaava

$n = \dfrac{E_\text{k}}{2qU}$ ja $t = nT$

Muunnokset

Protonin varaus on alkeisvaraus, joten

$qU$$= 50\,\text{keV}$
$= 0{,}050\,\text{MeV}$

lopuksi $1\,\text{s} = 10^6\,\mu\text{s}$.

Sijoitus

$n$$= \dfrac{8{,}0\,\text{MeV}}{2 \cdot 0{,}050\,\text{MeV}}$
$= 80$
$t$$= 80 \cdot 5{,}468 \cdot 10^{-8}\,\text{s}$
$= 4{,}37 \cdot 10^{-6}\,\text{s}$
$= 4{,}37\,\mu\text{s}$

Vastaus

Protoni tekee noin $80$ kierrosta, ja kiihdytys kestää noin $4{,}4\,\mu\text{s}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten energia $8{,}0\,\text{MeV}$.

Järkevyys

Ilman magneettikenttää sama energia vaatisi $8{,}0\,\text{MV}$:n jännitteen; syklotroni saavuttaa sen $50\,\text{kV}$:n jännitteellä, koska sama rako käytetään $160$ kertaa. Kulkumatka on alle $80 \cdot 2\pi \cdot 0{,}34\,\text{m} \approx 170\,\text{m}$, joten lyhyt aika on uskottava.

d)

Annettu

$v = 3{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{m/s}$ ja $r = 0{,}3406\,\text{m}$ (b-kohta)

Kysytty

kiihtyvyys $a$ ja sen suunta ulos tultaessa

Periaate

Elektrodin sisällä protoni on tasaisessa ympyräliikkeessä, joten sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyys, joka osoittaa radan keskipisteeseen (luku Normaalikiihtyvyys ja ympyräliikkeen liikeyhtälö). Saman antaa Newtonin toinen laki magneettiselle voimalle.

Kaava

$a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$, ja tarkistukseksi $a = \dfrac{qvB}{m}$

Muunnokset

Suureet ovat perusyksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

Sijoitus

$a_\text{n}$$= \dfrac{(3{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{m/s})^2}{0{,}3406\,\text{m}}$
$= 4{,}498 \cdot 10^{15}\,\text{m/s}^2$

Vastaus

Kiihtyvyys on $a \approx 4{,}5 \cdot 10^{15}\,\text{m/s}^2$ ja osoittaa radan keskipisteeseen, kaksi merkitsevää numeroa kuten b-kohdan tulokset.

Järkevyys

$\tfrac{qvB}{m}$$= \tfrac{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 3{,}914 \cdot 10^{7}\,\text{m/s} \cdot 1{,}20\,\text{T}}{1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}$
$\approx 4{,}5 \cdot 10^{15}\,\text{m/s}^2$

sama tulos. Kiihtyvyys on valtava, koska protonin massa on hyvin pieni ja voima noin $7{,}5 \cdot 10^{-12}\,\text{N}$.

Yleisiä virheitä

  • a-kohdassa kierrosaika lasketaan erikseen jollekin vauhdille, eikä todeta, että vauhti supistuu.
  • b-kohdassa megaelektronivoltteja ei muunneta jouleiksi tai käytetään elektronin massaa.
  • c-kohdassa unohdetaan, että rako ylitetään kahdesti kierroksessa, jolloin kierroksia tulee $160$.
  • d-kohdassa kiihtyvyyden sanotaan osoittavan nopeuden suuntaan tai kiihdyttävän protonia magneettikentässä.

Hyväksytään myös

  • a-kohdassa taajuuden laskeminen suoraan lausekkeesta $f = \tfrac{qB}{2\pi m}$.
  • c-kohdassa vastaus $n = 80$ ilman desimaaleja, koska kierrosten määrä on kokonaisluku.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee, että magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan ja toimii keskeisvoimana, $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, ja että kierroksella kuljettu matka on $2\pi r$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $r = \dfrac{mv}{qB}$ ja $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB}$, josta $v$ supistuu; jännitteen taajuus on $f = \dfrac{1}{T}$, koska suunta vaihtuu joka puolikierroksella 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $T = \dfrac{2\pi \cdot 1{,}673 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1{,}20\,\text{T}} \approx 5{,}47 \cdot 10^{-8}\,\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $f \approx 18{,}3\,\text{MHz}$ kolmella merkitsevällä numerolla kuten $1{,}20\,\text{T}$ 1 p

b)4 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $E_\text{k} = \tfrac12 mv^2$, joten $v = \sqrt{\dfrac{2E_\text{k}}{m}}$, ja $r = \dfrac{mv}{qB}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E_\text{k} = 8{,}0 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{J} = 1{,}28 \cdot 10^{-12}\,\text{J}$, $v \approx 3{,}9 \cdot 10^7\,\text{m/s}$ ja $r \approx 0{,}34\,\text{m}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 3{,}9 \cdot 10^7\,\text{m/s}$ ja $r \approx 0{,}34\,\text{m}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten $8{,}0\,\text{MeV}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. $v \approx 0{,}13c$, joten klassinen malli on riittävä; noin $70\,\text{cm}$:n halkaisija sopii sairaalan laitteeseen. 1 p

c)4 p

Perustelee, että vain raon sähkökenttä tekee työtä, $qU$ jokaisella ylityksellä ja kahdesti kierroksessa, koska magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta vastaan eikä muuta vauhtia. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $n = \dfrac{E_\text{k}}{2qU}$ ja $t = nT$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $2qU = 2 \cdot 50\,\text{keV} = 100\,\text{keV}$, joten $n = \dfrac{8{,}0\,\text{MeV}}{0{,}100\,\text{MeV}} = 80$ ja $t = 80 \cdot 5{,}47 \cdot 10^{-8}\,\text{s} \approx 4{,}4\,\mu\text{s}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $n \approx 80$ kierrosta ja $t \approx 4{,}4\,\mu\text{s}$ 1 p

d)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $a_\text{n} = \dfrac{v^2}{r}$ tai $a = \dfrac{qvB}{m}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $a_\text{n} = \dfrac{(3{,}914 \cdot 10^7\,\text{m/s})^2}{0{,}3406\,\text{m}} \approx 4{,}5 \cdot 10^{15}\,\text{m/s}^2$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $a \approx 4{,}5 \cdot 10^{15}\,\text{m/s}^2$ kohti radan keskipistettä 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 15 (15 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.