Voima virtajohtimeen: sähkömoottori ja kaiutin

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-1Ydintehtävä

   Laboratoriossa suora johdin on kohtisuorassa homogeenista magneettikenttää vastaan. Kentässä on $0{,}40\,\text{m}$ johdinta, johtimen virta on $12\,\text{A}$ ja magneettivuon tiheys on $0{,}050\,\text{T}$. Kuinka suuri voima johtimeen kohdistuu?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}24\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimen pituus kentässä $l = 0{,}40\,\text{m}$, virta $I = 12\,\text{A}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}050\,\text{T}$, johdin kohtisuorassa kenttää vastaan eli $\alpha = 90^\circ$

   Kysytty

   johtimeen kohdistuva voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Magneettikenttä kohdistaa virtajohtimeen voiman, koska johtimessa liikkuviin varauksiin vaikuttaa magneettinen voima. Kenttä on homogeeninen ja johdin suora, joten kaavaa $F = I l B \sin\alpha$ voidaan käyttää koko johdinosalle.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$, ja kun $\alpha = 90^\circ$, $F = I l B$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{A} \cdot \text{m} \cdot \text{T} = \text{N}$.

   Sijoitus

   $F$$= 12\,\text{A} \cdot 0{,}40\,\text{m} \cdot 0{,}050\,\text{T}$

   $= 0{,}24\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}24\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Voima on noin $25\,\text{g}$:n kappaleen painon suuruinen, mikä sopii laboratoriomagneettiin: johdin heilahtaa selvästi, mutta voima on pieni. Kaksinkertainen virta antaisi kaksinkertaisen voiman.

2. Tehtävä 4-2Ydintehtävä

   Sähkömagneetin napojen välissä on $15\,\text{cm}$:n pituinen suora johdinosa, joka on $40^\circ$:n kulmassa magneettikenttään nähden. Johtimen virta on $8{,}0\,\text{A}$ ja magneettivuon tiheys $0{,}25\,\text{T}$. Kuinka suuri voima johdinosaan kohdistuu?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}19\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 15\,\text{cm}$, $I = 8{,}0\,\text{A}$, $B = 0{,}25\,\text{T}$, johtimen ja kentän välinen kulma $\alpha = 40^\circ$

   Kysytty

   johdinosaan kohdistuva voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Johdin on vinossa kenttään nähden, joten voimaa synnyttää vain kentän johtimeen kohtisuora komponentti $B \sin\alpha$. Kenttä on homogeeninen, joten voima on $F = I l B \sin\alpha$.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$

   Muunnokset

   $l$$= 15\,\text{cm}$

   $= 15 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}15\,\text{m}$

   Sijoitus

   $F$$= 8{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}15\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{T} \cdot \sin 40^\circ$

   $= 0{,}30\,\text{N} \cdot 0{,}6428$

   $= 0{,}1928\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}19\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Kohtisuorassa johtimessa voima olisi $0{,}30\,\text{N}$. Vinossa johtimessa sen on oltava pienempi, ja $\sin 40^\circ \approx 0{,}64$ pienentää sitä noin kahteen kolmasosaan. Kosinilla tulos olisi virheellisesti $0{,}23\,\text{N}$.

3. Tehtävä 4-3

   Virtavaa'an vaakasuora johdinosa on $6{,}0\,\text{cm}$ pitkä ja kohtisuorassa magneetin kenttää vastaan. Kun johtimessa kulkee $4{,}5\,\text{A}$:n virta, johdinosaan kohdistuu $27\,\text{mN}$:n voima. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys magneetin napojen välissä?

   TTarkista
   Vastaus

   $0{,}10\,\text{T}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 6{,}0\,\text{cm}$, $I = 4{,}5\,\text{A}$, $F = 27\,\text{mN}$, johdin kohtisuorassa kenttää vastaan eli $\alpha = 90^\circ$

   Kysytty

   magneettivuon tiheys $B$ tesloina

   Periaate

   Voima, jonka kenttä kohdistaa suoraan virtajohtimeen, on $F = I l B \sin\alpha$. Kun voima, virta ja pituus tunnetaan, kaavasta voidaan ratkaista kentän suuruus. Virtavaaka on siis tapa mitata magneettikenttää.

   Kaava

   $F = I l B$, josta $B = \dfrac{F}{I l}$

   Muunnokset

   $l$$= 6{,}0\,\text{cm}$

   $= 6{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}060\,\text{m}$

   $F$$= 27\,\text{mN}$

   $= 27 \cdot 0{,}001\,\text{N}$

   $= 0{,}027\,\text{N}$

   Sijoitus

   $B$$= \dfrac{0{,}027\,\text{N}}{4{,}5\,\text{A} \cdot 0{,}060\,\text{m}}$

   $= \dfrac{0{,}027\,\text{N}}{0{,}27\,\text{A}\cdot\text{m}}$

   $= 0{,}10\,\text{T}$

   Vastaus

   $0{,}10\,\text{T}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Hevosenkenkämagneetin napojen välissä kenttä on tyypillisesti sadasosista kymmenesosiin teslaa, joten $0{,}10\,\text{T}$ on uskottava. Tarkistus:

   $4{,}5\,\text{A} \cdot 0{,}060\,\text{m} \cdot 0{,}10\,\text{T}$

   $= 0{,}027\,\text{N}$
4. Tehtävä 4-4

   Voimalinjan kahden pylvään välinen $100\,\text{m}$:n johdinosa on vaakasuora ja kulkee kompassin osoittamaan pohjois–eteläsuuntaan. Johtimessa kulkee $200\,\text{A}$:n virta.

   Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on Etelä-Suomessa noin $53\,\mu\text{T}$, ja kenttä osoittaa magneettiseen pohjoiseen ja alaspäin $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden (WMM2025-malli, NOAA/BGS). Johtimen ja kentän välinen kulma on siis $74^\circ$.

   Kuinka suuri voima Maan magneettikenttä kohdistaa johdinosaan?

   NTarkista
   Vastaus

   $1{,}0\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 100\,\text{m}$, $I = 200\,\text{A}$, Maan kenttä $B = 53\,\mu\text{T}$, johtimen ja kentän välinen kulma $\alpha = 74^\circ$

   Kysytty

   Maan magneettikentän johdinosaan kohdistama voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Maan magneettikenttä on johtimen pituisella alueella käytännössä homogeeninen, joten voima on $F = I l B \sin\alpha$. Johdin kulkee kompassin osoittamassa pohjois–eteläsuunnassa, ja kenttä on $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden magneettisen pohjoisen suunnassa, joten kulma johtimen ja kentän välillä on $74^\circ$.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$

   Muunnokset

   $B$$= 53\,\mu\text{T}$

   $= 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

   Sijoitus

   $F$$= 200\,\text{A} \cdot 100\,\text{m} \cdot 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \sin 74^\circ$

   $= 1{,}06\,\text{N} \cdot 0{,}9613$

   $= 1{,}0189\,\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}0\,\text{N}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten magneettivuon tiheydessä $53\,\mu\text{T}$.

   Järkevyys

   Voima on noin $100\,\text{g}$:n kappaleen painon suuruinen koko $100\,\text{m}$:n matkalla eli mitätön verrattuna johtimen painoon: $200\,\text{A}$:n voimajohdin painaa noin $1\,\text{kg}$ metriä kohti, joten $100\,\text{m}$:n johdinosan paino on noin $1000\,\text{N}$. Maan kenttä on heikko, joten tulos on odotettu.

5. Tehtävä 4-5

   Virtavaa'an johdinosasta $5{,}0\,\text{cm}$ on magneetin napojen välissä, missä magneettivuon tiheys on $0{,}20\,\text{T}$ ja kenttä on kohtisuorassa johdinta vastaan. Kuinka suuri virta johtimessa kulkee, kun johdinosaan kohdistuu $0{,}030\,\text{N}$:n voima?

   ATarkista
   Vastaus

   $3{,}0\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 5{,}0\,\text{cm}$, $B = 0{,}20\,\text{T}$, $F = 0{,}030\,\text{N}$, johdin kohtisuorassa kenttää vastaan eli $\alpha = 90^\circ$

   Kysytty

   johtimen virta $I$ ampeereina

   Periaate

   Kenttä kohdistaa virtajohtimeen voiman $F = I l B \sin\alpha$, joka on suoraan verrannollinen virtaan. Kun voima, pituus ja kenttä tunnetaan, virta voidaan ratkaista.

   Kaava

   $F = I l B$, josta $I = \dfrac{F}{l B}$

   Muunnokset

   $l$$= 5{,}0\,\text{cm}$

   $= 5{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{0{,}030\,\text{N}}{0{,}050\,\text{m} \cdot 0{,}20\,\text{T}}$

   $= \dfrac{0{,}030\,\text{N}}{0{,}010\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 3{,}0\,\text{A}$

   Vastaus

   $3{,}0\,\text{A}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Muutaman ampeerin virta on tavallinen laboratorion virtalähteelle. Yksiköt:

   $\tfrac{\text{N}}{\text{T}\cdot\text{m}}$$= \tfrac{\text{N}}{\frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}\cdot\text{m}}$

   $= \text{A}$

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-6Ydintehtävä

   Laboratoriossa kaksi rinnakkaista johdinta kulkee $0{,}80\,\text{m}$:n matkan $5{,}0\,\text{mm}$:n etäisyydellä toisistaan. Kummassakin johtimessa kulkee $10\,\text{A}$:n virta samaan suuntaan.

   Kuinka suuri voima johtimeen kohdistuu toisen johtimen magneettikentässä? Anna vastaus millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimien virrat $I_1 = I_2 = 10\,\text{A}$ samaan suuntaan, etäisyys $r = 5{,}0\,\text{mm}$, rinnakkaisen osan pituus $l = 0{,}80\,\text{m}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

   Kysytty

   johtimien välinen voima $F$ millinewtoneina

   Periaate

   Johtimen $1$ magneettikenttä kiertää sitä ympyröinä, joten johtimen $2$ kohdalla se on kohtisuorassa johdinta $2$ vastaan. Kenttä on johtimen $2$ kohdalla koko matkalla sama, koska etäisyys pysyy samana. Siksi johtimeen $2$ kohdistuu voima $F = I_2 l B_1$. Samansuuntaiset virrat vetävät toisiaan puoleensa.

   Kaava

   $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ ja $F = I_2 l B_1$

   Muunnokset

   $r$$= 5{,}0\,\text{mm}$

   $= 5{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{m}$

   $= 0{,}0050\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{mN} = 0{,}001\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $B_1$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 10\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}0050\,\text{m}}$

   $= 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$

   $F$$= 10\,\text{A} \cdot 0{,}80\,\text{m} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$

   $= 0{,}0032\,\text{N}$

   $= 3{,}2\,\text{mN}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{mN}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä ja pituudessa. Johtimet vetävät toisiaan puoleensa.

   Järkevyys

   Kenttä johtimen $2$ kohdalla on $B_1 = 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$, alle kymmenesosa jääkaappimagneetin kentästä, joten voima on pieni, noin $0{,}3\,\text{g}$:n kappaleen paino. Voima kasvaa, jos johtimet viedään lähemmäs toisiaan.

2. Tehtävä 4-7Ydintehtävä

   Opiskelijat mittasivat virtavaa'alla, kuinka paljon vaa'an lukema muuttuu, kun johtimessa kulkee virta. Magneetin napojen välissä on $4{,}0\,\text{cm}$ johdinta kohtisuorassa kenttää vastaan. Kuvaajassa on lukeman muutos $\Delta m$ virran $I$ funktiona ja mittauspisteisiin sovitettu suora. Määritä magneettivuon tiheys napojen välissä. Lue tarvittavat arvot kuvaajan suoralta.

   TTarkista
   Vastaus

   $0{,}074\,\text{T}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimen pituus kentässä $l = 4{,}0\,\text{cm}$, johdin kohtisuorassa kenttää vastaan; kuvaajassa vaa'an lukeman muutos $\Delta m$ virran $I$ funktiona; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   magneettivuon tiheys $B$ tesloina

   Periaate

   Kenttä kohdistaa johtimeen voiman $F = I l B$, ja Newtonin kolmannen lain mukaan johdin kohdistaa magneettiin yhtä suuren vastakkaissuuntaisen voiman. Siksi vaa'an lukema muuttuu: muutosta $\Delta m$ vastaa voima $F = \Delta m \cdot g$. Suora kulkee origon kautta, koska ilman virtaa voimaa ei ole.

   Kuvaajan lukeminen

   Mittauspisteet poikkeavat hieman suorasta mittausepätarkkuuden vuoksi, joten käytetään pisteisiin sovitettua suoraa, joka tasoittaa poikkeamat. Suora kulkee origon ja ruudukon pisteen ($5{,}0\,\text{A}$; $1{,}50\,\text{g}$) kautta. Luetaan siis virta $I = 5{,}0\,\text{A}$ ja sitä vastaava muutos $\Delta m = 1{,}50\,\text{g}$ suoralta, ei yksittäisestä mittauspisteestä: viimeinen mittauspiste $1{,}47\,\text{g}$ on hieman suoran alapuolella.

   Kaava

   $\Delta m \cdot g = I l B$, josta $B = \dfrac{\Delta m \cdot g}{I l}$

   Muunnokset

   $\Delta m$$= 1{,}50\,\text{g}$

   $= 1{,}50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}00150\,\text{kg}$

   $l$$= 4{,}0\,\text{cm}$

   $= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}040\,\text{m}$

   Sijoitus

   $B$$= \dfrac{0{,}00150\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{5{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}040\,\text{m}}$

   $= \dfrac{0{,}014715\,\text{N}}{0{,}20\,\text{A}\cdot\text{m}}$

   $= 0{,}0736\,\text{T}$

   Vastaus

   $0{,}074\,\text{T}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten pituudessa $4{,}0\,\text{cm}$.

   Järkevyys

   Arvo on hevosenkenkämagneetille tyypillinen, kymmenesosan teslaa luokkaa. Tarkistus toisella suoran pisteellä: $3{,}0\,\text{A}$:n kohdalla suora antaa $0{,}90\,\text{g}$, ja

   $0{,}00090\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 : (3{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}040\,\text{m})$

   $= 0{,}074\,\text{T}$
3. Tehtävä 4-8

   Homogeenisessa magneettikentässä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}40\,\text{T}$, on $0{,}50\,\text{m}$ suoraa johdinta. Kun johtimessa kulkee $5{,}0\,\text{A}$:n virta, siihen kohdistuu $0{,}50\,\text{N}$:n voima.

   Kuinka suuri on johtimen ja kentän välinen kulma? Anna kulma väliltä $0^\circ$–$90^\circ$.

   °Tarkista
   Vastaus

   $30^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $B = 0{,}40\,\text{T}$, $l = 0{,}50\,\text{m}$, $I = 5{,}0\,\text{A}$, $F = 0{,}50\,\text{N}$

   Kysytty

   johtimen ja kentän välinen kulma $\alpha$ asteina

   Periaate

   Voima riippuu johtimen ja kentän välisestä kulmasta: $F = I l B \sin\alpha$. Suurin mahdollinen voima $I l B$ saataisiin kohtisuoralla johtimella, joten mitatun ja suurimman voiman suhde kertoo kulman sinin.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$, josta $\sin\alpha = \dfrac{F}{I l B}$ ja $\alpha = \sin^{-1}\dfrac{F}{I l B}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä, ja sinin lauseke on yksikötön.

   Sijoitus

   $\sin\alpha$$= \dfrac{0{,}50\,\text{N}}{5{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}40\,\text{T}}$

   $= \dfrac{0{,}50\,\text{N}}{1{,}0\,\text{N}}$

   $= 0{,}50$

   joten $\alpha = \sin^{-1} 0{,}50 = 30^\circ$

   Vastaus

   $30^\circ$

   Kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten lähtöarvot.

   Järkevyys

   Kohtisuorassa johtimessa voima olisi $1{,}0\,\text{N}$. Mitattu voima on puolet siitä, ja puolet suurimmasta voimasta saadaan kulmalla $30^\circ$, koska $\sin 30^\circ = 0{,}5$.

4. Tehtävä 4-9

   Kaksi vaakasuoraa metallikiskoa on $8{,}0\,\text{cm}$:n etäisyydellä toisistaan, ja niiden päällä on poikittain $20\,\text{g}$:n metallitanko. Kiskojen alueella on pystysuora magneettikenttä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}30\,\text{T}$.

   Virta $15\,\text{A}$ kulkee toista kiskoa pitkin tankoon, tangon läpi ja toista kiskoa pitkin takaisin.

   Kuinka suuri on tangon kiihtyvyys, kun kitka jätetään huomiotta?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $18\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiskojen väli eli tangon osa virran tiellä $l = 8{,}0\,\text{cm}$, $B = 0{,}30\,\text{T}$ pystysuoraan, $I = 15\,\text{A}$, tangon massa $m = 20\,\text{g}$, ei kitkaa

   Kysytty

   tangon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Virta kulkee tangon läpi kiskolta toiselle, joten tangon $l = 8{,}0\,\text{cm}$:n osa on virtajohdin, joka on kohtisuorassa pystysuoraa kenttää vastaan. Voima $F = I l B$ on vaakasuora ja kiskojen suuntainen. Paino ja kiskojen tukivoima kumoavat toisensa, eikä kitkaa ole, joten Newtonin toisen lain mukaan $F = m a$.

   Kaava

   $I l B = m a$, josta $a = \dfrac{I l B}{m}$

   Muunnokset

   $l$$= 8{,}0\,\text{cm}$

   $= 8{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}080\,\text{m}$

   $m$$= 20\,\text{g}$

   $= 20 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}020\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{15\,\text{A} \cdot 0{,}080\,\text{m} \cdot 0{,}30\,\text{T}}{0{,}020\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{0{,}36\,\text{N}}{0{,}020\,\text{kg}}$

   $= 18\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $18\,\text{m/s}^2$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Kiihtyvyys on lähes kaksinkertainen putoamiskiihtyvyyteen verrattuna, mikä on uskottavaa kevyelle tangolle, johon kohdistuu noin $36\,\text{g}$:n kappaleen painon suuruinen voima. Todellisuudessa kitka pienentäisi kiihtyvyyttä.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 4-10

   Vaakasuora kuparitanko, jonka massa on $12\,\text{g}$ ja pituus $20\,\text{cm}$, riippuu kahden kevyen johtavan langan varassa. Tanko on kokonaan homogeenisessa vaakasuorassa magneettikentässä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}25\,\text{T}$, ja kohtisuorassa kenttää vastaan.

   Langoista johdetaan tankoon virta.

   Kuinka suuri virran on oltava, jotta langat jäävät löysiksi eli magneettinen voima kannattelee koko tangon painon?

   ATarkista
   Vastaus

   $2{,}4\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tangon massa $m = 12\,\text{g}$, pituus kentässä $l = 20\,\text{cm}$, $B = 0{,}25\,\text{T}$, tanko kohtisuorassa vaakasuoraa kenttää vastaan; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   virta $I$, jolla langat jäävät löysiksi

   Periaate

   Langat ovat löysiä, kun niiden jännitysvoima on nolla. Silloin tankoon vaikuttavat vain paino alaspäin ja magneettinen voima. Tanko on levossa, joten Newtonin ensimmäisen lain mukaan voimien on kumottava toisensa: magneettisen voiman on osoitettava ylöspäin ja oltava painon suuruinen. Kenttä on vaakasuora ja tanko kohtisuorassa sitä vastaan, joten voima $I l B$ on pystysuora; virran suunta valitaan niin, että voima osoittaa ylöspäin.

   Kaava

   $I l B = m g$, josta $I = \dfrac{m g}{l B}$

   Muunnokset

   $m$$= 12\,\text{g}$

   $= 12 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}012\,\text{kg}$

   $l$$= 20\,\text{cm}$

   $= 20 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}20\,\text{m}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{0{,}012\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}20\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{T}}$

   $= \dfrac{0{,}11772\,\text{N}}{0{,}050\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 2{,}354\,\text{A}$

   Vastaus

   $2{,}4\,\text{A}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Muutaman ampeerin virta riittää kannattelemaan kevyen tangon, mikä sopii laboratoriokokeeseen. Jos virran suunta käännettäisiin, voima osoittaisi alaspäin ja langat kiristyisivät: jännitys olisi silloin kaksinkertainen painoon verrattuna.

2. Tehtävä 4-11

   Sähköaseman kaksi rinnakkaista virtakiskoa ovat $0{,}30\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan. Oikosulussa niissä kulkee hetkellisesti $20\,\text{kA}$:n virta vastakkaisiin suuntiin.

   Kuinka suuri voima kohdistuu kiskon $1{,}0\,\text{m}$:n pituiseen osaan, ja vetävätkö kiskot toisiaan puoleensa vai hylkivätkö ne toisiaan?

   Ilmoita voima positiivisena, jos kiskot vetävät toisiaan puoleensa, ja negatiivisena, jos ne hylkivät toisiaan.

   NTarkista
   Vastaus

   $-270\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiskojen etäisyys $r = 0{,}30\,\text{m}$, virrat $I_1 = I_2 = 20\,\text{kA}$ vastakkaisiin suuntiin, tarkasteltava pituus $l = 1{,}0\,\text{m}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

   Kysytty

   kiskon $1{,}0\,\text{m}$:n osaan kohdistuva voima $F$ ja sen suunta; voima ilmoitetaan positiivisena, jos kiskot vetävät toisiaan, ja negatiivisena, jos ne hylkivät

   Periaate

   Kumpikin kisko on toisen magneettikentässä. Toisen kiskon kenttä on kiskon kohdalla kohtisuorassa sitä vastaan ja koko matkalla sama, joten voima on $F = I_2 l B_1$. Vastakkaissuuntaiset virrat hylkivät toisiaan, joten voima työntää kiskoja erilleen.

   Kaava

   $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ ja $F = I_2 l B_1$

   Muunnokset

   $I_1$$= I_2$

   $= 20\,\text{kA}$

   $= 20 \cdot 1000\,\text{A}$

   $= 20\,000\,\text{A}$

   Sijoitus

   $B_1$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 20\,000\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}30\,\text{m}}$

   $= 0{,}013\,333\,\text{T}$

   $F$$= 20\,000\,\text{A} \cdot 1{,}0\,\text{m} \cdot 0{,}013\,333\,\text{T}$

   $= 266{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   Voiman suuruus on $270\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten virrassa ja etäisyydessä. Kiskot hylkivät toisiaan, joten tehtävän merkkisäännön mukaan vastaus on $-270\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Kenttä toisen kiskon kohdalla on $B_1 = 0{,}013\,\text{T}$, ja virta on hyvin suuri, joten voima metriä kohti vastaa noin $27\,\text{kg}$:n kappaleen painoa. Siksi sähköasemien kiskot kiinnitetään tukevasti: oikosulku voisi muuten taivuttaa niitä.

3. Tehtävä 4-12

   Ohut alumiinilanka, jonka pituus on $1{,}0\,\text{m}$ ja massa $2{,}7\,\text{g}$, on vaakasuorassa kompassin mukaan itä–länsisuunnassa.

   Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on Etelä-Suomessa noin $53\,\mu\text{T}$, ja kenttä osoittaa magneettiseen pohjoiseen ja alaspäin $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden (WMM2025-malli, NOAA/BGS).

   Kuinka suuri virta langassa pitäisi kulkea, jotta Maan magneettikenttä kannattelisi langan painon? Anna vastaus kiloampeereina.

   kATarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{kA}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   langan pituus $l = 1{,}0\,\text{m}$, massa $m = 2{,}7\,\text{g}$, lanka vaakasuorassa kompassin mukaan itä–länsisuunnassa; Maan kenttä $B = 53\,\mu\text{T}$ magneettiseen pohjoiseen ja alaspäin $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   virta $I$ kiloampeereina

   Periaate

   Jaetaan kenttä vaaka- ja pystykomponenttiin. Lanka on kompassin mukaan itä–länsisuunnassa, joten se on kohtisuorassa magneettiseen pohjoiseen osoittavaa vaakakomponenttia vastaan ja myös pystykomponenttia vastaan. Pystykomponentti kohdistaa lankaan vaakasuoran voiman, joka ei kannattele lankaa. Vaakakomponentti $B_\text{vaaka} = B \cos 74^\circ$ osoittaa magneettiseen pohjoiseen, ja oikean käden säännön mukaan itään kulkevaan virtaan kohdistuu siitä pystysuora voima ylöspäin. Lanka pysyy paikallaan, kun tämä voima on painon suuruinen.

   Kaava

   $I l B \cos 74^\circ = m g$, josta $I = \dfrac{m g}{l B \cos 74^\circ}$

   Muunnokset

   $m$$= 2{,}7\,\text{g}$

   $= 2{,}7 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}0027\,\text{kg}$

   $B$$= 53\,\mu\text{T}$

   $= 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

   Lopuksi $1\,\text{kA} = 1000\,\text{A}$.

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{0{,}0027\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}0\,\text{m} \cdot 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \cos 74^\circ}$

   $= \dfrac{0{,}026487\,\text{N}}{1{,}4609 \cdot 10^{-5}\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 1813\,\text{A}$

   $= 1{,}813\,\text{kA}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{kA}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   Tarvittava virta on valtava: ohut lanka sulaisi siinä heti. Tulos osoittaa, kuinka heikko Maan magneettikenttä on, noin $0{,}05\,\text{mT}$, verrattuna laboratoriomagneetin kymmenesosaan teslaa. Kompassineula kääntyy silti, koska se on magneetti eikä virtajohdin.