Voima virtajohtimeen: sähkömoottori ja kaiutin

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-1Ydintehtävä

   Laboratoriossa suora johdin on kohtisuorassa homogeenista magneettikenttää vastaan. Kentässä on $0{,}40\,\text{m}$ johdinta. Johtimen virta on $12\,\text{A}$ ja magneettivuon tiheys on $0{,}050\,\text{T}$. Kuinka suuri voima johtimeen kohdistuu?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}24\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimen pituus kentässä $l = 0{,}40\,\text{m}$, virta $I = 12\,\text{A}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}050\,\text{T}$. Johdin on kohtisuorassa kenttää vastaan, eli $\alpha = 90^\circ$.

   Kysytty

   johtimeen kohdistuva voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Johtimessa liikkuviin varauksiin vaikuttaa magneettinen voima, joten kenttä kohdistaa voiman virtajohtimeen. Kenttä on homogeeninen eli joka kohdassa samanlainen, ja johdin on suora. Siksi kaavaa $F = I l B \sin\alpha$ voi käyttää koko johdinosalle.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$. Kun $\alpha = 90^\circ$, $F = I l B$.

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\text{A} \cdot \text{m} \cdot \text{T} = \text{N}$.

   Sijoitus

   $F$$= 12\,\text{A} \cdot 0{,}40\,\text{m} \cdot 0{,}050\,\text{T}$

   $= 0{,}24\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}24\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Voima on noin $25\,\text{g}$:n kappaleen painon suuruinen. Se sopii laboratoriomagneettiin: johdin heilahtaa selvästi, mutta voima on pieni. Kaksinkertainen virta antaisi kaksinkertaisen voiman.

2. Tehtävä 4-2Ydintehtävä

   Sähkömagneetin napojen välissä on $15\,\text{cm}$:n pituinen suora johdinosa. Se on $40^\circ$:n kulmassa magneettikenttään nähden. Johtimen virta on $8{,}0\,\text{A}$ ja magneettivuon tiheys $0{,}25\,\text{T}$. Kuinka suuri voima johdinosaan kohdistuu?

   NTarkista
   Vastaus

   $0{,}19\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 15\,\text{cm}$, $I = 8{,}0\,\text{A}$, $B = 0{,}25\,\text{T}$, johtimen ja kentän välinen kulma $\alpha = 40^\circ$

   Kysytty

   johdinosaan kohdistuva voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Johdin on vinossa kenttään nähden. Siksi voimaa synnyttää vain se kentän osa, joka on kohtisuorassa johdinta vastaan, eli $B \sin\alpha$. Kenttä on homogeeninen, joten voima on $F = I l B \sin\alpha$.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$

   Muunnokset

   $l$$= 15\,\text{cm}$

   $= 15 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}15\,\text{m}$

   Sijoitus

   $F$$= 8{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}15\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{T} \cdot \sin 40^\circ$

   $= 0{,}30\,\text{N} \cdot 0{,}6428$

   $= 0{,}1928\,\text{N}$

   Vastaus

   $0{,}19\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Kohtisuorassa johtimessa voima olisi $0{,}30\,\text{N}$. Vinossa johtimessa voiman täytyy olla pienempi. Koska $\sin 40^\circ \approx 0{,}64$, voima on noin kaksi kolmasosaa siitä. Jos käyttäisit virheellisesti kosinia, tulos olisi $0{,}23\,\text{N}$.

3. Tehtävä 4-3

   Virtavaa'an vaakasuora johdinosa on $6{,}0\,\text{cm}$ pitkä ja kohtisuorassa magneetin kenttää vastaan. Johtimessa kulkee $4{,}5\,\text{A}$:n virta, ja johdinosaan kohdistuu $27\,\text{mN}$:n voima. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys magneetin napojen välissä?

   TTarkista
   Vastaus

   $0{,}10\,\text{T}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 6{,}0\,\text{cm}$, $I = 4{,}5\,\text{A}$, $F = 27\,\text{mN}$. Johdin on kohtisuorassa kenttää vastaan, eli $\alpha = 90^\circ$.

   Kysytty

   magneettivuon tiheys $B$ tesloina

   Periaate

   Kenttä kohdistaa suoraan virtajohtimeen voiman $F = I l B \sin\alpha$. Kun voima, virta ja pituus tunnetaan, kentän suuruuden voi ratkaista kaavasta. Virtavaaka on siis tapa mitata magneettikenttää.

   Kaava

   $F = I l B$, josta $B = \dfrac{F}{I l}$

   Muunnokset

   $l$$= 6{,}0\,\text{cm}$

   $= 6{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}060\,\text{m}$

   $F$$= 27\,\text{mN}$

   $= 27 \cdot 0{,}001\,\text{N}$

   $= 0{,}027\,\text{N}$

   Sijoitus

   $B$$= \dfrac{0{,}027\,\text{N}}{4{,}5\,\text{A} \cdot 0{,}060\,\text{m}}$

   $= \dfrac{0{,}027\,\text{N}}{0{,}27\,\text{A}\cdot\text{m}}$

   $= 0{,}10\,\text{T}$

   Vastaus

   $0{,}10\,\text{T}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Hevosenkenkämagneetin napojen välissä kenttä on tavallisesti sadasosista kymmenesosiin teslaa. Siksi $0{,}10\,\text{T}$ on uskottava. Tarkistus:

   $4{,}5\,\text{A} \cdot 0{,}060\,\text{m} \cdot 0{,}10\,\text{T}$

   $= 0{,}027\,\text{N}$
4. Tehtävä 4-4

   Voimalinjan kahden pylvään välinen $100\,\text{m}$:n johdinosa on vaakasuora ja kulkee kompassin osoittamaan pohjois–eteläsuuntaan. Johtimessa kulkee $200\,\text{A}$:n virta.

   Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on Etelä-Suomessa noin $53\,\mu\text{T}$. Kenttä osoittaa magneettiseen pohjoiseen ja alaspäin $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden (WMM2025-malli, NOAA/BGS). Johtimen ja kentän välinen kulma on siis $74^\circ$.

   Kuinka suuri voima Maan magneettikenttä kohdistaa johdinosaan?

   NTarkista
   Vastaus

   $1{,}0\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 100\,\text{m}$, $I = 200\,\text{A}$, Maan kenttä $B = 53\,\mu\text{T}$, johtimen ja kentän välinen kulma $\alpha = 74^\circ$

   Kysytty

   Maan magneettikentän johdinosaan kohdistama voima $F$ newtoneina

   Periaate

   Maan magneettikenttä on johtimen pituisella alueella käytännössä homogeeninen. Siksi voima on $F = I l B \sin\alpha$. Johdin kulkee kompassin osoittamassa pohjois–eteläsuunnassa. Kenttä osoittaa magneettiseen pohjoiseen ja on $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Siksi johtimen ja kentän välinen kulma on $74^\circ$.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$

   Muunnokset

   $B$$= 53\,\mu\text{T}$

   $= 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

   Sijoitus

   $F$$= 200\,\text{A} \cdot 100\,\text{m} \cdot 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \sin 74^\circ$

   $= 1{,}06\,\text{N} \cdot 0{,}9613$

   $= 1{,}0189\,\text{N}$

   Vastaus

   $1{,}0\,\text{N}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska magneettivuon tiheydessä $53\,\mu\text{T}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Voima on noin $100\,\text{g}$:n kappaleen painon suuruinen koko $100\,\text{m}$:n matkalla. Se on mitätön johtimen painoon verrattuna: $200\,\text{A}$:n voimajohdin painaa noin $1\,\text{kg}$ metriä kohti, joten $100\,\text{m}$:n johdinosan paino on noin $1000\,\text{N}$. Maan kenttä on heikko, joten tulos on odotettu.

5. Tehtävä 4-5

   Virtavaa'an johdinosasta $5{,}0\,\text{cm}$ on magneetin napojen välissä. Siellä magneettivuon tiheys on $0{,}20\,\text{T}$, ja kenttä on kohtisuorassa johdinta vastaan. Kuinka suuri virta johtimessa kulkee, kun johdinosaan kohdistuu $0{,}030\,\text{N}$:n voima?

   ATarkista
   Vastaus

   $3{,}0\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $l = 5{,}0\,\text{cm}$, $B = 0{,}20\,\text{T}$, $F = 0{,}030\,\text{N}$. Johdin on kohtisuorassa kenttää vastaan, eli $\alpha = 90^\circ$.

   Kysytty

   johtimen virta $I$ ampeereina

   Periaate

   Kenttä kohdistaa virtajohtimeen voiman $F = I l B \sin\alpha$, ja voima on suoraan verrannollinen virtaan. Kun voima, pituus ja kenttä tunnetaan, virran voi ratkaista kaavasta.

   Kaava

   $F = I l B$, josta $I = \dfrac{F}{l B}$

   Muunnokset

   $l$$= 5{,}0\,\text{cm}$

   $= 5{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{0{,}030\,\text{N}}{0{,}050\,\text{m} \cdot 0{,}20\,\text{T}}$

   $= \dfrac{0{,}030\,\text{N}}{0{,}010\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 3{,}0\,\text{A}$

   Vastaus

   $3{,}0\,\text{A}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Muutaman ampeerin virta on tavallinen laboratorion virtalähteelle. Yksiköt:

   $\tfrac{\text{N}}{\text{T}\cdot\text{m}}$$= \tfrac{\text{N}}{\frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}\cdot\text{m}}$

   $= \text{A}$

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 4-6Ydintehtävä

   Laboratoriossa kaksi rinnakkaista johdinta kulkee $0{,}80\,\text{m}$:n matkan $5{,}0\,\text{mm}$:n etäisyydellä toisistaan. Kummassakin johtimessa kulkee $10\,\text{A}$:n virta samaan suuntaan.

   Kuinka suuri voima johtimeen kohdistuu toisen johtimen magneettikentässä? Anna vastaus millinewtoneina.

   mNTarkista
   Vastaus

   $3{,}2\,\text{mN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimien virrat $I_1 = I_2 = 10\,\text{A}$ samaan suuntaan, etäisyys $r = 5{,}0\,\text{mm}$, rinnakkaisen osan pituus $l = 0{,}80\,\text{m}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

   Kysytty

   johtimien välinen voima $F$ millinewtoneina

   Periaate

   Johtimen $1$ magneettikenttä kiertää johdinta ympyröinä. Siksi se on johtimen $2$ kohdalla kohtisuorassa johdinta $2$ vastaan. Kenttä on johtimen $2$ kohdalla koko matkalla yhtä suuri, koska etäisyys pysyy samana. Johtimeen $2$ kohdistuu siis voima $F = I_2 l B_1$. Samansuuntaiset virrat vetävät toisiaan puoleensa.

   Kaava

   $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ ja $F = I_2 l B_1$

   Muunnokset

   $r$$= 5{,}0\,\text{mm}$

   $= 5{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{m}$

   $= 0{,}0050\,\text{m}$

   Lopuksi $1\,\text{mN} = 0{,}001\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $B_1$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 10\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}0050\,\text{m}}$

   $= 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$

   $F$$= 10\,\text{A} \cdot 0{,}80\,\text{m} \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$

   $= 0{,}0032\,\text{N}$

   $= 3{,}2\,\text{mN}$

   Vastaus

   $3{,}2\,\text{mN}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä ja pituudessa on kaksi. Johtimet vetävät toisiaan puoleensa.

   Järkevyys

   Kenttä johtimen $2$ kohdalla on $B_1 = 4{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$. Se on alle kymmenesosa jääkaappimagneetin kentästä, joten voima on pieni: noin $0{,}3\,\text{g}$:n kappaleen paino. Voima kasvaa, jos johtimet viedään lähemmäs toisiaan.

2. Tehtävä 4-7Ydintehtävä

   Opiskelijat mittasivat virtavaa'alla, kuinka paljon vaa'an lukema muuttuu, kun johtimessa kulkee virta. Magneetin napojen välissä on $4{,}0\,\text{cm}$ johdinta kohtisuorassa kenttää vastaan. Kuvaajassa on lukeman muutos $\Delta m$ virran $I$ funktiona. Mittauspisteisiin on sovitettu suora. Määritä magneettivuon tiheys napojen välissä. Lue tarvittavat arvot kuvaajan suoralta.

   TTarkista
   Vastaus

   $0{,}074\,\text{T}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimen pituus kentässä $l = 4{,}0\,\text{cm}$, johdin kohtisuorassa kenttää vastaan. Kuvaajassa on vaa'an lukeman muutos $\Delta m$ virran $I$ funktiona. $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Kysytty

   magneettivuon tiheys $B$ tesloina

   Periaate

   Kenttä kohdistaa johtimeen voiman $F = I l B$. Newtonin kolmannen lain mukaan johdin kohdistaa magneettiin yhtä suuren voiman vastakkaiseen suuntaan. Siksi vaa'an lukema muuttuu. Muutosta $\Delta m$ vastaa voima $F = \Delta m \cdot g$. Suora kulkee origon kautta, koska ilman virtaa voimaa ei ole.

   Kuvaajan lukeminen

   Mittauspisteet poikkeavat hieman suorasta, koska mittauksessa on aina pieni epätarkkuus. Siksi käytetään pisteisiin sovitettua suoraa, joka tasoittaa poikkeamat. Suora kulkee origon ja ruudukon pisteen ($5{,}0\,\text{A}$; $1{,}50\,\text{g}$) kautta. Luetaan siis suoralta virta $I = 5{,}0\,\text{A}$ ja sitä vastaava muutos $\Delta m = 1{,}50\,\text{g}$. Arvoa ei lueta yksittäisestä mittauspisteestä: viimeinen mittauspiste $1{,}47\,\text{g}$ on hieman suoran alapuolella.

   Kaava

   $\Delta m \cdot g = I l B$, josta $B = \dfrac{\Delta m \cdot g}{I l}$

   Muunnokset

   $\Delta m$$= 1{,}50\,\text{g}$

   $= 1{,}50 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}00150\,\text{kg}$

   $l$$= 4{,}0\,\text{cm}$

   $= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}040\,\text{m}$

   Sijoitus

   $B$$= \dfrac{0{,}00150\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{5{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}040\,\text{m}}$

   $= \dfrac{0{,}014715\,\text{N}}{0{,}20\,\text{A}\cdot\text{m}}$

   $= 0{,}0736\,\text{T}$

   Vastaus

   $0{,}074\,\text{T}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska pituudessa $4{,}0\,\text{cm}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Arvo on tyypillinen hevosenkenkämagneetille: se on noin kymmenesosa teslaa. Tarkistus suoran toisella pisteellä: virran $3{,}0\,\text{A}$ kohdalla suora antaa $0{,}90\,\text{g}$, ja

   $0{,}00090\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 : (3{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}040\,\text{m})$

   $= 0{,}074\,\text{T}$
3. Tehtävä 4-8

   Homogeenisessa magneettikentässä on $0{,}50\,\text{m}$ suoraa johdinta. Kentän magneettivuon tiheys on $0{,}40\,\text{T}$. Kun johtimessa kulkee $5{,}0\,\text{A}$:n virta, siihen kohdistuu $0{,}50\,\text{N}$:n voima.

   Kuinka suuri on johtimen ja kentän välinen kulma? Anna kulma väliltä $0^\circ$–$90^\circ$.

   °Tarkista
   Vastaus

   $30^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $B = 0{,}40\,\text{T}$, $l = 0{,}50\,\text{m}$, $I = 5{,}0\,\text{A}$, $F = 0{,}50\,\text{N}$

   Kysytty

   johtimen ja kentän välinen kulma $\alpha$ asteina

   Periaate

   Voima riippuu johtimen ja kentän välisestä kulmasta: $F = I l B \sin\alpha$. Suurin mahdollinen voima $I l B$ saadaan, kun johdin on kohtisuorassa kenttää vastaan. Siksi mitatun voiman ja suurimman voiman suhde kertoo kulman sinin.

   Kaava

   $F = I l B \sin\alpha$, josta $\sin\alpha = \dfrac{F}{I l B}$ ja $\alpha = \sin^{-1}\dfrac{F}{I l B}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Suureet ovat SI-yksiköissä, ja sinin lauseke on yksikötön.

   Sijoitus

   $\sin\alpha$$= \dfrac{0{,}50\,\text{N}}{5{,}0\,\text{A} \cdot 0{,}50\,\text{m} \cdot 0{,}40\,\text{T}}$

   $= \dfrac{0{,}50\,\text{N}}{1{,}0\,\text{N}}$

   $= 0{,}50$

   joten $\alpha = \sin^{-1} 0{,}50 = 30^\circ$

   Vastaus

   $30^\circ$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Kohtisuorassa johtimessa voima olisi $1{,}0\,\text{N}$. Mitattu voima on puolet siitä. Puolet suurimmasta voimasta saadaan kulmalla $30^\circ$, koska $\sin 30^\circ = 0{,}5$.

4. Tehtävä 4-9

   Kaksi vaakasuoraa metallikiskoa on $8{,}0\,\text{cm}$:n etäisyydellä toisistaan. Niiden päällä on poikittain $20\,\text{g}$:n metallitanko. Kiskojen alueella on pystysuora magneettikenttä, jonka magneettivuon tiheys on $0{,}30\,\text{T}$.

   Virta $15\,\text{A}$ kulkee toista kiskoa pitkin tankoon, tangon läpi ja toista kiskoa pitkin takaisin.

   Kuinka suuri on tangon kiihtyvyys, kun kitka jätetään huomiotta?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $18\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiskojen väli eli tangon osa, jonka läpi virta kulkee, $l = 8{,}0\,\text{cm}$. Kenttä $B = 0{,}30\,\text{T}$ on pystysuora. Virta $I = 15\,\text{A}$, tangon massa $m = 20\,\text{g}$, ei kitkaa.

   Kysytty

   tangon kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$

   Periaate

   Virta kulkee tangon läpi kiskolta toiselle. Siksi tangon $l = 8{,}0\,\text{cm}$:n osa on virtajohdin, joka on kohtisuorassa pystysuoraa kenttää vastaan. Voima $F = I l B$ on vaakasuora ja kiskojen suuntainen. Paino ja kiskojen tukivoima kumoavat toisensa, eikä kitkaa ole. Newtonin toisen lain mukaan siis $F = m a$.

   Kaava

   $I l B = m a$, josta $a = \dfrac{I l B}{m}$

   Muunnokset

   $l$$= 8{,}0\,\text{cm}$

   $= 8{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}080\,\text{m}$

   $m$$= 20\,\text{g}$

   $= 20 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}020\,\text{kg}$

   Sijoitus

   $a$$= \dfrac{15\,\text{A} \cdot 0{,}080\,\text{m} \cdot 0{,}30\,\text{T}}{0{,}020\,\text{kg}}$

   $= \dfrac{0{,}36\,\text{N}}{0{,}020\,\text{kg}}$

   $= 18\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $18\,\text{m/s}^2$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Kiihtyvyys on lähes kaksinkertainen putoamiskiihtyvyyteen verrattuna. Se on uskottavaa kevyelle tangolle, johon kohdistuu noin $36\,\text{g}$:n kappaleen painon suuruinen voima. Todellisuudessa kitka pienentäisi kiihtyvyyttä.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 4-10

   Vaakasuora kuparitanko riippuu kahden kevyen johtavan langan varassa. Tangon massa on $12\,\text{g}$ ja pituus $20\,\text{cm}$. Tanko on kokonaan homogeenisessa vaakasuorassa magneettikentässä ja kohtisuorassa kenttää vastaan. Kentän magneettivuon tiheys on $0{,}25\,\text{T}$.

   Langoista johdetaan tankoon virta.

   Kuinka suuri virran on oltava, jotta langat jäävät löysiksi? Silloin magneettinen voima kannattelee koko tangon painon.

   ATarkista
   Vastaus

   $2{,}4\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tangon massa $m = 12\,\text{g}$, pituus kentässä $l = 20\,\text{cm}$, $B = 0{,}25\,\text{T}$. Tanko on kohtisuorassa vaakasuoraa kenttää vastaan. $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Kysytty

   virta $I$, jolla langat jäävät löysiksi

   Periaate

   Langat ovat löysiä, kun niiden jännitysvoima on nolla. Silloin tankoon vaikuttavat vain paino alaspäin ja magneettinen voima. Tanko on levossa. Newtonin ensimmäisen lain mukaan voimien täytyy siis kumota toisensa. Magneettisen voiman täytyy osoittaa ylöspäin ja olla painon suuruinen. Kenttä on vaakasuora ja tanko kohtisuorassa sitä vastaan, joten voima $I l B$ on pystysuora. Virran suunta valitaan niin, että voima osoittaa ylöspäin.

   Kaava

   $I l B = m g$, josta $I = \dfrac{m g}{l B}$

   Muunnokset

   $m$$= 12\,\text{g}$

   $= 12 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}012\,\text{kg}$

   $l$$= 20\,\text{cm}$

   $= 20 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}20\,\text{m}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{0{,}012\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{0{,}20\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{T}}$

   $= \dfrac{0{,}11772\,\text{N}}{0{,}050\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 2{,}354\,\text{A}$

   Vastaus

   $2{,}4\,\text{A}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Muutaman ampeerin virta riittää kannattelemaan kevyen tangon. Se sopii laboratoriokokeeseen. Jos virran suunta käännettäisiin, voima osoittaisi alaspäin ja langat kiristyisivät. Silloin langan jännitys olisi kaksinkertainen painoon verrattuna.

2. Tehtävä 4-11

   Sähköaseman kaksi rinnakkaista virtakiskoa ovat $0{,}30\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan. Oikosulussa niissä kulkee hetkellisesti $20\,\text{kA}$:n virta vastakkaisiin suuntiin.

   Kuinka suuri voima kohdistuu kiskon $1{,}0\,\text{m}$:n pituiseen osaan? Vetävätkö kiskot toisiaan puoleensa vai hylkivätkö ne toisiaan?

   Ilmoita voima positiivisena, jos kiskot vetävät toisiaan puoleensa, ja negatiivisena, jos ne hylkivät toisiaan.

   NTarkista
   Vastaus

   $-270\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiskojen etäisyys $r = 0{,}30\,\text{m}$, virrat $I_1 = I_2 = 20\,\text{kA}$ vastakkaisiin suuntiin, tarkasteltava pituus $l = 1{,}0\,\text{m}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$

   Kysytty

   kiskon $1{,}0\,\text{m}$:n osaan kohdistuva voima $F$ ja sen suunta. Voima ilmoitetaan positiivisena, jos kiskot vetävät toisiaan, ja negatiivisena, jos ne hylkivät toisiaan.

   Periaate

   Kumpikin kisko on toisen kiskon magneettikentässä. Toisen kiskon kenttä on kohtisuorassa tätä kiskoa vastaan ja koko matkalla yhtä suuri. Siksi voima on $F = I_2 l B_1$. Vastakkaissuuntaiset virrat hylkivät toisiaan, joten voima työntää kiskoja erilleen.

   Kaava

   $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ ja $F = I_2 l B_1$

   Muunnokset

   $I_1$$= I_2$

   $= 20\,\text{kA}$

   $= 20 \cdot 1000\,\text{A}$

   $= 20\,000\,\text{A}$

   Sijoitus

   $B_1$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 20\,000\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}30\,\text{m}}$

   $= 0{,}013\,333\,\text{T}$

   $F$$= 20\,000\,\text{A} \cdot 1{,}0\,\text{m} \cdot 0{,}013\,333\,\text{T}$

   $= 266{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   Voiman suuruus on $270\,\text{N}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virrassa ja etäisyydessä on kaksi. Kiskot hylkivät toisiaan, joten tehtävän merkkisäännön mukaan vastaus on $-270\,\text{N}$.

   Järkevyys

   Kenttä toisen kiskon kohdalla on $B_1 = 0{,}013\,\text{T}$, ja virta on hyvin suuri. Siksi voima metriä kohti vastaa noin $27\,\text{kg}$:n kappaleen painoa. Tämän takia sähköasemien kiskot kiinnitetään tukevasti: oikosulku voisi muuten taivuttaa niitä.

3. Tehtävä 4-12

   Ohut alumiinilanka on vaakasuorassa kompassin mukaan itä–länsisuunnassa. Langan pituus on $1{,}0\,\text{m}$ ja massa $2{,}7\,\text{g}$.

   Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on Etelä-Suomessa noin $53\,\mu\text{T}$. Kenttä osoittaa magneettiseen pohjoiseen ja alaspäin $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden (WMM2025-malli, NOAA/BGS).

   Kuinka suuri virta langassa pitäisi kulkea, jotta Maan magneettikenttä kannattelisi langan painon? Anna vastaus kiloampeereina.

   kATarkista
   Vastaus

   $1{,}8\,\text{kA}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   langan pituus $l = 1{,}0\,\text{m}$, massa $m = 2{,}7\,\text{g}$. Lanka on vaakasuorassa kompassin mukaan itä–länsisuunnassa. Maan kenttä on $B = 53\,\mu\text{T}$, ja se osoittaa magneettiseen pohjoiseen ja alaspäin $74^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$.

   Kysytty

   virta $I$ kiloampeereina

   Periaate

   Jaetaan kenttä vaakakomponenttiin ja pystykomponenttiin. Lanka on itä–länsisuunnassa, joten se on kohtisuorassa sekä magneettiseen pohjoiseen osoittavaa vaakakomponenttia että pystykomponenttia vastaan. Pystykomponentti kohdistaa lankaan vaakasuoran voiman, joka ei kannattele lankaa. Vaakakomponentti $B_\text{vaaka} = B \cos 74^\circ$ osoittaa magneettiseen pohjoiseen. Oikean käden säännön mukaan itään kulkevaan virtaan kohdistuu siitä pystysuora voima ylöspäin. Lanka pysyy paikallaan, kun tämä voima on painon suuruinen.

   Kaava

   $I l B \cos 74^\circ = m g$, josta $I = \dfrac{m g}{l B \cos 74^\circ}$

   Muunnokset

   $m$$= 2{,}7\,\text{g}$

   $= 2{,}7 \cdot 0{,}001\,\text{kg}$

   $= 0{,}0027\,\text{kg}$

   $B$$= 53\,\mu\text{T}$

   $= 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

   Lopuksi $1\,\text{kA} = 1000\,\text{A}$.

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{0{,}0027\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}{1{,}0\,\text{m} \cdot 53 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \cos 74^\circ}$

   $= \dfrac{0{,}026487\,\text{N}}{1{,}4609 \cdot 10^{-5}\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 1813\,\text{A}$

   $= 1{,}813\,\text{kA}$

   Vastaus

   $1{,}8\,\text{kA}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissa on kaksi.

   Järkevyys

   Tarvittava virta on valtava: ohut lanka sulaisi siinä heti. Tulos näyttää, kuinka heikko Maan magneettikenttä on. Se on noin $0{,}05\,\text{mT}$, kun laboratoriomagneetin kenttä on kymmenesosa teslaa. Kompassineula kääntyy silti, koska se on magneetti eikä virtajohdin.