Virtajohtimen ja käämin magneettikenttä
Miksi romuttamon nosturin magneetti nostaa tonnin painoisen autonromun ilmaan ja päästää sen irti napin painalluksella, vaikka jääkaappimagneetti ei päästä irti koskaan?
Pohjatiedot
- Magneettikentän suunta on kompassin pohjoispään suunta. Sauvamagneetin ulkopuolella kenttäviivat kulkevat pohjoisnavalta etelänavalleluku Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä
- Magneettivuon tiheyden $B$ yksikkö on tesla. Maan magneettikenttä on Suomessa noin $50\,\mu\text{T}$luku Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 5.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Virtajohdin
- Johdin, jossa kulkee sähkövirta. Sen ympärille syntyy magneettikenttä.
- Käämi
- Kierukaksi kierretty johdin. Pitkän käämin sisällä, kaukana sen päistä, kenttä on lähes samanlainen joka kohdassa.
- Oikean käden sääntö
- Muistisääntö, jolla päätellään kentän suunta: peukalo virran suuntaan, sormet kiertävät kentän suuntaan.
- Sähkömagneetti
- Käämi, jonka sisällä on rautasydän. Se on magneetti vain silloin, kun käämissä kulkee virta.
Pohdinta
Pöydällä on kompassi. Sen yläpuolella kulkee pohjois–eteläsuuntainen kuparijohdin. Johtimeen kytketään virta $3\,\text{A}$. Kun johdin on aivan neulan yläpuolella, neula kääntyy lähes poikittain johtimeen nähden. Kun virran suunta vaihdetaan, neula kääntyy toiseen suuntaan. Kun virta katkaistaan, neula palaa osoittamaan pohjoiseen. Kupari ei ole magneettista ainetta: kuparinaula ei tartu magneettiin.
Mistä kompassia kääntävä magneettikenttä tulee? Miten saman ilmiön voi tehdä niin voimakkaaksi, että se nostaa autonromun?
Valinnainen Kertaa: kompassi magneettikentässä
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: venytetty käämi
Ennuste 2: käämin pää
Tutki
Käämin akselilla liikkuu magneettikenttäanturi. Muuta virtaa, kierroksia, käämin pituutta ja anturin paikkaa. Seuraa, miten magneettivuon tiheys muuttuu.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä virta $I$, kierrosten lukumäärä $N$, käämin pituus $l$ ja anturin paikka $x$. Paikka mitataan käämin keskeltä. Anturin lukema näkyy anturin yläpuolella ja lukemissa. Alempi kuvaaja näyttää magneettivuon tiheyden $B$ koko akselilla. Vaalea alue on käämin kohta, ja rengastettu piste on anturin paikka. Virran suunnan valinta kääntää kentän ja vaihtaa napojen paikat. Nopeus muuttaa vain virtamerkkien liikkeen tahtia.
Mallin oletukset
Käämin säde on $2{,}0\,\text{cm}$, ja kierrokset ovat tasavälein koko pituudella. Malli laskee kentän vain käämin akselilla. Se laskee yhteen kaikkien kierrosten kentät. Käämissä ei ole rautasydäntä, eikä Maan magneettikenttää ole otettu mukaan. Kenttäviivat on piirretty kaavamaisesti, ja yksi piirretty kierros vastaa kahtakymmentä todellista. Lukemat ovat mallin arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Käämin akselilla etäisyydellä $x$ keskeltä malli laskee
$$\begin{aligned} B &= \frac{\mu_0\, N I}{2 l}\,(k_1 - k_2) \\ k_1 &= \frac{x + \tfrac{l}{2}}{\sqrt{(x + \tfrac{l}{2})^2 + R^2}} \\ k_2 &= \frac{x - \tfrac{l}{2}}{\sqrt{(x - \tfrac{l}{2})^2 + R^2}} \end{aligned}$$
Kaavassa $R = 2{,}0\,\text{cm}$ on käämin säde ja $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. Kun käämi on paljon pidempi kuin sen säde, keskikohdan arvo on lähes $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$. Esimerkiksi oletusarvoilla malli antaa $1{,}23\,\text{mT}$, kun pitkän käämin kaava antaa $1{,}26\,\text{mT}$. Kierrostiheys on $n = N : l$.
Koe 1: vain käämin pituus muuttuu
Testaa ennuste 1. Virta, kierrosten määrä ja anturin paikka käämin keskellä pysyvät vakioina. Muuta vain käämin pituutta. Kirjaa magneettivuon tiheys ainakin pituuksilla $20\,\text{cm}$ ja $40\,\text{cm}$. Halutessasi kirjaa myös pituudet $10\,\text{cm}$ ja $30\,\text{cm}$. Vertaa $B$:tä ja kierrostiheyttä $n$.
Alkutila: virta = $2\,\text{A}$, kierroksia: 200 kierrosta, käämin pituus = $20\,\text{cm}$, anturin paikka = $0\,\text{cm}$, virran suunta: etupuolella alaspäin. Vakiona: virta, kierroksia, anturin paikka, virran suunta. Muutetaan: käämin pituus $(\text{cm})$.
| käämin pituus $(\text{cm})$ | $B$ $(\text{mT})$ | $n$ (1/m) |
|---|
Koe 2: vain anturin paikka muuttuu
Testaa ennuste 2. Käämin pituus on $20\,\text{cm}$, joten sen päät ovat kohdissa $x = -10\,\text{cm}$ ja $x = 10\,\text{cm}$. Siirrä vain anturia. Kirjaa $B$ ainakin keskeltä ja käämin päästä. Halutessasi kirjaa myös kohdat $5\,\text{cm}$ ja $15\,\text{cm}$.
Alkutila: virta = $2\,\text{A}$, kierroksia: 200 kierrosta, käämin pituus = $20\,\text{cm}$, anturin paikka = $0\,\text{cm}$, virran suunta: etupuolella alaspäin. Vakiona: virta, kierroksia, käämin pituus, virran suunta. Muutetaan: anturin paikka.
| anturin paikka | $B$ $(\text{mT})$ |
|---|
Johtopäätös: mikä määrää käämin kentän?
Kirjoita taulukoidesi perusteella: Miten käämin keskellä oleva kenttä muuttui, kun sama käämi venytettiin kaksinkertaiseen pituuteen? Mikä suure siis määrää kentän? Miten kenttä muuttui, kun anturi siirtyi keskeltä käämin päähän ja sen ulkopuolelle?
Mallivastaus
Kun $200$ kierroksen käämi venytettiin $20\,\text{cm}$:stä $40\,\text{cm}$:iin, keskikohdan kenttä pieneni noin puoleen. Mallin arvot olivat $2{,}46\,\text{mT}$ ja $1{,}25\,\text{mT}$. Samalla kierrostiheys $n = N : l$ puolittui. Kenttää ei siis määrää kierrosten kokonaismäärä vaan kierrostiheys ja virta. Kokeessa 2 kenttä pysyi lähes samana käämin keskiosassa ($2{,}46\,\text{mT}$ keskellä ja $2{,}41\,\text{mT}$ kohdassa $5\,\text{cm}$). Käämin päässä kenttä oli noin puolet ($1{,}25\,\text{mT}$), ja käämin ulkopuolella se heikkeni nopeasti. Pitkän käämin sisällä kenttä on siis lähes homogeeninen, mutta ei aivan päihin asti. Mallissa ei ole rautasydäntä eikä Maan kenttää.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Mittaus: tyhjiön permeabiliteetti käämistä
Keksitty esimerkkiaineisto
Ryhmä mittasi magneettivuon tiheyden käämin keskeltä magneettikenttäanturilla. Käämissä on $N = 320$ kierrosta. Käämin pituus mitattiin viivaimella: $l = 16{,}0\,\text{cm}$, epävarmuus $\Delta l = 0{,}2\,\text{cm}$. Käämin halkaisija on $3{,}0\,\text{cm}$. Virtaa muutettiin virtalähteellä, ja jokaisella virralla kirjattiin lukemat.
| $I$ (A) | $B$ (mT) |
|---|---|
| $0{,}00$ | $0{,}04$ |
| $0{,}50$ | $1{,}27$ |
| $1{,}00$ | $2{,}51$ |
| $1{,}50$ | $3{,}69$ |
| $2{,}00$ | $4{,}99$ |
| $2{,}50$ | $6{,}20$ |
Vernier Graphical Analysis sovitti pisteisiin suoran $B = A I + B_0$. Ohjelma ilmoitti kulmakertoimeksi $A = 2{,}465\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$, sen epävarmuudeksi $\Delta A = 0{,}012\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$ ja vakiotermiksi $B_0 = 0{,}035\,\text{mT}$. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä ole täsmälleen samalla suoralla, koska mittauksessa on epävarmuutta.
Määritä mittauksesta tyhjiön permeabiliteetti $\mu_0$. Anna vastaus muodossa $\ldots \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. Kirjoita siis vastaukseksi kerroin.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mitä suoran kulmakerroin $A$ tarkoittaa käämin kaavassa $B = \mu_0 \tfrac{N}{l} I$?
Vihje 2: mikä yhteys
Kulmakerroin on $A = \mu_0 \tfrac{N}{l}$, joten $\mu_0 = A l : N$. Muunna ensin $A$ yksikköön $\tfrac{\text{T}}{\text{A}}$ ja $l$ metreiksi.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
kierroksia $N = 320$, käämin pituus $l = 16{,}0\,\text{cm}$, sovitetun suoran kulmakerroin $A = 2{,}465\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$
Kysytty
tyhjiön permeabiliteetti $\mu_0$ yksikössä $\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Periaate
Pitkän käämin keskellä $B = \mu_0 \tfrac{N}{l} I$. Siksi $B$ on suoraan verrannollinen virtaan, ja suoran kulmakerroin on $\mu_0 \tfrac{N}{l}$. Kulmakerroin luetaan sovitetusta suorasta eikä kahdesta mittauspisteestä, koska suora ottaa huomioon kaikki pisteet. Vakiotermi $B_0$ ei vaikuta kulmakertoimeen.
Kuvaajan lukeminen
Sovitettu suora kulkee likimain pisteiden $(0$; $0{,}04\,\text{mT})$ ja $(2{,}5\,\text{A}$; $6{,}2\,\text{mT})$ kautta. Kulmakerroin on siis noin
Ohjelman tarkka arvo on $2{,}465\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$.
Kaava
$A = \mu_0 \dfrac{N}{l}$, josta $\mu_0 = \dfrac{A l}{N}$
Muunnokset
Yksikkö:
Sijoitus
Vastaus
$\mu_0 \approx 1{,}23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska pituudessa $16{,}0\,\text{cm}$ on kolme.
Järkevyys
Taulukkoarvo on
Mittaus antaa noin $2\,\%$ pienemmän arvon. Ero on hieman suurempi kuin mittausepävarmuus. Syy selviää seuraavassa tehtävässä. Pieni ero on odotettavissakin, koska lyhyen käämin keskellä kenttä on hieman pienempi kuin pitkän käämin kaava antaa.
Tuloksen epävarmuus
Arvioi edellisen mittauksen tuloksen $\mu_0$ suhteellinen epävarmuus. Ota huomioon kulmakertoimen epävarmuus $\Delta A = 0{,}012\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$ ja pituuden epävarmuus $\Delta l = 0{,}2\,\text{cm}$. Kierrosten lukumäärä tunnetaan tarkasti. Laske tekijöiden suhteelliset epävarmuudet yhteen. Anna vastaus prosentteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Tulos on $\mu_0 = A l : N$. Kun suureet kerrotaan tai jaetaan, mitkä epävarmuudet lasketaan yhteen?
Vihje 2: mikä yhteys
Yksinkertainen arvio: tulon ja osamäärän suhteellinen epävarmuus on tekijöiden suhteellisten epävarmuuksien summa, $\tfrac{\Delta \mu_0}{\mu_0} = \tfrac{\Delta A}{A} + \tfrac{\Delta l}{l}$.
Vihje 3: välivaihe
$\tfrac{\Delta A}{A} = 0{,}012 : 2{,}465$ ja $\tfrac{\Delta l}{l} = 0{,}2 : 16{,}0$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$A = 2{,}465\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$, $\Delta A = 0{,}012\,\tfrac{\text{mT}}{\text{A}}$, $l = 16{,}0\,\text{cm}$, $\Delta l = 0{,}2\,\text{cm}$, $N = 320$ tarkasti; edellisestä tehtävästä $\mu_0 = 1{,}23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
suhteellinen epävarmuus $\Delta \mu_0 : \mu_0$ prosentteina
Periaate
Tulos lasketaan tulona ja osamääränä $\mu_0 = A l : N$. Yksinkertainen arvio epävarmuudelle saadaan laskemalla tekijöiden suhteelliset epävarmuudet yhteen. Kierrosten määrä on laskettu, joten se ei lisää epävarmuutta.
Kaava
Muunnokset
Ei tarvita. Kummassakin osamäärässä yksiköt supistuvat, koska osoittaja ja nimittäjä ovat samassa yksikössä.
Sijoitus
Vastaus
noin $1{,}7\,\%$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska epävarmuus on itsekin arvio. Siis $\Delta \mu_0 \approx 0{,}017 \cdot 1{,}23 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \approx 0{,}02 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$ ja tulos on $\mu_0 = (1{,}23 \pm 0{,}02) \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$.
Järkevyys
Pituuden mittaus on suurin epävarmuuden lähde. Se on uskottavaa, koska $2\,\text{mm}$ on $16\,\text{cm}$:stä yli prosentti. Taulukkoarvo $1{,}257 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$ jää hieman välin $1{,}21$–$1{,}25$ ulkopuolelle. Ero viittaa systemaattiseen virheeseen. Käämin halkaisija on $3{,}0\,\text{cm}$, joten käämi ei ole kovin pitkä paksuuteensa verrattuna. Sen keskellä kenttä on noin $98\,\%$ pitkän käämin kaavan arvosta. Kun tämä otetaan huomioon, tulos on noin $1{,}25 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Sähkövirta synnyttää magneettikentän
Vuonna 1820 tanskalainen Hans Christian Ørsted piti luennon. Hän huomasi, että kompassin neula kääntyi, kun viereiseen johtimeen kytkettiin virta. Kun virta katkaistiin, neula palasi osoittamaan pohjoiseen. Havainto yhdisti sähkön ja magnetismin: jokaisen virtajohtimen ympärillä on magneettikenttä. Virtajohdin on johdin, jossa kulkee sähkövirta.
Kenttä syntyy liikkuvista varauksista. Siksi johtimen ei tarvitse olla magneettista ainetta. Kuparijohdinkin synnyttää kentän. Kun virta kasvaa, kenttä voimistuu. Kun virran suunta vaihtuu, myös kentän suunta vaihtuu.
Suoran johtimen kenttäviivat ovat johtimen ympärillä samankeskisiä ympyröitä. Ympyrät ovat kohtisuorassa johdinta vastaan. Kenttä ei siis osoita johtimesta poispäin eikä johdinta kohti. Se kiertää johdinta. Johtimen ympärille asetetut kompassit kääntyvät ympyrän tangentin suuntaan. Tangentti on suora, joka koskettaa ympyrää yhdessä pisteessä. Näin käy, kun johtimen kenttä on paljon Maan magneettikenttää voimakkaampi. Mitä kauempana johtimesta ollaan, sitä heikompi kenttä on.
Oikean käden sääntö
Kentän kiertosuunnan saat oikean käden säännöllä. Osoita oikean käden peukalolla virran suuntaan. Silloin koukistetut sormet kiertävät kenttäviivojen suuntaan. Kuvassa virta kulkee ylöspäin, joten ylhäältä katsottuna kenttä kiertää vastapäivään. Kuvissa virta kohti katsojaa merkitään pisteellä $\odot$ ja virta poispäin katsojasta ristillä $\otimes$. Merkit muistuttavat nuolen kärkeä ja sulkia.
Käämin kenttä
Kun johdin kierretään kierukaksi, syntyy käämi. Jokaisen kierroksen kenttä osoittaa käämin sisällä samaan suuntaan, ja kentät vahvistavat toisiaan. Pitkän käämin sisällä kenttäviivat ovat lähes suoria ja tasavälisiä. Kenttä on silloin lähes homogeeninen, eli se on samanlainen joka kohdassa käämin sisällä. Se on käämin akselin suuntainen.
Käämin päissä kenttäviivat levenevät. Käämin ulkopuolella kenttä on samanlainen kuin sauvamagneetin kenttä luvussa Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä. Pää, josta kenttäviivat tulevat ulos, on pohjoisnapa N.
Oikean käden sääntö toimii myös käämille. Kierrä sormet kierroksia pitkin virran suuntaan. Silloin peukalo osoittaa käämin sisällä kentän suuntaan eli kohti pohjoisnapaa.
Sähkömagneetti
Kun käämin sisään työnnetään rautasydän, kenttä voimistuu moninkertaiseksi. Käämin kenttä kääntää raudan alkeisalueet samansuuntaisiksi. Alkeisalue on raudan pieni osa, joka toimii kuin pieni magneetti. Kun alkeisalueet osoittavat samaan suuntaan, rauta magnetoituu. Magnetoitunut rauta lisää oman kenttänsä käämin kenttään. Tällainen käämi on sähkömagneetti.
Kun virta katkaistaan, käämin kenttä häviää. Pehmeän raudan alkeisalueet palaavat lähes epäjärjestykseen, joten sydän menettää magnetoitumansa lähes kokonaan. Siksi romuttamon nosturi pitää romua vain niin kauan kuin virta kulkee. Kestomagneetti on toisenlainen. Sen alkeisalueet pysyvät järjestyksessä, joten sitä ei voi kytkeä pois.
Suoran johtimen ja käämin magneettikenttä
Pitkän suoran johtimen magneettivuon tiheys etäisyydellä $r$ johtimesta on
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
Kaavassa $B$ on magneettivuon tiheys (T) ja $I$ on johtimen virta (A). Symboli $r$ on etäisyys johtimesta (m). Vakio $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$ on tyhjiön permeabiliteetti. Se on luonnonvakio. Ilmassa käytetään samaa arvoa.
Kenttä on suoraan verrannollinen virtaan ja kääntäen verrannollinen etäisyyteen. Kun etäisyys kaksinkertaistuu, kenttä puolittuu. Kaava pätee, kun johdin on paljon pidempi kuin etäisyys $r$ ja muut johtimet ovat kaukana. Esimerkiksi $10\,\text{A}$:n johtimen kenttä on $1\,\text{cm}$:n etäisyydellä $200\,\mu\text{T}$. Se on noin nelinkertainen Maan magneettikenttään noin $50\,\mu\text{T}$ verrattuna.
Pitkän käämin sisällä, kaukana sen päistä, magneettivuon tiheys on
$$B = \mu_0 \frac{N I}{l}$$
Kaavassa $N$ on käämin kierrosten lukumäärä ja $I$ on virta (A). Symboli $l$ on käämin pituus (m).
Kenttä riippuu kierrostiheydestä $N : l$. Se kertoo, kuinka monta kierrosta on yhdellä metrillä. Kenttä ei riipu käämin paksuudesta. Kaava pätee, kun käämi on paljon pidempi kuin paksu ja sen sisällä on vain ilmaa. Käämin päissä kenttä on noin puolet keskikohdan arvosta. Rautasydän voimistaa kenttää moninkertaiseksi.
Magneettivuon tiheyden määrittäminen käämin sisällä
Kenttää mitataan magneettikenttäanturilla. Anturin kärki asetetaan käämin keskelle akselin suuntaiseksi. Virtaa muutetaan virtalähteellä. Jokaisella virralla kirjataan virta ja anturin lukema $B$.
Piirrä mittauspisteet $(I, B)$-koordinaatistoon esimerkiksi Vernier Graphical Analysis -ohjelmalla. Sovita pisteisiin suora $B = A I + B_0$. Kaavan mukaan kulmakerroin on $A = \mu_0 \tfrac{N}{l}$. Siksi mittauksesta saat tyhjiön permeabiliteetille arvion $\mu_0 = A l : N$.
Tuloksen epävarmuus arvioidaan näin. Kulmakertoimen epävarmuus on $\Delta A$ ja pituuden epävarmuus $\Delta l$. Laske tekijöiden suhteelliset epävarmuudet yhteen: $\Delta \mu_0 : \mu_0 = \Delta A : A + \Delta l : l$. Vakiotermi $B_0$ on yleensä pieni. Siihen vaikuttavat anturin nollakohta ja Maan magneettikenttä.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että virtajohtimen magneettikenttä osoittaa johtimesta poispäin. Näin on varatun johtimen sähkökentässä. Magneettikentän kenttäviivat kuitenkin kiertävät johdinta suljettuina ympyröinä, eikä niillä ole alku- eikä loppupistettä. Kompassi johtimen vieressä kääntyy siksi poikittain johtimeen nähden, ei johdinta kohti.
Toinen virhe on luulla, että käämin kenttä riippuu kierrosten kokonaismäärästä. Otetaan esimerkki: sama $200$ kierroksen käämi venytetään kaksinkertaiseen pituuteen. Kierrostiheys $N : l$ puolittuu, ja kenttä käämin keskellä noin puolittuu. Kierroksia on silti yhtä monta.
Kolmas virhe on unohtaa, että pitkän käämin kaava ei päde käämin päissä. Siellä kenttä on vain noin puolet keskikohdan arvosta.
Tiivistelmä
- Sähkövirta synnyttää ympärilleen magneettikentän (Ørsted 1820). Suoran johtimen kenttäviivat ovat johdinta kiertäviä ympyröitä. Suunnan saat oikean käden säännöllä: peukalo virran suuntaan, sormet kentän suuntaan.
- Pitkän suoran johtimen kenttä on $B = \tfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$. Se kasvaa virran mukana ja heikkenee etäisyyden kasvaessa.
- Pitkän käämin sisällä kenttä on lähes homogeeninen, $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$. Se riippuu kierrostiheydestä $N : l$ ja virrasta. Käämin ulkopuolella kenttä on kuin sauvamagneetin kenttä.
- Rautasydän tekee käämistä sähkömagneetin. Sen kenttä on moninkertainen, ja sen voi kytkeä päälle ja pois.
- Mittaa $B$ virran funktiona ja sovita pisteisiin suora. Kulmakertoimesta saat $\mu_0 = A l : N$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi kokeiden mallin arvoihin ja kaavaan $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$. Palaa sitten alun kysymykseen: Mistä kompassia kääntävä kenttä tulee? Mitkä kolme keinoa tekevät nosturin magneetista niin voimakkaan, että se nostaa autonromun?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Koulun käämissä on $600$ kierrosta, ja sen pituus on $15{,}0\,\text{cm}$. Käämissä kulkee virta $2{,}50\,\text{A}$. Käämi on pitkä paksuuteensa verrattuna, ja sen sisällä on ilmaa. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys käämin keskellä? Kuinka moninkertainen se on Maan magneettikenttään $50\,\mu\text{T}$ verrattuna?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Kierrosten lukumäärä on $N = 600$. Käämin pituus on $l = 15{,}0\,\text{cm}$ ja virta $I = 2{,}50\,\text{A}$. Vakio on $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. Kysytään magneettivuon tiheyttä $B$ käämin keskellä. Lisäksi kysytään sen suhdetta Maan kenttään $B_\text{Maa} = 50\,\mu\text{T}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Käämi on pitkä, ja sen sisällä on ilmaa. Kenttä halutaan keskeltä, kaukaa päistä. Siksi pitkän käämin kaava pätee. Kenttä riippuu vain kierrostiheydestä ja virrasta.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Kaava antaa kysytyn suureen suoraan. Suhde saadaan jakamalla:
$$\begin{aligned} B &= \mu_0 \frac{N I}{l} \\ k &= \frac{B}{B_\text{Maa}} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Pituus metreinä:
Maan kenttä tesloina: $50\,\mu\text{T} = 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$. Yksiköistä saadaan
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} B &= \mu_0 \frac{N I}{l} \\ &= 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \\ &\quad \cdot \frac{600 \cdot 2{,}50\,\text{A}}{0{,}150\,\text{m}} \\ &= 0{,}012566\,\text{T} \\[6pt] k &= \frac{0{,}012566\,\text{T}}{50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}} \\ &= 251{,}3 \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Magneettivuon tiheys käämin keskellä on $12{,}6\,\text{mT}$. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska pituudessa $15{,}0\,\text{cm}$ ja virrassa $2{,}50\,\text{A}$ on kolme. Kenttä on noin $250$-kertainen Maan kenttään verrattuna. Suhteessa on vain kaksi numeroa, koska Maan kenttä $50\,\mu\text{T}$ tunnetaan vain kahden numeron tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Kierrostiheys on $600 : 0{,}150\,\text{m} = 4000$ kierrosta metrillä. Yksi ampeeri ja tuhat kierrosta metrillä antavat noin $1{,}3\,\text{mT}$. Nyt virta on $2{,}5\,\text{A}$ ja tiheys nelinkertainen, joten kenttä on noin $1{,}3\,\text{mT} \cdot 2{,}5 \cdot 4 = 13\,\text{mT}$. Tulos on noin $250$-kertainen Maan kenttään verrattuna, joten käämin kenttä on helppo mitata. Se on kuitenkin selvästi pienempi kuin magneettikuvauslaitteen noin $1{,}5\,\text{T}$. Sellainen kenttä vaatii suprajohtavan käämin ja satojen ampeerien virran.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
Laboratoriossa halutaan tutkia elektronisuihkua ilman Maan magneettikentän vaikutusta. Suihku kulkee pitkän käämin akselilla. Käämi on suunnattu niin, että sen akseli on Maan magneettikentän suuntainen. Käämin pituus on $0{,}80\,\text{m}$, ja siinä on $120$ kierrosta.
Kuinka suuri virta käämissä on kuljettava, jotta sen kenttä kumoaa käämin sisällä Maan magneettikentän $50\,\mu\text{T}$? Käämi on paljon pidempi kuin paksu.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka suuri käämin kentän on oltava? Mihin suuntaan sen on osoitettava, jotta kokonaiskenttä on nolla?
Vihje 2: mikä yhteys
Käämin kentän suuruuden on oltava $50\,\mu\text{T}$ ja suunnan Maan kenttää vastaan. Ratkaise virta käämin kaavasta $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
käämin pituus $l = 0{,}80\,\text{m}$, kierroksia $N = 120$, Maan magneettikenttä $B_\text{Maa} = 50\,\mu\text{T}$; käämi on pitkä ja sen akseli on Maan kentän suuntainen; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
käämin virta $I$ ampeereina
Periaate
Magneettikentät lasketaan yhteen vektoreina. Kun käämin kenttä on yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen kuin Maan kenttä, kokonaiskenttä on käämin sisällä nolla. Käämi on pitkä, joten sen sisällä kenttä on lähes homogeeninen ja pitkän käämin kaava pätee. Kentän suunta valitaan virran suunnalla oikean käden säännön mukaan.
Kaava
$B = \mu_0 \dfrac{N I}{l}$, josta $I = \dfrac{B l}{N \mu_0}$, kun $B = B_\text{Maa}$
Muunnokset
pituus on jo metreinä.
Sijoitus
Vastaus
$0{,}27\,\text{A}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska Maan kentässä $50\,\mu\text{T}$ ja pituudessa $0{,}80\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Kierrostiheys on $120 : 0{,}80\,\text{m} = 150$ kierrosta metrillä. Tuhat kierrosta metrillä ja $1\,\text{A}$ antavat noin $1{,}3\,\text{mT}$. Nyt tiheys on $150$ kierrosta metrillä ja virta $0{,}27\,\text{A}$, joten kenttä on noin
kuten pitääkin. Maan kenttä on heikko, joten pieni virta riittää.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Käämin virta kaksinkertaistetaan. Samalla kierrosten määrä puolitetaan niin, että käämin pituus pysyy samana. Miten magneettivuon tiheys käämin sisällä muuttuu?
Vastaus
Se pysyy samana. Kaavassa $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$ tulo $N I$ ei muutu, koska $I$ kaksinkertaistuu ja $N$ puolittuu. Pituus $l$ on sama.
- Katsot käämiä sen toisesta päästä, ja virta kiertää kierroksissa vastapäivään. Onko sinua kohti oleva pää pohjois- vai etelänapa?
Vastaus
Pohjoisnapa. Kun oikean käden sormet kiertävät virran suuntaan vastapäivään, peukalo osoittaa sinua kohti. Kenttä tulee siis käämistä ulos sinun puoleltasi.
1. Kentän suunta
2. Johtimen kenttä
Hitsauskoneen kaapelissa kulkee virta $150\,\text{A}$. Kuinka suuri on kaapelin magneettivuon tiheys $2{,}0\,\text{cm}$:n etäisyydellä kaapelin keskeltä? Kaapeli on suora, ja paluujohdin on kaukana. Anna vastaus millitesloina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä kaava kertoo suoran johtimen kentän etäisyydellä $r$?
Vihje 2: mikä yhteys
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$. Sijoita etäisyys metreinä.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
virta $I = 150\,\text{A}$, etäisyys $r = 2{,}0\,\text{cm}$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$; suora kaapeli, paluujohdin kaukana
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ millitesloina
Periaate
Kaapeli on suora ja paljon pidempi kuin etäisyys $2\,\text{cm}$. Paluujohdin on kaukana. Siksi pitkän suoran johtimen kaava pätee, eikä toinen johdin heikennä kenttää.
Kaava
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
Muunnokset
lopuksi $1\,\text{mT} = 10^{-3}\,\text{T}$.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}5\,\text{mT}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $2{,}0\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Kaavassa $\mu_0 : 2\pi = 2 \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. Siksi
Kenttä on noin $30$-kertainen Maan kenttään verrattuna. Se sopii siihen, että hitsauskaapeli kääntää tasavirralla lähellä olevan kompassin selvästi.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: nosturin sähkömagneetti
Selitä, miksi romuttamon nosturin magneetissa on käämi ja rautasydän. Selitä myös, miksi nosturi päästää romun irti, kun virta katkaistaan. Käytä käsitteitä virta, magneettikenttä, alkeisalue ja kierrostiheys.
Mallivastaus
Käämissä kulkeva virta synnyttää magneettikentän. Kenttä on käämin sisällä sitä voimakkaampi, mitä suurempi virta ja kierrostiheys $N : l$ ovat. Rautasydämessä käämin kenttä kääntää raudan alkeisalueet samansuuntaisiksi. Rauta magnetoituu, ja sen oma kenttä lisätään käämin kenttään. Kokonaiskenttä on siksi moninkertainen. Voimakas kenttä magnetoi myös romun teräksen, ja magneetti vetää sitä puoleensa. Kun virta katkaistaan, käämin kenttä häviää. Pehmeän raudan alkeisalueet palaavat lähes epäjärjestykseen, joten magneetti menettää vetovoimansa ja romu putoaa. Kestomagneetin alkeisalueet pysyvät järjestyksessä, eikä sitä voi kytkeä pois.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-1Ydintehtävä
Pitkässä suorassa johtimessa kulkee virta $12\,\text{A}$. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys $3{,}0\,\text{cm}$:n etäisyydellä johtimesta? Anna vastaus mikrotesloina.
Vastaus
$80\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pitkä suora johdin, virta $I = 12\,\text{A}$, etäisyys $r = 3{,}0\,\text{cm}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ mikrotesloina
Periaate
Johdin on pitkä ja suora. Etäisyys on paljon pienempi kuin johtimen pituus. Siksi pitkän suoran johtimen kaava pätee. Kenttä on suoraan verrannollinen virtaan ja kääntäen verrannollinen etäisyyteen.
Kaava
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
Muunnokset
$r$$= 3{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}030\,\text{m}$lopuksi $1\,\mu\text{T} = 10^{-6}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 12\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}030\,\text{m}}$$= 8{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$$= 80\,\mu\text{T}$Vastaus
$80\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virrassa $12\,\text{A}$ ja etäisyydessä $3{,}0\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Luvun esimerkissä $10\,\text{A}$ antaa $1\,\text{cm}$:n päässä $200\,\mu\text{T}$. Nyt etäisyys on kolminkertainen ja virta hieman suurempi. Silloin kenttä on noin $200\,\mu\text{T} \cdot 1{,}2 : 3 = 80\,\mu\text{T}$. Kenttä on samaa suuruusluokkaa kuin Maan kenttä $50\,\mu\text{T}$, joten se kääntää lähellä olevaa kompassia selvästi.
- Tehtävä 3-2Ydintehtävä
Käämissä on $500$ kierrosta, ja sen pituus on $25\,\text{cm}$. Käämissä kulkee virta $1{,}2\,\text{A}$. Käämi on pitkä paksuuteensa verrattuna. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys käämin keskellä? Anna vastaus millitesloina.
Vastaus
$3{,}0\,\text{mT}$
Näytä ratkaisu
Annettu
käämi, $N = 500$, pituus $l = 25\,\text{cm}$, virta $I = 1{,}2\,\text{A}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ käämin keskellä millitesloina
Periaate
Käämi on pitkä paksuuteensa verrattuna. Kenttä halutaan keskeltä, kaukaa päistä. Siellä kenttä on lähes homogeeninen ja riippuu kierrostiheydestä ja virrasta. Siksi pitkän käämin kaava pätee.
Kaava
$B = \mu_0 \dfrac{N I}{l}$
Muunnokset
$l$$= 25 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}25\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{mT} = 10^{-3}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B$$= 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot \dfrac{500 \cdot 1{,}2\,\text{A}}{0{,}25\,\text{m}}$$= 3{,}016 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$$= 3{,}016\,\text{mT}$Vastaus
$3{,}0\,\text{mT}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virrassa $1{,}2\,\text{A}$ ja pituudessa $25\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Kierrostiheys on $500 : 0{,}25\,\text{m} = 2000$ kierrosta metrillä. Tuhat kierrosta metrillä ja $1\,\text{A}$ antavat noin $1{,}26\,\text{mT}$. Nyt tiheys on $2000$ kierrosta metrillä (kaksinkertainen) ja virta $1{,}2\,\text{A}$, joten kenttä on noin $1{,}26\,\text{mT} \cdot 2 \cdot 1{,}2 \approx 3\,\text{mT}$.
- Tehtävä 3-3
Voimajohdon yhdessä johtimessa kulkee hetkellisesti virta $800\,\text{A}$. Oletetaan, että muiden johtimien kentät eivät vaikuta. Kuinka suuri on tämän johtimen magneettivuon tiheys maanpinnalla $16\,\text{m}$ johtimen alapuolella? Anna vastaus mikrotesloina.
Vastaus
$10\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
voimajohdon johdin, virta $I = 800\,\text{A}$, etäisyys $r = 16\,\text{m}$; muiden johtimien kentät jätetään huomiotta; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ maanpinnalla mikrotesloina
Periaate
Voimajohto on satoja metrejä pitkä ja suora. Siksi sitä voi $16\,\text{m}$:n etäisyydellä käsitellä pitkänä suorana johtimena. Tehtävässä muiden johtimien vaikutus jätetään pois. Lasketaan siis yhden johtimen kenttä.
Kaava
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
Muunnokset
Ei tarvita, koska virta on ampeereina ja etäisyys metreinä. Lopuksi $1\,\mu\text{T} = 10^{-6}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 800\,\text{A}}{2\pi \cdot 16\,\text{m}}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$$= 10\,\mu\text{T}$Vastaus
$10\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $16\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Virta on suuri, mutta etäisyyskin on suuri: $2 \cdot 10^{-7} \cdot 800 : 16\,\text{T} = 1 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$. Kenttä on noin viidesosa Maan magneettikentästä $50\,\mu\text{T}$.
- Tehtävä 3-4
Pöytälampun johdon toisessa johtimessa kulkee virta $2{,}5\,\text{A}$. Toisen johtimen vaikutusta ei oteta huomioon. Kuinka suuri on tämän johtimen magneettivuon tiheys $5{,}0\,\text{mm}$:n etäisyydellä siitä? Anna vastaus millitesloina.
Vastaus
$0{,}10\,\text{mT}$
Näytä ratkaisu
Annettu
johdin, virta $I = 2{,}5\,\text{A}$, etäisyys $r = 5{,}0\,\text{mm}$; toisen johtimen vaikutus jätetään huomiotta; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ millitesloina
Periaate
Johto on paljon pidempi kuin etäisyys $5\,\text{mm}$. Siksi johdinta voi käsitellä pitkänä suorana johtimena. Tehtävässä lasketaan vain toisen johtimen kenttä.
Kaava
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
Muunnokset
$r$$= 5{,}0 \cdot 0{,}001\,\text{m}$$= 0{,}0050\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{mT} = 10^{-3}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 2{,}5\,\text{A}}{2\pi \cdot 0{,}0050\,\text{m}}$$= 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{T}$$= 0{,}10\,\text{mT}$Vastaus
$0{,}10\,\text{mT}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virrassa $2{,}5\,\text{A}$ ja etäisyydessä $5{,}0\,\text{mm}$ on kaksi.
Järkevyys
Kenttä on noin kaksinkertainen Maan kenttään $50\,\mu\text{T}$ verrattuna, koska etäisyys on hyvin pieni. Todellisessa johdossa toisen johtimen virta kulkee vastakkaiseen suuntaan. Se heikentää kenttää useimmissa kohdissa, varsinkin kauempana johdosta. Johdon kenttä on silloin vielä pienempi.
- Tehtävä 3-5
Fysiikan luokan käämissä on $300$ kierrosta, ja sen pituus on $15\,\text{cm}$. Käämissä kulkee virta $0{,}40\,\text{A}$. Käämi on pitkä paksuuteensa verrattuna.
Kuinka suuri on magneettivuon tiheys käämin keskellä? Anna vastaus millitesloina.
Vastaus
$1{,}0\,\text{mT}$
Näytä ratkaisu
Annettu
käämi, $N = 300$, pituus $l = 15\,\text{cm}$, virta $I = 0{,}40\,\text{A}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ käämin keskellä millitesloina
Periaate
Käämi on pitkä paksuuteensa verrattuna, ja kenttä halutaan keskeltä. Siksi pitkän käämin kaava pätee. Kenttä riippuu kierrostiheydestä $N : l$ ja virrasta.
Kaava
$B = \mu_0 \dfrac{N I}{l}$
Muunnokset
$l$$= 15 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}15\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{mT} = 10^{-3}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B$$= 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot \dfrac{300 \cdot 0{,}40\,\text{A}}{0{,}15\,\text{m}}$$= 1{,}005 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$$= 1{,}005\,\text{mT}$Vastaus
$1{,}0\,\text{mT}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virrassa $0{,}40\,\text{A}$ ja pituudessa $15\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Kierrostiheys on $300 : 0{,}15\,\text{m} = 2000$ kierrosta metrillä, ja virta on vajaa puoli ampeeria. Silloin kenttä on noin $1{,}26\,\text{mT} \cdot 2 \cdot 0{,}4 \approx 1\,\text{mT}$. Kenttä on noin $20$-kertainen Maan kenttään verrattuna.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 3-6Ydintehtävä
Kokeessa tarvitaan käämi, jonka sisällä magneettivuon tiheys on $20\,\text{mT}$. Käämissä on $1200$ kierrosta, ja sen pituus on $0{,}30\,\text{m}$. Käämi on pitkä paksuuteensa verrattuna.
Kuinka suuri virta käämissä on kuljettava?
Vastaus
$4{,}0\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
tavoitekenttä $B = 20\,\text{mT}$, kierroksia $N = 1200$, pituus $l = 0{,}30\,\text{m}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
käämin virta $I$ ampeereina
Periaate
Käämi on pitkä, joten sen sisällä $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$. Kenttä on suoraan verrannollinen virtaan. Tarvittavan virran saat ratkaisemalla kaavasta $I$.
Kaava
$B = \mu_0 \dfrac{N I}{l}$, josta $I = \dfrac{B l}{N \mu_0}$
Muunnokset
$B$$= 20\,\text{mT}$$= 20 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$pituus on jo metreinä.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{20 \cdot 10^{-3}\,\text{T} \cdot 0{,}30\,\text{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 1200}$$= 3{,}979\,\text{A}$Vastaus
$4{,}0\,\text{A}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentässä $20\,\text{mT}$ ja pituudessa $0{,}30\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Kierrostiheys on $1200 : 0{,}30\,\text{m} = 4000$ kierrosta metrillä. Yksi ampeeri antaa silloin noin $4 \cdot 1{,}26\,\text{mT} \approx 5\,\text{mT}$. Neljä ampeeria antaa noin $20\,\text{mT}$, kuten haluttiin.
- Tehtävä 3-7Ydintehtävä
Pitkässä suorassa johtimessa kulkee virta $6{,}0\,\text{A}$. Kuinka kaukana johtimesta sen magneettivuon tiheys on yhtä suuri kuin Maan magneettikentän vaakakomponentti $14\,\mu\text{T}$? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$8{,}6\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pitkä suora johdin, virta $I = 6{,}0\,\text{A}$, kentän suuruus $B = 14\,\mu\text{T}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
etäisyys $r$ senttimetreinä
Periaate
Pitkän suoran johtimen kenttä heikkenee kääntäen verrannollisesti etäisyyteen. Siksi kenttä on $14\,\mu\text{T}$ vain yhdellä etäisyydellä. Se ratkaistaan suoran johtimen kaavasta.
Kaava
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, josta $r = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi B}$
Muunnokset
$B$$= 14\,\mu\text{T}$$= 14 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$r$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 6{,}0\,\text{A}}{2\pi \cdot 14 \cdot 10^{-6}\,\text{T}}$$= 0{,}0857\,\text{m}$$= 8{,}57\,\text{cm}$Vastaus
$8{,}6\,\text{cm}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virrassa $6{,}0\,\text{A}$ ja kentässä $14\,\mu\text{T}$ on kaksi.
Järkevyys
Tarkistetaan sijoittamalla takaisin:
$2 \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 6{,}0\,\text{A} : 0{,}0857\,\text{m}$$= 1{,}4 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$Lähempänä johdinta sen kenttä on Maan kenttää voimakkaampi, kauempana heikompi. Siksi kompassin on oltava muutaman senttimetrin päässä, jotta Ørstedin koe näkyy selvästi.
- Tehtävä 3-8
Opiskelija kelaa $25\,\text{m}$ eristettyä kuparilankaa yhteen kerrokseen pahviputken ympärille. Putken halkaisija on $4{,}0\,\text{cm}$, ja valmiin käämin pituus on $0{,}20\,\text{m}$. Langan paksuutta ei oteta huomioon.
Kuinka suuri on magneettivuon tiheys käämin keskellä, kun siinä kulkee virta $2{,}0\,\text{A}$? Anna vastaus millitesloina.
Vastaus
$2{,}5\,\text{mT}$
Näytä ratkaisu
Annettu
langan pituus $L = 25\,\text{m}$, putken halkaisija $d = 4{,}0\,\text{cm}$, käämin pituus $l = 0{,}20\,\text{m}$, virta $I = 2{,}0\,\text{A}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ käämin keskellä millitesloina
Periaate
Ensin lasketaan kierrosten määrä. Yhteen kierrokseen kuluu lankaa putken ympärysmitan $\pi d$ verran. Käämi on viisi kertaa niin pitkä kuin paksu, joten sen keskellä voi käyttää pitkän käämin kaavaa.
Kaava
$N = \dfrac{L}{\pi d}$ ja $B = \mu_0 \dfrac{N I}{l}$, josta $B = \dfrac{\mu_0 L I}{\pi d\, l}$
Muunnokset
$d$$= 4{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}040\,\text{m}$lopuksi $1\,\text{mT} = 10^{-3}\,\text{T}$.
Sijoitus
$N$$= \dfrac{25\,\text{m}}{\pi \cdot 0{,}040\,\text{m}}$$= 198{,}9$$B$$= 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot \dfrac{198{,}9 \cdot 2{,}0\,\text{A}}{0{,}20\,\text{m}}$$= 2{,}50 \cdot 10^{-3}\,\text{T}$Vastaus
$2{,}5\,\text{mT}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska langan pituudessa $25\,\text{m}$ ja halkaisijassa $4{,}0\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Kierroksia on noin $200$ ja kierrostiheys noin $1000$ kierrosta metrillä. Silloin $2\,\text{A}$ antaa noin $2 \cdot 1{,}26\,\text{mT} \approx 2{,}5\,\text{mT}$. Lyhyessä käämissä kenttä on todellisuudessa hieman pienempi kuin kaava antaa.
- Tehtävä 3-9
Kaksi pitkää yhdensuuntaista johdinta on $10\,\text{cm}$:n etäisyydellä toisistaan. Kummassakin kulkee virta $10\,\text{A}$, mutta vastakkaisiin suuntiin. Kuinka suuri on magneettivuon tiheys johtimien puolivälissä? Anna vastaus mikrotesloina.
Vastaus
$80\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaksi pitkää yhdensuuntaista johdinta, etäisyys $d = 10\,\text{cm}$, virrat $I = 10\,\text{A}$ vastakkaisiin suuntiin; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
magneettivuon tiheys $B$ johtimien puolivälissä mikrotesloina
Periaate
Kenttien vektorit lasketaan yhteen. Oikean käden säännön mukaan vastakkaissuuntaisten virtojen kentät osoittavat johtimien välissä samaan suuntaan. Kun peukalo osoittaa toisessa johtimessa ylös ja toisessa alas, sormet kiertävät johtimien välissä samaan suuntaan. Puolivälissä kumpikin johdin on $5{,}0\,\text{cm}$:n päässä. Kentät ovat siis yhtä suuret ja vahvistavat toisiaan.
Kaava
$B = 2 \cdot \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, missä $r = \dfrac{d}{2}$, eli $B = \dfrac{\mu_0 I}{\pi r}$
Muunnokset
$r$$= 5{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}050\,\text{m}$lopuksi $1\,\mu\text{T} = 10^{-6}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B$$= \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 10\,\text{A}}{\pi \cdot 0{,}050\,\text{m}}$$= 8{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$$= 80\,\mu\text{T}$Vastaus
$80\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virroissa $10\,\text{A}$ ja etäisyydessä $10\,\text{cm}$ on kaksi.
Järkevyys
Yksi $10\,\text{A}$:n johdin antaa $5\,\text{cm}$:n päässä $40\,\mu\text{T}$. Kaksi samansuuntaista kenttää antaa kaksinkertaisen. Jos virrat olisivat samansuuntaiset, kentät kumoaisivat toisensa puolivälissä.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 3-10
Kompassi on pöydällä, ja sen neula osoittaa pohjoiseen. Suoraan kompassin yläpuolelle, $5{,}0\,\text{cm}$:n korkeudelle, viritetään pohjois–eteläsuuntainen johdin.
Kun johtimeen kytketään virta, neula kääntyy $30^\circ$. Maan magneettikentän vaakakomponentti on $14\,\mu\text{T}$. Johtimen kenttä on kompassin kohdalla vaakasuora ja kohtisuorassa Maan kentän vaakakomponenttia vastaan.
Kuinka suuri virta johtimessa kulkee?
Vastaus
$2{,}0\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
johdin $r = 5{,}0\,\text{cm}$ kompassin yläpuolella, neulan kääntymiskulma $\alpha = 30^\circ$, Maan kentän vaakakomponentti $B_\text{h} = 14\,\mu\text{T}$; johtimen kenttä $B_\text{j}$ on kohtisuorassa $B_\text{h}$:ta vastaan; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
johtimen virta $I$ ampeereina
Periaate
Kompassin neula kääntyy kokonaiskentän suuntaan. Kokonaiskenttä on kahden kohtisuoran kentän vektorisumma. Siksi neulan kääntymiskulmalle pätee $\tan \alpha = B_\text{j} : B_\text{h}$. Johdin on pitkä ja suora, joten sen kentästä saadaan virta suoran johtimen kaavalla.
Kaava
$\tan \alpha$$= \dfrac{B_\text{j}}{B_\text{h}}$$B_\text{j} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, josta
$I$$= \dfrac{2\pi r B_\text{h} \tan \alpha}{\mu_0}$Muunnokset
$r$$= 5{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$$= 0{,}050\,\text{m}$$B_\text{h} = 14 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$.
Sijoitus
$B_\text{j}$$= 14 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot \tan 30^\circ$$= 8{,}083 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$$I$$= \dfrac{2\pi \cdot 0{,}050\,\text{m} \cdot 8{,}083 \cdot 10^{-6}\,\text{T}}{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}}$$= 2{,}02\,\text{A}$Vastaus
$2{,}0\,\text{A}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska etäisyydessä $5{,}0\,\text{cm}$ ja kentässä $14\,\mu\text{T}$ on kaksi.
Järkevyys
Kulma on alle $45^\circ$, joten johtimen kentän on oltava Maan kenttää heikompi. Tulos $8\,\mu\text{T} < 14\,\mu\text{T}$ täyttää tämän. Kahden ampeerin virta on tavallinen koulun virtalähteelle. Juuri tällaisella kokeella Ørsted havaitsi ilmiön.
- Tehtävä 3-11
Magneettikuvauslaitteen suprajohtava käämi tuottaa sisälleen magneettikentän $1{,}5\,\text{T}$. Käämin pituus on $1{,}6\,\text{m}$, sen halkaisija on $1{,}0\,\text{m}$, ja siinä kulkee virta $400\,\text{A}$. Oleta käämi pitkäksi. Oleta myös, että kaikkien kierrosten halkaisija on $1{,}0\,\text{m}$. Arvioi, kuinka monta kilometriä suprajohtavaa lankaa käämiin tarvitaan.
Vastaus
$15\,\text{km}$
Näytä ratkaisu
Annettu
magneettikuvauslaitteen käämi, $B = 1{,}5\,\text{T}$, pituus $l = 1{,}6\,\text{m}$, kierroksen halkaisija $d = 1{,}0\,\text{m}$, virta $I = 400\,\text{A}$; $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$
Kysytty
langan kokonaispituus $L$ kilometreinä
Periaate
Tehtävässä käämi oletetaan pitkäksi. Siksi kierrosten määrä ratkaistaan kaavasta $B = \mu_0 \tfrac{N I}{l}$. Jokaiseen kierrokseen kuluu lankaa ympärysmitan $\pi d$ verran. Langan pituus on siis kierrosten määrä kertaa ympärysmitta.
Kaava
$N = \dfrac{B l}{\mu_0 I}$ ja $L = N \pi d$, josta $L = \dfrac{\pi d B l}{\mu_0 I}$
Muunnokset
Ei tarvita ennen sijoitusta, koska kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.
Sijoitus
$N$$= \dfrac{1{,}5\,\text{T} \cdot 1{,}6\,\text{m}}{4\pi \cdot 10^{-7}\,\tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}} \cdot 400\,\text{A}}$$= 4775$$L$$= 4775 \cdot \pi \cdot 1{,}0\,\text{m}$$= 15\,000\,\text{m}$$= 15\,\text{km}$Vastaus
noin $15\,\text{km}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentässä $1{,}5\,\text{T}$ ja halkaisijassa $1{,}0\,\text{m}$ on kaksi.
Järkevyys
Kenttä on noin $30\,000$-kertainen Maan kenttään verrattuna. Siksi tarvitaan sekä suuri virta että tuhansia kierroksia. Kierrostiheys on noin $3000$ kierrosta metrillä. Tavallinen kuparilanka kuumenisi tällaisella virralla liikaa, joten lanka on suprajohdetta. Arvio on karkea, koska todellinen käämi ei ole pitkä paksuuteensa verrattuna. Pituus on vain $1{,}6$-kertainen halkaisijaan nähden. Silloin keskikohdan kenttä on noin $85\,\%$ pitkän käämin kaavan arvosta. Todellinen käämi tarvitsee siis enemmän lankaa kuin $15\,\text{km}$.
- Tehtävä 3-12
Kaksi pitkää yhdensuuntaista johdinta on $10\,\text{cm}$:n etäisyydellä toisistaan. Johtimissa kulkevat samansuuntaiset virrat $4{,}0\,\text{A}$ ja $6{,}0\,\text{A}$.
Missä kohdassa johtimien välissä niiden yhteinen magneettikenttä on nolla? Anna vastaus etäisyytenä $4{,}0\,\text{A}$:n johtimesta senttimetreinä.
Vastaus
$4{,}0\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kaksi pitkää yhdensuuntaista johdinta, etäisyys $d = 10\,\text{cm}$, samansuuntaiset virrat $I_1 = 4{,}0\,\text{A}$ ja $I_2 = 6{,}0\,\text{A}$
Kysytty
kentän nollakohdan etäisyys $x$ johtimesta, jossa kulkee virta $I_1$, senttimetreinä
Periaate
Oikean käden säännön mukaan samansuuntaisten virtojen kentät osoittavat johtimien välissä vastakkaisiin suuntiin. Jossakin välin kohdassa ne kumoavat toisensa. Siellä kenttien suuruudet ovat yhtä suuret. Heikomman virran johtimen on oltava lähempänä, jotta sen kenttä on yhtä vahva.
Kaava
$\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi x}$$= \dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi (d - x)}$josta $I_1 (d - x) = I_2 x$ ja $x = \dfrac{I_1 d}{I_1 + I_2}$
Muunnokset
Ei tarvita. Vakio $\mu_0$ ja luku $2\pi$ supistuvat. Kun $d$ sijoitetaan senttimetreinä, $x$ tulee senttimetreinä.
Sijoitus
$x$$= \dfrac{4{,}0\,\text{A} \cdot 10\,\text{cm}}{4{,}0\,\text{A} + 6{,}0\,\text{A}}$$= 4{,}0\,\text{cm}$Vastaus
$4{,}0\,\text{cm}$
$4{,}0\,\text{A}$:n johtimesta. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska virroissa on kaksi.
Järkevyys
Kohta on lähempänä heikomman virran johdinta, kuten pitääkin. Tarkistus: $4{,}0\,\text{A} : 4{,}0\,\text{cm} = 1{,}0\,\tfrac{\text{A}}{\text{cm}}$ ja $6{,}0\,\text{A} : 6{,}0\,\text{cm} = 1{,}0\,\tfrac{\text{A}}{\text{cm}}$. Kentät ovat siis yhtä suuret.
Valokuvat
- Straight-wire-magnetic-field-compass-needles. MikeRun. lähde, CC BY-SA 4.0
