Magneetit, magneettinen dipoli ja magneettikenttä
Miksi kompassin neula osoittaa metsässä aina pohjoiseen, mutta kääntyy heti muualle, kun sen viereen tuodaan magneetti?
Pohjatiedot
- Kohtisuorat vektorit lasketaan yhteen Pythagoraan lauseella, ja suunta saadaan tangentistaluku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 2.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Magneetti
- Kappale, jolla on pohjois- ja etelänapa. Erinimiset navat vetävät toisiaan puoleensa ja samannimiset hylkivät.
- Magneettinen dipoli
- Kappale, jolla on aina kaksi napaa. Jos magneetin katkaisee, kumpaankin osaan syntyy taas kaksi napaa.
- Magneettikenttä
- Magneetin ympärillä oleva alue, jossa toinen magneetti tai kompassineula kokee voiman.
- Kenttäviiva
- Viiva, joka näyttää kentän suunnan. Tiheät viivat tarkoittavat voimakasta kenttää.
- Magneettivuon tiheys
- Suure, joka kertoo magneettikentän voimakkuuden ja suunnan. Sen yksikkö on tesla.
Pohdinta
Suunnistaja asettaa kompassin kartan päälle. Neula kääntyy tottelevaisesti pohjoiseen. Sitten hän laskee kompassin viereen taskulampun, jossa on pieni magneetti. Neula kääntyy aivan toiseen suuntaan. Kun lamppu viedään pois, neula palaa pohjoiseen.
Mikä kääntää kompassin neulaa? Miksi magneetti voittaa kilpailun, kun se tuodaan lähelle?
Valinnainen Kertaa: vektorien summa
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: etäisyys
Ennuste 2: magneetin kyljessä
Tutki
Simulaatiossa sauvamagneetti on pöydällä ylhäältä nähtynä, pohjoinen ylöspäin. Siirrä kompassia magneetin ympärillä. Katso, mihin neula kääntyy.
Simulaatio
Käyttöohje
Kompassin paikka annetaan kahdella luvulla. Etäisyys $r$ mitataan magneetin keskeltä. Suunta $\varphi$ mitataan idästä vastapäivään. Kun $\varphi = 0^\circ$, kompassi on magneetin akselilla itäpuolella. Kun $\varphi = 90^\circ$, kompassi on magneetin pohjoispuolella. Voit myös vetää kompassia hiirellä tai sormella. Magneetti kääntää magneetin niin, että sen pohjoisnapa on idässä tai lännessä. Maan kenttä lisää tai poistaa Maan kentän vaakakomponentin. Se osoittaa pohjoiseen. Ruudut näyttävät magneetin omat kenttäviivat ja kompassiruudukon. Ruudukon pienet neulat näyttävät kokonaiskentän suunnan joka kohdassa. Heilauta neulaa tönäisee neulaa. Nopeus muuttaa vain neulan liikkeen tahtia. Lukemissa $B_\text{m}$ on magneetin kenttä ja $B_\text{h}$ on Maan kentän vaakakomponentti. Kokonaiskenttä on $B$. Neulan suunta pohjoisesta on $\theta$: positiivinen kulma on itään ja negatiivinen länteen.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Magneetti on mallinnettu kahtena napana, jotka ovat $4\,\text{cm}$:n päässä magneetin keskeltä. Kentän voimakkuus on valittu niin, että magneetin akselilla $10\,\text{cm}$:n päässä keskeltä $B_\text{m} = 30{,}0\,\mu\text{T}$. Maan kentän vaakakomponentti on Etelä-Suomen arvo $14\,\mu\text{T}$. Pystykomponentti ei käännä vaakasuoraa neulaa. Kompassin oma kenttä ei muuta magneetin kenttää. Neula kääntyy vaimenevasti kokonaiskentän suuntaan. Lukema $\theta$ on suunta, johon neula asettuu.
Laskennan selitys
Kummankin navan kenttä heikkenee etäisyyden neliön mukaan. Magneetin kenttä $\overline{B}_\text{m}$ on napojen kenttien vektorisumma. Kokonaiskenttä on $\overline{B} = \overline{B}_\text{m} + \overline{B}_\text{h}$. Neulan suunta pohjoisesta on kulma $\theta$. Sille $\tan\theta$ on kokonaiskentän itäkomponentin ja pohjoiskomponentin suhde.
Koe 1: kenttä heikkenee etäisyyden kasvaessa
Alkutilassa kompassi on magneetin akselilla itäpuolella ($\varphi = 0^\circ$), magneetin pohjoisnapa on idässä ja Maan kenttä on mukana. Muuta etäisyyttä $r$. Kirjaa neulan suunta $\theta$ ja magneetin kenttä $B_\text{m}$. Kirjaa ainakin etäisyydet $10\,\text{cm}$, $12\,\text{cm}$, $14\,\text{cm}$ ja $20\,\text{cm}$.
Alkutila: suunta $\varphi$ = $0^\circ$, magneetti: pohjoisnapa itään, Maan kenttä: mukana, etäisyys $r$ = $10\,\text{cm}$. Vakiona: suunta $\varphi$, magneetti, Maan kenttä. Muutetaan: etäisyys $r$.
| etäisyys $r$ | $\theta$ $(^\circ)$ | magneetin kenttä $B_m$ $(\mu\text{T})$ |
|---|
Laske taulukostasi, kuinka monta kertaa suurempi magneetin kenttä $B_\text{m}$ on $10\,\text{cm}$:n etäisyydellä kuin $20\,\text{cm}$:n etäisyydellä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Etsi taulukosta rivit $r = 10\,\text{cm}$ ja $r = 20\,\text{cm}$.
Vihje 2: mikä yhteys
Kysymykseen "kuinka monta kertaa suurempi" vastataan jakamalla. Jaa suurempi kenttä pienemmällä.
Vihje 3: välivaihe
$30{,}0\,\mu\text{T} : 2{,}9\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taulukosta mallin arvot $B_\text{m} = 30{,}0\,\mu\text{T}$, kun $r = 10\,\text{cm}$, ja $B_\text{m} = 2{,}9\,\mu\text{T}$, kun $r = 20\,\text{cm}$
Kysytty
kenttien suhde $B_\text{m}(10\,\text{cm}) : B_\text{m}(20\,\text{cm})$, paljas luku
Periaate
Kysymys "kuinka monta kertaa suurempi" ratkaistaan jakamalla suurempi arvo pienemmällä. Molemmat kentät on mitattu samalla suoralla magneetin akselilla. Ne ovat siis samansuuntaisia, ja niiden suuruuksia voi verrata suoraan.
Kaava
$k = \dfrac{B_1}{B_2}$, missä $B_1$ on kenttä $10\,\text{cm}$:n päässä ja $B_2$ kenttä $20\,\text{cm}$:n päässä
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Molemmat kentät ovat mikrotesloina, ja yksikkö supistuu.
Sijoitus
Vastaus
noin $10$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lukemassa $2{,}9\,\mu\text{T}$ on kaksi. Tarkemmilla mallin arvoilla suhde on $10{,}4$.
Järkevyys
Jos kenttä heikkenisi etäisyyden neliön mukaan, suhde olisi $2^2 = 4$. Jos kenttä olisi suoraan verrannollinen etäisyyteen, suhde olisi $2$. Saatu $10$ on lähellä lukua $2^3 = 8$ mutta hieman suurempi. Syy on tämä: $10\,\text{cm}$:n päässä magneetin lähempi napa vaikuttaa vielä selvästi enemmän kuin kauempi. Neulakin kertoo saman: kulma pieneni $65^\circ$:sta noin $12^\circ$:een.
Koe 2: kentän suunta magneetin ympärillä
Alkutilassa Maan kenttä on poistettu. Silloin neula näyttää pelkän magneetin kentän suunnan. Kompassi on $14\,\text{cm}$:n päässä magneetin keskeltä. Siirrä kompassia magneetin ympäri muuttamalla suuntaa $\varphi$. Kirjaa neulan suunta. Kirjaa ainakin suunnat $0^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, $135^\circ$ ja $180^\circ$. Pidä kenttäviivat näkyvissä.
Alkutila: etäisyys $r$ = $14\,\text{cm}$, magneetti: pohjoisnapa itään, Maan kenttä: pois, suunta $\varphi$ = $0^\circ$. Vakiona: etäisyys $r$, magneetti, Maan kenttä. Muutetaan: suunta $\varphi$.
| suunta $\varphi$ | $\theta$ $(^\circ)$ | magneetin kenttä $B_m$ $(\mu\text{T})$ |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, mihin kompassin neula kääntyy magneetin lähellä. Selitä myös, miksi magneetin vaikutus neulaan heikkenee, kun kompassi viedään kauemmas. Käytä sanoja kenttäviiva, magneettikenttä ja Maan kenttä.
Mallivastaus
Kompassin neula on pieni magneetti. Se kääntyy kokonaiskentän suuntaiseksi: sen pohjoispää osoittaa kentän suuntaan eli kenttäviivaa pitkin. Kokeessa 2 Maan kenttä oli poistettu. Akselilla magneetin itäpuolella neula osoitti itään, poispäin pohjoisnavasta. Länsipuolella neula osoitti myös itään, kohti etelänapaa. Magneetin kyljessä neula osoitti länteen eli magneetin suuntaisesti kohti etelänapaa. Neula seurasi siis kenttäviivoja. Ne kulkevat magneetin ulkopuolella pohjoisnavasta etelänapaan. Kokeessa 1 magneetin kenttä oli mallin arvoissa $10\,\text{cm}$:n päässä $30{,}0\,\mu\text{T}$, $14\,\text{cm}$:n päässä $9{,}1\,\mu\text{T}$ ja $20\,\text{cm}$:n päässä vain $2{,}9\,\mu\text{T}$. Neula kääntyi pohjoisesta $65^\circ$, $33^\circ$ ja $12^\circ$. Lähellä magneettia magneetin kenttä on paljon suurempi kuin Maan kentän vaakakomponentti $14\,\mu\text{T}$. Silloin magneetin kenttä määrää suunnan. Kauempana Maan kenttä voittaa, ja neula kääntyy takaisin kohti pohjoista.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Magneetin navat
Magneetin vaikutus on voimakkain sen päissä. Magneetin päitä sanotaan navoiksi. Ripusta sauvamagneetti langasta niin, että se voi kääntyä vapaasti. Silloin se asettuu pohjois–eteläsuuntaan. Pohjoiseen kääntyvä pää on magneetin pohjoisnapa $\text{N}$. Etelään kääntyvä pää on etelänapa $\text{S}$.
Kahden magneetin samannimiset navat hylkivät toisiaan. Erinimiset navat vetävät toisiaan puoleensa. Magneetit vaikuttavat toisiinsa myös silloin, kun ne eivät kosketa toisiaan. Vaikutus heikkenee nopeasti, kun magneetit siirtyvät kauemmas toisistaan.
Magneettinen dipoli
Katkaise sauvamagneetti kahtia. Kummastakin palasta tulee kokonainen magneetti, jolla on sekä pohjoisnapa että etelänapa. Sama tapahtuu, vaikka paloja pilkottaisiin yhä pienemmiksi. Magneetin navat ovat siis aina pareina. Tällaista paria sanotaan magneettiseksi dipoliksi.
Tässä magneettinen vuorovaikutus eroaa sähköisestä. Positiivisen ja negatiivisen sähkövarauksen voi erottaa toisistaan. Yksittäistä magneettinapaa ei ole koskaan löydetty.
Ferromagnetismi ja alkeisalueet
Magneetti vetää puoleensa rautaa, nikkeliä ja kobolttia. Se vetää myös monia niiden seoksia, esimerkiksi terästä. Näitä aineita sanotaan ferromagneettisiksi. Jokainen niiden atomi on pieni magneettinen dipoli.
Ferromagneettisessa aineessa vierekkäisten atomien dipolit osoittavat samaan suuntaan. Aine jakautuu pieniin osiin, jotka ovat tyypillisesti mikrometrien kokoisia. Näitä osia sanotaan alkeisalueiksi. Yhden alkeisalueen kaikki atomidipolit osoittavat samaan suuntaan. Magnetoimattomassa raudassa eri alkeisalueet osoittavat eri suuntiin. Silloin niiden vaikutukset kumoavat toisensa, eikä kappale ole magneetti.
Tuo rautakappale magneetin lähelle. Magneetin kenttä kääntää alkeisalueiden suuntia. Se myös kasvattaa niitä alkeisalueita, joiden suunta on kentän suuntainen. Rauta magnetoituu, eli siitä tulee magneetti. Sen magneetin puoleinen pää on erinimisen navan kaltainen. Siksi magneetti vetää puoleensa magnetoimatontakin rautanaulaa.
Pehmeä rauta menettää magnetoitumisensa lähes kokonaan, kun magneetti viedään pois. Kovassa teräksessä ja neodyymimagneetin seoksessa alkeisalueet jäävät järjestykseen. Niistä tehdään kestomagneetteja.
Kuumenna rautaa riittävän kuumaksi, raudalla noin $770\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilaan. Silloin alkeisalueiden järjestys menee sekaisin, ja ferromagnetismi katoaa.
Useimmat muut aineet eivät tartu magneettiin. Tällaisia ovat esimerkiksi alumiini, kupari, puu, muovi ja vesi. Niiden magneettiset vaikutukset ovat niin heikkoja, ettei arkisilla magneeteilla huomaa niitä.
Magneettikenttä ja kenttäviivat
Magneetti muuttaa ympäröivää tilaa. Toinen magneetti tai rautakappale kokee siinä voiman. Tätä tilaa magneetin ympärillä sanotaan magneettikentäksi. Kentän suunta jossakin pisteessä on se suunta, johon kompassin neulan pohjoispää osoittaa, kun kompassi on siinä pisteessä. Kompassi on siis pieni koetinmagneetti. Sillä saa selville kentän suunnan yhdessä paikassa kerrallaan.
Kenttää piirretään kenttäviivoilla. Kenttäviivan suunta joka pisteessä on kentän suunta. Magneetin ulkopuolella viivat kulkevat pohjoisnavasta etelänapaan. Magneetin sisällä ne kulkevat etelänavasta pohjoisnapaan. Siksi jokainen viiva on suljettu silmukka.
Missä viivat ovat tiheässä, siellä kenttä on voimakas. Kenttäviivat eivät koskaan leikkaa toisiaan, koska kentällä on jokaisessa pisteessä vain yksi suunta.
Maan magneettikenttä
Maapallolla on magneettikenttä, joka muistuttaa sauvamagneetin kenttää. Se syntyy Maan ulkoytimen sulan raudan liikkeistä ja niihin liittyvistä sähkövirroista. Kompassin neulan pohjoispää kääntyy kohti maantieteellistä pohjoista.
Erinimiset navat vetävät toisiaan. Siksi maantieteellisen pohjoisnavan lähellä on Maan magneettinen etelänapa $\text{S}$. Maantieteellisen etelänavan lähellä on magneettinen pohjoisnapa $\text{N}$.
Magneettiset navat eivät ole tarkalleen maantieteellisten napojen kohdalla, ja ne liikkuvat hitaasti. Siksi kompassi ei osoita aivan oikeaan pohjoiseen. Suomessa poikkeama on nykyään etelässä noin $10^\circ$ ja Lapissa noin $15^\circ$ itään. Suomessa kenttäviivat myös painuvat jyrkästi maata kohti, noin $73^\circ$–$79^\circ$ vaakatason alapuolelle. Tätä kulmaa sanotaan inklinaatioksi.
Magneettikenttien yhteisvaikutus
Magneettikentän voimakkuutta ja suuntaa kuvaa vektorisuure magneettivuon tiheys $\overline{B}$. Vektorilla on suunta ja suuruus. Vektorin suunta on kentän suunta. Sen suuruus $B$ kertoo, kuinka voimakas kenttä on.
Magneettivuon tiheyden yksikkö on tesla $\text{T}$. Teslan määritelmä perustuu siihen, millaisen voiman magneettikenttä antaa liikkuvalle varaukselle. Sen opit luvussa Varattu hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä. Tesla on suuri yksikkö. Siksi arkisia kenttiä ilmoitetaan usein millitesloina, $1\,\text{mT} = 10^{-3}\,\text{T}$, tai mikrotesloina, $1\,\mu\text{T} = 10^{-6}\,\text{T}$.
| Kohde | $B$ |
|---|---|
| Maa, Etelä-Suomi | noin $52\,\mu\text{T}$ |
| jääkaappimagneetti | noin $5\,\text{mT}$ |
| neodyymimagneetti | noin $0{,}5\,\text{T}$ |
| magneettikuvaus | $1{,}5$–$3\,\text{T}$ |
| laboratoriomagneetti | noin $45\,\text{T}$ |
Maan kentän arvo ($52$–$53\,\mu\text{T}$ Etelä-Suomessa) on World Magnetic Model 2025 -mallista (NOAA ja British Geological Survey). Sairaaloiden magneettikuvauslaitteiden kentät ovat tavallisesti $1{,}5\,\text{T}$ tai $3\,\text{T}$. Noin $45\,\text{T}$:n jatkuvia kenttiä tehdään tutkimuslaboratorioissa, esimerkiksi National High Magnetic Field Laboratoryn hybridimagneetilla Yhdysvalloissa. Magneettien arvot ovat suuruusluokkia magneetin pinnalla.
Joskus samaan pisteeseen vaikuttaa kaksi magneettikenttää. Silloin kokonaiskenttä on niiden vektorisumma:
$$\overline{B} = \overline{B}_1 + \overline{B}_2$$
missä $\overline{B}_1$ ja $\overline{B}_2$ ovat kenttien magneettivuon tiheydet (T) ja $\overline{B}$ on kokonaiskenttä (T). Kompassin neula kääntyy kokonaiskentän suuntaiseksi.
Entä jos kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan? Silloin kokonaiskentän suuruus saadaan Pythagoraan lauseesta ja suunta tangentista:
$$\begin{aligned} B &= \sqrt{B_1^2 + B_2^2} \\ \tan\theta &= \frac{B_2}{B_1} \end{aligned}$$
missä $\theta$ on kokonaiskentän ja kentän $\overline{B}_1$ välinen kulma.
Tätä käytetään kompassimittauksessa. Kompassin kohdalla Maan kentän vaakakomponentti $\overline{B}_\text{h}$ osoittaa pohjoiseen. Aseta magneetti niin, että sen kenttä $\overline{B}_\text{m}$ osoittaa kompassin kohdalla itään. Silloin neula kääntyy pohjoisesta itään kulman $\theta$ verran, ja $\tan\theta = B_\text{m} : B_\text{h}$. Magneetin kentän voi siis mitata kompassilla, kun Maan kentän vaakakomponentti tunnetaan.
Suomessa Maan kenttä osoittaa vinosti maahan. Kompassin neula kääntyy vain vaakatasossa. Siksi sitä kääntää vain kentän vaakakomponentti. Olkoon kentän suuruus $B$ ja inklinaatio $I$. Silloin komponentit ovat
$$\begin{aligned} B_\text{h} &= B\cos I \\ B_\text{v} &= B\sin I \end{aligned}$$
missä $B_\text{h}$ on vaakakomponentti ja $B_\text{v}$ on pystykomponentti. Etelä-Suomessa $B \approx 52\,\mu\text{T}$ ja $I \approx 74^\circ$. Silloin vaakakomponentti on vain noin $14\,\mu\text{T}$ ja pystykomponentti noin $50\,\mu\text{T}$. Nämä ovat kurssin pyöristetyt arvot. Tarkempi malli antaa Helsingissä vaakakomponentiksi noin $15\,\mu\text{T}$.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että maantieteellisen pohjoisnavan lähellä on Maan magneettinen pohjoisnapa, koska kompassi osoittaa sinne. Kompassin neulan pohjoispää on kuitenkin magneetin pohjoisnapa. Sitä vetää puoleensa eriniminen napa. Maantieteellisen pohjoisnavan lähellä on siis magneettinen etelänapa.
Toinen virhe on luulla, että magneetin navat voi erottaa katkaisemalla magneetin keskeltä. Katkaisukohtaan syntyy kaksi uutta napaa. Kummastakin palasta tulee kokonainen dipoli. Kolmas virhe on ajatella, että magneetti vetää kaikkia metalleja. Alumiinitölkki tai kuparikolikko ei tartu magneettiin, koska ne eivät ole ferromagneettisia.
Laskuissa yleisin virhe on laskea kohtisuorat kentät yhteen kuin tavalliset luvut. Kentät $14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen ja $18\,\mu\text{T}$ itään antavat kokonaiskentän $\sqrt{(14\,\mu\text{T})^2 + (18\,\mu\text{T})^2} \approx 23\,\mu\text{T}$, ei $32\,\mu\text{T}$.
Tiivistelmä
- Magneetilla on aina kaksi napaa, pohjoisnapa $\text{N}$ ja etelänapa $\text{S}$. Se on magneettinen dipoli. Samannimiset navat hylkivät ja erinimiset vetävät toisiaan. Yksittäistä napaa ei ole löydetty.
- Ferromagneettisissa aineissa, kuten raudassa, atomidipolit muodostavat alkeisalueita. Magneetin kenttä järjestää ne. Silloin aine magnetoituu ja magneetti vetää sitä.
- Magneettikentän suunta on se, johon kompassin neulan pohjoispää osoittaa. Kenttäviivat kulkevat magneetin ulkopuolella pohjoisnavasta etelänapaan. Viivojen tiheys kertoo kentän voimakkuuden.
- Maantieteellisen pohjoisnavan lähellä on Maan magneettinen etelänapa. Suomessa Maan kenttä on noin $52\,\mu\text{T}$ ja osoittaa jyrkästi maahan.
- Magneettivuon tiheys $\overline{B}$ on vektori, jonka yksikkö on tesla $\text{T}$. Kentät lasketaan yhteen vektoreina. Kohtisuorille kentille $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ ja $\tan\theta = B_2 : B_1$.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi simulaation tuloksiin. Mitä opit kenttäviivojen suunnasta? Mitä opit siitä, kuinka nopeasti magneetin kenttä heikkenee? Palaa myös alun suunnistajaan: miksi taskulampun magneetti kääntää neulan vain silloin, kun se on lähellä?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Kompassi on vaakasuoralla pöydällä Etelä-Suomessa. Siellä Maan magneettikentän vaakakomponentti on $14\,\mu\text{T}$. Pöydälle asetetaan sauvamagneetti kompassin itäpuolelle itä–länsi-suuntaisesti. Magneetin etelänapa $\text{S}$ on kompassia kohti. Kompassin neula kääntyy $52^\circ$ pohjoisesta itään. Kuinka suuri on magneetin magneettivuon tiheys kompassin kohdalla?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Maan kentän vaakakomponentti on $B_\text{h} = 14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen. Neulan kääntymiskulma on $\theta = 52^\circ$ itään. Kysytään magneetin magneettivuon tiheyttä $B_\text{m}$ kompassin kohdalla.
Vaihe 2/7
Periaate. Kompassin neula kääntyy kokonaiskentän suuntaiseksi. Magneetin kenttä osoittaa kompassin kohdalla kohti magneetin etelänapaa eli itään. Siksi se on kohtisuorassa pohjoiseen osoittavaa Maan kentän vaakakomponenttia vastaan. Kokonaiskenttä on suorakulmion lävistäjä. Kulman $\theta$ tangentti on vastaisen ja viereisen kateetin suhde.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{B_\text{m}}{B_\text{h}} \\ B_\text{m} &= B_\text{h}\tan\theta \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Niitä ei tarvita. $\tan\theta$ on pelkkä luku, joten $B_\text{m}$ tulee samassa yksikössä kuin $B_\text{h}$ eli mikrotesloina. Tarvittaessa $1\,\mu\text{T} = 10^{-6}\,\text{T}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} B_\text{m} &= B_\text{h}\tan\theta \\ &= 14\,\mu\text{T} \cdot \tan 52^\circ \\ &= 14\,\mu\text{T} \cdot 1{,}280 \\ &= 17{,}9\,\mu\text{T} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Magneetin magneettivuon tiheys kompassin kohdalla on noin $18\,\mu\text{T} = 1{,}8 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$. Tulos annetaan kahdella merkitsevällä numerolla. Vaakakomponentti $14\,\mu\text{T}$ ja kulma $52^\circ$ tunnetaan nimittäin kahden numeron tarkkuudella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Jos kulma olisi $45^\circ$, magneetin kenttä olisi yhtä suuri kuin $B_\text{h}$. Kulma on yli $45^\circ$, joten $B_\text{m}$ on suurempi kuin $14\,\mu\text{T}$. Tulos on sellainen. Kokonaiskenttä on
Saman tuloksen antaa $B_\text{h} : \cos 52^\circ$. Kenttä on Maan kentän suuruusluokkaa. Se sopii magneetille, joka on noin kymmenen senttimetrin päässä.
Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Pöydällä on kompassi ja kaksi magneettia. Magneetin A kenttä kompassin kohdalla on $20\,\mu\text{T}$ itään. Magneetin B kenttä on $12\,\mu\text{T}$ pohjoiseen. Maan kentän vaakakomponentti on $14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen.
Kuinka monta astetta pohjoisesta itään kompassin neula kääntyy?
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mitkä kentistä ovat samansuuntaisia? Ne voi laskea yhteen lukuina.
Vihje 2: mikä yhteys
Pohjoiseen osoittavat kentät ovat yhteensä $12\,\mu\text{T} + 14\,\mu\text{T} = 26\,\mu\text{T}$. Itään osoittaa $20\,\mu\text{T}$.
Vihje 3: välivaihe
kun $\theta$ mitataan pohjoisesta.
Näytä ratkaisu
Annettu
magneetin A kenttä $B_\text{A} = 20\,\mu\text{T}$ itään, magneetin B kenttä $B_\text{B} = 12\,\mu\text{T}$ pohjoiseen, Maan kentän vaakakomponentti $B_\text{h} = 14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen
Kysytty
neulan kääntymiskulma $\theta$ pohjoisesta itään asteina
Periaate
Neula kääntyy kokonaiskentän suuntaiseksi, ja kokonaiskenttä on kenttien vektorisumma. Magneetin B kenttä ja Maan kenttä osoittavat samaan suuntaan, joten ne lasketaan yhteen lukuina. Itään osoittava kenttä on niitä vastaan kohtisuorassa. Siksi kulma saadaan tangentista.
Kaava
joten
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Kaikki kentät ovat mikrotesloina, ja yksikkö supistuu suhteessa.
Sijoitus
Vastaus
$38^\circ$
Pohjoisesta itään. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentissä on kaksi.
Järkevyys
Pohjoiskomponentti $26\,\mu\text{T}$ on suurempi kuin itäkomponentti $20\,\mu\text{T}$. Siksi neulan pitää kääntyä alle $45^\circ$, ja niin se kääntyy. Ilman magneettia B kulma olisi $55^\circ$. Magneetti B vetää siis neulaa takaisin kohti pohjoista.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Miten magneettikentän suunta jossakin pisteessä määritetään kompassin avulla?
Vastaus
Kompassi asetetaan pisteeseen. Kentän suunta on se suunta, johon neulan pohjoispää osoittaa. Neula asettuu kenttäviivan suuntaiseksi.
- Jääkaappimagneetin kenttä on magneetin pinnalla noin $5\,\text{mT}$. Kuinka monta mikroteslaa se on? Kuinka monta kertaa suurempi se on kuin Maan kenttä Etelä-Suomessa ($52\,\mu\text{T}$)?
Vastaus
$5\,\text{mT}$$= 5 \cdot 1000\,\mu\text{T}$$= 5000\,\mu\text{T}$Suhde on $5000\,\mu\text{T} : 52\,\mu\text{T} \approx 96$. Magneetin pinnalla kenttä on siis noin sata kertaa Maan kenttää suurempi.
- Miksi kaksi kenttäviivaa ei voi koskaan leikata toisiaan?
Vastaus
Kenttäviivan suunta kertoo kentän suunnan. Leikkauspisteessä kentällä olisi kaksi eri suuntaa. Kentällä on kuitenkin jokaisessa pisteessä vain yksi suunta.
1. Käsite
2. Kenttäviivakuva
3. Selitä
Selitä alkeisalueiden avulla, miksi magneetti vetää puoleensa magnetoimatonta rautanaulaa mutta ei alumiinista naulaa.
Mallivastaus
Rauta on ferromagneettinen aine. Sen atomit ovat pieniä magneettisia dipoleja, jotka asettuvat samansuuntaisiksi alkeisalueiksi. Magnetoimattomassa naulassa alkeisalueiden suunnat vaihtelevat, joten niiden vaikutukset kumoavat toisensa. Kun magneetti tuodaan lähelle, sen kenttä kääntää alkeisalueita. Se kasvattaa niitä alkeisalueita, joiden suunta on kentän suuntainen. Naula magnetoituu. Jos magneetin pohjoisnapa on lähellä, naulan lähempään päähän tulee etelänapa. Erinimiset navat vetävät toisiaan, joten magneetti vetää naulaa. Alumiini ei ole ferromagneettinen. Siinä ei ole alkeisalueita. Se ei myöskään magnetoidu niin paljon, että vetovoiman huomaisi.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Magneettikenttä
- Alue, jossa magneettiseen aineeseen tai liikkuvaan varaukseen kohdistuu voima.
- Magneettivuon tiheys
- Magneettikentän voimakkuutta kuvaava suure $B$; yksikkö tesla.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-1Ydintehtävä
Sairaalan magneettikuvauslaitteen magneettivuon tiheys on $3{,}0\,\text{T}$. Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on noin $50\,\mu\text{T}$. Kuinka monta kertaa suurempi laitteen kenttä on kuin Maan kenttä?
Vastaus
$6{,}0 \cdot 10^{4}$
Näytä ratkaisu
Annettu
magneettikuvauslaitteen magneettivuon tiheys $B_1 = 3{,}0\,\text{T}$, Maan magneettikentän magneettivuon tiheys $B_2 = 50\,\mu\text{T}$
Kysytty
kenttien suhde $k = B_1 : B_2$, paljas luku
Periaate
Kysymys "kuinka monta kertaa suurempi" ratkaistaan jakamalla suurempi arvo pienemmällä. Suhteen voi laskea vain, kun molemmat kentät ovat samassa yksikössä. Siksi mikroteslat muunnetaan ensin tesloiksi.
Kaava
$k = \dfrac{B_1}{B_2}$
Muunnokset
$B_2$$= 50\,\mu\text{T}$$= 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$Sijoitus
$k$$= \dfrac{3{,}0\,\text{T}}{50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}}$$= 0{,}060 \cdot 10^{6}$$= 60\,000$Vastaus
$6{,}0 \cdot 10^{4}$
Kertaa. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska laitteen kentässä $3{,}0\,\text{T}$ ja Maan kentässä $50\,\mu\text{T}$ on kaksi.
Järkevyys
Yksi tesla on miljoona mikroteslaa. Siksi $3\,\text{T}$ on $3\,000\,000\,\mu\text{T}$. Kun tämä jaetaan luvulla $50$, saadaan $60\,000$. Suhde on valtava. Siksi magneettikuvaushuoneeseen ei saa viedä rautaesineitä.
- Tehtävä 1-2Ydintehtävä
Kuopiossa Maan magneettikentän magneettivuon tiheys on noin $53\,\mu\text{T}$. Kenttä osoittaa $75^\circ$ vaakatason alapuolelle. Kuinka suuri on kentän vaakakomponentti mikrotesloina?
Vastaus
$14\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maan kentän magneettivuon tiheys $B = 53\,\mu\text{T}$, inklinaatio $I = 75^\circ$ vaakatason alapuolelle
Kysytty
kentän vaakakomponentti $B_\text{h}$ mikrotesloina
Periaate
Kenttä osoittaa vinosti maahan. Piirrä suorakulmainen kolmio. Koko kenttä on kolmion hypotenuusa. Vaakakomponentti on kulman $I$ viereinen kateetti.
Kaava
$B_\text{h} = B\cos I$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Tulos tulee samassa yksikössä kuin $B$ eli mikrotesloina.
Sijoitus
$B_\text{h}$$= 53\,\mu\text{T} \cdot \cos 75^\circ$$= 53\,\mu\text{T} \cdot 0{,}2588$$= 13{,}72\,\mu\text{T}$Vastaus
$14\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentässä $53\,\mu\text{T}$ ja kulmassa $75^\circ$ on kaksi.
Järkevyys
Kenttä on lähes pystysuora. Siksi vaakakomponentin pitää olla pieni osa koko kentästä. Luku $\cos 75^\circ$ on noin neljäsosa, ja $53 : 4 \approx 13$. Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin Etelä-Suomen $14\,\mu\text{T}$. Sitä voi odottaa, koska Kuopio on Suomessa.
- Tehtävä 1-3
Kompassin kohdalla Maan magneettikentän vaakakomponentti on $14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen. Pöydällä olevan magneetin kenttä on $48\,\mu\text{T}$ itään. Kuinka suuri on vaakasuora kokonaiskenttä mikrotesloina?
Vastaus
$50\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maan kentän vaakakomponentti $B_\text{h} = 14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen, magneetin kenttä $B_\text{m} = 48\,\mu\text{T}$ itään
Kysytty
vaakasuoran kokonaiskentän suuruus $B$ mikrotesloina
Periaate
Kokonaiskenttä on kenttien vektorisumma. Pohjoiseen ja itään osoittavat kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siksi ne ovat suorakulmaisen kolmion kateetit, ja kokonaiskenttä on hypotenuusa.
Kaava
$B = \sqrt{B_\text{h}^2 + B_\text{m}^2}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Molemmat kentät ovat mikrotesloina.
Sijoitus
$B$$= \sqrt{(14\,\mu\text{T})^2 + (48\,\mu\text{T})^2}$$= \sqrt{196 + 2304}\,\mu\text{T}$$= \sqrt{2500}\,\mu\text{T}$$= 50\,\mu\text{T}$Vastaus
$50\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentissä on kaksi.
Järkevyys
Hypotenuusa on pidempi kuin kumpikaan kateetti mutta lyhyempi kuin niiden summa $62\,\mu\text{T}$. Tulos $50\,\mu\text{T}$ on vain vähän suurempi kuin $48\,\mu\text{T}$. Magneetin kenttä on nimittäin paljon suurempi kuin Maan kenttä.
- Tehtävä 1-4
Sauvamagneetti katkaistaan keskeltä kahtia. Mitkä navat kummassakin palassa on? Vetävätkö vai hylkivätkö palaset toisiaan, kun katkaisupinnat tuodaan takaisin vastakkain?
Vastaus
Kummassakin palassa on pohjoisnapa ja etelänapa. Katkaisupinnoilla on erinimiset navat, joten palaset vetävät toisiaan.
Näytä ratkaisu
Kysytty
palasten navat ja se, vetävätkö vai hylkivätkö katkaisupinnat toisiaan
Periaate
Magneetti on magneettinen dipoli, eli sen navat ovat aina pareina. Magneetin jokainen osa koostuu atomidipoleista, jotka osoittavat samaan suuntaan. Siksi myös jokainen pala on dipoli. Erinimiset navat vetävät toisiaan ja samannimiset hylkivät toisiaan.
Mallivastaus
Kummastakin palasta tulee kokonainen magneetti, jolla on pohjoisnapa ja etelänapa. Oletetaan, että alkuperäisen magneetin pohjoisnapa oli oikealla. Silloin kummankin palan pohjoisnapa on oikealla. Vasemman palan katkaisupintaan syntyy siis pohjoisnapa. Oikean palan katkaisupintaan syntyy etelänapa. Tuo katkaisupinnat takaisin vastakkain. Niissä on silloin erinimiset navat, joten palaset vetävät toisiaan. Ne muodostavat jälleen yhden magneetin.
- Tehtävä 1-5
Kompassi asetetaan pöydälle sauvamagneetin akselille magneetin pohjoisnavan $\text{N}$ eteen. Maan kenttä jätetään huomiotta. Mihin kompassin neulan pohjoispää osoittaa, ja miksi?
Vastaus
Poispäin magneetista. Magneetin kenttä osoittaa pohjoisnavasta poispäin, ja neulan pohjoispää hylkii magneetin pohjoisnapaa.
Näytä ratkaisu
Kysytty
kompassin neulan pohjoispään suunta magneetin pohjoisnavan edessä ja sen syy
Periaate
Kentän suunta on se suunta, johon kompassin neulan pohjoispää osoittaa. Magneetin ulkopuolella kenttäviivat lähtevät pohjoisnavasta. Neulan pohjoispää on itsekin pohjoisnapa, ja samannimiset navat hylkivät toisiaan.
Mallivastaus
Neulan pohjoispää osoittaa suoraan poispäin magneetista, magneetin akselin suuntaisesti. Magneetin akselilla pohjoisnavan edessä kenttäviivat lähtevät navasta suoraan ulospäin. Siksi kenttä osoittaa poispäin magneetista. Saman voi päätellä navoista. Magneetin pohjoisnapa hylkii neulan pohjoispäätä ja vetää neulan etelänapaa. Siksi neulan etelänapa kääntyy magneettia kohti ja pohjoisnapa poispäin.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 1-6Ydintehtävä
Pöydällä olevan magneetin kenttä kompassin kohdalla on $25\,\mu\text{T}$ itään. Maan magneettikentän vaakakomponentti on $14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen. Kuinka monta astetta pohjoisesta itään kompassin neula kääntyy?
Vastaus
$61^\circ$
Näytä ratkaisu
Annettu
magneetin kenttä $B_\text{m} = 25\,\mu\text{T}$ itään, Maan kentän vaakakomponentti $B_\text{h} = 14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen
Kysytty
neulan kääntymiskulma $\theta$ pohjoisesta itään asteina
Periaate
Neula kääntyy vaakasuoran kokonaiskentän suuntaiseksi. Kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kokonaiskenttä on suorakulmion lävistäjä. Kulma mitataan pohjoisesta. Sen vastainen kateetti on itään osoittava kenttä. Sen viereinen kateetti on pohjoiseen osoittava kenttä.
Kaava
$\tan\theta$$= \dfrac{B_\text{m}}{B_\text{h}}$josta
$\theta$$= \tan^{-1}\dfrac{B_\text{m}}{B_\text{h}}$Muunnokset
Niitä ei tarvita. Molemmat kentät ovat mikrotesloina, ja yksikkö supistuu.
Sijoitus
$\theta$$= \tan^{-1}\dfrac{25\,\mu\text{T}}{14\,\mu\text{T}}$$= \tan^{-1} 1{,}786$$= 60{,}75^\circ$Vastaus
$61^\circ$
Pohjoisesta itään. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentissä on kaksi.
Järkevyys
Magneetin kenttä on suurempi kuin Maan kenttä. Siksi neulan pitää kääntyä yli $45^\circ$ mutta alle $90^\circ$. Tarkista vielä toiseen suuntaan: $14\,\mu\text{T} \cdot \tan 60{,}75^\circ = 25\,\mu\text{T}$.
- Tehtävä 1-7Ydintehtävä
Älypuhelimen magnetometrisovellus näyttää Maan magneettikentän komponentit $B_x = 12\,\mu\text{T}$, $B_y = -5{,}0\,\mu\text{T}$ ja $B_z = -48\,\mu\text{T}$. Komponentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kuinka suuri on Maan magneettikentän magneettivuon tiheys mikrotesloina?
Vastaus
$50\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
magnetometrin komponentit $B_x = 12\,\mu\text{T}$, $B_y = -5{,}0\,\mu\text{T}$ ja $B_z = -48\,\mu\text{T}$, kohtisuorassa toisiaan vastaan
Kysytty
Maan magneettikentän magneettivuon tiheys $B$ mikrotesloina
Periaate
Kenttä on komponenttiensa vektorisumma. Kahden kohtisuoran komponentin summa saadaan Pythagoraan lauseella. Kun siihen lisätään vielä kolmas kohtisuora komponentti, sama lause antaa kolmen komponentin neliöiden summan. Etumerkki kertoo vain suunnan, ja neliöinti poistaa sen.
Kaava
$B^2 = B_x^2 + B_y^2 + B_z^2$, josta $B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Kaikki komponentit ovat mikrotesloina.
Sijoitus
$B^2$$= (12\,\mu\text{T})^2 + (-5{,}0\,\mu\text{T})^2 + (-48\,\mu\text{T})^2$$= 2473\,(\mu\text{T})^2$joten
$B$$= \sqrt{2473}\,\mu\text{T}$$= 49{,}73\,\mu\text{T}$Vastaus
$50\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska komponenteissa $12\,\mu\text{T}$ ja $48\,\mu\text{T}$ on kaksi.
Järkevyys
Tulos on suurempi kuin suurin komponentti $48\,\mu\text{T}$. Se on lähellä Suomen arvoa, noin $52\,\mu\text{T}$. Suuri $z$-komponentti sopii siihen, että kenttä osoittaa Suomessa jyrkästi maahan, kun puhelin on vaakasuorassa.
- Tehtävä 1-8
Rovaniemellä Maan magneettikentän pystykomponentti on noin $52\,\mu\text{T}$. Kenttä osoittaa $77^\circ$ vaakatason alapuolelle. Kuinka suuri on kentän magneettivuon tiheys mikrotesloina?
Vastaus
$53\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
Maan kentän pystykomponentti $B_\text{v} = 52\,\mu\text{T}$, inklinaatio $I = 77^\circ$ vaakatason alapuolelle
Kysytty
kentän magneettivuon tiheys $B$ mikrotesloina
Periaate
Koko kenttä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Pystykomponentti on kulman $I$ vastainen kateetti. Siksi $B_\text{v} = B\sin I$. Koko kenttä ratkaistaan tästä kaavasta.
Kaava
$B_\text{v} = B\sin I$, josta $B = \dfrac{B_\text{v}}{\sin I}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Tulos tulee mikrotesloina kuten $B_\text{v}$.
Sijoitus
$B$$= \dfrac{52\,\mu\text{T}}{\sin 77^\circ}$$= \dfrac{52\,\mu\text{T}}{0{,}9744}$$= 53{,}4\,\mu\text{T}$Vastaus
$53\,\mu\text{T}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska pystykomponentissa $52\,\mu\text{T}$ on kaksi.
Järkevyys
Hypotenuusa on pidempi kuin kateetti, joten $B$ on suurempi kuin $52\,\mu\text{T}$. Kenttä on lähes pystysuora, joten ero on pieni. Vaakakomponentiksi jää $53{,}4\,\mu\text{T} \cdot \cos 77^\circ \approx 12\,\mu\text{T}$. Se on vähemmän kuin Etelä-Suomessa, kuten pohjoisempana pitääkin.
- Tehtävä 1-9
Kompassi on magneetin akselilla. Magneetin kenttä on kohtisuorassa Maan kentän vaakakomponenttia vastaan. Kun kompassi on $10\,\text{cm}$:n päässä magneetista, neula kääntyy $60^\circ$ pohjoisesta. Kun se on $20\,\text{cm}$:n päässä, neula kääntyy $10^\circ$.
Kuinka monta kertaa suurempi magneetin kenttä on $10\,\text{cm}$:n päässä kuin $20\,\text{cm}$:n päässä?
Vastaus
$9{,}8$
Näytä ratkaisu
Annettu
etäisyydellä $10\,\text{cm}$ neulan kulma $\theta_1 = 60^\circ$, etäisyydellä $20\,\text{cm}$ kulma $\theta_2 = 10^\circ$; magneetin kenttä on kohtisuorassa Maan kentän vaakakomponenttia $B_\text{h}$ vastaan
Kysytty
kenttien suhde $k = B_1 : B_2$, paljas luku
Periaate
Magneetin kenttä on kohtisuorassa Maan kentän vaakakomponenttia vastaan. Silloin neulan kulmalle pätee $\tan\theta = B_\text{m} : B_\text{h}$, joten $B_\text{m} = B_\text{h}\tan\theta$. Maan kenttä on molemmissa kohdissa sama. Siksi se supistuu suhteesta pois, eikä sen arvoa tarvitse tietää.
Kaava
$B_1 = B_\text{h}\tan\theta_1$ ja $B_2 = B_\text{h}\tan\theta_2$, joten
$k$$= \dfrac{B_1}{B_2}$$= \dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}$Muunnokset
Niitä ei tarvita. Suhde on paljas luku, eivätkä etäisyydet esiinny laskussa.
Sijoitus
$k$$= \dfrac{\tan 60^\circ}{\tan 10^\circ}$$= \dfrac{1{,}732}{0{,}1763}$$= 9{,}82$Vastaus
noin $9{,}8$ kertaa. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmissa $60^\circ$ ja $10^\circ$ on kaksi.
Järkevyys
Kun etäisyys kaksinkertaistuu, kenttä heikkenee paljon enemmän kuin puoleen tai neljäsosaan. Näin kävi myös luvun simulaatiossa. Kulmien suhde $60 : 10 = 6$ olisi väärä vastaus, koska kulma ei ole suoraan verrannollinen kenttään.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 1-10
Sauvamagneetti on pöydällä pohjois–eteläsuunnassa, pohjoisnapa $\text{N}$ pohjoiseen. Kompassi asetetaan magneetin itäpuolelle magneetin keskikohdan kohdalle. Siellä magneetin kenttä on $25\,\mu\text{T}$. Maan magneettikentän vaakakomponentti on $14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen. Laske vaakasuoran kokonaiskentän pohjoiskomponentti mikrotesloina, kun pohjoinen on positiivinen suunta ja etelä negatiivinen.
Mihin suuntaan kompassin neulan pohjoispää osoittaa?
Vastaus
$-11\,\mu\text{T}$
Näytä ratkaisu
Annettu
magneetin pohjoisnapa on pohjoiseen, kompassi on magneetin itäpuolella keskikohdan kohdalla, magneetin kenttä siellä $B_\text{m} = 25\,\mu\text{T}$, Maan kentän vaakakomponentti $B_\text{h} = 14\,\mu\text{T}$ pohjoiseen
Kysytty
vaakasuoran kokonaiskentän pohjoiskomponentti $B_y$ mikrotesloina (pohjoinen positiivinen) ja neulan suunta
Periaate
Magneetin ulkopuolella kenttäviivat kulkevat pohjoisnavasta etelänapaan. Magneetin kyljessä keskikohdan kohdalla kenttä on siis magneetin suuntainen. Se osoittaa pohjoisnavan puolelta etelänavan puolelle eli etelään. Se on vastakkaissuuntainen Maan kentälle. Siksi kentät lasketaan yhteen etumerkkeineen. Neula kääntyy kokonaiskentän suuntaan. Komponentin etumerkki kertoo, osoittaako neula pohjoiseen vai etelään.
Kaava
pohjoiseen positiivisena $B_y = B_\text{h} - B_\text{m}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Molemmat kentät ovat mikrotesloina.
Sijoitus
$B_y$$= 14\,\mu\text{T} - 25\,\mu\text{T}$$= -11\,\mu\text{T}$Vastaus
$-11\,\mu\text{T}$
Eli $11\,\mu\text{T}$ etelään. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentissä on kaksi. Etumerkki on negatiivinen, joten neulan pohjoispää osoittaa etelään. Neula on kääntynyt ympäri.
Järkevyys
Magneetin kenttä on suurempi kuin Maan kenttä. Siksi se voittaa, ja kokonaiskenttä osoittaa magneetin kentän suuntaan. Jos magneetin kenttä olisi tarkalleen $14\,\mu\text{T}$, vaakasuora kokonaiskenttä olisi nolla. Silloin neula ei asettuisi mihinkään suuntaan.
- Tehtävä 1-11
Teräksinen paperiliitin vedetään useita kertoja samaan suuntaan magneetin napaa pitkin. Sen jälkeen se nostaa pieniä nastoja. Kuumenna liitin liekissä riittävän kuumaksi ja anna sen jäähtyä. Silloin se ei enää nosta nastoja. Selitä molemmat havainnot alkeisalueiden avulla.
Vastaus
Magneetin kenttä järjestää teräksen alkeisalueet samansuuntaisiksi. Kovassa teräksessä ne jäävät järjestykseen, joten liitin on magneetti. Riittävän kuuma lämpötila sekoittaa alkeisalueiden järjestyksen. Silloin liitin ei enää ole magneetti.
Näytä ratkaisu
Kysytty
miksi magneetilla vedetty teräsliitin muuttuu magneetiksi ja miksi kuumennus poistaa magnetoitumisen
Periaate
Teräs on ferromagneettinen. Sen atomidipolit muodostavat alkeisalueita. Magnetoimattomassa kappaleessa alkeisalueiden suunnat vaihtelevat. Ulkoinen kenttä järjestää alkeisalueet, ja kovassa teräksessä järjestys säilyy. Riittävän korkeassa lämpötilassa atomien lämpöliike rikkoo atomidipolien järjestyksen.
Mallivastaus
Aluksi liittimen alkeisalueet osoittavat eri suuntiin, ja niiden vaikutukset kumoavat toisensa. Vedä magneetin napaa liitintä pitkin aina samaan suuntaan. Silloin magneetin kenttä kääntää alkeisalueita ja kasvattaa niitä, joiden suunta on kentän suuntainen. Kovassa teräksessä alkeisalueet jäävät järjestykseen, kun magneetti viedään pois. Siksi liittimestä tulee kestomagneetti, jolla on oma pohjoisnapa ja etelänapa. Se magnetoi nastat ja vetää niitä. Kuumenna liitin riittävän kuumaksi (raudan Curie-lämpötila on noin $770\,{}^\circ\text{C}$). Silloin atomien lämpöliike sekoittaa atomidipolien järjestyksen, ja alkeisalueet katoavat. Jäähtyessä alkeisalueet syntyvät uudelleen mutta satunnaisiin suuntiin. Siksi liitin ei enää ole magneetti.
- Tehtävä 1-12
Maan magneettikentän mallin (World Magnetic Model 2025) mukaan kenttä on Helsingissä noin $53\,\mu\text{T}$. Se osoittaa noin $74^\circ$ vaakatason alapuolelle. Huippuvuorten Longyearbyenissä kenttä on noin $55\,\mu\text{T}$ ja osoittaa noin $82{,}5^\circ$ vaakatason alapuolelle.
Kuinka monta kertaa suurempi kentän vaakakomponentti on Helsingissä kuin Longyearbyenissä? Miksi kompassi toimii Longyearbyenissä huonommin, vaikka koko kenttä on siellä suurempi?
Vastaus
$2{,}0$
Näytä ratkaisu
Annettu
Helsinki $B_1 = 53\,\mu\text{T}$ ja $I_1 = 74^\circ$, Longyearbyen $B_2 = 55\,\mu\text{T}$ ja $I_2 = 82{,}5^\circ$ vaakatason alapuolelle
Kysytty
vaakakomponenttien suhde $k = B_\text{h1} : B_\text{h2}$, paljas luku, ja syy kompassin huonompaan toimintaan
Periaate
Kompassin neula kääntyy vain vaakatasossa. Siksi sitä ohjaa ainoastaan kentän vaakakomponentti $B_\text{h} = B\cos I$. Mitä jyrkemmin kenttä osoittaa maahan, sitä pienempi osa siitä on vaakasuoraa.
Kaava
$k$$= \dfrac{B_\text{h1}}{B_\text{h2}}$$= \dfrac{B_1\cos I_1}{B_2\cos I_2}$Muunnokset
Niitä ei tarvita. Molemmat kentät ovat mikrotesloina, ja yksikkö supistuu.
Sijoitus
$k$$= \dfrac{53\,\mu\text{T} \cdot \cos 74^\circ}{55\,\mu\text{T} \cdot \cos 82{,}5^\circ}$$= \dfrac{14{,}6\,\mu\text{T}}{7{,}18\,\mu\text{T}}$$= 2{,}03$Vastaus
noin $2{,}0$ kertaa. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentissä $53\,\mu\text{T}$ ja $55\,\mu\text{T}$ on kaksi. Longyearbyenissä kenttä on lähes pystysuora. Siksi sen vaakakomponentti on vain noin puolet Helsingin arvosta.
Mallivastaus (miksi)
Neulaa kääntää vain vaakakomponentti. Longyearbyenissä se on vain noin puolet Helsingin vaakakomponentista, vaikka koko kenttä on suurempi. Kenttä osoittaa nimittäin melkein suoraan maahan. Neulaa kääntävä kenttä on siis heikko. Siksi neula asettuu hitaasti, ja pienetkin häiriöt, kuten lähellä oleva rautaesine, kääntävät sitä helposti. Vastaus on oikein, jos siinä sanotaan, että kompassia ohjaa vaakakomponentti eikä koko kenttä.
Järkevyys
Koko kenttä on Longyearbyenissä vähän suurempi. Mutta $\cos 82{,}5^\circ \approx 0{,}13$ on paljon pienempi kuin $\cos 74^\circ \approx 0{,}28$, joten suhde on lähellä lukua kaksi. Magneettisella navalla kenttä olisi pystysuora ja vaakakomponentti nolla. Silloin kompassi ei toimisi lainkaan.
Valokuvat
- Horseshoe magnet metal shavings. Maciej J. Mrowinski. lähde, CC BY-SA 4.0
- Aurora borealis over Saana fell. WikiLucas00. lähde, CC BY-SA 4.0
