Sähkömagneettinen induktio

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-1Ydintehtävä

   Neliön muotoisen johdinsilmukan sivu on $0{,}12\,\text{m}$. Silmukka on kohtisuorassa homogeenista magneettikenttää vastaan. Kentän magneettivuon tiheys on $0{,}35\,\text{T}$. Kuinka suuri magneettivuo silmukan läpi kulkee? Anna vastaus millivebereinä.

   mWbTarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{mWb}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   neliön sivu $a = 0{,}12\,\text{m}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}35\,\text{T}$, kenttä kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan

   Kysytty

   silmukan läpi kulkeva magneettivuo $\Phi$ millivebereinä

   Periaate

   Kenttä on homogeeninen ja kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan. Silloin magneettivuo on kentän ja pinta-alan tulo. Silmukka on neliö, joten sen pinta-ala on sivun neliö.

   Kaava

   $\Phi = BA$ ja $A = a^2$, joten $\Phi = B a^2$

   Muunnokset

   Lähtöarvot ovat SI-yksiköissä. Vastaus muunnetaan millivebereiksi: $1\,\text{Wb} = 1000\,\text{mWb}$.

   Sijoitus

   $\Phi$$= 0{,}35\,\text{T} \cdot (0{,}12\,\text{m})^2$

   $= 0{,}35\,\text{T} \cdot 0{,}0144\,\text{m}^2$

   $= 0{,}00504\,\text{Wb}$

   $= 5{,}04\,\text{mWb}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{mWb}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Silmukan pinta-ala on vähän alle $0{,}015\,\text{m}^2$. Se on noin A6-arkin (postikortin) kokoinen. Kenttä on kymmenesosien teslojen luokkaa, joten vuo on tuhannesosien vebereiden luokkaa. Jos sivu olisi kaksinkertainen, vuo olisi nelinkertainen.

2. Tehtävä 5-2Ydintehtävä

   Käämissä on $400$ kierrosta. Magneetti työnnetään käämiin. Yhden kierroksen läpi kulkeva magneettivuo kasvaa tasaisesti $1{,}5\,\text{mWb}$ ajassa $0{,}20\,\text{s}$. Kuinka suuri induktiojännite käämiin syntyy?

   VTarkista
   Vastaus

   $3{,}0\,\text{V}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kierrosten lukumäärä $N = 400$, yhden kierroksen vuon muutos $\Delta\Phi = 1{,}5\,\text{mWb}$, aika $\Delta t = 0{,}20\,\text{s}$

   Kysytty

   käämiin syntyvän induktiojännitteen suuruus $|e|$ voltteina

   Periaate

   Kun magneetti työnnetään käämiin, käämin läpi kulkeva magneettivuo muuttuu. Siksi käämiin syntyy induktiojännite induktiolain mukaan. Vuo kasvaa tasaisesti, joten jännite on koko ajan vakio. Kierrokset ovat sarjassa, joten jännite on $N$-kertainen yhden kierroksen jännitteeseen verrattuna.

   Kaava

   $|e| = N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

   Muunnokset

   $\Delta\Phi$$= 1{,}5\,\text{mWb}$

   $= 1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$

   Sijoitus

   $|e|$$= 400 \cdot \dfrac{1{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}}{0{,}20\,\text{s}}$

   $= 400 \cdot 7{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{V}$

   $= 3{,}0\,\text{V}$

   Vastaus

   $3{,}0\,\text{V}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska vuon muutoksessa ja ajassa on kaksi.

   Järkevyys

   Yksiköt sopivat: $\tfrac{\text{Wb}}{\text{s}} = \text{V}$. Yksi kierros antaisi vain $7{,}5\,\text{mV}$. Satojen kierrosten käämillä jännite nousee voltteihin. Se vastaa koulun käämeillä tehtyjä kokeita.

3. Tehtävä 5-3

   Metallitanko liikkuu vauhdilla $2{,}0\,\text{m/s}$ homogeenisessa magneettikentässä $0{,}40\,\text{T}$. Tangon pituus on $0{,}25\,\text{m}$. Tanko, sen nopeus ja kenttä ovat keskenään kohtisuorassa. Kuinka suuri induktiojännite tangon päiden välille syntyy?

   VTarkista
   Vastaus

   $0{,}20\,\text{V}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   tangon pituus $l = 0{,}25\,\text{m}$, vauhti $v = 2{,}0\,\text{m/s}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}40\,\text{T}$. Tanko, nopeus ja kenttä ovat keskenään kohtisuorassa.

   Kysytty

   tangon päiden välinen induktiojännite $e$ voltteina

   Periaate

   Tangon mukana liikkuviin elektroneihin kohdistuu magneettinen voima $evB$ tangon suuntaan. Siksi elektroneja kertyy tangon toiseen päähän. Siirtyminen loppuu, kun syntyvä sähkökenttä $E = vB$ kumoaa magneettisen voiman. Päiden välinen jännite on $El$.

   Kaava

   $e = vBl$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja $\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{T} \cdot \text{m} = \text{V}$.

   Sijoitus

   $e$$= 2{,}0\,\text{m/s} \cdot 0{,}40\,\text{T} \cdot 0{,}25\,\text{m}$

   $= 0{,}20\,\text{V}$

   Vastaus

   $0{,}20\,\text{V}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Tanko pyyhkäisee joka sekunti pinta-alan $0{,}25\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\text{m} = 0{,}50\,\text{m}^2$. Vuo kasvaa siis nopeudella

   $0{,}40\,\text{T} \cdot 0{,}50\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}}$

   $= 0{,}20\,\tfrac{\text{Wb}}{\text{s}}$

   Induktiolaki antaa saman jännitteen.

4. Tehtävä 5-4

   Käämissä on $150$ kierrosta. Magneetti vedetään käämistä pois. Käämin päiden välille syntyy keskimäärin $0{,}45\,\text{V}$:n induktiojännite $0{,}12\,\text{s}$:n ajan. Kuinka paljon yhden kierroksen läpi kulkeva magneettivuo muuttui? Anna vastaus millivebereinä.

   mWbTarkista
   Vastaus

   $0{,}36\,\text{mWb}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kierrosten lukumäärä $N = 150$, keskimääräinen induktiojännite $|e| = 0{,}45\,\text{V}$, aika $\Delta t = 0{,}12\,\text{s}$

   Kysytty

   yhden kierroksen läpi kulkevan magneettivuon muutos $\Delta\Phi$ millivebereinä

   Periaate

   Jännite syntyy, koska vuo pienenee, kun magneetti vedetään pois. Induktiolain mukaan keskimääräinen jännite on vuon muutos jaettuna ajalla ja kerrottuna kierrosten lukumäärällä. Jännite, aika ja kierrokset tunnetaan, joten vuon muutoksen voi ratkaista.

   Kaava

   $|e| = N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$, josta $\Delta\Phi = \dfrac{|e|\,\Delta t}{N}$

   Muunnokset

   Lähtöarvot ovat SI-yksiköissä, ja $\text{V}\cdot\text{s} = \text{Wb}$. Vastaus muunnetaan millivebereiksi: $1\,\text{Wb} = 1000\,\text{mWb}$.

   Sijoitus

   $\Delta\Phi$$= \dfrac{0{,}45\,\text{V} \cdot 0{,}12\,\text{s}}{150}$

   $= \dfrac{0{,}054\,\text{V}\cdot\text{s}}{150}$

   $= 3{,}6 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb}$

   $= 0{,}36\,\text{mWb}$

   Vastaus

   $0{,}36\,\text{mWb}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska jännitteessä ja ajassa on kaksi.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $150 \cdot 3{,}6 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb} : 0{,}12\,\text{s}$

   $= 0{,}45\,\text{V}$

   Oletetaan, että käämin pinta-ala on noin $10\,\text{cm}^2$. Silloin vuo vastaa noin $0{,}4\,\text{T}$:n kenttää käämin sisällä. Se sopii voimakkaalle kestomagneetille.

5. Tehtävä 5-5

   Kahden kiskon päällä liukuvan metallitangon päiden välillä mitataan $12\,\text{mV}$:n induktiojännite. Kiskojen välinen etäisyys on $0{,}30\,\text{m}$. Kiskojen tasoa vastaan kohtisuoran kentän magneettivuon tiheys on $0{,}080\,\text{T}$. Tanko liikkuu kohtisuoraan itseään vastaan.

   Kuinka suuri on tangon vauhti?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $0{,}50\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   induktiojännite $e = 12\,\text{mV}$, tangon kentässä oleva pituus $l = 0{,}30\,\text{m}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}080\,\text{T}$. Nopeus on kohtisuorassa tankoa ja kenttää vastaan.

   Kysytty

   tangon vauhti $v$ metreinä sekunnissa

   Periaate

   Liikkuvan tangon elektroneihin kohdistuva magneettinen voima siirtää niitä tangon päähän. Päiden välille syntyy jännite $e = vBl$. Jännite on verrannollinen vauhtiin, joten mitatusta jännitteestä voi ratkaista vauhdin.

   Kaava

   $e = vBl$, josta $v = \dfrac{e}{Bl}$

   Muunnokset

   $e$$= 12\,\text{mV}$

   $= 12 \cdot 0{,}001\,\text{V}$

   $= 0{,}012\,\text{V}$

   Sijoitus

   $v$$= \dfrac{0{,}012\,\text{V}}{0{,}080\,\text{T} \cdot 0{,}30\,\text{m}}$

   $= \dfrac{0{,}012\,\text{V}}{0{,}024\,\text{T}\cdot\text{m}}$

   $= 0{,}50\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $0{,}50\,\text{m/s}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Tarkistus:

   $0{,}50\,\text{m/s} \cdot 0{,}080\,\text{T} \cdot 0{,}30\,\text{m}$

   $= 0{,}012\,\text{V}$

   Puoli metriä sekunnissa on hitaampaa kuin hidas kävely. Vauhti sopii pöydällä tehtävään kiskokokeeseen.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 5-6Ydintehtävä

   Joustava johdinsilmukka on kohtisuorassa homogeenista magneettikenttää $0{,}80\,\text{T}$ vastaan. Silmukkaa puristetaan kasaan. Sen pinta-ala pienenee tasaisesti arvosta $200\,\text{cm}^2$ arvoon $50\,\text{cm}^2$ ajassa $0{,}25\,\text{s}$. Kuinka suuri induktiojännite silmukkaan syntyy? Anna vastaus millivoltteina.

   mVTarkista
   Vastaus

   $48\,\text{mV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   magneettivuon tiheys $B = 0{,}80\,\text{T}$ kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan, pinta-ala aluksi $A_1 = 200\,\text{cm}^2$ ja lopuksi $A_2 = 50\,\text{cm}^2$, aika $\Delta t = 0{,}25\,\text{s}$, yksi kierros $N = 1$

   Kysytty

   silmukkaan syntyvän induktiojännitteen suuruus $|e|$ millivoltteina

   Periaate

   Kenttä pysyy samana, mutta silmukan pinta-ala pienenee. Siksi silmukan läpi kulkeva vuo $\Phi = BA$ pienenee. Vuon muutos synnyttää jännitteen induktiolain mukaan. Pinta-ala pienenee tasaisesti, joten jännite on vakio.

   Kaava

   $\Delta\Phi = B(A_1 - A_2)$ ja $|e| = N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$, joten $|e| = \dfrac{B(A_1 - A_2)}{\Delta t}$, kun $N = 1$

   Muunnokset

   $A_1$$= 200\,\text{cm}^2$

   $= 200 \cdot (0{,}01\,\text{m})^2$

   $= 0{,}0200\,\text{m}^2$

   $A_2$$= 50\,\text{cm}^2$

   $= 50 \cdot (0{,}01\,\text{m})^2$

   $= 0{,}0050\,\text{m}^2$

   Sijoitus

   $A_1 - A_2$$= 0{,}0200\,\text{m}^2 - 0{,}0050\,\text{m}^2$

   $= 0{,}0150\,\text{m}^2$

   $|e|$$= \dfrac{0{,}80\,\text{T} \cdot 0{,}0150\,\text{m}^2}{0{,}25\,\text{s}}$

   $= \dfrac{0{,}012\,\text{Wb}}{0{,}25\,\text{s}}$

   $= 0{,}048\,\text{V}$

   $= 48\,\text{mV}$

   Vastaus

   $48\,\text{mV}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentässä $0{,}80\,\text{T}$ ja ajassa $0{,}25\,\text{s}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Yksi kierros antaa vain kymmenien millivolttien jännitteen, vaikka kenttä on voimakas. Siksi käytännön laitteissa tarvitaan paljon kierroksia. Jos silmukka puristettaisiin kaksi kertaa nopeammin, jännite olisi kaksinkertainen.

2. Tehtävä 5-7Ydintehtävä

   Käämissä on $50$ kierrosta. Kuvaajassa on yhden kierroksen läpi kulkeva magneettivuo $\Phi$ ajan $t$ funktiona. Kuinka suuri on käämin induktiojännitteen suurin itseisarvo aikavälillä $0$–$0{,}70\,\text{s}$? Lue tarvittavat arvot kuvaajasta.

   VTarkista
   Vastaus

   $2{,}0\,\text{V}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kierrosten lukumäärä $N = 50$. Kuvaajassa on yhden kierroksen läpi kulkeva magneettivuo $\Phi$ ajan $t$ funktiona.

   Kysytty

   induktiojännitteen suurin itseisarvo $|e|$ voltteina

   Periaate

   Induktiolain mukaan jännite on verrannollinen vuon muutosnopeuteen $\Delta\Phi : \Delta t$. Se on vuon kuvaajan kulmakerroin. Jännite on siis suurin siellä, missä kuvaaja on jyrkin. Se ei ole suurin siellä, missä vuo on suurin.

   Kuvaajan lukeminen

   Kuvaaja koostuu suorista osista. Aikavälillä $0$–$0{,}20\,\text{s}$ vuo kasvaa nollasta arvoon $4{,}0\,\text{mWb}$. Kulmakertoimen itseisarvo on $4{,}0\,\text{mWb} : 0{,}20\,\text{s} = 20\,\tfrac{\text{mWb}}{\text{s}}$. Aikavälillä $0{,}20$–$0{,}50\,\text{s}$ kuvaaja on vaakasuora, joten jännite on nolla. Aikavälillä $0{,}50$–$0{,}60\,\text{s}$ vuo pienenee arvosta $4{,}0\,\text{mWb}$ nollaan. Kulmakertoimen itseisarvo on $4{,}0\,\text{mWb} : 0{,}10\,\text{s} = 40\,\tfrac{\text{mWb}}{\text{s}}$. Jyrkin osa on siis $0{,}50$–$0{,}60\,\text{s}$, jossa $\Delta\Phi = 4{,}0\,\text{mWb}$ ja $\Delta t = 0{,}10\,\text{s}$.

   Kaava

   $|e| = N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

   Muunnokset

   $\Delta\Phi$$= 4{,}0\,\text{mWb}$

   $= 4{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}$

   Sijoitus

   $|e|$$= 50 \cdot \dfrac{4{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}}{0{,}10\,\text{s}}$

   $= 50 \cdot 0{,}040\,\text{V}$

   $= 2{,}0\,\text{V}$

   Vastaus

   $2{,}0\,\text{V}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kuvaajasta luetussa vuossa $4{,}0\,\text{mWb}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Nousuvaiheessa jännite on

   $50 \cdot 4{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb} : 0{,}20\,\text{s}$

   $= 1{,}0\,\text{V}$

   Se on puolet suurimmasta, koska sama vuon muutos kestää kaksi kertaa kauemmin. Laskuvaiheessa jännitteen merkki on vastakkainen kuin nousuvaiheessa, koska vuo pienenee.

3. Tehtävä 5-8

   Kaksi vaakasuoraa metallikiskoa on $0{,}40\,\text{m}$:n etäisyydellä toisistaan. Niiden päät on yhdistetty $2{,}0\,\Omega$:n vastuksella. Kiskojen päällä liukuu poikittainen metallitanko vauhdilla $3{,}0\,\text{m/s}$. Pystysuoran magneettikentän magneettivuon tiheys on $0{,}50\,\text{T}$. Kiskojen ja tangon resistanssi on hyvin pieni.

   Kuinka suuri virta vastuksen läpi kulkee?

   ATarkista
   Vastaus

   $0{,}30\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kiskojen väli eli tangon kentässä oleva pituus $l = 0{,}40\,\text{m}$, vauhti $v = 3{,}0\,\text{m/s}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}50\,\text{T}$, vastus $R = 2{,}0\,\Omega$. Kiskojen ja tangon resistanssi on hyvin pieni.

   Kysytty

   vastuksen läpi kulkeva virta $I$ ampeereina

   Periaate

   Liikkuvan tangon päiden välille syntyy induktiojännite $e = vBl$, koska tangon elektroneihin kohdistuu magneettinen voima. Tanko, kiskot ja vastus muodostavat suljetun virtapiirin, jossa tanko toimii jännitelähteenä. Muun piirin resistanssi on pieni, joten koko jännite on vastuksen yli. Virran saa Ohmin laista.

   Kaava

   $e = vBl$ ja $I = \dfrac{e}{R}$, joten $I = \dfrac{vBl}{R}$

   Muunnokset

   Ei tarvita. Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä.

   Sijoitus

   $e$$= 3{,}0\,\text{m/s} \cdot 0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}40\,\text{m}$

   $= 0{,}60\,\text{V}$

   $I$$= \dfrac{0{,}60\,\text{V}}{2{,}0\,\Omega}$

   $= 0{,}30\,\text{A}$

   Vastaus

   $0{,}30\,\text{A}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Vuo kasvaa nopeudella

   $0{,}50\,\text{T} \cdot 0{,}40\,\text{m} \cdot 3{,}0\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

   $= 0{,}60\,\tfrac{\text{Wb}}{\text{s}}$

   Se antaa saman jännitteen. Kun tangossa kulkee virta, kenttä kohdistaa siihen voiman $IlB = 0{,}060\,\text{N}$. Voiman suunta selviää luvussa Lenzin laki ja pyörrevirrat.

4. Tehtävä 5-9

   Neliön muotoisen käämin sivu on $5{,}0\,\text{cm}$, ja siinä on $20$ kierrosta. Käämi vedetään tasaisella vauhdilla $0{,}25\,\text{m/s}$ homogeenisen magneettikentän alueelle. Kenttä $0{,}30\,\text{T}$ on kohtisuorassa käämin tasoa vastaan. Käämin etusivu on kentän reunan suuntainen.

   Kuinka suuri induktiojännite käämiin syntyy sinä aikana, kun käämi on tulossa kenttään? Anna vastaus millivoltteina.

   mVTarkista
   Vastaus

   $75\,\text{mV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   käämin sivu $l = 5{,}0\,\text{cm}$, kierrosten lukumäärä $N = 20$, vauhti $v = 0{,}25\,\text{m/s}$, magneettivuon tiheys $B = 0{,}30\,\text{T}$ kohtisuorassa käämin tasoa vastaan

   Kysytty

   käämiin sisääntulon aikana syntyvä induktiojännite $|e|$ millivoltteina

   Periaate

   Käämi tulee kenttään. Kentässä oleva osa käämin pinta-alasta kasvaa tasaisesti. Siksi jokaisen kierroksen läpi kulkeva vuo kasvaa tasaisesti ja jännite on vakio. Ajassa $\Delta t$ käämi siirtyy matkan $v\Delta t$. Siksi vuo kasvaa määrällä $\Delta\Phi = Bl \cdot v\Delta t$.

   Kaava

   $|e|$$= N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

   $= N\dfrac{Bl \cdot v\Delta t}{\Delta t}$

   joten $|e| = NBlv$

   Muunnokset

   $l$$= 5{,}0\,\text{cm}$

   $= 5{,}0 \cdot 0{,}01\,\text{m}$

   $= 0{,}050\,\text{m}$

   Sijoitus

   $|e|$$= 20 \cdot 0{,}30\,\text{T} \cdot 0{,}050\,\text{m} \cdot 0{,}25\,\text{m/s}$

   $= 0{,}075\,\text{V}$

   $= 75\,\text{mV}$

   Vastaus

   $75\,\text{mV}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska lähtöarvoissakin on kaksi.

   Järkevyys

   Tarkistus koko sisääntulolla: vuo kasvaa nollasta arvoon

   $BA$$= 0{,}30\,\text{T} \cdot (0{,}050\,\text{m})^2$

   $= 7{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb}$

   Siihen kuluu aika $0{,}050\,\text{m} : 0{,}25\,\text{m/s} = 0{,}20\,\text{s}$. Siis

   $|e|$$= 20 \cdot 7{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb} : 0{,}20\,\text{s}$

   $= 0{,}075\,\text{V}$

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 5-10

   Juna kulkee vauhdilla $200\,\text{km/h}$ vaakasuoralla radalla. Suomen rautateiden raideleveys on $1524\,\text{mm}$ (Väylävirasto). Pyöräparin metalliakseli ulottuu kiskosta kiskoon. Maan magneettikentän pystykomponentti on Etelä-Suomessa noin $50\,\mu\text{T}$ (WMM2025-malli, NOAA/BGS).

   Kuinka suuri induktiojännite syntyy akselin päiden välille kiskojen kohdalla? Anna vastaus millivoltteina.

   mVTarkista
   Vastaus

   $4{,}2\,\text{mV}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   junan vauhti $v = 200\,\text{km/h}$, akselin pituus kiskosta kiskoon $l = 1524\,\text{mm}$, Maan magneettikentän pystykomponentti $B_\text{v} = 50\,\mu\text{T}$

   Kysytty

   akselin päiden välinen induktiojännite $e$ millivoltteina

   Periaate

   Akseli on metallitanko, joka liikkuu vaakasuoraan kohtisuoraan itseään vastaan. Elektroneihin kohdistuva magneettinen voima on kohtisuorassa nopeutta ja kenttää vastaan. Akselin suuntainen voima syntyy vain kentän pystykomponentista. Vaakakomponentti joko on nopeuden suuntainen tai antaa pystysuoran voiman. Siksi jännitteen antaa $e = vB_\text{v}l$.

   Kaava

   $e = vB_\text{v}l$

   Muunnokset

   $v$$= 200\,\text{km/h}$

   $= 200 \cdot \dfrac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$

   $= 55{,}56\,\text{m/s}$

   $l$$= 1524\,\text{mm}$

   $= 1524 \cdot 0{,}001\,\text{m}$

   $= 1{,}524\,\text{m}$

   $B_\text{v}$$= 50\,\mu\text{T}$

   $= 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T}$

   Sijoitus

   $e$$= 55{,}56\,\text{m/s} \cdot 50 \cdot 10^{-6}\,\text{T} \cdot 1{,}524\,\text{m}$

   $= 4{,}233 \cdot 10^{-3}\,\text{V}$

   $= 4{,}2\,\text{mV}$

   Vastaus

   $4{,}2\,\text{mV}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kentässä $50\,\mu\text{T}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Maan kenttä on noin kymmenentuhannesosa laboratoriomagneetin kentästä. Siksi jännite jää millivolttien luokkaan, vaikka vauhti on suuri. Pyöräilijän vauhdilla $20\,\text{km/h}$ jännite olisi kymmenesosa tästä, noin $0{,}4\,\text{mV}$.

2. Tehtävä 5-11

   Maan magneettikenttää mitataan kääntökelalla. Kelassa on $100$ kierrosta, ja sen pinta-ala on $0{,}020\,\text{m}^2$.

   Kela on aluksi asennossa, jossa sen taso on kohtisuorassa Maan magneettikenttää vastaan. Kela käännetään puoli kierrosta ajassa $0{,}10\,\text{s}$. Kelaan syntyy tänä aikana keskimäärin $2{,}0\,\text{mV}$:n induktiojännite.

   Kuinka suuri on Maan magneettikentän magneettivuon tiheys? Anna vastaus mikrotesloina.

   µTTarkista
   Vastaus

   $50\,\mu\text{T}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kierrosten lukumäärä $N = 100$, pinta-ala $A = 0{,}020\,\text{m}^2$, kelan taso aluksi kohtisuorassa kenttää vastaan, puolen kierroksen kääntö ajassa $\Delta t = 0{,}10\,\text{s}$, keskimääräinen jännite $|e| = 2{,}0\,\text{mV}$

   Kysytty

   Maan magneettikentän magneettivuon tiheys $B$ mikrotesloina

   Periaate

   Aluksi yhden kierroksen läpi kulkee vuo $\Phi_1 = BA$. Puolen kierroksen jälkeen sama kenttä kulkee kierroksen läpi vastakkaisesta suunnasta, joten vuo on $\Phi_2 = -BA$. Vuon muutoksen suuruus on siis $\Delta\Phi = 2BA$. Induktiolain mukaan keskimääräinen jännite on $N \cdot 2BA : \Delta t$.

   Kaava

   $|e| = N\dfrac{2BA}{\Delta t}$, josta $B = \dfrac{|e|\,\Delta t}{2NA}$

   Muunnokset

   $|e|$$= 2{,}0\,\text{mV}$

   $= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{V}$

   Vastaus muunnetaan mikrotesloiksi: $1\,\text{T} = 10^{6}\,\mu\text{T}$.

   Sijoitus

   $B$$= \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{V} \cdot 0{,}10\,\text{s}}{2 \cdot 100 \cdot 0{,}020\,\text{m}^2}$

   $= \dfrac{2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{V}\cdot\text{s}}{4{,}0\,\text{m}^2}$

   $= 5{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{T}$

   $= 50\,\mu\text{T}$

   Vastaus

   $50\,\mu\text{T}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska jännitteessä $2{,}0\,\text{mV}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Maan magneettikenttä on Suomessa noin $50\,\mu\text{T}$, joten tulos on uskottava. Jos vuon muutokseksi otettaisiin virheellisesti $BA$, tulos olisi kaksinkertainen, $100\,\mu\text{T}$. Se on liian suuri.

3. Tehtävä 5-12

   Sauvamagneetti pudotetaan pystysuoran $300$ kierroksen käämin läpi. Käämin jännite mitataan datalogerilla.

   Kun magneetti tulee käämiin, mittauksessa näkyy jännitepulssi. Pulssi on likimain kolmion muotoinen: jännite kasvaa nollasta huippuarvoon $0{,}90\,\text{V}$ ja laskee takaisin nollaan. Pulssi kestää kaikkiaan $40\,\text{ms}$. Ennen pudotusta magneetti on kaukana käämistä.

   Kuinka suuri magneettivuo kulkee keskimäärin yhden kierroksen läpi silloin, kun pulssi on päättynyt ja magneetti on käämin keskellä? Anna vastaus millivebereinä.

   mWbTarkista
   Vastaus

   $0{,}060\,\text{mWb}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kierrosten lukumäärä $N = 300$, kolmion muotoinen jännitepulssi, huippuarvo $e_0 = 0{,}90\,\text{V}$, kesto $\Delta t = 40\,\text{ms}$. Aluksi magneetti on kaukana, joten vuo on nolla.

   Kysytty

   yhden kierroksen läpi kulkeva magneettivuo $\Phi$ keskimäärin millivebereinä, kun magneetti on käämin keskellä

   Periaate

   Induktiolaista seuraa, että lyhyen aikavälin jännitteen ja keston tulo on $N$ kertaa vuon muutos. Kun pulssin aikavälit lasketaan yhteen, jännitteen kuvaajan $(t, e)$ ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala on $N\Delta\Phi$. Pulssin lopussa jännite on nolla, koska vuo on suurimmillaan eikä enää kasva. Silloin magneetti on käämin keskellä. Vuo kasvaa nollasta tähän arvoon, joten $\Delta\Phi = \Phi$.

   Kaava

   kolmion pinta-ala on $N\Phi = \tfrac{1}{2} e_0 \Delta t$, josta

   $\Phi$$= \dfrac{e_0 \Delta t}{2 \cdot N}$

   Muunnokset

   $\Delta t$$= 40\,\text{ms}$

   $= 40 \cdot 0{,}001\,\text{s}$

   $= 0{,}040\,\text{s}$

   Vastaus muunnetaan millivebereiksi: $1\,\text{Wb} = 1000\,\text{mWb}$.

   Sijoitus

   $\Phi$$= \dfrac{0{,}90\,\text{V} \cdot 0{,}040\,\text{s}}{2 \cdot 300}$

   $= \dfrac{0{,}036\,\text{V}\cdot\text{s}}{600}$

   $= 6{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{Wb}$

   $= 0{,}060\,\text{mWb}$

   Vastaus

   $0{,}060\,\text{mWb}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska huippuarvossa $0{,}90\,\text{V}$ ja kestossa $40\,\text{ms}$ on kaksi.

   Järkevyys

   Oletetaan, että käämin poikkipinta-ala on noin $2\,\text{cm}^2 = 2 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$. Silloin keskimääräinen kenttä kierroksen läpi on

   $6{,}0 \cdot 10^{-5}\,\text{Wb} : 2 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2$

   $= 0{,}3\,\text{T}$

   Se sopii pienelle voimakkaalle magneetille. Kun magneetti lähtee käämistä, syntyy vastakkaismerkkinen pulssi, jonka pinta-ala on yhtä suuri.