Muuntaja ja sähköenergian siirto

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-1Ydintehtävä

   Ovikellon muuntajan ensiökäämissä on $1200$ kierrosta ja toisiokäämissä $60$ kierrosta. Ensiökäämi kytketään verkkojännitteeseen $230\,\text{V}$. Kuinka suuri on toisiojännite? Muuntaja oletetaan ideaaliseksi.

   VTarkista
   Vastaus

   $11{,}5\,\text{V}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ensiökäämin kierrosten lukumäärä $N_1 = 1200$, toisiokäämin $N_2 = 60$, ensiöjännite $U_1 = 230\,\text{V}$, ideaalinen muuntaja

   Kysytty

   toisiojännite $U_2$ voltteina

   Periaate

   Muuntajan rautasydämessä sama muuttuva magneettivuo kulkee kummankin käämin jokaisen kierroksen läpi, joten jokaiseen kierrokseen indusoituu yhtä suuri jännite. Siksi ideaalisen muuntajan jännitteet suhtautuvat kuten kierrosten lukumäärät.

   Kaava

   $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$, josta $U_2 = \dfrac{U_1 N_2}{N_1}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: kierrosten lukumäärien suhde on yksikötön, ja jännite saadaan voltteina.

   Sijoitus

   $U_2$$= \dfrac{230\,\text{V} \cdot 60}{1200}$

   $= 11{,}5\,\text{V}$

   Vastaus

   $11{,}5\,\text{V}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $230\,\text{V}$; kierrosten lukumäärät ovat tarkkoja lukuja.

   Järkevyys

   Toisiokäämissä on $20$ kertaa vähemmän kierroksia, joten jännitteen on oltava $20$ kertaa pienempi: $230\,\text{V} : 20 = 11{,}5\,\text{V}$. Ovikellolle sopiva pieni jännite on turvallinen koskea.

2. Tehtävä 8-2Ydintehtävä

   Puutarhavalaisimen ideaalinen muuntaja laskee verkkojännitteen $230\,\text{V}$ jännitteeksi $8{,}0\,\text{V}$. Toisiokäämissä on $40$ kierrosta. Kuinka monta kierrosta ensiökäämissä on?

   kierrostaTarkista
   Vastaus

   $1150$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ensiöjännite $U_1 = 230\,\text{V}$, toisiojännite $U_2 = 8{,}0\,\text{V}$, toisiokäämin kierrosten lukumäärä $N_2 = 40$, ideaalinen muuntaja

   Kysytty

   ensiökäämin kierrosten lukumäärä $N_1$

   Periaate

   Ideaalisessa muuntajassa sama muuttuva magneettivuo kulkee molempien käämien läpi, joten jokaiseen kierrokseen indusoituu sama jännite ja käämien jännitteet suhtautuvat kuten kierrosten lukumäärät.

   Kaava

   $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$, josta $N_1 = \dfrac{N_2 U_1}{U_2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: jännitteiden suhteessa voltit supistuvat.

   Sijoitus

   $N_1$$= \dfrac{40 \cdot 230\,\text{V}}{8{,}0\,\text{V}}$

   $= 1150$

   Vastaus

   $1150$

   Kierrosta. Kierrosten lukumäärä on kokonaisluku, ja jännitteen $8{,}0\,\text{V}$ kaksi merkitsevää numeroa riittävät tähän tarkkuuteen.

   Järkevyys

   Jännite laskee noin $29$-kertaisesti ($230\,\text{V} : 8{,}0\,\text{V} \approx 29$), joten ensiökäämissä on oltava noin $29$ kertaa enemmän kierroksia kuin toisiokäämissä: $29 \cdot 40 \approx 1150$.

3. Tehtävä 8-3

   Asuinalueen muuntamo laskee jakeluverkon jännitteen $20\,\text{kV}$ jännitteeksi $400\,\text{V}$. Pienjänniteverkkoon lähtevä virta on $250\,\text{A}$. Kuinka suuri virta kulkee muuntajan ensiökäämissä, kun muuntaja oletetaan ideaaliseksi?

   ATarkista
   Vastaus

   $5{,}0\,\text{A}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   ensiöjännite $U_1 = 20\,\text{kV}$, toisiojännite $U_2 = 400\,\text{V}$, toisiovirta $I_2 = 250\,\text{A}$, ideaalinen muuntaja

   Kysytty

   ensiövirta $I_1$ ampeereina

   Periaate

   Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa, joten teho säilyy, $U_1 I_1 = U_2 I_2$. Siksi virrat suhtautuvat kääntäen kuten jännitteet.

   Kaava

   $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{I_2}{I_1}$, josta $I_1 = \dfrac{I_2 U_2}{U_1}$

   Muunnokset

   $U_1$$= 20\,\text{kV}$

   $= 20 \cdot 1000\,\text{V}$

   $= 20\,000\,\text{V}$

   jotta jännitteet ovat samassa yksikössä.

   Sijoitus

   $I_1$$= \dfrac{250\,\text{A} \cdot 400\,\text{V}}{20\,000\,\text{V}}$

   $= 5{,}0\,\text{A}$

   Vastaus

   $5{,}0\,\text{A}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $20\,\text{kV}$.

   Järkevyys

   Teho säilyy: $20\,000\,\text{V} \cdot 5{,}0\,\text{A} = 100\,\text{kW}$ ja $400\,\text{V} \cdot 250\,\text{A} = 100\,\text{kW}$. Jännitettä laskevan muuntajan ensiövirta on pienempi kuin toisiovirta, kuten pitää.

4. Tehtävä 8-4

   Jakelujohdon johtimien yhteinen resistanssi on $2{,}5\,\Omega$, ja johdossa kulkee $120\,\text{A}$:n virta. Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi? Anna vastaus kilowatteina.

   kWTarkista
   Vastaus

   $36\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   johtimien yhteinen resistanssi $R = 2{,}5\,\Omega$, virta $I = 120\,\text{A}$

   Kysytty

   johdossa lämmöksi muuttuva teho $P_\text{h}$ kilowatteina

   Periaate

   Virta muuttaa johdon resistanssissa sähköenergiaa sisäenergiaksi. Kun johdon virta ja resistanssi tunnetaan, häviöteho saadaan suoraan lausekkeesta $P_\text{h} = R I^2$.

   Kaava

   $P_\text{h} = R I^2$

   Muunnokset

   Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P_\text{h}$$= 2{,}5\,\Omega \cdot (120\,\text{A})^2$

   $= 2{,}5\,\Omega \cdot 14\,400\,\text{A}^2$

   $= 36\,000\,\text{W}$

   $= 36\,\text{kW}$

   Vastaus

   $36\,\text{kW}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $2{,}5\,\Omega$.

   Järkevyys

   Yksiköt:

   $\Omega \cdot \text{A}^2$$= \tfrac{\text{V}}{\text{A}} \cdot \text{A}^2$

   $= \text{V} \cdot \text{A}$

   $= \text{W}$

   Häviö vastaa noin viiden sähkökiukaan tehoa; jakelujohdossa sellainen teho voi kulkea, kun virta on yli sata ampeeria.

5. Tehtävä 8-5

   Kantaverkon $400\,\text{kV}$:n johdossa kulkee $800\,\text{A}$:n virta. Kuinka suurta tehoa johto siirtää? Anna vastaus megawatteina.

   MWTarkista
   Vastaus

   $320\,\text{MW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   siirtojännite $U = 400\,\text{kV}$, virta $I = 800\,\text{A}$

   Kysytty

   siirrettävä teho $P$ megawatteina

   Periaate

   Sähköteho on jännitteen ja virran tulo. Johdon siirtämä teho on siirtojännitteen ja johdon virran tulo.

   Kaava

   $P = U I$

   Muunnokset

   $U$$= 400\,\text{kV}$

   $= 400 \cdot 1000\,\text{V}$

   $= 400\,000\,\text{V}$

   Lopuksi $1\,\text{MW} = 1\,000\,000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= 400\,000\,\text{V} \cdot 800\,\text{A}$

   $= 320\,000\,000\,\text{W}$

   $= 320\,\text{MW}$

   Vastaus

   $320\,\text{MW}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.

   Järkevyys

   $320\,\text{MW}$ on suuren voimalaitoksen tehon suuruusluokkaa, ja kantaverkon johto siirtää juuri tällaisia tehoja. Sama teho $230\,\text{V}$:lla vaatisi yli miljoonan ampeerin virran.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 8-6Ydintehtävä

   Vesivoimala siirtää tehon $50\,\text{MW}$ $110\,\text{kV}$:n jännitteellä sähköasemalle. Johtimien yhteinen resistanssi on $4{,}0\,\Omega$. Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi? Anna vastaus kilowatteina.

   kWTarkista
   Vastaus

   $8{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 50\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 110\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 4{,}0\,\Omega$

   Kysytty

   johdossa lämmöksi muuttuva teho $P_\text{h}$ kilowatteina

   Periaate

   Johtoa lämmittää sen virta, ja häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$. Virta saadaan tehosta ja siirtojännitteestä, koska $P = U I$. Siirtojännite ei ole johdon resistanssin yli, joten häviötä ei lasketa lausekkeella $U^2 : R$.

   Kaava

   $P = U I$, josta $I = \dfrac{P}{U}$, ja $P_\text{h} = R I^2$

   Muunnokset

   $P$$= 50\,\text{MW}$

   $= 50 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   $U$$= 110\,\text{kV}$

   $= 110 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

   Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{50 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{110 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$

   $= 454{,}5\,\text{A}$

   $P_\text{h}$$= 4{,}0\,\Omega \cdot (454{,}5\,\text{A})^2$

   $= 826\,400\,\text{W}$

   $= 826{,}4\,\text{kW}$

   Vastaus

   $8{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$

   Eli noin $830\,\text{kW}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $50\,\text{MW}$ ja resistanssi $4{,}0\,\Omega$.

   Järkevyys

   Häviö on $0{,}83\,\text{MW} : 50\,\text{MW} \approx 1{,}7\,\%$ siirrettävästä tehosta, samaa suuruusluokkaa kuin kantaverkon häviöt, noin $2\,\%$. Häviö on siis pieni mutta ei mitätön.

2. Tehtävä 8-7Ydintehtävä

   Puhelin latautuu $5{,}0\,\text{V}$:n jännitteellä ja $2{,}0\,\text{A}$:n virralla. Oletetaan, että laturissa on ideaalinen muuntaja, joka laskee verkkojännitteen $230\,\text{V}$ suoraan latausjännitteeksi. Kuinka suuri virta kulkee muuntajan ensiökäämissä? Anna vastaus milliampeereina.

   mATarkista
   Vastaus

   $43\,\text{mA}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   latausjännite $U_2 = 5{,}0\,\text{V}$, latausvirta $I_2 = 2{,}0\,\text{A}$, verkkojännite $U_1 = 230\,\text{V}$, ideaalinen muuntaja

   Kysytty

   ensiövirta $I_1$ milliampeereina

   Periaate

   Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa, joten ensiökäämiin tuleva teho on sama kuin puhelimelle lähtevä teho, $U_1 I_1 = U_2 I_2$.

   Kaava

   $U_1 I_1 = U_2 I_2$, josta $I_1 = \dfrac{U_2 I_2}{U_1}$

   Muunnokset

   Lopuksi $1\,\text{A} = 1000\,\text{mA}$.

   Sijoitus

   $I_1$$= \dfrac{5{,}0\,\text{V} \cdot 2{,}0\,\text{A}}{230\,\text{V}}$

   $= \dfrac{10\,\text{W}}{230\,\text{V}}$

   $= 0{,}04348\,\text{A}$

   $= 43{,}48\,\text{mA}$

   Vastaus

   $43\,\text{mA}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $5{,}0\,\text{V}$ ja virrassa $2{,}0\,\text{A}$.

   Järkevyys

   Jännite laskee $46$-kertaisesti, joten ensiövirran on oltava $46$ kertaa pienempi kuin latausvirta: $2{,}0\,\text{A} : 46 \approx 0{,}043\,\text{A}$. Todellinen laturi ottaa hieman enemmän, koska osa energiasta muuttuu laturissa lämmöksi.

3. Tehtävä 8-8

   Voimalaitos siirtää tehon $100\,\text{MW}$ $220\,\text{kV}$:n jännitteellä johtoa pitkin, jonka johtimien yhteinen resistanssi on $4{,}8\,\Omega$. Kuinka monta prosenttia siirrettävästä tehosta muuttuu johdossa lämmöksi?

   %Tarkista
   Vastaus

   $0{,}99\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   teho $P = 100\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 220\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 4{,}8\,\Omega$

   Kysytty

   häviötehon osuus $P_\text{h} : P$ prosentteina

   Periaate

   Johtoa lämmittää virta, ja häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$. Virta saadaan siirrettävästä tehosta ja siirtojännitteestä, $P = U I$. Lopuksi häviötehoa verrataan siirrettävään tehoon.

   Kaava

   $I = \dfrac{P}{U}$, $P_\text{h} = R I^2$ ja osuus $\dfrac{P_\text{h}}{P}$

   Muunnokset

   $P$$= 100\,\text{MW}$

   $= 100 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   $U$$= 220\,\text{kV}$

   $= 220 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{100 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{220 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$

   $= 454{,}5\,\text{A}$

   $P_\text{h}$$= 4{,}8\,\Omega \cdot (454{,}5\,\text{A})^2$

   $= 0{,}9917 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   $\dfrac{P_\text{h}}{P}$$= \dfrac{0{,}9917 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{100 \cdot 10^{6}\,\text{W}}$

   $= 0{,}009917$

   $= 0{,}9917\,\%$

   Vastaus

   $0{,}99\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $4{,}8\,\Omega$.

   Järkevyys

   Häviö on noin $1\,\text{MW}$ sadan megawatin siirrossa, pienempi kuin kantaverkon keskimääräinen häviöosuus noin $2\,\%$. Jos sama teho siirrettäisiin $110\,\text{kV}$:lla, osuus olisi nelinkertainen, noin $4\,\%$.

4. Tehtävä 8-9

   Opiskelijat rakensivat siirtojohdon pienoismallin vastuslangasta ja mittasivat, kuinka suuri teho langassa muuttuu lämmöksi eri virroilla. Kuvaajassa on häviöteho $P_\text{h}$ virran $I$ funktiona ja mittauspisteisiin sovitettu käyrä. Määritä langan resistanssi. Lue tarvittavat arvot kuvaajan käyrältä.

   ΩTarkista
   Vastaus

   $0{,}80\,\Omega$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   kuvaajan käyrä häviötehosta $P_\text{h}$ virran $I$ funktiona

   Kysytty

   langan resistanssi $R$ ohmeina

   Periaate

   Langassa lämmöksi muuttuva teho on $P_\text{h} = R I^2$, joten häviöteho kasvaa virran neliön mukaan ja kuvaaja on origosta alkava paraabeli. Kun käyrältä luetaan yksi piste, resistanssi saadaan ratkaistua. Sovitettu käyrä tasoittaa yksittäisten mittausten satunnaisvirheet, joten arvo luetaan käyrältä eikä yksittäisestä pisteestä.

   Kuvaajan lukeminen

   Käyrä kulkee ruudukon pisteen ($5{,}0\,\text{A}$; $20\,\text{W}$) kautta: virralla $5{,}0\,\text{A}$ sovitetun käyrän häviöteho on $20\,\text{W}$. Mittauspiste $20{,}1\,\text{W}$ on lähellä käyrää.

   Kaava

   $P_\text{h} = R I^2$, josta $R = \dfrac{P_\text{h}}{I^2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: teho on watteina ja virta ampeereina, ja

   $\tfrac{\text{W}}{\text{A}^2}$$= \tfrac{\text{V}}{\text{A}}$

   $= \Omega$

   Sijoitus

   $R$$= \dfrac{20\,\text{W}}{(5{,}0\,\text{A})^2}$

   $= \dfrac{20\,\text{W}}{25\,\text{A}^2}$

   $= 0{,}80\,\Omega$

   Vastaus

   $0{,}80\,\Omega$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajalta luettu virta $5{,}0\,\text{A}$.

   Järkevyys

   Tarkistus toisella käyrän pisteellä: virralla $2{,}5\,\text{A}$ käyrä antaa $0{,}80\,\Omega \cdot (2{,}5\,\text{A})^2 = 5{,}0\,\text{W}$, mikä sopii mittauspisteiden $3{,}1\,\text{W}$ ($2{,}0\,\text{A}$) ja $7{,}4\,\text{W}$ ($3{,}0\,\text{A}$) väliin. Alle ohmin resistanssi on uskottava muutaman metrin vastuslangalle.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 8-10

   Voimalaitoksen generaattori tuottaa tehon $150\,\text{MW}$ jännitteellä $20\,\text{kV}$. Ideaalinen muuntaja nostaa jännitteen $400\,\text{kV}$:iin, ja sähkö siirretään johtoa pitkin, jonka johtimien yhteinen resistanssi on $8{,}0\,\Omega$.

   Kuinka monta prosenttia tehosta muuttuu johdossa lämmöksi?

   %Tarkista
   Vastaus

   $0{,}75\,\%$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   generaattorin teho $P = 150\,\text{MW}$ ja jännite $20\,\text{kV}$, ideaalinen muuntaja nostaa jännitteen arvoon $U = 400\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 8{,}0\,\Omega$

   Kysytty

   häviötehon osuus $P_\text{h} : P$ prosentteina

   Periaate

   Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa, joten johtoon lähtee koko teho $150\,\text{MW}$, mutta jännitteellä $400\,\text{kV}$. Johdon virta määräytyy siirtojännitteestä, ei generaattorin jännitteestä. Johtoa lämmittää tämä virta teholla $P_\text{h} = R I^2$.

   Kaava

   $I = \dfrac{P}{U}$, $P_\text{h} = R I^2$ ja osuus $\dfrac{P_\text{h}}{P}$

   Muunnokset

   $P$$= 150\,\text{MW}$

   $= 150 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   $U$$= 400\,\text{kV}$

   $= 400 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

   Sijoitus

   $I$$= \dfrac{150 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{400 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$

   $= 375\,\text{A}$

   $P_\text{h}$$= 8{,}0\,\Omega \cdot (375\,\text{A})^2$

   $= 1{,}125 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   $\dfrac{P_\text{h}}{P}$$= \dfrac{1{,}125 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{150 \cdot 10^{6}\,\text{W}}$

   $= 0{,}0075$

   $= 0{,}75\,\%$

   Vastaus

   $0{,}75\,\%$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $8{,}0\,\Omega$.

   Järkevyys

   Ilman muuntajaa virta olisi $150\,\text{MW} : 20\,\text{kV} = 7500\,\text{A}$, ja häviö $8{,}0\,\Omega \cdot (7500\,\text{A})^2 = 450\,\text{MW}$ olisi suurempi kuin koko teho, joten siirto ei onnistuisi lainkaan. Muuntajan ansiosta häviö on alle prosentin.

2. Tehtävä 8-11

   Suunnitteilla on $400\,\text{kV}$:n voimajohto, jonka on siirrettävä tehoa $400\,\text{MW}$. Johdon häviöteho saa olla enintään $1{,}0\,\%$ siirrettävästä tehosta. Kuinka suuri johtimien yhteinen resistanssi saa enintään olla?

   ΩTarkista
   Vastaus

   $4{,}0\,\Omega$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   siirtojännite $U = 400\,\text{kV}$, siirrettävä teho $P = 400\,\text{MW}$, häviö enintään $1{,}0\,\%$ eli $P_\text{h} \le 0{,}010\,P$

   Kysytty

   johtimien suurin sallittu resistanssi $R$ ohmeina

   Periaate

   Häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$, ja virta $I = P : U$. Yhdistämällä saadaan $P_\text{h} = R P^2 : U^2$. Kun häviö saa olla enintään tietty osuus tehosta, resistanssi saa olla enintään se arvo, jolla häviö on täsmälleen tämä osuus.

   Kaava

   $\dfrac{R P^2}{U^2} = 0{,}010\,P$, josta $R = \dfrac{0{,}010\,U^2}{P}$

   Muunnokset

   $U$$= 400\,\text{kV}$

   $= 400 \cdot 10^{3}\,\text{V}$

   $P$$= 400\,\text{MW}$

   $= 400 \cdot 10^{6}\,\text{W}$

   Sijoitus

   $R$$= \dfrac{0{,}010 \cdot (400 \cdot 10^{3}\,\text{V})^2}{400 \cdot 10^{6}\,\text{W}}$

   $= \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{9}\,\text{V}^2}{4{,}0 \cdot 10^{8}\,\text{W}}$

   $= 4{,}0\,\Omega$

   Vastaus

   enintään $4{,}0\,\Omega$, kaksi merkitsevää numeroa kuten osuudessa $1{,}0\,\%$.

   Järkevyys

   Tarkistus: virta on $400\,\text{MW} : 400\,\text{kV} = 1000\,\text{A}$, ja häviö $4{,}0\,\Omega \cdot (1000\,\text{A})^2 = 4{,}0\,\text{MW}$ eli $1{,}0\,\%$ tehosta. Yksiköt:

   $\tfrac{\text{V}^2}{\text{W}}$$= \tfrac{\text{V}^2}{\text{V} \cdot \text{A}}$

   $= \Omega$
3. Tehtävä 8-12

   Vanha $220\,\text{kV}$:n voimajohto muutetaan $400\,\text{kV}$:n johdoksi niin, että johtimet ja niiden resistanssi pysyvät samoina.

   Kuinka moninkertainen teho samaa johtoa voidaan siirtää niin, että häviöteho on edelleen yhtä suuri osuus siirrettävästä tehosta kuin ennen?

   kertaaTarkista
   Vastaus

   $3{,}3$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkuperäinen siirtojännite $U_1 = 220\,\text{kV}$, uusi siirtojännite $U_2 = 400\,\text{kV}$, resistanssi $R$ ja häviön osuus pysyvät samoina

   Kysytty

   kuinka moninkertainen teho $P_2 : P_1$ voidaan siirtää

   Periaate

   Häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$ ja virta $I = P : U$, joten häviön osuus on $P_\text{h} : P = R P : U^2$. Kun $R$ ja osuus pysyvät samoina, teho $P$ on verrannollinen jännitteen neliöön $U^2$.

   Kaava

   $\dfrac{R P_1}{U_1^2}$$= \dfrac{R P_2}{U_2^2}$

   josta

   $\dfrac{P_2}{P_1}$$= \dfrac{U_2^2}{U_1^2}$

   Muunnokset

   Ei tarvita: jännitteiden suhteessa kilovoltit supistuvat.

   Sijoitus

   $\dfrac{P_2}{P_1}$$= \dfrac{(400\,\text{kV})^2}{(220\,\text{kV})^2}$

   $= (1{,}818)^2$

   $= 3{,}306$

   Vastaus

   noin $3{,}3$-kertainen teho, kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $220\,\text{kV}$.

   Järkevyys

   Jännite kasvaa vajaaseen kaksinkertaiseen, joten teho voi kasvaa vajaaseen nelinkertaiseen. Esimerkiksi tehot $100\,\text{MW}$ ja $331\,\text{MW}$ antavat virrat $455\,\text{A}$ ja $826\,\text{A}$, ja häviöiden osuus $R I : U$ on kummassakin sama.