Muuntaja ja sähköenergian siirto
Miksi sähkö kuljetetaan voimalaitokselta kaupunkiin $400\,\text{kV}$:n jännitteellä, vaikka kodin pistorasiassa jännite on vain $230\,\text{V}$?
Pohjatiedot
- Muuttuva magneettivuo indusoi käämiin jännitteenluku Sähkömagneettinen induktio
- Generaattori tuottaa vaihtojännitettä, ja verkkojännitteen tehollinen arvo on $230\,\text{V}$luku Generaattori ja vaihtovirta
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Muuntaja
- Laite, joka nostaa tai laskee vaihtojännitettä. Siinä on kaksi käämiä yhteisen rautasydämen ympärillä.
- Muuntosuhde
- Ensiö- ja toisiokäämin kierroslukujen suhde $N_1 : N_2$. Ihanteellisessa muuntajassa se on sama kuin jännitteiden suhde $U_1 : U_2$.
- Siirtohäviö
- Teho, joka muuttuu johdoissa sisäenergiaksi, kun sähköä siirretään. Samassa johdossa se kasvaa virran neliön mukana.
- Suurjännite
- Hyvin suuri jännite, jolla sähköä siirretään kantaverkossa. Kun siirretty teho on sama, virta on silloin pieni ja häviöt pienet.
Pohdinta
Voimalaitoksen generaattori tuottaa noin $20\,\text{kV}$:n jännitteen. Kotien pistorasioissa jännite on $230\,\text{V}$. Välissä sähkö kulkee satoja kilometrejä kantaverkon johtoja pitkin, ja niissä jännite on jopa $400\,\text{kV}$. Jännite siis ensin nostetaan valtavasti ja lasketaan sitten vaiheittain. Se vaatii kalliita muuntajia ja korkeita pylväitä.
Miksi sähköä ei siirretä suoraan generaattorin jännitteellä? Miten jännitettä ylipäätään voi muuttaa?
Valinnainen Kertaa: induktio
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: muuntaja ja akku
Ennuste 2: kaksinkertainen jännite
Tutki
Voimalaitos lähettää tehon kaupunkiin voimajohtoa pitkin. Valitse siirtojännite, teho ja johdon pituus. Seuraa, kuinka suuri osa tehosta muuttuu johdossa lämmöksi.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä siirtojännitettä $U$, siirrettävää tehoa $P$ ja johdon pituutta $l$. Kuvassa vasemmalla on voimalaitos ja sen nostomuuntaja. Keskellä on voimajohto. Oikealla on laskumuuntaja ja kaupunki. Johto muuttuu sitä punaisemmaksi, mitä suurempi osa tehosta muuttuu siinä lämmöksi. Palkit kuvan alla näyttävät perille tulevan tehon (vihreä) ja häviötehon (oranssi) samassa mittakaavassa. Lukemat-riviltä näet johdon virran, resistanssin ja nostomuuntajan muuntosuhteen.
Mallin oletukset
Malli käsittelee siirron yksinkertaistettuna kahden johtimen siirtona. Voimalaitos lähettää tehon $P$ jännitteellä $U$. Johtimien yhteinen resistanssi on $R = 0{,}040\,\tfrac{\Omega}{\text{km}} \cdot l$. Todellinen kantaverkko on kolmivaiheinen, mutta häviön riippuvuus virrasta on sama. Generaattorin jännite on aina $20\,\text{kV}$, ja muuntajat oletetaan ideaalisiksi. Jos häviöteho olisi suurempi kuin lähetetty teho, siirto ei onnistu, ja malli ilmoittaa sen. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Johdon virta saadaan tehosta ja siirtojännitteestä, $I = P : U$. Johdossa lämmöksi muuttuva teho on
$$P_\text{h} = R I^2$$
Perille tulee teho $P_\text{perille} = P - P_\text{h}$. Häviön osuus on $P_\text{h} : P$. Nostomuuntajan muuntosuhde on $N_2 : N_1 = U : 20\,\text{kV}$.
Koe 1: vain siirtojännite muuttuu
Testaa ennuste 2. Teho on $200\,\text{MW}$ ja johdon pituus $150\,\text{km}$. Muuta vain siirtojännitettä. Kirjaa ainakin jännitteet $100\,\text{kV}$, $200\,\text{kV}$ ja $400\,\text{kV}$. Halutessasi kirjaa myös $50\,\text{kV}$. Vertaa, miten virta ja häviöteho muuttuvat, kun jännite kaksinkertaistuu.
Alkutila: siirtojännite = $100\,\text{kV}$, teho = $200\,\text{MW}$, johdon pituus = $150\,\text{km}$. Vakiona: teho, johdon pituus. Muutetaan: siirtojännite.
| siirtojännite | $I$ $(\text{A})$ | $P_h$ $(\text{MW})$ | osuus $(\%)$ |
|---|
Johtopäätös: häviö ja jännite
Kirjoita taulukkosi perusteella: miten johdon virta ja häviöteho muuttuvat, kun siirtojännite kaksinkertaistuu? Mikä riippuvuus häviötehon ja jännitteen välillä on? Mitä tämä merkitsee voimalaitokselle, joka haluaa siirtää sähköä kauas?
Mallivastaus
Jännite kaksinkertaistuu $100\,\text{kV}$:sta $200\,\text{kV}$:iin. Silloin virta puolittuu $2000\,\text{A}$:sta $1000\,\text{A}$:iin. Häviöteho pienenee $24\,\text{MW}$:sta $6{,}0\,\text{MW}$:iin, eli neljäsosaan. Jännitteellä $400\,\text{kV}$ virta on $500\,\text{A}$ ja häviö $1{,}5\,\text{MW}$, vain $0{,}75\,\%$ tehosta. Virta on kääntäen verrannollinen jännitteeseen, $I = P : U$. Häviö on verrannollinen virran neliöön, $P_\text{h} = R I^2$. Siksi häviö on kääntäen verrannollinen jännitteen neliöön. Generaattorin jännite kannattaa siis nostaa muuntajalla suurjännitteeksi ennen siirtoa ja laskea perillä. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Muuntaja muuttaa vaihtojännitettä
Muuntajassa on suljettu rautasydän. Sen ympärille on kierretty kaksi käämiä. Käämi on lankakela. Ensiökäämiin kytketään vaihtojännite. Toisiokäämistä saadaan jännite laitteelle. Käämit eivät kosketa toisiaan. Niiden välillä ei kulje virtaa johtimia pitkin.
Ensiökäämin vaihtovirta synnyttää rautasydämeen magneettikentän. Kentän suuruus ja suunta vaihtelevat virran tahdissa. Rautasydän ohjaa lähes koko magneettivuon kiertämään sydäntä pitkin. Vuo kulkee siis myös toisiokäämin läpi. Luvussa Sähkömagneettinen induktio nähtiin, että muuttuva magneettivuo indusoi käämiin jännitteen. Siksi toisiokäämiin syntyy vaihtojännite. Sen taajuus on sama kuin ensiöjännitteen.
Kierrosten lukumäärä määrää jännitteen
Sama muuttuva magneettivuo kulkee kummankin käämin jokaisen kierroksen läpi. Siksi jokaiseen kierrokseen indusoituu yhtä suuri jännite. Käämin jännite on sen kierrosten jännitteiden summa. Jännite on siis verrannollinen kierrosten lukumäärään.
Ideaalisessa muuntajassa ensiöjännitteen ja toisiojännitteen suhde on sama kuin käämien kierrosten lukumäärien suhde. Tätä suhdetta sanotaan muuntosuhteeksi. Jos toisiokäämissä on enemmän kierroksia kuin ensiökäämissä, muuntaja nostaa jännitettä. Jos toisiokäämissä on vähemmän kierroksia, muuntaja laskee jännitettä.
Muuntaja toimii vain vaihtovirralla
Oletetaan, että ensiökäämi kytketään akkuun. Silloin käämissä kulkee tasavirta, ja rautasydämen magneettikenttä on vakio. Vakiosuuruinen magneettivuo ei indusoi jännitettä. Toisiokäämin jännite on siis nolla. Jännitepulssi syntyy vain hetkellä, jolloin virta kytketään tai katkaistaan, koska silloin vuo muuttuu.
Tämän vuoksi sähköverkossa käytetään vaihtovirtaa. Luvussa Generaattori ja vaihtovirta generaattori tuottaa vaihtojännitettä. Muuntajilla jännite voidaan muuttaa aina sopivan suuruiseksi.
Teho säilyy, virta muuttuu
Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa. Siksi ensiökäämiin tuleva teho on yhtä suuri kuin toisiokäämistä lähtevä teho. Teho on jännitteen ja virran tulo. Kun muuntaja nostaa jännitteen kymmenkertaiseksi, virta pienenee kymmenesosaan.
Muuntaja ei siis lisää energiaa eikä tehoa. Se vaihtaa suuren virran suureksi jännitteeksi tai päinvastoin. Todellisessa muuntajassa osa energiasta muuttuu sisäenergiaksi käämien resistanssissa ja rautasydämen pyörrevirroissa. Siksi sydän kootaan ohuista levyistä, jotka on eristetty toisistaan (luku Lenzin laki ja pyörrevirrat). Suurten voimalaitosmuuntajien hyötysuhde on yli $99\,\%$.
Siirtohäviö ja suurjännite
Voimajohdolla on resistanssi. Johdossa kulkeva virta lämmittää johtoa. Lämmöksi muuttuva teho on verrannollinen virran neliöön. Siksi virta kannattaa pitää pienenä.
Saman tehon voi siirtää suurella jännitteellä ja pienellä virralla. Kun jännite nostetaan kymmenkertaiseksi, virta pienenee kymmenesosaan ja häviöteho sadasosaan. Siksi voimalaitoksen generaattorin jännite nostetaan muuntajalla suurjännitteeksi. Fingrid ylläpitää Suomen kantaverkkoa. Kantaverkon jännitteet ovat $400\,\text{kV}$, $220\,\text{kV}$ ja $110\,\text{kV}$. Kantaverkon häviöt vastaavat noin $2\,\%$:a Suomessa käytetystä sähköstä (Fingrid, Yhteisillä linjoilla 2026, vuoden 2025 tiedot).
Jännite lasketaan vaiheittain
Sähköasemilla muuntajat laskevat jännitteen alueverkon $110\,\text{kV}$:iin ja jakeluverkon $20\,\text{kV}$:iin. Asuinalueen muuntamo laskee sen kotien $230\,\text{V}$:iin. Suurjännitettä ei tuoda koteihin. Sen eristäminen vaatii pitkiä eristimiä ja suuria etäisyyksiä, ja kosketus olisi hengenvaarallinen (luku Sähköturvallisuus).
Puhelimen laturi laskee jännitteen vielä noin $5\,\text{V}$:iin. Nykyaikainen laturi muuttaa verkkojännitteen ensin hyvin suuritaajuiseksi. Silloin muuntaja voi olla pieni. Lopuksi laturi tasasuuntaa jännitteen. Laturin muuntajan käämit eivät kosketa toisiaan. Puhelin ei siis ole johtavassa yhteydessä sähköverkkoon.
Muuntaja ja siirtohäviö
Ideaalisen muuntajan jännitteet ja virrat riippuvat käämien kierrosten lukumääristä:
$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{I_2}{I_1}$$
Tässä $U_1$ on ensiöjännite (V) ja $U_2$ on toisiojännite (V). Kirjaimet $N_1$ ja $N_2$ ovat ensiökäämin ja toisiokäämin kierrosten lukumäärät. Kirjaimet $I_1$ ja $I_2$ ovat ensiövirta ja toisiovirta (A). Suhde $N_1 : N_2$ on muuntosuhde. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa tehon säilymisestä: $U_1 I_1 = U_2 I_2$. Jännitteet ja virrat ovat tehollisia arvoja (luku Generaattori ja vaihtovirta). Kun jännite kasvaa, virta pienenee samassa suhteessa.
Siirtojohdon tehohäviö
Voimalaitos lähettää tehon $P$ jännitteellä $U$. Johdon virta ja johdossa lämmöksi muuttuva teho ovat
$$\begin{aligned} P &= U I \\[6pt] P_\text{h} &= R I^2 = \frac{R P^2}{U^2} \end{aligned}$$
Tässä $P$ on siirrettävä teho (W), $U$ on siirtojännite (V) ja $I$ on johdon virta (A). Kirjain $R$ on johtimien resistanssi (Ω) ja $P_\text{h}$ on häviöteho (W). Kun sama teho siirretään kaksinkertaisella jännitteellä, virta puolittuu ja häviöteho pienenee neljäsosaan.
Siirtojännite $U$ ei ole sama kuin jännite johdon resistanssin yli. Johdon päiden välinen jännitehäviö on vain $R I$. Siksi häviötehoa ei saa laskea lausekkeella $U^2 : R$.
Yleinen virhekäsitys
Moni laskee voimajohdon häviötehon lausekkeella $P = U^2 : R$. Sen jälkeen hän päättelee, että suurempi jännite lisää häviöitä. Lausekkeessa $U$ on kuitenkin vastuksen yli oleva jännite. Siirtojännite on johtimien ja maan tai johtimien keskinäinen jännite. Johdon resistanssin yli on vain pieni jännitehäviö $R I$.
Oikea tapa on laskea ensin virta $I = P : U$ ja sitten häviöteho $P_\text{h} = R I^2$. Suurempi jännite pienentää virtaa ja häviöitä.
Toinen virhe on ajatella, että jännitettä nostava muuntaja lisää tehoa. Ideaalisessa muuntajassa teho säilyy. Kun jännite kasvaa, virta pienenee. Kolmas virhe on olettaa, että muuntaja toimii myös akulla. Muuntaja tarvitsee muuttuvan magneettivuon, eli vaihtovirran.
Tiivistelmä
- Muuntajassa ensiökäämin vaihtovirta synnyttää rautasydämeen muuttuvan magneettivuon. Vuo indusoi toisiokäämiin vaihtojännitteen. Tasavirralla vuo ei muutu, eikä muuntaja toimi.
- Ideaalisessa muuntajassa $U_1 : U_2 = N_1 : N_2 = I_2 : I_1$. Teho säilyy, joten jännitteen kasvaessa virta pienenee.
- Siirtojohdon häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$, missä $I = P : U$. Kaksinkertainen siirtojännite pienentää häviöt neljäsosaan.
- Sähkö siirretään pitkiä matkoja suurjännitteellä. Suomen kantaverkon jännitteet ovat $400\,\text{kV}$, $220\,\text{kV}$ ja $110\,\text{kV}$. Muuntajat laskevat jännitteen vaiheittain kotien $230\,\text{V}$:iin.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja kokeen mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen. Miksi sähköä ei siirretä generaattorin $20\,\text{kV}$:n jännitteellä? Miksi jännitteen muuttaminen vaatii vaihtovirtaa?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Sähköaseman muuntaja laskee alueverkon jännitteen $110\,\text{kV}$ jakeluverkon jännitteeksi $20\,\text{kV}$. Toisiokäämissä on $360$ kierrosta, ja jakeluverkkoon lähtevä virta on $450\,\text{A}$. Kuinka monta kierrosta ensiökäämissä on? Kuinka suuri virta ensiökäämissä kulkee? Muuntaja oletetaan ideaaliseksi.
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Ensiöjännite on $U_1 = 110\,\text{kV}$ ja toisiojännite $U_2 = 20\,\text{kV}$. Toisiokäämin kierrosten lukumäärä on $N_2 = 360$ ja toisiovirta $I_2 = 450\,\text{A}$. Kysytään ensiökäämin kierrosten lukumäärää $N_1$ ja ensiövirtaa $I_1$.
Vaihe 2/7
Periaate. Ideaalisessa muuntajassa sama muuttuva magneettivuo kulkee kummankin käämin läpi. Siksi jännitteet suhtautuvat kuten kierrosten lukumäärät. Muuntaja ei kuluta energiaa, joten teho säilyy, $U_1 I_1 = U_2 I_2$. Virrat suhtautuvat siis kääntäen kuten jännitteet.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \frac{U_1}{U_2} &= \frac{N_1}{N_2} \;\Rightarrow\; N_1 = \frac{N_2 U_1}{U_2} \\[6pt] \frac{U_1}{U_2} &= \frac{I_2}{I_1} \;\Rightarrow\; I_1 = \frac{I_2 U_2}{U_1} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Niitä ei tarvita. Jännitteet ovat kummassakin kaavassa osamääränä, joten kilovoltit supistuvat. Kumpikin jännite on samassa yksikössä, $\text{kV}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} &N_1 = \frac{N_2 U_1}{U_2} \\ &= \frac{360 \cdot 110\,\text{kV}}{20\,\text{kV}} \\ &= 1980 \\[6pt] &I_1 = \frac{I_2 U_2}{U_1} \\ &= \frac{450\,\text{A} \cdot 20\,\text{kV}}{110\,\text{kV}} \\ &= 81{,}82\,\text{A} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Ensiökäämissä on $1980$ kierrosta. Ensiövirta on $I_1 \approx 82\,\text{A}$. Virta ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, kuten jännite $20\,\text{kV}$.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Muuntaja laskee jännitettä. Siksi ensiökäämissä on oltava enemmän kierroksia ja pienempi virta kuin toisiokäämissä. Tulos on tällainen. Teho säilyy: $110\,\text{kV} \cdot 81{,}82\,\text{A} = 9{,}0\,\text{MW}$ ja $20\,\text{kV} \cdot 450\,\text{A} = 9{,}0\,\text{MW}$.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: tuulipuiston liityntäjohto
Tuulipuisto syöttää tehon $33\,\text{MW}$ sähköasemalle $110\,\text{kV}$:n voimajohtoa pitkin. Johtimien yhteinen resistanssi on $8{,}0\,\Omega$. Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi? Vastaa kilowatteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Johtoa lämmittää virta. Miten virta saadaan, kun teho ja siirtojännite tunnetaan?
Vihje 2: mikä yhteys
Virta on $I = P : U$, ja häviöteho $P_\text{h} = R I^2$.
Vihje 3: välivaihe
joten $P_\text{h} = 8{,}0\,\Omega \cdot (300\,\text{A})^2$.
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 33\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 110\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 8{,}0\,\Omega$
Kysytty
johdossa lämmöksi muuttuva teho $P_\text{h}$ kilowatteina
Periaate
Johdon resistanssissa virta muuttaa sähköenergiaa sisäenergiaksi. Teho on $P_\text{h} = R I^2$. Virta saadaan siirrettävästä tehosta ja siirtojännitteestä, koska $P = U I$. Siirtojännite ei ole jännite johdon resistanssin yli. Siksi lauseketta $U^2 : R$ ei voi käyttää.
Kaava
$P = U I$, josta $I = \dfrac{P}{U}$, ja $P_\text{h} = R I^2$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.
Sijoitus
Vastaus
$720\,\text{kW}$
Eli $7{,}2 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa $33\,\text{MW}$ ja resistanssissa $8{,}0\,\Omega$.
Järkevyys
Häviö on $720\,\text{kW} : 33\,000\,\text{kW} \approx 2{,}2\,\%$ siirrettävästä tehosta. Se on samaa suuruusluokkaa kuin Fingridin ilmoittama kantaverkon häviöosuus, noin $2\,\%$. Häviö on pieni osa tehosta, kuten toimivassa verkossa pitääkin.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Muuntajan ensiökäämissä on $500$ kierrosta ja toisiokäämissä $25$ kierrosta. Ensiöjännite on $230\,\text{V}$. Kuinka suuri on toisiojännite?
Vastaus
$U_2$$= U_1 N_2 : N_1$$= 230\,\text{V} \cdot 25 : 500$$= 11{,}5\,\text{V}$Toisiokäämissä on vähemmän kierroksia, joten muuntaja laskee jännitettä.
- Siirtojohdon virta pienenee kolmasosaan. Johdon resistanssi pysyy samana. Miten johdossa lämmöksi muuttuva teho muuttuu?
Vastaus
Se pienenee yhdeksäsosaan, koska $P_\text{h} = R I^2$ ja $(1 : 3)^2 = 1 : 9$.
1. Käsite: miksi suurjännite
2. Laske: valaisinmuuntaja
Pienjännitevalaisimen ideaalinen muuntaja laskee verkkojännitteen $230\,\text{V}$ jännitteeksi $12\,\text{V}$. Toisiokäämiin kytkettyjen lamppujen yhteinen teho on $60\,\text{W}$. Kuinka suuri virta kulkee ensiökäämissä? Vastaa ampeereina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa. Mikä on siis ensiökäämiin tuleva teho?
Vihje 2: mikä yhteys
Ensiöteho on $60\,\text{W}$, ja $P = U_1 I_1$.
Vihje 3: välivaihe
$I_1 = 60\,\text{W} : 230\,\text{V}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
ensiöjännite $U_1 = 230\,\text{V}$, toisiojännite $U_2 = 12\,\text{V}$, lamppujen teho $P = 60\,\text{W}$, ideaalinen muuntaja
Kysytty
ensiövirta $I_1$ ampeereina
Periaate
Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa. Siksi ensiökäämiin tuleva teho on sama kuin toisiokäämistä lamppuihin lähtevä teho, $U_1 I_1 = U_2 I_2 = P$.
Kaava
$P = U_1 I_1$, josta $I_1 = \dfrac{P}{U_1}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Teho on watteina ja jännite voltteina, ja $\tfrac{\text{W}}{\text{V}} = \text{A}$.
Sijoitus
Vastaus
$0{,}26\,\text{A}$
Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten tehossa $60\,\text{W}$.
Järkevyys
Toisiovirta on $60\,\text{W} : 12\,\text{V} = 5{,}0\,\text{A}$. Jännitettä laskevan muuntajan ensiövirran on oltava pienempi. Suhde $5{,}0\,\text{A} : 0{,}26\,\text{A} \approx 19$ on sama kuin jännitteiden suhde $230\,\text{V} : 12\,\text{V} \approx 19$.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: muuntaja sähköverkossa
Selitä, miten muuntaja muuttaa jännitettä. Selitä myös, miksi sähköverkko käyttää vaihtovirtaa eikä tasavirtaa, kun jännitettä pitää muuttaa matkalla voimalaitokselta kotiin.
Mallivastaus
Ensiökäämin vaihtovirta synnyttää rautasydämeen magneettivuon, joka muuttuu virran tahdissa. Rautasydän ohjaa vuon myös toisiokäämin läpi. Muuttuva vuo indusoi toisiokäämin jokaiseen kierrokseen yhtä suuren jännitteen. Siksi käämin jännite on verrannollinen kierrosten lukumäärään, ja ideaalisessa muuntajassa $U_1 : U_2 = N_1 : N_2$. Teho säilyy, joten jännitteen kasvaessa virta pienenee. Tasavirta synnyttää vakiosuuruisen vuon, joka ei indusoi jännitettä. Siksi muuntaja ei toimi tasavirralla. Muuntajilla vaihtojännite voidaan nostaa siirtoa varten suurjännitteeksi. Silloin virta ja häviöt $P_\text{h} = R I^2$ ovat pieniä. Perillä jännite lasketaan turvalliseksi $230\,\text{V}$:ksi.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Muuntaja
- Laite, joka muuttaa vaihtojännitteen suuruutta käämien kierroslukujen suhteessa.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-1Ydintehtävä
Ovikellon muuntajan ensiökäämissä on $1200$ kierrosta ja toisiokäämissä $60$ kierrosta. Ensiökäämi kytketään verkkojännitteeseen $230\,\text{V}$. Kuinka suuri on toisiojännite? Muuntaja oletetaan ideaaliseksi.
Vastaus
$11{,}5\,\text{V}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ensiökäämin kierrosten lukumäärä $N_1 = 1200$, toisiokäämin $N_2 = 60$, ensiöjännite $U_1 = 230\,\text{V}$, ideaalinen muuntaja
Kysytty
toisiojännite $U_2$ voltteina
Periaate
Muuntajan rautasydämessä sama muuttuva magneettivuo kulkee kummankin käämin jokaisen kierroksen läpi. Siksi jokaiseen kierrokseen indusoituu yhtä suuri jännite. Ideaalisen muuntajan jännitteet suhtautuvat kuten kierrosten lukumäärät.
Kaava
$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$, josta $U_2 = \dfrac{U_1 N_2}{N_1}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Kierrosten lukumäärien suhde on yksikötön, ja jännite saadaan voltteina.
Sijoitus
$U_2$$= \dfrac{230\,\text{V} \cdot 60}{1200}$$= 11{,}5\,\text{V}$Vastaus
$11{,}5\,\text{V}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $230\,\text{V}$; kierrosten lukumäärät ovat tarkkoja lukuja.
Järkevyys
Toisiokäämissä on $20$ kertaa vähemmän kierroksia, joten jännitteen on oltava $20$ kertaa pienempi: $230\,\text{V} : 20 = 11{,}5\,\text{V}$. Ovikellolle sopiva pieni jännite on turvallinen koskea.
- Tehtävä 8-2Ydintehtävä
Puutarhavalaisimen ideaalinen muuntaja laskee verkkojännitteen $230\,\text{V}$ jännitteeksi $8{,}0\,\text{V}$. Toisiokäämissä on $40$ kierrosta. Kuinka monta kierrosta ensiökäämissä on?
Vastaus
$1150$
Näytä ratkaisu
Annettu
ensiöjännite $U_1 = 230\,\text{V}$, toisiojännite $U_2 = 8{,}0\,\text{V}$, toisiokäämin kierrosten lukumäärä $N_2 = 40$, ideaalinen muuntaja
Kysytty
ensiökäämin kierrosten lukumäärä $N_1$
Periaate
Ideaalisessa muuntajassa sama muuttuva magneettivuo kulkee molempien käämien läpi. Siksi jokaiseen kierrokseen indusoituu sama jännite. Käämien jännitteet suhtautuvat kuten kierrosten lukumäärät.
Kaava
$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$, josta $N_1 = \dfrac{N_2 U_1}{U_2}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Jännitteiden suhteessa voltit supistuvat.
Sijoitus
$N_1$$= \dfrac{40 \cdot 230\,\text{V}}{8{,}0\,\text{V}}$$= 1150$Vastaus
$1150$
Kierrosta. Kierrosten lukumäärä on kokonaisluku, ja jännitteen $8{,}0\,\text{V}$ kaksi merkitsevää numeroa riittävät tähän tarkkuuteen.
Järkevyys
Jännite laskee noin $29$-kertaisesti ($230\,\text{V} : 8{,}0\,\text{V} \approx 29$), joten ensiökäämissä on oltava noin $29$ kertaa enemmän kierroksia kuin toisiokäämissä: $29 \cdot 40 \approx 1150$.
- Tehtävä 8-3
Asuinalueen muuntamo laskee jakeluverkon jännitteen $20\,\text{kV}$ jännitteeksi $400\,\text{V}$. Pienjänniteverkkoon lähtevä virta on $250\,\text{A}$. Kuinka suuri virta kulkee muuntajan ensiökäämissä? Muuntaja oletetaan ideaaliseksi.
Vastaus
$5{,}0\,\text{A}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ensiöjännite $U_1 = 20\,\text{kV}$, toisiojännite $U_2 = 400\,\text{V}$, toisiovirta $I_2 = 250\,\text{A}$, ideaalinen muuntaja
Kysytty
ensiövirta $I_1$ ampeereina
Periaate
Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa, joten teho säilyy, $U_1 I_1 = U_2 I_2$. Siksi virrat suhtautuvat kääntäen kuten jännitteet.
Kaava
$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{I_2}{I_1}$, josta $I_1 = \dfrac{I_2 U_2}{U_1}$
Muunnokset
$U_1$$= 20\,\text{kV}$$= 20 \cdot 1000\,\text{V}$$= 20\,000\,\text{V}$jotta jännitteet ovat samassa yksikössä.
Sijoitus
$I_1$$= \dfrac{250\,\text{A} \cdot 400\,\text{V}}{20\,000\,\text{V}}$$= 5{,}0\,\text{A}$Vastaus
$5{,}0\,\text{A}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $20\,\text{kV}$.
Järkevyys
Teho säilyy: $20\,000\,\text{V} \cdot 5{,}0\,\text{A} = 100\,\text{kW}$ ja $400\,\text{V} \cdot 250\,\text{A} = 100\,\text{kW}$. Jännitettä laskevan muuntajan ensiövirta on pienempi kuin toisiovirta, kuten pitää.
- Tehtävä 8-4
Jakelujohdon johtimien yhteinen resistanssi on $2{,}5\,\Omega$. Johdossa kulkee $120\,\text{A}$:n virta. Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi? Anna vastaus kilowatteina.
Vastaus
$36\,\text{kW}$
Näytä ratkaisu
Annettu
johtimien yhteinen resistanssi $R = 2{,}5\,\Omega$, virta $I = 120\,\text{A}$
Kysytty
johdossa lämmöksi muuttuva teho $P_\text{h}$ kilowatteina
Periaate
Virta muuttaa johdon resistanssissa sähköenergiaa sisäenergiaksi. Kun johdon virta ja resistanssi tunnetaan, häviöteho saadaan suoraan lausekkeesta $P_\text{h} = R I^2$.
Kaava
$P_\text{h} = R I^2$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.
Sijoitus
$P_\text{h}$$= 2{,}5\,\Omega \cdot (120\,\text{A})^2$$= 2{,}5\,\Omega \cdot 14\,400\,\text{A}^2$$= 36\,000\,\text{W}$$= 36\,\text{kW}$Vastaus
$36\,\text{kW}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $2{,}5\,\Omega$.
Järkevyys
Yksiköt:
$\Omega \cdot \text{A}^2$$= \tfrac{\text{V}}{\text{A}} \cdot \text{A}^2$$= \text{V} \cdot \text{A}$$= \text{W}$Häviö vastaa noin viiden sähkökiukaan tehoa; jakelujohdossa sellainen teho voi kulkea, kun virta on yli sata ampeeria.
- Tehtävä 8-5
Kantaverkon $400\,\text{kV}$:n johdossa kulkee $800\,\text{A}$:n virta. Kuinka suurta tehoa johto siirtää? Anna vastaus megawatteina.
Vastaus
$320\,\text{MW}$
Näytä ratkaisu
Annettu
siirtojännite $U = 400\,\text{kV}$, virta $I = 800\,\text{A}$
Kysytty
siirrettävä teho $P$ megawatteina
Periaate
Sähköteho on jännitteen ja virran tulo. Johdon siirtämä teho on siirtojännitteen ja johdon virran tulo.
Kaava
$P = U I$
Muunnokset
$U$$= 400\,\text{kV}$$= 400 \cdot 1000\,\text{V}$$= 400\,000\,\text{V}$Lopuksi $1\,\text{MW} = 1\,000\,000\,\text{W}$.
Sijoitus
$P$$= 400\,000\,\text{V} \cdot 800\,\text{A}$$= 320\,000\,000\,\text{W}$$= 320\,\text{MW}$Vastaus
$320\,\text{MW}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lähtöarvoissa.
Järkevyys
$320\,\text{MW}$ on suuren voimalaitoksen tehon suuruusluokkaa, ja kantaverkon johto siirtää juuri tällaisia tehoja. Sama teho $230\,\text{V}$:lla vaatisi yli miljoonan ampeerin virran.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 8-6Ydintehtävä
Vesivoimala siirtää tehon $50\,\text{MW}$ jännitteellä $110\,\text{kV}$ sähköasemalle. Johtimien yhteinen resistanssi on $4{,}0\,\Omega$. Kuinka suuri teho johdossa muuttuu lämmöksi? Anna vastaus kilowatteina.
Vastaus
$8{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 50\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 110\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 4{,}0\,\Omega$
Kysytty
johdossa lämmöksi muuttuva teho $P_\text{h}$ kilowatteina
Periaate
Johtoa lämmittää sen virta, ja häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$. Virta saadaan tehosta ja siirtojännitteestä, koska $P = U I$. Siirtojännite ei ole jännite johdon resistanssin yli. Siksi häviötä ei lasketa lausekkeella $U^2 : R$.
Kaava
$P = U I$, josta $I = \dfrac{P}{U}$, ja $P_\text{h} = R I^2$
Muunnokset
$P$$= 50\,\text{MW}$$= 50 \cdot 10^{6}\,\text{W}$$U$$= 110\,\text{kV}$$= 110 \cdot 10^{3}\,\text{V}$Lopuksi $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.
Sijoitus
$I$$= \dfrac{50 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{110 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$$= 454{,}5\,\text{A}$$P_\text{h}$$= 4{,}0\,\Omega \cdot (454{,}5\,\text{A})^2$$= 826\,400\,\text{W}$$= 826{,}4\,\text{kW}$Vastaus
$8{,}3 \cdot 10^{2}\,\text{kW}$
Eli noin $830\,\text{kW}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten teho $50\,\text{MW}$ ja resistanssi $4{,}0\,\Omega$.
Järkevyys
Häviö on $0{,}83\,\text{MW} : 50\,\text{MW} \approx 1{,}7\,\%$ siirrettävästä tehosta, samaa suuruusluokkaa kuin kantaverkon häviöt, noin $2\,\%$. Häviö on siis pieni mutta ei mitätön.
- Tehtävä 8-7Ydintehtävä
Puhelin latautuu jännitteellä $5{,}0\,\text{V}$ ja virralla $2{,}0\,\text{A}$. Oletetaan, että laturissa on ideaalinen muuntaja, joka laskee verkkojännitteen $230\,\text{V}$ suoraan latausjännitteeksi. Kuinka suuri virta kulkee muuntajan ensiökäämissä? Anna vastaus milliampeereina.
Vastaus
$43\,\text{mA}$
Näytä ratkaisu
Annettu
latausjännite $U_2 = 5{,}0\,\text{V}$, latausvirta $I_2 = 2{,}0\,\text{A}$, verkkojännite $U_1 = 230\,\text{V}$, ideaalinen muuntaja
Kysytty
ensiövirta $I_1$ milliampeereina
Periaate
Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa, joten ensiökäämiin tuleva teho on sama kuin puhelimelle lähtevä teho, $U_1 I_1 = U_2 I_2$.
Kaava
$U_1 I_1 = U_2 I_2$, josta $I_1 = \dfrac{U_2 I_2}{U_1}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{A} = 1000\,\text{mA}$.
Sijoitus
$I_1$$= \dfrac{5{,}0\,\text{V} \cdot 2{,}0\,\text{A}}{230\,\text{V}}$$= \dfrac{10\,\text{W}}{230\,\text{V}}$$= 0{,}04348\,\text{A}$$= 43{,}48\,\text{mA}$Vastaus
$43\,\text{mA}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $5{,}0\,\text{V}$ ja virrassa $2{,}0\,\text{A}$.
Järkevyys
Jännite laskee $46$-kertaisesti, joten ensiövirran on oltava $46$ kertaa pienempi kuin latausvirta: $2{,}0\,\text{A} : 46 \approx 0{,}043\,\text{A}$. Todellinen laturi ottaa hieman enemmän, koska osa energiasta muuttuu laturissa lämmöksi.
- Tehtävä 8-8
Voimalaitos siirtää tehon $100\,\text{MW}$ jännitteellä $220\,\text{kV}$ johtoa pitkin. Johtimien yhteinen resistanssi on $4{,}8\,\Omega$. Kuinka monta prosenttia siirrettävästä tehosta muuttuu johdossa lämmöksi?
Vastaus
$0{,}99\,\%$
Näytä ratkaisu
Annettu
teho $P = 100\,\text{MW}$, siirtojännite $U = 220\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 4{,}8\,\Omega$
Kysytty
häviötehon osuus $P_\text{h} : P$ prosentteina
Periaate
Johtoa lämmittää virta, ja häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$. Virta saadaan siirrettävästä tehosta ja siirtojännitteestä, $P = U I$. Lopuksi häviötehoa verrataan siirrettävään tehoon.
Kaava
$I = \dfrac{P}{U}$, $P_\text{h} = R I^2$ ja osuus $\dfrac{P_\text{h}}{P}$
Muunnokset
$P$$= 100\,\text{MW}$$= 100 \cdot 10^{6}\,\text{W}$$U$$= 220\,\text{kV}$$= 220 \cdot 10^{3}\,\text{V}$Sijoitus
$I$$= \dfrac{100 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{220 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$$= 454{,}5\,\text{A}$$P_\text{h}$$= 4{,}8\,\Omega \cdot (454{,}5\,\text{A})^2$$= 0{,}9917 \cdot 10^{6}\,\text{W}$$\dfrac{P_\text{h}}{P}$$= \dfrac{0{,}9917 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{100 \cdot 10^{6}\,\text{W}}$$= 0{,}009917$$= 0{,}9917\,\%$Vastaus
$0{,}99\,\%$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $4{,}8\,\Omega$.
Järkevyys
Häviö on noin $1\,\text{MW}$ sadan megawatin siirrossa, pienempi kuin kantaverkon keskimääräinen häviöosuus noin $2\,\%$. Jos sama teho siirrettäisiin $110\,\text{kV}$:lla, osuus olisi nelinkertainen, noin $4\,\%$.
- Tehtävä 8-9
Opiskelijat rakensivat siirtojohdon pienoismallin vastuslangasta. He mittasivat, kuinka suuri teho langassa muuttuu lämmöksi eri virroilla. Kuvaajassa on häviöteho $P_\text{h}$ virran $I$ funktiona. Siinä on myös mittauspisteisiin sovitettu käyrä. Määritä langan resistanssi. Lue tarvittavat arvot kuvaajan käyrältä.
Vastaus
$0{,}80\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajan käyrä häviötehosta $P_\text{h}$ virran $I$ funktiona
Kysytty
langan resistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Langassa lämmöksi muuttuva teho on $P_\text{h} = R I^2$, joten häviöteho kasvaa virran neliön mukaan ja kuvaaja on origosta alkava paraabeli. Kun käyrältä luetaan yksi piste, resistanssi saadaan ratkaistua. Sovitettu käyrä tasoittaa yksittäisten mittausten satunnaisvirheet, joten arvo luetaan käyrältä eikä yksittäisestä pisteestä.
Kuvaajan lukeminen
Käyrä kulkee ruudukon pisteen ($5{,}0\,\text{A}$; $20\,\text{W}$) kautta: virralla $5{,}0\,\text{A}$ sovitetun käyrän häviöteho on $20\,\text{W}$. Mittauspiste $20{,}1\,\text{W}$ on lähellä käyrää.
Kaava
$P_\text{h} = R I^2$, josta $R = \dfrac{P_\text{h}}{I^2}$
Muunnokset
Niitä ei tarvita. Teho on watteina ja virta ampeereina, ja
$\tfrac{\text{W}}{\text{A}^2}$$= \tfrac{\text{V}}{\text{A}}$$= \Omega$Sijoitus
$R$$= \dfrac{20\,\text{W}}{(5{,}0\,\text{A})^2}$$= \dfrac{20\,\text{W}}{25\,\text{A}^2}$$= 0{,}80\,\Omega$Vastaus
$0{,}80\,\Omega$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajalta luettu virta $5{,}0\,\text{A}$.
Järkevyys
Tarkistus toisella käyrän pisteellä: virralla $2{,}5\,\text{A}$ käyrä antaa $0{,}80\,\Omega \cdot (2{,}5\,\text{A})^2 = 5{,}0\,\text{W}$, mikä sopii mittauspisteiden $3{,}1\,\text{W}$ ($2{,}0\,\text{A}$) ja $7{,}4\,\text{W}$ ($3{,}0\,\text{A}$) väliin. Alle ohmin resistanssi on uskottava muutaman metrin vastuslangalle.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 8-10
Voimalaitoksen generaattori tuottaa tehon $150\,\text{MW}$ jännitteellä $20\,\text{kV}$. Ideaalinen muuntaja nostaa jännitteen $400\,\text{kV}$:iin. Sähkö siirretään johtoa pitkin, jonka johtimien yhteinen resistanssi on $8{,}0\,\Omega$.
Kuinka monta prosenttia tehosta muuttuu johdossa lämmöksi?
Vastaus
$0{,}75\,\%$
Näytä ratkaisu
Annettu
generaattorin teho $P = 150\,\text{MW}$ ja jännite $20\,\text{kV}$, ideaalinen muuntaja nostaa jännitteen arvoon $U = 400\,\text{kV}$, johtimien resistanssi $R = 8{,}0\,\Omega$
Kysytty
häviötehon osuus $P_\text{h} : P$ prosentteina
Periaate
Ideaalinen muuntaja ei kuluta energiaa, joten johtoon lähtee koko teho $150\,\text{MW}$, mutta jännitteellä $400\,\text{kV}$. Johdon virta määräytyy siirtojännitteestä, ei generaattorin jännitteestä. Johtoa lämmittää tämä virta teholla $P_\text{h} = R I^2$.
Kaava
$I = \dfrac{P}{U}$, $P_\text{h} = R I^2$ ja osuus $\dfrac{P_\text{h}}{P}$
Muunnokset
$P$$= 150\,\text{MW}$$= 150 \cdot 10^{6}\,\text{W}$$U$$= 400\,\text{kV}$$= 400 \cdot 10^{3}\,\text{V}$Sijoitus
$I$$= \dfrac{150 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{400 \cdot 10^{3}\,\text{V}}$$= 375\,\text{A}$$P_\text{h}$$= 8{,}0\,\Omega \cdot (375\,\text{A})^2$$= 1{,}125 \cdot 10^{6}\,\text{W}$$\dfrac{P_\text{h}}{P}$$= \dfrac{1{,}125 \cdot 10^{6}\,\text{W}}{150 \cdot 10^{6}\,\text{W}}$$= 0{,}0075$$= 0{,}75\,\%$Vastaus
$0{,}75\,\%$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten resistanssissa $8{,}0\,\Omega$.
Järkevyys
Ilman muuntajaa virta olisi $150\,\text{MW} : 20\,\text{kV} = 7500\,\text{A}$, ja häviö $8{,}0\,\Omega \cdot (7500\,\text{A})^2 = 450\,\text{MW}$ olisi suurempi kuin koko teho, joten siirto ei onnistuisi lainkaan. Muuntajan ansiosta häviö on alle prosentin.
- Tehtävä 8-11
Suunnitteilla on $400\,\text{kV}$:n voimajohto, jonka on siirrettävä tehoa $400\,\text{MW}$. Johdon häviöteho saa olla enintään $1{,}0\,\%$ siirrettävästä tehosta. Kuinka suuri johtimien yhteinen resistanssi saa enintään olla?
Vastaus
$4{,}0\,\Omega$
Näytä ratkaisu
Annettu
siirtojännite $U = 400\,\text{kV}$, siirrettävä teho $P = 400\,\text{MW}$, häviö enintään $1{,}0\,\%$ eli $P_\text{h} \le 0{,}010\,P$
Kysytty
johtimien suurin sallittu resistanssi $R$ ohmeina
Periaate
Häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$, ja virta $I = P : U$. Yhdistämällä saadaan $P_\text{h} = R P^2 : U^2$. Kun häviö saa olla enintään tietty osuus tehosta, resistanssi saa olla enintään se arvo, jolla häviö on täsmälleen tämä osuus.
Kaava
$\dfrac{R P^2}{U^2} = 0{,}010\,P$, josta $R = \dfrac{0{,}010\,U^2}{P}$
Muunnokset
$U$$= 400\,\text{kV}$$= 400 \cdot 10^{3}\,\text{V}$$P$$= 400\,\text{MW}$$= 400 \cdot 10^{6}\,\text{W}$Sijoitus
$R$$= \dfrac{0{,}010 \cdot (400 \cdot 10^{3}\,\text{V})^2}{400 \cdot 10^{6}\,\text{W}}$$= \dfrac{1{,}6 \cdot 10^{9}\,\text{V}^2}{4{,}0 \cdot 10^{8}\,\text{W}}$$= 4{,}0\,\Omega$Vastaus
enintään $4{,}0\,\Omega$, kaksi merkitsevää numeroa kuten osuudessa $1{,}0\,\%$.
Järkevyys
Tarkistus: virta on $400\,\text{MW} : 400\,\text{kV} = 1000\,\text{A}$, ja häviö $4{,}0\,\Omega \cdot (1000\,\text{A})^2 = 4{,}0\,\text{MW}$ eli $1{,}0\,\%$ tehosta. Yksiköt:
$\tfrac{\text{V}^2}{\text{W}}$$= \tfrac{\text{V}^2}{\text{V} \cdot \text{A}}$$= \Omega$ - Tehtävä 8-12
Vanha $220\,\text{kV}$:n voimajohto muutetaan $400\,\text{kV}$:n johdoksi. Johtimet ja niiden resistanssi pysyvät samoina.
Kuinka moninkertainen teho samaa johtoa voidaan siirtää, kun häviöteho on edelleen yhtä suuri osuus siirrettävästä tehosta kuin ennen?
Vastaus
$3{,}3$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkuperäinen siirtojännite $U_1 = 220\,\text{kV}$, uusi siirtojännite $U_2 = 400\,\text{kV}$, resistanssi $R$ ja häviön osuus pysyvät samoina
Kysytty
kuinka moninkertainen teho $P_2 : P_1$ voidaan siirtää
Periaate
Häviöteho on $P_\text{h} = R I^2$ ja virta $I = P : U$, joten häviön osuus on $P_\text{h} : P = R P : U^2$. Kun $R$ ja osuus pysyvät samoina, teho $P$ on verrannollinen jännitteen neliöön $U^2$.
Kaava
$\dfrac{R P_1}{U_1^2}$$= \dfrac{R P_2}{U_2^2}$josta
$\dfrac{P_2}{P_1}$$= \dfrac{U_2^2}{U_1^2}$Muunnokset
Niitä ei tarvita. Jännitteiden suhteessa kilovoltit supistuvat.
Sijoitus
$\dfrac{P_2}{P_1}$$= \dfrac{(400\,\text{kV})^2}{(220\,\text{kV})^2}$$= (1{,}818)^2$$= 3{,}306$Vastaus
noin $3{,}3$-kertainen teho, kaksi merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $220\,\text{kV}$.
Järkevyys
Jännite kasvaa vajaaseen kaksinkertaiseen, joten teho voi kasvaa vajaaseen nelinkertaiseen. Esimerkiksi tehot $100\,\text{MW}$ ja $331\,\text{MW}$ antavat virrat $455\,\text{A}$ ja $826\,\text{A}$, ja häviöiden osuus $R I : U$ on kummassakin sama.
