Sähkömagneettinen säteily ja mustan kappaleen spektri
Miksi ahjossa kuumeneva rautatanko hehkuu ensin punaisena ja sitten yhä keltaisempana, ja miksi lämpökamera näkee ihmisen pilkkopimeässäkin?
Pohjatiedot
- Aalto etenee yhden jaksonajan aikana yhden aallonpituuden verran, ja $v = f\lambda$luku Mekaaninen aaltoliike
- Muuttuva magneettivuo indusoi jännitteenluku Sähkömagneettinen induktio
- Kaikki kappaleet lähettävät lämpösäteilyä, ja kuumempi kappale säteilee enemmänluku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos
Ydinpolku: tee vaiheet järjestyksessä. Valinnainen-tehtävät ovat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä on 4.
Luvun tärkeät käsitteet Vapaaehtoinen
Tutustu luvun tärkeisiin käsitteisiin. Voit kirjoittaa niiden merkitykset sinulle vahvimmalla kielellä tai useammalla kielellä.
- Sähkömagneettinen säteily
- Aaltoliike, jossa muuttuvat sähkö- ja magneettikenttä synnyttävät toisensa. Se etenee myös tyhjiössä, ja sitä syntyy, kun varattu hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä.
- Aallonpituus
- Matka, jonka aalto etenee yhden jaksonajan aikana. Tyhjiössä $c = f\lambda$, joten suurempi taajuus tarkoittaa lyhyempää aallonpituutta.
- Spektri
- Spektri kertoo, mitä aallonpituuksia säteilyssä on ja kuinka voimakkaasti. Sähkömagneettisessa spektrissä säteilyn lajit on järjestetty aallonpituuden mukaan radioaalloista gammasäteilyyn.
- Mustan kappaleen säteily
- Säteily, jota lähettää ihannekappale, joka imee kaiken siihen osuvan säteilyn. Sen spektri on jatkuva ja riippuu vain pintalämpötilasta, ei aineesta.
- Wienin siirtymälaki
- Mustan kappaleen spektrin huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan: $\lambda_\text{max} T = b$. Lämpötila sijoitetaan kelvineinä.
Pohdinta
Sepän ahjossa kuumennettava rautatanko ei aluksi hehku lainkaan, vaikka se on jo polttavan kuuma. Sitten se alkaa hehkua tummanpunaisena. Kun tanko kuumenee lisää, se muuttuu oranssiksi, keltaiseksi ja lähes valkoiseksi. Huoneenlämpöinen tanko ei hehku. Silti lämpökamera näkee sen ja sinut pilkkopimeässäkin.
Miksi hehkun väri muuttuu lämpötilan mukana, ja mitä lämpökamera näkee, jota silmä ei näe?
Valinnainen Kertaa: aallon taajuus ja aallonpituus
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kuumempi kappale
Ennuste 2: huoneenlämpöinen kappale
Tutki
Kuvassa on kuumennettava kappale ja sen lähettämän säteilyn spektri. Muuta lämpötilaa. Seuraa, miten käyrä, sen huippu ja hehkun väri muuttuvat.
Simulaatio
Käyttöohje
Säädä kappaleen pintalämpötilaa $T$. Kuvaajassa on säteilyteho aallonpituuden funktiona. Oranssi piste ja katkoviiva näyttävät huipun aallonpituuden $\lambda_\text{max}$. Värikaista on näkyvä valo. Valitse Aallonpituusalue: lyhyet aallonpituudet näyttävät välin $0$–$3000\,\text{nm}$ ja pitkät välin $0$–$30\,\mu\text{m}$. Jos huippu on alueen ulkopuolella, oikeassa reunassa oleva nuoli osoittaa sen suunnan. Pystyakselin asteikko muuttuu käyrän mukana, joten seuraa myös asteikon lukuja. Lukemat-riviltä näet huipun aallonpituuden, näkyvän valon osuuden ja hehkun värin.
Mallin oletukset
Kappale on musta kappale: se imee kaiken siihen osuvan säteilyn. Sen spektri riippuu vain pintalämpötilasta. Ympäristöstä tulevaa ja heijastuvaa säteilyä ei ole mukana. Hehkun väri on laskettu spektristä silmän värinäön mallilla, ja värin nimi on likimääräinen. Pimeässä hehku näkyy noin $800\,\text{K}$:sta alkaen. Lukemat ovat mallin laskemia arvoja, eivät mittauksia.
Laskennan selitys
Käyrä on mustan kappaleen säteilyn spektri, joka on laskettu Planckin säteilylaista. Pystyakselin suure $M_\lambda$ on teho, jonka kappale säteilee pinta-alaa ja aallonpituusväliä kohti. Simulaatio etsii käyrän korkeimman kohdan ja ilmoittaa sen aallonpituuden $\lambda_\text{max}$. Näkyvän valon osuus on aallonpituuksien $380\,\text{nm}$ ja $750\,\text{nm}$ välillä säteilevä teho jaettuna koko säteilyteholla. Celsiusasteet ovat $t = T - 273{,}15\,\text{K}$.
Koe 1: huipun paikka ja lämpötila
Testaa ennuste 1. Aallonpituusalue on lyhyet aallonpituudet. Muuta vain lämpötilaa. Kirjaa ainakin lämpötilat $3000\,\text{K}$, $4500\,\text{K}$ ja $6000\,\text{K}$, halutessasi muitakin. Laske jokaiselle riville tulo $\lambda_\text{max} T$.
Alkutila: pintalämpötila = $3000\,\text{K}$, aallonpituusalue: lyhyet aallonpituudet. Vakiona: aallonpituusalue. Muutetaan: pintalämpötila.
| pintalämpötila | $\lambda _\text{max}$ $(\text{nm})$ |
|---|
Koe 2: kylmät kappaleet
Testaa ennuste 2. Aallonpituusalue on nyt pitkät aallonpituudet. Kirjaa huoneenlämpö $300\,\text{K}$ ja ainakin yksi lämpötila väliltä $600$–$900\,\text{K}$. Katso Lukemat-riviltä myös näkyvän valon osuus ja hehkun väri.
Alkutila: pintalämpötila = $300\,\text{K}$, aallonpituusalue: pitkät aallonpituudet. Vakiona: aallonpituusalue. Muutetaan: pintalämpötila.
| pintalämpötila | $\lambda _\text{max}$ $(\text{nm})$ |
|---|
Johtopäätös: huippu ja lämpötila
Kirjoita taulukoidesi perusteella: Miten spektrin huipun aallonpituus muuttuu, kun lämpötila kaksinkertaistuu? Mitä huomaat tulosta $\lambda_\text{max} T$? Millä aallonpituusalueella huoneenlämpöisen kappaleen huippu on? Miksi kappale ei hehku?
Mallivastaus
Lämpötila kaksinkertaistuu $3000\,\text{K}$:sta $6000\,\text{K}$:iin. Silloin huippu siirtyy $966\,\text{nm}$:stä $483\,\text{nm}$:iin eli puolittuu. Tulo $\lambda_\text{max} T$ on joka rivillä sama, noin $2{,}90 \cdot 10^{6}\,\text{nm} \cdot \text{K} = 2{,}90 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$. Siksi huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan. Huoneenlämpöisen kappaleen ($300\,\text{K}$) huippu on $9659\,\text{nm}$:n eli noin $9{,}7\,\mu\text{m}$:n kohdalla infrapuna-alueella. Näkyvää valoa on alle $0{,}01\,\%$. Siksi kappale ei hehku, vaikka se säteilee. Arvot ovat mallin laskemia.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Muuttuvat kentät synnyttävät toisensa
Luvussa Sähkömagneettinen induktio nähtiin, että muuttuva magneettivuo indusoi johdinsilmukkaan jännitteen. Jännite syntyy, koska muuttuva magneettikenttä synnyttää ympärilleen sähkökentän. Sähkökenttä liikuttaa johtimen elektroneja. Myös käänteinen ilmiö on totta: muuttuva sähkökenttä synnyttää magneettikentän. Kun sähkökenttä jossakin kohdassa muuttuu, se synnyttää ympärilleen muuttuvan magneettikentän. Muuttuva magneettikenttä taas synnyttää muuttuvan sähkökentän, ja niin edelleen. Näin syntyy sähkömagneettinen aalto. Se etenee ilman väliainetta, myös tyhjiön läpi. Valo, radioaallot ja röntgensäteily ovat kaikki tällaisia aaltoja. Niitä kutsutaan yhteisellä nimellä sähkömagneettinen säteily.
Kentät ovat kohtisuorassa toisiaan ja etenemissuuntaa vastaan
Sähkömagneettisessa aallossa sähkökenttä $\overline{E}$ ja magneettikenttä $\overline{B}$ värähtelevät samassa tahdissa. Ne ovat suurimmillaan ja nollassa samoissa kohdissa. Kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kumpikin kenttä on myös kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan. Aalto on siis poikittainen kuten aalto narussa (luku Mekaaninen aaltoliike). Mikään aine ei kuitenkaan värähtele, vaan värähtelevät kentät. Tyhjiössä kaikki sähkömagneettiset aallot etenevät samalla nopeudella eli valon nopeudella $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Ilmassa nopeus on lähes sama.
Aallonpituus ja taajuus
Sähkömagneettinen aalto etenee yhden jaksonajan aikana yhden aallonpituuden verran, aivan kuten mekaaninen aalto. Siksi valon nopeus, aallon taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa:
$$c = f \lambda$$
missä $c$ on valon nopeus tyhjiössä (m/s), $f$ on taajuus (Hz) ja $\lambda$ on aallonpituus (m). Luku $c$ on kaikille sähkömagneettisille aalloille sama. Siksi suurempi taajuus tarkoittaa lyhyempää aallonpituutta. Esimerkiksi FM-radion noin $100\,\text{MHz}$:n aallon aallonpituus on $3{,}0\,\text{m}$. Mikroaaltouunin $2{,}45\,\text{GHz}$:n aallon aallonpituus on noin $12\,\text{cm}$.
Lähteenä kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus
Levossa olevan varauksen ympärillä on sähkökenttä, joka ei muutu. Tasaisella nopeudella suoraan liikkuvan varauksen kentät kulkevat sen mukana, eikä se säteile. Sähkömagneettista säteilyä syntyy, kun varattu hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä. Silloin sen kentän muutos lähtee etenemään ympäristöön valon nopeudella. Lähettimen antennissa vaihtojännite saa elektronit värähtelemään edestakaisin. Antenni lähettää aaltoa, jonka taajuus on sama kuin vaihtovirran taajuus (luku Generaattori ja vaihtovirta). Matkapuhelin ja langattoman verkon tukiasema toimivat samoin. Vastaanottimen antennissa saapuvan aallon sähkökenttä liikuttaa elektroneja, ja antenniin syntyy heikko vaihtovirta.
Sähkömagneettinen spektri
Sähkömagneettisen säteilyn lajit eroavat toisistaan vain aallonpituudeltaan ja taajuudeltaan. Kun säteilyn lajit järjestetään aallonpituuden mukaan, saadaan sähkömagneettinen spektri. Alueiden rajat eivät ole jyrkkiä. Alueet nimetään sen mukaan, miten säteily syntyy ja miten se vaikuttaa aineeseen. Silmä näkee vain kapean kaistan. Punaisen valon aallonpituus on noin $750\,\text{nm}$ ja violetin noin $380\,\text{nm}$.
| Alue | Aallonpituus | Lähteitä ja käyttöä |
|---|---|---|
| radioaallot | yli $1\,\text{m}$ | antenni; radio, televisio |
| mikroaallot | $1\,\text{mm}$–$1\,\text{m}$ | antenni; matkapuhelin, tutka, uuni |
| infrapuna | $750\,\text{nm}$–$1\,\text{mm}$ | kaikki kappaleet; lämpökamera |
| näkyvä valo | $380$–$750\,\text{nm}$ | Aurinko, hehkuva kappale; näkeminen |
| ultravioletti | $10$–$380\,\text{nm}$ | Aurinko; D‑vitamiini, palovamma |
| röntgen | $0{,}01$–$10\,\text{nm}$ | röntgenputki; röntgenkuvaus |
| gamma | alle $0{,}01\,\text{nm}$ | atomiytimet; sädehoito, sterilointi |
Säteilyn vaikutukset
Säteilyn vaikutus riippuu sen aallonpituudesta. Radioaallot, mikroaallot ja infrapunasäteily lisäävät aineen sisäenergiaa. Mikroaaltouunin säteily saa ruoan vesimolekyylit kääntyilemään edestakaisin, ja infrapuna lämmittää ihoa. Röntgensäteily, gammasäteily ja lyhytaaltoisin ultraviolettisäteily ovat ionisoivaa säteilyä. Ne voivat irrottaa elektroneja atomeista ja vaurioittaa soluja. Myös röntgenputki on kiihtyvän varauksen lähde. Siinä nopeat elektronit pysähtyvät metalliin, ja niiden jyrkkä hidastuminen synnyttää röntgensäteilyä. Röntgensäteily läpäisee pehmytkudoksen paremmin kuin luun, joten luut näkyvät kuvassa.
Kaikki kappaleet säteilevät
Aineen hiukkaset ovat jatkuvassa lämpöliikkeessä, ja niiden varaukset ovat kiihtyvässä liikkeessä. Siksi jokainen kappale lähettää sähkömagneettista säteilyä. Sitä kutsutaan lämpösäteilyksi (luku Lämmön siirtyminen, energiatasapaino ja ilmastonmuutos). Säteilyssä on mukana kaikkia aallonpituuksia, eli sen spektri on jatkuva. Huoneenlämpöinen kappale säteilee lähes pelkästään infrapunaa, jota silmä ei näe. Kun kappaletta kuumennetaan, säteily voimistuu ja sen pääosa siirtyy lyhyemmille aallonpituuksille. Noin $800\,\text{K}$:n lämpötilassa säteilyssä on jo niin paljon punaista valoa, että kappale hehkuu pimeässä tummanpunaisena. Kuumempana se hehkuu oranssina, keltaisena ja lopulta valkoisena.
Musta kappale
Musta kappale on ihannekappale, joka imee kaiken siihen osuvan säteilyn eikä heijasta mitään. Sen lähettämän säteilyn spektri riippuu vain sen pintalämpötilasta. Aine, josta kappale on tehty, ei vaikuta siihen. Tätä säteilyä kutsutaan mustan kappaleen säteilyksi. Kuuma musta kappale ei näytä mustalta, sillä se säteilee itse. Aurinko säteilee likimain kuin musta kappale. Samoin säteilevät hehkuva hiillos ja infrapuna-alueella ihmisen iho. Kiiltävä metalli heijastaa suuren osan siihen osuvasta säteilystä. Samassa lämpötilassa se myös säteilee heikommin kuin musta kappale.
Wienin siirtymälaki
Mustan kappaleen spektrin huippu on se aallonpituus, jolla kappale säteilee voimakkaimmin. Mitä kuumempi kappale on, sitä lyhyempi huipun aallonpituus on. Huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen kappaleen absoluuttiseen lämpötilaan:
$$\lambda_\text{max} T = b$$
missä $\lambda_\text{max}$ on spektrin huipun aallonpituus (m), $T$ on kappaleen pintalämpötila (K) ja $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$ on Wienin siirtymälain vakio. Lämpötilan on oltava absoluuttinen lämpötila. Jos lämpötila on annettu celsiusasteina, muuta se ensin kelvineiksi lisäämällä siihen $273{,}15\,\text{K}$. Kun absoluuttinen lämpötila kaksinkertaistuu, huipun aallonpituus puolittuu. Laki koskee mustaa kappaletta. Todellisille kappaleille, kuten Auringolle ja hiillokselle, se pätee likimain.
Huippu kertoo lämpötilan
Huoneenlämpöisen kappaleen ($300\,\text{K}$) spektrin huippu on noin $9{,}7\,\mu\text{m}$:n kohdalla. Ihmisen ihon ($34\,{}^\circ\text{C}$ eli $307\,\text{K}$) huippu on noin $9{,}4\,\mu\text{m}$:n kohdalla. Molemmat ovat syvällä infrapuna-alueella. Lämpökamera mittaa säteilyä aallonpituuksilla noin $8$–$14\,\mu\text{m}$ ja muuttaa sen kuvaksi. Siksi se näkee ihmisen pimeässäkin. Ihminen ei tarvitse valoa näkyäkseen kameralle, koska hän itse säteilee. Tummanpunaisena hehkuvan, noin $800\,\text{K}$:n kappaleen huippu on vielä infrapuna-alueella, noin $3{,}6\,\mu\text{m}$:n kohdalla. Silmä näkee vain spektrin lyhytaaltoisen reunan. Auringon säteilyn huippu on noin $500\,\text{nm}$:n (tarkemmin $502\,\text{nm}$:n) kohdalla, näkyvän valon keskellä.
Säteilyteho kasvaa jyrkästi
Kuumempi musta kappale säteilee jokaisella aallonpituudella enemmän kuin kylmempi. Siksi sen spektrikäyrä on kokonaan kylmemmän käyrän yläpuolella. Kappaleen pinta-alaa kohti säteilemä kokonaisteho on verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neljänteen potenssiin (Stefanin–Boltzmannin laki). Kun lämpötila kaksinkertaistuu, jokainen neliömetri säteilee $16$-kertaisen tehon. Siksi hehkuva rauta lämmittää kasvoja jo metrien päästä. Miksi spektrikäyrä on juuri tämän muotoinen, sen selittää vasta kvanttifysiikka kurssilla Aine, säteily ja kvantittuminen.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että säteily tarkoittaa aina radioaktiivista tai vaarallista säteilyä. Myös radioaallot, valo ja lämpösäteily ovat sähkömagneettista säteilyä. Ionisoivaa on vain lyhytaaltoisin osa spektristä.
Toinen virhe on luulla, että kylmät kappaleet eivät säteile lainkaan. Jokainen kappale säteilee. Huoneenlämpöinen kappale säteilee infrapunaa, jota silmä ei näe.
Kolmas virhe on sijoittaa Wienin siirtymälakiin lämpötila celsiusasteina. Laki vaatii absoluuttisen lämpötilan: $900\,{}^\circ\text{C}$ on $1173\,\text{K}$, ja huippu on $2{,}47\,\mu\text{m}$:n eikä $3{,}22\,\mu\text{m}$:n kohdalla.
Neljäs virhe on päätellä, että Aurinko on vihreä, koska sen huippu on vihreän valon kohdalla. Spektri on leveä, ja kaikkien värien yhdistelmä näyttää silmään valkoiselta.
Tiivistelmä
- Sähkömagneettisessa aallossa muuttuvat sähkö- ja magneettikenttä synnyttävät toisensa. Kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja etenemissuuntaa vastaan. Aalto etenee tyhjiössä nopeudella $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$.
- Valon nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa: $c = f\lambda$. Spektrin alueet radioaalloista gammasäteilyyn eroavat vain aallonpituudeltaan ja taajuudeltaan.
- Säteilyä syntyy, kun varattu hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä, kuten antennin elektronit tai kuuman kappaleen lämpöliikkeessä olevat hiukkaset.
- Mustan kappaleen säteilyn spektri on jatkuva ja riippuu vain pintalämpötilasta. Wienin siirtymälain $\lambda_\text{max} T = b$ mukaan kuumemman kappaleen huippu on lyhyemmällä aallonpituudella. Lämpötila sijoitetaan kelvineinä.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi teoriaan ja mallin arvoihin. Palaa sitten alun kysymykseen: Miksi kuumeneva rauta hehkuu ensin punaisena ja sitten keltaisena? Mitä lämpökamera näkee?
Haluaisitko muuttaa ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Oletetaan, että Aurinko säteilee kuin musta kappale. Sen spektrin huippu on aallonpituudella $502\,\text{nm}$. Kuinka suuri on Auringon pintalämpötila?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. Tunnetaan spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max} = 502\,\text{nm}$ ja Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$. Kysytään Auringon pintalämpötilaa $T$ kelvineinä.
Vaihe 2/7
Periaate. Mustan kappaleen spektrin huipun aallonpituus riippuu vain pintalämpötilasta. Siksi huipun paikasta voi laskea lämpötilan Wienin siirtymälailla. Laki sopii, koska Auringon oletetaan säteilevän kuin musta kappale.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} \lambda_\text{max} T &= b \\ T &= \frac{b}{\lambda_\text{max}} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Vakiossa $b$ on metrejä. Siksi aallonpituus muutetaan metreiksi:
Vaihe 5/7
Sijoitus. $$\begin{aligned} T &= \frac{b}{\lambda_\text{max}} \\ &= \frac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{502 \cdot 10^{-9}\,\text{m}} \\ &= 5773\,\text{K} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Auringon pintalämpötila on $T \approx 5{,}77 \cdot 10^{3}\,\text{K}$. Tulos ilmoitetaan kolmella merkitsevällä numerolla, koska aallonpituus $502\,\text{nm}$ on annettu kolmella.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Kansainvälinen tähtitieteellinen unioni IAU on vahvistanut Auringon pintalämpötilan nimellisarvoksi $5772\,\text{K}$ (IAU 2015). Tulos sopii siihen hyvin. Lämpötila on myös paljon korkeampi kuin tummanpunaisena hehkuvan raudan noin $800\,\text{K}$. Niin pitää olla, sillä Auringon huippu on näkyvän valon alueella eikä infrapunassa.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen: hehkulamppu
Vanhanaikaisen hehkulampun volframilanka on noin $2430\,{}^\circ\text{C}$:n lämpötilassa. Oletetaan, että lanka säteilee kuin musta kappale. Millä aallonpituudella sen spektrin huippu on? Vastaa nanometreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä laki kertoo spektrin huipun paikan, kun lämpötila tunnetaan? Missä yksikössä lämpötilan on oltava?
Vihje 2: mikä yhteys
Käytä Wienin siirtymälakia $\lambda_\text{max} = b : T$. Siinä $T$ on kelvineinä.
Vihje 3: välivaihe
joten
Näytä ratkaisu
Annettu
hehkulangan lämpötila $t = 2430\,{}^\circ\text{C}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$. Hehkulanka oletetaan mustaksi kappaleeksi.
Kysytty
spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max}$ nanometreinä
Periaate
Kuuma volframilanka säteilee likimain kuin musta kappale. Sen spektrin huipun paikka riippuu vain lämpötilasta. Wienin siirtymälaki $\lambda_\text{max} T = b$ antaa huipun, kun lämpötila on absoluuttinen eli kelvineinä.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $\lambda_\text{max} = \dfrac{b}{T}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{m} = 10^{9}\,\text{nm}$.
Sijoitus
Vastaus
$1{,}07 \cdot 10^{3}\,\text{nm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lämpötilassa $2430\,{}^\circ\text{C}$.
Järkevyys
Huippu on punaisen valon rajaa $750\,\text{nm}$ pidemmällä aallonpituudella eli infrapuna-alueella. Suurin osa lampun säteilystä on siis infrapunaa. Siksi hehkulamppu lämpenee ja tuottaa valoa huonolla hyötysuhteella. Tulos on Auringon huipun $502\,\text{nm}$ ja huoneenlämpöisen kappaleen huipun $9{,}7\,\mu\text{m}$ välissä, kuten lämpötilankin perusteella pitää.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse. Avaa vastaus vasta sitten.
- Järjestä aallonpituuden mukaan pisimmästä lyhimpään: näkyvä valo, radioaallot, röntgensäteily ja infrapunasäteily.
Vastaus
Radioaallot, infrapunasäteily, näkyvä valo, röntgensäteily. Taajuus kasvaa samassa järjestyksessä, koska $c = f\lambda$ on kaikille sama.
- Mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila kolminkertaistuu. Miten sen spektrin huipun aallonpituus muuttuu?
Vastaus
Se pienenee kolmasosaan, koska $\lambda_\text{max} T = b$ on vakio. Huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan.
1. Käsite: säteilyn lähde
2. Laske: laavan lämpötila
Tulivuoresta virtaavan hehkuvan laavan säteilyn spektrin huippu on aallonpituudella $2{,}1\,\mu\text{m}$. Oletetaan, että laava säteilee kuin musta kappale. Kuinka kuumaa laava on? Vastaa celsiusasteina.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Mikä laki yhdistää spektrin huipun ja lämpötilan? Missä yksikössä se antaa lämpötilan?
Vihje 2: mikä yhteys
Wienin siirtymälaista saat $T = b : \lambda_\text{max}$ kelvineinä. Celsiusasteet saat vähentämällä siitä $273{,}15\,\text{K}$.
Vihje 3: välivaihe
Näytä ratkaisu
Annettu
laavan spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max} = 2{,}1\,\mu\text{m}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$. Laava oletetaan mustaksi kappaleeksi.
Kysytty
laavan pintalämpötila $t$ celsiusasteina
Periaate
Hehkuva laava säteilee likimain kuin musta kappale. Sen spektrin huipun paikka riippuu vain pintalämpötilasta. Wienin siirtymälaki antaa absoluuttisen lämpötilan, ja se muutetaan lopuksi celsiusasteiksi.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$, ja $t = T - 273{,}15\,\text{K}$ celsiusasteina
Muunnokset
Lopuksi kelvineistä vähennetään $273{,}15\,\text{K}$, jolloin saadaan celsiusasteet.
Sijoitus
joten
Vastaus
$1{,}1 \cdot 10^{3}\,{}^\circ\text{C}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $2{,}1\,\mu\text{m}$.
Järkevyys
Huippu on infrapuna-alueella, mutta silmä näkee spektrin lyhytaaltoisen reunan, ja laava hehkuu oranssina. Lämpötila on samaa suuruusluokkaa kuin sulan kiven, noin tuhat celsiusastetta. Se on myös paljon pienempi kuin Auringon pinnan $5772\,\text{K}$, kuten pitää.
Ehdotus: yksi vastaus ei kerro kaikkea osaamisestasi. Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
Valinnainen 3. Selitä: Aurinko ja ihminen
Selitä, miksi Auringon säteilyn spektrin huippu on näkyvän valon alueella mutta ihmisen kehon säteilyn huippu infrapuna-alueella. Selitä myös, miksi lämpökamera näkee ihmisen pimeässä, vaikka silmä ei näe.
Mallivastaus
Sekä Aurinko että ihmisen iho säteilevät likimain kuin musta kappale. Sen spektri riippuu vain pintalämpötilasta. Wienin siirtymälain $\lambda_\text{max} T = b$ mukaan huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan. Auringon pinta on noin $5800\,\text{K}$, joten huippu on noin $500\,\text{nm}$:n kohdalla näkyvän valon alueella. Iho on noin $307\,\text{K}$ eli noin $19$ kertaa kylmempi. Siksi huippu on noin $19$ kertaa pidemmällä aallonpituudella, noin $9{,}4\,\mu\text{m}$:n kohdalla infrapuna-alueella. Ihminen säteilee siis itse, myös pimeässä. Lähes kaikki säteily on kuitenkin infrapunaa, jota silmä ei havaitse. Lämpökamera mittaa infrapunasäteilyä aallonpituuksilla noin $8$–$14\,\mu\text{m}$, joten se näkee ihmisen ilman valoa.
Arvioi oma vastauksesi
Merkitse kohdat, jotka sinun vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti menee kertauspakkaasi.
- Sähkömagneettinen aalto
- Etenevä sähkö- ja magneettikentän värähtely, joka ei tarvitse väliainetta.
- Valon nopeus
- Sähkömagneettisen säteilyn nopeus tyhjiössä.$$c \approx 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$$
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 9-1Ydintehtävä
FM-radiokanava lähettää taajuudella $94{,}0\,\text{MHz}$. Kuinka suuri on radioaallon aallonpituus? Radioaallon nopeus ilmassa on $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$.
Vastaus
$3{,}19\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
radioaallon taajuus $f = 94{,}0\,\text{MHz}$, aallon nopeus $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
aallonpituus $\lambda$ metreinä
Periaate
Radioaalto on sähkömagneettinen aalto. Se etenee yhden jaksonajan aikana yhden aallonpituuden verran. Siksi nopeus, taajuus ja aallonpituus liittyvät toisiinsa yhtälöllä $c = f\lambda$.
Kaava
$c = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{c}{f}$
Muunnokset
$f$$= 94{,}0\,\text{MHz}$$= 94{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{Hz}$Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{94{,}0 \cdot 10^{6}\,\text{Hz}}$$= 3{,}191\,\text{m}$Vastaus
$3{,}19\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $94{,}0\,\text{MHz}$.
Järkevyys
Yksiköt:
$\tfrac{\text{m/s}}{\text{Hz}}$$= \tfrac{\text{m/s}}{1/\text{s}}$$= \text{m}$FM-radion noin $100\,\text{MHz}$:n aallonpituus on noin $3\,\text{m}$, ja hieman pienempi taajuus antaa hieman pidemmän aallon. Arvo on yli metri, kuten radioaalloilla pitää.
- Tehtävä 9-2Ydintehtävä
Mikroaaltouuni lämmittää ruokaa mikroaalloilla. Mikroaaltojen taajuus on $2{,}45\,\text{GHz}$. Kuinka suuri on mikroaaltojen aallonpituus? Anna vastaus senttimetreinä.
Vastaus
$12{,}2\,\text{cm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
mikroaaltojen taajuus $f = 2{,}45\,\text{GHz}$, valon nopeus $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
aallonpituus $\lambda$ senttimetreinä
Periaate
Mikroaallot ovat sähkömagneettista säteilyä, ja ne etenevät valon nopeudella. Aalto etenee yhden jaksonajan aikana yhden aallonpituuden verran, joten $c = f\lambda$.
Kaava
$c = f\lambda$, josta $\lambda = \dfrac{c}{f}$
Muunnokset
$f$$= 2{,}45\,\text{GHz}$$= 2{,}45 \cdot 10^{9}\,\text{Hz}$Lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.
Sijoitus
$\lambda$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{2{,}45 \cdot 10^{9}\,\text{Hz}}$$= 0{,}1224\,\text{m}$$= 0{,}1224 \cdot 100\,\text{cm}$$= 12{,}24\,\text{cm}$Vastaus
$12{,}2\,\text{cm}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $2{,}45\,\text{GHz}$.
Järkevyys
Aallonpituus on millimetrin ja metrin välillä, eli mikroaaltojen alueella.
- Tehtävä 9-3
Ihmisen ihon pintalämpötila on $307\,\text{K}$. Iho oletetaan mustaksi kappaleeksi. Millä aallonpituudella ihon lähettämän lämpösäteilyn spektrin huippu on? Anna vastaus mikrometreinä.
Vastaus
$9{,}44\,\mu\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
ihon pintalämpötila $T = 307\,\text{K}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; iho oletetaan mustaksi kappaleeksi
Kysytty
spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max}$ mikrometreinä
Periaate
Mustan kappaleen spektrin huipun paikka riippuu vain pintalämpötilasta. Wienin siirtymälaki sopii, koska iho säteilee infrapuna-alueella likimain kuin musta kappale. Lisäksi lämpötila on annettu kelvineinä.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $\lambda_\text{max} = \dfrac{b}{T}$
Muunnokset
Lämpötila on jo kelvineinä. Lopuksi $1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\lambda_\text{max}$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{307\,\text{K}}$$= 9{,}440 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$= 9{,}440\,\mu\text{m}$Vastaus
$9{,}44\,\mu\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lämpötilassa $307\,\text{K}$.
Järkevyys
Huippu on infrapuna-alueella, paljon pidemmällä kuin näkyvän valon $750\,\text{nm} = 0{,}75\,\mu\text{m}$, joten iho ei hehku. Tulos on hieman lyhyempi kuin huoneenlämpöisen kappaleen $9{,}7\,\mu\text{m}$, koska iho on hieman lämpimämpi.
- Tehtävä 9-4
Sinivalkoisen tähden säteilyn spektrin huippu on aallonpituudella $290\,\text{nm}$. Tähti oletetaan mustaksi kappaleeksi. Kuinka suuri on tähden pintalämpötila?
Vastaus
$1{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max} = 290\,\text{nm}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; tähti oletetaan mustaksi kappaleeksi
Kysytty
tähden pintalämpötila $T$ kelvineinä
Periaate
Tähti säteilee likimain kuin musta kappale. Mustan kappaleen spektrin huipun paikka riippuu vain pintalämpötilasta. Siksi Wienin siirtymälaista voi ratkaista lämpötilan, kun huippu tunnetaan.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$
Muunnokset
$\lambda_\text{max}$$= 290\,\text{nm}$$= 290 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$Sijoitus
$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{290 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 9993\,\text{K}$Vastaus
$1{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{K}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $290\,\text{nm}$.
Järkevyys
Huippu on ultraviolettialueella, lyhyemmällä aallonpituudella kuin Auringon $502\,\text{nm}$, joten tähden on oltava Aurinkoa kuumempi: $5772\,\text{K} \cdot 502 : 290 \approx 10\,000\,\text{K}$. Tällainen tähti näyttää sinivalkoiselta.
- Tehtävä 9-5
Vihreän laserosoittimen valon aallonpituus on $532\,\text{nm}$. Kuinka suuri on valon taajuus? Anna vastaus terahertseinä ($1\,\text{THz} = 10^{12}\,\text{Hz}$).
Vastaus
$564\,\text{THz}$
Näytä ratkaisu
Annettu
valon aallonpituus $\lambda = 532\,\text{nm}$, valon nopeus $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
valon taajuus $f$ terahertseinä
Periaate
Valo on sähkömagneettinen aalto. Se etenee yhden jaksonajan aikana yhden aallonpituuden verran, joten $c = f\lambda$. Ilmassa valon nopeus on lähes sama kuin tyhjiössä.
Kaava
$c = f\lambda$, josta $f = \dfrac{c}{\lambda}$
Muunnokset
$\lambda$$= 532\,\text{nm}$$= 532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}$Lopuksi $1\,\text{THz} = 10^{12}\,\text{Hz}$.
Sijoitus
$f$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{532 \cdot 10^{-9}\,\text{m}}$$= 5{,}639 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$$= 563{,}9\,\text{THz}$Vastaus
$564\,\text{THz}$
Eli $5{,}64 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$, kolme merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $532\,\text{nm}$.
Järkevyys
Näkyvän valon taajuudet ovat noin $4{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$:n (punainen, $750\,\text{nm}$) ja $7{,}9 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$:n (violetti, $380\,\text{nm}$) välillä, ja vihreä valo on niiden välissä. Yksiköt:
$\tfrac{\text{m/s}}{\text{m}}$$= \tfrac{1}{\text{s}}$$= \text{Hz}$
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.
- Tehtävä 9-6Ydintehtävä
Puulämmitteisen pizzauunin holvin sisäpinnan lämpötila on $450\,{}^\circ\text{C}$. Holvi oletetaan mustaksi kappaleeksi. Millä aallonpituudella holvin lähettämän säteilyn spektrin huippu on? Anna vastaus mikrometreinä.
Vastaus
$4{,}01\,\mu\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
holvin lämpötila $t = 450\,{}^\circ\text{C}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; holvi oletetaan mustaksi kappaleeksi
Kysytty
spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max}$ mikrometreinä
Periaate
Kuuma holvi säteilee likimain kuin musta kappale. Mustan kappaleen spektrin huipun paikka riippuu vain lämpötilasta. Wienin siirtymälaissa lämpötilan on oltava absoluuttinen. Siksi celsiusasteet muutetaan ensin kelvineiksi.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $\lambda_\text{max} = \dfrac{b}{T}$
Muunnokset
$T$$= (450 + 273{,}15)\,\text{K}$$= 723{,}15\,\text{K}$Lopuksi $1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\lambda_\text{max}$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{723{,}15\,\text{K}}$$= 4{,}007 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$$= 4{,}007\,\mu\text{m}$Vastaus
$4{,}01\,\mu\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten lämpötilassa $450\,{}^\circ\text{C}$ eli $723\,\text{K}$.
Järkevyys
Huippu on infrapuna-alueella, joten holvi ei juuri hehku: pimeässä näkyvä punainen hehku alkaa vasta noin $800\,\text{K}$:ssa. Tulos on huoneenlämpöisen kappaleen $9{,}7\,\mu\text{m}$ ja tummanpunaisen hehkun $3{,}6\,\mu\text{m}$ välissä, kuten lämpötilakin.
- Tehtävä 9-7Ydintehtävä
Kuvaajassa on hehkuvan kappaleen lähettämän säteilyn spektri. Kappale säteilee kuin musta kappale. Määritä kappaleen pintalämpötila. Lue tarvittava arvo kuvaajasta.
Vastaus
$2{,}4 \cdot 10^{3}\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kuvaajan spektrikäyrä; Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; kappale säteilee kuin musta kappale
Kysytty
kappaleen pintalämpötila $T$ kelvineinä
Periaate
Mustan kappaleen spektrin huipun paikka riippuu vain pintalämpötilasta. Siksi lämpötila saadaan Wienin siirtymälaista, kun huipun aallonpituus luetaan kuvaajasta.
Kuvaajan lukeminen
Käyrän korkein kohta on pystysuoralla ruudukon viivalla. Viiva on yhden ruudun ($0{,}2\,\mu\text{m}$) luvun $1$ oikealla puolella. Ruudukon viivojen väli on $0{,}2\,\mu\text{m}$. Siis $\lambda_\text{max} = 1{,}2\,\mu\text{m}$. Huipun korkeutta ei tarvita, koska lämpötila riippuu vain huipun paikasta.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$
Muunnokset
$\lambda_\text{max}$$= 1{,}2\,\mu\text{m}$$= 1{,}2 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$Sijoitus
$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{1{,}2 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$$= 2415\,\text{K}$Vastaus
$2{,}4 \cdot 10^{3}\,\text{K}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetussa aallonpituudessa $1{,}2\,\mu\text{m}$.
Järkevyys
Huippu on infrapuna-alueella mutta lähellä näkyvää valoa, ja käyrä nousee jo näkyvän valon kohdalla. Kappale hehkuu siis kirkkaasti, ja lämpötila on hehkulampun langan, noin $2700\,\text{K}$, suuruusluokkaa.
- Tehtävä 9-8
Rautalevy lämmitetään $27\,{}^\circ\text{C}$:sta $327\,{}^\circ\text{C}$:een. Levy oletetaan mustaksi kappaleeksi. Kuinka monta mikrometriä levyn lämpösäteilyn spektrin huippu siirtyy?
Vastaus
$4{,}83\,\mu\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
alkulämpötila $t_1 = 27\,{}^\circ\text{C}$, loppulämpötila $t_2 = 327\,{}^\circ\text{C}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; levy oletetaan mustaksi kappaleeksi
Kysytty
spektrin huipun siirtymä $\Delta\lambda = \lambda_1 - \lambda_2$ mikrometreinä
Periaate
Wienin siirtymälain mukaan huipun aallonpituus on kääntäen verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan. Kuumennettaessa huippu siirtyy siis lyhyemmille aallonpituuksille. Lasketaan huippu kummassakin lämpötilassa ja sitten niiden erotus. Erotusta ei voi laskea lämpötilojen erotuksesta, koska $\lambda_\text{max}$ ei riipu lämpötilasta suoraviivaisesti.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta
$\lambda_\text{max}$$= \dfrac{b}{T}$$\Delta\lambda$$= \dfrac{b}{T_1} - \dfrac{b}{T_2}$Muunnokset
$T_1$$= (27 + 273{,}15)\,\text{K}$$= 300{,}15\,\text{K}$$T_2$$= (327 + 273{,}15)\,\text{K}$$= 600{,}15\,\text{K}$Lopuksi $1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$.
Sijoitus
$\Delta\lambda$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{300{,}15\,\text{K}} - \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{600{,}15\,\text{K}}$$= 9{,}655\,\mu\text{m} - 4{,}829\,\mu\text{m}$$= 4{,}826\,\mu\text{m}$Vastaus
$4{,}83\,\mu\text{m}$
Lyhyempiin aallonpituuksiin päin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, koska lämpötilat on annettu asteen tarkkuudella.
Järkevyys
Absoluuttinen lämpötila lähes kaksinkertaistuu, joten huipun aallonpituus lähes puolittuu. Se muuttuu noin $9{,}7\,\mu\text{m}$:stä noin $4{,}8\,\mu\text{m}$:iin. Siirtymä on siis noin puolet alkuperäisestä aallonpituudesta. Molemmat huiput ovat infrapuna-alueella, joten levy ei hehku.
- Tehtävä 9-9
Tähden säteilyn spektrin huipun kohdalla valon taajuus on $6{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$. Tähti oletetaan mustaksi kappaleeksi. Kuinka suuri on tähden pintalämpötila?
Vastaus
$5{,}8 \cdot 10^{3}\,\text{K}$
Näytä ratkaisu
Annettu
spektrin huipun taajuus $f = 6{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$, valon nopeus $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; tähti oletetaan mustaksi kappaleeksi
Kysytty
tähden pintalämpötila $T$ kelvineinä
Periaate
Wienin siirtymälaissa on huipun aallonpituus. Siksi taajuus muutetaan ensin aallonpituudeksi yhtälöllä $c = f\lambda$. Se pätee kaikelle sähkömagneettiselle säteilylle. Sitten lämpötila ratkaistaan Wienin siirtymälaista.
Kaava
$c = f\lambda_\text{max}$, josta $\lambda_\text{max} = \dfrac{c}{f}$, ja $\lambda_\text{max} T = b$, josta
$T$$= \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$$= \dfrac{b f}{c}$Muunnokset
Ei tarvita: kaikki suureet ovat SI-yksiköissä.
Sijoitus
$\lambda_\text{max}$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}}{6{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}}$$= 5{,}0 \cdot 10^{-7}\,\text{m}$$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{5{,}0 \cdot 10^{-7}\,\text{m}}$$= 5796\,\text{K}$Vastaus
$5{,}8 \cdot 10^{3}\,\text{K}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten taajuudessa $6{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$.
Järkevyys
Huippu on $500\,\text{nm}$:n kohdalla näkyvän valon keskellä, kuten Auringolla. Lämpötila on lähes sama kuin Auringon pinnan $5772\,\text{K}$. Tähti on siis Auringon kaltainen.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.
- Tehtävä 9-10
Avaruudesta tulee joka suunnasta tasaisesti säteilyä. Sen spektri vastaa tarkasti mustan kappaleen säteilyä lämpötilassa $2{,}7255\,\text{K}$ (Fixsen 2009). Säteily on peräisin maailmankaikkeuden varhaisvaiheesta, ja sitä kutsutaan kosmiseksi taustasäteilyksi.
Millä aallonpituudella sen spektrin huippu on? Anna vastaus millimetreinä ja päättele, mihin spektrin alueeseen säteily kuuluu.
Vastaus
$1{,}063\,\text{mm}$
Näytä ratkaisu
Annettu
taustasäteilyn lämpötila $T = 2{,}7255\,\text{K}$ (Fixsen 2009), Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; spektri on mustan kappaleen spektri
Kysytty
spektrin huipun aallonpituus $\lambda_\text{max}$ millimetreinä ja spektrin alue
Periaate
Taustasäteilyn spektri vastaa mustan kappaleen säteilyä. Siksi sen huipun paikka riippuu vain lämpötilasta, ja se saadaan Wienin siirtymälaista. Alue päätellään vertaamalla tulosta spektrin alueiden rajoihin.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $\lambda_\text{max} = \dfrac{b}{T}$
Muunnokset
Lämpötila on jo kelvineinä. Lopuksi $1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}$.
Sijoitus
$\lambda_\text{max}$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{2{,}7255\,\text{K}}$$= 1{,}0633 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$$= 1{,}0633\,\text{mm}$Vastaus
$1{,}063\,\text{mm}$
Neljä merkitsevää numeroa kuten vakiossa $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$. Aallonpituus on hieman yli $1\,\text{mm}$, joten säteily kuuluu mikroaaltoihin.
Järkevyys
Lämpötila on noin sata kertaa pienempi kuin huoneenlämpö $300\,\text{K}$. Siksi huipun on oltava noin sata kertaa pidemmällä aallonpituudella kuin huoneenlämpöisen kappaleen huipun $9{,}7\,\mu\text{m}$. Tämä antaa $100 \cdot 9{,}7\,\mu\text{m} \approx 1\,\text{mm}$.
- Tehtävä 9-11
Lämpökamera havaitsee infrapunasäteilyä aallonpituuksilla $8{,}0\,\mu\text{m}$–$14\,\mu\text{m}$. Väli on valittu niin, että tavallisten kappaleiden säteilyn spektrin huippu osuu sille.
Mikä on korkein lämpötila, jossa mustan kappaleen spektrin huippu on vielä kameran aallonpituusvälillä? Anna vastaus celsiusasteina.
Vastaus
$89\,{}^\circ\text{C}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kameran aallonpituusväli $8{,}0\,\mu\text{m}$–$14\,\mu\text{m}$, Wienin siirtymälain vakio $b = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}$; kappale on musta kappale
Kysytty
korkein lämpötila $t$ celsiusasteina, jossa spektrin huippu on vielä välillä
Periaate
Wienin siirtymälain mukaan kuumemman kappaleen huippu on lyhyemmällä aallonpituudella. Korkeimman lämpötilan kappaleen huippu on siis välin lyhyimmässä päässä, $\lambda_\text{max} = 8{,}0\,\mu\text{m}$. Vielä kuumemman kappaleen huippu on välin ulkopuolella.
Kaava
$\lambda_\text{max} T = b$, josta $T = \dfrac{b}{\lambda_\text{max}}$, ja $t = T - 273{,}15\,\text{K}$ celsiusasteina
Muunnokset
$\lambda_\text{max}$$= 8{,}0\,\mu\text{m}$$= 8{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}$Lopuksi kelvineistä vähennetään $273{,}15\,\text{K}$.
Sijoitus
$T$$= \dfrac{2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K}}{8{,}0 \cdot 10^{-6}\,\text{m}}$$= 362{,}25\,\text{K}$joten
$t$$= (362{,}25 - 273{,}15)\,{}^\circ\text{C}$$= 89{,}1\,{}^\circ\text{C}$Vastaus
$89\,{}^\circ\text{C}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten aallonpituudessa $8{,}0\,\mu\text{m}$.
Järkevyys
Välin toinen pää $14\,\mu\text{m}$ antaa alimmaksi lämpötilaksi
$2{,}898 \cdot 10^{-3}\,\text{m} \cdot \text{K} : (14 \cdot 10^{-6}\,\text{m})$$= 207\,\text{K}$eli noin $-66\,{}^\circ\text{C}$. Lämpötilaväli $-66\,{}^\circ\text{C}$…$89\,{}^\circ\text{C}$ kattaa ihmiset, rakennukset ja luonnon, joita lämpökameralla kuvataan.
- Tehtävä 9-12
Apollo-lentojen astronautit jättivät Kuun pinnalle heijastimia. Maasta lähetetty laserpulssi heijastuu niistä takaisin. Pulssin lähtö- ja paluuhetken välinen aika on $2{,}56\,\text{s}$.
Kuinka kaukana heijastin on Maasta? Valon nopeus on $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$. Anna vastaus kilometreinä.
Vastaus
$3{,}84 \cdot 10^{5}\,\text{km}$
Näytä ratkaisu
Annettu
laserpulssin lähdön ja paluun välinen aika $t = 2{,}56\,\text{s}$, valon nopeus $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s}$
Kysytty
heijastimen etäisyys Maasta $s$ kilometreinä
Periaate
Laservalo on sähkömagneettista säteilyä. Se etenee avaruudessa ja ilmakehän läpi tasaisesti valon nopeudella. Mitatussa ajassa valo kulkee matkan kahdesti, Kuuhun ja takaisin. Siksi kuljettu matka on $2s = c t$.
Kaava
$2s = c t$, josta $s = \dfrac{c t}{2}$
Muunnokset
Lopuksi $1\,\text{km} = 1000\,\text{m}$.
Sijoitus
$s$$= \dfrac{3{,}00 \cdot 10^{8}\,\text{m/s} \cdot 2{,}56\,\text{s}}{2}$$= 3{,}84 \cdot 10^{8}\,\text{m}$$= 3{,}84 \cdot 10^{5}\,\text{km}$Vastaus
$3{,}84 \cdot 10^{5}\,\text{km}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten ajassa $2{,}56\,\text{s}$.
Järkevyys
Kuun keskietäisyys Maasta on noin $384\,000\,\text{km}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Jos unohtaa jakaa ajan kahdella, saa kaksinkertaisen eli liian suuren etäisyyden.
.jpg){kind=link}
.jpg){kind=link}