Sähkökenttä ja kondensaattori

Annettu

pallon massa $m = 0{,}50\,\text{g}$, langan pituus $L = 40{,}0\,\text{cm}$, pallojen keskipisteiden etäisyys $r = 8{,}0\,\text{cm}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

pallojen välinen sähköinen voima $F_\text{s}$

Voimakuvio

Kappaleena on oikeanpuoleinen pallo, joka on piirretty suorakulmioksi. Kulma on piirretty suuremmaksi kuin tehtävässä, jotta nuolet erottuvat.

Periaate

Valitaan kappaleeksi toinen pallo. Siihen vaikuttavat paino $\overline{G}$ alas, langan jännitysvoima $\overline{T}$ lankaa pitkin kohti koukkua ja toisen pallon sähköinen voima $\overline{F}_\text{s}$. Pallot ovat samalla korkeudella, joten sähköinen voima on vaakasuora ja osoittaa poispäin toisesta pallosta: samanmerkkiset varaukset hylkivät. Pallo on levossa, joten voimien summa on nolla. Langan voiman vaakakomponentti kumoaa sähköisen voiman ja pystykomponentti painon. Langan kulma $\alpha$ pystysuorasta saadaan geometriasta, koska pallo on puolen etäisyyden päässä koukun pystysuorasta (luku Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus).

Kaava

$T\sin\alpha = F_\text{s}$ ja $T\cos\alpha = mg$, joten $F_\text{s} = mg\tan\alpha$, missä $\sin\alpha = \dfrac{r/2}{L}$

Muunnokset

Pituuksien suhteeseen ei tarvita muunnosta. Lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

Sijoitus

joten $\alpha = 5{,}74^\circ$ ja $\tan\alpha = 0{,}1005$. Paino on

joten

Vastaus

$F_\text{s} \approx 0{,}49\,\text{mN}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}50\,\text{g}$ ja etäisyydessä $8{,}0\,\text{cm}$.

Järkevyys

Langat ovat lähes pystyssä, joten vaakasuoran voiman on oltava pieni painoon verrattuna: se on noin $10\,\%$ painosta $4{,}9\,\text{mN}$. Langan voima

on vain vähän painoa suurempi, kuten pienellä kulmalla kuuluu.

Annettu

a-kohdasta $F_\text{s} = 0{,}493\,\text{mN}$; $r = 8{,}0\,\text{cm}$; $k = 8{,}988 \cdot 10^{9}\,\tfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$, $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$

Kysytty

kummankin pallon varaus $q$ ja siirtyneiden elektronien määrä $n$

Periaate

Pallot ovat pieniä verrattuna etäisyyteen, joten niitä voi käsitellä pistevarauksina, ja Coulombin laki antaa voiman. Varaukset ovat yhtä suuret, joten varausten tulo on $q^2$. Varaus koostuu alkeisvarauksista, joten positiivisilta palloilta puuttuu $n = \tfrac{q}{e}$ elektronia (luku Sähkövaraus ja Coulombin laki).

Kaava

$F_\text{s} = k\dfrac{q^2}{r^2}$, joten $q = r\sqrt{\dfrac{F_\text{s}}{k}}$ ja $n = \dfrac{q}{e}$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{nC} = 10^{-9}\,\text{C}$.

Sijoitus

Vastaus

$q \approx 19\,\text{nC}$

Ja kummastakin pallosta on siirtynyt pois noin $1{,}2 \cdot 10^{11}$ elektronia. Kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

Järkevyys

Tarkistus:

Kymmeniä nanocoulombeja on hankaamalla saatavan varauksen suuruusluokka, ja $10^{11}$ elektronia on mitättömän pieni osa pallon kaikista elektroneista.

Annettu

pallojen varaukset ennen kosketusta $q$ ja $q$; kolmas samanlainen pallo varaukseton; $r = 8{,}0\,\text{cm}$; a-kohdasta $F_\text{s} = 0{,}493\,\text{mN}$

Kysytty

sähköinen voima $F'$ samalla etäisyydellä ja voimien vertailu

Periaate

Varaus säilyy. Kun kaksi samanlaista johtavaa palloa koskettavat, ne jakavat yhteisen varauksensa tasan, joten kosketetun pallon varaus on $\tfrac{q + 0}{2} = \tfrac{q}{2}$. Coulombin lain mukaan voima on verrannollinen varausten tuloon. Pallojen voimat ovat voima ja vastavoima, joten ne ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset (luvut Sähkövaraus ja Coulombin laki ja Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki).

Kaava

Muunnokset

Ei tarvita: voima saadaan a-kohdan voiman osana.

Sijoitus

Vastaus

$F' \approx 0{,}25\,\text{mN}$

Kaksi merkitsevää numeroa. Kumpaankin palloon vaikuttaa yhtä suuri voima, vaikka varaukset ovat $q$ ja $\tfrac{q}{2}$.

Järkevyys

Kaavassa varaukset ovat symmetrisesti, joten sama luku antaa kummankin pallon voiman. Kun voimat ja massat ovat samat, langat jäävät edelleen symmetrisiksi, vaikka varaukset ovat erisuuret.

Annettu

c-kohdan varaukset $q$ ja $\tfrac{q}{2}$; alkuperäinen etäisyys $r_0 = 8{,}0\,\text{cm}$; $L = 40{,}0\,\text{cm}$; massat samat kuin ennen

Kysytty

pallojen uusi etäisyys $r$

Periaate

Uudessa lepoasemassa pätee sama tasapainoehto $F = mg\tan\alpha$, mutta sähköinen voima ja kulma muuttuvat yhdessä. Kulma on pieni, joten $\tan\alpha \approx \sin\alpha = \tfrac{r}{2L}$. Silloin yhtälö sisältää vain etäisyyden potensseja, ja vanhaa ja uutta tilannetta voi verrata suhteena (luvut Voimakuvio ja voimien yhteisvaikutus ja Sähkövaraus ja Coulombin laki).

Kaava

Ennen

ja nyt $k\dfrac{q^2/2}{r^2} = mg\dfrac{r}{2L}$, joten $r^3 = \tfrac12 r_0^3$ ja $r = \dfrac{r_0}{\sqrt[3]{2}}$

Muunnokset

Ei tarvita: etäisyys saadaan senttimetreinä suoraan $r_0$:sta.

Sijoitus

Vastaus

$r \approx 6{,}3\,\text{cm}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $8{,}0\,\text{cm}$.

Järkevyys

Pienempi voima antaa pienemmän kulman, joten pallot lähestyvät toisiaan. Etäisyys ei kuitenkaan pienene niin paljon kuin voima: kun pallot lähestyvät, sähköinen voima kasvaa uudelleen. Pienen kulman oletus on hyvä, sillä $\tfrac{3{,}2\,\text{cm}}{40{,}0\,\text{cm}} = 0{,}08$, ja tarkka laskenta antaa $6{,}35\,\text{cm}$.

Annettu

levyn sivu $a = 25{,}0\,\text{cm}$, levyjen etäisyys $d = 3{,}00\,\text{mm}$, jännite $U = 4{,}50\,\text{kV}$, ilmalle $\varepsilon_\text{r} = 1{,}0$, $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\,\text{F/m}$

Kysytty

kapasitanssi $C$ ja varaus $Q$

Periaate

Levyjen etäisyys on pieni levyjen kokoon verrattuna, joten levyjen välissä on homogeeninen kenttä ja levykondensaattorin kapasitanssin lauseke pätee. Varaus on suoraan verrannollinen jännitteeseen, ja kapasitanssi on niiden suhde (luku Kondensaattori ja sen energia).

Kaava

missä $A = a^2$, ja $Q = CU$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{pF} = 10^{-12}\,\text{F}$ ja $1\,\mu\text{C} = 10^{-6}\,\text{C}$.

Sijoitus

Vastaus

$C \approx 184\,\text{pF}$

Ja $Q \approx 0{,}830\,\mu\text{C}$, kolme merkitsevää numeroa kuten levyn sivussa, etäisyydessä ja jännitteessä. Ilman suhteellinen permittiivisyys on hyvin tarkasti $1$, joten taulukon $1{,}0$ ei rajoita tarkkuutta.

Järkevyys

Ilmaeristeisen kondensaattorin kapasitanssi on pieni, vain satoja pikofaradeja, vaikka levyt ovat kämmentä suuremmat. Yksikkö on oikea: $\tfrac{\text{F}}{\text{m}} \cdot \tfrac{\text{m}^2}{\text{m}} = \text{F}$. Varaus on alle mikrocoulombin, samaa suuruusluokkaa kuin kipinässä purkautuva varaus.

Annettu

a-kohdasta $C = 1{,}845 \cdot 10^{-10}\,\text{F}$; $U = 4500\,\text{V}$; $d = 0{,}00300\,\text{m}$; ilman läpilyöntilujuus $E_\text{max} = 3\,\text{MV/m}$

Kysytty

varastoitunut energia $W$ ja levyjen välisen kentän voimakkuus $E$ verrattuna läpilyöntilujuuteen

Periaate

Latauksessa jännite kasvaa nollasta arvoon $U$ samassa suhteessa kuin varaus, joten kondensaattoriin varastoituu energia $\tfrac12 QU = \tfrac12 CU^2$. Levyjen välissä kenttä on homogeeninen, joten sen voimakkuus on jännite jaettuna etäisyydellä. Läpilyöntiä ei tapahdu, jos kenttä on pienempi kuin ilman läpilyöntilujuus (luvut Kondensaattori ja sen energia ja Homogeeninen sähkökenttä).

Kaava

$W = \tfrac12 CU^2$, $E = \dfrac{U}{d}$ ja $U_\text{max} = E_\text{max} d$

Muunnokset

Lopuksi $1\,\text{J} = 1000\,\text{mJ}$ ja $1\,\text{MV/m} = 10^{6}\,\text{V/m}$.

Sijoitus

Vastaus

$W \approx 1{,}87\,\text{mJ}$

Ja $E \approx 1{,}50\,\text{MV/m}$, kolme merkitsevää numeroa. Kenttä on puolet ilman läpilyöntilujuudesta, joten ilmaväli kestää: läpilyönti tapahtuisi vasta noin $9\,\text{kV}$:n jännitteellä.

Järkevyys

Toinen muoto antaa saman:

Energia on pieni, mutta marginaali läpilyöntiin on vain kaksinkertainen, ja kostea ilma, pöly tai terävä reuna voi laukaista kipinän pienemmälläkin jännitteellä.

Annettu

a-kohdasta $Q = 8{,}30 \cdot 10^{-7}\,\text{C}$ ja $C = 1{,}845 \cdot 10^{-10}\,\text{F}$; lasin $\varepsilon_\text{r} = 5{,}6$; lasi täyttää välin; lähde irrotettu

Kysytty

uusi jännite $U'$ ja uusi energia $W'$

Periaate

Irrotetun kondensaattorin levyiltä ei pääse varausta minnekään, joten $Q$ pysyy samana. Eriste, joka täyttää välin, kasvattaa kapasitanssin $\varepsilon_\text{r}$-kertaiseksi. Silloin jännite pienenee, koska $U = \tfrac{Q}{C}$, ja energia $\tfrac12 QU$ pienenee samassa suhteessa (luku Kondensaattori ja sen energia).

Kaava

$C' = \varepsilon_\text{r}C$, $U' = \dfrac{Q}{C'}$ ja $W' = \tfrac12 QU'$

Muunnokset

Ei tarvita: suureet ovat SI-yksiköissä, ja lopuksi $1\,\text{J} = 1000\,\text{mJ}$.

Sijoitus

Vastaus

$U' \approx 8{,}0 \cdot 10^{2}\,\text{V}$

Ja $W' \approx 0{,}33\,\text{mJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten $\varepsilon_\text{r} = 5{,}6$.

Järkevyys

Sekä jännite että energia pienenevät $5{,}6$-kertaisesti: $\tfrac{4500\,\text{V}}{5{,}6} \approx 804\,\text{V}$ ja $\tfrac{1{,}87\,\text{mJ}}{5{,}6} \approx 0{,}33\,\text{mJ}$. Lasin sisällä kenttä on $\tfrac{804\,\text{V}}{0{,}00300\,\text{m}} \approx 0{,}27\,\text{MV/m}$, paljon alle lasin läpilyöntilujuuden $14\,\text{MV/m}$.

Kysytty

mihin energia meni, ja voiko irrotetun kondensaattorin levyihin koskea

Periaate

Energia säilyy: jos kondensaattorin energia pienenee, se on tehnyt työtä tai siirtynyt muuksi energiaksi. Irrotetun kondensaattorin varaus ja jännite säilyvät, kunnes se puretaan (luku Kondensaattori ja sen energia).

Mallivastaus

Kondensaattorin energia pieneni noin $1{,}87\,\text{mJ}$:sta $0{,}33\,\text{mJ}$:iin, joten noin $1{,}5\,\text{mJ}$ siirtyi muualle. Lasi polarisoituu levyjen kentässä: sen positiivista levyä vasten oleva pinta saa negatiivisen ja vastakkainen pinta positiivisen varauksen. Levyjen varaukset vetävät näitä pintavarauksia, joten kenttä vetää lasilevyä levyjen väliin ja tekee sille positiivista työtä. Jos lasia työnnetään hitaasti, käsi joutuu jarruttamaan sitä, ja energia siirtyy käteen ja lopulta sisäenergiaksi; jos lasi pääsee liikkumaan vapaasti, se saa liike-energiaa, joka muuttuu kitkassa sisäenergiaksi. Opiskelijan väite on väärä. Lähteen irrottaminen ei pura kondensaattoria: levyillä on yhä varaus $0{,}83\,\mu\text{C}$, ja niiden välillä on noin $800\,\text{V}$:n jännite, ennen lasin työntämistä jopa $4{,}5\,\text{kV}$. Kun levyihin koskee, varaus purkautuu kehon kautta. Tämän kondensaattorin energia on pieni, mutta suurempien kondensaattorien isku voi olla vaarallinen. Siksi kondensaattori puretaan aina ensin eristetyllä purkauskapulalla tai vastuksen kautta, ennen kuin levyihin kosketaan.

Kysytty

kapasitanssin kuvaaja levyjen etäisyyden funktiona ja perustelu sille, onko kapasitanssi kääntäen verrannollinen etäisyyteen

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on levyjen etäisyys $d\ (\text{mm})$ ja pystyakselilla kapasitanssi $C\ (\text{pF})$. Pisteitä ei yhdistetä murtoviivaksi.

Mallivastaus

Pisteet asettuvat alaspäin kaartuvalle käyrälle, joka loivenee etäisyyden kasvaessa. Jos kapasitanssi olisi kääntäen verrannollinen etäisyyteen, kaksinkertainen etäisyys puolittaisi sen. Aineistossa kuitenkin $1{,}0\,\text{mm} \to 2{,}0\,\text{mm}$ antaa $375\,\text{pF} \to 199\,\text{pF}$, suhde $0{,}53$, ja $3{,}0\,\text{mm} \to 6{,}0\,\text{mm}$ antaa $140\,\text{pF} \to 82\,\text{pF}$, suhde $0{,}59$. Suhde on aina yli puolen ja kasvaa etäisyyden kasvaessa. Käyrä ei siis lähesty nollaa vaan noin $20\,\text{pF}$:n arvoa. Pelkkä kääntäen verrannollisuus ei sovi aineistoon. Kapasitanssiin näyttää sisältyvän vakio-osa, joka ei riipu levyjen etäisyydestä.

Kysytty

suure, jonka funktiona kapasitanssin kuvaaja on suora, perustelu, kuvaaja ja sovitettu suora

Kuvaaja

Levykondensaattorin kapasitanssi on $C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_\text{r}A}{d} = \varepsilon_0\varepsilon_\text{r}A \cdot \dfrac{1}{d}$. Ilmalle $\varepsilon_\text{r} \approx 1{,}0$, ja $A$ pysyy samana, joten levyjen kapasitanssi on suoraan verrannollinen suureeseen $\tfrac{1}{d}$. Mittari mittaa lisäksi johtojensa ja itsensä kapasitanssin, joka ei riipu etäisyydestä, joten mallina on suora $C = k \cdot \tfrac{1}{d} + b$. Lasketaan taulukkoon: $\tfrac{1}{d}$ on $1{,}00$, $0{,}667$, $0{,}500$, $0{,}333$, $0{,}250$, $0{,}200$ ja $0{,}167\,\tfrac{1}{\text{mm}}$. Vaaka-akselilla on $\tfrac{1}{d}\ (\tfrac{1}{\text{mm}})$ ja pystyakselilla $C\ (\text{pF})$. Pisteisiin sovitetaan suora, joka kulkee pisteiden läpi niin, että pisteitä jää molemmille puolille, ja sitä jatketaan pystyakselille.

Mallivastaus

Pisteet ovat lähes suoralla, joten malli $C = k \cdot \tfrac{1}{d} + b$ sopii aineistoon. Todellisissa mittaussarjoissa mittauspisteet eivät yleensä sijaitse täsmälleen samalla suoralla mittausepävarmuuden vuoksi. Suora ei kulje origon kautta, vaan sen jatke leikkaa pystyakselin noin $22\,\text{pF}$:n kohdalla. Kulmakerroin kertoo, kuinka paljon kapasitanssi kasvaa suureen $\tfrac{1}{d}$ yksikköä kohti, ja mallin mukaan se on $\varepsilon_0 A$.

Annettu

sovitetun suoran pisteet $(0{,}20\,\tfrac{1}{\text{mm}}; 93\,\text{pF})$ ja $(1{,}00\,\tfrac{1}{\text{mm}}; 376\,\text{pF})$; levyn sivu $20{,}0\,\text{cm}$; ilmalle $\varepsilon_\text{r} \approx 1{,}0$

Kysytty

suoran kulmakerroin $k$ ja siitä määritetty sähkövakio $\varepsilon_0$

Periaate

Mallin mukaan $C = \varepsilon_0 A \cdot \tfrac{1}{d} + b$, joten suoran kulmakerroin on $k = \varepsilon_0 A$. Kulmakerroin luetaan kahdesta kaukana toisistaan olevasta sovitetun suoran pisteestä, ei mittauspisteistä (luvut Kondensaattori ja sen energia ja Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Kuvaajan lukeminen

Suoralta luetaan pisteet $\tfrac{1}{d} = 0{,}20\,\tfrac{1}{\text{mm}}$, $C = 93\,\text{pF}$ ja $\tfrac{1}{d} = 1{,}00\,\tfrac{1}{\text{mm}}$, $C = 376\,\text{pF}$, jotka on kuvaajassa ympyröity.

Kaava

$k = \dfrac{\Delta C}{\Delta(1/d)}$ ja $k = \varepsilon_0 A$, joten $\varepsilon_0 = \dfrac{k}{A}$

Muunnokset

Kulmakertoimen yksikkö on

Sijoitus

Vastaus

$k \approx 354\,\text{pF}\cdot\text{mm}$

Ja $\varepsilon_0 \approx (8{,}8 \pm 0{,}3) \cdot 10^{-12}\,\text{F/m}$. Laskin antaa välitulokseksi $8{,}84 \cdot 10^{-12}\,\text{F/m}$, mutta tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla, koska jo välikappaleiden paksuus on epävarma muutamia prosentteja. Tulos on sopusoinnussa taulukkoarvon $8{,}854 \cdot 10^{-12}\,\text{F/m}$ kanssa.

Järkevyys

Yksikkö on oikea: $\tfrac{\text{F}\cdot\text{m}}{\text{m}^2} = \tfrac{\text{F}}{\text{m}}$. Välitulos poikkeaa taulukkoarvosta vain noin $0{,}1\,\%$, mikä on paljon vähemmän kuin mittauksen epävarmuus. Näin hyvä yhtäpitävyys on osittain sattumaa.

Annettu

c-kohdan suoran piste $(0{,}20\,\tfrac{1}{\text{mm}}; 93\,\text{pF})$ ja kulmakerroin $k = 353{,}8\,\text{pF}\cdot\text{mm}$; levyn sivu $200\,\text{mm}$; etäisyydet $1{,}0\text{–}6{,}0\,\text{mm}$

Kysytty

suoran ja pystyakselin leikkauspiste $b$, sen tulkinta ja mallin pätevyysalue

Periaate

Leikkauspiste on suoran arvo, kun $\tfrac{1}{d} \to 0$ eli levyt ovat hyvin kaukana toisistaan. Silloin levyjen keskinäinen kapasitanssi häviää, ja jäljelle jää se osa, jonka mittari mittaa joka tapauksessa. Levykondensaattorin malli edellyttää homogeenista kenttää, joten etäisyyden on oltava pieni levyjen kokoon verrattuna (luvut Graafinen esitys ja suoran sovittaminen ja Kondensaattori ja sen energia).

Kuvaajan lukeminen

Suoran katkoviivajatke leikkaa pystyakselin noin $22\,\text{pF}$:n kohdalla, joka on kuvaajassa merkitty oranssilla pisteellä.

Kaava

$C = k \cdot \tfrac{1}{d} + b$, joten $b = C_1 - k \cdot \tfrac{1}{d_1}$

Muunnokset

Ei tarvita: kulmakerroin ja suureen $\tfrac{1}{d}$ arvo ovat yksiköissä $\text{pF}\cdot\text{mm}$ ja $\tfrac{1}{\text{mm}}$, joten tulo on pikofaradeina.

Sijoitus

Vastaus

$b \approx 22\,\text{pF}$

Kaksi merkitsevää numeroa, koska se on kahden lähes yhtä suuren luvun erotus.

Järkevyys

Vakiotermi on johtojen ja mittarin oma kapasitanssi: johdot ovat lähellä toisiaan ja mittarin liittimiä, ja mittari mittaa niiden kapasitanssin levyjen kapasitanssin lisäksi. Kymmenet pikofaradit ovat mittajohtojen tavallinen suuruusluokka. Malli toimii mitatulla alueella, koska suurinkin etäisyys $6{,}0\,\text{mm}$ on vain $3\,\%$ levyn sivusta $200\,\text{mm}$. Jos etäisyys olisi senttimetrejä, reunojen kaartuva kenttä kasvattaisi kapasitanssia mallin arvon yli. Pienimmillä etäisyyksillä taas välikappaleiden paksuuden ja levyjen taipumisen epävarmuus, esimerkiksi $\pm 0{,}1\,\text{mm}$, on $10\,\%$ etäisyydestä $1{,}0\,\text{mm}$. Siksi kulmakerroin kannattaa määrittää koko suoralta eikä yhdestä pisteestä.

Kysytty

arvio väitteestä, että lintu on johtimella turvassa siksi, että sen jalat eristävät

Periaate

Kehon läpi kulkee virta vain, jos kehon kahden kohdan välillä on jännite eli potentiaaliero. Johtimen eri kohtien välinen jännite saadaan Ohmin laista, kun tunnetaan niiden välisen johtimen resistanssi ja virta (luvut Sähköturvallisuus kotona ja työssä ja Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä).

Mallivastaus

Linnun jalat ovat noin $5\,\text{cm}$:n päässä toisistaan. Jalkojen välisen johtimen resistanssi on $0{,}30\,\tfrac{\Omega}{\text{km}} \cdot 0{,}05 \cdot 10^{-3}\,\text{km} = 1{,}5 \cdot 10^{-5}\,\Omega$, joten jalkojen välinen jännite on $U = RI = 1{,}5 \cdot 10^{-5}\,\Omega \cdot 100\,\text{A} = 1{,}5\,\text{mV}$. Näin pieni jännite ei aja linnun kehon läpi tuntuvaa virtaa. Lintu on kyllä lähes samassa potentiaalissa kuin johdin, noin $12\,\text{kV}$ maahan nähden (linjan $20\,\text{kV}$ on vaihejohtimien välinen jännite), mutta potentiaali yksin ei ole vaarallinen: virta tarvitsee kaksi eri potentiaalissa olevaa kohtaa. Lintu ei koske maahan, pylvääseen eikä toiseen johtimeen, joten sen kehon läpi ei kulje virtaa. Väitteen johtopäätös on oikea, mutta perustelu väärä: lintu olisi turvassa, vaikka sen jalat johtaisivat sähköä hyvin. Vaaraan lintu joutuu, jos se koskettaa siivellään samalla toista johdinta tai maadoitettua pylvään osaa.

Kysytty

miksi kalastaja voi saada iskun koskematta johtimeen, ja pienin ilmaväli, joka voi lyödä läpi

Periaate

Ilma on eriste vain, kun sähkökenttä on pienempi kuin ilman läpilyöntilujuus. Tasaisessa kentässä ilmaväli $d$ kestää jännitteen $E_\text{max} d$ (luvut Kondensaattori ja sen energia ja Sähköturvallisuus kotona ja työssä).

Mallivastaus

Hiilikuitu johtaa sähköä. Kun kalastaja seisoo maassa, vavan kärki on lähes maan potentiaalissa, joten kärjen ja johtimen välisen ilmavälin yli on koko johtimen ja maan välinen jännite, noin $12\,\text{kV}$. Linjan nimellisjännite $20\,\text{kV}$ on kahden vaihejohtimen välinen, ja yksi johdin on maahan nähden $\tfrac{20\,\text{kV}}{\sqrt{3}} \approx 12\,\text{kV}$:n jännitteessä. Tasaisen kentän mallilla pienin läpilyövä väli on $d = \tfrac{U}{E_\text{max}} = \tfrac{12 \cdot 10^{3}\,\text{V}}{3 \cdot 10^{6}\,\text{V/m}} \approx 4\,\text{mm}$. Arvio on alaraja turvaetäisyydelle eikä turvallinen etäisyys: ohuen johtimen ja vavan kärjen lähellä kenttä on paljon voimakkaampi kuin $\tfrac{U}{d}$, ja kostea ilma, lika ja siima heikentävät eristystä, joten valokaari voi syttyä selvästi pidemmästäkin välistä. Läpilyönnin jälkeen ilma johtaa, ja virta kulkee valokaaren, vavan ja kalastajan kehon kautta maahan. Jos virtatien resistanssi on esimerkiksi $10\,\text{k}\Omega$, $12\,\text{kV}$ ajaa kehon läpi noin $1{,}2\,\text{A}$:n virran, kymmeniä kertoja suuremman kuin kammiovärinään riittävä noin $50\,\text{mA}$. Siksi johtojen alla ei kalasteta eikä lennätetä leijaa, eikä johtimia lähestytä millään esineellä.

Kysytty

miksi maahan pudonneen johtimen lähelle ei saa mennä, miten alueelta poistutaan, ja miksi lehmä on suuremmassa vaarassa kuin ihminen

Periaate

Maahan johtunut virta leviää maaperään, ja maan potentiaali pienenee etäisyyden kasvaessa kosketuskohdasta. Kahden kohdan välinen jännite on niiden potentiaalien erotus (luku Sähköturvallisuus kotona ja työssä).

Mallivastaus

Kun johdin koskettaa maata, virta kulkee maaperän kautta. Maan potentiaali on suurin kosketuskohdassa, lähes johtimen jännite, ja pienenee kauemmas mentäessä. Kahden kohdan välillä on siis jännite, ja se on suurin lähellä kosketuskohtaa, missä potentiaali muuttuu jyrkimmin. Jos ihminen seisoo jalat erillään, jalkojen välillä on askeljännite, ja virta kulkee toista jalkaa ylös ja toista alas. Askeljännite on sitä suurempi, mitä lähempänä kosketuskohtaa ollaan ja mitä pidempi askel on. Siksi pudonnutta johdinta ei lähestytä. Jos on jo lähellä, poistutaan lyhyin, jalat yhdessä otetuin askelin tai tasajalkaa hyppien, jolloin jalat ovat lähes samassa potentiaalissa. Vahingosta ilmoitetaan hätänumeroon $112$, eikä alueelle palata, ennen kuin verkkoyhtiö on katkaissut virran. Lehmän etu- ja takajalkojen väli on yli metrin, joten niiden välillä on paljon suurempi jännite kuin ihmisen lyhyen askeleen yli. Lisäksi virta kulkee lehmän etujaloista takajalkoihin rintakehän ja sydämen kautta, joten jo pienempi jännite on vaarallinen.

Annettu

raportin taulukko: jännitteet $U$ ja virrat $I$ seitsemällä kuormalla; paneelin pinta-ala $A = 60\,\text{cm}^2$; raportin olettama valon voimakkuus $G = 1000\,\text{W/m}^2$

Kysytty

paneelin suurin teho $P_\text{max}$ ja hyötysuhde $\eta$

Periaate

Paneelin antama teho on samassa kuormassa yhtä aikaa mitatun jännitteen ja virran tulo. Teho on nolla sekä oikosulussa että tyhjäkäynnissä, ja niiden välissä se on suurin maksimitehopisteessä. Hyötysuhde on suurin sähköteho jaettuna paneelille tulevan valon teholla (luku Puolijohteet, diodi, LED ja aurinkokenno).

Kaava

$P = UI$ jokaisella kuormalla ja $\eta = \dfrac{P_\text{max}}{GA}$

Muunnokset

Virrat milliampeereista ampeereiksi, esimerkiksi

ja

Sijoitus

Tehot ovat järjestyksessä $2{,}10\,\text{V} \cdot 0{,}210\,\text{A} = 0{,}441\,\text{W}$, $0{,}872\,\text{W}$, $4{,}97\,\text{V} \cdot 0{,}199\,\text{A} = 0{,}989\,\text{W}$, $0{,}959\,\text{W}$, $0{,}805\,\text{W}$, $0{,}574\,\text{W}$ ja $0{,}358\,\text{W}$, joten

Vastaus

$P_\text{max} \approx 0{,}99\,\text{W}$

Kuormalla $25\,\Omega$ ja $\eta \approx 16\,\%$, kaksi merkitsevää numeroa kuten pinta-alassa $60\,\text{cm}^2$.

Järkevyys

Suurin teho on pienempi kuin raportin $U_\text{t}I_\text{k} = 1{,}28\,\text{W}$, kuten kuuluu, koska paneeli ei anna yhtä aikaa tyhjäkäyntijännitettä ja oikosulkuvirtaa. Taulukon jokainen rivi täyttää Ohmin lain kuormalle, esimerkiksi $\tfrac{4{,}97\,\text{V}}{0{,}199\,\text{A}} \approx 25\,\Omega$, joten mittaukset ovat johdonmukaisia. Tavallisten piikennojen hyötysuhde on noin $15\text{–}22\,\%$.

Kysytty

arvio raportin johtopäätöksestä ja mittauksen luotettavuudesta

Periaate

Johtopäätös on luotettava vain, jos teho on mitattu oikein, valon teho tunnetaan ja tuloksen epävarmuus on arvioitu (luvut Puolijohteet, diodi, LED ja aurinkokenno ja Oma kokeellinen tutkimus: suunnittelu, toteutus ja raportointi).

Mallivastaus

Raportin tärkein virhe on systemaattinen. Tyhjäkäynnissä virta on nolla ja oikosulussa jännite on nolla, joten paneelin teho on kummassakin nolla. Tulo $U_\text{t}I_\text{k} = 1{,}28\,\text{W}$ on suurempi kuin mikään teho, jonka paneeli todella antaa. Opiskelijan oma taulukko näyttää suurimmaksi tehoksi $0{,}99\,\text{W}$, joten hyötysuhde on noin $16\,\%$ eikä $21\,\%$. Toinen puute on se, että valon voimakkuutta ei mitattu. Arvo $1000\,\text{W/m}^2$ on vain oletus, ja todellinen arvo riippuu auringon korkeudesta, paneelin kulmasta auringon säteisiin nähden ja ohuista pilvistä; toukokuussa Suomessa se voi olla selvästi pienempi. Raportista puuttuu myös tieto paneelin suuntauksesta ja lämpötilasta. Kolmanneksi raportissa ei ole epävarmuutta: $21{,}35\,\%$ ilmoittaa neljä numeroa, vaikka pinta-ala on annettu kahdella numerolla ja valon voimakkuus on arvio. Johtopäätös, että paneeli on valmistajan ilmoitusta parempi, on väärä: oikein laskettu hyötysuhde, noin $16\,\%$, sopii valmistajan arvoon $15\,\%$ mittausten tarkkuudella.

Kysytty

parannettu koe, jolla hyötysuhde saadaan luotettavasti

Periaate

Hyötysuhteeseen tarvitaan suurin sähköteho ja samaan aikaan paneelille tuleva valon teho. Suurin teho löytyy luotettavasti vain, kun teho mitataan monella kuormalla ja huippu etsitään kuvaajasta (luvut Puolijohteet, diodi, LED ja aurinkokenno ja Graafinen esitys ja suoran sovittaminen).

Mallivastaus

Paneeli asetetaan kohtisuoraan auringon säteitä vastaan, ja valon voimakkuus mitataan säteilymittarilla paneelin tasossa juuri ennen ja jälkeen mittaussarjan. Paneeliin kytketään säädettävä vastus, ja jännite ja virta mitataan esimerkiksi $15$–$20$ kuormalla, tiheimmin tehon huipun ympäriltä, noin $20$–$35\,\Omega$:n alueelta. Mittaus tehdään nopeasti, jotta valon voimakkuus ja paneelin lämpötila pysyvät mahdollisimman samoina, ja sarja toistetaan. Jokaisesta pisteestä lasketaan $P = UI$, ja tehon kuvaaja piirretään jännitteen funktiona. Suurin teho luetaan kuvaajan huipusta. Hyötysuhde lasketaan $\eta = \tfrac{P_\text{max}}{GA}$, kun pinta-ala mitataan viivaimella kennojen osalta. Epävarmuus arvioidaan valon voimakkuuden, pinta-alan ja tehon epävarmuuksista sekä toistojen hajonnasta, ja tulosta verrataan valmistajan arvoon epävarmuuksineen.

Annettu

kiihdytysjännite $U = 1{,}10\,\text{kV}$, verkkojen etäisyys $d = 1{,}0\,\text{mm}$, ionin massa $m = 2{,}180 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$ ja varaus $+e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$, alkunopeus lähes nolla

Kysytty

ionien nopeus $v$ ja verkkojen välisen kentän voimakkuus $E$

Periaate

Verkkojen välissä ioniin vaikuttaa vain sähköinen voima: ionien paino on mitätön, eikä avaruudessa ole ilmanvastusta. Sähköinen voima on konservatiivinen, joten ionin potentiaalienergian väheneminen $eU$ muuttuu liike-energiaksi. Verkot ovat lähellä toisiaan, joten niiden välinen kenttä on homogeeninen (luvut Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä ja Homogeeninen sähkökenttä).

Kaava

$\tfrac12 mv^2 = eU$, joten $v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m}}$, ja $E = \dfrac{U}{d}$

Muunnokset

Lisäksi $1\,\text{C} \cdot 1\,\text{V} = 1\,\text{J}$, ja lopuksi $1\,\text{km/s} = 1000\,\text{m/s}$.

Sijoitus

Vastaus

$v \approx 40{,}2\,\text{km/s}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten jännitteessä $1{,}10\,\text{kV}$, ja $E \approx 1{,}1\,\text{MV/m}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten etäisyydessä $1{,}0\,\text{mm}$.

Järkevyys

Ionin liike-energia on $1100\,\text{eV}$. Elektroni saisi saman energian, mutta ksenonioni on noin $2{,}4 \cdot 10^{5}$ kertaa raskaampi, joten sen nopeus on $\sqrt{2{,}4 \cdot 10^{5}} \approx 490$ kertaa pienempi. Silti nopeus on noin kymmenkertainen kemiallisen rakettimoottorin pakokaasujen noin $3\text{–}4\,\text{km/s}$:iin verrattuna. Kenttä $1{,}1\,\text{MV/m}$ lyisi ilmassa lähelle läpi, mutta tyhjiössä ei ole kaasua, joka voisi johtaa.

Annettu

ionisuihkun virta $I = 1{,}60\,\text{A}$; a-kohdasta $v = 4{,}021 \cdot 10^{4}\,\text{m/s}$; $m = 2{,}180 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}$; $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}$

Kysytty

ionisuihkun satelliitille antama työntövoima $F$

Periaate

Virta on aikayksikössä kulkeva varaus, joten se kertoo, montako ionia moottori lähettää sekunnissa. Ajassa $\Delta t$ lähtevien ionien massa $\Delta m$ saa nopeuden $v$ lähes levosta. Impulssiperiaatteen mukaan niiden liikemäärän muutos $\Delta m \cdot v$ on moottorin niihin kohdistaman voiman impulssi $F\,\Delta t$. Newtonin kolmannen lain mukaan ionit kohdistavat moottoriin yhtä suuren vastakkaissuuntaisen voiman, joka työntää satelliittia (luvut Liikemäärä ja impulssi ja Vuorovaikutus ja voima: Newtonin ensimmäinen ja kolmas laki).

Kaava

$N = \dfrac{I}{e}$, $\dfrac{\Delta m}{\Delta t} = Nm$ ja $F\,\Delta t = \Delta m \cdot v$, joten

Muunnokset

$1\,\text{A} = 1\,\text{C/s}$. Lopuksi $1\,\text{N} = 1000\,\text{mN}$.

Sijoitus

Vastaus

$F \approx 87{,}5\,\text{mN}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten virrassa ja jännitteessä.

Järkevyys

Voima on yhtä suuri kuin noin $9\,\text{g}$:n kappaleen paino maanpinnalla, eli hyvin pieni. Yksikkö on oikea:

Annettu

b-kohdasta $F = 0{,}08754\,\text{N}$ ja $\tfrac{\Delta m}{\Delta t} = 2{,}177 \cdot 10^{-6}\,\text{kg/s}$; satelliitin massa $M = 650\,\text{kg}$; aika $30$ vuorokautta

Kysytty

satelliitin nopeuden muutos $\Delta v$ ja kulunut ksenon $m_\text{Xe}$

Periaate

Työntövoima on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan satelliitin kiihtyvyys on vakio, ja nopeuden muutos on kiihtyvyys kertaa aika. Oletetaan, että työntövoima on radan suuntainen, ja tarkastellaan vain sen aiheuttamaa nopeuden muutosta. Satelliitin massa pysyy lähes vakiona, jos ksenonia kuluu vähän; se tarkistetaan lopuksi (luvut Newtonin toinen laki ja Liikemäärä ja impulssi).

Kaava

$a = \dfrac{F}{M}$,

Muunnokset

Sijoitus

Vastaus

$\Delta v \approx 349\,\text{m/s}$

Ja $m_\text{Xe} \approx 5{,}64\,\text{kg}$, kolme merkitsevää numeroa kuten työntövoimassa.

Järkevyys

Ksenonia kuluu alle $1\,\%$ satelliitin massasta, joten vakiomassan oletus on hyvä. Kemiallinen moottori, jonka pakokaasujen nopeus on noin $3\,\text{km/s}$, tarvitsisi saman nopeuden muutokseen impulssiperiaatteen mukaan noin

polttoainetta, yli kymmenkertaisesti.

Kysytty

riittävätkö aurinkopaneelit, miksi työntövoima on pieni suuresta tehosta huolimatta, ja miksi ionimoottoria silti käytetään

Periaate

Kiihdytysjännitteen yli kulkeva virta saa tehon $P = UI$. Kun vain sähköinen voima tekee työtä, sama teho siirtyy ionien liike-energiaksi. Työntövoima on ionien liikemäärän muutos sekunnissa (luvut Potentiaalienergia ja potentiaali sähkökentässä ja Liikemäärä ja impulssi).

Mallivastaus

Ionisuihku tarvitsee tehon $P = UI = 1100\,\text{V} \cdot 1{,}60\,\text{A} = 1{,}76\,\text{kW}$. Se on yhtä suuri kuin ionien liike-energia sekunnissa, $\tfrac12 \cdot 2{,}177 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{\text{kg}}{\text{s}} \cdot (4{,}021 \cdot 10^{4}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}})^2 = 1{,}76\,\text{kW}$, kuten energian säilyminen vaatii. Paneelien $2{,}5\,\text{kW}$ riittää siis suihkulle, ja loput $0{,}7\,\text{kW}$ jää ionisointiin, neutralointiin ja satelliitin muihin laitteisiin. Työntövoima on $F = \tfrac{\Delta m}{\Delta t}\,v$ ja teho $P = \tfrac12 \tfrac{\Delta m}{\Delta t}\,v^2$, joten $F = \tfrac{2P}{v}$. Annetulla teholla suuri ionien nopeus antaa pienen työntövoiman, vain $87{,}5\,\text{mN}$. Toisaalta suuri nopeus tarkoittaa, että jokainen ajomassan kilogramma antaa paljon liikemäärää, joten ksenonia kuluu vähän. Ionimoottori ei sovi laukaisuun eikä nopeisiin liikkeisiin, mutta pitkiin, viikkojen tai kuukausien ratamuutoksiin se on hyvä, koska se säästää kymmeniä kilogrammoja massaa.