Liikemäärä ja impulssi
Miksi korkeushyppääjä voi pudota riman yli selälleen paksulle patjalle loukkaamatta itseään, vaikka samanlainen pudotus kovalle maalle olisi vaarallinen?
Pohjatiedot
- Kokonaisvoima määrää kiihtyvyyden, $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$luku Newtonin toinen laki
- Kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla, $a = \tfrac{\Delta v}{\Delta t}$luku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 4.
Pohdinta
Korkeushyppääjä ponnistaa ja kaartuu selällään yli kahden metrin korkeudella olevan riman yli. Riman takana hän putoaa paksulle patjalle ja nousee heti ylös. Ilman patjaa sama pudotus nurmelle voisi katkaista luita. Kumpaankin alustaan hyppääjä osuu samalla nopeudella, ja kummassakin hän pysähtyy.
Mikä patjassa suojaa hyppääjää, kun hänen nopeutensa muuttuu kummassakin tapauksessa yhtä paljon?
Valinnainen Kertaa: Newtonin toinen laki
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 2 kysymystä
Ennuste 1: kova vai pehmeä puskuri
Ennuste 2: pysähtyminen vai kimpoaminen
Tutki
Simulaatiossa laboratoriokärry törmää seinän puskuriin. Ylhäällä on tilannekuva nuolineen, alhaalla puskurin voima ajan funktiona. Vasemmalle osoittava voima on negatiivinen, ja käyrän ja aika-akselin välinen pinta-ala on impulssi.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse alkunopeus $v_0$, kärryn massa, puskurin kovuus ja törmäyksen tyyppi. Paina Käynnistä. Kun kärry on pysähtynyt tai kimmonnut takaisin, lukemiin tulevat törmäyksen kesto $\Delta t$, suurin voima $F_\text{max}$, impulssi $I$, loppunopeus $v$ ja liikemäärät. Kuvaajaan jää kolme edellistä törmäystä harmaina, joten voit verrata käyriä. Alusta palauttaa kärryn lähtöpaikkaan. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa liikettä muuttamatta lukemia; normaalinopeus on jo hidastettu, jotta törmäyksen ehtii nähdä.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Rata on vaakasuora, ja kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kärryn paino ja radan tukivoima kumoavat toisensa, joten vaakasuunnassa kärryyn vaikuttaa vain puskurin voima, ja se on kärryyn vaikuttava kokonaisvoima. Positiivinen suunta on oikealle, kohti seinää. Joustavan puskurin voima on verrannollinen puskurin painumaan, ja kova puskuri on $16$ kertaa niin jäykkä kuin pehmeä. Muovautuva puskuri jää kasaan, joten kärry pysähtyy siihen, ja sen liike-energia muuttuu puskurin pysyväksi muodonmuutokseksi ja sisäenergiaksi. Muovautuvan puskurin voima kasvaa pehmeästi suurimpaan arvoonsa törmäyksen puolivälissä ja pienenee pehmeästi nollaan juuri, kun kärry pysähtyy. Pulssi on sinikäyrän muotoinen, joten sen keskimääräinen voima on noin $0{,}64\,F_\text{max}$ eikä puolet suurimmasta voimasta. Sen suurin voima ja törmäyksen kesto ovat samat kuin yhtä jäykällä joustavalla puskurilla kärryn painuessa siihen. Joustava puskuri palautuu ja kimmottaa kärryn takaisin ilman energiahäviötä.
Laskennan selitys
Kärryn liike lasketaan Newtonin toisesta laista pienin aika-askelin, $0{,}1\,\text{ms}$ simuloitua aikaa kerrallaan. Joustavan puskurin voima on $F = -kc$, missä $c$ on painuma ja $k$ puskurin jousivakio; miinusmerkki kertoo, että voima osoittaa vasemmalle. Muovautuvan puskurin voima on $F = -F_\text{max}\sin(\pi t/\Delta t)$ törmäyksen keston $\Delta t$ ajan. Sen aikana kärryn nopeus ja paikka lasketaan suoraan tästä voimasta. Kuvaajan aika $t$ lasketaan kosketuksen alusta, ja kuvaajassa on voima etumerkkeineen, joten käyrä on aika-akselin alapuolella. Impulssi $I$ lasketaan käyrän ja aika-akselin välisenä pinta-alana, ja se on negatiivinen. Liikemäärät lasketaan nopeuksista, $p_0 = mv_0$ ja $p = mv$, ja $\Delta p = p - p_0$. Impulssi ja liikemäärän muutos lasketaan siis toisistaan riippumatta.
Koe 1: puskurin kovuus
Testaa ensimmäinen ennuste. Alkutila valitsee $1{,}0\,\text{kg}$:n kärryn, alkunopeuden $2{,}0\,\text{m/s}$ ja muovautuvan puskurin, johon kärry pysähtyy. Muuta vain puskurin kovuutta: kova, keskikova ja pehmeä. Paina joka kerta Käynnistä ja kirjaa mittaus, kun kärry on pysähtynyt.
Alkutila: massa $m$: $1{,}0\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0$ = $2\,\text{m/s}$, törmäys: kärry pysähtyy, puskuri: kova. Vakiona: massa $m$, alkunopeus $v_0$, törmäys. Muutetaan: puskuri.
| puskuri | $\Delta t$ $(\text{s})$ | $F_\text{max}$ $(\text{N})$ | $I$ (N·s) |
|---|
Koe 2: pysähtyminen ja kimpoaminen
Testaa toinen ennuste. Alkutila valitsee $1{,}0\,\text{kg}$:n kärryn, alkunopeuden $2{,}0\,\text{m/s}$ ja keskikovan puskurin. Muuta vain törmäyksen tyyppiä: ensin kärry pysähtyy, sitten se kimpoaa. Kirjaa mittaus kummastakin, kun kärry on pysähtynyt tai palannut lähtöpaikkaansa. Vertaa sarakkeita $I$ ja $\Delta p$.
Alkutila: massa $m$: $1{,}0\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0$ = $2\,\text{m/s}$, puskuri: keskikova, törmäys: kärry pysähtyy. Vakiona: massa $m$, alkunopeus $v_0$, puskuri. Muutetaan: törmäys.
| törmäys | $v$ $(\text{m/s})$ | $\Delta p$ (kg·m/s) | $I$ (N·s) |
|---|
Valinnainen Koe 3: kärryn massa
Tutki vielä massan vaikutusta. Alkutila valitsee alkunopeuden $2{,}0\,\text{m/s}$, keskikovan puskurin ja pysähtyvän kärryn. Muuta vain kärryn massaa. Miten impulssi riippuu massasta, kun nopeus pysyy samana?
Alkutila: alkunopeus $v_0$ = $2\,\text{m/s}$, puskuri: keskikova, törmäys: kärry pysähtyy, massa $m$: $0{,}50\,\text{kg}$. Vakiona: alkunopeus $v_0$, puskuri, törmäys. Muutetaan: massa $m$.
| massa $m$ | $p_0$ (kg·m/s) | $I$ (N·s) | $F_\text{max}$ $(\text{N})$ |
|---|
Johtopäätös
Selitä mittaustesi avulla, mikä ratkaisee, kuinka suuren impulssin puskuri antaa kärrylle, ja mikä ratkaisee puskurin suurimman voiman. Käytä taulukoiden lukuja.
Mallivastaus
Kokeessa 1 kärry pysähtyi joka kerta, joten sen liikemäärä muuttui arvosta $2{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ nollaan. Mallin arvoissa impulssi oli joka puskurilla $-2{,}00\,\text{N}\cdot\text{s}$, yhtä suuri kuin liikemäärän muutos. Puskurin kovuus ratkaisi vain sen, miten impulssi jakautui: kova puskuri pysäytti kärryn $0{,}0393\,\text{s}$:ssa suurimmalla voimalla $80{,}0\,\text{N}$, pehmeä $0{,}157\,\text{s}$:ssa suurimmalla voimalla $20{,}0\,\text{N}$. Neljä kertaa pidempi aika antoi neljäsosan voimasta. Kokeessa 2 kimpoava kärry sai impulssin $-4{,}00\,\text{N}\cdot\text{s}$, koska sen liikemäärä muuttui arvosta $+2{,}0$ arvoon $-2{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Impulssin ratkaisee siis liikemäärän muutos, ja suurimman voiman ratkaisee lisäksi se, kuinka kauan törmäys kestää.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Liikemäärä: massa ja nopeus yhdessä
Luvussa Newtonin toinen laki opit, että voima muuttaa kappaleen nopeutta ja että raskaan kappaleen nopeuden muuttaminen vaatii suuremman voiman kuin kevyen. Liikkuvan kappaleen pysäyttämiseen tai kiihdyttämiseen vaikuttavat siis sekä massa että nopeus. Niiden tuloa sanotaan liikemääräksi. Kevyellä ja nopealla jalkapallolla voi olla yhtä suuri liikemäärä kuin raskaalla ja hitaalla keilapallolla. Liikemäärä on vektori, jolla on sama suunta kuin nopeudella. Suoraviivaisessa liikkeessä valitaan positiivinen suunta, ja vastakkaiseen suuntaan liikkuvan kappaleen liikemäärä on negatiivinen.
Voima ja aika muuttavat liikemäärää
Kun kappaleeseen vaikuttaa kokonaisvoima, sen nopeus muuttuu, ja niin muuttuu myös liikemäärä. Muutoksen suuruus riippuu kahdesta asiasta: kuinka suuri voima on ja kuinka kauan se vaikuttaa. Voiman ja sen vaikutusajan tuloa sanotaan impulssiksi. Pieni voima pitkän aikaa voi muuttaa liikemäärää yhtä paljon kuin suuri voima lyhyen aikaa. Keihäänheittäjä vetää keihästä pitkän matkan, jotta voima ehtii vaikuttaa mahdollisimman kauan ja keihään liikemäärä kasvaa suureksi.
Sama pätee pysäyttämiseen. Kun liikkuva kappale pysäytetään, sen liikemäärän muutos on määrätty: koko alkuperäinen liikemäärä on poistettava. Pysäyttävä voima voi olla suuri ja lyhytaikainen tai pieni ja pitkäaikainen, mutta voiman ja ajan tulo on kummassakin tapauksessa sama. Kun voima piirretään ajan funktiona, impulssi on käyrän ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala. Kova puskuri pysäyttää kärryn nopeasti suurella voimalla ja pehmeä puskuri hitaasti pienellä voimalla, mutta pinta-alat ovat yhtä suuret.
Kimpoaminen muuttaa liikemäärää enemmän kuin pysähtyminen
Jos kappale ei vain pysähdy vaan kimpoaa takaisin, sen liikemäärä muuttuu enemmän. Kun pallo osuu seinään ja kimpoaa suoraan takaisin yhtä suurella vauhdilla, sen liikemäärä muuttuu arvosta $mv$ arvoon $-mv$. Muutos on $-2mv$, ja sen suuruus on kaksi kertaa niin suuri kuin pysähtyessä. Seinän on siis annettava kimpoavalle pallolle kaksinkertainen impulssi. Liikemäärän muutosta laskettaessa etumerkit ovat välttämättömiä, sillä myös pelkkä liikkeen suunnan muuttuminen muuttaa liikemäärää.
Vastaus alun kysymykseen
Hyppääjä osuu alustaan samalla nopeudella, oli alusta kova tai pehmeä, ja pysähtyy kummassakin tapauksessa. Hänen liikemääränsä muutos on siis sama, joten myös häneen kohdistuvan kokonaisvoiman impulssi on sama. Alustan voima on tätä kokonaisvoimaa painon verran suurempi, mutta sekin pienenee, kun pysähtymisaika pitenee. Paksu patja painuu kasaan kymmenien senttimetrien matkalta, joten pysähtyminen kestää monta kertaa kauemmin kuin kovalla maalla, jossa keho pysähtyy muutamassa senttimetrissä. Koska impulssi on voima kertaa aika, pidempi pysähtymisaika tarkoittaa pienempää keskimääräistä kokonaisvoimaa ja siksi myös pienempää alustan keskimääräistä voimaa. Pienempi voima rasittaa kehoa vähemmän, joten loukkaantumisen riski pienenee. Samasta syystä alastulossa koukistetaan polvia, nyrkkeilyhanskat ovat pehmustettuja ja pyöräilykypärän sisällä on kasaan painuvaa vaahtomuovia.
Impulssiperiaate
Liikemäärä ja impulssi
Kappaleen liikemäärä on
$$\overline{p} = m\overline{v}$$
missä $m$ on kappaleen massa ($\text{kg}$) ja $\overline{v}$ sen nopeus ($\text{m/s}$). Liikemäärän yksikkö on $\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Suoraviivaisessa liikkeessä vektorit korvataan etumerkillisillä luvuilla, $p = mv$, ja $v$ on negatiivinen, kun kappale liikkuu negatiiviseen suuntaan.
Kun kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima $\overline{F}$ aikavälin $\Delta t$, voiman impulssi on
$$\overline{I} = \overline{F}\,\Delta t$$
missä $\overline{F}$ on voima ($\text{N}$) ja $\Delta t$ sen vaikutusaika ($\text{s}$). Impulssilla on voiman suunta, ja sen yksikkö on $\text{N}\cdot\text{s}$. Koska $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$, on $1\,\text{N}\cdot\text{s} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$: impulssilla ja liikemäärällä on sama yksikkö.
Impulssiperiaate Newtonin toisesta laista
Kun kokonaisvoima $\Sigma\overline{F}$ on vakio, kappale kiihtyy tasaisesti. Luvussa Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike opit, että silloin kiihtyvyys on nopeuden muutos jaettuna ajalla, $\overline{a} = \tfrac{\overline{v} - \overline{v}_0}{\Delta t}$. Kun tämä sijoitetaan Newtonin toiseen lakiin $\Sigma\overline{F} = m\overline{a}$ ja yhtälö kerrotaan puolittain ajalla $\Delta t$, saadaan
$$\Sigma\overline{F}\,\Delta t = m\overline{v} - m\overline{v}_0$$
Vasemmalla on kokonaisvoiman impulssi ja oikealla liikemäärän muutos. Tämä on impulssiperiaate:
$$\Delta\overline{p} = \overline{I}$$
missä $\Delta\overline{p} = \overline{p} - \overline{p}_0$ on liikemäärän muutos ($\text{kg}\cdot\text{m/s}$) ja $\overline{I}$ kappaleeseen vaikuttavan kokonaisvoiman impulssi ($\text{N}\cdot\text{s}$). Sanoin: kappaleen liikemäärä muuttuu yhtä paljon kuin kokonaisvoima antaa sille impulssia. Kun esimerkiksi $2{,}0\,\text{kg}$:n kärryä työnnetään liikkeen suuntaan $4{,}0\,\text{N}$:n kokonaisvoimalla $0{,}50\,\text{s}$, impulssi on $2{,}0\,\text{N}\cdot\text{s}$, ja kärryn nopeus kasvaa $1{,}0\,\text{m/s}$.
Etumerkit yhdessä ulottuvuudessa
Ennen laskemista valitaan positiivinen suunta. Nopeudet, liikemäärät ja voimat, jotka osoittavat vastakkaiseen suuntaan, saavat miinusmerkin. Kun pallo kimpoaa seinästä suoraan takaisin samalla vauhdilla ja positiivinen suunta on kohti seinää, $p_0 = mv$ ja $p = -mv$, joten $\Delta p = -mv - mv = -2mv$. Muutos osoittaa poispäin seinästä, samaan suuntaan kuin seinän palloon kohdistama voima.
Muuttuva voima
Törmäyksessä voima ei ole vakio: se kasvaa nollasta suurimpaan arvoonsa ja pienenee takaisin. Impulssiperiaate pätee silloinkin, kun impulssi lasketaan voiman $(t, F)$-kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävänä pinta-alana. Muuttuvan voiman vaikutusta kuvataan usein keskimääräisellä voimalla, joka antaisi samassa ajassa saman impulssin:
$$F_\text{ka} = \frac{|\Delta p|}{\Delta t}$$
missä $F_\text{ka}$ on keskimääräinen voima ($\text{N}$), $|\Delta p|$ liikemäärän muutoksen suuruus ($\text{kg}\cdot\text{m/s}$) ja $\Delta t$ törmäyksen kesto ($\text{s}$). Kuvaajassa keskimääräinen voima on sen suorakulmion korkeus, jonka pinta-ala on sama kuin käyrän alle jäävä pinta-ala. Suurin voima on aina keskimääräistä suurempi.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että pehmeä patja tai turvatyyny pienentää törmäyksen impulssia tai "imee liikemäärän". Liikemäärän muutos on kuitenkin sama, pysähtyipä kappale kovaan tai pehmeään alustaan, joten myös kokonaisvoiman impulssi on sama. Pehmeä alusta pidentää pysähtymisaikaa, ja siksi samaan impulssiin riittää pienempi keskimääräinen kokonaisvoima.
Toinen virhe on unohtaa etumerkit, kun kappale kimpoaa. Jos pallo osuu seinään nopeudella $10\,\text{m/s}$ ja kimpoaa takaisin nopeudella $10\,\text{m/s}$, sen nopeuden suuruus ei muutu, mutta liikemäärä muuttuu arvosta $mv$ arvoon $-mv$. Muutos on $-2mv$ eikä nolla: sen suuruus on $2mv$. Kolmas virhe on sekoittaa liikemäärä ja liike-energia: liikemäärä on vektori ja verrannollinen nopeuteen, liike-energia on skalaari ja verrannollinen nopeuden neliöön.
Tiivistelmä
- Liikemäärä on massan ja nopeuden tulo, $\overline{p} = m\overline{v}$. Se on vektori, jolla on nopeuden suunta; yksikkö on $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
- Vakiovoiman impulssi on $\overline{I} = \overline{F}\,\Delta t$. Muuttuvan voiman impulssi on $(t, F)$-kuvaajan alle jäävä pinta-ala; yksikkö on $\text{N}\cdot\text{s} = \text{kg}\cdot\text{m/s}$.
- Impulssiperiaate: kokonaisvoiman impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos, $\Delta\overline{p} = \overline{I}$.
- Sama liikemäärän muutos saadaan suurella voimalla lyhyessä ajassa tai pienellä voimalla pitkässä ajassa. Pehmeä alusta, koukistetut polvet ja kypärän vaahtomuovi pidentävät pysähtymisaikaa ja pienentävät voimaa.
- Yhdessä ulottuvuudessa valitaan positiivinen suunta ja käytetään etumerkkejä. Suoraan takaisin samalla vauhdilla kimpoavan kappaleen liikemäärän muutoksen suuruus on $2mv$, kaksi kertaa niin suuri kuin pysähtyvän.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi simulaation lukemiin. Mikä yllätti eniten? Kirjoita omin sanoin, mikä ratkaisee törmäyksen impulssin ja mikä törmäyksen suurimman voiman.
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Tennispallo, jonka massa on $58\,\text{g}$, lentää vaakasuoraan nopeudella $25\,\text{m/s}$ kohti mailaa. Maila lyö pallon suoraan takaisin, ja pallo lähtee mailasta vaakasuoraan nopeudella $35\,\text{m/s}$. Pallo on kosketuksissa mailaan $4{,}0\,\text{ms}$. Kuinka suuri on keskimääräinen voima, jolla maila työntää palloa?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $m = 58\,\text{g}$, tulonopeus $25\,\text{m/s}$, lähtönopeus $35\,\text{m/s}$ vastakkaiseen suuntaan ja kosketusaika $\Delta t = 4{,}0\,\text{ms}$. Kysytään mailan keskimääräistä voimaa $F_\text{ka}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Pallon liikemäärä muuttuu, koska maila työntää sitä. Liike on vaakasuoraa, ja kosketuksen aikana mailan voima on niin suuri, että pallon painon vaikutus jätetään huomiotta. Silloin mailan voima on kokonaisvoima, ja käytetään impulssiperiaatetta. Positiivinen suunta valitaan pallon lähtösuuntaan, joten tulonopeus on $v_0 = -25\,\text{m/s}$ ja lähtönopeus $v = +35\,\text{m/s}$.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. Impulssiperiaatteesta $F_\text{ka}\,\Delta t = mv - mv_0$, joten
$$F_\text{ka} = \frac{m(v - v_0)}{\Delta t}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Massa kilogrammoiksi ja aika sekunneiksi: $58\,\text{g} = 0{,}058\,\text{kg}$ ja $4{,}0\,\text{ms} = 0{,}0040\,\text{s}$.
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin liikemäärän muutos ja jaetaan se sitten ajalla:
$$\begin{aligned} &m(v - v_0) \\ &= 0{,}058\,\text{kg} \cdot (35 + 25)\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ &= 3{,}48\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[6pt] &F_\text{ka} = \frac{3{,}48\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}0040\,\text{s}} \\ &= 870\,\text{N} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Maila työntää palloa keskimäärin voimalla $8{,}7 \cdot 10^2\,\text{N}$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten massa $58\,\text{g}$ ja aika $4{,}0\,\text{ms}$. Voima on positiivinen eli osoittaa pallon lähtösuuntaan.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Pallon paino on $0{,}058\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}57\,\text{N}$, noin $1500$ kertaa pienempi kuin mailan voima, joten painon jättäminen huomiotta oli perusteltua. Jos etumerkki unohtuisi ja nopeudet vähennettäisiin suoraan, $35\,\text{m/s} - 25\,\text{m/s}$, voimaksi tulisi vain $145\,\text{N}$, vaikka mailan täytyy ensin pysäyttää pallo ja sitten kiihdyttää se vastakkaiseen suuntaan.
Valinnainen Etsi virhe
Sovella uuteen tilanteeseen
Pesäpallon sieppari ottaa kiinni pallon, jonka massa on $0{,}16\,\text{kg}$ ja joka lentää vaakasuoraan nopeudella $25\,\text{m/s}$. Sieppari vetää kättään taaksepäin, ja räpylä pysäyttää pallon $0{,}050\,\text{s}$:ssa.
Kuinka suuri on räpylän palloon kohdistama keskimääräinen vaakasuora voima? Vastaa yksikössä $\text{N}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Kuinka paljon pallon liikemäärä muuttuu, kun se pysähtyy? Mikä periaate yhdistää liikemäärän muutoksen ja voiman?
Vihje 2: mikä yhteys
Impulssiperiaate:
kun loppunopeus on nolla.
Vihje 3: välivaihe
Liikemäärän muutos on $0{,}16\,\text{kg} \cdot 25\,\text{m/s} = 4{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Jaa se pysähtymisajalla.
Näytä ratkaisu
Annettu
pallon massa $m = 0{,}16\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 25\,\text{m/s}$, loppunopeus $v = 0$, pysähtymisaika $\Delta t = 0{,}050\,\text{s}$; tarkastellaan vaakasuuntaista liikettä
Kysytty
räpylän keskimääräinen vaakasuora voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Räpylä pysäyttää pallon, joten pallon liikemäärä muuttuu arvosta $mv_0$ nollaan. Vaakasuunnassa palloon vaikuttaa vain räpylän voima, sillä paino on pystysuuntainen eikä muuta vaakasuuntaista liikemäärää. Siksi räpylän voiman impulssi on impulssiperiaatteen mukaan yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos.
Kaava
joten $F_\text{ka} = \dfrac{mv_0}{\Delta t}$
Muunnokset
Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita; $1\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{s}} = 1\,\text{N}$.
Sijoitus
Vastaus
$80\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}16\,\text{kg}$, nopeudessa $25\,\text{m/s}$ ja ajassa $0{,}050\,\text{s}$.
Järkevyys
Voima vastaa noin $8\,\text{kg}$:n kappaleen painoa, mikä tuntuu kädessä mutta ei satuta. Jos sieppari pitäisi kätensä jäykkänä ja pallo pysähtyisi $0{,}010\,\text{s}$:ssa, voima olisi $400\,\text{N}$, viisinkertainen. Siksi kättä vedetään taaksepäin: pidempi pysähtymisaika pienentää voimaa.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Näytä, että impulssin yksikkö $\text{N}\cdot\text{s}$ on sama kuin liikemäärän yksikkö $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
Vastaus
Newtonin toisen lain mukaan $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$, joten
$1\,\text{N}\cdot\text{s}$$= 1\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\text{s}$$= 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ - Juna jarruttaa tasaisesti ja pysähtyy. Mikä on junaan vaikuttavan jarruttavan kokonaisvoiman impulssin suunta, ja mistä sen suuruus riippuu?
Vastaus
Impulssi osoittaa liikettä vastaan, samaan suuntaan kuin liikemäärän muutos. Sen suuruus on junan alkuperäinen liikemäärä $mv$, joten se riippuu junan massasta ja alkunopeudesta eikä jarrutuksen kestosta.
1. Käsite
2. Kuvaajasta
Jalkapallo, jonka massa on $0{,}45\,\text{kg}$, on levossa. Kuvaajassa on voima, jolla jalka potkaisee palloa vaakasuoraan. Potkun aikana muut vaakasuuntaiset voimat jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on pallon nopeus, kun se irtoaa jalasta? Vastaa yksikössä $\text{m/s}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Impulssi on kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala. Minkä muotoinen alue on?
Vihje 2: mikä yhteys
Kolmion pinta-ala on $\tfrac{1}{2} \cdot \text{kanta} \cdot \text{korkeus}$. Muuta millisekunnit sekunneiksi.
Vihje 3: välivaihe
Impulssi on
ja se on yhtä suuri kuin pallon liikemäärä $mv$.
Näytä ratkaisu
Annettu
pallon massa $m = 0{,}45\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 0$; kuvaajasta voiman huippuarvo ja potkun kesto
Kysytty
pallon nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Potkun aikana jalan voima on palloon vaikuttava vaakasuuntainen kokonaisvoima, kun muut vaakasuuntaiset voimat jätetään huomiotta. Impulssiperiaatteen mukaan sen impulssi on yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos. Voima muuttuu, joten impulssi luetaan kuvaajan pinta-alasta.
Kuvaajan lukeminen
Voima kasvaa nollasta huippuarvoon $F_\text{max} = 900\,\text{N}$ hetkellä $6\,\text{ms}$ ja pienenee nollaan hetkellä $12\,\text{ms}$. Kuvaajan ja aika-akselin väliin jää kolmio, jonka kanta on $\Delta t = 12\,\text{ms}$ ja korkeus $900\,\text{N}$. Impulssi on kolmion pinta-ala $\tfrac{1}{2} F_\text{max}\,\Delta t$.
Kaava
$mv - 0 = \tfrac{1}{2} F_\text{max}\,\Delta t$, joten
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$12\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}45\,\text{kg}$ ja ajassa $12\,\text{ms}$.
Järkevyys
Nopeus on noin $43\,\text{km/h}$, tavallinen reippaan potkun nopeus. Potkun keskimääräinen voima on $5{,}4\,\text{N}\cdot\text{s} : 0{,}012\,\text{s} = 450\,\text{N}$, puolet huippuarvosta, kuten tasaisesti kasvavalle ja pienenevälle voimalle kuuluu.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä
Selitä liikemäärän ja impulssin avulla, miksi korkeushyppääjä ei loukkaannu pudotessaan paksulle patjalle, vaikka sama pudotus kovalle maalle voisi olla vaarallinen.
Mallivastaus
Hyppääjä putoaa samalta korkeudelta, joten oletetaan, että hän osuu patjaan ja kovaan maahan samalla nopeudella. Kummassakin hän pysähtyy, joten hänen liikemääränsä muuttuu yhtä paljon, arvosta $mv$ nollaan. Impulssiperiaatteen mukaan häneen kohdistuvan kokonaisvoiman impulssi on silloin sama. Alustan voima on kokonaisvoimaa painon verran suurempi, mutta sekin pienenee, kun pysähtymisaika pitenee. Impulssi on voima kertaa aika. Kova maa pysäyttää kehon muutaman senttimetrin matkalla hyvin lyhyessä ajassa, joten voiman on oltava suuri. Paksu patja painuu kasaan kymmenien senttimetrien matkalta, ja pysähtyminen kestää monta kertaa kauemmin. Sama impulssi syntyy silloin monta kertaa pienemmällä keskimääräisellä kokonaisvoimalla, ja myös alustan voima pienenee. Pienempi voima rasittaa kehoa vähemmän, joten loukkaantumisen riski pienenee. Patja ei siis pienennä impulssia tai liikemäärän muutosta, vaan se jakaa saman impulssin pidemmälle ajalle.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Kertaa luvun käsitteet
Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.
- Liikemäärä
- Kappaleen massan ja nopeuden tulo on vektorisuure.$$\overline{p} = m\overline{v}$$
- Impulssi
- Kuvaa voiman kokonaisvaikutusta tietyn ajan kuluessa; vakiovoimalla:$$\overline{I} = \overline{F}\Delta t$$
- Impulssiperiaate
- Kappaleen saama impulssi on yhtä suuri kuin sen liikemäärän muutos.$$\overline{I} = \Delta\overline{p}$$
- Voima-aikakuvaaja
- Kuvaajan ja aika-akselin välinen pinta-ala antaa kappaleen saaman impulssin.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 13-1Ydintehtävä
Jääkiekko, jonka massa on $0{,}17\,\text{kg}$, liukuu jäällä nopeudella $30\,\text{m/s}$. Kuinka suuri on kiekon liikemäärä?
Vastaus
$5{,}1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kiekon massa $m = 0{,}17\,\text{kg}$, nopeus $v = 30\,\text{m/s}$
Kysytty
kiekon liikemäärä $p$ yksikössä $\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Periaate
Liikemäärä on massan ja nopeuden tulo. Se on vektori, jolla on nopeuden suunta; tässä kysytään sen suuruutta.
Kaava
$p = mv$
Muunnokset
Massa ja nopeus ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$p$$= 0{,}17\,\text{kg} \cdot 30\,\text{m/s}$$= 5{,}1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$Vastaus
$5{,}1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}17\,\text{kg}$ ja nopeudessa $30\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Arvio pyöreillä luvuilla: $0{,}2\,\text{kg} \cdot 30\,\text{m/s} = 6\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$, joten tulos on oikeaa suuruusluokkaa. Kevyen kiekon liikemäärä on pieni, vaikka nopeus on suuri: kävelevän ihmisen liikemäärä on noin $100\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
- Tehtävä 13-2Ydintehtävä
Ostoskärryä työnnetään vaakasuoraan voimalla $12\,\text{N}$ ajan $0{,}50\,\text{s}$. Kuinka suuri on työntövoiman impulssi?
Vastaus
$6{,}0\,\text{N}\cdot\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
työntövoima $F = 12\,\text{N}$, vaikutusaika $\Delta t = 0{,}50\,\text{s}$
Kysytty
työntövoiman impulssi $I$ yksikössä $\text{N}\cdot\text{s}$
Periaate
Vakiovoiman impulssi on voiman ja sen vaikutusajan tulo. Impulssilla on voiman suunta eli tässä työntösuunta.
Kaava
$I = F\,\Delta t$
Muunnokset
Voima on newtoneina ja aika sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$I$$= 12\,\text{N} \cdot 0{,}50\,\text{s}$$= 6{,}0\,\text{N}\cdot\text{s}$Vastaus
$6{,}0\,\text{N}\cdot\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten voimassa $12\,\text{N}$ ja ajassa $0{,}50\,\text{s}$.
Järkevyys
Puolet $12\,\text{N}$:sta on $6\,\text{N}$, joten tulo on oikein. Jos kärryn massa olisi $15\,\text{kg}$ eikä kitkaa olisi, sen nopeus kasvaisi $6{,}0\,\text{N}\cdot\text{s} : 15\,\text{kg} = 0{,}40\,\text{m/s}$, mikä sopii lyhyeen työntöön.
- Tehtävä 13-3
Lentopallo, jonka massa on $0{,}27\,\text{kg}$, on hetken levossa lentoratansa ylimmässä kohdassa, kun pelaaja iskee sitä. Pallo lähtee kädestä nopeudella $18\,\text{m/s}$. Pallon painon vaikutus iskun aikana jätetään huomiotta.
Kuinka suuren impulssin käsi antaa pallolle?
Vastaus
$4{,}9\,\text{N}\cdot\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pallon massa $m = 0{,}27\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 0$, loppunopeus $v = 18\,\text{m/s}$; painon vaikutus jätetään huomiotta
Kysytty
käden palloon antama impulssi $I$ yksikössä $\text{N}\cdot\text{s}$
Periaate
Iskun aikana käden voima on palloon vaikuttava kokonaisvoima, kun painon vaikutus jätetään huomiotta. Impulssiperiaatteen mukaan sen impulssi on yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos.
Kaava
$I = \Delta p = mv - mv_0$, ja $v_0 = 0$, joten $I = mv$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$I$$= 0{,}27\,\text{kg} \cdot 18\,\text{m/s}$$= 4{,}86\,\text{N}\cdot\text{s}$Vastaus
$4{,}9\,\text{N}\cdot\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}27\,\text{kg}$ ja nopeudessa $18\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Arvio: $0{,}3\,\text{kg} \cdot 20\,\text{m/s} = 6\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$, ja molemmat luvut pyöristettiin ylöspäin, joten tulos $4{,}9$ on sopiva. Impulssi on pallon lähtösuuntaan, koska pallo lähti levosta siihen suuntaan.
- Tehtävä 13-4
Hiihtäjän, jonka massa on $70\,\text{kg}$, liikemäärä on $420\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Kuinka suuri on hiihtäjän nopeus?
Vastaus
$6{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
hiihtäjän massa $m = 70\,\text{kg}$, liikemäärä $p = 420\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
Kysytty
hiihtäjän nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Liikemäärä on massan ja nopeuden tulo, joten nopeus saadaan jakamalla liikemäärä massalla.
Kaava
$p = mv$, joten $v = \dfrac{p}{m}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita; $\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{kg}} = \text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= \dfrac{420\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{70\,\text{kg}}$$= 6{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$6{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $70\,\text{kg}$.
Järkevyys
$70\,\text{kg} \cdot 6{,}0\,\text{m/s} = 420\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$, joten lasku toimii takaperin. Nopeus on noin $22\,\text{km/h}$, mikä sopii hiihtäjälle.
- Tehtävä 13-5
Sulkapallomaila antaa pallolle impulssin $0{,}15\,\text{N}\cdot\text{s}$. Maila ja pallo ovat kosketuksissa ajan $0{,}0010\,\text{s}$. Kuinka suuri on mailan keskimääräinen voima palloon?
Vastaus
$150\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
impulssi $I = 0{,}15\,\text{N}\cdot\text{s}$, kosketusaika $\Delta t = 0{,}0010\,\text{s}$
Kysytty
mailan keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Impulssi on voima kertaa aika. Kun voima muuttuu kosketuksen aikana, impulssi jaettuna kosketusajalla antaa keskimääräisen voiman.
Kaava
$I = F_\text{ka}\,\Delta t$, joten $F_\text{ka} = \dfrac{I}{\Delta t}$
Muunnokset
Aika on sekunteina, joten muunnoksia ei tarvita; $\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{s}} = \text{N}$.
Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{0{,}15\,\text{N}\cdot\text{s}}{0{,}0010\,\text{s}}$$= 150\,\text{N}$Vastaus
$150\,\text{N}$
Eli $1{,}5 \cdot 10^2\,\text{N}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten impulssissa $0{,}15\,\text{N}\cdot\text{s}$ ja ajassa $0{,}0010\,\text{s}$.
Järkevyys
Jakaminen tuhannesosasekunnilla kertoo luvun tuhannella: $0{,}15 \cdot 1000 = 150$. Voima on suuri kevyeen palloon verrattuna, mutta se vaikuttaa vain tuhannesosasekunnin, kuten lyönneissä yleensä.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 13-6Ydintehtävä
Henkilöauto, jonka massa on $1200\,\text{kg}$, ajaa vaakasuoralla tiellä nopeudella $54\,\text{km/h}$. Kuljettaja jarruttaa, ja auto pysähtyy $3{,}0\,\text{s}$:ssa. Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on autoon vaikuttava keskimääräinen jarruttava voima? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$6{,}0\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
auton massa $m = 1200\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 54\,\text{km/h}$, loppunopeus $v = 0$, pysähtymisaika $\Delta t = 3{,}0\,\text{s}$; ilmanvastus jätetään huomiotta
Kysytty
keskimääräinen jarruttava voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Tie on vaakasuora, joten auton paino ja tien tukivoima kumoavat toisensa, ja vaakasuuntainen kokonaisvoima on tien jarruttava kitkavoima. Impulssiperiaatteen mukaan sen impulssi on yhtä suuri kuin auton liikemäärän muutos. Positiivinen suunta on auton liikkeen suunta.
Kaava
$F\,\Delta t = mv - mv_0 = -mv_0$, joten voiman suuruus on $F_\text{ka} = \dfrac{mv_0}{\Delta t}$
Muunnokset
$v_0$$= 54\,\text{km/h}$$= \dfrac{54\,\text{m}}{3{,}6\,\text{s}}$$= 15\,\text{m/s}$Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{1200\,\text{kg} \cdot 15\,\text{m/s}}{3{,}0\,\text{s}}$$= \dfrac{18\,000\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{3{,}0\,\text{s}}$$= 6000\,\text{N}$Vastaus
$6{,}0\,\text{kN}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $54\,\text{km/h}$ ja ajassa $3{,}0\,\text{s}$.
Järkevyys
Voiman etumerkki on negatiivinen eli se osoittaa liikettä vastaan, kuten jarrutusvoiman pitää. Voima on noin puolet auton painosta $1200\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 12\,\text{kN}$, mikä vastaa tavallista jarrutusta kuivalla tiellä.
- Tehtävä 13-7Ydintehtävä
Golfpallo, jonka massa on $46\,\text{g}$, on levossa. Maila lyö sitä, ja pallo lähtee nopeudella $70\,\text{m/s}$. Maila ja pallo ovat kosketuksissa $0{,}50\,\text{ms}$. Pallon painon vaikutus lyönnin aikana jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on mailan keskimääräinen voima palloon? Vastaa kilonewtoneina.
Vastaus
$6{,}4\,\text{kN}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pallon massa $m = 46\,\text{g}$, alkunopeus $v_0 = 0$, loppunopeus $v = 70\,\text{m/s}$, kosketusaika $\Delta t = 0{,}50\,\text{ms}$; painon vaikutus jätetään huomiotta
Kysytty
mailan keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{kN}$
Periaate
Lyönnin aikana mailan voima on palloon vaikuttava kokonaisvoima, kun painon vaikutus jätetään huomiotta. Impulssiperiaatteen mukaan mailan voiman impulssi on yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos.
Kaava
$F_\text{ka}\,\Delta t$$= mv - mv_0$$= mv$joten $F_\text{ka} = \dfrac{mv}{\Delta t}$
Muunnokset
$m$$= 46\,\text{g}$$= 0{,}046\,\text{kg}$$\Delta t$$= 0{,}50\,\text{ms}$$= 0{,}00050\,\text{s}$Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{0{,}046\,\text{kg} \cdot 70\,\text{m/s}}{0{,}00050\,\text{s}}$$= \dfrac{3{,}22\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}00050\,\text{s}}$$= 6440\,\text{N}$Vastaus
$6{,}4\,\text{kN}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $46\,\text{g}$, nopeudessa $70\,\text{m/s}$ ja ajassa $0{,}50\,\text{ms}$.
Järkevyys
Pallon paino on vain $0{,}046\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}45\,\text{N}$, joten mailan voima on yli $10\,000$ kertaa suurempi ja painon jättäminen huomiotta oli perusteltua. Suuri voima on mahdollinen, koska se vaikuttaa vain puoli millisekuntia.
- Tehtävä 13-8
Pallo, jonka massa on $60\,\text{g}$, heitetään vaakasuoraan seinään. Pallo osuu seinään nopeudella $14\,\text{m/s}$ ja kimpoaa suoraan takaisin nopeudella $11\,\text{m/s}$. Kuinka suuren impulssin seinä antaa pallolle? Ilmoita impulssin suuruus.
Vastaus
$1{,}5\,\text{N}\cdot\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
pallon massa $m = 60\,\text{g}$, tulonopeus $14\,\text{m/s}$ kohti seinää, lähtönopeus $11\,\text{m/s}$ poispäin seinästä
Kysytty
seinän palloon antaman impulssin suuruus $|I|$ yksikössä $\text{N}\cdot\text{s}$
Periaate
Seinän voima muuttaa pallon liikemäärää, ja impulssiperiaatteen mukaan impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos. Pallo kimpoaa vastakkaiseen suuntaan, joten nopeuksille tarvitaan etumerkit. Positiivinen suunta valitaan kohti seinää: $v_0 = +14\,\text{m/s}$ ja $v = -11\,\text{m/s}$.
Kaava
$I = \Delta p = mv - mv_0 = m(v - v_0)$
Muunnokset
$m = 60\,\text{g} = 0{,}060\,\text{kg}$
Sijoitus
$I$$= 0{,}060\,\text{kg} \cdot (-11 - 14)\,\text{m/s}$$= 0{,}060\,\text{kg} \cdot (-25\,\text{m/s})$$= -1{,}5\,\text{N}\cdot\text{s}$Vastaus
$1{,}5\,\text{N}\cdot\text{s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $60\,\text{g}$ ja nopeuksissa; impulssi osoittaa poispäin seinästä.
Järkevyys
Impulssi on suurempi kuin pysäyttämiseen tarvittava $0{,}060\,\text{kg} \cdot 14\,\text{m/s} = 0{,}84\,\text{N}\cdot\text{s}$, koska seinä myös kiihdyttää pallon takaisin. Jos nopeudet vähennettäisiin ilman etumerkkejä, tulos olisi vain $0{,}18\,\text{N}\cdot\text{s}$, mikä on liian pieni edes pysäyttämään palloa.
- Tehtävä 13-9
Jääkiekko, jonka massa on $0{,}17\,\text{kg}$, liukuu nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Pelaaja lyö kiekkoa mailalla liikkeen suuntaan keskimääräisellä voimalla $120\,\text{N}$, ja kosketus kestää $0{,}025\,\text{s}$. Jään kitka jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on kiekon nopeus lyönnin jälkeen?
Vastaus
$26\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kiekon massa $m = 0{,}17\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 8{,}0\,\text{m/s}$, mailan keskimääräinen voima $F = 120\,\text{N}$ liikkeen suuntaan, kosketusaika $\Delta t = 0{,}025\,\text{s}$; jään kitka jätetään huomiotta
Kysytty
kiekon nopeus $v$ lyönnin jälkeen yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Kun kitka jätetään huomiotta, mailan voima on kiekkoon vaikuttava vaakasuuntainen kokonaisvoima. Impulssiperiaatteen mukaan sen impulssi on yhtä suuri kuin kiekon liikemäärän muutos. Voima on liikkeen suuntaan, joten liikemäärä kasvaa.
Kaava
$F\,\Delta t = mv - mv_0$, joten $v = v_0 + \dfrac{F\,\Delta t}{m}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita; $\tfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{kg}} = \text{m/s}$.
Sijoitus
$v$$= 8{,}0\,\text{m/s} + \dfrac{120\,\text{N} \cdot 0{,}025\,\text{s}}{0{,}17\,\text{kg}}$$= 8{,}0\,\text{m/s} + 17{,}65\,\text{m/s}$$= 25{,}65\,\text{m/s}$Vastaus
$26\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $8{,}0\,\text{m/s}$, massassa $0{,}17\,\text{kg}$ ja ajassa $0{,}025\,\text{s}$.
Järkevyys
Impulssi $3{,}0\,\text{N}\cdot\text{s}$ kasvattaa kevyen kiekon nopeutta paljon, noin $18\,\text{m/s}$. Loppunopeus $26\,\text{m/s}$ eli noin $92\,\text{km/h}$ sopii kovaan lyöntiin.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 13-10
Lapsi istuu pulkassa vaakasuoralla lumella, ja lapsen ja pulkan yhteinen massa on $24\,\text{kg}$. Pulkka liukuu aluksi nopeudella $1{,}0\,\text{m/s}$, kun aikuinen työntää sitä liikkeen suuntaan. Kuvaajassa on työntövoima ajan funktiona. Lumen kitka jätetään huomiotta.
Kuinka suuri on pulkan nopeus työnnön jälkeen?
Vastaus
$3{,}0\,\text{m/s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
lapsen ja pulkan massa $m = 24\,\text{kg}$, alkunopeus $v_0 = 1{,}0\,\text{m/s}$; kuvaajasta työntövoima ajan funktiona; kitka jätetään huomiotta
Kysytty
pulkan nopeus $v$ työnnön jälkeen yksikössä $\text{m/s}$
Periaate
Kun kitka jätetään huomiotta, työntövoima on pulkkaan vaikuttava vaakasuuntainen kokonaisvoima; paino ja lumen tukivoima kumoavat toisensa. Impulssiperiaatteen mukaan työntövoiman impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos. Voima muuttuu, joten impulssi luetaan kuvaajan pinta-alasta.
Kuvaajan lukeminen
Voima kasvaa nollasta $60\,\text{N}$:iin hetkeen $0{,}20\,\text{s}$ mennessä, on $60\,\text{N}$ hetkeen $0{,}80\,\text{s}$ asti ja pienenee nollaan hetkellä $1{,}00\,\text{s}$. Kuvaajan alle jää puolisuunnikas, jonka korkeus on $60\,\text{N}$ ja yhdensuuntaiset sivut $1{,}00\,\text{s}$ (pohja) ja $0{,}60\,\text{s}$ (yläsivu). Pinta-ala on korkeus kertaa sivujen keskiarvo.
Kaava
$I$$= F_\text{max} \cdot \dfrac{t_\text{pohja} + t_\text{ylä}}{2}$$I = mv - mv_0$, joten $v = v_0 + \dfrac{I}{m}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$I$$= 60\,\text{N} \cdot \dfrac{(1{,}00 + 0{,}60)\,\text{s}}{2}$$= 48\,\text{N}\cdot\text{s}$$v$$= 1{,}0\,\text{m/s} + \dfrac{48\,\text{N}\cdot\text{s}}{24\,\text{kg}}$$= 1{,}0\,\text{m/s} + 2{,}0\,\text{m/s}$$= 3{,}0\,\text{m/s}$Vastaus
$3{,}0\,\text{m/s}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $24\,\text{kg}$ ja nopeudessa $1{,}0\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Jos voima olisi ollut $60\,\text{N}$ koko sekunnin, impulssi olisi $60\,\text{N}\cdot\text{s}$; nousevan ja laskevan reunan takia se on hieman pienempi, $48\,\text{N}\cdot\text{s}$. Nopeuden kasvu $2{,}0\,\text{m/s}$ yhden sekunnin työnnöstä on uskottava. Todellisuudessa lumen kitka pienentää loppunopeutta hieman.
- Tehtävä 13-11
Henkilöauto törmää kiinteään esteeseen ja pysähtyy. Turvavyö pysäyttää $75\,\text{kg}$:n matkustajan $0{,}12\,\text{s}$:ssa, ja vaakasuunnassa matkustajaan vaikuttaa vain vyön voima. Oletetaan, että vyön voima matkustajaan saa olla keskimäärin enintään $10\,\text{kN}$.
Kuinka suuresta nopeudesta matkustaja voidaan näillä oletuksilla enintään pysäyttää? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$58\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
matkustajan massa $m = 75\,\text{kg}$, pysähtymisaika $\Delta t = 0{,}12\,\text{s}$, vyön keskimääräinen voima enintään $F = 10\,\text{kN}$, loppunopeus $v = 0$
Kysytty
suurin alkunopeus $v_0$, josta matkustaja voidaan pysäyttää, yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Vaakasuunnassa matkustajaan vaikuttaa vain vyön voima, joten se on kokonaisvoima. Impulssiperiaatteen mukaan vyön voiman impulssi on yhtä suuri kuin matkustajan liikemäärän muutos. Kun voima ja aika ovat suurimmillaan, myös pysäytettävä liikemäärä ja siis alkunopeus ovat suurimmillaan.
Kaava
$F\,\Delta t = mv_0 - 0$, joten $v_0 = \dfrac{F\,\Delta t}{m}$
Muunnokset
$F = 10\,\text{kN} = 10\,000\,\text{N}$; vastaus muunnetaan lopuksi yksikköön $\text{km/h}$ kertomalla luvulla $3{,}6$, koska $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.
Sijoitus
$v_0$$= \dfrac{10\,000\,\text{N} \cdot 0{,}12\,\text{s}}{75\,\text{kg}}$$= \dfrac{1200\,\text{N}\cdot\text{s}}{75\,\text{kg}}$$= 16\,\text{m/s}$$= 16 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$$= 57{,}6\,\text{km/h}$Vastaus
$58\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $75\,\text{kg}$ ja ajassa $0{,}12\,\text{s}$.
Järkevyys
Nopeus vastaa tavallista maantien tai kaupungin pääkadun nopeutta, ja turvavöiden testeissä käytetään samaa suuruusluokkaa olevia nopeuksia. Vyön voima $10\,\text{kN}$ on noin $14$ kertaa matkustajan paino $75\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 740\,\text{N}$, mikä kertoo, miksi suurempi törmäysnopeus olisi vaarallinen.
- Tehtävä 13-12
Kaksi palloa, joiden massa on kummankin $0{,}20\,\text{kg}$, heitetään vaakasuoraan seinään nopeudella $8{,}0\,\text{m/s}$. Savipallo jää kiinni seinään. Kumipallo kimpoaa suoraan takaisin nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$. Kumpikin pallo on kosketuksissa seinään ajan $0{,}020\,\text{s}$.
Kuinka paljon suurempi on kumipallon seinään kohdistama keskimääräinen voima kuin savipallon?
Vastaus
$60\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
kummankin pallon massa $m = 0{,}20\,\text{kg}$, tulonopeus $8{,}0\,\text{m/s}$, kumipallon lähtönopeus $6{,}0\,\text{m/s}$ takaisin, savipallo jää paikalleen, kosketusaika $\Delta t = 0{,}020\,\text{s}$ kummallakin
Kysytty
kumipallon ja savipallon seinään kohdistamien keskimääräisten voimien erotus $\Delta F$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Seinän voima on pallon vaakasuuntainen kokonaisvoima, ja impulssiperiaatteen mukaan sen impulssi on pallon liikemäärän muutos. Newtonin kolmannen lain mukaan pallo työntää seinää yhtä suurella voimalla kuin seinä palloa. Positiivinen suunta valitaan kohti seinää: $v_0 = 8{,}0\,\text{m/s}$, savipallolle $v = 0$ ja kumipallolle $v = -6{,}0\,\text{m/s}$.
Kaava
Voiman suuruus on $F = \dfrac{m\,|v - v_0|}{\Delta t}$, joten
$\Delta F$$= \dfrac{m(v_0 + v_\text{k})}{\Delta t} - \dfrac{mv_0}{\Delta t}$$= \dfrac{m v_\text{k}}{\Delta t}$missä $v_\text{k} = 6{,}0\,\text{m/s}$ on kumipallon lähtövauhti
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$\Delta F$$= \dfrac{0{,}20\,\text{kg} \cdot 6{,}0\,\text{m/s}}{0{,}020\,\text{s}}$$= \dfrac{1{,}2\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}020\,\text{s}}$$= 60\,\text{N}$Vastaus
$60\,\text{N}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $0{,}20\,\text{kg}$ ja nopeudessa $6{,}0\,\text{m/s}$.
Järkevyys
Erikseen laskettuna savipallon voima on $\tfrac{0{,}20 \cdot 8{,}0}{0{,}020}\,\text{N} = 80\,\text{N}$ ja kumipallon $\tfrac{0{,}20 \cdot 14}{0{,}020}\,\text{N} = 140\,\text{N}$, ja erotus on $60\,\text{N}$. Kimpoava pallo työntää seinää enemmän, koska seinän on pysäytyksen lisäksi kiihdytettävä se takaisin.
Valokuvat
- Strong woman punching bag in gym. Annushka Ahuja. lähde, Pexels License