RuukkilabraLukion fysiikka
FY4 · Luku 14

Liikemäärän säilyminen ja yksiulotteiset törmäykset

Miksi biljardin lyöntipallo voi pysähtyä paikalleen, kun se osuu suoraan levossa olevaan palloon, ja toinen pallo jatkaa matkaa lähes samalla nopeudella?

Pohjatiedot

  • Kappaleen liikemäärä on $\overline{p} = m\overline{v}$, ja vakiosuuruisen kokonaisvoiman impulssi muuttaa sitä: $\Delta\overline{p} = \Sigma\overline{F}\,\Delta t$luku Liikemäärä ja impulssi
  • Kappaleen liike-energia on $E_\text{k} = \tfrac12 mv^2$, ja kitkan kaltaiset voimat muuttavat mekaanista energiaa sisäenergiaksiluku Mekaanisen energian säilyminen ja energiaperiaate

Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 5.

Pohdinta

Biljardipöydällä punainen pallo on levossa. Pelaaja lyö valkoisen lyöntipallon suoraan sitä kohti. Pallot kopsahtavat, ja hetkessä tilanne on vaihtunut: lyöntipallo on pysähtynyt melkein siihen, missä punainen pallo oli, ja punainen pallo kiitää eteenpäin lähes samalla nopeudella kuin lyöntipallo äsken. Jos punainen pallo olisi raskas keilapallo, lyöntipallo kimpoaisi takaisin.

Mikä määrää, miten liike jakautuu törmäävien kappaleiden kesken, ja miksi lyöntipallo pysähtyy juuri samanlaiseen palloon osuessaan?

Valinnainen Kertaa: impulssi
Vaunuun vaikuttaa liikkeen suuntainen vakiosuuruinen kokonaisvoima $3{,}0\,\text{N}$ ajan $0{,}10\,\text{s}$. Kuinka paljon vaunun liikemäärä muuttuu?

Ennusta

Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä

Ennuste 1: vaunut tarttuvat yhteen

Vaakasuoralla ilmatyynyradalla $0{,}40\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ ja törmää levossa olevaan samanlaiseen vaunuun. Vaunujen päissä on tarranauhat, joten vaunut jäävät kiinni toisiinsa. Kitka jätetään huomiotta.Millä nopeudella vaunut jatkavat yhdessä?

Ennuste 2: kimmoisa törmäys

Sama $0{,}40\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ ja törmää levossa olevaan samanlaiseen vaunuun. Nyt vaunujen välissä on jousipuskuri, joten törmäys on kimmoisa: jousi palauttaa puristuessaan varastoimansa energian, joten liike-energia on törmäyksen jälkeen yhtä suuri kuin ennen.Mitä vaunuille tapahtuu?
Valinnainen Ennuste 3: räjähdys
Kaksi vaunua on levossa vierekkäin, ja niiden välissä on puristettu jousi. Vaunun 1 massa on $0{,}40\,\text{kg}$ ja vaunun 2 massa $0{,}20\,\text{kg}$. Jousi laukeaa ja työntää vaunut erilleen.Miten vaunujen nopeudet suhtautuvat toisiinsa?

Tutki

Simulaatiossa kaksi vaunua törmää vaakasuoralla ilmatyynyradalla. Alhaalla pylväät näyttävät vaunujen liikemäärät ja energian: liike-energian, puskurin energian ja sisäenergian ennen törmäystä ja kullakin hetkellä.

Simulaatio

Käyttöohje

Valitse tilanne, vaunujen massat ja alkunopeudet. Positiivinen suunta on oikealle, joten vasemmalle liikkuvan vaunun nopeus on negatiivinen. Paina Käynnistä. Kun törmäys on ohi, lukemiin tulevat nopeudet $v_1'$ ja $v_2'$, kokonaisliikemäärä $p_\text{kok}'$ ja liike-energia $E_\text{k}'$ törmäyksen jälkeen. Energiapylväässä liike-energia $E_\text{k}$, puskurin tai jousen energia $E_\text{p}$ ja sisäenergia $E_\text{sis}$ ovat päällekkäin, ja katkoviiva näyttää alkuperäisen kokonaisenergian. Räjähdyksessä vaunut ovat aluksi levossa, joten nopeuksien liukusäätimet eivät ole käytössä. Alusta palauttaa vaunut lähtöpaikoilleen. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa liikettä muuttamatta lukemia.

Mallin oletukset

Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Rata on vaakasuora, ja kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta, joten vaunujen paino ja radan tukivoima kumoavat toisensa eikä ulkoisten voimien summa muuta liikemäärää. Törmäyksessä vaunujen puskurit puristuvat, ja puskurit työntävät vaunuja yhtä suurilla vastakkaissuuntaisilla voimilla. Törmäyksen aikana osa liike-energiasta on hetkellisesti puristuneen puskurin potentiaalienergiaa, joten vaunujen yhteenlaskettu liike-energia pienenee hetkeksi kimmoisassakin törmäyksessä. Jousipuskuri palauttaa kaiken puristumiseen kuluneen energian. Pehmeä puskuri ja tarranauha muuttavat osan liike-energiasta sisäenergiaksi, ja tarranauhalla vaunut jäävät kiinni toisiinsa; silloin puskuri jää kokoon puristuneeksi, ja sen energia muuttuu sisäenergiaksi. Räjähdyksessä vaunujen välissä on $4{,}0\,\text{cm}$ puristettu jousi, johon on varastoitunut $0{,}24\,\text{J}$ energiaa.

Laskennan selitys

Puskurien voima lasketaan puristumasta ja vaunujen suhteellisesta nopeudesta, ja vaunujen liike lasketaan Newtonin toisesta laista $0{,}2\,\text{ms}$:n aika-askelin. Liikemäärät $p = mv$ ja liike-energiat $E_\text{k} = \tfrac12 mv^2$ lasketaan vaunujen nopeuksista, ja $p_\text{kok}$ ja $E_\text{k}$ ovat kummankin vaunun arvojen summat. Puskurin energia on $E_\text{p} = \tfrac12 kd^2$, missä $d$ on puristuma ja $k = 300\,\text{N/m}$, ja sisäenergia $E_\text{sis}$ lasketaan puskurin vaimennuksen tekemästä työstä. Summa $E_\text{k} + E_\text{p} + E_\text{sis}$ pysyy koko ajan alkuperäisenä. Lukemat "Jälkeen" otetaan hetkellä, jolloin puskurit irtoavat toisistaan tai vaunut tarttuvat yhteen. Liikemäärän säilymistä ei ole kirjoitettu malliin, vaan se seuraa siitä, että puskurien voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset.

Koe 1: täysin kimmoton törmäys

Testaa ensimmäinen ennuste. Alkutila valitsee tarranauhat, vaunun 1 massaksi $0{,}40\,\text{kg}$ ja nopeudeksi $0{,}60\,\text{m/s}$ ja jättää vaunun 2 levolle. Ennen törmäystä kokonaisliikemäärä on silloin $0{,}240\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ ja liike-energia $0{,}072\,\text{J}$ (lukemat Ennen). Muuta vain vaunun 2 massaa. Paina joka kerta Käynnistä ja kirjaa mittaus, kun vaunut ovat tarttuneet yhteen.

Alkutila: tilanne: täysin kimmoton (tarranauha), massa $m_1$: $0{,}40\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1$ = $0{,}6\,\text{m/s}$, alkunopeus $v_2$ = $0\,\text{m/s}$, massa $m_2$: $0{,}40\,\text{kg}$. Vakiona: tilanne, massa $m_1$, alkunopeus $v_1$, alkunopeus $v_2$. Muutetaan: massa $m_2$.

Simulaation lukemat
massa $m_2$$v'$ $(\text{m/s})$$p_\text{kok}'$ (kg·m/s)$E_\text{k}'$ $(\text{J})$

Vertaa taulukon kokonaisliikemäärää ja liike-energiaa törmäyksen jälkeen niiden arvoihin ennen törmäystä, $0{,}240\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ ja $0{,}072\,\text{J}$. Mitä huomaat?

Koe 2: kimmoisa törmäys

Testaa toinen ennuste. Alkutila valitsee jousipuskurin, vaunun 1 massaksi $0{,}40\,\text{kg}$ ja nopeudeksi $0{,}60\,\text{m/s}$ ja jättää vaunun 2 levolle. Muuta vain vaunun 2 massaa, esimerkiksi arvoihin $0{,}20$, $0{,}40$ ja $0{,}60\,\text{kg}$. Kirjaa mittaus, kun törmäys on ohi.

Alkutila: tilanne: kimmoisa törmäys (jousi), massa $m_1$: $0{,}40\,\text{kg}$, alkunopeus $v_1$ = $0{,}6\,\text{m/s}$, alkunopeus $v_2$ = $0\,\text{m/s}$, massa $m_2$: $0{,}40\,\text{kg}$. Vakiona: tilanne, massa $m_1$, alkunopeus $v_1$, alkunopeus $v_2$. Muutetaan: massa $m_2$.

Simulaation lukemat
massa $m_2$$v_1'$ $(\text{m/s})$$v_2'$ $(\text{m/s})$$p_\text{kok}'$ (kg·m/s)$E_\text{k}'$ $(\text{J})$

Ennen törmäystä kokonaisliikemäärä on $0{,}240\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ ja liike-energia $0{,}072\,\text{J}$. Mitä taulukko kertoo kimmoisasta törmäyksestä?
Valinnainen Koe 3: räjähdys

Testaa kolmas ennuste. Alkutila valitsee räjähdyksen ja vaunun 1 massaksi $0{,}40\,\text{kg}$. Vaunut ovat aluksi levossa. Muuta vain vaunun 2 massaa ja kirjaa mittaus, kun vaunut ovat irronneet toisistaan.

Alkutila: tilanne: räjähdys (jousi laukeaa), massa $m_1$: $0{,}40\,\text{kg}$, massa $m_2$: $0{,}20\,\text{kg}$. Vakiona: tilanne, massa $m_1$. Muutetaan: massa $m_2$.

Simulaation lukemat
massa $m_2$$v_1'$ $(\text{m/s})$$v_2'$ $(\text{m/s})$$p_\text{kok}'$ (kg·m/s)

Johtopäätös

Selitä mittaustesi avulla, mikä säilyy kaikissa törmäyksissä ja mikä vain kimmoisassa. Selitä sitten Newtonin kolmannen lain avulla, miksi vaunun 1 menettämä liikemäärä on yhtä suuri kuin vaunun 2 saama liikemäärä.

Teoriatiivistelmä

Ydinajatus

Systeemi ja sen kokonaisliikemäärä

Luvussa Liikemäärä ja impulssi opit, että kappaleen liikemäärä on $\overline{p} = m\overline{v}$ ja että vakiosuuruisen kokonaisvoiman impulssi muuttaa sitä: $\Delta\overline{p} = \Sigma\overline{F}\,\Delta t$. Törmäyksessä on kuitenkin kaksi kappaletta, jotka vaikuttavat toisiinsa. Siksi tarkastellaan niitä yhdessä systeeminä. Systeemin kokonaisliikemäärä on sen kappaleiden liikemäärien vektorisumma, $\overline{p}_\text{kok} = \overline{p}_1 + \overline{p}_2$.

Systeemin kappaleiden toisiinsa kohdistamat voimat ovat sisäisiä voimia, esimerkiksi vaunujen puskurien voimat toisiinsa törmäyksessä. Systeemin ulkopuolelta tulevat voimat ovat ulkoisia voimia, esimerkiksi vaunujen paino, radan tukivoima ja kitka.

Miksi kokonaisliikemäärä säilyy

Kun vaunu 1 työntää vaunua 2 voimalla $\overline{F}$, Newtonin kolmannen lain mukaan vaunu 2 työntää vaunua 1 yhtä suurella vastakkaissuuntaisella voimalla $-\overline{F}$. Voimat alkavat ja loppuvat samalla hetkellä, joten ne vaikuttavat saman ajan $\Delta t$. Jos voima on vakio, vaunun 2 liikemäärä muuttuu impulssin $\overline{F}\,\Delta t$ verran ja vaunun 1 liikemäärä yhtä paljon vastakkaiseen suuntaan. Se, minkä toinen vaunu saa liikemäärää, on täsmälleen se, minkä toinen menettää. Kokonaisliikemäärä ei muutu. Sama pätee, vaikka voima muuttuisi törmäyksen aikana, koska voimat ovat joka hetki yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset.

$1$
$2$
$\overline{F}$
$-\overline{F}$
$\Delta t$
$\Delta\overline{p}_1 = -\overline{F}\,\Delta t$
$\Delta\overline{p}_2 = \overline{F}\,\Delta t$
$\Delta\overline{p}_1 + \Delta\overline{p}_2 = \overline{0}$

Päättely toimii vain, kun ulkoiset voimat eivät muuta liikemäärää. Vaakasuoralla ilmatyynyradalla paino ja tukivoima kumoavat toisensa, ja kitka on hyvin pieni. Törmäävät autot taas kokevat tien kitkan, mutta törmäys kestää vain sekunnin murto-osan. Puskurien voimat ovat silloin paljon suurempia kuin kitka, joten kitkan impulssi jää törmäyksen aikana merkityksettömän pieneksi. Tästä saadaan liikemäärän säilymislaki: kun systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa on nolla tai niiden impulssi on törmäyksen aikana merkityksettömän pieni, systeemin kokonaisliikemäärä säilyy.

Törmäysten lajit

Liikemäärä säilyy jokaisessa törmäyksessä, kun säilymislain ehto täyttyy. Liike-energia ei säily aina. Törmäys on kimmoisa, jos kappaleiden yhteinen liike-energia on törmäyksen jälkeen yhtä suuri kuin ennen sitä. Teräskuulat, biljardipallot ja jousipuskurilla varustetut vaunut törmäävät lähes kimmoisasti. Törmäys on kimmoton, jos osa liike-energiasta muuttuu muiksi energiamuodoiksi. Kappaleet muuttavat silloin muotoaan, ja liike-energiaa muuttuu niiden sisäenergiaksi ja ääneksi. Kun kappaleet jäävät kiinni toisiinsa ja jatkavat yhdessä, törmäys on täysin kimmoton, ja liike-energia pienenee eniten: suurin mahdollinen osa siitä muuttuu muiksi energiamuodoiksi.

$\text{ennen}$
$\text{jälkeen}$
$1$
$2$
$\overline{v}$
$\overline{p}$
$\overline{v}_2 = \overline{0}$
$1$
$2$
$\tfrac{1}{2}\overline{v}$
$\overline{p}$

Kuvassa samanmassaiset vaunut tarttuvat yhteen tarranauhalla. Kokonaisliikemäärä on sama ennen ja jälkeen, mutta nyt sama liikemäärä jakautuu kaksinkertaiselle massalle, joten yhteinen nopeus on puolet alkuperäisestä. Liike-energia $\tfrac12 mv^2$ ei säily: kaksinkertainen massa ja puolet nopeudesta antavat puolet alkuperäisestä liike-energiasta. Toinen puoli muuttuu tarranauhan ja vaunujen sisäenergiaksi.

Räjähdys

Räjähdyksessä levossa oleva tai yhdessä liikkuva systeemi hajoaa osiin sisäisten voimien vaikutuksesta: jousi laukeaa vaunujen välissä, luistelijat työntävät toisiaan tai ruuti työntää luotia ja kivääriä. Jos systeemi on aluksi levossa, sen kokonaisliikemäärä on nolla ja pysyy nollana. Kun levossa oleva systeemi hajoaa kahdeksi osaksi, osat saavat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset liikemäärät, ja kevyempi osa saa suuremman nopeuden. Siksi kivääri potkaisee taaksepäin, kun luoti lähtee eteenpäin. Jos osia on useampia, niiden liikemäärien vektorisumma on nolla, mutta yksittäisten osien liikemäärät voivat olla erisuuruisia. Liike-energia kasvaa räjähdyksessä, koska jousen, lihasten tai ruudin energiaa muuttuu liike-energiaksi.

Vastaus alun kysymykseen

Biljardipallot ovat yhtä raskaita, ja niiden törmäys on lähes kimmoisa. Kun lyöntipallon nopeus on $v$, liikemäärän säilymisestä seuraa, että pallojen nopeuksien summa pysyy samana: $v_1' + v_2' = v$. Liike-energian säilymisestä seuraa, että nopeuksien neliöiden summa pysyy samana: $v_1'^2 + v_2'^2 = v^2$. Korottamalla ensimmäinen ehto toiseen potenssiin ja vähentämällä toinen ehto saadaan $2 v_1' v_2' = 0$, joten toinen palloista on törmäyksen jälkeen levossa. Lyöntipallo ei voi kulkea toisen läpi, joten se pysähtyy, ja toinen pallo jatkaa nopeudella $v$. Todellisuudessa pallot myös pyörivät ja törmäys ei ole täysin kimmoisa, joten lyöntipallo voi jäädä hiukan liikkeeseen.

Newtonin kehto: rivi riippuvia teräskuulia, joista vasemmanpuoleinen on liikkeessä ja siksi epäterävä.
Newtonin kehdossa vasemmalta heilahtava kuula osuu paikallaan oleviin kuuliin. Liikkuva kuula näkyy kuvassa epäterävänä. Kuva: The Dean of Physics, CC BY-SA 4.0

Liikemäärän säilymislaki

Säilymislaki vektoreina ja yhdessä ulottuvuudessa

Kun systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa on nolla tai niiden impulssi on törmäyksen tai räjähdyksen aikana merkityksettömän pieni, kokonaisliikemäärä on sama ennen ja jälkeen:

$$\overline{p}_1 + \overline{p}_2 = \overline{p}_1' + \overline{p}_2'$$

missä $\overline{p}_1$ ja $\overline{p}_2$ ovat kappaleiden liikemäärät ennen ja $\overline{p}_1'$ ja $\overline{p}_2'$ niiden liikemäärät jälkeen ($\text{kg}\cdot\text{m/s}$).

Yksiulotteisessa törmäyksessä kaikki nopeudet ovat samalla suoralla. Valitaan positiivinen suunta, jolloin jokainen nopeus on etumerkillinen luku: vastakkaiseen suuntaan liikkuvan kappaleen nopeus on negatiivinen. Säilymislaki tulee muotoon

$$\begin{aligned} &m_1 v_1 + m_2 v_2 \\ \quad &= m_1 v_1' + m_2 v_2' \end{aligned}$$

missä $m_1$ ja $m_2$ ovat kappaleiden massat ($\text{kg}$), $v_1$ ja $v_2$ niiden nopeudet ennen ja $v_1'$ ja $v_2'$ nopeudet jälkeen ($\text{m/s}$).

Täysin kimmoton törmäys

Kun kappaleet jäävät kiinni toisiinsa, niillä on törmäyksen jälkeen yhteinen nopeus $v'$:

$$\begin{aligned} &m_1 v_1 + m_2 v_2 \\ \quad &= (m_1 + m_2)\,v' \end{aligned}$$

missä $v'$ on kappaleiden yhteinen nopeus törmäyksen jälkeen ($\text{m/s}$). Esimerkiksi kun $0{,}40\,\text{kg}$:n vaunu nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ tarttuu levossa olevaan samanlaiseen vaunuun, yhteinen nopeus on $0{,}30\,\text{m/s}$, ja liike-energia pienenee $0{,}072\,\text{J}$:sta $0{,}036\,\text{J}$:iin.

Kimmoisa törmäys

Kimmoisassa törmäyksessä säilyy liikemäärän lisäksi kappaleiden yhteinen liike-energia:

$$\begin{aligned} &E_{\text{k},1} + E_{\text{k},2} \\ \quad &= E_{\text{k},1}' + E_{\text{k},2}' \end{aligned}$$

missä $E_\text{k} = \tfrac12 mv^2$ on kunkin kappaleen liike-energia ennen ja $E_\text{k}'$ jälkeen ($\text{J}$). Kun tunnetaan toisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen, toinen saadaan liikemäärän säilymislaista, ja liike-energioita vertaamalla nähdään, oliko törmäys kimmoisa. Kun samanmassainen kappale osuu suoraan levossa olevaan kappaleeseen kimmoisasti, kappaleet vaihtavat nopeuksia.

$\text{kimmoisa: } E_\text{k}\ \text{säilyy}$
$\text{täysin kimmoton: } E_\text{k}\ \text{pienenee}$
$\text{räjähdys: } E_\text{k}\ \text{kasvaa}$
$p_\text{kok} = 0$
$\text{ennen}$
$\text{jälkeen}$

Kun ulkoiset voimat vaikuttavat, liikemäärän säilymislakia käytetään vain itse törmäyksen tai räjähdyksen yli, lyhyen ajan alusta loppuun. Ennen ja jälkeen ulkoiset voimat, kuten kitka tai paino, voivat muuttaa kappaleiden liikettä, ja silloin liikettä tarkastellaan muilla laeilla, esimerkiksi energiaperiaatteella.

Yleinen virhekäsitys

Moni ajattelee, että liike-energia säilyy törmäyksessä samalla tavalla kuin liikemäärä. Liikemäärä säilyy aina, kun ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni, mutta liike-energia säilyy vain kimmoisassa törmäyksessä. Jos yhteen tarttuvien vaunujen nopeus lasketaan liike-energian säilymisestä, tulos on liian suuri.

Toinen virhe on unohtaa etumerkit. Kun kappaleet liikkuvat toisiaan kohti, niiden liikemäärät ovat vastakkaissuuntaiset, ja toinen niistä on negatiivinen. Kolmas virhe on ajatella, että liikemäärä katoaa, kun lattialle pudonnut savipallo pysähtyy. Pallon liikemäärä siirtyy Maahan: pallo ja Maa muodostavat systeemin, jonka kokonaisliikemäärä säilyy, mutta Maan massa on niin suuri, ettei sen nopeuden muutosta huomaa.

Tiivistelmä

  • Systeemin kokonaisliikemäärä säilyy, kun ulkoisten voimien summa on nolla tai niiden impulssi on törmäyksen tai räjähdyksen aikana merkityksettömän pieni: $\overline{p}_1 + \overline{p}_2 = \overline{p}_1' + \overline{p}_2'$.
  • Säilyminen seuraa Newtonin kolmannesta laista: törmäyksen sisäiset voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset ja vaikuttavat saman ajan, joten kappaleiden liikemäärien muutokset kumoavat toisensa.
  • Yhdessä ulottuvuudessa valitaan positiivinen suunta, ja nopeudet ovat etumerkillisiä: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$.
  • Kimmoisassa törmäyksessä myös liike-energia säilyy. Kimmottomassa törmäyksessä osa liike-energiasta muuttuu sisäenergiaksi, ja täysin kimmottomassa kappaleet jatkavat yhdessä yhteisellä nopeudella.
  • Räjähdyksessä levossa olevan systeemin kokonaisliikemäärä pysyy nollana: kahdeksi osaksi hajotessa osat saavat yhtä suuret vastakkaissuuntaiset liikemäärät, ja liike-energia kasvaa.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi

Vertaa ennusteitasi simulaation lukemiin. Mikä yllätti eniten? Kirjoita omin sanoin, milloin törmäyksen voi ratkaista pelkällä liikemäärän säilymislailla ja milloin tarvitaan myös liike-energiaa.

    Muuttaisitko ennustettasi?

    Sovella

    Esimerkki

    Tehtävä

    Ratapihalla tavaravaunu A, jonka massa on $32\,000\,\text{kg}$, liikkuu nopeudella $1{,}5\,\text{m/s}$ ja saavuttaa samaan suuntaan nopeudella $0{,}50\,\text{m/s}$ liikkuvan vaunun B, jonka massa on $18\,000\,\text{kg}$. Vaunut kytkeytyvät yhteen ja jatkavat yhdessä. Kuinka suuri on vaunujen yhteinen nopeus heti kytkeytymisen jälkeen?

    Vaihe 1/7

    Tunnetut ja kysytty. $m_\text{A} = 32\,000\,\text{kg}$, $v_\text{A} = 1{,}5\,\text{m/s}$, $m_\text{B} = 18\,000\,\text{kg}$ ja $v_\text{B} = 0{,}50\,\text{m/s}$. Kysytään yhteistä nopeutta $v'$ heti kytkeytymisen jälkeen.

    Vaihe 2/7

    Periaate. Valitaan systeemiksi molemmat vaunut ja positiiviseksi suunnaksi vaunujen liikkeen suunta. Kytkeytyminen kestää hetken, ja sen aikana kytkinten voimat ovat sisäisiä voimia. Paino ja kiskojen tukivoima kumoavat toisensa, ja vierimisvastuksen impulssi on lyhyen kytkeytymisen aikana merkityksettömän pieni, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Vaunut jäävät kiinni toisiinsa, joten törmäys on täysin kimmoton.

    Vaihe 3/7

    Kaava ratkaistuna. Liikemäärä ennen on yhtä suuri kuin yhteisen kappaleen liikemäärä jälkeen:

    $$\begin{aligned} &m_\text{A} v_\text{A} + m_\text{B} v_\text{B} \\ \quad &= (m_\text{A} + m_\text{B})\,v' \\[6pt] v' &= \frac{m_\text{A} v_\text{A} + m_\text{B} v_\text{B}}{m_\text{A} + m_\text{B}} \end{aligned}$$

    Vaihe 4/7

    Yksikkömuunnokset. Ei tarvita: massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$.

    Vaihe 5/7

    Sijoitus. Lasketaan ensin liikemäärät ennen kytkeytymistä ja sitten yhteinen nopeus:

    $$\begin{aligned} &m_\text{A} v_\text{A} \\ &= 32\,000\,\text{kg} \cdot 1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ &= 48\,000\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[6pt] &m_\text{B} v_\text{B} \\ &= 18\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}50\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\ &= 9000\,\text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \\[6pt] &v' \\ &= \frac{48\,000 + 9000}{50\,000} \cdot \frac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{kg}} \\ &= 1{,}14\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}$$

    Vaihe 6/7

    Tulos. Vaunujen yhteinen nopeus on $v' \approx 1{,}1\,\text{m/s}$ vaunujen alkuperäiseen liikesuuntaan. Tulos ilmoitetaan kahdella merkitsevällä numerolla kuten nopeudet $1{,}5\,\text{m/s}$ ja $0{,}50\,\text{m/s}$.

    Vaihe 7/7

    Järkevyys. Yhteinen nopeus on vaunujen alkunopeuksien $0{,}50\,\text{m/s}$ ja $1{,}5\,\text{m/s}$ välissä ja lähempänä raskaamman vaunun A nopeutta, kuten pitää. Liike-energia pienenee $38{,}3\,\text{kJ}$:sta $32{,}5\,\text{kJ}$:iin eli noin $15\,\%$, mikä sopii täysin kimmottomaan törmäykseen: liike-energiaa muuttuu kytkimien ja puskurien sisäenergiaksi ja ääneksi.

    Valinnainen Etsi virhe
    Ilmatyynyradalla $0{,}50\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}40\,\text{m/s}$ oikealle ja $0{,}30\,\text{kg}$:n vaunu nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ vasemmalle. Vaunut törmäävät ja jäävät kiinni toisiinsa. Opiskelija laskee: $v' = \dfrac{0{,}50 \cdot 0{,}40 + 0{,}30 \cdot 0{,}60}{0{,}80}\,\text{m/s} \approx 0{,}48\,\text{m/s}$ oikealle. Missä on virhe?

    Sovella uuteen tilanteeseen

    Poika, jonka massa on $50\,\text{kg}$, seisoo levossa olevassa soutuveneessä, jonka massa on $120\,\text{kg}$. Hän hyppää veneestä laiturille vaakasuoralla nopeudella $2{,}4\,\text{m/s}$ laituriin (maahan) nähden. Veden vastus jätetään huomiotta hypyn lyhyen ponnistuksen ajalta.

    Millä nopeudella vene lähtee liikkeelle? Vastaa yksikössä $\text{m/s}$.

    m/s
    Vihje 1: ohjaava kysymys

    Valitse systeemiksi poika ja vene. Mikä on systeemin kokonaisliikemäärä ennen hyppyä?

    Vihje 2: mikä yhteys

    Ponnistuksessa poika ja vene työntävät toisiaan, joten kyse on räjähdyksestä: $0 = m_\text{poika} v_\text{poika} + m_\text{vene} v_\text{vene}$.

    Vihje 3: välivaihe

    Ratkaise

    $v_\text{vene}$$= -\dfrac{m_\text{poika} v_\text{poika}}{m_\text{vene}}$

    Miinusmerkki kertoo, että vene liikkuu vastakkaiseen suuntaan.

    Näytä ratkaisu

    Annettu

    pojan massa $m_\text{p} = 50\,\text{kg}$, veneen massa $m_\text{v} = 120\,\text{kg}$, pojan nopeus hypyn jälkeen laituriin nähden $v_\text{p}' = 2{,}4\,\text{m/s}$; alussa molemmat levossa

    Kysytty

    veneen nopeus $v_\text{v}'$ yksikössä $\text{m/s}$

    Periaate

    Valitaan systeemiksi poika ja vene ja positiiviseksi suunnaksi pojan hypyn suunta. Ponnistuksessa poika ja vene työntävät toisiaan yhtä suurilla vastakkaissuuntaisilla voimilla, jotka ovat sisäisiä voimia. Vaakasuunnassa ei vaikuta muita voimia kuin veden vastus, joka jätetään lyhyen ponnistuksen ajalta huomiotta, joten vaakasuuntainen kokonaisliikemäärä säilyy. Alussa se on nolla, joten tilanne on räjähdys.

    Kaava

    $0 = m_\text{p} v_\text{p}' + m_\text{v} v_\text{v}'$, joten

    $v_\text{v}'$$= -\dfrac{m_\text{p} v_\text{p}'}{m_\text{v}}$

    Muunnokset

    Massat ovat kilogrammoina ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

    Sijoitus

    $v_\text{v}'$$= -\dfrac{50 \cdot 2{,}4}{120} \cdot \dfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{kg}}$
    $= -1{,}0\,\text{m/s}$

    Vastaus

    $1{,}0\,\text{m/s}$

    Poispäin laiturista, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $2{,}4\,\text{m/s}$. Miinusmerkki kertoo, että vene liikkuu vastakkaiseen suuntaan kuin poika.

    Järkevyys

    Vene on $2{,}4$ kertaa niin raskas kuin poika, joten sen nopeus on $2{,}4$ kertaa pienempi: $2{,}4\,\text{m/s} : 2{,}4 = 1{,}0\,\text{m/s}$.

    Tarkista osaamisesi

    Exit ticket

    Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.

    1. Millä ehdolla kahden törmäävän kappaleen kokonaisliikemäärä säilyy? Miksi ehto täyttyy usein, vaikka kappaleisiin vaikuttaisi kitka?
      Vastaus

      Kokonaisliikemäärä säilyy, kun systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa on nolla tai niiden impulssi on törmäyksen aikana merkityksettömän pieni. Törmäys kestää hyvin lyhyen ajan, ja törmäysvoimat ovat silloin paljon suurempia kuin kitka, joten kitkan impulssi $F\,\Delta t$ jää pieneksi.

    2. Ilmakivääri on levossa, kun luoti ammutaan. Mikä on kiväärin ja luodin kokonaisliikemäärä heti laukauksen jälkeen, ja miksi kivääri liikkuu taaksepäin?
      Vastaus

      Kokonaisliikemäärä on nolla kuten ennen laukausta, koska laukauksen lyhyen ajan ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni ja vain sisäiset voimat muuttavat liikemääriä. Laukaus on räjähdys. Luoti saa liikemäärän eteenpäin, joten kivääri saa yhtä suuren liikemäärän taaksepäin. Kiväärin nopeus on pieni, koska sen massa on paljon suurempi kuin luodin.

    1. Käsite

    Savipallo putoaa lattialle ja jää siihen paikalleen. Juuri ennen osumaa pallolla oli liikemäärää alaspäin. Mihin pallon liikemäärä joutui?

    Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.

    2. Laskeminen

    Ilmatyynyradalla $0{,}60\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}50\,\text{m/s}$ oikealle ja $0{,}20\,\text{kg}$:n vaunu nopeudella $0{,}90\,\text{m/s}$ vasemmalle. Vaunut törmäävät ja jäävät kiinni toisiinsa. Kitka jätetään huomiotta.

    Kuinka suuri on vaunujen yhteinen nopeus törmäyksen jälkeen? Vastaa yksikössä $\text{m/s}$.

    m/s
    Vihje 1: ohjaava kysymys

    Valitse positiiviseksi suunnaksi oikea. Mikä on vasemmalle liikkuvan vaunun nopeuden etumerkki?

    Vihje 2: mikä yhteys

    Täysin kimmottomassa törmäyksessä $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v'$.

    Vihje 3: välivaihe

    Liikemäärä ennen on $0{,}60 \cdot 0{,}50 + 0{,}20 \cdot (-0{,}90)$ yksikössä $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.

    Näytä ratkaisu

    Annettu

    $m_1 = 0{,}60\,\text{kg}$, $v_1 = +0{,}50\,\text{m/s}$ (oikealle), $m_2 = 0{,}20\,\text{kg}$, $v_2 = -0{,}90\,\text{m/s}$ (vasemmalle); vaunut jäävät kiinni toisiinsa

    Kysytty

    yhteinen nopeus $v'$ yksikössä $\text{m/s}$

    Periaate

    Valitaan systeemiksi molemmat vaunut ja positiiviseksi suunnaksi oikea. Vaakasuoralla radalla paino ja tukivoima kumoavat toisensa ja kitka jätetään huomiotta, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Vaunut jäävät kiinni toisiinsa, joten törmäys on täysin kimmoton ja vaunuilla on lopuksi yhteinen nopeus.

    Kaava

    $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v'$, joten

    $v'$$= \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

    Muunnokset

    Massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

    Sijoitus

    $v'$$= \dfrac{0{,}60 \cdot 0{,}50 + 0{,}20 \cdot (-0{,}90)}{0{,}60 + 0{,}20}\,\text{m/s}$
    $= \dfrac{0{,}30 - 0{,}18}{0{,}80}\,\text{m/s}$
    $= 0{,}15\,\text{m/s}$

    Vastaus

    $0{,}15\,\text{m/s}$

    Oikealle, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

    Järkevyys

    Nopeus on positiivinen, koska oikealle liikkuvan vaunun liikemäärä $0{,}30\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ on suurempi kuin vasemmalle liikkuvan $0{,}18\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Yhteinen nopeus on pienempi kuin kummankaan vaunun alkunopeus, kuten pitää, kun liikemäärät osittain kumoavat toisensa.

    Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.

    3. Selitä

    Selitä liikemäärän ja liike-energian avulla, miksi biljardin lyöntipallo pysähtyy, kun se osuu suoraan levossa olevaan samanlaiseen palloon. Mitä tapahtuisi, jos pallot olisivat savea ja jäisivät kiinni toisiinsa?

    Kertaa luvun käsitteet

    Jos valitset Kertaa myöhemmin, kortti siirtyy kertauspakkaasi.

    Liikemäärän säilyminen
    Eristetyn systeemin kokonaisliikemäärä pysyy vuorovaikutuksessa muuttumattomana.
    Törmäys
    Lyhytkestoinen vuorovaikutus, jossa kappaleiden nopeudet ja liikemäärät voivat muuttua nopeasti.
    Kimmoisa törmäys
    Kokonaisliikemäärän lisäksi myös kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia säilyy.
    Kimmoton törmäys
    Kokonaisliikemäärä säilyy, mutta osa liike-energiasta muuttuu muihin energiamuotoihin.
    Täysin kimmoton törmäys
    Törmäyksen jälkeen kappaleet liikkuvat yhdessä samalla nopeudella.
    Yksiulotteinen törmäys
    Kappaleiden liike tapahtuu samalla suoralla, joten liikemäärän suunnat voidaan käsitellä etumerkeillä.

    Kaikki moduulin kortit →

    Tehtävät

    Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää

    Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

    1. 14-1Ydintehtävä

      Ilmatyynyradalla $0{,}40\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}50\,\text{m/s}$ oikealle ja $0{,}25\,\text{kg}$:n vaunu nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ vasemmalle. Kuinka suuri on vaunujen kokonaisliikemäärä, kun oikealle on positiivinen suunta? Ilmoita liikemäärä etumerkkeineen.

      kg·m/s
      Vastaus

      $0{,}050\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = 0{,}40\,\text{kg}$, $v_1 = +0{,}50\,\text{m/s}$ (oikealle), $m_2 = 0{,}25\,\text{kg}$, $v_2 = -0{,}60\,\text{m/s}$ (vasemmalle); oikealle on positiivinen suunta

      Kysytty

      kokonaisliikemäärä $p_\text{kok}$ etumerkkeineen yksikössä $\text{kg}\cdot\text{m/s}$

      Periaate

      Systeemin kokonaisliikemäärä on vaunujen liikemäärien vektorisumma. Yhdessä ulottuvuudessa se on etumerkillisten liikemäärien summa: vasemmalle liikkuvan vaunun nopeus ja liikemäärä ovat negatiivisia.

      Kaava

      $p_\text{kok} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $p_\text{kok}$$= (0{,}40 \cdot 0{,}50 + 0{,}25 \cdot (-0{,}60))\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
      $= (0{,}20 - 0{,}15)\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$
      $= 0{,}050\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$

      Vastaus

      $0{,}050\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$

      Eli oikealle, kaksi merkitsevää numeroa kuten massoissa ja nopeuksissa.

      Järkevyys

      Kokonaisliikemäärä on positiivinen, koska oikealle liikkuvan vaunun liikemäärä $0{,}20\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ on suurempi kuin vasemmalle liikkuvan $0{,}15\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Se on pienempi kuin kummankaan vaunun liikemäärä, koska liikemäärät ovat vastakkaissuuntaiset ja osittain kumoavat toisensa.

    2. 14-2Ydintehtävä

      Ilmatyynyradalla $0{,}50\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}80\,\text{m/s}$ ja törmää levossa olevaan $0{,}30\,\text{kg}$:n vaunuun. Vaunut jäävät kiinni toisiinsa. Kitka jätetään huomiotta. Millä nopeudella vaunut jatkavat yhdessä?

      m/s
      Vastaus

      $0{,}50\,\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = 0{,}50\,\text{kg}$, $v_1 = 0{,}80\,\text{m/s}$, $m_2 = 0{,}30\,\text{kg}$, $v_2 = 0$; vaunut jäävät kiinni toisiinsa

      Kysytty

      yhteinen nopeus $v'$ yksikössä $\text{m/s}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat vaunut ja positiiviseksi suunnaksi vaunun 1 liikesuunta. Ilmatyynyrata on vaakasuora, joten paino ja tukivoima kumoavat toisensa, ja kitka jätetään huomiotta. Kokonaisliikemäärä säilyy. Vaunut jatkavat yhdessä, joten törmäys on täysin kimmoton.

      Kaava

      $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v'$, ja $v_2 = 0$, joten $v' = \dfrac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v'$$= \dfrac{0{,}50\,\text{kg} \cdot 0{,}80\,\text{m/s}}{0{,}50\,\text{kg} + 0{,}30\,\text{kg}}$
      $= \dfrac{0{,}40\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}80\,\text{kg}}$
      $= 0{,}50\,\text{m/s}$

      Vastaus

      $0{,}50\,\text{m/s}$

      Vaunun 1 alkuperäiseen liikesuuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

      Järkevyys

      Yhteinen nopeus on pienempi kuin vaunun 1 alkunopeus, koska sama liikemäärä jakautuu suuremmalle massalle. Massa kasvaa suhteessa $0{,}80 : 0{,}50 = 1{,}6$, ja nopeus pienenee samassa suhteessa: $0{,}80\,\text{m/s} : 1{,}6 = 0{,}50\,\text{m/s}$.

    3. 14-3

      Kaksi luistelijaa seisoo levossa jäällä vastakkain ja työntää toisiaan. Luistelijoiden massat ovat $60\,\text{kg}$ ja $45\,\text{kg}$. Työnnön jälkeen kevyempi luistelija liukuu nopeudella $1{,}2\,\text{m/s}$. Jään kitka jätetään huomiotta työnnön ajalta.

      Millä nopeudella raskaampi luistelija liukuu?

      m/s
      Vastaus

      $0{,}90\,\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = 60\,\text{kg}$, $m_2 = 45\,\text{kg}$, kevyemmän luistelijan nopeus $v_2' = 1{,}2\,\text{m/s}$; alussa molemmat levossa

      Kysytty

      raskaamman luistelijan nopeus $v_1'$ yksikössä $\text{m/s}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat luistelijat ja positiiviseksi suunnaksi kevyemmän luistelijan liikesuunta. Luistelijat työntävät toisiaan sisäisillä voimilla, paino ja jään tukivoima kumoavat toisensa, ja kitka jätetään huomiotta. Kokonaisliikemäärä säilyy, ja se on alussa nolla, joten tilanne on räjähdys.

      Kaava

      $0 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$, joten $v_1' = -\dfrac{m_2 v_2'}{m_1}$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v_1'$$= -\dfrac{45\,\text{kg} \cdot 1{,}2\,\text{m/s}}{60\,\text{kg}}$
      $= -\dfrac{54\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{60\,\text{kg}}$
      $= -0{,}90\,\text{m/s}$

      Vastaus

      $0{,}90\,\text{m/s}$

      Vastakkaiseen suuntaan kuin kevyempi luistelija, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $1{,}2\,\text{m/s}$ ja massoissa.

      Järkevyys

      Raskaampi luistelija liikkuu hitaammin, kuten pitää: massojen suhde on $60 : 45 \approx 1{,}33$, ja nopeuksien suhde on käänteinen, $1{,}2 : 0{,}90 \approx 1{,}33$. Miinusmerkki kertoo, että luistelijat liikkuvat vastakkaisiin suuntiin.

    4. 14-4

      Ilmakiekkopöydällä kiekko A, jonka massa on $0{,}16\,\text{kg}$, liukuu nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$ ja törmää suoraan levossa olevaan kiekkoon B, jonka massa on $0{,}20\,\text{kg}$. Törmäyksen jälkeen kiekko A liukuu takaisin tulosuuntaansa nopeudella $0{,}44\,\text{m/s}$. Kitka jätetään huomiotta.

      Kuinka suuri on kiekon B nopeus törmäyksen jälkeen?

      m/s
      Vastaus

      $3{,}6\,\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_\text{A} = 0{,}16\,\text{kg}$, $v_\text{A} = +4{,}0\,\text{m/s}$, $m_\text{B} = 0{,}20\,\text{kg}$, $v_\text{B} = 0$, kiekon A nopeus jälkeen $v_\text{A}' = -0{,}44\,\text{m/s}$ (takaisin)

      Kysytty

      kiekon B nopeus $v_\text{B}'$ yksikössä $\text{m/s}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat kiekot ja positiiviseksi suunnaksi kiekon A alkuperäinen liikesuunta. Ilmakiekkopöydällä paino ja ilmatyynyn tukivoima kumoavat toisensa ja kitka jätetään huomiotta, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Takaisin liikkuvan kiekon A nopeus on negatiivinen.

      Kaava

      $m_\text{A} v_\text{A} + m_\text{B} v_\text{B}$$= m_\text{A} v_\text{A}' + m_\text{B} v_\text{B}'$

      ja $v_\text{B} = 0$, joten

      $v_\text{B}'$$= \dfrac{m_\text{A} v_\text{A} - m_\text{A} v_\text{A}'}{m_\text{B}}$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v_\text{B}'$$= \dfrac{0{,}16 \cdot 4{,}0 - 0{,}16 \cdot (-0{,}44)}{0{,}20}\,\text{m/s}$
      $= \dfrac{0{,}64 + 0{,}0704}{0{,}20}\,\text{m/s}$
      $= 3{,}552\,\text{m/s}$

      Vastaus

      $3{,}6\,\text{m/s}$

      Kiekon A alkuperäiseen liikesuuntaan, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa $4{,}0\,\text{m/s}$ ja $0{,}44\,\text{m/s}$.

      Järkevyys

      Kiekko B on raskaampi kuin A, joten sen nopeus jää pienemmäksi kuin A:n alkunopeus $4{,}0\,\text{m/s}$, ja kevyempi A kimpoaa takaisin. Liike-energiat: ennen $\tfrac12 \cdot 0{,}16 \cdot 4{,}0^2\,\text{J} = 1{,}28\,\text{J}$, jälkeen $(0{,}015 + 1{,}26)\,\text{J} \approx 1{,}28\,\text{J}$, joten törmäys on lähes kimmoisa, mikä sopii koviin kiekkoihin.

    5. 14-5

      Kaksi samanlaista $0{,}30\,\text{kg}$:n vaunua liikkuu ilmatyynyradalla toisiaan kohti: toinen nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ oikealle ja toinen nopeudella $0{,}20\,\text{m/s}$ vasemmalle. Vaunut törmäävät ja jäävät kiinni toisiinsa. Kitka jätetään huomiotta.

      Millä nopeudella vaunut jatkavat yhdessä?

      m/s
      Vastaus

      $0{,}20\,\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = m_2 = 0{,}30\,\text{kg}$, $v_1 = +0{,}60\,\text{m/s}$ (oikealle), $v_2 = -0{,}20\,\text{m/s}$ (vasemmalle); vaunut jäävät kiinni toisiinsa

      Kysytty

      yhteinen nopeus $v'$ yksikössä $\text{m/s}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat vaunut ja positiiviseksi suunnaksi oikea. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa ja kitka jätetään huomiotta, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Vaunut jatkavat yhdessä, joten törmäys on täysin kimmoton.

      Kaava

      $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v'$, joten

      $v'$$= \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v'$$= \dfrac{0{,}30 \cdot 0{,}60 + 0{,}30 \cdot (-0{,}20)}{0{,}60}\,\text{m/s}$
      $= \dfrac{0{,}18 - 0{,}06}{0{,}60}\,\text{m/s}$
      $= 0{,}20\,\text{m/s}$

      Vastaus

      $0{,}20\,\text{m/s}$

      Oikealle, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

      Järkevyys

      Samanmassaisilla vaunuilla yhteinen nopeus on alkunopeuksien keskiarvo: $(0{,}60 - 0{,}20)\,\text{m/s} : 2 = 0{,}20\,\text{m/s}$. Vaunut liikkuvat oikealle, koska oikealle liikkuneella vaunulla oli suurempi liikemäärä.

    Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää

    Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

    1. 14-6Ydintehtävä

      Ilmakivääristä ammutaan $0{,}50\,\text{g}$:n luoti nopeudella $180\,\text{m/s}$. Kiväärin massa on $3{,}2\,\text{kg}$, ja se on ennen laukausta levossa ampujan kevyesti tukemana. Ampujan tuki jätetään huomiotta laukauksen lyhyen ajan.

      Millä nopeudella kivääri lähtee liikkumaan taaksepäin?

      m/s
      Vastaus

      $0{,}028\,\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      luodin massa $m_\text{luoti} = 0{,}50\,\text{g}$, luodin nopeus $v_\text{luoti}' = 180\,\text{m/s}$, kiväärin massa $m_\text{kiv} = 3{,}2\,\text{kg}$; alussa molemmat levossa

      Kysytty

      kiväärin nopeus $v_\text{kiv}'$ yksikössä $\text{m/s}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi luoti ja kivääri ja positiiviseksi suunnaksi luodin lentosuunta. Laukauksessa paineilma työntää luotia eteenpäin ja kivääriä taaksepäin yhtä suurilla voimilla, jotka ovat sisäisiä voimia. Ampujan tuen impulssi jätetään laukauksen lyhyen ajan huomiotta, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Alussa se on nolla, joten laukaus on räjähdys.

      Kaava

      $0 = m_\text{luoti} v_\text{luoti}' + m_\text{kiv} v_\text{kiv}'$, joten

      $v_\text{kiv}'$$= -\dfrac{m_\text{luoti} v_\text{luoti}'}{m_\text{kiv}}$

      Muunnokset

      $m_\text{luoti}$$= 0{,}50\,\text{g}$
      $= 0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}$

      Sijoitus

      $v_\text{kiv}'$$= -\dfrac{0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot 180\,\text{m/s}}{3{,}2\,\text{kg}}$
      $= -\dfrac{0{,}090\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{3{,}2\,\text{kg}}$
      $= -0{,}028125\,\text{m/s}$

      Vastaus

      $0{,}028\,\text{m/s}$

      Eli noin $2{,}8\,\text{cm/s}$ taaksepäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten luodin massassa $0{,}50\,\text{g}$ ja kiväärin massassa $3{,}2\,\text{kg}$.

      Järkevyys

      Kivääri on $6400$ kertaa niin raskas kuin luoti, joten sen nopeus on $6400$ kertaa pienempi: $180\,\text{m/s} : 6400 \approx 0{,}028\,\text{m/s}$. Ilmakiväärin rekyyli on tosiaan tuskin tuntuva.

    2. 14-7Ydintehtävä

      Jääkiekkoilija, jonka massa on $85\,\text{kg}$, liukuu nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$ ja taklaa paikallaan seisovaa $75\,\text{kg}$:n pelaajaa. Pelaajat liukuvat törmäyksen jälkeen yhdessä. Jään kitka jätetään huomiotta törmäyksen ajalta.

      Kuinka paljon pelaajien yhteistä liike-energiaa muuttuu törmäyksessä muiksi energiamuodoiksi?

      J
      Vastaus

      $720\,\text{J}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = 85\,\text{kg}$, $v_1 = 6{,}0\,\text{m/s}$, $m_2 = 75\,\text{kg}$, $v_2 = 0$; pelaajat liukuvat törmäyksen jälkeen yhdessä

      Kysytty

      muiksi energiamuodoiksi muuttuva liike-energia $\Delta E$ yksikössä $\text{J}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat pelaajat. Paino ja jään tukivoima kumoavat toisensa ja kitka jätetään törmäyksen ajalta huomiotta, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Pelaajat jatkavat yhdessä, joten törmäys on täysin kimmoton, eikä liike-energia säily. Yhteinen nopeus saadaan liikemäärän säilymislaista, ja sen avulla lasketaan liike-energia jälkeen.

      Kaava

      $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\,v'$, joten $v' = \dfrac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$, ja $\Delta E = \tfrac12 m_1 v_1^2 - \tfrac12 (m_1 + m_2)\,v'^2$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v'$$= \dfrac{85\,\text{kg} \cdot 6{,}0\,\text{m/s}}{160\,\text{kg}}$
      $= 3{,}1875\,\text{m/s}$
      $\Delta E$$= \tfrac12 \cdot 85\,\text{kg} \cdot (6{,}0\,\text{m/s})^2 - \tfrac12 \cdot 160\,\text{kg} \cdot (3{,}1875\,\text{m/s})^2$
      $= 1530\,\text{J} - 812{,}8\,\text{J}$
      $= 717{,}2\,\text{J}$

      Vastaus

      $720\,\text{J}$

      Eli noin $0{,}72\,\text{kJ}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $6{,}0\,\text{m/s}$ ja massoissa.

      Järkevyys

      Liike-energiasta muuttuu muihin muotoihin $717 : 1530 \approx 47\,\%$, mikä on vähemmän kuin koko liike-energia, kuten pitää, koska pelaajat liikkuvat vielä. Osuus on

      $\tfrac{m_2}{m_1 + m_2}$$= \tfrac{75}{160}$
      $\approx 47\,\%$

      mikä vastaa täysin kimmotonta törmäystä levossa olevaan kappaleeseen. Energia muuttuu varusteiden ja kehon muodonmuutoksiksi, sisäenergiaksi ja ääneksi.

    3. 14-8

      Ilmatyynyradalla $0{,}20\,\text{kg}$:n vaunu liikkuu nopeudella $0{,}60\,\text{m/s}$ ja törmää levossa olevaan $0{,}40\,\text{kg}$:n vaunuun. Törmäyksen jälkeen kevyempi vaunu liikkuu takaisin tulosuuntaansa nopeudella $0{,}10\,\text{m/s}$. Kitka jätetään huomiotta.

      Kuinka monta prosenttia vaunujen alkuperäisestä liike-energiasta on jäljellä törmäyksen jälkeen?

      %
      Vastaus

      $71\,\%$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = 0{,}20\,\text{kg}$, $v_1 = +0{,}60\,\text{m/s}$, $m_2 = 0{,}40\,\text{kg}$, $v_2 = 0$, kevyemmän vaunun nopeus jälkeen $v_1' = -0{,}10\,\text{m/s}$ (takaisin)

      Kysytty

      liike-energian jäljellä oleva osuus prosentteina

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat vaunut ja positiiviseksi suunnaksi kevyemmän vaunun alkuperäinen liikesuunta. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa ja kitka jätetään huomiotta, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Siitä saadaan raskaamman vaunun nopeus, ja sitten verrataan liike-energioita ennen ja jälkeen. Liike-energia ei välttämättä säily, joten sitä ei voi käyttää yhtälönä.

      Kaava

      $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$, joten

      $v_2'$$= \dfrac{m_1 v_1 - m_1 v_1'}{m_2}$

      ja osuus on $\dfrac{\tfrac12 m_1 v_1'^2 + \tfrac12 m_2 v_2'^2}{\tfrac12 m_1 v_1^2} \cdot 100\,\%$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v_2'$$= \dfrac{0{,}20 \cdot 0{,}60 - 0{,}20 \cdot (-0{,}10)}{0{,}40}\,\text{m/s}$
      $= 0{,}35\,\text{m/s}$

      liike-energia ennen $\tfrac12 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}60^2\,\text{J} = 0{,}036\,\text{J}$ ja jälkeen

      $(\tfrac12 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}10^2 + \tfrac12 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}35^2)\,\text{J}$
      $= 0{,}0255\,\text{J}$

      joten osuus on $0{,}0255 : 0{,}036 \cdot 100\,\% = 70{,}8\,\%$

      Vastaus

      $71\,\%$

      Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa ja massoissa.

      Järkevyys

      Osuus on alle $100\,\%$, joten törmäys on kimmoton, mutta vaunut erkanevat toisistaan, joten se ei ole täysin kimmoton. Täysin kimmottomassa törmäyksessä jäljelle jäisi vain $\tfrac{m_1}{m_1 + m_2} = 33\,\%$, joten tulos on näiden ääritapausten välissä, kuten pitää.

    4. 14-9

      Ratapihalla $30\,000\,\text{kg}$:n tavaravaunu liikkuu nopeudella $1{,}8\,\text{m/s}$ ja törmää levossa olevaan vaunuun. Vaunut kytkeytyvät yhteen ja jatkavat yhdessä nopeudella $1{,}2\,\text{m/s}$. Vierimisvastus jätetään huomiotta kytkeytymisen ajalta.

      Kuinka suuri on levossa olleen vaunun massa?

      kg
      Vastaus

      $15\,000\,\text{kg}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      $m_1 = 30\,000\,\text{kg}$, $v_1 = 1{,}8\,\text{m/s}$, $v_2 = 0$, yhteinen nopeus $v' = 1{,}2\,\text{m/s}$

      Kysytty

      levossa olleen vaunun massa $m_2$ yksikössä $\text{kg}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi molemmat vaunut ja positiiviseksi suunnaksi liikkuvan vaunun suunta. Paino ja kiskojen tukivoima kumoavat toisensa, ja vierimisvastuksen impulssi on lyhyen kytkeytymisen aikana merkityksettömän pieni, joten kokonaisliikemäärä säilyy. Vaunut jatkavat yhdessä, joten törmäys on täysin kimmoton.

      Kaava

      $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\,v'$, joten $m_2 = \dfrac{m_1 (v_1 - v')}{v'}$

      Muunnokset

      Massa on kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $m_2$$= \dfrac{30\,000\,\text{kg} \cdot (1{,}8 - 1{,}2)\,\text{m/s}}{1{,}2\,\text{m/s}}$
      $= \dfrac{30\,000\,\text{kg} \cdot 0{,}6}{1{,}2}$
      $= 15\,000\,\text{kg}$

      Vastaus

      $15\,000\,\text{kg}$

      Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeuksissa $1{,}8\,\text{m/s}$ ja $1{,}2\,\text{m/s}$.

      Järkevyys

      Nopeus pieneni suhteessa $1{,}8 : 1{,}2 = 1{,}5$, joten kokonaismassan on oltava $1{,}5$ kertaa liikkuneen vaunun massa: $45\,000\,\text{kg}$. Toisen vaunun massa on siis $45\,000\,\text{kg} - 30\,000\,\text{kg} = 15\,000\,\text{kg}$, mikä on tavallinen tavaravaunun massa.

    Taso 3 · haastava 3 tehtävää

    Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

    1. 14-10

      Luodin nopeutta mitataan ballistisella heilurilla: $2{,}0\,\text{kg}$:n puupalikka riippuu levossa pitkän narun varassa, ja $10\,\text{g}$:n luoti ammutaan vaakasuoraan nopeudella $400\,\text{m/s}$ palikkaan, johon se jää.

      Luoti pysähtyy palikkaan niin nopeasti, ettei palikka ehdi liikkua sinä aikana. Sen jälkeen palikka ja luoti heilahtavat yhdessä ylös. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

      Kuinka korkealle palikka nousee alimmasta kohdastaan? Vastaa senttimetreinä.

      cm
      Vastaus

      $20\,\text{cm}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      luodin massa $m = 10\,\text{g}$, luodin nopeus $v = 400\,\text{m/s}$, palikan massa $M = 2{,}0\,\text{kg}$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$; palikka aluksi levossa

      Kysytty

      nousukorkeus $h$ yksikössä $\text{cm}$

      Periaate

      Tehtävässä on kaksi vaihetta. (1) Luoti jää palikkaan: valitaan systeemiksi luoti ja palikka. Palikka ei ehdi liikkua törmäyksen aikana, joten naru pysyy pystysuorana ja narun voima ja paino ovat pystysuoria. Vaakasuunnassa ulkoiset voimat eivät muuta liikemäärää, joten vaakasuora liikemäärä säilyy, ja törmäys on täysin kimmoton. (2) Heilahdus: palikkaan ja luotiin tekee työtä vain paino, koska narun voima on kohtisuorassa liikettä vastaan ja ilmanvastus jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Liike-energiaa ei voi käyttää törmäyksen yli, koska törmäys on kimmoton.

      Kaava

      $mv = (m + M)\,v'$, joten $v' = \dfrac{mv}{m + M}$, ja $\tfrac12 (m + M)\,v'^2 = (m + M)\,gh$, joten $h = \dfrac{v'^2}{2 \cdot g}$

      Muunnokset

      $m = 10\,\text{g} = 0{,}010\,\text{kg}$, ja lopuksi $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

      Sijoitus

      $v'$$= \dfrac{0{,}010\,\text{kg} \cdot 400\,\text{m/s}}{2{,}010\,\text{kg}}$
      $= 1{,}990\,\text{m/s}$
      $h$$= \dfrac{(1{,}990\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
      $= 0{,}2019\,\text{m}$
      $= 20{,}19\,\text{cm}$

      Vastaus

      $20\,\text{cm}$

      Kaksi merkitsevää numeroa kuten luodin massassa $10\,\text{g}$ ja palikan massassa $2{,}0\,\text{kg}$.

      Järkevyys

      Palikan nopeus on noin $\tfrac{1}{200}$ luodin nopeudesta, koska massa on noin $200$-kertainen. Liike-energiaa jää vain $\tfrac{1}{201}$ luodin alkuperäisestä $800\,\text{J}$:sta, noin $4\,\text{J}$, ja se riittää nostamaan $2\,\text{kg}$:n palikkaa noin $\tfrac{4\,\text{J}}{20\,\text{N}} = 0{,}2\,\text{m}$. Muu energia muuttui puun ja luodin sisäenergiaksi.

    2. 14-11

      Ilotulitusraketti, jonka massa on $0{,}90\,\text{kg}$, nousee suoraan ylöspäin nopeudella $12\,\text{m/s}$, kun se räjähtää kahdeksi kappaleeksi. $0{,}30\,\text{kg}$:n kappale jatkaa suoraan ylöspäin nopeudella $40\,\text{m/s}$, ja toinen kappale liikkuu pystysuoraan.

      Painon ja ilmanvastuksen impulssi jätetään huomiotta räjähdyksen lyhyen ajan.

      Mikä on toisen kappaleen nopeus heti räjähdyksen jälkeen? Ilmoita nopeus etumerkkeineen, kun ylöspäin on positiivinen suunta.

      m/s
      Vastaus

      $-2{,}0\,\text{m/s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      raketin massa $M = 0{,}90\,\text{kg}$, nopeus $v = +12\,\text{m/s}$ (ylös), kappaleen 1 massa $m_1 = 0{,}30\,\text{kg}$ ja nopeus $v_1' = +40\,\text{m/s}$, kappaleen 2 massa $m_2 = 0{,}90\,\text{kg} - 0{,}30\,\text{kg} = 0{,}60\,\text{kg}$; ylöspäin on positiivinen suunta

      Kysytty

      kappaleen 2 nopeus $v_2'$ etumerkkeineen yksikössä $\text{m/s}$

      Periaate

      Valitaan systeemiksi raketti ja sen kappaleet. Räjähdyksen voimat ovat sisäisiä ja paljon suurempia kuin paino ja ilmanvastus, ja räjähdys kestää hyvin lyhyen ajan, joten ulkoisten voimien impulssi on merkityksettömän pieni ja kokonaisliikemäärä säilyy. Systeemi liikkuu ennen räjähdystä, joten kokonaisliikemäärä ei ole nolla vaan $Mv$.

      Kaava

      $Mv = m_1 v_1' + m_2 v_2'$, joten $v_2' = \dfrac{Mv - m_1 v_1'}{m_2}$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina ja nopeudet yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v_2'$$= \dfrac{0{,}90 \cdot 12 - 0{,}30 \cdot 40}{0{,}60}\,\text{m/s}$
      $= \dfrac{10{,}8 - 12{,}0}{0{,}60}\,\text{m/s}$
      $= -2{,}0\,\text{m/s}$

      Vastaus

      $-2{,}0\,\text{m/s}$

      Eli $2{,}0\,\text{m/s}$ alaspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.

      Järkevyys

      Ylös lentävän kappaleen liikemäärä $12{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ on suurempi kuin koko raketin liikemäärä $10{,}8\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$, joten toisen kappaleen liikemäärän on oltava alaspäin, $-1{,}2\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Tarkistus: $0{,}30 \cdot 40 + 0{,}60 \cdot (-2{,}0) = 10{,}8$, sama kuin ennen räjähdystä.

    3. 14-12

      Astronautti on avaruuskävelyllä levossa avaruusaseman suhteen $12{,}0\,\text{m}$:n päässä asemasta, kun hänen turvaköytensä irtoaa. Astronautin massa avaruuspukuineen on $120\,\text{kg}$. Hän heittää $3{,}0\,\text{kg}$:n työkalun poispäin asemasta nopeudella $4{,}0\,\text{m/s}$ aseman suhteen.

      Kuinka kauan kestää, että astronautti ajelehtii takaisin asemalle?

      s
      Vastaus

      $120\,\text{s}$

      Näytä ratkaisu

      Annettu

      etäisyys $s = 12{,}0\,\text{m}$, astronautin massa pukuineen $M = 120\,\text{kg}$, työkalun massa $m = 3{,}0\,\text{kg}$ ja nopeus $v_\text{t}' = 4{,}0\,\text{m/s}$ poispäin asemasta; alussa molemmat levossa aseman suhteen

      Kysytty

      aika $t$, jossa astronautti palaa asemalle, yksikössä $\text{s}$

      Periaate

      Tehtävässä on kaksi vaihetta. (1) Heitto: valitaan systeemiksi astronautti ja työkalu ja positiiviseksi suunnaksi suunta asemaa kohti. Painovoima vaikuttaa sekä astronauttiin että työkaluun, mutta ne ovat samassa vapaassa pudotuksessa (kiertoradalla) kuin asema, joten painovoima ei muuta niiden liikettä aseman suhteen eikä heiton aikana ole muita ulkoisia voimia aseman suhteen. Kokonaisliikemäärä aseman suhteen säilyy, ja se on alussa nolla: heitto on räjähdys. Astronautti saa yhtä suuren liikemäärän kuin työkalu, vastakkaiseen suuntaan eli kohti asemaa. (2) Heiton jälkeen astronauttiin ei vaikuta muita voimia kuin painovoima, joka on yhteinen vapaa pudotus aseman kanssa, joten hän liikkuu tasaisella nopeudella.

      Kaava

      $0 = M v_\text{a}' + m v_\text{t}'$, missä $v_\text{t}' = -4{,}0\,\text{m/s}$, joten

      $v_\text{a}'$$= -\dfrac{m v_\text{t}'}{M}$

      ja tasaisessa liikkeessä $t = \dfrac{s}{v_\text{a}'}$

      Muunnokset

      Massat ovat kilogrammoina, matka metreinä ja nopeus yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.

      Sijoitus

      $v_\text{a}'$$= -\dfrac{3{,}0\,\text{kg} \cdot (-4{,}0\,\text{m/s})}{120\,\text{kg}}$
      $= 0{,}10\,\text{m/s}$
      $t$$= \dfrac{12{,}0\,\text{m}}{0{,}10\,\text{m/s}}$
      $= 120\,\text{s}$

      Vastaus

      $120\,\text{s}$

      Eli noin $2{,}0\,\text{min}$, kaksi merkitsevää numeroa kuten työkalun massassa ja nopeudessa.

      Järkevyys

      Astronautti on $40$ kertaa niin raskas kuin työkalu, joten hänen nopeutensa on $40$ kertaa pienempi: $4{,}0\,\text{m/s} : 40 = 0{,}10\,\text{m/s}$. Hitaalla vauhdilla $12\,\text{m}$:n matka kestää noin kaksi minuuttia, mikä on uskottavaa. Mitä raskaampi ja nopeampi heitetty esine, sitä nopeammin astronautti palaa.

    Valokuvat