Liikenneturvallisuus: jarrutus, turvavyö ja turvatyyny
Miksi $100\,\text{km/h}$:n nopeudella ajavan auton pysähtymismatka on lähes kolminkertainen $50\,\text{km/h}$:n nopeuteen verrattuna, ja miksi turvavyö suojaa, kun pysähtyminen ei ehdi onnistua?
Pohjatiedot
- Siirtymä on $(t,v)$-kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-alaluku Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike
- Kitka vastustaa liukumista, ja se on enintään kitkakertoimen ja tukivoiman tuloluku Paino, kitka ja kalteva taso
- Liikemäärän muutos on impulssi: $\Delta\overline{p} = \overline{F}\,\Delta t$luku Liikemäärä ja impulssi
Ydinpolku: etene vaiheiden mukaan. Valinnainen-merkityt tehtävät tarjoavat lisäharjoittelua. Valinnaisia tehtäviä 6.
Pohdinta
Autokoulussa opetetaan, että pienikin nopeuden lisäys pidentää pysähtymismatkaa paljon ja että turvavyö kiinnitetään lyhyelläkin matkalla. Onnettomuustietoinstituutin mukaan vuosina 2017–2021 tutkituissa kuolemaan johtaneissa onnettomuuksissa kuoli henkilö- ja pakettiautoissa $198$ ihmistä ilman turvavyötä. Tutkijalautakuntien arvion mukaan $114$ heistä olisi voinut selvitä, jos vyö olisi ollut kiinni.
Miksi pysähtymismatka kasvaa nopeuden mukana niin jyrkästi, ja miten turvavyö voi ratkaista, selviääkö ihminen törmäyksestä?
Valinnainen Kertaa: impulssi
Ennusta
Tee ennusteet ennen tutkimista 3 kysymystä
Ennuste 1: kaksinkertainen nopeus
Ennuste 2: kymmenen kilometriä tunnissa lisää
Ennuste 3: miksi turvavyö suojaa?
Tutki
Simulaatiossa kuljettaja huomaa vaaran katkoviivan kohdalla, reagoi ja jarruttaa. Ylhäällä tie ja matkat mittakaavassa, alhaalla $(t,v)$-kuvaaja, jonka värjätty pinta-ala on kuljettu matka.
Simulaatio
Käyttöohje
Valitse ajonopeus, reaktioaika, keli ja se, seisooko edessä pysähtynyt auto. Paina Käynnistä: auto kulkee reaktioajan tasaisella nopeudella ja jarruttaa sitten pysähdyksiin tai törmää edessä olevaan autoon. Tauko pysäyttää ja Jatka jatkaa. Kun ajo on päättynyt, lukemiin tulevat reaktiomatka $s_\text{r}$, jarrutusmatka $s_\text{j}$, pysähtymismatka $s_\text{p}$ ja pysähtymisaika $t_\text{p}$ tai törmäysnopeus. Säädön muuttaminen tai Alusta palauttaa auton katkoviivalle. Nopeus hidastaa tai nopeuttaa vain esitystä, ei lukemia.
Mallin oletukset
Arvot ovat simulaation laskemia mallin arvoja. Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella. Sen jälkeen se hidastuu vakiohidastuvuudella, kunnes pysähtyy: tie on vaakasuora, ilmanvastus jätetään huomiotta ja jarrut käyttävät koko pidon. Kuivan asfaltin hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$ ja reaktioaika $1{,}0\,\text{s}$ ovat Liikenneturvan törmäysnopeuslaskurin oletuksia. Märän asfaltin $6{,}0\,\text{m/s}^2$, lumisen tien $3{,}0\,\text{m/s}^2$ ja jäisen tien $1{,}5\,\text{m/s}^2$ ovat pyöristettyjä esimerkkiarvoja: todellinen pito riippuu renkaista, lämpötilasta ja pinnasta. Tien matkat ovat mittakaavassa, autot eivät. Edessä olevan auton takapuskuri on $25\,\text{m}$:n tai $50\,\text{m}$:n päässä katkoviivasta.
Laskennan selitys
Nopeus muunnetaan: $v_0\,(\text{m/s}) = v_0\,(\text{km/h}) : 3{,}6$. Reaktiomatka on $s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$. Jarrutuksen alusta kuluneena aikana $\tau$ nopeus on $v = v_0 - a\tau$ ja kuljettu matka $(t,v)$-kuvaajan pinta-ala. Auto pysähtyy, kun $\tau = \dfrac{v_0}{a}$, ja jarrutusmatka on $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$. Jos edessä oleva auto on lähempänä kuin pysähtymismatka, simulaatio laskee nopeuden sillä hetkellä, kun kuljettu matka on yhtä suuri kuin sen etäisyys.
Koe 1: nopeus ja pysähtymismatka
Testaa ennuste 1. Alkutila valitsee reaktioajan $1{,}0\,\text{s}$, kuivan tien eikä estettä. Muuta vain ajonopeutta. Paina Käynnistä ja kirjaa mittaus, kun auto on pysähtynyt. Kokeile ainakin nopeuksia $50\,\text{km/h}$ ja $100\,\text{km/h}$, ja lisäksi esimerkiksi $30\,\text{km/h}$ ja $60\,\text{km/h}$.
Alkutila: ajonopeus $v_0$: $50\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r}$: $1{,}0\,\text{s}$, keli: kuiva asfaltti, edessä: ei estettä. Vakiona: reaktioaika $t_\text{r}$, keli, edessä. Muutetaan: ajonopeus $v_0$.
| ajonopeus $v_0$ | $s_\text{r}$ $(\text{m})$ | $s_\text{j}$ $(\text{m})$ | $s_\text{p}$ $(\text{m})$ |
|---|
Koe 2: pysähtyykö auto ajoissa?
Testaa ennuste 2. Alkutila valitsee reaktioajan $1{,}0\,\text{s}$, kuivan tien ja pysähtyneen auton $25\,\text{m}$:n päähän. Muuta vain ajonopeutta. Aja ensin $50\,\text{km/h}$ ja sitten $60\,\text{km/h}$, ja kirjaa kumpikin ajo. Kokeile myös $40\,\text{km/h}$ ja $80\,\text{km/h}$.
Alkutila: ajonopeus $v_0$: $50\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r}$: $1{,}0\,\text{s}$, keli: kuiva asfaltti, edessä: pysähtynyt auto $25\,\text{m}$ päässä. Vakiona: reaktioaika $t_\text{r}$, keli, edessä. Muutetaan: ajonopeus $v_0$.
| ajonopeus $v_0$ | törmäysnopeus $(\text{km/h})$ |
|---|
Valinnainen Koe 3: keli
Tutki kelin vaikutusta. Alkutila valitsee nopeuden $80\,\text{km/h}$, reaktioajan $1{,}0\,\text{s}$ eikä estettä. Muuta vain keliä ja kirjaa jokainen ajo. Kuinka monikertainen jarrutusmatka on jäisellä tiellä kuivaan tiehen verrattuna?
Alkutila: ajonopeus $v_0$: $80\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r}$: $1{,}0\,\text{s}$, keli: kuiva asfaltti, edessä: ei estettä. Vakiona: ajonopeus $v_0$, reaktioaika $t_\text{r}$, edessä. Muutetaan: keli.
| keli | $a$ $(\text{m/s}^2)$ | $s_\text{j}$ $(\text{m})$ | $s_\text{p}$ $(\text{m})$ |
|---|
Törmäys vyön kanssa ja ilman
Keksitty esimerkkiaineisto
Taulukossa on pyöristetyt esimerkkiarvot $75\,\text{kg}$:n matkustajalle nokkakolarissa, jossa auto törmää $50\,\text{km/h}$:n nopeudella ja pysähtyy. Vyöhön kiinnitetty matkustaja hidastuu auton rypistyvän keulan mukana. Ilman vyötä matkustaja jatkaa liikettään, kunnes osuu kojelautaan, ja pysähtyy siihen. Taulukossa $\Delta t$ on aika, jossa matkustaja pysähtyy.
| Tilanne | $v$ ennen | $v$ jälkeen | $\Delta t$ |
|---|---|---|---|
| vyö ja turvatyyny | $50\,\text{km/h}$ | $0$ | $0{,}10\,\text{s}$ |
| ilman vyötä | $50\,\text{km/h}$ | $0$ | $0{,}010\,\text{s}$ |
Valinnainen Mitä tilastot kertovat turvavyöstä?
Tilastoaineisto · Onnettomuustietoinstituutti (OTI): OTI-Turvavyöraportti 2023, tieliikenneonnettomuuksien tutkijalautakuntien tutkimat kuolemaan johtaneet onnettomuudet 2017–2021; Liikenneturva: turvavyön käytön seuranta 2024 (Taloustaito 2025).
Tieliikenneonnettomuuksien tutkijalautakunnat tutkivat jokaisen kuolemaan johtaneen onnettomuuden. Taulukossa ovat henkilö- ja pakettiautoissa kuolleet vuosina 2017–2021 sen mukaan, oliko turvavyö kiinni. Liikenneturvan seurannassa vuonna 2024 etupenkillä istuvista vyötä käytti taajamien ulkopuolella $98\,\%$ ja taajamissa $97\,\%$.
| Kuolleet 2017–2021 | Lukumäärä |
|---|---|
| turvavyö kiinni | $278$ |
| ilman turvavyötä | $198$ |
Johtopäätös
Selitä omien mittaustesi avulla, miten pysähtymismatka riippuu nopeudesta ja miksi $10\,\text{km/h}$ suurempi nopeus voi muuttaa pysähtymisen törmäykseksi, jonka nopeus on yllättävän suuri.
Mallivastaus
Kokeessa 1 reaktiomatka kasvoi nopeuden mukana suoraan verrannollisesti, mallin arvoissa $13{,}9\,\text{m}$:stä $27{,}8\,\text{m}$:iin, kun nopeus kasvoi $50\,\text{km/h}$:sta $100\,\text{km/h}$:iin. Jarrutusmatka kasvoi $10{,}7\,\text{m}$:stä $42{,}9\,\text{m}$:iin eli nelinkertaiseksi, koska kaksinkertaisen nopeuden poistaminen kestää kaksi kertaa kauemmin ja auto liikkuu sen ajan kaksi kertaa nopeammin. Pysähtymismatka kasvoi $24{,}6\,\text{m}$:stä $70{,}6\,\text{m}$:iin. Kokeessa 2 auto pysähtyi $50\,\text{km/h}$:n nopeudesta ennen $25\,\text{m}$:n päässä olevaa autoa, mutta $60\,\text{km/h}$:n nopeudesta reaktiomatka oli jo $16{,}7\,\text{m}$, ja jarrutukseen jäi noin $8\,\text{m}$. Auto törmäsi noin $41\,\text{km/h}$:n nopeudella.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Teoriatiivistelmä
Ydinajatus
Pysähtyminen alkaa reaktiosta
Kun kuljettaja huomaa vaaran, auto ei ala hidastua heti. Kuljettajan on ensin havaittava vaara, päätettävä jarruttaa ja siirrettävä jalka jarrupolkimelle. Tähän kuluu reaktioaika $t_\text{r}$, tavallisesti noin sekunti. Esimerkiksi Liikenneturvan törmäysnopeuslaskuri olettaa reaktioajaksi $1\,\text{s}$. Väsymys, alkoholi ja puhelimen vilkaisu pidentävät reaktioaikaa. Reaktioajan auto liikkuu yhä alkuperäisellä nopeudellaan ja kulkee reaktiomatkan $s_\text{r}$. Vasta sitten jarrut alkavat hidastaa autoa, ja auto kulkee jarrutusmatkan $s_\text{j}$ ennen kuin se pysähtyy. Reaktiomatka ja jarrutusmatka ovat yhteensä pysähtymismatka $s_\text{p}$.
Tie pysäyttää auton kitkalla
Jarrut hidastavat pyörien pyörimistä, mutta autoa hidastaa tie. Vaakasuoralla tiellä renkaiden ja tien välinen kitka on ainoa vaakasuora voima, kun ilmanvastus jätetään huomiotta. Kitka osoittaa taaksepäin, joten Newtonin toisen lain mukaan myös kiihtyvyys osoittaa taaksepäin ja auto hidastuu. Kiihtyvyyden suuruutta sanotaan jarrutuksessa hidastuvuudeksi $a$.
Kitkalla on yläraja, joka riippuu renkaiden ja tien pinnasta. Kuivalla asfaltilla hidastuvuus voi olla noin $9\,\text{m/s}^2$, ja tätä arvoa käyttää myös Liikenneturvan laskuri. Märällä, lumisella ja jäisellä tiellä kitka ja siksi hidastuvuus ovat pienempiä, jäällä vain murto-osa kuivan tien arvosta. Lukkiutumattomat jarrut (ABS) estävät pyöriä lukkiutumasta. Pyörivän renkaan pinta ei liu'u tien suhteen, joten renkaaseen vaikuttaa lepokitka, joka voi olla suurempi kuin liukuvan renkaan liikekitka, ja auto pysyy ohjattavana.
Nopeus kasvattaa jarrutusmatkaa jyrkästi
Reaktiomatka on suoraan verrannollinen nopeuteen: kaksinkertaisella nopeudella auto kulkee reaktioajassa kaksinkertaisen matkan. Jarrutusmatka kasvaa jyrkemmin. Kun hidastuvuus on sama, kaksinkertaisen nopeuden pysäyttäminen kestää kaksi kertaa kauemmin, ja koko tämän ajan auto liikkuu kaksi kertaa nopeammin. Jarrutusmatka on siksi neljä kertaa pidempi. Kuvassa reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$ kummallakin nopeudella.
Tästä saadaan vastaus alun kysymyksen ensimmäiseen osaan. Kun nopeus kaksinkertaistuu $50\,\text{km/h}$:sta $100\,\text{km/h}$:iin, reaktiomatka kaksinkertaistuu $13{,}9\,\text{m}$:stä $27{,}8\,\text{m}$:iin, mutta jarrutusmatka nelinkertaistuu $10{,}7\,\text{m}$:stä $42{,}9\,\text{m}$:iin. Pysähtymismatka kasvaa siksi $24{,}6\,\text{m}$:stä $70{,}6\,\text{m}$:iin, lähes kolminkertaiseksi.
Törmäyksessä liikemäärän muutos on aina sama
Jos este on lähempänä kuin pysähtymismatka, auto törmää. Nokkakolarissa auton keula rypistyy, ja auto pysähtyy noin sekunnin kymmenesosassa. Matkustajan liikemäärä $p = mv$ muuttuu silloin arvosta $mv$ nollaan, käytti hän turvavyötä tai ei: törmäysnopeus määrää liikemäärän muutoksen. Vain sitä, kuinka pitkä on törmäysaika $\Delta t$ eli aika, jossa matkustaja pysähtyy, voidaan muuttaa. Luvussa Liikemäärä ja impulssi opit, että liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin impulssi $\overline{I} = \overline{F}\,\Delta t$. Mitä pidempi törmäysaika, sitä pienempi voima riittää samaan liikemäärän muutokseen.
Ilman turvavyötä matkustaja jatkaa liikettään lähes alkuperäisellä nopeudella, kun auto hidastuu hänen ympärillään: Newtonin ensimmäisen lain mukaan mikään voima ei vielä hidasta häntä. Hän osuu ohjauspyörään, kojelautaan tai tuulilasiin ja pysähtyy sekunnin sadasosissa. Turvavyö kiinnittää matkustajan autoon, joten hän hidastuu auton rypistyvän keulan mukana. Vyö myös venyy hieman ja jakaa voiman lantion, rintakehän ja olkapään vahvoille luille. Turvatyyny täyttyy sekunnin sadasosissa ja ottaa vastaan pään ja ylävartalon. Se pidentää pysähtymisaikaa ja jakaa voiman suurelle alalle, joten paine kehoon on pienempi. Turvatyyny on suunniteltu toimimaan yhdessä turvavyön kanssa, ei sen sijasta.
Tämä on vastaus alun kysymyksen toiseen osaan. Ero näkyy myös onnettomuustilastoissa. Onnettomuustietoinstituutin mukaan vuosina 2017–2021 tutkijalautakuntien tutkimissa kuolemaan johtaneissa onnettomuuksissa kuoli henkilö- ja pakettiautoissa 278 turvavyötä käyttänyttä ja 198 ilman turvavyötä ollutta. Lautakuntien arvion mukaan 114 vyöttömistä olisi voinut selvitä, jos vyö olisi ollut kiinni. Liikenneturvan seurannassa taas lähes kaikki etupenkillä istuvat käyttävät vyötä.
Pysähtymismatka ja törmäyksen voima
Reaktiomatka ja jarrutusmatka
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella $v_0$, joten reaktiomatka on
$$s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$$
missä $s_\text{r}$ on reaktiomatka ($\text{m}$), $v_0$ auton nopeus ennen jarrutusta ($\text{m/s}$) ja $t_\text{r}$ reaktioaika ($\text{s}$). Jarrutuksessa hidastuvuus oletetaan vakioksi, joten nopeus pienenee $(t,v)$-kuvaajassa suoraviivaisesti nollaan. Kuten luvussa Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike, kuljettu matka on kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä pinta-ala.
Nopeus pienenee määrän $v_0$ hidastuvuudella $a$, joten jarrutusaika on
$$t_\text{j} = \frac{v_0}{a}$$
missä $t_\text{j}$ on jarrutusaika ($\text{s}$) ja $a$ hidastuvuus eli kiihtyvyyden suuruus ($\text{m/s}^2$). Jarrutusmatka on kolmion pinta-ala $\tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$. Kun siihen sijoitetaan jarrutusaika, saadaan
$$s_\text{j} = \frac{v_0^2}{2a}$$
missä $s_\text{j}$ on jarrutusmatka ($\text{m}$). Pysähtymismatka on näiden summa:
$$s_\text{p} = v_0\,t_\text{r} + \frac{v_0^2}{2a}$$
missä $s_\text{p}$ on pysähtymismatka ($\text{m}$). Malli olettaa, että tie on vaakasuora, hidastuvuus on jarrutuksen ajan vakio ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Nopeus sijoitetaan yksikössä $\text{m/s}$.
Hidastuvuus kitkasta
Vaakasuoralla tiellä auto ei kiihdy pystysuunnassa, joten tukivoima on yhtä suuri kuin paino, $N = mg$. Kun jarrutetaan niin lujaa kuin pito sallii, kitka on $F_\mu = \mu N$, jossa $\mu$ on renkaiden ja tien välinen kitkakerroin. Newtonin toisen lain mukaan $\mu mg = ma$, ja massa supistuu:
$$a = \mu g$$
missä $\mu$ on kitkakerroin (ei yksikköä) ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Kuivan asfaltin $9{,}0\,\text{m/s}^2$ vastaa kitkakerrointa $0{,}92$. Tässä mallissa jarrutusmatka ei riipu auton massasta. Raskaan kuorma-auton jarrutusmatka on silti usein pidempi, koska sen jarrut ja renkaat eivät aina pysty käyttämään koko pitoa.
Törmäyksen keskimääräinen voima
Kun matkustajan nopeus muuttuu törmäyksessä määrän $\Delta v$ ajassa $\Delta t$, impulssiperiaatteesta $\overline{F}_\text{ka}\,\Delta t = \Delta\overline{p}$ saadaan häneen vaikuttavan keskimääräisen voiman suuruus:
$$F_\text{ka} = \frac{m\,\Delta v}{\Delta t}$$
missä $F_\text{ka}$ on keskimääräinen voima ($\text{N}$), $m$ matkustajan massa ($\text{kg}$), $\Delta v$ nopeuden muutoksen suuruus ($\text{m/s}$) ja $\Delta t$ törmäysaika ($\text{s}$). Kun $75\,\text{kg}$:n matkustaja pysähtyy $50\,\text{km/h}$:n nopeudesta, liikemäärän muutos on noin $1040\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Vyössä se jakautuu noin $0{,}10\,\text{s}$:iin, ja keskimääräinen voima on noin $10\,\text{kN}$. Ilman vyötä aika on noin $0{,}010\,\text{s}$ ja voima kymmenkertainen.
Kuvaajan suorakulmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret, koska kumpikin on sama liikemäärän muutos $m\,\Delta v$. Voima vaihtelee todellisuudessa törmäyksen aikana, ja suurin voima on keskimääräistä suurempi.
Yleinen virhekäsitys
Moni ajattelee, että kaksinkertainen nopeus tarkoittaa kaksinkertaista pysähtymismatkaa. Reaktiomatka kaksinkertaistuu, mutta jarrutusmatka nelinkertaistuu, koska se riippuu nopeuden neliöstä. Toinen virhe on ajatella, että turvavyö pienentää liikemäärän muutosta. Liikemäärä muuttuu arvosta $mv$ nollaan joka tapauksessa; vyö pidentää aikaa, jossa muutos tapahtuu, ja pienentää siksi voimaa. Kolmas virhe on uskoa, että hitaassa kolarissa voi ottaa käsillä vastaan. Jo $50\,\text{km/h}$:n törmäyksessä keskimääräinen voima on vyössäkin noin $10\,\text{kN}$, yli kymmenkertainen ihmisen painoon verrattuna, eikä käsien lihasvoima riitä siihen.
Tiivistelmä
- Pysähtymismatka on reaktiomatka $s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$ plus jarrutusmatka $s_\text{j} = \tfrac{v_0^2}{2a}$, kun hidastuvuus on vakio.
- Reaktiomatka on verrannollinen nopeuteen, jarrutusmatka nopeuden neliöön: kaksinkertainen nopeus antaa nelinkertaisen jarrutusmatkan.
- Jarrutuksessa autoa hidastaa renkaiden ja tien kitka. Vaakasuoralla tiellä $a = \mu g$, joten liukas tie pidentää jarrutusmatkaa moninkertaiseksi.
- Törmäyksessä matkustajan liikemäärän muutos on sama vyön kanssa ja ilman. Turvavyö ja turvatyyny pidentävät törmäysaikaa, joten keskimääräinen voima $F_\text{ka} = \tfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$ pienenee.
- Turvatyyny jakaa voiman suurelle alalle ja toimii yhdessä turvavyön kanssa, ei sen sijasta.
Valinnainen Palaa ennusteisiisi
Vertaa ennusteitasi mittauksiin ja teoriaan. Mikä yllätti eniten? Kirjoita omin sanoin, miksi pieni nopeuden lisäys voi olla ratkaiseva ja miksi turvavyö pienentää voimaa, vaikka liikemäärän muutos on sama.
Muuttaisitko ennustettasi?
Sovella
Esimerkki
Tehtävä
Auto ajaa kuivalla asfaltilla nopeudella $80\,\text{km/h}$. Kuljettaja vilkaisee puhelinta, ja hänen reaktioaikansa vaaratilanteessa on $2{,}0\,\text{s}$. Auton hidastuvuus jarrutuksessa on $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkä on auton pysähtymismatka?
Vaihe 1/7
Tunnetut ja kysytty. $v_0 = 80\,\text{km/h}$, $t_\text{r} = 2{,}0\,\text{s}$ ja $a = 9{,}0\,\text{m/s}^2$. Kysytään pysähtymismatkaa $s_\text{p}$.
Vaihe 2/7
Periaate. Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella, joten reaktiomatka on nopeus kertaa aika. Sen jälkeen auto hidastuu vakiohidastuvuudella, kun tie on vaakasuora ja ilmanvastus jätetään huomiotta, joten jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion pinta-ala. Pysähtymismatka on näiden summa.
Vaihe 3/7
Kaava ratkaistuna. $$\begin{aligned} s_\text{p} &= s_\text{r} + s_\text{j} \\ s_\text{p} &= v_0\,t_\text{r} + \frac{v_0^2}{2a} \end{aligned}$$
Vaihe 4/7
Yksikkömuunnokset. Nopeus muunnetaan yksikköön $\text{m/s}$:
Vaihe 5/7
Sijoitus. Lasketaan ensin kumpikin osamatka ja sitten summa:
$$\begin{aligned} s_\text{r} &= v_0\,t_\text{r} \\ \phantom{s_\text{r}} &= 22{,}22\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2{,}0\,\text{s} \\ \phantom{s_\text{r}} &= 44{,}44\,\text{m} \\ s_\text{j} &= \frac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2} \\ \phantom{s_\text{j}} &= 27{,}43\,\text{m} \\ s_\text{p} &= (44{,}44 + 27{,}43)\,\text{m} \\ \phantom{s_\text{p}} &\approx 72\,\text{m} \end{aligned}$$
Vaihe 6/7
Tulos. Pysähtymismatka on noin $72\,\text{m}$, kahden merkitsevän numeron tarkkuudella kuten reaktioaika $2{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Reaktiomatka $44\,\text{m}$ on siitä yli puolet.
Vaihe 7/7
Järkevyys. Reaktioajalla $1{,}0\,\text{s}$ reaktiomatka olisi $22\,\text{m}$ ja pysähtymismatka noin $50\,\text{m}$. Puhelimen vilkaisu pidentää pysähtymismatkaa siis noin $22\,\text{m}$ eli noin viiden auton pituuden verran, vaikka jarrutusmatka on sama. Nopeus $22\,\text{m/s}$ ja jarrutusaika $22\,\text{m/s} : 9\,\text{m/s}^2 \approx 2{,}5\,\text{s}$ antavat jarrutusmatkaksi noin
kuten laskussa.
Valinnainen Etsi virhe
Valinnainen Sovella uuteen tilanteeseen
Auto ajaa märällä tiellä syysillan pimeydessä nopeudella $80\,\text{km/h}$. Hirvi astuu tielle $45\,\text{m}$ auton eteen. Kuljettajan reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$, ja auton hidastuvuus märällä tiellä on $6{,}0\,\text{m/s}^2$.
Millä nopeudella auto osuu hirveen? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Laske ensin reaktiomatka. Kuinka paljon matkaa jää jarrutukselle ennen hirveä?
Vihje 2: mikä yhteys
Jos auton nopeus hirven kohdalla on $v$, sen pysähtyminen vaatisi vielä matkan $\dfrac{v^2}{2a}$. Koko jarrutusmatka $\dfrac{v_0^2}{2a}$ on siis hirveen asti jarrutettu matka plus $\dfrac{v^2}{2a}$.
Vihje 3: välivaihe
Reaktiomatka on $22{,}2\,\text{m}$, joten jarrutukselle jää $22{,}8\,\text{m}$. Ratkaise $v^2 = v_0^2 - 2a \cdot 22{,}8\,\text{m}$ ja muunna tulos yksikköön $\text{km/h}$.
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 80\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuus märällä tiellä $a = 6{,}0\,\text{m/s}^2$, hirven etäisyys $d = 45\,\text{m}$
Kysytty
auton nopeus $v$ hirven kohdalla yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella, joten reaktiomatka on $v_0\,t_\text{r}$. Sen jälkeen hidastuvuus on vakio. Pysähtymismatka $22{,}2\,\text{m} + 41{,}2\,\text{m} \approx 63\,\text{m}$ on yli $45\,\text{m}$, joten auto ei pysähdy. Nopeudesta $v$ pysähtyminen vaatisi vielä jarrutusmatkan $\dfrac{v^2}{2a}$, joten koko jarrutusmatka on hirveen asti jarrutettu matka plus tämä jäljelle jäävä matka.
Kaava
josta $v = \sqrt{v_0^2 - 2a\,(d - v_0\,t_\text{r})}$
Muunnokset
Vastaus muunnetaan lopuksi takaisin: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.
Sijoitus
joten
Vastaus
$53\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuudessa $6{,}0\,\text{m/s}^2$ ja etäisyydessä $45\,\text{m}$.
Järkevyys
Nopeus on pienempi kuin $80\,\text{km/h}$ mutta yli puolet siitä, koska auto ehtii jarruttaa vain noin $23\,\text{m}$, alle puolet tarvitsemastaan $41\,\text{m}$:n jarrutusmatkasta. Kuivalla tiellä ($9{,}0\,\text{m/s}^2$) auto olisi pysähtynyt $49{,}7\,\text{m}$:ssä ja törmännyt silti, mutta paljon hitaammin.
Tarkista osaamisesi
Exit ticket
Vastaa ensin itse ja avaa vastaus vasta sitten.
- Kuljettaja ajaa $72\,\text{km/h}$ ja katsoo puhelintaan $2{,}0\,\text{s}$. Kuinka pitkän matkan auto kulkee sinä aikana, kun kuljettaja ei katso tietä?
Vastaus
$72\,\text{km/h} = 20\,\text{m/s}$, joten auto kulkee $20\,\text{m/s} \cdot 2{,}0\,\text{s} = 40\,\text{m}$. Jos vaara ilmaantuu sinä aikana, koko matka lisätään reaktiomatkaan ennen kuin jarrutus voi alkaa.
- Takapenkillä on irrallaan $10\,\text{kg}$:n laukku. Miksi se on vaarallinen nokkakolarissa?
Vastaus
Kun auto pysähtyy, mikään ei hidasta laukkua, joten se jatkaa liikettään Newtonin ensimmäisen lain mukaan. Se pysähtyy vasta osuessaan etupenkkiin tai matkustajaan hyvin lyhyessä ajassa. Sen liikemäärä on suuri, ja lyhyt pysähtymisaika tekee voimasta moninkertaisen laukun painoon verrattuna.
- Miksi pysähtymismatka ei puolitu, vaikka jarrutusmatka puolittuu, kun renkaat vaihdetaan paremmin pitäviin?
Vastaus
Paremmat renkaat kasvattavat hidastuvuutta ja lyhentävät siksi vain jarrutusmatkaa. Reaktiomatka $v_0\,t_\text{r}$ riippuu nopeudesta ja reaktioajasta, ei renkaista, joten se pysyy samana.
1. Käsite
2. Laskeminen
Lumisella tiellä auton hidastuvuus jarrutuksessa on $3{,}0\,\text{m/s}^2$. Kuljettaja ajaa nopeudella $60\,\text{km/h}$, ja hänen reaktioaikansa on $1{,}0\,\text{s}$. Kuinka pitkä on auton pysähtymismatka? Vastaa metreinä.
Vihje 1: ohjaava kysymys
Pysähtymismatka on kahden matkan summa. Mitkä ne ovat?
Vihje 2: mikä yhteys
Muunna nopeus yksikköön $\text{m/s}$ ja käytä kaavaa
Vihje 3: välivaihe
$v_0 \approx 16{,}67\,\text{m/s}$, joten reaktiomatka on $16{,}7\,\text{m}$. Laske vielä jarrutusmatka.
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 60\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuus lumisella tiellä $a = 3{,}0\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pysähtymismatka $s_\text{p}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella, joten reaktiomatka on nopeus kertaa aika. Sitten auto hidastuu vakiohidastuvuudella, kun tie on vaakasuora ja ilmanvastus jätetään huomiotta, joten jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala. Pysähtymismatka on niiden summa.
Kaava
$s_\text{p} = s_\text{r} + s_\text{j}$, joten
Muunnokset
Sijoitus
Vastaus
$63\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $3{,}0\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Kuivalla tiellä ($9{,}0\,\text{m/s}^2$) jarrutusmatka olisi kolmasosa, noin $15\,\text{m}$, ja pysähtymismatka noin $32\,\text{m}$. Lumella hidastuvuus on kolmasosa, joten jarrutusmatka on kolminkertainen, kuten tuloksessa. Reaktiomatka ei riipu kelistä.
Ehdotus: yksi vastaus ei vielä kerro koko osaamistasi, mutta kertaa asia teoriatiivistelmästä ja tee ydintehtävät.
3. Selitä
Selitä impulssiperiaatteen avulla, miksi turvavyö ja turvatyyny pienentävät nokkakolarissa matkustajaan kohdistuvaa voimaa, vaikka matkustaja pysähtyy samasta nopeudesta kuin ilman niitä. Kerro myös, miksi turvatyyny ei korvaa turvavyötä.
Mallivastaus
Matkustaja pysähtyy samasta nopeudesta, joten hänen liikemääränsä muuttuu arvosta $mv$ nollaan kummassakin tapauksessa. Impulssiperiaatteen mukaan $F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, joten sama liikemäärän muutos syntyy sitä pienemmällä keskimääräisellä voimalla, mitä pidempi törmäysaika on. Vyö kiinnittää matkustajan autoon, ja hän hidastuu auton rypistyvän keulan mukana noin sekunnin kymmenesosassa. Ilman vyötä hän jatkaa liikettään ja pysähtyy kojelautaan tai tuulilasiin noin sadasosasekunnissa, jolloin voima on noin kymmenkertainen. Turvatyyny pidentää pään ja ylävartalon pysähtymisaikaa ja jakaa voiman suurelle alalle, joten paine kehoon pienenee. Se on suunniteltu vyöhön kiinnitetylle matkustajalle: ilman vyötä keho liukuu eteenpäin, voi osua täyttyvään tyynyyn liian aikaisin tai sen ohi, eikä mikään pidä matkustajaa autossa.
Arvioi oma vastauksesi
Rastita kohdat, jotka omassa vastauksessasi jo on.
Kertaa asia teoriatiivistelmästä ja harjoittele tehtävillä.
Tehtävät
Taso 1 · perusharjoitus 5 tehtävää
Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-1Ydintehtävä
Auto ajaa nopeudella $72{,}0\,\text{km/h}$, ja kuljettajan reaktioaika on $1{,}20\,\text{s}$. Kuinka pitkän matkan auto kulkee reaktioajan aikana?
Vastaus
$24{,}0\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 72{,}0\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}20\,\text{s}$
Kysytty
reaktiomatka $s_\text{r}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Reaktioajan kuljettaja ei vielä jarruta, joten auto liikkuu tasaisella nopeudella. Tasaisessa liikkeessä kuljettu matka on nopeus kertaa aika.
Kaava
$s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$
Muunnokset
$72{,}0\,\text{km/h}$$= \dfrac{72{,}0 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 20{,}0\,\text{m/s}$Sijoitus
$s_\text{r}$$= 20{,}0\,\text{m/s} \cdot 1{,}20\,\text{s}$$= 24{,}0\,\text{m}$Vastaus
$24{,}0\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $72{,}0\,\text{km/h}$ ja reaktioajassa $1{,}20\,\text{s}$.
Järkevyys
Auto kulkee $20\,\text{m}$ joka sekunti, joten hieman yli sekunnissa matka on hieman yli $20\,\text{m}$. Se on noin viiden auton mitta, jonka auto kulkee ennen kuin jarrutus edes alkaa.
- Tehtävä 15-2Ydintehtävä
Auton nopeus on $25{,}0\,\text{m/s}$, kun kuljettaja alkaa jarruttaa. Hidastuvuus on $8{,}00\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkä on jarrutusmatka?
Vastaus
$39{,}1\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus jarrutuksen alussa $v_0 = 25{,}0\,\text{m/s}$, hidastuvuus $a = 8{,}00\,\text{m/s}^2$
Kysytty
jarrutusmatka $s_\text{j}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Hidastuvuus on vakio, joten nopeus pienenee $(t,v)$-kuvaajassa suoraviivaisesti nollaan. Jarrutusmatka on kuvaajan alle jäävän kolmion pinta-ala $\tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$, jossa jarrutusaika on $t_\text{j} = \tfrac{v_0}{a}$.
Kaava
$s_\text{j} = \tfrac{1}{2}\,v_0\,t_\text{j}$ ja $t_\text{j} = \dfrac{v_0}{a}$, joten $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$
Muunnokset
Nopeus on jo yksikössä $\text{m/s}$, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$s_\text{j}$$= \dfrac{(25{,}0\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 8{,}00\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{625\,\text{m}^2/\text{s}^2}{16{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 39{,}0625\,\text{m}$Vastaus
$39{,}1\,\text{m}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $25{,}0\,\text{m/s}$ ja hidastuvuudessa $8{,}00\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Jarrutus kestää $25 : 8 \approx 3\,\text{s}$, ja keskinopeus on puolet alkunopeudesta, noin $12{,}5\,\text{m/s}$. Matka on noin $12{,}5\,\text{m/s} \cdot 3{,}1\,\text{s} \approx 39\,\text{m}$, kuten laskussa.
- Tehtävä 15-3
Polkupyöräilijä jarruttaa nopeudesta $20{,}0\,\text{m/s}$ pysähdyksiin. Hidastuvuus on $5{,}00\,\text{m/s}^2$. Kuinka kauan jarrutus kestää?
Vastaus
$4{,}00\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus jarrutuksen alussa $v_0 = 20{,}0\,\text{m/s}$, hidastuvuus $a = 5{,}00\,\text{m/s}^2$, loppunopeus $0$
Kysytty
jarrutusaika $t_\text{j}$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Hidastuvuus kertoo, kuinka paljon nopeus pienenee sekunnissa. Kun hidastuvuus on vakio, koko nopeuden poistamiseen kuluva aika on nopeus jaettuna hidastuvuudella.
Kaava
$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, ja nopeuden muutoksen suuruus on $v_0$, joten $t_\text{j} = \dfrac{v_0}{a}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t_\text{j}$$= \dfrac{20{,}0\,\text{m/s}}{5{,}00\,\text{m/s}^2}$$= 4{,}00\,\text{s}$Vastaus
$4{,}00\,\text{s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $20{,}0\,\text{m/s}$ ja hidastuvuudessa $5{,}00\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Nopeus pienenee $5\,\text{m/s}$ joka sekunti: $20 \to 15 \to 10 \to 5 \to 0$, eli neljässä sekunnissa. Yksiköt: $\tfrac{\text{m/s}}{\text{m/s}^2} = \text{s}$.
- Tehtävä 15-4
Kolarissa $70{,}0\,\text{kg}$:n matkustajan nopeus muuttuu arvosta $15{,}0\,\text{m/s}$ nollaan ajassa $0{,}120\,\text{s}$. Kuinka suuri on matkustajaan kohdistuva keskimääräinen voima?
Vastaus
$8750\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 70{,}0\,\text{kg}$, nopeus muuttuu arvosta $15{,}0\,\text{m/s}$ nollaan, $\Delta t = 0{,}120\,\text{s}$
Kysytty
keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Impulssiperiaatteen mukaan matkustajaan vaikuttavan voiman impulssi on yhtä suuri kuin hänen liikemääränsä muutos. Kun voima vaihtelee törmäyksen aikana, periaate antaa keskimääräisen voiman.
Kaava
$F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, joten
$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{70{,}0\,\text{kg} \cdot 15{,}0\,\text{m/s}}{0{,}120\,\text{s}}$$= \dfrac{1050\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}120\,\text{s}}$$= 8750\,\text{N}$Vastaus
$8750\,\text{N}$
Eli $8{,}75\,\text{kN}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Matkustajan paino on noin $700\,\text{N}$, joten voima on noin $13$-kertainen painoon verrattuna. Vyössä tämä on tyypillinen suuruusluokka, eikä sitä voisi ottaa vastaan käsillä. Yksiköt:
$\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}}{\text{s}}$$= \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$$= \text{N}$ - Tehtävä 15-5
Auto liikkuu nopeudella $15{,}0\,\text{m/s}$. Kuljettaja huomaa vaaran, ja ennen kuin jarrut alkavat toimia, auto kulkee $18{,}0\,\text{m}$. Kuinka pitkä on kuljettajan reaktioaika?
Vastaus
$1{,}20\,\text{s}$
Näytä ratkaisu
Annettu
nopeus $v_0 = 15{,}0\,\text{m/s}$, reaktiomatka $s_\text{r} = 18{,}0\,\text{m}$
Kysytty
reaktioaika $t_\text{r}$ yksikössä $\text{s}$
Periaate
Ennen kuin jarrut alkavat toimia, auto liikkuu tasaisella nopeudella. Reaktiomatka on siksi nopeus kertaa reaktioaika, ja siitä ratkaistaan aika.
Kaava
$s_\text{r} = v_0\,t_\text{r}$, joten $t_\text{r} = \dfrac{s_\text{r}}{v_0}$
Muunnokset
Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.
Sijoitus
$t_\text{r}$$= \dfrac{18{,}0\,\text{m}}{15{,}0\,\text{m/s}}$$= 1{,}20\,\text{s}$Vastaus
$1{,}20\,\text{s}$
Kolme merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $15{,}0\,\text{m/s}$ ja matkassa $18{,}0\,\text{m}$.
Järkevyys
Tavallinen reaktioaika on noin sekunti, joten $1{,}2\,\text{s}$ on uskottava. Sekunnissa auto kulkee $15\,\text{m}$, ja $18\,\text{m}$ on vähän enemmän, joten aika on vähän yli sekunnin.
Taso 2 · soveltava harjoitus 4 tehtävää
Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.
- Tehtävä 15-6Ydintehtävä
Auto ajaa nopeudella $90\,\text{km/h}$. Kuljettajan reaktioaika on $1{,}5\,\text{s}$, ja auton hidastuvuus jarrutuksessa on $7{,}5\,\text{m/s}^2$. Kuinka pitkä on pysähtymismatka?
Vastaus
$79\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 90\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}5\,\text{s}$, hidastuvuus $a = 7{,}5\,\text{m/s}^2$
Kysytty
pysähtymismatka $s_\text{p}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Reaktioajan auto liikkuu tasaisella nopeudella, joten reaktiomatka on nopeus kertaa aika. Sitten auto hidastuu vakiohidastuvuudella, ja jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala. Pysähtymismatka on näiden summa.
Kaava
$s_\text{p} = s_\text{r} + s_\text{j}$, joten
$s_\text{p}$$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a}$Muunnokset
$90\,\text{km/h}$$= \dfrac{90 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$= 25\,\text{m/s}$Sijoitus
$s_\text{p}$$= 25\,\text{m/s} \cdot 1{,}5\,\text{s} + \dfrac{(25\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 7{,}5\,\text{m/s}^2}$$= 37{,}5\,\text{m} + 41{,}67\,\text{m}$$= 79{,}17\,\text{m}$Vastaus
$79\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten reaktioajassa $1{,}5\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $7{,}5\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Reaktiomatka ja jarrutusmatka ovat samaa suuruusluokkaa, noin $40\,\text{m}$ kumpikin. Pysähtymismatka on lähes $80\,\text{m}$, kuten maantienopeudella voi odottaa. Pitkä reaktioaika lisää matkaa yhtä paljon kuin koko jarrutus.
- Tehtävä 15-7Ydintehtävä
Auto ajaa lumisella vaakasuoralla tiellä nopeudella $100\,\text{km/h}$. Renkaiden ja lumen välinen kitkakerroin on $0{,}30$.
Kuinka pitkä on jarrutusmatka, kun auto jarruttaa niin lujaa kuin pito sallii? Ilmanvastus jätetään huomiotta.
Vastaus
$130\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$v_0 = 100\,\text{km/h}$, kitkakerroin $\mu = 0{,}30$, vaakasuora tie; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$
Kysytty
jarrutusmatka $s_\text{j}$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Vaakasuoralla tiellä kitka on ainoa vaakasuora voima, ja tukivoima on yhtä suuri kuin paino, joten täysi pito antaa hidastuvuuden $a = \mu g$. Hidastuvuus on vakio, joten jarrutusmatka on $(t,v)$-kuvaajan kolmion ala.
Kaava
$a = \mu g$ ja $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$, joten $s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2\mu g}$
Muunnokset
$100\,\text{km/h}$$= \dfrac{100 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 27{,}78\,\text{m/s}$Sijoitus
$s_\text{j}$$= \dfrac{(27{,}78\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 0{,}30 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$$= \dfrac{771{,}6\,\text{m}^2/\text{s}^2}{5{,}886\,\text{m/s}^2}$$= 131{,}1\,\text{m}$Vastaus
$130\,\text{m}$
(eli $1{,}3 \cdot 10^2\,\text{m}$), kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}30$.
Järkevyys
Kuivalla asfaltilla ($9{,}0\,\text{m/s}^2$) jarrutusmatka olisi noin $43\,\text{m}$. Lumella hidastuvuus on noin kolmasosa, joten jarrutusmatka on noin kolminkertainen, noin $130\,\text{m}$. Se on pidempi kuin jalkapallokenttä.
- Tehtävä 15-8
Auto törmää nopeudella $50{,}0\,\text{km/h}$ ja pysähtyy. Vyöhön kiinnitetty $75{,}0\,\text{kg}$:n kuljettaja pysähtyy turvatyynyn ja vyön varassa ajassa $0{,}100\,\text{s}$. Kuinka suuri on kuljettajaan kohdistuva keskimääräinen voima?
Vastaus
$10\,400\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 75{,}0\,\text{kg}$, nopeus muuttuu arvosta $50{,}0\,\text{km/h}$ nollaan, $\Delta t = 0{,}100\,\text{s}$
Kysytty
keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Impulssiperiaatteen mukaan kuljettajaan vaikuttavien voimien impulssi on yhtä suuri kuin hänen liikemääränsä muutos. Vyö ja turvatyyny pidentävät aikaa, jossa muutos tapahtuu, ja periaate antaa keskimääräisen voiman.
Kaava
$F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, joten
$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$Muunnokset
$50{,}0\,\text{km/h}$$= \dfrac{50{,}0 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 13{,}89\,\text{m/s}$Sijoitus
$F_\text{ka}$$= \dfrac{75{,}0\,\text{kg} \cdot 13{,}89\,\text{m/s}}{0{,}100\,\text{s}}$$= \dfrac{1041{,}7\,\text{kg}\cdot\text{m/s}}{0{,}100\,\text{s}}$$= 10\,417\,\text{N}$Vastaus
$10\,400\,\text{N}$
Eli $10{,}4\,\text{kN}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Kuljettajan paino on noin $740\,\text{N}$, joten voima on noin $14$-kertainen painoon verrattuna. Ilman vyötä aika olisi noin kymmenesosa ja voima kymmenkertainen, noin $100\,\text{kN}$.
- Tehtävä 15-9
Poliisi mittaa onnettomuuspaikalla auton jarrutusjäljen pituudeksi $32{,}0\,\text{m}$. Auto pysähtyi jäljen päähän. Auton hidastuvuus on arvioitu $8{,}0\,\text{m/s}^2$:ksi. Kuinka suuri oli auton nopeus jarrutuksen alussa? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$81\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
jarrutusmatka $s_\text{j} = 32{,}0\,\text{m}$, hidastuvuus $a = 8{,}0\,\text{m/s}^2$, auto pysähtyi
Kysytty
nopeus jarrutuksen alussa $v_0$ yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Hidastuvuus oletetaan vakioksi koko jäljen matkalla, joten jarrutusmatkan kaava pätee. Siitä ratkaistaan alkunopeus.
Kaava
$s_\text{j} = \dfrac{v_0^2}{2a}$, joten $v_0^2 = 2a\,s_\text{j}$ ja $v_0 = \sqrt{2a\,s_\text{j}}$
Muunnokset
Lasketaan ensin yksikössä $\text{m/s}$ ja muunnetaan lopuksi: $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.
Sijoitus
$v_0^2$$= 2 \cdot 8{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 32{,}0\,\text{m}$$= 512\,\text{m}^2/\text{s}^2$joten
$v_0$$= \sqrt{512}\,\text{m/s}$$= 22{,}63\,\text{m/s}$$= 22{,}63 \cdot 3{,}6\,\text{km/h}$$= 81{,}46\,\text{km/h}$Vastaus
$81\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa, koska hidastuvuus $8{,}0\,\text{m/s}^2$ on arvio kahden numeron tarkkuudella.
Järkevyys
Kuivalla tiellä $80\,\text{km/h}$:n nopeudesta jarrutusmatka on noin $27$–$31\,\text{m}$ hidastuvuudesta riippuen, joten $32\,\text{m}$:n jälki sopii noin $80\,\text{km/h}$:n nopeuteen. Todellinen nopeus voi olla suurempi, jos auto törmäsi johonkin ennen pysähtymistä.
Taso 3 · haastava 3 tehtävää
Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.
- Tehtävä 15-10
Koulun kohdalla nopeusrajoitus on $30\,\text{km/h}$. Kuljettaja huomaa tielle juoksevan lapsen juuri sillä etäisyydellä, jolla hän ehtisi pysähtyä $30\,\text{km/h}$:n nopeudesta. Reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuus $9{,}0\,\text{m/s}^2$.
Millä nopeudella auto saavuttaisi lapsen, jos kuljettaja ajaisikin $40\,\text{km/h}$? Vastaa yksikössä $\text{km/h}$.
Vastaus
$37\,\text{km/h}$
Näytä ratkaisu
Annettu
rajoitus $30\,\text{km/h}$, todellinen nopeus $v_0 = 40\,\text{km/h}$, reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$, hidastuvuus $a = 9{,}0\,\text{m/s}^2$; lapsi on etäisyydellä $d$, joka on pysähtymismatka $30\,\text{km/h}$:n nopeudesta
Kysytty
auton nopeus $v$ lapsen kohdalla yksikössä $\text{km/h}$
Periaate
Ensin lasketaan etäisyys $d$ pysähtymismatkan kaavasta. Nopeudella $40\,\text{km/h}$ auto kulkee reaktiomatkan tasaisella nopeudella ja jarruttaa loput matkasta. Jos nopeus lapsen kohdalla on $v$, pysähtyminen vaatisi vielä matkan $\tfrac{v^2}{2a}$, joten koko jarrutusmatka on lapseen asti jarrutettu matka plus tämä.
Kaava
$d = u\,t_\text{r} + \dfrac{u^2}{2a}$, jossa $u = 30\,\text{km/h}$, ja
$\dfrac{v_0^2}{2a}$$= (d - v_0\,t_\text{r}) + \dfrac{v^2}{2a}$joten $v = \sqrt{v_0^2 - 2a\,(d - v_0\,t_\text{r})}$
Muunnokset
$u$$= 30\,\text{km/h}$$\approx 8{,}333\,\text{m/s}$$v_0$$= 40\,\text{km/h}$$\approx 11{,}11\,\text{m/s}$vastaus kerrotaan lopuksi luvulla $3{,}6$.
Sijoitus
$d$$= 8{,}333\,\text{m/s} \cdot 1{,}0\,\text{s} + \dfrac{(8{,}333\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 8{,}333\,\text{m} + 3{,}858\,\text{m}$$= 12{,}19\,\text{m}$$d - v_0\,t_\text{r}$$= 12{,}19\,\text{m} - 11{,}11\,\text{m}$$= 1{,}080\,\text{m}$$v^2$$= (11{,}11\,\text{m/s})^2 - 2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2 \cdot 1{,}080\,\text{m}$$= 104{,}0\,\text{m}^2/\text{s}^2$joten
$v$$= \sqrt{104{,}0}\,\text{m/s}$$= 10{,}20\,\text{m/s}$$= 36{,}7\,\text{km/h}$Vastaus
$37\,\text{km/h}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuudessa $9{,}0\,\text{m/s}^2$.
Järkevyys
Nopeudella $40\,\text{km/h}$ jo reaktiomatka $11{,}1\,\text{m}$ vie lähes koko $12{,}2\,\text{m}$:n matkan, joten jarrutukseen jää vain noin metri, ja nopeus ehtii pienentyä vain vähän. Siksi auto osuisi lapseen lähes alkuperäisellä nopeudellaan, vaikka nopeus ylittää rajoituksen vain $10\,\text{km/h}$:lla.
- Tehtävä 15-11
Auto törmää nopeudella $50{,}0\,\text{km/h}$. Vyöhön kiinnitetty $70{,}0\,\text{kg}$:n matkustaja liikkuu auton suhteen ja auton mukana yhteensä $0{,}600\,\text{m}$ ennen kuin hän pysähtyy. Oletetaan, että hänen hidastuvuutensa on vakio.
Kuinka suuri on matkustajaan kohdistuva keskimääräinen voima?
Vastaus
$11\,300\,\text{N}$
Näytä ratkaisu
Annettu
$m = 70{,}0\,\text{kg}$, $v_0 = 50{,}0\,\text{km/h}$, pysähtymismatka $s = 0{,}600\,\text{m}$, hidastuvuus vakio
Kysytty
keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ yksikössä $\text{N}$
Periaate
Voima saadaan impulssiperiaatteesta, kun tunnetaan pysähtymisaika. Aikaa ei anneta, mutta vakiohidastuvuudella keskinopeus on puolet alkunopeudesta, joten matka on $s = \tfrac{1}{2}\,v_0\,\Delta t$ ($(t,v)$-kuvaajan kolmion ala). Siitä ratkaistaan aika.
Kaava
$s = \tfrac{1}{2}\,v_0\,\Delta t$, joten $\Delta t = \dfrac{2s}{v_0}$, ja $F_\text{ka}\,\Delta t = m\,v_0$, joten
$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,v_0}{\Delta t}$Muunnokset
$50{,}0\,\text{km/h}$$= \dfrac{50{,}0 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 13{,}89\,\text{m/s}$Sijoitus
$\Delta t$$= \dfrac{2 \cdot 0{,}600\,\text{m}}{13{,}89\,\text{m/s}}$$= 0{,}08640\,\text{s}$$F_\text{ka}$$= \dfrac{70{,}0\,\text{kg} \cdot 13{,}89\,\text{m/s}}{0{,}08640\,\text{s}}$$= 11\,253\,\text{N}$Vastaus
$11\,300\,\text{N}$
Eli $11{,}3\,\text{kN}$, kolme merkitsevää numeroa kuten lähtötiedoissa.
Järkevyys
Pysähtymisaika on noin $0{,}09\,\text{s}$, sama suuruusluokka kuin auton rypistymisaika, ja voima on noin $16$ kertaa matkustajan paino $687\,\text{N}$. Jos matkustaja pysähtyisi ilman vyötä muutaman senttimetrin matkalla, voima olisi kymmeniä kertoja suurempi.
- Tehtävä 15-12
Auto ajaa nopeudella $80\,\text{km/h}$ toisen auton perässä samalla nopeudella. Edellä ajava auto jarruttaa yllättäen hidastuvuudella $9{,}0\,\text{m/s}^2$. Takana ajavan kuljettajan reaktioaika on $1{,}0\,\text{s}$, ja hänen autonsa hidastuvuus on vain $6{,}0\,\text{m/s}^2$ kuluneiden renkaiden vuoksi.
Kuinka suuri autojen välimatkan on vähintään oltava, jotta takana ajava pysähtyy ennen kuin osuu edellä ajavaan?
Vastaus
$36\,\text{m}$
Näytä ratkaisu
Annettu
molempien nopeus $v_0 = 80\,\text{km/h}$, edellä ajavan hidastuvuus $a_1 = 9{,}0\,\text{m/s}^2$, takana ajavan hidastuvuus $a_2 = 6{,}0\,\text{m/s}^2$ ja reaktioaika $t_\text{r} = 1{,}0\,\text{s}$
Kysytty
pienin välimatka $d$ yksikössä $\text{m}$
Periaate
Edellä ajava auto alkaa jarruttaa heti ja pysähtyy jarrutusmatkansa päähän. Takana ajava kulkee ensin reaktiomatkan ja sitten pidemmän jarrutusmatkan, koska sen hidastuvuus on pienempi. Edellä ajava liikkuu koko ajan hitaammin kuin takana ajava, joten välimatka pienenee, kunnes takana ajava pysähtyy. Törmäystä ei tapahdu, jos välimatka on vähintään yhtä suuri kuin autojen kulkemien matkojen erotus.
Kaava
$d + \dfrac{v_0^2}{2a_1}$$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a_2}$joten
$d$$= v_0\,t_\text{r} + \dfrac{v_0^2}{2a_2} - \dfrac{v_0^2}{2a_1}$Muunnokset
$80\,\text{km/h}$$= \dfrac{80 \cdot 1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}$$\approx 22{,}22\,\text{m/s}$Sijoitus
$d$$= 22{,}22\,\text{m/s} \cdot 1{,}0\,\text{s} + \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 6{,}0\,\text{m/s}^2} - \dfrac{(22{,}22\,\text{m/s})^2}{2 \cdot 9{,}0\,\text{m/s}^2}$$= 22{,}22\,\text{m} + 41{,}15\,\text{m} - 27{,}43\,\text{m}$$= 35{,}94\,\text{m}$Vastaus
$36\,\text{m}$
Kaksi merkitsevää numeroa kuten reaktioajassa $1{,}0\,\text{s}$ ja hidastuvuuksissa.
Järkevyys
Jos autojen hidastuvuudet olisivat samat, välimatkaksi riittäisi reaktiomatka $22\,\text{m}$. Kuluneet renkaat lisäävät tarvittavaa väliä noin $14\,\text{m}$. Välimatka $36\,\text{m}$ vastaa noin $1{,}6\,\text{s}$:n ajoaikaa nopeudella $22\,\text{m/s}$.
Valokuvat
- V08465P006 (2014 Chevrolet Spark, side impact test). Medical College of Wisconsin / NHTSA. lähde, public domain (PD-USGov-DOT)
