Soveltava tunti: hissi, laskuvarjo ja kelkkamäki

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 16-1Ydintehtävä

   Hissi lähtee pohjakerroksesta ylöspäin ja kiihtyy $0{,}80\,\text{m/s}^2$. Hississä seisoo ihminen, jonka massa on $70{,}0\,\text{kg}$. Piirrä ihmisen voimakuvio. Kuinka suuri on lattian tukivoima ihmiseen?

   NTarkista
   Vastaus

   $743\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70{,}0\,\text{kg}$, hissin kiihtyvyys $a = 0{,}80\,\text{m/s}^2$ ylöspäin; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Ihminen seisoo hississä paikallaan, joten hän kiihtyy hissin mukana. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima, joten ylöspäin kiihtyvässä hississä tukivoiman on oltava painoa suurempi.

   Voimakuvio

   Ihminen suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja lattian tukivoima $\overline{N}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa pidempänä. Kiihtyvyys ylös merkitään erikseen eikä voimaksi.

   Kaava

   $N - mg = ma$, joten $N = m(g + a)$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $N$$= 70{,}0\,\text{kg}\cdot(9{,}81 + 0{,}80)\,\text{m/s}^2$

   $= 70{,}0\,\text{kg}\cdot 10{,}61\,\text{m/s}^2$

   $= 742{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   $743\,\text{N}$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $70{,}0\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Paino on $70{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 687\,\text{N}$, ja tukivoima on siitä $ma = 56\,\text{N}$ suurempi, noin $8\,\%$. Kiihtyvyys on noin $8\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä, joten osuus täsmää.

2. Tehtävä 16-2Ydintehtävä

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $90{,}0\,\text{kg}$. Varjon auetessa ilmanvastus on eräällä hetkellä $2{,}10\,\text{kN}$, ja hyppääjä liikkuu yhä alaspäin. Piirrä hyppääjän voimakuvio.

   Kuinka suuri on hyppääjään vaikuttava kokonaisvoima tällä hetkellä?

   kNTarkista
   Vastaus

   $1{,}22\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 90{,}0\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 2{,}10\,\text{kN}$, hyppääjä liikkuu alas; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{kN}$ ja sen suunta

   Periaate

   Hyppääjään vaikuttavat Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Hyppääjä liikkuu alas, joten ilmanvastus osoittaa ylös, painoa vastaan.

   Voimakuvio

   Hyppääjä varjoineen suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ yläpinnasta ylös, yli kaksi kertaa painon pituisena.

   Kaava

   $\Sigma F = F_\text{v} - G$, ja $G = mg$, joten $\Sigma F = F_\text{v} - mg$

   Muunnokset

   $2{,}10\,\text{kN}$$= 2{,}10\cdot 1000\,\text{N}$

   $= 2100\,\text{N}$

   tulos muutetaan lopuksi takaisin kilonewtoneiksi.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 2100\,\text{N} - 90{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 2100\,\text{N} - 882{,}9\,\text{N}$

   $= 1217{,}1\,\text{N}$

   $\approx 1{,}22\,\text{kN}$

   Vastaus

   $1{,}22\,\text{kN}$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $90{,}0\,\text{kg}$ ja ilmanvastuksessa $2{,}10\,\text{kN}$.

   Järkevyys

   Ilmanvastus on noin $2{,}4$ kertaa paino $883\,\text{N}$, joten ylöspäin jää noin $1{,}4$ painon verran eli noin $1{,}2\,\text{kN}$. Kokonaisvoima osoittaa ylös, vaikka hyppääjä liikkuu alas, joten hän hidastuu.

3. Tehtävä 16-3

   Lapsi laskee jäistä kourua pitkin levosta. Kourun alku on $3{,}20\,\text{m}$ korkeammalla kuin sen loppu, ja kitkan ja ilmanvastuksen voi jättää huomiotta. Piirrä lapsen voimakuvio.

   Kuinka suuri on lapsen nopeus kourun lopussa?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $7{,}92\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeusero $h = 3{,}20\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 0$, kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nopeus $v_2$ kourun lopussa yksikössä $\text{m/s}$

   Voimakuvio

   Lapsi suorakulmiona, kourun pinnan suuntaan kallistettuna. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä suoraan alas ja kourun tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta kohtisuoraan pinnasta ulos. Kitkaa ei ole, eikä liikesuuntaan osoittavaa voimaa. Nopeus merkitään erikseen eikä voimaksi.

   Periaate

   Lapseen vaikuttavat paino ja kourun tukivoima. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan eikä tee työtä, ja kitka jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Kourun muodolla ei ole merkitystä, vain korkeuserolla.

   Kaava

   Nollataso kourun loppuun: $mgh = \tfrac12 mv_2^2$, joten $v_2 = \sqrt{2gh}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska se supistuu pois.

   Sijoitus

   $v_2$$= \sqrt{2\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 3{,}20\,\text{m}}$

   $= \sqrt{62{,}78\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 7{,}924\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $7{,}92\,\text{m/s}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $3{,}20\,\text{m}$.

   Järkevyys

   $7{,}9\,\text{m/s}$ on noin $29\,\text{km/h}$, mikä sopii jäiseen kouruun. Todellisuudessa kitka ja ilmanvastus pienentävät nopeutta hieman, joten tulos on yläraja.

4. Tehtävä 16-4

   Pulkka saapuu rinteen juurelta vaakasuoralle lumikentälle nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$. Pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}080$, ja ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kuinka pitkän matkan pulkka liukuu tasaisella ennen kuin pysähtyy?

   mTarkista
   Vastaus

   $23\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_1 = 6{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v_2 = 0$, $\mu = 0{,}080$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   liukumismatka $s$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Kysytään matkaa, jolla liike-energia kuluu, joten käytetään energiaperiaatetta. Korkeus ei muutu, ja kitka on ainoa työtä tekevä voima: sen negatiivinen työ muuttaa liike-energian sisäenergiaksi. Kitkavoima saadaan voimakuviosta.

   Voimakuvio

   Pulkka suorakulmiona. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, lumen tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta ylös yhtä pitkänä ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan takakulmasta taaksepäin. Eteenpäin osoittavaa voimaa ei ole. Pystysuunnassa $N - mg = 0$, joten $F_\mu = \mu mg$.

   Kaava

   $\tfrac12 mv_1^2 - \mu mg s = 0$, joten $s = \dfrac{v_1^2}{2\mu g}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{(6{,}0\,\text{m/s})^2}{2\cdot 0{,}080\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{36\,\text{m}^2/\text{s}^2}{1{,}5696\,\text{m/s}^2}$

   $= 22{,}94\,\text{m}$

   Vastaus

   $23\,\text{m}$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten nopeudessa $6{,}0\,\text{m/s}$ ja kitkakertoimessa $0{,}080$.

   Järkevyys

   Hidastuvuus on $\mu g \approx 0{,}8\,\text{m/s}^2$, joten pysähtyminen kestää noin $6\,\text{s} : 0{,}8 \approx 7{,}5\,\text{s}$, ja keskinopeudella $3\,\text{m/s}$ matka on noin $23\,\text{m}$. Pulkkamäen tasaisella tämä on tavallinen liukumismatka.

5. Tehtävä 16-5

   Pulkka liukuu suoraa rinnettä alas tasaisella nopeudella. Pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}15$, ja ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka suuri on rinteen kaltevuuskulma?

   °Tarkista
   Vastaus

   $8{,}5^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\mu = 0{,}15$, nopeus on vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   rinteen kaltevuuskulma $\alpha$ asteina

   Periaate

   Nopeus on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on nolla sekä rinteen suunnassa että sitä vastaan kohtisuorassa. Painon rinteen suuntainen komponentti ja liikekitka kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Pulkka suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan rinteestä ulos. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä suoraan alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta kohtisuoraan rinteestä ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan ylemmästä kulmasta rinnettä ylös. Painon komponentit katkoviivoin.

   Kaava

   $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$; $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = 0$, joten $mg\sin\alpha = \mu mg\cos\alpha$, $\tan\alpha = \mu$ ja $\alpha = \tan^{-1}\mu$

   Muunnokset

   Kitkakerroin on yksikötön, ja kulma saadaan asteina laskimen asteasetuksella, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $\alpha$$= \tan^{-1} 0{,}15$

   $= 8{,}531^\circ$

   Vastaus

   $8{,}5^\circ$

   Kaksi merkitsevää numeroa kuten kitkakertoimessa $0{,}15$.

   Järkevyys

   Pienillä kulmilla $\tan\alpha \approx \alpha$ radiaaneina, ja $0{,}15\,\text{rad} \approx 8{,}6^\circ$. Kulma on loiva, mikä sopii: jyrkemmässä rinteessä pulkka kiihtyisi, loivemmassa se hidastuisi. Massa supistui pois.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Ydintehtävät ensin, loput lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 16-6Ydintehtävä

   Opiskelija, jonka massa on $60{,}0\,\text{kg}$, seisoo hississä kylpyhuonevaa'alla. Vaaka mittaa tukivoiman ja näyttää sen kilogrammoina eli jakaa sen luvulla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Hetken ajan vaaka näyttää $66{,}5\,\text{kg}$.

   Kuinka suuri on hissin kiihtyvyys tällä hetkellä, ja mihin suuntaan se osoittaa?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}06\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 60{,}0\,\text{kg}$, vaa'an lukema $\tfrac{N}{g} = 66{,}5\,\text{kg}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hissin kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen suunta

   Periaate

   Vaaka mittaa tukivoimaa. Lukema on suurempi kuin massa, joten tukivoima on painoa suurempi, kokonaisvoima osoittaa ylös ja Newtonin toisen lain mukaan myös kiihtyvyys osoittaa ylös.

   Voimakuvio

   Opiskelija suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa pidempänä.

   Kaava

   $N - mg = ma$, joten $a = \dfrac{N - mg}{m}$. Kun lukema on $L = \tfrac{N}{g}$, $N = Lg$ ja $a = g\left(\dfrac{L}{m} - 1\right)$

   Muunnokset

   Lukema muutetaan tukivoimaksi kertomalla luvulla $g$:

   $N$$= 66{,}5\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 652{,}4\,\text{N}$

   Sijoitus

   $a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\left(\dfrac{66{,}5\,\text{kg}}{60{,}0\,\text{kg}} - 1\right)$

   $= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 0{,}10833$

   $= 1{,}063\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $1{,}06\,\text{m/s}^2$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $60{,}0\,\text{kg}$ ja lukemassa $66{,}5\,\text{kg}$.

   Järkevyys

   Lukema on noin $11\,\%$ suurempi kuin massa, joten kiihtyvyys on noin $11\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä, noin $1\,\text{m/s}^2$. Hissi joko lähtee ylös tai hidastaa liikkuessaan alas: kumpikin antaa ylöspäin osoittavan kiihtyvyyden.

2. Tehtävä 16-7Ydintehtävä

   Pulkka lähtee levosta suoran rinteen ylimmästä kohdasta. Rinne on $18{,}0\,\text{m}$ pitkä ja $12{,}0^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden, ja rinteen juurella pulkan nopeus on $5{,}10\,\text{m/s}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kuinka suuri on pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin?

   Tarkista
   Vastaus

   $0{,}137$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $L = 18{,}0\,\text{m}$, $\alpha = 12{,}0^\circ$, $v_1 = 0$, $v_2 = 5{,}10\,\text{m/s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   liikekitkakerroin $\mu$ (yksikötön)

   Periaate

   Nopeus tunnetaan rinteen alussa ja lopussa, joten käytetään energiaperiaatetta. Paino tekee työtä potentiaalienergian kautta, tukivoima ei tee työtä, ja liikekitka tekee negatiivisen työn koko rinteen matkalla. Kitkavoima saadaan voimakuviosta.

   Voimakuvio

   Pulkka suorakulmiona rinteen suuntaisesti, $x$ rinnettä alas ja $y$ kohtisuoraan rinteestä ulos. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä suoraan alas, tukivoima $\overline{N}$ alapinnasta kohtisuoraan rinteestä ulos ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ alapinnan ylemmästä kulmasta rinnettä ylös. $y$-suunnassa $N = mg\cos\alpha$, joten $F_\mu = \mu mg\cos\alpha$.

   Kaava

   Nollataso juurelle: $mgL\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha\cdot L = \tfrac12 mv_2^2$, joten

   $\mu$$= \dfrac{gL\sin\alpha - \tfrac12 v_2^2}{gL\cos\alpha}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $9{,}81\cdot 18{,}0\cdot\sin 12{,}0^\circ\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} - \tfrac12\cdot 5{,}10^2\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 36{,}71\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} - 13{,}01\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 23{,}71\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   ja nimittäjä

   $9{,}81\cdot 18{,}0\cdot\cos 12{,}0^\circ\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 172{,}72\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   joten

   $\mu$$= \dfrac{23{,}71}{172{,}72}$

   $= 0{,}1373$

   Vastaus

   $0{,}137$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten rinteen pituudessa $18{,}0\,\text{m}$, kulmassa $12{,}0^\circ$ ja nopeudessa $5{,}10\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Ilman kitkaa nopeus olisi pudotuskorkeudesta

   $h$$= 18{,}0\,\text{m}\cdot\sin 12{,}0^\circ$

   $\approx 3{,}74\,\text{m}$

   laskettu $\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 3{,}74}\,\text{m/s} \approx 8{,}6\,\text{m/s}$, joten kitka vie noin kaksi kolmasosaa energiasta. Kerroin on pienempi kuin $\tan 12{,}0^\circ \approx 0{,}21$, kuten pitää, koska pulkka kiihtyy.

3. Tehtävä 16-8

   Laskuvarjohyppääjä, jonka massa varusteineen on $80{,}0\,\text{kg}$, putoaa nopeudella $52{,}0\,\text{m/s}$ ja avaa varjonsa. Sinä aikana, kun hän putoaa $145\,\text{m}$, hänen nopeutensa pienenee $6{,}0\,\text{m/s}$:iin. Piirrä hyppääjän voimakuvio.

   Kuinka paljon mekaanista energiaa muuttuu tällä matkalla muiksi energiamuodoiksi?

   kJTarkista
   Vastaus

   $221\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 80{,}0\,\text{kg}$, $v_1 = 52{,}0\,\text{m/s}$, $v_2 = 6{,}0\,\text{m/s}$, pudotus $h = 145\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   muiksi energiamuodoiksi muuttuva mekaaninen energia $|\Delta E_\text{mek}|$ yksikössä $\text{kJ}$

   Voimakuvio

   Hyppääjä varjoineen suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ yläpinnasta ylös. Nopeus alas merkitään erikseen eikä voimaksi. Ilmanvastus on liikettä vastaan, joten sen työ on negatiivinen.

   Periaate

   Energiaperiaatteen mukaan mekaanisen energian muutos on muiden voimien kuin painon tekemä työ, tässä ilmanvastuksen negatiivinen työ. Sekä liike-energia että potentiaalienergia pienenevät, ja molempien muutos lasketaan mukaan.

   Kaava

   Nollataso lopputilanteen korkeudelle: $\Delta E_\text{mek} = \left(\tfrac12 mv_2^2 - \tfrac12 mv_1^2\right) - mgh$, ja

   $|\Delta E_\text{mek}|$$= \dfrac{m\left(v_1^2 - v_2^2\right)}{2} + mgh$

   Muunnokset

   Lasketaan jouleina ja muutetaan lopuksi kilojouleiksi: $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $|\Delta E_\text{mek}|$$= \tfrac12\cdot 80{,}0\,\text{kg}\cdot\left(52{,}0^2 - 6{,}0^2\right)\,\text{m}^2/\text{s}^2 + 80{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 145\,\text{m}$

   $= 106\,720\,\text{J} + 113\,796\,\text{J}$

   $= 220\,516\,\text{J}$

   $\approx 221\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $221\,\text{kJ}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $80{,}0\,\text{kg}$ ja nopeudessa $52{,}0\,\text{m/s}$.

   Järkevyys

   Kumpikin osa on noin $110\,\text{kJ}$: liike-energia pienenee lähes kokonaan ($\tfrac12\cdot 80\cdot 52^2\,\text{J} \approx 108\,\text{kJ}$), ja potentiaalienergia pienenee

   $mgh$$\approx 800\,\text{N}\cdot 145\,\text{m}$

   $\approx 116\,\text{kJ}$

   Energia ei häviä, vaan muuttuu ilman liikkeeksi ja lopulta sisäenergiaksi.

4. Tehtävä 16-9

   Hissikorin ja sen kuorman yhteinen massa on $850\,\text{kg}$. Moottori nostaa koria köyden avulla tasaisella nopeudella $12{,}0\,\text{m}$ ylöspäin, ja nosto kestää $15{,}0\,\text{s}$. Kuinka suuri on köyden korille antama teho?

   kWTarkista
   Vastaus

   $6{,}67\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 850\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, aika $t = 15{,}0\,\text{s}$, nopeus on vakio; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden teho $P$ yksikössä $\text{kW}$

   Periaate

   Nopeus on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan köyden jännitysvoima on yhtä suuri kuin paino. Köysi vetää liikkeen suuntaan, joten se tekee positiivisen työn $W = Th$, joka kasvattaa korin potentiaalienergiaa. Teho on työ jaettuna ajalla, kuten luvussa Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina, $E = Pt$.

   Voimakuvio

   Hissikori kuormineen suorakulmiona, positiivinen suunta ylös. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja köyden jännitysvoima $\overline{T}$ yläpinnasta ylös, yhtä pitkinä. Nopeus ylös merkitään erikseen eikä voimaksi.

   Kaava

   $T - mg = 0$, joten $T = mg$. Työ on $W = Th = mgh$, ja teho $P = \dfrac{W}{t} = \dfrac{mgh}{t}$

   Muunnokset

   Lasketaan watteina ja muutetaan lopuksi kilowateiksi: $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= \dfrac{850\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 12{,}0\,\text{m}}{15{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{100\,062\,\text{J}}{15{,}0\,\text{s}}$

   $= 6670{,}8\,\text{W}$

   $\approx 6{,}67\,\text{kW}$

   Vastaus

   $6{,}67\,\text{kW}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $12{,}0\,\text{m}$ ja ajassa $15{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Nopeus on $12{,}0\,\text{m} : 15{,}0\,\text{s} = 0{,}80\,\text{m/s}$, ja jännitysvoima noin $8{,}3\,\text{kN}$. Tulo $8{,}3\,\text{kN}\cdot 0{,}80\,\text{m/s} \approx 6{,}7\,\text{kW}$ täsmää. Hissimoottorin teho on tyypillisesti muutamia kilowatteja, ja moottori tarvitsee häviöiden vuoksi enemmän.

Valinnaisia: soveltamista, kaksi ideaa yhdessä tai uusi tilanne, jossa päättelet itse.

1. Tehtävä 16-10

   Pulkkamäen huippu on $4{,}50\,\text{m}$ korkeammalla kuin mäen juurelta alkava tasainen lumikenttä. Mäen rinne koostuu kahdesta suorasta osasta: ylempi on $25^\circ$:n ja alempi $10^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden.

   Pulkka lähtee levosta huipulta, ja liikekitkakerroin on $0{,}120$ koko matkalla. Ilmanvastus ja kitkan kasvu rinteen mutkissa jätetään huomiotta.

   Kuinka kaukana huipusta vaakasuunnassa mitattuna pulkka pysähtyy?

   mTarkista
   Vastaus

   $37{,}5\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeusero $h = 4{,}50\,\text{m}$, $\mu = 0{,}120$ koko matkalla, rinteen osat $25^\circ$ ja $10^\circ$, $v_1 = 0$ ja lopussa $v_2 = 0$

   Kysytty

   vaakasuora matka $x$ huipusta pysähtymiskohtaan yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Pulkka on alussa ja lopussa levossa, joten energiaperiaatteen mukaan kitkan negatiivinen työ on yhtä suuri kuin potentiaalienergian väheneminen. Suoralla pinnalla kitkan työ on $-\mu mg$ kertaa vaakasuora matka, koska rinteessä $N = mg\cos\alpha$ ja $L\cos\alpha$ on rinteen vaakasuora pituus. Siksi rinteen osien kulmia ei tarvita.

   Voimakuvio

   Kummallakin rinteen osalla pulkka suorakulmiona rinteen suuntaisesti: paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas, tukivoima $\overline{N}$ kohtisuoraan rinteestä ulos, $N = mg\cos\alpha$, ja liikekitka $\overline{F}_\mu$ rinnettä ylös. Tasaisella $N = mg$ ja kitka taaksepäin. Tukivoima ei tee työtä missään kohdassa.

   Kaava

   Osien vaakamatkat $x_\text{a}$, $x_\text{b}$ ja $x_\text{c}$: $mgh - \mu mg(x_\text{a} + x_\text{b} + x_\text{c}) = 0$, joten

   $x$$= x_\text{a} + x_\text{b} + x_\text{c}$

   $= \dfrac{h}{\mu}$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, ja kitkakerroin on yksikötön, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \dfrac{4{,}50\,\text{m}}{0{,}120}$

   $= 37{,}5\,\text{m}$

   Vastaus

   $37{,}5\,\text{m}$

   Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $4{,}50\,\text{m}$ ja kitkakertoimessa $0{,}120$.

   Järkevyys

   Kummankin rinteen osan kaltevuus on suurempi kuin $\tan^{-1} 0{,}120 \approx 6{,}8^\circ$, joten pulkka liukuu koko rinteen eikä pysähdy kesken. Tulos ei riipu massasta eikä rinteen muodosta. Pienempi kitka antaisi pidemmän matkan, kuten pitää. Todellisuudessa mutkissa tukivoima ja kitka kasvavat hetkeksi, joten pulkka pysähtyisi hieman aikaisemmin.

2. Tehtävä 16-11

   Ihminen, jonka massa on $75{,}0\,\text{kg}$, seisoo voima-anturilevyllä hississä, joka lähtee ylemmästä kerroksesta alaspäin ja pysähtyy alempaan. Kuvaajassa on levyn lukema eli tukivoima ajan funktiona.

   Kuinka suuri on hissin suurin nopeus matkan aikana?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 75{,}0\,\text{kg}$; kuvaajasta tukivoima $N = 650\,\text{N}$ hetkestä $1{,}0\,\text{s}$ hetkeen $3{,}0\,\text{s}$; hissi lähtee levosta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hissin suurin nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Hissi kiihtyy alaspäin silloin, kun tukivoima on painoa pienempi, ja nopeus on suurimmillaan tämän vaiheen lopussa. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys saadaan voimista. Kun voimat ovat vakiot, kiihtyvyys on vakio, ja luvun Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike mukaan $v = v_0 + at$.

   Voimakuvio

   Ihminen suorakulmiona, positiivinen suunta alas. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja tukivoima $\overline{N}$ alhaalta ylös alapintaan asti, painoa lyhyempänä.

   Kuvaajan lukeminen

   Paino on $75{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 735{,}75\,\text{N}$, ja lukema on sen suuruinen levossa ja tasaisella nopeudella. Hetkestä $1{,}0\,\text{s}$ hetkeen $3{,}0\,\text{s}$ käyrä on $650\,\text{N}$:n ruudukkoviivalla, painoa pienempi, joten hissi kiihtyy alaspäin $\Delta t = 2{,}0\,\text{s}$. Hetkestä $6{,}0\,\text{s}$ alkaen lukema on painoa suurempi, joten hissi hidastuu.

   Kaava

   $mg - N = ma$, joten $a = g - \dfrac{N}{m}$, ja levosta lähtiessä

   $v$$= a\Delta t$

   $= \left(g - \dfrac{N}{m}\right)\Delta t$

   Muunnokset

   Suureet ovat SI-yksiköissä, joten muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= \left(9{,}81\,\text{m/s}^2 - \dfrac{650\,\text{N}}{75{,}0\,\text{kg}}\right)\cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $= 1{,}1433\,\text{m/s}^2\cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $= 2{,}287\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $2{,}3\,\text{m/s}$

   Alaspäin, kaksi merkitsevää numeroa kuten kuvaajasta luetussa ajassa $2{,}0\,\text{s}$.

   Järkevyys

   Hidastusvaiheessa lukema on $800\,\text{N}$, joten hidastuvuus on $(800 - 735{,}75)\,\text{N} : 75{,}0\,\text{kg} \approx 0{,}86\,\text{m/s}^2$, ja nopeus $2{,}3\,\text{m/s}$ häviää noin $2{,}7\,\text{s}$:ssa, mikä vastaa kuvaajan hidastusvaihetta noin hetkestä $6{,}0\,\text{s}$ hetkeen $8{,}7\,\text{s}$. Tavallisen hissin nopeus on $1$–$3\,\text{m/s}$.

3. Tehtävä 16-12

   Laskuvarjohyppääjä, jonka massa varusteineen on $70{,}0\,\text{kg}$, avaa varjonsa nopeudessa $50{,}0\,\text{m/s}$. Kun hän on pudonnut $60{,}0\,\text{m}$, hänen nopeutensa on pienentynyt $6{,}0\,\text{m/s}$:iin.

   Kuinka suuri on ilmanvastus keskimäärin tällä matkalla, jos se oletetaan vakioksi?

   kNTarkista
   Vastaus

   $2{,}12\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70{,}0\,\text{kg}$, $v_1 = 50{,}0\,\text{m/s}$, $v_2 = 6{,}0\,\text{m/s}$, pudotus $h = 60{,}0\,\text{m}$, ilmanvastus oletetaan vakioksi; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastuksen suuruus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{kN}$

   Periaate

   Nopeudet tunnetaan matkan alussa ja lopussa, joten käytetään energiaperiaatetta. Ilmanvastus on ainoa muu voima kuin paino, ja se osoittaa liikettä vastaan, joten sen työ on $W_\text{v} = -F_\text{v} h$. Energiaperiaatteesta saadaan työ ja siitä voima.

   Voimakuvio

   Hyppääjä varjoineen suorakulmiona. Paino $\overline{G}$ keskipisteestä alas ja ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ yläpinnasta ylös, painoa paljon pidempänä, koska hyppääjä hidastuu. Nopeus alas merkitään erikseen eikä voimaksi.

   Kaava

   Liike-energiat ovat $E_{\text{k},1} = \tfrac12 mv_1^2$ ja $E_{\text{k},2} = \tfrac12 mv_2^2$. Nollataso lopputilanteen korkeudelle: $E_{\text{k},1} + mgh - F_\text{v} h = E_{\text{k},2}$, joten

   $F_\text{v}$$= mg + \dfrac{E_{\text{k},1} - E_{\text{k},2}}{h}$

   Muunnokset

   Lasketaan newtoneina ja muutetaan lopuksi kilonewtoneiksi: $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $E_{\text{k},1}$$= \tfrac12\cdot 70{,}0\,\text{kg}\cdot(50{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 87\,500\,\text{J}$

   $E_{\text{k},2}$$= \tfrac12\cdot 70{,}0\,\text{kg}\cdot(6{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 1260\,\text{J}$

   joten

   $F_\text{v}$$= 70{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{87\,500\,\text{J} - 1260\,\text{J}}{60{,}0\,\text{m}}$

   $= 686{,}7\,\text{N} + 1437{,}3\,\text{N}$

   $= 2124\,\text{N}$

   $\approx 2{,}12\,\text{kN}$

   Vastaus

   $2{,}12\,\text{kN}$

   Ylöspäin, kolme merkitsevää numeroa kuten massassa $70{,}0\,\text{kg}$, nopeudessa $50{,}0\,\text{m/s}$ ja matkassa $60{,}0\,\text{m}$.

   Järkevyys

   Ilmanvastus on noin kolme kertaa paino $687\,\text{N}$, joten kokonaisvoima osoittaa ylös ja hyppääjä hidastuu, kuten pitää. Liikeyhtälöstä hidastuvuus on $(2124 - 687)\,\text{N} : 70{,}0\,\text{kg} \approx 20\,\text{m/s}^2$, ja silloin

   $\tfrac12(v_1^2 - v_2^2) : a$

   $\approx 1232 : 20{,}5$

   $\approx 60\,\text{m}$

   kuten tehtävässä.