Soveltava tunti: hissi, laskuvarjo ja kelkkamäki

Yksi kaava tai yksi päättelyaskel. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 16-1Ydintehtävä

   Hissi lähtee pohjakerroksesta ylöspäin ja kiihtyy $0{,}80\,\text{m/s}^2$. Hississä seisoo ihminen. Hänen massansa on $70{,}0\,\text{kg}$. Piirrä ihmisen voimakuvio. Kuinka suuri on lattian tukivoima ihmiseen?

   NTarkista
   Vastaus

   $743\,\text{N}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70{,}0\,\text{kg}$, hissin kiihtyvyys $a = 0{,}80\,\text{m/s}^2$ ylöspäin; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   lattian tukivoima $N$ yksikössä $\text{N}$

   Periaate

   Ihminen seisoo hississä paikallaan, joten hän kiihtyy hissin mukana. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyyden määrää kokonaisvoima. Ylöspäin kiihtyvässä hississä tukivoiman on siis oltava painoa suurempi.

   Voimakuvio

   Piirrä ihminen suorakulmiona. Positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Lattian tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Tukivoima on painoa pidempi. Kiihtyvyys ylös merkitään erikseen, ja se ei ole voima.

   Kaava

   $N - mg = ma$, joten $N = m(g + a)$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $N$$= 70{,}0\,\text{kg}\cdot(9{,}81 + 0{,}80)\,\text{m/s}^2$

   $= 70{,}0\,\text{kg}\cdot 10{,}61\,\text{m/s}^2$

   $= 742{,}7\,\text{N}$

   Vastaus

   $743\,\text{N}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (massassa $70{,}0\,\text{kg}$).

   Järkevyys

   Paino on $70{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 687\,\text{N}$. Tukivoima on siitä $ma = 56\,\text{N}$ suurempi, noin $8\,\%$. Kiihtyvyys on noin $8\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä. Osuudet täsmäävät.

2. Tehtävä 16-2Ydintehtävä

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $90{,}0\,\text{kg}$. Kun varjo aukeaa, ilmanvastus on eräällä hetkellä $2{,}10\,\text{kN}$. Hyppääjä liikkuu yhä alaspäin. Piirrä hyppääjän voimakuvio.

   Kuinka suuri on hyppääjään vaikuttava kokonaisvoima tällä hetkellä?

   kNTarkista
   Vastaus

   $1{,}22\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 90{,}0\,\text{kg}$, ilmanvastus $F_\text{v} = 2{,}10\,\text{kN}$, hyppääjä liikkuu alas; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   kokonaisvoima $\Sigma F$ yksikössä $\text{kN}$ ja sen suunta

   Periaate

   Hyppääjään vaikuttavat Maa (paino) ja ilma (ilmanvastus). Kokonaisvoima on voimien vektorisumma. Hyppääjä liikkuu alas, joten ilmanvastus osoittaa ylös eli painoa vastaan.

   Voimakuvio

   Piirrä hyppääjä varjoineen suorakulmiona. Positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alkaa yläpinnasta ja osoittaa ylös. Ilmanvastus on yli kaksi kertaa painon pituinen.

   Kaava

   $\Sigma F = F_\text{v} - G$, ja $G = mg$, joten $\Sigma F = F_\text{v} - mg$

   Muunnokset

   $2{,}10\,\text{kN}$$= 2{,}10\cdot 1000\,\text{N}$

   $= 2100\,\text{N}$

   Lopuksi tulos muutetaan takaisin kilonewtoneiksi.

   Sijoitus

   $\Sigma F$$= 2100\,\text{N} - 90{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 2100\,\text{N} - 882{,}9\,\text{N}$

   $= 1217{,}1\,\text{N}$

   $\approx 1{,}22\,\text{kN}$

   Vastaus

   $1{,}22\,\text{kN}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (massassa $90{,}0\,\text{kg}$ ja ilmanvastuksessa $2{,}10\,\text{kN}$).

   Järkevyys

   Ilmanvastus on noin $2{,}4$ kertaa paino $883\,\text{N}$. Ylöspäin jää siis noin $1{,}4$ painon verran eli noin $1{,}2\,\text{kN}$. Kokonaisvoima osoittaa ylös, vaikka hyppääjä liikkuu alas. Siksi hän hidastuu.

3. Tehtävä 16-3

   Lapsi laskee jäistä kourua pitkin levosta. Kourun alku on $3{,}20\,\text{m}$ korkeammalla kuin sen loppu. Kitkan ja ilmanvastuksen voi jättää huomiotta. Piirrä lapsen voimakuvio.

   Kuinka suuri on lapsen nopeus kourun lopussa?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $7{,}92\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeusero $h = 3{,}20\,\text{m}$, alkunopeus $v_1 = 0$, kitka ja ilmanvastus jätetään huomiotta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   nopeus $v_2$ kourun lopussa yksikössä $\text{m/s}$

   Voimakuvio

   Piirrä lapsi suorakulmiona, joka on kallistettu kourun pinnan suuntaan. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa suoraan alas. Kourun tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa kohtisuoraan pinnasta ulos. Kitkaa ei ole, eikä liikesuuntaan osoittavaa voimaa. Nopeus merkitään erikseen, eikä se ole voima.

   Periaate

   Lapseen vaikuttavat paino ja kourun tukivoima. Tukivoima on kohtisuorassa liikettä vastaan, joten se ei tee työtä. Kitka jätetään huomiotta, joten mekaaninen energia säilyy. Kourun muodolla ei ole merkitystä, vain korkeuserolla.

   Kaava

   Nollataso kourun loppuun: $mgh = \tfrac12 mv_2^2$, joten $v_2 = \sqrt{2gh}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita. Massaa ei tarvita, koska se supistuu pois.

   Sijoitus

   $v_2$$= \sqrt{2\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 3{,}20\,\text{m}}$

   $= \sqrt{62{,}78\,\text{m}^2/\text{s}^2}$

   $= 7{,}924\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $7{,}92\,\text{m/s}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (korkeudessa $3{,}20\,\text{m}$).

   Järkevyys

   $7{,}9\,\text{m/s}$ on noin $29\,\text{km/h}$. Se sopii jäiseen kouruun. Oikeasti kitka ja ilmanvastus pienentävät nopeutta hieman. Tulos on siis yläraja.

4. Tehtävä 16-4

   Pulkka tulee rinteen juurelta vaakasuoralle lumikentälle nopeudella $6{,}0\,\text{m/s}$. Pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}080$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka pitkän matkan pulkka liukuu tasaisella ennen kuin pysähtyy?

   mTarkista
   Vastaus

   $23\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   alkunopeus $v_1 = 6{,}0\,\text{m/s}$, loppunopeus $v_2 = 0$, $\mu = 0{,}080$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   liukumismatka $s$ yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Kysytään matkaa, jolla liike-energia kuluu loppuun, joten käytetään energiaperiaatetta. Korkeus ei muutu, ja kitka on ainoa voima, joka tekee työtä. Kitkan negatiivinen työ muuttaa liike-energian sisäenergiaksi. Kitkavoima saadaan voimakuviosta.

   Voimakuvio

   Piirrä pulkka suorakulmiona. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Lumen tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös, ja se on painon pituinen. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ alkaa alapinnan takakulmasta ja osoittaa taaksepäin. Eteenpäin osoittavaa voimaa ei ole. Pystysuunnassa $N - mg = 0$, joten $F_\mu = \mu mg$.

   Kaava

   $\tfrac12 mv_1^2 - \mu mg s = 0$, joten $s = \dfrac{v_1^2}{2\mu g}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   $s$$= \dfrac{(6{,}0\,\text{m/s})^2}{2\cdot 0{,}080\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$

   $= \dfrac{36\,\text{m}^2/\text{s}^2}{1{,}5696\,\text{m/s}^2}$

   $= 22{,}94\,\text{m}$

   Vastaus

   $23\,\text{m}$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (nopeudessa $6{,}0\,\text{m/s}$ ja kitkakertoimessa $0{,}080$).

   Järkevyys

   Hidastuvuus on $\mu g \approx 0{,}8\,\text{m/s}^2$. Pysähtyminen kestää noin $6\,\text{s} : 0{,}8 \approx 7{,}5\,\text{s}$. Keskinopeus on $3\,\text{m/s}$, joten matka on noin $23\,\text{m}$. Pulkkamäen tasaisella tämä on tavallinen liukumismatka.

5. Tehtävä 16-5

   Pulkka liukuu suoraa rinnettä alas tasaisella nopeudella. Pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on $0{,}15$. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Kuinka suuri on rinteen kaltevuuskulma?

   °Tarkista
   Vastaus

   $8{,}5^\circ$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $\mu = 0{,}15$, nopeus on vakio, ilmanvastus jätetään huomiotta

   Kysytty

   rinteen kaltevuuskulma $\alpha$ asteina

   Periaate

   Nopeus on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan kokonaisvoima on nolla. Se on nolla sekä rinteen suunnassa että rinnettä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Painon rinteen suuntainen komponentti ja liikekitka kumoavat toisensa.

   Voimakuvio

   Piirrä pulkka suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan rinteestä ulos. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa suoraan alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa kohtisuoraan rinteestä ulos. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ alkaa alapinnan ylemmästä kulmasta ja osoittaa rinnettä ylös. Piirrä painon komponentit katkoviivoin.

   Kaava

   $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$; $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = 0$, joten $mg\sin\alpha = \mu mg\cos\alpha$, $\tan\alpha = \mu$ ja $\alpha = \tan^{-1}\mu$

   Muunnokset

   Kitkakerroin on yksikötön. Kulma saadaan asteina, kun laskin on asteasetuksella. Muunnoksia ei siis tarvita.

   Sijoitus

   $\alpha$$= \tan^{-1} 0{,}15$

   $= 8{,}531^\circ$

   Vastaus

   $8{,}5^\circ$

   Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (kitkakertoimessa $0{,}15$).

   Järkevyys

   Pienillä kulmilla $\tan\alpha \approx \alpha$ radiaaneina, ja $0{,}15\,\text{rad} \approx 8{,}6^\circ$. Kulma on loiva, ja se sopii. Jyrkemmässä rinteessä pulkka kiihtyisi. Loivemmassa rinteessä se hidastuisi. Massa supistui pois.

Kaksi vaihetta, mittausaineiston käsittely, yksikkömuunnos tai kaavan ratkaiseminen. Tee ensin ydintehtävät. Loput ovat lisäharjoitusta.

1. Tehtävä 16-6Ydintehtävä

   Opiskelijan massa on $60{,}0\,\text{kg}$, ja hän seisoo hississä kylpyhuonevaa'alla. Vaaka mittaa tukivoiman ja näyttää sen kilogrammoina eli jakaa sen luvulla $9{,}81\,\text{m/s}^2$. Hetken ajan vaaka näyttää $66{,}5\,\text{kg}$.

   Kuinka suuri on hissin kiihtyvyys tällä hetkellä? Mihin suuntaan kiihtyvyys osoittaa?

   m/s²Tarkista
   Vastaus

   $1{,}06\,\text{m/s}^2$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 60{,}0\,\text{kg}$, vaa'an lukema $\tfrac{N}{g} = 66{,}5\,\text{kg}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hissin kiihtyvyys $a$ yksikössä $\text{m/s}^2$ ja sen suunta

   Periaate

   Vaaka mittaa tukivoimaa. Lukema on suurempi kuin massa, joten tukivoima on painoa suurempi. Silloin kokonaisvoima osoittaa ylös. Newtonin toisen lain mukaan myös kiihtyvyys osoittaa ylös.

   Voimakuvio

   Piirrä opiskelija suorakulmiona. Positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Tukivoima on painoa pidempi.

   Kaava

   $N - mg = ma$, joten $a = \dfrac{N - mg}{m}$. Kun lukema on $L = \tfrac{N}{g}$, $N = Lg$ ja $a = g\left(\dfrac{L}{m} - 1\right)$

   Muunnokset

   Lukema muutetaan tukivoimaksi kertomalla se luvulla $g$:

   $N$$= 66{,}5\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   $= 652{,}4\,\text{N}$

   Sijoitus

   $a$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot\left(\dfrac{66{,}5\,\text{kg}}{60{,}0\,\text{kg}} - 1\right)$

   $= 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 0{,}10833$

   $= 1{,}063\,\text{m/s}^2$

   Vastaus

   $1{,}06\,\text{m/s}^2$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (massassa $60{,}0\,\text{kg}$ ja lukemassa $66{,}5\,\text{kg}$).

   Järkevyys

   Lukema on noin $11\,\%$ suurempi kuin massa. Siksi kiihtyvyys on noin $11\,\%$ putoamiskiihtyvyydestä eli noin $1\,\text{m/s}^2$. Hissi joko lähtee ylös tai hidastaa alaspäin mennessään. Kummassakin kiihtyvyys osoittaa ylös.

2. Tehtävä 16-7Ydintehtävä

   Pulkka lähtee levosta suoran rinteen ylimmästä kohdasta. Rinne on $18{,}0\,\text{m}$ pitkä ja $12{,}0^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden. Rinteen juurella pulkan nopeus on $5{,}10\,\text{m/s}$. Ilmanvastus jätetään huomiotta.

   Kuinka suuri on pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin?

   Tarkista
   Vastaus

   $0{,}137$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $L = 18{,}0\,\text{m}$, $\alpha = 12{,}0^\circ$, $v_1 = 0$, $v_2 = 5{,}10\,\text{m/s}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   liikekitkakerroin $\mu$ (yksikötön)

   Periaate

   Nopeus tunnetaan rinteen alussa ja lopussa, joten käytetään energiaperiaatetta. Paino tekee työtä potentiaalienergian kautta. Tukivoima ei tee työtä. Liikekitka tekee negatiivisen työn koko rinteen matkalla. Kitkavoima saadaan voimakuviosta.

   Voimakuvio

   Piirrä pulkka suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Akseli $x$ osoittaa rinnettä alas ja akseli $y$ kohtisuoraan rinteestä ulos. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa suoraan alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa kohtisuoraan rinteestä ulos. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ alkaa alapinnan ylemmästä kulmasta ja osoittaa rinnettä ylös. $y$-suunnassa $N = mg\cos\alpha$, joten $F_\mu = \mu mg\cos\alpha$.

   Kaava

   Nollataso juurelle: $mgL\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha\cdot L = \tfrac12 mv_2^2$, joten

   $\mu$$= \dfrac{gL\sin\alpha - \tfrac12 v_2^2}{gL\cos\alpha}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita. Massa supistuu pois.

   Sijoitus

   Osoittaja on

   $9{,}81\cdot 18{,}0\cdot\sin 12{,}0^\circ\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} - \tfrac12\cdot 5{,}10^2\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 36{,}71\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} - 13{,}01\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 23{,}71\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   ja nimittäjä

   $9{,}81\cdot 18{,}0\cdot\cos 12{,}0^\circ\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   $= 172{,}72\,\tfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

   joten

   $\mu$$= \dfrac{23{,}71}{172{,}72}$

   $= 0{,}1373$

   Vastaus

   $0{,}137$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (rinteen pituudessa $18{,}0\,\text{m}$, kulmassa $12{,}0^\circ$ ja nopeudessa $5{,}10\,\text{m/s}$).

   Järkevyys

   Ilman kitkaa nopeus olisi pudotuskorkeudesta

   $h$$= 18{,}0\,\text{m}\cdot\sin 12{,}0^\circ$

   $\approx 3{,}74\,\text{m}$

   laskettu $\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 3{,}74}\,\text{m/s} \approx 8{,}6\,\text{m/s}$. Kitka vie siis noin kaksi kolmasosaa energiasta. Kerroin on pienempi kuin $\tan 12{,}0^\circ \approx 0{,}21$. Niin pitää olla, koska pulkka kiihtyy.

3. Tehtävä 16-8

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $80{,}0\,\text{kg}$. Hän putoaa nopeudella $52{,}0\,\text{m/s}$ ja avaa varjonsa. Kun hän putoaa $145\,\text{m}$, hänen nopeutensa pienenee $6{,}0\,\text{m/s}$:iin. Piirrä hyppääjän voimakuvio.

   Kuinka paljon mekaanista energiaa muuttuu tällä matkalla muiksi energiamuodoiksi?

   kJTarkista
   Vastaus

   $221\,\text{kJ}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 80{,}0\,\text{kg}$, $v_1 = 52{,}0\,\text{m/s}$, $v_2 = 6{,}0\,\text{m/s}$, pudotus $h = 145\,\text{m}$; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   muiksi energiamuodoiksi muuttuva mekaaninen energia $|\Delta E_\text{mek}|$ yksikössä $\text{kJ}$

   Voimakuvio

   Piirrä hyppääjä varjoineen suorakulmiona. Positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alkaa yläpinnasta ja osoittaa ylös. Nopeus alas merkitään erikseen, eikä se ole voima. Ilmanvastus on liikettä vastaan, joten sen työ on negatiivinen.

   Periaate

   Energiaperiaatteen mukaan mekaanisen energian muutos on muiden voimien kuin painon tekemä työ. Tässä se on ilmanvastuksen negatiivinen työ. Sekä liike-energia että potentiaalienergia pienenevät, ja molempien muutos lasketaan mukaan.

   Kaava

   Nollataso lopputilanteen korkeudelle: $\Delta E_\text{mek} = \left(\tfrac12 mv_2^2 - \tfrac12 mv_1^2\right) - mgh$, ja

   $|\Delta E_\text{mek}|$$= \dfrac{m\left(v_1^2 - v_2^2\right)}{2} + mgh$

   Muunnokset

   Lasketaan jouleina. Lopuksi tulos muutetaan kilojouleiksi: $1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}$.

   Sijoitus

   $|\Delta E_\text{mek}|$$= \tfrac12\cdot 80{,}0\,\text{kg}\cdot\left(52{,}0^2 - 6{,}0^2\right)\,\text{m}^2/\text{s}^2 + 80{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 145\,\text{m}$

   $= 106\,720\,\text{J} + 113\,796\,\text{J}$

   $= 220\,516\,\text{J}$

   $\approx 221\,\text{kJ}$

   Vastaus

   $221\,\text{kJ}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (massassa $80{,}0\,\text{kg}$ ja nopeudessa $52{,}0\,\text{m/s}$).

   Järkevyys

   Kumpikin osa on noin $110\,\text{kJ}$. Liike-energia pienenee lähes kokonaan ($\tfrac12\cdot 80\cdot 52^2\,\text{J} \approx 108\,\text{kJ}$). Potentiaalienergia pienenee

   $mgh$$\approx 800\,\text{N}\cdot 145\,\text{m}$

   $\approx 116\,\text{kJ}$

   Energia ei katoa. Se muuttuu ilman liikkeeksi ja lopulta sisäenergiaksi.

4. Tehtävä 16-9

   Hissikorin ja sen kuorman yhteinen massa on $850\,\text{kg}$. Moottori nostaa koria köydellä tasaisella nopeudella $12{,}0\,\text{m}$ ylöspäin. Nosto kestää $15{,}0\,\text{s}$. Kuinka suuri on köyden korille antama teho?

   kWTarkista
   Vastaus

   $6{,}67\,\text{kW}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 850\,\text{kg}$, nostokorkeus $h = 12{,}0\,\text{m}$, aika $t = 15{,}0\,\text{s}$, nopeus on vakio; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   köyden teho $P$ yksikössä $\text{kW}$

   Periaate

   Nopeus on vakio, joten Newtonin toisen lain mukaan köyden jännitysvoima on yhtä suuri kuin paino. Köysi vetää liikkeen suuntaan, joten se tekee positiivisen työn $W = Th$. Työ kasvattaa korin potentiaalienergiaa. Teho on työ jaettuna ajalla, kuten luvussa Vesi- ja tuulivoima energian muuntajina, $E = Pt$.

   Voimakuvio

   Piirrä hissikori kuormineen suorakulmiona. Positiivinen suunta on ylös. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Köyden jännitysvoima $\overline{T}$ alkaa yläpinnasta ja osoittaa ylös. Voimat ovat yhtä pitkiä. Nopeus ylös merkitään erikseen, eikä se ole voima.

   Kaava

   $T - mg = 0$, joten $T = mg$. Työ on $W = Th = mgh$, ja teho $P = \dfrac{W}{t} = \dfrac{mgh}{t}$

   Muunnokset

   Lasketaan watteina. Lopuksi tulos muutetaan kilowateiksi: $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$.

   Sijoitus

   $P$$= \dfrac{850\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2\cdot 12{,}0\,\text{m}}{15{,}0\,\text{s}}$

   $= \dfrac{100\,062\,\text{J}}{15{,}0\,\text{s}}$

   $= 6670{,}8\,\text{W}$

   $\approx 6{,}67\,\text{kW}$

   Vastaus

   $6{,}67\,\text{kW}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (korkeudessa $12{,}0\,\text{m}$ ja ajassa $15{,}0\,\text{s}$).

   Järkevyys

   Nopeus on $12{,}0\,\text{m} : 15{,}0\,\text{s} = 0{,}80\,\text{m/s}$, ja jännitysvoima on noin $8{,}3\,\text{kN}$. Tulo $8{,}3\,\text{kN}\cdot 0{,}80\,\text{m/s} \approx 6{,}7\,\text{kW}$ täsmää. Hissimoottorin teho on tavallisesti muutamia kilowatteja. Moottori tarvitsee häviöiden takia enemmän.

Valinnaisia tehtäviä. Sovellat, yhdistät kaksi ideaa tai päättelet uudessa tilanteessa.

1. Tehtävä 16-10

   Pulkkamäen huippu on $4{,}50\,\text{m}$ korkeammalla kuin tasainen lumikenttä mäen juurella. Mäen rinne koostuu kahdesta suorasta osasta. Ylempi osa on $25^\circ$:n ja alempi $10^\circ$:n kulmassa vaakatasoon nähden.

   Pulkka lähtee levosta huipulta. Liikekitkakerroin on $0{,}120$ koko matkalla. Ilmanvastus ja kitkan kasvu rinteen mutkissa jätetään huomiotta.

   Kuinka kaukana huipusta vaakasuunnassa mitattuna pulkka pysähtyy?

   mTarkista
   Vastaus

   $37{,}5\,\text{m}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   korkeusero $h = 4{,}50\,\text{m}$, $\mu = 0{,}120$ koko matkalla, rinteen osat $25^\circ$ ja $10^\circ$, $v_1 = 0$ ja lopussa $v_2 = 0$

   Kysytty

   vaakasuora matka $x$ huipusta pysähtymiskohtaan yksikössä $\text{m}$

   Periaate

   Pulkka on alussa ja lopussa levossa. Energiaperiaatteen mukaan kitkan negatiivinen työ on silloin yhtä suuri kuin potentiaalienergian väheneminen. Suoralla pinnalla kitkan työ on $-\mu mg$ kertaa vaakasuora matka, koska rinteessä $N = mg\cos\alpha$ ja $L\cos\alpha$ on rinteen vaakasuora pituus. Rinteen osien kulmia ei siis tarvita.

   Voimakuvio

   Piirrä pulkka kummallakin rinteen osalla suorakulmiona rinteen suuntaisesti. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tukivoima $\overline{N}$ osoittaa kohtisuoraan rinteestä ulos, ja $N = mg\cos\alpha$. Liikekitka $\overline{F}_\mu$ osoittaa rinnettä ylös. Tasaisella $N = mg$ ja kitka osoittaa taaksepäin. Tukivoima ei tee työtä missään kohdassa.

   Kaava

   Osien vaakamatkat $x_\text{a}$, $x_\text{b}$ ja $x_\text{c}$: $mgh - \mu mg(x_\text{a} + x_\text{b} + x_\text{c}) = 0$, joten

   $x$$= x_\text{a} + x_\text{b} + x_\text{c}$

   $= \dfrac{h}{\mu}$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä, ja kitkakerroin on yksikötön. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $x$$= \dfrac{4{,}50\,\text{m}}{0{,}120}$

   $= 37{,}5\,\text{m}$

   Vastaus

   $37{,}5\,\text{m}$

   Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (korkeudessa $4{,}50\,\text{m}$ ja kitkakertoimessa $0{,}120$).

   Järkevyys

   Kummankin rinteen osan kaltevuus on suurempi kuin $\tan^{-1} 0{,}120 \approx 6{,}8^\circ$. Siksi pulkka liukuu koko rinteen eikä pysähdy kesken. Tulos ei riipu massasta eikä rinteen muodosta. Pienempi kitka antaisi pidemmän matkan, kuten pitää. Oikeasti tukivoima ja kitka kasvavat hetkeksi mutkissa. Pulkka pysähtyisi silloin hieman aikaisemmin.

2. Tehtävä 16-11

   Ihmisen massa on $75{,}0\,\text{kg}$, ja hän seisoo voima-anturilevyllä hississä. Hissi lähtee ylemmästä kerroksesta alaspäin ja pysähtyy alempaan kerrokseen. Kuvaajassa on levyn lukema eli tukivoima ajan funktiona.

   Kuinka suuri on hissin suurin nopeus matkan aikana?

   m/sTarkista
   Vastaus

   $2{,}3\,\text{m/s}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 75{,}0\,\text{kg}$; kuvaajasta tukivoima $N = 650\,\text{N}$ hetkestä $1{,}0\,\text{s}$ hetkeen $3{,}0\,\text{s}$; hissi lähtee levosta; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   hissin suurin nopeus $v$ yksikössä $\text{m/s}$

   Periaate

   Hissi kiihtyy alaspäin silloin, kun tukivoima on painoa pienempi. Nopeus on suurimmillaan tämän vaiheen lopussa. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyys saadaan voimista. Kun voimat ovat vakiot, kiihtyvyys on vakio, ja luvun Kiihtyvyys ja tasaisesti kiihtyvä liike mukaan $v = v_0 + at$.

   Voimakuvio

   Piirrä ihminen suorakulmiona. Positiivinen suunta on alas. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Tukivoima $\overline{N}$ alkaa alapinnasta ja osoittaa ylös. Tukivoima on painoa lyhyempi.

   Kuvaajan lukeminen

   Paino on $75{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 735{,}75\,\text{N}$. Levossa ja tasaisella nopeudella lukema on yhtä suuri. Hetkestä $1{,}0\,\text{s}$ hetkeen $3{,}0\,\text{s}$ käyrä on $650\,\text{N}$:n ruudukkoviivalla. Se on painoa pienempi, joten hissi kiihtyy alaspäin ajan $\Delta t = 2{,}0\,\text{s}$. Hetkestä $6{,}0\,\text{s}$ alkaen lukema on painoa suurempi, joten hissi hidastuu.

   Kaava

   $mg - N = ma$, joten $a = g - \dfrac{N}{m}$, ja levosta lähtiessä

   $v$$= a\Delta t$

   $= \left(g - \dfrac{N}{m}\right)\Delta t$

   Muunnokset

   Kaikki suureet ovat SI-yksiköissä. Muunnoksia ei tarvita.

   Sijoitus

   $v$$= \left(9{,}81\,\text{m/s}^2 - \dfrac{650\,\text{N}}{75{,}0\,\text{kg}}\right)\cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $= 1{,}1433\,\text{m/s}^2\cdot 2{,}0\,\text{s}$

   $= 2{,}287\,\text{m/s}$

   Vastaus

   $2{,}3\,\text{m/s}$

   Alaspäin. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (kuvaajasta luetussa ajassa $2{,}0\,\text{s}$).

   Järkevyys

   Hidastusvaiheessa lukema on $800\,\text{N}$. Hidastuvuus on silloin $(800 - 735{,}75)\,\text{N} : 75{,}0\,\text{kg} \approx 0{,}86\,\text{m/s}^2$. Nopeus $2{,}3\,\text{m/s}$ häviää noin $2{,}7\,\text{s}$:ssa. Se vastaa kuvaajan hidastusvaihetta noin hetkestä $6{,}0\,\text{s}$ hetkeen $8{,}7\,\text{s}$. Tavallisen hissin nopeus on $1$–$3\,\text{m/s}$.

3. Tehtävä 16-12

   Laskuvarjohyppääjän massa varusteineen on $70{,}0\,\text{kg}$. Hän avaa varjonsa nopeudessa $50{,}0\,\text{m/s}$. Kun hän on pudonnut $60{,}0\,\text{m}$, hänen nopeutensa on pienentynyt $6{,}0\,\text{m/s}$:iin.

   Kuinka suuri on ilmanvastus keskimäärin tällä matkalla, jos se oletetaan vakioksi?

   kNTarkista
   Vastaus

   $2{,}12\,\text{kN}$

   Näytä ratkaisu

   Annettu

   $m = 70{,}0\,\text{kg}$, $v_1 = 50{,}0\,\text{m/s}$, $v_2 = 6{,}0\,\text{m/s}$, pudotus $h = 60{,}0\,\text{m}$, ilmanvastus oletetaan vakioksi; $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

   Kysytty

   ilmanvastuksen suuruus $F_\text{v}$ yksikössä $\text{kN}$

   Periaate

   Nopeudet tunnetaan matkan alussa ja lopussa, joten käytetään energiaperiaatetta. Ilmanvastus on ainoa muu voima kuin paino. Se osoittaa liikettä vastaan, joten sen työ on $W_\text{v} = -F_\text{v} h$. Energiaperiaatteesta saadaan työ ja työstä voima.

   Voimakuvio

   Piirrä hyppääjä varjoineen suorakulmiona. Paino $\overline{G}$ alkaa keskipisteestä ja osoittaa alas. Ilmanvastus $\overline{F}_\text{v}$ alkaa yläpinnasta ja osoittaa ylös. Ilmanvastus on paljon painoa pidempi, koska hyppääjä hidastuu. Nopeus alas merkitään erikseen, eikä se ole voima.

   Kaava

   Liike-energiat ovat $E_{\text{k},1} = \tfrac12 mv_1^2$ ja $E_{\text{k},2} = \tfrac12 mv_2^2$. Nollataso lopputilanteen korkeudelle: $E_{\text{k},1} + mgh - F_\text{v} h = E_{\text{k},2}$, joten

   $F_\text{v}$$= mg + \dfrac{E_{\text{k},1} - E_{\text{k},2}}{h}$

   Muunnokset

   Lasketaan newtoneina. Lopuksi tulos muutetaan kilonewtoneiksi: $1\,\text{kN} = 1000\,\text{N}$.

   Sijoitus

   $E_{\text{k},1}$$= \tfrac12\cdot 70{,}0\,\text{kg}\cdot(50{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 87\,500\,\text{J}$

   $E_{\text{k},2}$$= \tfrac12\cdot 70{,}0\,\text{kg}\cdot(6{,}0\,\text{m/s})^2$

   $= 1260\,\text{J}$

   joten

   $F_\text{v}$$= 70{,}0\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 + \dfrac{87\,500\,\text{J} - 1260\,\text{J}}{60{,}0\,\text{m}}$

   $= 686{,}7\,\text{N} + 1437{,}3\,\text{N}$

   $= 2124\,\text{N}$

   $\approx 2{,}12\,\text{kN}$

   Vastaus

   $2{,}12\,\text{kN}$

   Ylöspäin. Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa, kuten lähtöarvoissa (massassa $70{,}0\,\text{kg}$, nopeudessa $50{,}0\,\text{m/s}$ ja matkassa $60{,}0\,\text{m}$).

   Järkevyys

   Ilmanvastus on noin kolme kertaa paino $687\,\text{N}$. Kokonaisvoima osoittaa siis ylös, ja hyppääjä hidastuu, kuten pitää. Liikeyhtälöstä hidastuvuus on $(2124 - 687)\,\text{N} : 70{,}0\,\text{kg} \approx 20\,\text{m/s}^2$. Silloin

   $\tfrac12(v_1^2 - v_2^2) : a$

   $\approx 1232 : 20{,}5$

   $\approx 60\,\text{m}$

   kuten tehtävässä.