RuukkilabraLukion fysiikka
FY4 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käytetään. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit kuuluvat tilanteeseen. Ratkaise tehtävä paperille. Perustele ratkaisusi niin kuin ylioppilaskokeessa.

Nämä kolme tehtävää kokoavat moduulin asiat: liikkeen, voimat, energian ja liikemäärän. Jokaisessa tehtävässä päätät itse, mitkä lait ja mallit siihen sopivat. Perustele valintasi.

Ratkaise tehtävä ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Suksivoiteiden vertailu 19 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu malleista. Se ei ole oikean mittauksen tulos. Ensimmäisessä taulukossa kiihtyvyys on vakio. Toisessa taulukossa kiihtyvyys pienenee, kun nopeus kasvaa. Syy on ilmanvastus. Kumpaankin on lisätty vähän satunnaista vaihtelua niin kuin mittauksessa.

Hiihtoseuran valmentaja vertaa kahta liukuvoidetta, A ja B. Sama hiihtäjä laskee kummallakin voiteella saman tasaisen rinteen. Hiihtäjän massa varusteineen on $72\,\text{kg}$. Rinteen kaltevuuskulma on $4{,}0^\circ$. Hiihtäjä seisoo suorana eikä työnnä sauvoilla. Kamera rinteen sivulla kuvaa laskut. Hiihtäjän nopeus määritetään videolta sekunnin välein. Ajanotto alkaa, kun hiihtäjä ohittaa lähtömerkin.

$t\ (\text{s})$ $v_\text{A}\ (\text{m/s})$ $v_\text{B}\ (\text{m/s})$
$0$ $2{,}10$ $1{,}90$
$1$ $2{,}52$ $2{,}12$
$2$ $2{,}86$ $2{,}42$
$3$ $3{,}31$ $2{,}62$
$4$ $3{,}63$ $2{,}90$
$5$ $4{,}06$ $3{,}09$
$6$ $4{,}40$ $3{,}40$
$7$ $4{,}86$ $3{,}59$
$8$ $5{,}23$ $3{,}86$

Valmentaja halusi tietää, kuinka paljon ilmanvastus vaikuttaa. Siksi hiihtäjä laski voiteella A vielä kuusi kertaa samaa rinnettä. Hän lähti joka kerta eri kohdasta. Siksi hän ohitti rinteen keskellä olevan mittausvälin joka kerta eri nopeudella. Jokaisesta laskusta mitattiin nopeus $v$ ja kiihtyvyys $a$ mittausvälillä. Mittausväli oli niin lyhyt, että nopeus muuttui sillä vain vähän.

$v\ (\text{m/s})$ $a\ (\text{m/s}^2)$
$2{,}0$ $0{,}43$
$3{,}0$ $0{,}41$
$4{,}5$ $0{,}36$
$6{,}0$ $0{,}30$
$7{,}5$ $0{,}20$
$9{,}0$ $0{,}10$
  1. a) Piirrä kummankin laskun $(t, v)$-kuvaaja samaan koordinaatistoon. Sovita kumpaankin pistejoukkoon malli. 3 p
  2. b) Piirrä hiihtäjän voimakuvio, kun hän laskee rinnettä. Ilmanvastusta ei tarvitse piirtää. 3 p
  3. c) Laske liikekitkakerroin kummallekin voiteelle. 5 p
  4. d) Valmentaja päättelee, että voide A liukuu paremmin. Arvioi, kuinka luotettava johtopäätös on. Ota huomioon tulosten epävarmuus. Ota huomioon myös se, että ilmanvastus jätettiin pois. 3 p
  5. e) Piirrä lisämittauksen $(v, a)$-kuvaaja. Määritä kuvaajasta, kuinka suuri kiihtyvyys hiihtäjällä olisi ilman ilmanvastusta. Arvioi sen avulla, kuinka paljon ilmanvastus muutti c-kohdan kitkakerrointa $\mu_\text{A}$. 5 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

$(t, v)$-kuvaaja kummastakin laskusta ja malli, joka sovitetaan pisteisiin

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on aika $t\ (\text{s})$ ja pystyakselilla nopeus $v\ (\text{m/s})$. Kummankin voiteen pisteet merkitään omilla merkeillä, esimerkiksi ympyröinä ja neliöinä.

$2$
$4$
$6$
$8$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$0$
$t\ (\text{s})$
$v\ (\text{m/s})$
$\text{voide A: } 0{,}39\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$\text{voide B: } 0{,}245\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Mallivastaus

Kummankin laskun pisteet ovat lähes suoralla. Siksi nopeus kasvaa tasaisesti ja kiihtyvyys on lähes vakio. Kumpaankin pistejoukkoon sovitetaan oma suora. Suora kulkee pisteiden välistä, eikä pisteitä yhdistetä murtoviivaksi. Pisteet heiluvat vähän suoran molemmin puolin. Se on mittauksen satunnaista vaihtelua. Voiteen A suora on jyrkempi, eli hiihtäjä kiihtyy sillä nopeammin.

b)

Kysytty

hiihtäjän voimakuvio laskun aikana. Ilmanvastusta ei oteta huomioon.

Periaate

Kappaleeksi valitaan hiihtäjä varusteineen. Etsitään, mikä vaikuttaa häneen: Maa (paino) ja rinteen lumi (tukivoima ja kitka). Ilma jätetään tehtävän mukaan pois. Hiihtäjä ei työnnä sauvoilla, joten eteenpäin vievää voimaa ei ole. Liike rinnettä alas ei tarvitse omaa voimaansa.

$\text{tilannekuva}$
$\overline{v}$
$\text{voimakuvio}$
$\overline{G}$
$\overline{N}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\overline{a}$
$x$
$y$

Mallivastaus

Hiihtäjä piirretään suorakulmioksi, joka on rinteen suuntainen.
- Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä suoraan alas. Se ei osoita kohtisuoraan rinnettä vasten.
- Tukivoima $\overline{N}$ lähtee alapinnasta kohtisuoraan rinteestä ulospäin. Se on yhtä suuri kuin painon komponentti, joka on kohtisuorassa rinnettä vastaan. Siksi se on hieman painoa pienempi.
- Liikekitka $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan ylemmästä kulmasta. Se osoittaa rinnettä ylöspäin, koska hiihtäjä liukuu rinnettä alas.

Kiihtyvyys $\overline{a}$ osoittaa rinnettä alas, joten voimien summa osoittaa myös rinnettä alas: painon rinteen suuntainen komponentti on suurempi kuin kitka. Kiihtyvyysnuoli piirretään kappaleen viereen omalla värillään, koska kiihtyvyys ei ole voima. Mallikuvan katkoviivanuolet $G_x$ ja $G_y$ ovat painon komponentit. Komponentti tarkoittaa painon osaa tiettyyn suuntaan: toinen on rinteen suuntaan ja toinen kohtisuoraan rinnettä vasten. Ne eivät ole uusia voimia. Yhdessä ne korvaavat painon ja auttavat c-kohdan liikeyhtälöissä. Omaan voimakuvioosi niitä ei tarvitse piirtää. Mallikuvassa rinne on piirretty jyrkemmäksi ja kitka suuremmaksi kuin tehtävässä, jotta nuolet erottuvat toisistaan: $4{,}0^\circ$:n rinteessä tukivoima on lähes yhtä suuri kuin paino ja kitka hyvin lyhyt.

c)

Annettu

rinteen kaltevuuskulma $\alpha = 4{,}0^\circ$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ a-kohdan kuvaaja ja massa $m = 72\,\text{kg}$

Kysytty

kummankin voiteen liikekitkakerroin, $\mu_\text{A}$ ja $\mu_\text{B}$

Periaate

Kuvaajat ovat suoria, joten kiihtyvyys on vakio. Kiihtyvyys on suoran kulmakerroin. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyyden aiheuttaa voimien summa. Siksi kiihtyvyydestä päätellään kitkavoima ja siitä kitkakerroin. Rinteessä akselit kannattaa valita rinteen suuntaisesti, koska liike on rinteen suuntaista.

Voimakuvio

Käytetään b-kohdan kuviota. $x$-akseli osoittaa rinnettä alas ja $y$-akseli kohtisuoraan rinteestä ulos. Painon komponentit ovat $G_x = mg\sin\alpha$ rinnettä alas ja $G_y = mg\cos\alpha$ rinnettä kohti. Tukivoima osoittaa $y$-akselin suuntaan ja kitka $x$-akselia vastaan.

$x$
$y$
$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\overline{a}$

Kuvaajan lukeminen

Voiteen A suora kulkee pisteiden $(0\,\text{s}$; $2{,}10\,\text{m/s})$ ja $(8\,\text{s}$; $5{,}22\,\text{m/s})$ kautta. Siitä saadaan

$a_\text{A}$$= \dfrac{3{,}12\,\text{m/s}}{8\,\text{s}}$
$= 0{,}39\,\text{m/s}^2$

Voiteen B suora kulkee pisteiden $(0\,\text{s}$; $1{,}90\,\text{m/s})$ ja $(8\,\text{s}$; $3{,}86\,\text{m/s})$ kautta. Siitä saadaan

$a_\text{B}$$= \dfrac{1{,}96\,\text{m/s}}{8\,\text{s}}$
$= 0{,}245\,\text{m/s}^2$

Kaava

$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$, joten $N = mg\cos\alpha$. $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$ eli $mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma$. Massa supistuu pois, ja

$\mu$$= \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$

Muunnokset

Ei tarvita. Kiihtyvyyksien yksikkö on jo $\text{m/s}^2$.

Sijoitus

Ensin lasketaan

$g\sin\alpha$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \sin 4{,}0^\circ$
$= 0{,}684\,\text{m/s}^2$
$g\cos\alpha$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \cos 4{,}0^\circ$
$= 9{,}786\,\text{m/s}^2$
$\mu_\text{A}$$= \dfrac{(0{,}684 - 0{,}39)\,\text{m/s}^2}{9{,}786\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}030$
$\mu_\text{B}$$= \dfrac{(0{,}684 - 0{,}245)\,\text{m/s}^2}{9{,}786\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}045$

Vastaus

$\mu_\text{A} \approx 0{,}030$

Ja $\mu_\text{B} \approx 0{,}045$. Kitkakertoimella ei ole yksikköä. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakertoimet luetaan kuvaajalta noin kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Voidellun suksen ja lumen kitkakerroin on muutaman sadasosan suuruinen. Se on paljon pienempi kuin esimerkiksi kengän ja lattian kitkakerroin. Kumpikin kiihtyvyys on pienempi kuin $g\sin\alpha = 0{,}684\,\text{m/s}^2$, jonka hiihtäjä saisi ilman kitkaa. Massaa $72\,\text{kg}$ ei tarvittu, koska paino, tukivoima ja kitka ovat kaikki verrannollisia massaan.

d)

Kysytty

kuinka luotettava on johtopäätös "voide A liukuu paremmin"

Periaate

Johtopäätös on luotettava, jos voiteiden ero on selvästi suurempi kuin tulosten epävarmuus. Sen lisäksi virhelähteet eivät saa voida kääntää eroa toisin päin.

Mallivastaus

Epävarmuus. Pisteet ovat lähellä suoria, joten kulmakertoimen voi lukea noin $\pm 0{,}02\,\text{m/s}^2$:n tarkkuudella. Kitkakertoimessa tämä tarkoittaa $0{,}02\,\text{m/s}^2 : 9{,}786\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}002$. Rinteen kulman epävarmuus, esimerkiksi $\pm 0{,}1^\circ$, muuttaa kumpaakin kerrointa noin $0{,}002$ samaan suuntaan, joten se ei muuta eroa. Voiteiden ero $0{,}045 - 0{,}030 = 0{,}015$ on monta kertaa suurempi.

Ilmanvastus. Ilmanvastus osoittaa rinnettä ylös kuten kitka, joten se pienentää kiihtyvyyttä. Kun ilmanvastus jätetään pois, kaikki hidastava vaikutus lasketaan kitkan syyksi. Silloin kumpikin kitkakerroin tulee todellista suuremmaksi. Ilmanvastus kasvaa nopeuden mukana. Laskussa A hiihtäjä liikkuu nopeammin, joten voiteen A kerroin on yliarvioitu enemmän. Voiteen A todellinen etu on siis vähintään yhtä suuri kuin laskettu.

Johtopäätös. Voide A liukuu näillä tiedoilla paremmin. Kumpaakin voidetta on kuitenkin kokeiltu vain kerran. Lumi tai tuuli voi muuttua laskujen välillä. Varmempi tulos saadaan toistamalla laskut vuorotellen kummallakin voiteella.

e)

Kysytty

lisämittauksen $(v, a)$-kuvaaja, kiihtyvyys ilman ilmanvastusta ja se, kuinka paljon ilmanvastus muutti c-kohdan kitkakerrointa $\mu_\text{A}$

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on nopeus $v\ (\text{m/s})$. Pystyakselilla on kiihtyvyys $a\ (\text{m/s}^2)$. Jokainen lasku merkitään omaksi pisteekseen. Pisteisiin sovitetaan kaareva käyrä. Käyrää jatketaan katkoviivana pystyakselille asti.

$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$0{,}1$
$0{,}2$
$0{,}3$
$0{,}4$
$0{,}5$
$0$
$v\ (\text{m/s})$
$a\ (\text{m/s}^2)$
$a_0 \approx 0{,}45\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Mallivastaus

Kun nopeus kasvaa, kiihtyvyys pienenee yhä jyrkemmin. Siksi pisteisiin ei sovi suora vaan kaareva käyrä. Kitkavoima ei riipu nopeudesta. Ilmanvastus sen sijaan kasvaa nopeuden mukana. Kiihtyvyys siis pienenee ilmanvastuksen takia. Hyvin pienellä nopeudella ilmanvastus on lähes nolla. Jatketaan käyrää nopeuteen $v = 0$. Silloin saadaan kiihtyvyys ilman ilmanvastusta: $a_0 \approx 0{,}45\,\text{m/s}^2$.

Sijoitetaan $a_0$ c-kohdan yhtälöön: $\mu_\text{A} = \dfrac{g\sin\alpha - a_0}{g\cos\alpha} = \dfrac{(0{,}684 - 0{,}45)\,\text{m/s}^2}{9{,}786\,\text{m/s}^2} \approx 0{,}024$.

c-kohdan arvo $0{,}030$ on siis noin $0{,}006$ liian suuri. Virhe on noin viidesosa c-kohdan arvosta. Syy on se, että c-kohdassa myös ilmanvastuksen hidastava vaikutus laskettiin kitkan syyksi. Tämä on systemaattinen virhe. Se muuttaa tulosta aina samaan suuntaan, eikä laskujen toistaminen poista sitä. Virhe on noin kolme kertaa niin suuri kuin kulmakertoimen lukemisen epävarmuus $0{,}002$. Se on kuitenkin pienempi kuin voiteiden ero $0{,}015$. Hitaammassa laskussa B ilmanvastus vaikuttaa vähemmän. Siksi voide A liukuu paremmin myös korjauksen jälkeen.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa kulmakertoimen saa myös laskimen tai taulukkolaskentaohjelman suoran sovituksesta ($0{,}390$ ja $0{,}245\,\text{m/s}^2$) tai suoran kahdesta muusta pisteestä, jotka ovat kaukana toisistaan. Kulmakertoimet $0{,}37\text{–}0{,}41\,\text{m/s}^2$ ja $0{,}23\text{–}0{,}26\,\text{m/s}^2$ hyväksytään.
  • b-kohdassa ilmanvastuksen $\overline{F}_\text{v}$ saa piirtää rinnettä ylös, kun se on nimetty. Tehtävä ei kuitenkaan vaadi sitä.
  • e-kohdassa käyrän ja pystyakselin leikkauskohdaksi hyväksytään $a_0 = 0{,}43\text{–}0{,}47\,\text{m/s}^2$. Siitä laskettu $\mu_\text{A} \approx 0{,}022\text{–}0{,}026$ hyväksytään.

Yleisiä virheitä

  • Kitkakertoimeksi lasketaan $\mu = a : g$ kuten vaakasuoralla alustalla. Rinteen kaltevuus unohtuu. Silloin voide A näyttäisi liukuvan huonommin, koska sen kiihtyvyys on suurempi.
  • Tukivoimaksi otetaan $N = mg$, vaikka rinteessä $N = mg\cos\alpha$. Pienellä kulmalla virhe on pieni, mutta perustelu on silti väärä.
  • Voimakuvioon piirretään eteenpäin vievä voima, koska hiihtäjä liikkuu alas. Liike rinteen suuntaan johtuu painon komponentista.
  • Painon komponentit piirretään omiksi voimikseen painon lisäksi, ja silloin paino lasketaan kahteen kertaan.
  • Kulmakerroin luetaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä, ja silloin yksittäisen pisteen satunnainen virhe vaikuttaa tulokseen paljon.
  • e-kohdassa pisteisiin sovitetaan suora. Toinen virhe on lopettaa käyrä pienimpään mitattuun nopeuteen. Kummassakin tapauksessa kiihtyvyyttä ilman ilmanvastusta ei saada.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Laskujen pisteet erottuvat toisistaan, esimerkiksi eri merkeillä. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii. Pisteitä ei ole yhdistetty murtoviivaksi. Kumpaankin pistejoukkoon on sovitettu oma suora. 1 p

b)3 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana. Kuviossa ei ole keksittyjä voimia. Paino, rinteen tukivoima ja liikekitka. Eteenpäin vievää voimaa ei ole. 1 p
Jokainen voima osoittaa oikeaan suuntaan. Paino osoittaa suoraan alas. Tukivoima osoittaa kohtisuoraan rinteestä ulos. Kitka osoittaa rinnettä ylös. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta sopivasta kohdasta. Jokaisella voimalla on oma selvä nimi. Hiihtäjä on rinteen suuntainen suorakulmio. Paino lähtee keskipisteestä, tukivoima ja kitka kosketuspinnasta. Jokaisella voimalla on oma symboli. 1 p

c)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Kiihtyvyydet saadaan suorien kulmakertoimista: $a_\text{A} \approx 0{,}39\,\text{m/s}^2$ ja $a_\text{B} \approx 0{,}245\,\text{m/s}^2$. 1 p
Liikeyhtälöt on tehty voimakuviosta. Akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $x$-akseli osoittaa rinnettä alas: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$. Suunnassa $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\mu = \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$. Massa supistuu pois. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Kummankin voiteen kerroin on laskettu samalla tavalla. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $\mu_\text{A} \approx 0{,}030$ ja $\mu_\text{B} \approx 0{,}045$. Kitkakertoimella ei ole yksikköä. 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Esimerkiksi kulmakertoimen lukemisen epävarmuus $\pm 0{,}02\,\text{m/s}^2$ muuttaa kitkakerrointa vain noin $\pm 0{,}002$. Se on paljon vähemmän kuin voiteiden ero $0{,}015$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty. On myös kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Ilmanvastus pienentää kiihtyvyyttä, joten laskettu kitkakerroin on todellista suurempi. Nopeammassa laskussa A vaikutus on suurempi. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero on epävarmuutta suurempi, joten voide A liukuu paremmin. Varmuuden saa toistamalla laskut. 1 p

e)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii. Pisteitä ei ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteisiin on sovitettu kaareva käyrä. Käyrä loivenee pienillä nopeuksilla. Suora ei sovi pisteisiin. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi. Luku on tehty kahdesta pisteestä, jotka ovat suoralla kaukana toisistaan. Käyrää on jatkettu nopeuteen $v = 0$. Käyrän ja pystyakselin leikkauskohta on luettu: $a_0 \approx 0{,}45\,\text{m/s}^2$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty. On myös kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. $\mu_\text{A} \approx 0{,}024$. Ilmanvastus on systemaattinen virhe. Se suurensi c-kohdan arvoa noin $0{,}006$:lla. Se on enemmän kuin lukemisen epävarmuus $0{,}002$ mutta vähemmän kuin voiteiden ero $0{,}015$. Toistaminen ei poista sitä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 19 (19 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Vaijeriliuku 14 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Vaijeriliuku ja mittaustulos on keksitty tätä tehtävää varten.

Leirikeskuksen vaijeriliu'ussa laskija roikkuu valjaissa pyörillä kulkevan vaunun alla. Hän liukuu teräsvaijeria pitkin rinteen yli. Lähtölava on $15{,}0\,\text{m}$ korkeammalla kuin jarrun alkukohta. Vaijeria on lähtölavalta jarrun alkuun $180\,\text{m}$. Laskija lähtee levosta. Jarrun alusta eteenpäin vaijeri on lähes vaakasuora. Siellä jousijarru pysäyttää laskijan.

Ohjaaja kertoo laskijoille: ”Jarrulle tullaan yli $60\,\text{km/h}$:n vauhdilla.” Tutkamittarilla mitattiin jarrun alussa $62\,\text{kg}$:n laskijan nopeudeksi $11{,}2\,\text{m/s}$.

  1. a) Millaiseen laskuun ohjaajan väite voi perustua? Laske nopeus jarrun alussa tällä mallilla. 3 p
  2. b) Mittaus ei vastaa ohjaajan väitettä. Jokin voima vastustaa laskijan liikettä vaijerilla. Määritä mittauksen avulla, kuinka suuri tämä voima on keskimäärin. 4 p
  3. c) Ohjaaja arvioi $95\,\text{kg}$:n laskijan nopeuden jarrun alussa. Hän olettaa, että liikettä vastustaa sama voima kuin b-kohdassa. Laske arvio. 3 p
  4. d) Toinen ohjaaja väittää: ”Painava laskija ei tule yhtään nopeammin, koska kitkakin kasvaa massan mukana.” Arvioi kummankin ohjaajan mallia. Minkä ohjaajan arvion mukaan jarru kannattaa mitoittaa? 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

korkeusero lähtölavalta jarrun alkuun $h = 15{,}0\,\text{m}$, alkunopeus on nolla eli laskija lähtee levosta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

nopeus $v$ jarrun alussa ohjaajan mallilla

Periaate

Ohjaajan luku saadaan, kun kitkaa ja ilmanvastusta ei oteta huomioon. Silloin laskijaan vaikuttavat vain paino ja vaijerin voima vaunun kautta. Vaijerin voima on kohtisuorassa vaijeria vastaan eli kohtisuorassa liikettä vastaan, joten se ei tee työtä. Työtä tekee vain paino. Siksi mekaaninen energia säilyy: potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi. Vaijerin muoto ja pituus eivät vaikuta loppunopeuteen. Vain korkeusero vaikuttaa.

Kaava

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$. Siitä saadaan $v = \sqrt{2gh}$

Muunnokset

Laskussa ei tarvita. Vertailua varten $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

Nopeus on

$v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}}$
$= \sqrt{294{,}3}\,\text{m/s}$
$= 17{,}2\,\text{m/s}$

Kilometreinä tunnissa $17{,}2 \cdot 3{,}6\,\text{km/h} = 61{,}8\,\text{km/h}$

Vastaus

$v \approx 17{,}2\,\text{m/s} \approx 62\,\text{km/h}$

Vastauksessa on kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $15{,}0\,\text{m}$. Ohjaajan väite perustuu siis malliin, jossa mekaaninen energia säilyy.

Järkevyys

Sama nopeus tulisi, jos laskija putoaisi vapaasti $15\,\text{m}$. Se on suurin mahdollinen nopeus, koska todellisuudessa osa energiasta muuttuu lämmöksi.

b)

Annettu

$m = 62\,\text{kg}$, $h = 15{,}0\,\text{m}$, matka vaijeria pitkin lähtölavalta jarrun alkuun $s = 180\,\text{m}$ ja jarrun alussa mitattu nopeus $v = 11{,}2\,\text{m/s}$

Kysytty

voima $F_\text{vast}$, joka keskimäärin vastustaa liikettä

Periaate

Mitattu $11{,}2\,\text{m/s} \approx 40\,\text{km/h}$ on paljon pienempi kuin a-kohdan $17{,}2\,\text{m/s}$, joten mekaaninen energia ei säily. Vaunun pyörien kitka ja ilmanvastus vastustavat liikettä koko matkan ajan. Ne tekevät negatiivista työtä. Mekaniikan energiaperiaatteen mukaan $E_{\text{k},1} + E_{\text{p},1} + W_\text{muut} = E_{\text{k},2} + E_{\text{p},2}$. Nollatasoksi valitaan jarrun alkukohta, jossa nopeus mitattiin. Vastusvoimien yhteistä vaikutusta kuvataan keskimääräisellä voimalla $F_\text{vast}$, joka osoittaa liikettä vastaan. Sen työ on $W_\text{muut} = -F_\text{vast}\,s$.

Kaava

$mgh - F_\text{vast}\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$. Siitä saadaan

$F_\text{vast}$$= \dfrac{mgh - \tfrac{1}{2}mv^2}{s}$

Muunnokset

Ei tarvita. Kaikki suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

Potentiaalienergia on

$E_\text{p}$$= 62\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$
$= 9123\,\text{J}$

Liike-energia on

$E_\text{k}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 62\,\text{kg} \cdot (11{,}2\,\text{m/s})^2$
$= 3889\,\text{J}$

Voima on

$F_\text{vast}$$= \dfrac{9123\,\text{J} - 3889\,\text{J}}{180\,\text{m}}$
$= \dfrac{5234\,\text{J}}{180\,\text{m}}$
$= 29{,}1\,\text{N}$

Vastaus

$F_\text{vast} \approx 29\,\text{N}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $62\,\text{kg}$.

Järkevyys

Voima on noin $5\,\%$ laskijan painosta $608\,\text{N}$. Se sopii pyörien kitkalle ja ilmanvastukselle. Matka on kuitenkin pitkä, joten yli puolet energiasta muuttuu lämmöksi: $5234\,\text{J} : 9123\,\text{J} \approx 0{,}57$.

c)

Annettu

$m = 95\,\text{kg}$, $h = 15{,}0\,\text{m}$, $s = 180\,\text{m}$ ja vastusvoiman työ b-kohdasta $F_\text{vast}\,s = 5234\,\text{J}$ ($F_\text{vast} \approx 29\,\text{N}$)

Kysytty

painavamman laskijan nopeus $v$ jarrun alussa, kun käytetään ohjaajan oletusta

Periaate

Käytetään samaa energiaperiaatetta kuin b-kohdassa, mutta nyt tuntematon on nopeus. Oletuksen mukaan vastusvoiman työ on sama kuin kevyellä laskijalla. Potentiaalienergia on kuitenkin suurempi, koska massa on suurempi.

Kaava

$mgh - F_\text{vast}\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$. Siitä saadaan

$v$$= \sqrt{\dfrac{2\,(mgh - F_\text{vast}\,s)}{m}}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

Potentiaalienergia on

$mgh$$= 95\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$
$= 13\,979\,\text{J}$

B-kohdan mukaan $F_\text{vast}\,s = 5234\,\text{J}$. Siksi

$E_\text{k}$$= 13\,979\,\text{J} - 5234\,\text{J}$
$= 8745\,\text{J}$

Nopeus on

$v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 8745\,\text{J}}{95\,\text{kg}}}$
$= \sqrt{184{,}1}\,\text{m/s}$
$= 13{,}6\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 14\,\text{m/s}$

(tarkemmin $13{,}6\,\text{m/s} \approx 49\,\text{km/h}$). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $95\,\text{kg}$ ja vastusvoima $29\,\text{N}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Nopeus on kevyen laskijan $11{,}2\,\text{m/s}$:n ja kitkattoman mallin $17{,}2\,\text{m/s}$:n välissä, kuten pitääkin. Sama vastustyö vie raskaalta laskijalta pienemmän osan energiasta.

d)

Kysytty

mitä kummankin ohjaajan malli antaa ja minkä arvion mukaan jarru mitoitetaan

Periaate

Mallien ero on siinä, miten vastusvoima riippuu laskijan massasta. Energiayhtälöstä nähdään, mitä kumpikin oletus tarkoittaa nopeudelle.

Mallivastaus

Toisen ohjaajan malli. Oletetaan, että koko vastusvoima on kitkaa. Silloin se on verrannollinen tukivoimaan ja siten massaan: $F_\text{vast} = k\,mg$. Energiayhtälö olisi silloin $mgh - k\,mg\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$. Massa supistuu pois, ja jokainen laskija saisi saman nopeuden $11{,}2\,\text{m/s}$.

Vastusvoimat eriteltyinä. Vaunun pyörien kitka kasvaa massan mukana, koska vaijerin ja pyörien välinen tukivoima kasvaa laskijan painon mukana. Ilmanvastus sen sijaan riippuu nopeudesta sekä laskijan koosta ja asennosta, ei massasta. Painavalla laskijalla ilmanvastus on siis pienempi osa painosta. Siksi hän tulee nopeammin kuin kevyt laskija.

Arviot. c-kohdan arvio $14\,\text{m/s}$ on liian suuri, koska siinä myös kitka pysyy samana. Todellisuudessa kitka kasvaa massan mukana. Toisen ohjaajan arvio $11{,}2\,\text{m/s}$ on liian pieni, koska ilmanvastus ei kasva massan mukana. Todellinen nopeus on näiden välissä.

Mitoitus. Jarru mitoitetaan suuremman arvion, $14\,\text{m/s}$:n, mukaan: jos todellinen nopeus on pienempi, jarru riittää varmasti. Liian pienelle nopeudelle mitoitettu jarru voisi pettää. Paras tieto saadaan mittaamalla tutkalla myös painavien laskijoiden nopeuksia.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa potentiaalienergian ja liike-energian erotus jaetaan korkeudella $15{,}0\,\text{m}$. Oikea jakaja on matka $180\,\text{m}$, jonka vastusvoima kulkee.
  • a-kohdassa lasketaan kulman avulla kiihtyvyys ja matka vaijerin suuntaan. Energian säilymisessä tarvitaan kuitenkin vain korkeusero.
  • c-kohdassa oletetaan, että massa supistuu pois kuten a-kohdassa. Silloin nopeudeksi tulee sama $11{,}2\,\text{m/s}$, eikä perustella, miksi vastusvoima kasvaisi massan mukana.
  • d-kohdassa sanotaan vain, että "raskas menee nopeammin" tai "massa ei vaikuta". Kumpaakaan väitettä ei verrata vastusvoimiin.

Hyväksytään myös

  • b- ja c-kohdassa saa käyttää pyöristettyä vastusvoimaa $F_\text{vast} = 29\,\text{N}$. Silloin $F_\text{vast}\,s = 29\,\text{N} \cdot 180\,\text{m} = 5220\,\text{J}$, ja c-kohdan nopeudeksi tulee taas $13{,}6\,\text{m/s} \approx 14\,\text{m/s}$. c-kohdassa hyväksytään $13{,}6\,\text{m/s}$ ja $14\,\text{m/s}$.
  • d-kohdassa jarrun saa mitoittaa kitkattoman mallin ylärajan $17{,}2\,\text{m/s}$ mukaan tai c-kohdan arvion mukaan turvamarginaalilla painavampia laskijoita varten. Kumpikin on perusteltuna oikea ja turvallinen johtopäätös, ja se saa johtopäätöksen pisteen.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Valitsee mekaanisen energian säilymisen ja perustelee sen. Kun kitka ja ilmanvastus jätetään pois, vain paino tekee työtä, koska vaijerin voima on kohtisuorassa liikettä vastaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$. Siitä saadaan $v = \sqrt{2gh}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. Nopeus $v \approx 17{,}2\,\text{m/s} \approx 62\,\text{km/h}$ 1 p

b)4 p

Selittää eron: kitka ja ilmanvastus tekevät negatiivista työtä, joten mekaaninen energia pienenee. Siksi hän käyttää mekaniikan energiaperiaatetta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. Yhtälö $mgh - F_\text{vast}\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$, josta ratkaistaan $F_\text{vast}$ 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Potentiaalienergia $E_\text{p} \approx 9{,}12\,\text{kJ}$ ja liike-energia $E_\text{k} \approx 3{,}89\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $F_\text{vast} \approx 29\,\text{N}$ 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. Sama energiayhtälö kuin b-kohdassa, mutta uudella massalla. Siitä ratkaistaan $v$. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Liike-energia jarrun alussa $E_\text{k} \approx 13{,}98\,\text{kJ} - 5{,}23\,\text{kJ} \approx 8{,}74\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $v \approx 14\,\text{m/s}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten massa ja vastusvoima. Myös $13{,}6\,\text{m/s}$ hyväksytään. 1 p

d)4 p

Osoittaa, että jos koko vastusvoima olisi verrannollinen massaan, massa supistuisi pois energiayhtälöstä. Silloin nopeus olisi sama $11{,}2\,\text{m/s}$ kuin kevyellä laskijalla. 1 p
Erittelee vastusvoimat: vaunun pyörien kitka kasvaa tukivoiman ja siten massan mukana. Ilmanvastus riippuu nopeudesta ja laskijan koosta, ei massasta. 1 p
Oletus on nimetty. On myös perusteltu, miten se vaikuttaa tulokseen. Todellinen nopeus on arvioiden välissä. C-kohdan arvio on liian suuri, koska kitka kasvaa massan mukana. Toisen ohjaajan arvio on liian pieni, koska ilmanvastus ei kasva massan mukana. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Jarru mitoitetaan suuremman nopeuden mukaan. Turvallisuuden kannalta on parempi varautua liian suureen nopeuteen kuin liian pieneen. Myös mitoitus kitkattoman mallin ylärajan $17{,}2\,\text{m/s}$ mukaan on oikea. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.

Peräänajo liikennevaloissa 16 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Onnettomuus ja raportin luvut on keksitty tätä tehtävää varten.

Henkilöauto A seisoo punaisissa valoissa, ja sen kuljettaja painaa jarrua. Takaa tuleva auto B ajaa sen perään. Autot jäävät kiinni toisiinsa ja liukuvat yhdessä suoraan eteenpäin, kunnes ne pysähtyvät. Kummankin auton pyörät ovat lukossa koko liukumisen ajan.

Poliisin raportista:

  • auton A massa kuljettajineen on $1250\,\text{kg}$ ja auton B massa kuljettajineen on $1700\,\text{kg}$
  • autojen yhteinen liukumamatka törmäyskohdasta pysähtymiseen on $4{,}2\,\text{m}$ vaakasuoralla, kuivalla asfaltilla
  • lukossa olevien renkaiden ja tien välinen kitkakerroin on $0{,}75$
  • nopeusrajoitus on $40\,\text{km/h}$; auton B kuljettaja kertoo ajaneensa alle $40\,\text{km/h}$:n nopeudella.
  1. a) Autot liikkuivat törmäyksen jälkeen yhdessä. Kuinka suuri oli niiden nopeus heti törmäyksen jälkeen? 4 p
  2. b) Arvioi auton B nopeus juuri ennen törmäystä. Onko kuljettajan kertomus totta? 4 p
  3. c) Auton A kuljettajan massa on $68\,\text{kg}$. Törmäys kesti noin $0{,}12\,\text{s}$. Sinä aikana istuimen selkänoja kiihdytti kuljettajan auton mukana a-kohdan nopeuteen. Kuinka suuri keskimääräinen voima selkänojasta kohdistui kuljettajaan? Vertaa sitä kuljettajan painoon. 3 p
  4. d) Selitä, miksi lähelle takaraivoa säädetty niskatuki vähentää niskavammoja peräänajossa. Selitä myös, miksi hieman joustava selkänoja on parempi kuin täysin jäykkä. 3 p
  5. e) Arvioi b-kohdan tuloksen luotettavuutta. Nimeä kaksi oletusta. Kerro, mihin suuntaan kumpikin oletus muuttaa arviota auton B nopeudesta. 2 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

$m_\text{A} = 1250\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 1700\,\text{kg}$, liukumamatka $s = 4{,}2\,\text{m}$, kitkakerroin $\mu = 0{,}75$ sekä $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

nopeus $v'$, jolla autot liikkuvat yhdessä heti törmäyksen jälkeen

Periaate

Törmäyksen jälkeen autot liikkuvat yhtenä kappaleena, jonka massa on $m = m_\text{A} + m_\text{B}$. Tie on vaakasuora, joten pystysuunnassa ei ole kiihtyvyyttä. Siksi tukivoima on yhtä suuri kuin paino, $N = mg$. Pyörät ovat lukossa, joten liikekitka on $F_\mu = \mu N = \mu mg$. Se on ainoa vaakasuora voima. Kitka tekee negatiivista työtä, kunnes liike-energia on loppunut (energiaperiaate). Saman tuloksen antaa Newtonin toinen laki: hidastuvuus on $\mu g$.

Kaava

$\tfrac{1}{2}mv'^2 - \mu mg\,s = 0$. Siitä saadaan $v' = \sqrt{2\mu g s}$

Muunnokset

Ei tarvita. Massat supistuvat pois, joten niitä ei tarvita tässä kohdassa.

Sijoitus

Nopeus on

$v'$$= \sqrt{2 \cdot 0{,}75 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}2\,\text{m}}$
$= \sqrt{61{,}8}\,\text{m/s}$
$= 7{,}86\,\text{m/s}$

Vastaus

$v' \approx 7{,}9\,\text{m/s}$

Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa $4{,}2\,\text{m}$ ja kitkakertoimessa $0{,}75$.

Järkevyys

Hidastuvuus

$\mu g$$= 0{,}75 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$\approx 7{,}4\,\text{m/s}^2$

on tyypillinen jarrutukselle kuivalla asfaltilla. Nopeus $7{,}9\,\text{m/s} \approx 28\,\text{km/h}$ on pienempi kuin auton B nopeus ennen törmäystä, kuten pitääkin. B joutui kiihdyttämään myös auton A.

b)

Annettu

auto A on levossa, $m_\text{A} = 1250\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 1700\,\text{kg}$ ja a-kohdan $v' = 7{,}86\,\text{m/s}$

Kysytty

auton B nopeus $v_\text{B}$ juuri ennen törmäystä ja onko kuljettajan kertomus totta

Periaate

Törmäyksessä autot vaikuttavat toisiinsa suurilla voimilla. Newtonin kolmannen lain mukaan voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset. Nämä sisäiset voimat eivät muuta autojen yhteistä liikemäärää. Tien kitka on ulkoinen voima. Se on paljon pienempi kuin törmäysvoimat. Törmäys kestää vain sekunnin murto-osan, joten kitkan impulssi törmäyksen aikana on pieni. Siksi liikemäärä säilyy lähes. Positiivinen suunta valitaan auton B liikkeen suuntaan.

$\text{ennen}$
$\text{B}$
$\text{A}$
$\overline{v}_\text{B}$
$\overline{p}_\text{B}$
$v_\text{A} = 0$
$\text{jälkeen}$
$\text{B}$
$\text{A}$
$\overline{v}{}'$
$\overline{p}{}'$
$+$

Kaava

$m_\text{B}v_\text{B} + m_\text{A} \cdot 0 = (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'$. Siitä saadaan

$v_\text{B}$$= \dfrac{(m_\text{A} + m_\text{B})\,v'}{m_\text{B}}$

Muunnokset

Kun nopeutta verrataan rajoitukseen, $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

Nopeus on

$v_\text{B}$$= \dfrac{2950\,\text{kg} \cdot 7{,}86\,\text{m/s}}{1700\,\text{kg}}$
$= 13{,}6\,\text{m/s}$

Kilometreinä tunnissa $13{,}6 \cdot 3{,}6\,\text{km/h} = 49\,\text{km/h}$

Vastaus

$v_\text{B} \approx 14\,\text{m/s}$

(tarkemmin $13{,}6\,\text{m/s} \approx 49\,\text{km/h}$). Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa, koska liukumamatka $4{,}2\,\text{m}$ ja kitkakerroin $0{,}75$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella. Kertomus ei ole totta: auton B nopeus oli törmäyshetkellä noin $9\,\text{km/h}$ yli rajoituksen. Pyörät olivat lukossa heti törmäyksen jälkeen, joten kuljettaja oli todennäköisesti jarruttanut jo ennen törmäystä. Ennen jarrutusta nopeus oli vielä suurempi.

Järkevyys

Yhteinen nopeus on pienempi kuin $v_\text{B}$, koska sama liikemäärä jakautuu suuremmalle massalle. Liike-energia pienenee törmäyksessä noin $158\,\text{kJ}$:sta noin $91\,\text{kJ}$:en. Noin $40\,\%$ siitä kuluu peltien rutistumiseen. Se sopii kimmottomaan törmäykseen, jossa kappaleet jäävät kiinni toisiinsa.

c)

Annettu

kuljettajan massa $m = 68\,\text{kg}$, nopeuden muutos $\Delta v = v' - 0 = 7{,}86\,\text{m/s}$ ja aika, jonka törmäys kestää, $\Delta t = 0{,}12\,\text{s}$

Kysytty

keskimääräinen voima $F_\text{ka}$, jolla selkänoja työntää kuljettajaa, ja voiman vertailu painoon

Periaate

Kuljettaja on aluksi levossa ja liikkuu törmäyksen jälkeen auton mukana nopeudella $v'$. Vaakasuunnassa hänen liikemääräänsä muuttaa selkänojan voima. Impulssiperiaatteen mukaan selkänojan voiman impulssi on yhtä suuri kuin kuljettajan liikemäärän muutos. Voima ei ole vakio, joten lasketaan keskimääräinen voima.

Kaava

$F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$. Siitä saadaan

$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$

ja vertailu $\dfrac{F_\text{ka}}{mg}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

Voima on

$F_\text{ka}$$= \dfrac{68\,\text{kg} \cdot 7{,}86\,\text{m/s}}{0{,}12\,\text{s}}$
$= 4455\,\text{N}$

Vertailu painoon:

$\dfrac{F_\text{ka}}{mg}$$= \dfrac{4455\,\text{N}}{68\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= \dfrac{4455\,\text{N}}{667\,\text{N}}$
$= 6{,}7$

Vastaus

$F_\text{ka} \approx 4{,}5\,\text{kN}$

Eli noin $6{,}7$-kertainen kuljettajan painoon verrattuna. Vastauksessa on kaksi merkitsevää numeroa kuten törmäyksen kestossa $0{,}12\,\text{s}$.

Järkevyys

Kuljettajan keskimääräinen kiihtyvyys on $7{,}86\,\text{m/s} : 0{,}12\,\text{s} \approx 66\,\text{m/s}^2$ eli lähes $7g$. Se on suuri mutta tyypillinen peräänajolle. Voima jakautuu koko selkänojan alalle, joten vartalo kestää sen. Huippuvoima on keskimääräistä suurempi.

d)

Kysytty

miksi niskatuki ja joustava selkänoja suojaavat vammoilta

Periaate

Kappaleen nopeus muuttuu vain, kun siihen vaikuttaa voima (Newtonin ensimmäinen laki). Nopeuden muutokseen tarvitaan impulssi, joka on $m\,\Delta v$, ja keskimääräinen voima on $F_\text{ka} = m\,\Delta v : \Delta t$.

Mallivastaus

Peräänajossa selkänoja työntää kuljettajan vartaloa eteenpäin. Pää ei ole kiinni selkänojassa, joten se pyrkii jatkamaan entisellä nopeudellaan eli pysymään paikallaan. Vartalo liikkuu pään alta eteenpäin. Niska taipuu taaksepäin ja venyy, kunnes niskan lihakset ja nivelsiteet vetävät päänkin mukaan. Tämä äkillinen taipuminen aiheuttaa niskavamman. Sitä sanotaan piiskaniskuksi.

Kun niskatuki on lähellä takaraivoa, se työntää päätä eteenpäin lähes samaan aikaan kuin selkänoja vartaloa. Pää saa tarvitsemansa impulssin suoraan niskatuesta. Siksi niska ei taivu, eikä sen tarvitse välittää suurta voimaa päähän. Kaukana oleva niskatuki ei auta, koska niska ehtii taipua ennen kuin pää osuu tukeen.

Kuljettajan nopeuden muutos $\Delta v$ on sama, onpa selkänoja jäykkä tai joustava. Joustava selkänoja pidentää aikaa $\Delta t$, jonka kuluessa nopeus muuttuu. Siksi keskimääräinen voima $F_\text{ka} = m\,\Delta v : \Delta t$ on pienempi. Esimerkiksi kaksinkertainen aika puolittaa keskimääräisen voiman.

e)

Kysytty

kaksi b-kohdan oletusta. Kummastakin kerrotaan, muuttaako se auton B nopeuden arviota suuremmaksi vai pienemmäksi.

Periaate

Jokaisesta oletuksesta mietitään, olisiko todellinen nopeus suurempi vai pienempi kuin laskettu.

Mallivastaus

Mitkä tahansa kaksi oletusta perusteltuina:
- Liikemäärä säilyy törmäyksessä. Kitka vaikuttaa jo törmäyksen aikana ja pienentää autojen yhteistä liikemäärää. Kitka on enintään $\mu (m_\text{A} + m_\text{B})\,g \approx 21{,}7\,\text{kN}$, joten $0{,}12\,\text{s}$:n aikana sen impulssi on enintään noin $2600\,\text{N}\cdot\text{s}$, noin $11\,\%$ auton B liikemäärästä. Todellinen $v_\text{B}$ voi siis olla jopa noin $15\,\text{m/s}$. Laskettu arvo on siis alaraja.
- Kitkakerroin on $0{,}75$. Jos todellinen kitkakerroin oli pienempi, sama liukumamatka vastaa pienempää nopeutta. Silloin $v_\text{B}$ on laskettua pienempi. Suuremmalla kertoimella se on suurempi.
- Pyörät olivat lukossa koko matkan. Jos jokin pyörä pyöri välillä, kitka oli pienempi. Silloin todellinen $v_\text{B}$ on laskettua pienempi.

Johtopäätös rajoituksen ylittymisestä on silti vahva. Kitkan vaikutus törmäyksen aikana kasvattaa arviota. Lisäksi kitkakertoimen pitäisi olla selvästi pienempi kuin $0{,}75$, jotta nopeus olisi alle $40\,\text{km/h}$.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan voi ratkaista myös Newtonin toisella lailla ja tasaisesti hidastuvan liikkeen kaavalla: $a = \mu g$ ja $v'^2 = 2as$.
  • b- ja c-kohdassa saa käyttää a-kohdan pyöristettyä tulosta, esimerkiksi $7{,}9\,\text{m/s}$. Silloin tulokset $13{,}5\text{–}14\,\text{m/s}$ ja $4{,}4\text{–}4{,}5\,\text{kN}$ hyväksytään.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa käytetään liike-energian säilymistä, vaikka autot jäävät kiinni toisiinsa ja osa liike-energiasta kuluu rutistumiseen. Silloin $v_\text{B}$ tulee liian pieneksi.
  • a-kohdassa kitkan oletetaan riippuvan vain auton B massasta, vaikka molemmat autot liukuvat yhdessä.
  • Liukumamatkan perusteella laskettu nopeus otetaan suoraan auton B nopeudeksi ennen törmäystä.
  • c-kohdassa nopeus muutetaan yksiköstä $\text{km/h}$ väärin. Toinen virhe on verrata voimaa massaan eikä painoon.
  • d-kohdassa sanotaan, että "pää lentää taaksepäin". Pää ei saa taaksepäin suuntautuvaa voimaa. Vartalo liikkuu sen alta eteenpäin.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa omaa ratkaisuasi mallivastaukseen. Valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi ansaitsee mielestäsi. Voit antaa myös osapisteitä. Myös muu fysiikan kannalta oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee mallin: kun autot liukuvat, niitä hidastaa vain kitka $\mu (m_\text{A} + m_\text{B}) g$. Vaakasuoralla tiellä tukivoima on yhtä suuri kuin paino. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $\tfrac{1}{2}mv'^2 = \mu mgs$, josta $v' = \sqrt{2\mu gs}$. Massa supistuu pois. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $v' \approx 7{,}9\,\text{m/s}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi hidastuvuus $\mu g \approx 7{,}4\,\text{m/s}^2$ on tavallinen jarrutuksessa kuivalla asfaltilla. Lisäksi $7{,}9\,\text{m/s} \approx 28\,\text{km/h}$. 1 p

b)4 p

Perustelee, miksi liikemäärä säilyy lähes: törmäys on lyhyt, ja autojen väliset voimat ovat paljon suurempia kuin kitka. Siksi kitkan impulssi törmäyksen aikana on pieni. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. Yhtälö $m_\text{B}v_\text{B} = (m_\text{A} + m_\text{B})v'$, josta ratkaistaan $v_\text{B}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $v_\text{B} \approx 14\,\text{m/s} \approx 50\,\text{km/h}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten liukumamatka ja kitkakerroin. Myös $13{,}6\,\text{m/s} \approx 49\,\text{km/h}$ hyväksytään. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kertomus ei ole totta: nopeus oli törmäyshetkellä selvästi yli $40\,\text{km/h}$, ja ennen jarrutusta se oli vielä suurempi. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea. Kysytty suure on ratkaistu siitä ennen kuin lukuarvot sijoitetaan. $F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$. Siitä saadaan $F_\text{ka} = \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö. Tarkkuus vastaa lähtötietojen tarkkuutta. $F_\text{ka} \approx 4{,}5\,\text{kN}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Voima on noin $6{,}7$ kertaa niin suuri kuin kuljettajan paino. 1 p

d)3 p

Selittää hitaudella: selkänoja työntää vartaloa eteenpäin, mutta pää pyrkii jatkamaan entisellä nopeudellaan, kunnes niska vetää sen mukaan. Silloin niska taipuu taaksepäin. 1 p
Selittää, että lähellä oleva niskatuki antaa päälle saman nopeuden muutoksen yhtä aikaa vartalon kanssa. Silloin niskan ei tarvitse välittää suurta voimaa. 1 p
Perustelee impulssilla: nopeuden muutos on sama, mutta joustava selkänoja pidentää aikaa $\Delta t$. Siksi keskimääräinen voima $F_\text{ka} = m\,\Delta v : \Delta t$ pienenee. 1 p

e)2 p

Oletus on nimetty. On myös perusteltu, miten se vaikuttaa tulokseen. Esimerkiksi kitka vaikuttaa jo törmäyksen aikana. Se pienentää autojen yhteistä liikemäärää. Siksi todellinen $v_\text{B}$ on suurempi kuin laskettu. 1 p
Oletus on nimetty. On myös perusteltu, miten se vaikuttaa tulokseen. Toinen oletus, esimerkiksi kitkakertoimen arvo tai se, että pyörät ovat lukossa koko matkan, ja sen vaikutuksen suunta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi. Ne eivät ole tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma. Se perustuu siihen, millainen on hyvä vastaus ylioppilaskokeessa. Se ei ole YTL:n virallinen pisteytys.