RuukkilabraLukion fysiikka
FY4 · moduulin lopuksi

Sovella itsenäisesti

Näissä tehtävissä kukaan ei kerro, mitä kaavaa käyttää. Päätä itse, mitkä ilmiöt ja mallit tilanteeseen liittyvät, ratkaise tehtävä paperille ja perustele ratkaisusi, kuten ylioppilaskokeessa.

Kolme tehtävää kokoaa moduulin liikkeen, voimien, energian ja liikemäärän. Jokaisessa päätät itse, mitkä lait ja mallit tilanteeseen sopivat, ja perustelet valintasi.

Ratkaise ensin itse paperille tai tietokoneelle. Saat käyttää laskinta, taulukkokirjaa ja kuvaajaohjelmaa. Kirjoita näkyviin perustelut, kaavat, sijoitukset ja vastaukset yksiköineen.

Suksivoiteiden vertailu 19 pistettä

Simuloitu esimerkkiaineisto · Aineisto on laskettu malleista, eikä se ole oikean mittauksen tulos. Ensimmäisessä taulukossa kiihtyvyys on vakio; toisessa kiihtyvyys pienenee nopeuden kasvaessa ilmanvastuksen takia. Kumpaankin on lisätty pientä satunnaista vaihtelua mittauksen tapaan.

Hiihtoseuran valmentaja vertaa kahta liukuvoidetta, A ja B. Sama hiihtäjä, jonka massa varusteineen on $72\,\text{kg}$, laskee kummallakin voiteella samaa tasaista rinnettä, jonka kaltevuuskulma on $4{,}0^\circ$. Hiihtäjä seisoo suorana eikä työnnä sauvoilla. Rinteen sivulla oleva kamera kuvaa laskut, ja hiihtäjän nopeus määritetään videolta sekunnin välein. Ajanotto alkaa, kun hiihtäjä ohittaa lähtömerkin.

$t\ (\text{s})$ $v_\text{A}\ (\text{m/s})$ $v_\text{B}\ (\text{m/s})$
$0$ $2{,}10$ $1{,}90$
$1$ $2{,}52$ $2{,}12$
$2$ $2{,}86$ $2{,}42$
$3$ $3{,}31$ $2{,}62$
$4$ $3{,}63$ $2{,}90$
$5$ $4{,}06$ $3{,}09$
$6$ $4{,}40$ $3{,}40$
$7$ $4{,}86$ $3{,}59$
$8$ $5{,}23$ $3{,}86$

Ilmanvastuksen vaikutuksen arvioimiseksi hiihtäjä laski voiteella A vielä kuusi kertaa samaa rinnettä eri kohdista lähtien, jolloin hän ohitti rinteen keskellä olevan mittausvälin eri nopeuksilla. Jokaisesta laskusta määritettiin mittausvälin nopeus $v$ ja kiihtyvyys $a$ niin lyhyeltä matkalta, että nopeus muuttui sillä vain vähän.

$v\ (\text{m/s})$ $a\ (\text{m/s}^2)$
$2{,}0$ $0{,}43$
$3{,}0$ $0{,}41$
$4{,}5$ $0{,}36$
$6{,}0$ $0{,}30$
$7{,}5$ $0{,}20$
$9{,}0$ $0{,}10$
  1. a) Piirrä kummankin laskun $(t, v)$-kuvaaja samaan koordinaatistoon ja sovita kumpaankin pisteistöön malli. 3 p
  2. b) Piirrä hiihtäjän voimakuvio laskun aikana. Ilmanvastusta ei tarvitse ottaa huomioon. 3 p
  3. c) Määritä kummankin voiteen liikekitkakerroin. 5 p
  4. d) Valmentaja päättelee, että voide A liukuu paremmin. Arvioi, kuinka luotettava johtopäätös on. Ota huomioon tulosten epävarmuus ja se, että ilmanvastus jätettiin pois. 3 p
  5. e) Piirrä lisämittauksen $(v, a)$-kuvaaja. Määritä kuvaajasta kiihtyvyys, joka hiihtäjällä olisi ilman ilmanvastusta, ja arvioi sen avulla, kuinka paljon ilmanvastus muutti c-kohdan kitkakerrointa $\mu_\text{A}$. 5 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Kysytty

kummankin laskun $(t, v)$-kuvaaja ja niihin sovitettu malli

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on aika $t\ (\text{s})$ ja pystyakselilla nopeus $v\ (\text{m/s})$. Kummankin voiteen pisteet merkitään omilla merkeillään, esimerkiksi ympyröinä ja neliöinä.

$2$
$4$
$6$
$8$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$0$
$t\ (\text{s})$
$v\ (\text{m/s})$
$\text{voide A: } 0{,}39\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
$\text{voide B: } 0{,}245\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Mallivastaus

Kummankin laskun pisteet ovat lähes suoralla, joten nopeus kasvaa tasaisesti ja kiihtyvyys on lähes vakio. Kumpaankin pisteistöön sovitetaan oma suora, joka kulkee pisteiden lomitse, eikä pisteitä yhdistetä murtoviivaksi. Pisteiden pieni heilunta suoran molemmin puolin on mittauksen satunnaista vaihtelua. Voiteen A suora on jyrkempi, eli hiihtäjä kiihtyy sillä nopeammin.

b)

Kysytty

hiihtäjän voimakuvio laskun aikana, kun ilmanvastusta ei oteta huomioon

Periaate

Valitaan kappaleeksi hiihtäjä varusteineen ja etsitään, mikä on vuorovaikutuksessa sen kanssa: Maa (paino) ja rinteen lumi (tukivoima ja kitka). Ilma jätetään tehtävän mukaan pois. Hiihtäjä ei työnnä sauvoilla, joten eteenpäin vievää voimaa ei ole: liike rinnettä alas ei vaadi omaa voimaansa.

$\text{tilannekuva}$
$\overline{v}$
$\text{voimakuvio}$
$\overline{G}$
$\overline{N}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\overline{a}$
$x$
$y$

Mallivastaus

Hiihtäjä piirretään rinteen suuntaiseksi suorakulmioksi.
- Paino $\overline{G}$ lähtee keskipisteestä suoraan alas, ei kohtisuoraan rinnettä vastaan.
- Tukivoima $\overline{N}$ lähtee alapinnasta kohtisuoraan rinteestä ulospäin. Se on yhtä suuri kuin painon rinnettä vastaan kohtisuora komponentti, joten se on hieman painoa pienempi.
- Liikekitka $\overline{F}_\mu$ lähtee alapinnan ylemmästä kulmasta rinnettä ylöspäin, koska hiihtäjä liukuu rinnettä alas.

Kiihtyvyys $\overline{a}$ osoittaa rinnettä alas, joten voimien summa osoittaa myös rinnettä alas: painon rinteen suuntainen komponentti on suurempi kuin kitka. Kiihtyvyysnuoli piirretään kappaleen viereen omalla värillään, koska se ei ole voima. Mallikuvan katkoviivanuolet $G_x$ ja $G_y$ ovat painon komponentit rinteen suuntaan ja sitä vastaan kohtisuoraan, eivät uusia voimia: ne korvaavat yhdessä painon ja auttavat c-kohdan liikeyhtälöissä. Omaan voimakuvioon niitä ei tarvitse piirtää. Mallikuvassa rinne on piirretty jyrkemmäksi ja kitka suuremmaksi kuin tehtävässä, jotta nuolet erottuvat: $4{,}0^\circ$:n rinteessä tukivoima on lähes yhtä suuri kuin paino ja kitka hyvin lyhyt.

c)

Annettu

rinteen kaltevuuskulma $\alpha = 4{,}0^\circ$, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ja a-kohdan kuvaaja; massa $m = 72\,\text{kg}$

Kysytty

liikekitkakertoimet $\mu_\text{A}$ ja $\mu_\text{B}$

Periaate

Kuvaajat ovat suoria, joten kiihtyvyys on vakio ja se on suoran kulmakerroin. Newtonin toisen lain mukaan kiihtyvyyden aiheuttaa voimien summa, joten kiihtyvyydestä päätellään kitkavoima ja siitä kitkakerroin. Rinteessä akselit kannattaa valita rinteen suuntaisesti, koska liike on rinteen suuntaista.

Voimakuvio

b-kohdan kuvio: $x$-akseli rinnettä alas ja $y$-akseli kohtisuoraan rinteestä ulos. Painon komponentit ovat $G_x = mg\sin\alpha$ rinnettä alas ja $G_y = mg\cos\alpha$ rinnettä kohti. Tukivoima on $y$-akselin suuntaan ja kitka $x$-akselia vastaan.

$x$
$y$
$\overline{G}$
$\overline{F}_{\mu}$
$\overline{N}$
$\overline{G}_{x}$
$\overline{G}_{y}$
$\overline{a}$

Kuvaajan lukeminen

Voiteen A suora kulkee pisteiden $(0\,\text{s}$; $2{,}10\,\text{m/s})$ ja $(8\,\text{s}$; $5{,}22\,\text{m/s})$ kautta, joten

$a_\text{A}$$= \dfrac{3{,}12\,\text{m/s}}{8\,\text{s}}$
$= 0{,}39\,\text{m/s}^2$

Voiteen B suora kulkee pisteiden $(0\,\text{s}$; $1{,}90\,\text{m/s})$ ja $(8\,\text{s}$; $3{,}86\,\text{m/s})$ kautta, joten

$a_\text{B}$$= \dfrac{1{,}96\,\text{m/s}}{8\,\text{s}}$
$= 0{,}245\,\text{m/s}^2$

Kaava

$y$: $N - mg\cos\alpha = 0$, joten $N = mg\cos\alpha$. $x$: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$ eli $mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma$. Massa supistuu, ja

$\mu$$= \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$

Muunnokset

Ei tarvita, kiihtyvyydet ovat yksikössä $\text{m/s}^2$.

Sijoitus

$g\sin\alpha$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \sin 4{,}0^\circ$
$= 0{,}684\,\text{m/s}^2$
$g\cos\alpha$$= 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot \cos 4{,}0^\circ$
$= 9{,}786\,\text{m/s}^2$
$\mu_\text{A}$$= \dfrac{(0{,}684 - 0{,}39)\,\text{m/s}^2}{9{,}786\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}030$
$\mu_\text{B}$$= \dfrac{(0{,}684 - 0{,}245)\,\text{m/s}^2}{9{,}786\,\text{m/s}^2}$
$= 0{,}045$

Vastaus

$\mu_\text{A} \approx 0{,}030$

Ja $\mu_\text{B} \approx 0{,}045$. Kitkakertoimella ei ole yksikköä. Kaksi merkitsevää numeroa, koska kulmakertoimet luetaan kuvaajalta noin kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Voidellun suksen ja lumen kitkakerroin on muutaman sadasosan suuruinen, paljon pienempi kuin esimerkiksi kengän ja lattian. Kumpikin kiihtyvyys on pienempi kuin $g\sin\alpha = 0{,}684\,\text{m/s}^2$, jonka hiihtäjä saisi ilman kitkaa. Massaa $72\,\text{kg}$ ei tarvittu, koska paino, tukivoima ja kitka ovat kaikki verrannollisia massaan.

d)

Kysytty

kuinka luotettava johtopäätös "voide A liukuu paremmin" on

Periaate

Johtopäätös on luotettava, jos voiteiden ero on selvästi suurempi kuin tulosten epävarmuus ja jos virhelähteet eivät voi kääntää eroa toisin päin.

Mallivastaus

Epävarmuus. Pisteet ovat lähellä suoria, joten kulmakertoimen voi lukea noin $\pm 0{,}02\,\text{m/s}^2$:n tarkkuudella. Kitkakertoimessa se tarkoittaa $0{,}02\,\text{m/s}^2 : 9{,}786\,\text{m/s}^2 \approx 0{,}002$. Rinteen kulman epävarmuus, esimerkiksi $\pm 0{,}1^\circ$, muuttaa kumpaakin kerrointa noin $0{,}002$ samaan suuntaan, joten se ei muuta eroa. Voiteiden ero $0{,}045 - 0{,}030 = 0{,}015$ on monta kertaa suurempi.

Ilmanvastus. Ilmanvastus osoittaa rinnettä ylös kuten kitka, joten se pienentää kiihtyvyyttä. Kun se jätetään pois, kaikki hidastava vaikutus lasketaan kitkan ansioksi, ja kumpikin kitkakerroin saadaan todellista suuremmaksi. Ilmanvastus kasvaa nopeuden mukana, ja laskussa A hiihtäjä liikkuu nopeammin, joten voiteen A kerroin on yliarvioitu enemmän. Voiteen A todellinen etu on siis vähintään yhtä suuri kuin laskettu.

Johtopäätös. Voide A liukuu näillä tiedoilla paremmin. Kumpaakin voidetta on kuitenkin kokeiltu vain kerran, ja lumi tai tuuli voi muuttua laskujen välillä. Varmempi tulos saadaan toistamalla laskut vuorotellen kummallakin voiteella.

e)

Kysytty

lisämittauksen $(v, a)$-kuvaaja, kiihtyvyys ilman ilmanvastusta ja ilmanvastuksen vaikutus c-kohdan kitkakertoimeen $\mu_\text{A}$

Kuvaaja

Vaaka-akselilla on nopeus $v\ (\text{m/s})$ ja pystyakselilla kiihtyvyys $a\ (\text{m/s}^2)$. Jokainen lasku merkitään omaksi pisteekseen, ja pisteisiin sovitetaan kaareva käyrä, jota jatketaan katkoviivana pystyakselille asti.

$2$
$4$
$6$
$8$
$10$
$0{,}1$
$0{,}2$
$0{,}3$
$0{,}4$
$0{,}5$
$0$
$v\ (\text{m/s})$
$a\ (\text{m/s}^2)$
$a_0 \approx 0{,}45\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Mallivastaus

Kiihtyvyys pienenee nopeuden kasvaessa yhä jyrkemmin, joten pisteisiin ei sovi suora vaan kaareva käyrä. Kitkavoima ei riipu nopeudesta, mutta ilmanvastus kasvaa nopeuden mukana, joten kiihtyvyyden pieneneminen johtuu ilmanvastuksesta. Hyvin pienellä nopeudella ilmanvastus on lähes nolla. Kun käyrää jatketaan nopeuteen $v = 0$, saadaan kiihtyvyys ilman ilmanvastusta: $a_0 \approx 0{,}45\,\text{m/s}^2$.

Sijoitetaan $a_0$ c-kohdan yhtälöön: $\mu_\text{A} = \dfrac{g\sin\alpha - a_0}{g\cos\alpha} = \dfrac{(0{,}684 - 0{,}45)\,\text{m/s}^2}{9{,}786\,\text{m/s}^2} \approx 0{,}024$.

c-kohdan arvo $0{,}030$ on siis noin $0{,}006$ liian suuri, eli virhe on noin viidesosa c-kohdan arvosta, koska siinä ilmanvastuksen hidastava vaikutus laskettiin kitkan ansioksi. Kyse on systemaattisesta virheestä: se muuttaa tulosta aina samaan suuntaan, eikä laskujen toistaminen poista sitä. Virhe on noin kolme kertaa niin suuri kuin kulmakertoimen lukemisen epävarmuus $0{,}002$, mutta pienempi kuin voiteiden ero $0{,}015$. Hitaammassa laskussa B ilmanvastus vaikuttaa vähemmän, joten voide A liukuu paremmin myös korjauksen jälkeen.

Hyväksytään myös

  • c-kohdassa kulmakertoimen saa myös laskimen tai taulukkolaskennan suoran sovituksesta ($0{,}390$ ja $0{,}245\,\text{m/s}^2$) tai kahdesta muusta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kulmakertoimet $0{,}37\text{–}0{,}41\,\text{m/s}^2$ ja $0{,}23\text{–}0{,}26\,\text{m/s}^2$ hyväksytään.
  • b-kohdassa ilmanvastuksen $\overline{F}_\text{v}$ saa piirtää rinnettä ylös, kun se on nimetty, mutta tehtävä ei sitä vaadi.
  • e-kohdassa käyrän ja pystyakselin leikkauskohdaksi hyväksytään $a_0 = 0{,}43\text{–}0{,}47\,\text{m/s}^2$ ja siitä laskettu $\mu_\text{A} \approx 0{,}022\text{–}0{,}026$.

Yleisiä virheitä

  • Kitkakertoimeksi lasketaan $\mu = a : g$ kuten vaakasuoralla alustalla, jolloin rinteen kaltevuus unohtuu. Silloin voide A näyttäisi liukuvan huonommin, koska sen kiihtyvyys on suurempi.
  • Tukivoimaksi otetaan $N = mg$, vaikka rinteessä $N = mg\cos\alpha$. Pienellä kulmalla virhe on pieni, mutta perustelu on väärä.
  • Voimakuvioon piirretään eteenpäin vievä voima, koska hiihtäjä liikkuu alas. Rinteen suuntainen liike johtuu painon komponentista.
  • Painon komponentit piirretään omiksi voimikseen painon lisäksi, jolloin paino tulee laskettua kahteen kertaan.
  • Kulmakerroin luetaan kahdesta vierekkäisestä mittauspisteestä, jolloin yksittäisen pisteen satunnainen virhe vaikuttaa tulokseen paljon.
  • e-kohdassa pisteisiin sovitetaan suora, tai käyrä lopetetaan pienimpään mitattuun nopeuteen, jolloin kiihtyvyyttä ilman ilmanvastusta ei saada.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. Laskujen pisteet erottuvat toisistaan, esimerkiksi eri merkein. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Kumpaankin pisteistöön on sovitettu oma suora. 1 p

b)3 p

Kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat mukana, eikä kuviossa ole keksittyjä voimia. Paino, rinteen tukivoima ja liikekitka; ei eteenpäin vievää voimaa. 1 p
Jokainen voima osoittaa fysikaalisesti oikeaan suuntaan. Paino suoraan alas, tukivoima kohtisuoraan rinteestä ulos ja kitka rinnettä ylös. 1 p
Voimanuolet lähtevät kappaleesta järkevästä kohdasta, ja jokaisella voimalla on oma yksiselitteinen nimi. Hiihtäjä on rinteen suuntainen suorakulmio; paino lähtee keskipisteestä, tukivoima ja kitka kosketuspinnasta, ja jokaisella voimalla on oma symboli. 1 p

c)5 p

Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Kiihtyvyydet suorien kulmakertoimina: $a_\text{A} \approx 0{,}39\,\text{m/s}^2$ ja $a_\text{B} \approx 0{,}245\,\text{m/s}^2$. 1 p
Liikeyhtälöt on muodostettu voimakuviosta: akselit ja positiivinen suunta on valittu, ja etumerkit ovat oikein. $x$-akseli rinnettä alas: $mg\sin\alpha - \mu N = ma$, ja $y$: $N - mg\cos\alpha = 0$. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\mu = \dfrac{g\sin\alpha - a}{g\cos\alpha}$; massa supistuu. 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. Molempien voiteiden kertoimet on laskettu samalla tavalla. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $\mu_\text{A} \approx 0{,}030$ ja $\mu_\text{B} \approx 0{,}045$, ilman yksikköä. 1 p

d)3 p

Mittauksen epävarmuus on arvioitu. Esimerkiksi kulmakertoimen lukemisen epävarmuus $\pm 0{,}02\,\text{m/s}^2$ muuttaa kitkakerrointa vain noin $\pm 0{,}002$, mikä on paljon vähemmän kuin voiteiden ero $0{,}015$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. Ilmanvastus pienentää kiihtyvyyttä, joten laskettu kitkakerroin on todellista suurempi; nopeammassa laskussa A vaikutus on suurempi. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Ero on epävarmuutta suurempi, joten voide A liukuu paremmin; varmuuden saa toistamalla laskut. 1 p

e)5 p

Akseleilla ovat oikeat suureet ja yksiköt, ja asteikot ovat tasavälisiä. 1 p
Jokainen mittaus on merkitty erillisenä pisteenä oikealle paikalleen. 1 p
Malli on sovitettu niihin pisteisiin, joihin se sopii, eikä pisteitä ole yhdistetty murtoviivaksi. Pisteisiin on sovitettu kaareva käyrä, joka loivenee pienillä nopeuksilla; suora ei sovi pisteistöön. 1 p
Kulmakerroin tai muu suure on luettu kuvaajalta näkyvästi, kahdesta kaukana toisistaan olevasta suoran pisteestä. Käyrää on jatkettu nopeuteen $v = 0$, ja sen leikkauskohta pystyakselilla on luettu: $a_0 \approx 0{,}45\,\text{m/s}^2$. 1 p
Tärkeimmät virhelähteet on nimetty ja kerrottu, miten ne vaikuttavat tulokseen. $\mu_\text{A} \approx 0{,}024$. Ilmanvastus on systemaattinen virhe: se suurensi c-kohdan arvoa noin $0{,}006$:lla, mikä on enemmän kuin lukemisen epävarmuus $0{,}002$ mutta vähemmän kuin voiteiden ero $0{,}015$, eikä toistaminen poista sitä. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 19 (19 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Vaijeriliuku 14 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Vaijeriliuku ja mittaustulos ovat keksittyjä esimerkkejä.

Leirikeskuksen vaijeriliu'ussa laskija roikkuu valjaissa pyörillä kulkevan vaunun alla ja liukuu teräsvaijeria pitkin rinteen yli. Lähtölava on $15{,}0\,\text{m}$ korkeammalla kuin jarrun alkukohta, ja vaijeria on lähtölavalta jarrun alkuun $180\,\text{m}$. Laskija lähtee levosta. Jarrun alusta eteenpäin vaijeri on lähes vaakasuora, ja siinä jousijarru pysäyttää laskijan.

Ohjaaja kertoo laskijoille: ”Jarrulle tullaan yli $60\,\text{km/h}$:n vauhdilla.” Tutkamittarilla mitattiin jarrun alussa $62\,\text{kg}$:n laskijan nopeudeksi $11{,}2\,\text{m/s}$.

  1. a) Millaiseen laskelmaan ohjaajan väite voi perustua? Laske nopeus jarrun alussa tällä mallilla. 3 p
  2. b) Mittaus ei vastaa ohjaajan väitettä. Määritä mittauksen perusteella, kuinka suuri voima keskimäärin vastustaa laskijan liikettä vaijerilla. 4 p
  3. c) Ohjaaja arvioi $95\,\text{kg}$:n laskijan nopeuden jarrun alussa olettaen, että liikettä vastustaa sama voima kuin b-kohdassa. Laske arvio. 3 p
  4. d) Toinen ohjaaja väittää: ”Painava laskija ei tule yhtään nopeammin, koska kitkakin kasvaa massan mukana.” Arvioi kummankin ohjaajan mallia. Kumman arvion mukaan jarru kannattaa mitoittaa? 4 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

korkeusero lähtölavalta jarrun alkuun $h = 15{,}0\,\text{m}$, laskija lähtee levosta, $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

nopeus $v$ jarrun alussa ohjaajan mallilla

Periaate

Ohjaajan luku saadaan, kun kitkaa ja ilmanvastusta ei oteta huomioon. Silloin laskijaan vaikuttavat vain paino ja vaijerin voima vaunun kautta. Vaijerin voima on kohtisuorassa vaijeria vastaan eli liikettä vastaan, joten se ei tee työtä. Työtä tekee vain paino, joten mekaaninen energia säilyy: potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi. Vaijerin muoto ja pituus eivät silloin vaikuta loppunopeuteen, vain korkeusero.

Kaava

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$, josta $v = \sqrt{2gh}$

Muunnokset

Ei tarvita laskussa. Vertailua varten $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$v$$= \sqrt{2 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}}$
$= \sqrt{294{,}3}\,\text{m/s}$
$= 17{,}2\,\text{m/s}$

$17{,}2 \cdot 3{,}6\,\text{km/h} = 61{,}8\,\text{km/h}$

Vastaus

$v \approx 17{,}2\,\text{m/s} \approx 62\,\text{km/h}$

Kolme merkitsevää numeroa kuten korkeudessa $15{,}0\,\text{m}$. Ohjaajan väite perustuu siis malliin, jossa mekaaninen energia säilyy.

Järkevyys

Sama nopeus saavutettaisiin, jos laskija putoaisi vapaasti $15\,\text{m}$. Se on suurin mahdollinen nopeus, koska todellisuudessa osa energiasta muuttuu lämmöksi.

b)

Annettu

$m = 62\,\text{kg}$, $h = 15{,}0\,\text{m}$, vaijerin pituus lähtölavalta jarrun alkuun $s = 180\,\text{m}$ ja mitattu nopeus $v = 11{,}2\,\text{m/s}$

Kysytty

liikettä keskimäärin vastustava voima $F_\text{vast}$

Periaate

Mitattu $11{,}2\,\text{m/s} \approx 40\,\text{km/h}$ on paljon pienempi kuin a-kohdan $17{,}2\,\text{m/s}$, joten mekaaninen energia ei säily. Vaunun pyörien kitka ja ilmanvastus vastustavat liikettä koko matkan ajan ja tekevät negatiivista työtä. Mekaniikan energiaperiaatteen mukaan $E_{\text{k},1} + E_{\text{p},1} + W_\text{muut} = E_{\text{k},2} + E_{\text{p},2}$. Nollatasoksi valitaan jarrun alkukohta, jossa nopeus mitattiin. Kun vastusvoimien yhteistä vaikutusta kuvataan liikkeen suuntaa vastaan osoittavalla keskimääräisellä voimalla $F_\text{vast}$, sen työ on $W_\text{muut} = -F_\text{vast}\,s$.

Kaava

$mgh - F_\text{vast}\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$, josta

$F_\text{vast}$$= \dfrac{mgh - \tfrac{1}{2}mv^2}{s}$

Muunnokset

Ei tarvita, kaikki suureet ovat perusyksiköissä.

Sijoitus

$E_\text{p}$$= 62\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$
$= 9123\,\text{J}$
$E_\text{k}$$= \tfrac{1}{2} \cdot 62\,\text{kg} \cdot (11{,}2\,\text{m/s})^2$
$= 3889\,\text{J}$
$F_\text{vast}$$= \dfrac{9123\,\text{J} - 3889\,\text{J}}{180\,\text{m}}$
$= \dfrac{5234\,\text{J}}{180\,\text{m}}$
$= 29{,}1\,\text{N}$

Vastaus

$F_\text{vast} \approx 29\,\text{N}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten massassa $62\,\text{kg}$.

Järkevyys

Voima on noin $5\,\%$ laskijan painosta $608\,\text{N}$, mikä sopii pyörien kitkalle ja ilmanvastukselle. Matka on kuitenkin pitkä, joten energiasta muuttuu lämmöksi yli puolet: $5234\,\text{J} : 9123\,\text{J} \approx 0{,}57$.

c)

Annettu

$m = 95\,\text{kg}$, $h = 15{,}0\,\text{m}$, $s = 180\,\text{m}$ ja b-kohdan vastusvoiman työ $F_\text{vast}\,s = 5234\,\text{J}$ ($F_\text{vast} \approx 29\,\text{N}$)

Kysytty

painavamman laskijan nopeus $v$ jarrun alussa ohjaajan oletuksella

Periaate

Sama energiaperiaate kuin b-kohdassa, mutta nyt tuntematon on nopeus. Vastusvoiman työ on oletuksen mukaan sama kuin kevyellä laskijalla, mutta potentiaalienergia on massan mukana suurempi.

Kaava

$mgh - F_\text{vast}\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$, josta

$v$$= \sqrt{\dfrac{2\,(mgh - F_\text{vast}\,s)}{m}}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$mgh$$= 95\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 15{,}0\,\text{m}$
$= 13\,979\,\text{J}$

ja b-kohdan mukaan $F_\text{vast}\,s = 5234\,\text{J}$, joten

$E_\text{k}$$= 13\,979\,\text{J} - 5234\,\text{J}$
$= 8745\,\text{J}$
$v$$= \sqrt{\dfrac{2 \cdot 8745\,\text{J}}{95\,\text{kg}}}$
$= \sqrt{184{,}1}\,\text{m/s}$
$= 13{,}6\,\text{m/s}$

Vastaus

$v \approx 14\,\text{m/s}$

(tarkemmin $13{,}6\,\text{m/s} \approx 49\,\text{km/h}$). Kaksi merkitsevää numeroa, koska massa $95\,\text{kg}$ ja vastusvoima $29\,\text{N}$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella.

Järkevyys

Nopeus on kevyen laskijan $11{,}2\,\text{m/s}$:n ja kitkattoman mallin $17{,}2\,\text{m/s}$:n välissä, kuten pitääkin: sama vastustyö vie raskaalta laskijalta pienemmän osan energiasta.

d)

Kysytty

kummankin ohjaajan mallin arvio ja se, kumman arvion mukaan jarru mitoitetaan

Periaate

Mallit eroavat siinä, miten vastusvoima riippuu laskijan massasta. Energiayhtälöstä nähdään, mitä kumpikin oletus tarkoittaa nopeudelle.

Mallivastaus

Toisen ohjaajan malli. Jos koko vastusvoima olisi kitkaa, joka on verrannollinen tukivoimaan ja siten massaan, $F_\text{vast} = k\,mg$, energiayhtälö olisi $mgh - k\,mg\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$. Massa supistuu, ja jokainen laskija saisi saman nopeuden $11{,}2\,\text{m/s}$.

Vastusvoimat eriteltyinä. Vaunun pyörien kitka kasvaa massan mukana, koska vaijerin ja pyörien välinen tukivoima kasvaa laskijan painon mukana. Ilmanvastus sen sijaan riippuu nopeudesta sekä laskijan koosta ja asennosta, ei massasta. Painavalla laskijalla ilmanvastus on siis pienempi osa painosta, ja hän tulee nopeammin kuin kevyt laskija.

Arviot. c-kohdan arvio $14\,\text{m/s}$ on liian suuri, koska siinä myös kitka pysyy samana, vaikka se todellisuudessa kasvaa massan mukana. Toisen ohjaajan arvio $11{,}2\,\text{m/s}$ on liian pieni, koska ilmanvastus ei kasva massan mukana. Todellinen nopeus on näiden välissä.

Mitoitus. Jarru mitoitetaan suuremman arvion, $14\,\text{m/s}$:n, mukaan: jos todellinen nopeus on pienempi, jarru riittää varmasti, mutta liian pienelle nopeudelle mitoitettu jarru voisi pettää. Paras tieto saadaan mittaamalla tutkalla myös painavien laskijoiden nopeuksia.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa koko potentiaalienergian ja liike-energian erotus jaetaan korkeudella $15{,}0\,\text{m}$ eikä vastusvoiman kulkemalla matkalla $180\,\text{m}$.
  • a-kohdassa lasketaan vaijerin suuntaista kiihtyvyyttä ja matkaa kulman avulla, vaikka energian säilymisessä tarvitaan vain korkeusero.
  • c-kohdassa massan oletetaan supistuvan kuten a-kohdassa, jolloin nopeudeksi saadaan sama $11{,}2\,\text{m/s}$ perustelematta, miksi vastusvoima kasvaisi massan mukana.
  • d-kohdassa todetaan vain, että "raskas menee nopeammin" tai "massa ei vaikuta", vertaamatta kumpaakaan väitettä vastusvoimiin.

Hyväksytään myös

  • b- ja c-kohdassa voi käyttää pyöristettyä vastusvoimaa $F_\text{vast} = 29\,\text{N}$: silloin $F_\text{vast}\,s = 29\,\text{N} \cdot 180\,\text{m} = 5220\,\text{J}$, ja c-kohdan nopeudeksi tulee taas $13{,}6\,\text{m/s} \approx 14\,\text{m/s}$. c-kohdassa hyväksytään $13{,}6\,\text{m/s}$ ja $14\,\text{m/s}$.
  • d-kohdassa jarrun saa mitoittaa kitkattoman mallin ylärajan $17{,}2\,\text{m/s}$ mukaan tai c-kohdan arvion mukaan turvamarginaalilla painavampia laskijoita varten. Kumpikin on perusteltuna oikea ja turvallinen johtopäätös ja saa johtopäätöksen pisteen.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)3 p

Valitsee mekaanisen energian säilymisen ja perustelee sen: kun kitka ja ilmanvastus jätetään pois, vain paino tekee työtä, koska vaijerin voima on kohtisuorassa liikettä vastaan. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$, josta $v = \sqrt{2gh}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 17{,}2\,\text{m/s} \approx 62\,\text{km/h}$ 1 p

b)4 p

Selittää eron: kitka ja ilmanvastus tekevät negatiivista työtä, joten mekaaninen energia pienenee, ja käyttää siksi mekaniikan energiaperiaatetta. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $mgh - F_\text{vast}\,s = \tfrac{1}{2}mv^2$ ratkaistuna $F_\text{vast}$:n suhteen 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E_\text{p} \approx 9{,}12\,\text{kJ}$ ja $E_\text{k} \approx 3{,}89\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F_\text{vast} \approx 29\,\text{N}$ 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. Sama energiayhtälö uudella massalla, ratkaistuna $v$:n suhteen 1 p
Lukuarvot on sijoitettu yksiköineen, ja lasku on oikein. $E_\text{k} \approx 13{,}98\,\text{kJ} - 5{,}23\,\text{kJ} \approx 8{,}74\,\text{kJ}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v \approx 14\,\text{m/s}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten massa ja vastusvoima; myös $13{,}6\,\text{m/s}$ hyväksytään. 1 p

d)4 p

Osoittaa, että jos koko vastusvoima olisi verrannollinen massaan, massa supistuisi energiayhtälöstä ja nopeus olisi sama $11{,}2\,\text{m/s}$ kuin kevyellä laskijalla. 1 p
Erittelee vastusvoimat: vaunun pyörien kitka kasvaa tukivoiman ja siten massan mukana, mutta ilmanvastus riippuu nopeudesta ja laskijan koosta eikä massasta. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Todellinen nopeus on arvioiden välissä: c-kohdan arvio on liian suuri, koska kitka kasvaa massan mukana, ja toisen ohjaajan arvio liian pieni, koska ilmanvastus ei kasva massan mukana. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Jarru mitoitetaan suuremman nopeuden mukaan, koska turvallisuuden kannalta on parempi varautua liian suureen kuin liian pieneen nopeuteen. Myös mitoitus kitkattoman mallin ylärajan $17{,}2\,\text{m/s}$ mukaan on oikea. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 14 (14 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.

Peräänajo liikennevaloissa 16 pistettä

Keksitty esimerkkiaineisto · Onnettomuus ja raportin luvut ovat keksittyjä esimerkkejä.

Henkilöauto A seisoo punaisissa valoissa, ja sen kuljettaja painaa jarrua. Takaa tuleva auto B ajaa sen perään. Autot kiilautuvat toisiinsa kiinni ja liukuvat yhdessä suoraan eteenpäin, kunnes ne pysähtyvät. Kummankin auton pyörät ovat lukossa koko liukumisen ajan.

Poliisin raportista:

  • auton A massa kuljettajineen $1250\,\text{kg}$ ja auton B massa kuljettajineen $1700\,\text{kg}$
  • autojen yhteinen liukumamatka törmäyskohdasta pysähtymiseen $4{,}2\,\text{m}$ vaakasuoralla, kuivalla asfaltilla
  • lukossa olevien renkaiden ja tien välinen kitkakerroin $0{,}75$
  • nopeusrajoitus $40\,\text{km/h}$; auton B kuljettaja kertoo ajaneensa alle $40\,\text{km/h}$:n nopeudella.
  1. a) Kuinka suuri oli autojen yhteinen nopeus heti törmäyksen jälkeen? 4 p
  2. b) Arvioi auton B nopeus juuri ennen törmäystä. Pitääkö kuljettajan kertomus paikkansa? 4 p
  3. c) Auton A kuljettajan massa on $68\,\text{kg}$. Törmäys kesti noin $0{,}12\,\text{s}$, ja sinä aikana istuimen selkänoja kiihdytti kuljettajan auton mukana a-kohdan nopeuteen. Kuinka suuri keskimääräinen voima selkänojasta kohdistui kuljettajaan? Vertaa sitä kuljettajan painoon. 3 p
  4. d) Selitä, miksi lähelle takaraivoa säädetty niskatuki vähentää niskavammoja peräänajossa ja miksi hieman joustava selkänoja on parempi kuin täysin jäykkä. 3 p
  5. e) Arvioi b-kohdan tuloksen luotettavuutta. Nimeä kaksi oletusta ja kerro, kumpaan suuntaan kumpikin muuttaa arviota auton B nopeudesta. 2 p
Näytä mallivastaus ja pisteytys Avaa vasta, kun oma ratkaisusi on valmis.

Mallivastaus

a)

Annettu

$m_\text{A} = 1250\,\text{kg}$, $m_\text{B} = 1700\,\text{kg}$, liukumamatka $s = 4{,}2\,\text{m}$, kitkakerroin $\mu = 0{,}75$ ja $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$

Kysytty

autojen yhteinen nopeus $v'$ heti törmäyksen jälkeen

Periaate

Törmäyksen jälkeen autot liikkuvat yhtenä kappaleena, jonka massa on $m = m_\text{A} + m_\text{B}$. Tie on vaakasuora, joten pystysuunnassa ei ole kiihtyvyyttä ja tukivoima on yhtä suuri kuin paino, $N = mg$. Pyörät ovat lukossa, joten liikekitka on $F_\mu = \mu N = \mu mg$, ja se on ainoa vaakasuora voima. Kitka tekee negatiivista työtä, kunnes liike-energia on kulunut loppuun (energiaperiaate). Saman tuloksen antaa Newtonin toinen laki: hidastuvuus on $\mu g$.

Kaava

$\tfrac{1}{2}mv'^2 - \mu mg\,s = 0$, josta $v' = \sqrt{2\mu g s}$

Muunnokset

Ei tarvita. Massat supistuvat, joten niitä ei tarvita tässä kohdassa.

Sijoitus

$v'$$= \sqrt{2 \cdot 0{,}75 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \cdot 4{,}2\,\text{m}}$
$= \sqrt{61{,}8}\,\text{m/s}$
$= 7{,}86\,\text{m/s}$

Vastaus

$v' \approx 7{,}9\,\text{m/s}$

Kaksi merkitsevää numeroa kuten matkassa $4{,}2\,\text{m}$ ja kitkakertoimessa $0{,}75$.

Järkevyys

Hidastuvuus

$\mu g$$= 0{,}75 \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2$
$\approx 7{,}4\,\text{m/s}^2$

on tyypillinen jarrutukselle kuivalla asfaltilla. Nopeus $7{,}9\,\text{m/s} \approx 28\,\text{km/h}$ on pienempi kuin auton B nopeus ennen törmäystä, kuten pitääkin, koska B joutui kiihdyttämään myös auton A.

b)

Annettu

$m_\text{A} = 1250\,\text{kg}$ levossa, $m_\text{B} = 1700\,\text{kg}$ ja a-kohdan $v' = 7{,}86\,\text{m/s}$

Kysytty

auton B nopeus $v_\text{B}$ juuri ennen törmäystä ja pitääkö kertomus paikkansa

Periaate

Törmäyksessä autot vaikuttavat toisiinsa suurilla voimilla, jotka ovat Newtonin kolmannen lain mukaan yhtä suuret ja vastakkaiset. Nämä sisäiset voimat eivät muuta autojen yhteistä liikemäärää. Ulkoinen voima, tien kitka, on paljon pienempi kuin törmäysvoimat, ja törmäys kestää vain sekunnin murto-osan, joten kitkan impulssi törmäyksen aikana on pieni. Siksi liikemäärä säilyy lähes. Positiivinen suunta valitaan auton B liikkeen suuntaan.

$\text{ennen}$
$\text{B}$
$\text{A}$
$\overline{v}_\text{B}$
$\overline{p}_\text{B}$
$v_\text{A} = 0$
$\text{jälkeen}$
$\text{B}$
$\text{A}$
$\overline{v}{}'$
$\overline{p}{}'$
$+$

Kaava

$m_\text{B}v_\text{B} + m_\text{A} \cdot 0 = (m_\text{A} + m_\text{B})\,v'$, josta

$v_\text{B}$$= \dfrac{(m_\text{A} + m_\text{B})\,v'}{m_\text{B}}$

Muunnokset

Vertailua varten $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Sijoitus

$v_\text{B}$$= \dfrac{2950\,\text{kg} \cdot 7{,}86\,\text{m/s}}{1700\,\text{kg}}$
$= 13{,}6\,\text{m/s}$

$13{,}6 \cdot 3{,}6\,\text{km/h} = 49\,\text{km/h}$

Vastaus

$v_\text{B} \approx 14\,\text{m/s}$

(tarkemmin $13{,}6\,\text{m/s} \approx 49\,\text{km/h}$). Kaksi merkitsevää numeroa, koska liukumamatka $4{,}2\,\text{m}$ ja kitkakerroin $0{,}75$ tunnetaan kahden numeron tarkkuudella. Kertomus ei pidä paikkaansa: auton B nopeus oli törmäyshetkellä noin $9\,\text{km/h}$ yli rajoituksen. Pyörät olivat lukossa heti törmäyksen jälkeen, joten kuljettaja oli todennäköisesti jarruttanut jo ennen törmäystä, ja ennen jarrutusta nopeus oli vielä suurempi.

Järkevyys

Yhteinen nopeus on pienempi kuin $v_\text{B}$, koska sama liikemäärä jakautuu suuremmalle massalle. Liike-energia pienenee törmäyksessä noin $158\,\text{kJ}$:sta noin $91\,\text{kJ}$:en: noin $40\,\%$ siitä kuluu peltien rutistumiseen, mikä sopii kimmottomaan törmäykseen.

c)

Annettu

kuljettajan massa $m = 68\,\text{kg}$, nopeuden muutos $\Delta v = v' - 0 = 7{,}86\,\text{m/s}$ ja törmäyksen kesto $\Delta t = 0{,}12\,\text{s}$

Kysytty

selkänojan keskimääräinen voima $F_\text{ka}$ kuljettajaan ja sen vertailu painoon

Periaate

Kuljettaja on aluksi levossa ja liikkuu törmäyksen jälkeen auton mukana nopeudella $v'$. Vaakasuunnassa hänen liikemääränsä muuttaa selkänojan voima, joten impulssiperiaatteen mukaan sen impulssi on yhtä suuri kuin kuljettajan liikemäärän muutos. Voima ei ole vakio, joten lasketaan keskimääräinen voima.

Kaava

$F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, josta

$F_\text{ka}$$= \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$

ja vertailu $\dfrac{F_\text{ka}}{mg}$

Muunnokset

Ei tarvita.

Sijoitus

$F_\text{ka}$$= \dfrac{68\,\text{kg} \cdot 7{,}86\,\text{m/s}}{0{,}12\,\text{s}}$
$= 4455\,\text{N}$
$\dfrac{F_\text{ka}}{mg}$$= \dfrac{4455\,\text{N}}{68\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2}$
$= \dfrac{4455\,\text{N}}{667\,\text{N}}$
$= 6{,}7$

Vastaus

$F_\text{ka} \approx 4{,}5\,\text{kN}$

Eli noin $6{,}7$-kertainen kuljettajan painoon verrattuna. Kaksi merkitsevää numeroa kuten törmäyksen kestossa $0{,}12\,\text{s}$.

Järkevyys

Kuljettajan keskimääräinen kiihtyvyys on $7{,}86\,\text{m/s} : 0{,}12\,\text{s} \approx 66\,\text{m/s}^2$ eli lähes $7g$. Se on suuri mutta tyypillinen peräänajolle, ja voima jakautuu koko selkänojan alalle, joten vartalo kestää sen. Huippuvoima on keskimääräistä suurempi.

d)

Kysytty

miksi niskatuki ja joustava selkänoja vähentävät vammoja

Periaate

Kappaleen nopeus muuttuu vain, kun siihen vaikuttaa voima (Newtonin ensimmäinen laki). Nopeuden muutokseen tarvittava impulssi on $m\,\Delta v$, ja keskimääräinen voima on $F_\text{ka} = m\,\Delta v : \Delta t$.

Mallivastaus

Peräänajossa selkänoja työntää kuljettajan vartaloa eteenpäin. Pää ei ole kiinni selkänojassa, joten se pyrkii jatkamaan entisellä nopeudellaan eli pysymään paikallaan. Vartalo liikkuu pään alta eteenpäin, ja niska taipuu taaksepäin ja venyy, kunnes niskan lihakset ja nivelsiteet vetävät päänkin mukaan. Tämä äkillinen taipuminen aiheuttaa niskavamman, niin sanotun piiskaniskun.

Kun niskatuki on lähellä takaraivoa, se työntää päätä eteenpäin lähes samaan aikaan kuin selkänoja vartaloa. Pää saa tarvitsemansa impulssin suoraan niskatuesta, joten niska ei taivu eikä sen tarvitse välittää suurta voimaa päähän. Kaukana oleva niskatuki ei auta, koska niska ehtii taipua ennen kuin pää osuu tukeen.

Kuljettajan nopeuden muutos $\Delta v$ on sama, oli selkänoja jäykkä tai joustava. Joustava selkänoja pidentää aikaa $\Delta t$, jonka kuluessa nopeus muuttuu, joten keskimääräinen voima $F_\text{ka} = m\,\Delta v : \Delta t$ on pienempi. Esimerkiksi kaksinkertainen aika puolittaa keskimääräisen voiman.

e)

Kysytty

kaksi b-kohdan oletusta ja niiden vaikutuksen suunta auton B nopeuden arvioon

Periaate

Jokaisen oletuksen kohdalla mietitään, olisiko todellinen nopeus suurempi vai pienempi kuin laskettu.

Mallivastaus

Mitkä tahansa kaksi perusteltuna:
- Liikemäärä säilyy törmäyksessä. Kitka vaikuttaa jo törmäyksen aikana ja pienentää autojen yhteistä liikemäärää. Kitka on enintään $\mu (m_\text{A} + m_\text{B})\,g \approx 21{,}7\,\text{kN}$, joten $0{,}12\,\text{s}$:n aikana sen impulssi on enintään noin $2600\,\text{N}\cdot\text{s}$, noin $11\,\%$ auton B liikemäärästä. Todellinen $v_\text{B}$ voi siis olla jopa noin $15\,\text{m/s}$, eli laskettu arvo on alaraja.
- Kitkakerroin on $0{,}75$. Jos todellinen kitkakerroin oli pienempi, sama liukumamatka vastaa pienempää nopeutta, jolloin $v_\text{B}$ on laskettua pienempi. Suuremmalla kertoimella se on suurempi.
- Pyörät olivat lukossa koko matkan. Jos jokin pyörä pyöri välillä, kitka oli pienempi, ja todellinen $v_\text{B}$ on laskettua pienempi.

Johtopäätös rajoituksen ylittymisestä on silti vahva: kitkan vaikutus törmäyksen aikana kasvattaa arviota, ja kitkakertoimen pitäisi olla selvästi pienempi kuin $0{,}75$, jotta nopeus olisi alle $40\,\text{km/h}$.

Hyväksytään myös

  • a-kohdan voi ratkaista Newtonin toisella lailla ja tasaisesti hidastuvan liikkeen kaavalla: $a = \mu g$ ja $v'^2 = 2as$.
  • b- ja c-kohdassa a-kohdan tulos voi olla pyöristetty, esimerkiksi $7{,}9\,\text{m/s}$; tulokset $13{,}5\text{–}14\,\text{m/s}$ ja $4{,}4\text{–}4{,}5\,\text{kN}$ hyväksytään.

Yleisiä virheitä

  • b-kohdassa käytetään liike-energian säilymistä, vaikka autot jäävät kiinni toisiinsa ja liike-energiaa kuluu rutistumiseen. Silloin $v_\text{B}$ saadaan liian pieneksi.
  • a-kohdassa kitkan oletetaan riippuvan vain auton B massasta, vaikka liukuvat yhdessä molemmat autot.
  • Liukumamatkan perusteella laskettu nopeus tulkitaan suoraan auton B nopeudeksi ennen törmäystä.
  • c-kohdassa nopeus muutetaan yksiköstä $\text{km/h}$ väärin tai voimaa ei verrata painoon vaan massaan.
  • d-kohdassa sanotaan, että "pää lentää taaksepäin". Pää ei saa taaksepäin suuntautuvaa voimaa: vartalo liikkuu sen alta eteenpäin.

Pisteytys ja itsearviointi

Vertaa ratkaisuasi mallivastaukseen ja valitse jokaisesta kohdasta pisteet, jotka ratkaisusi mielestäsi ansaitsee. Osapisteet ovat mahdollisia, ja myös muu fysikaalisesti oikea ratkaisutapa kelpaa.

a)4 p

Perustelee mallin: liukuessa autoja hidastaa vain kitka $\mu (m_\text{A} + m_\text{B}) g$, koska tukivoima on vaakasuoralla tiellä yhtä suuri kuin paino. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $\tfrac{1}{2}mv'^2 = \mu mgs$, josta $v' = \sqrt{2\mu gs}$; massa supistuu. 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v' \approx 7{,}9\,\text{m/s}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Esimerkiksi hidastuvuus $\mu g \approx 7{,}4\,\text{m/s}^2$ sopii jarrutukseen kuivalla asfaltilla, ja $7{,}9\,\text{m/s} \approx 28\,\text{km/h}$. 1 p

b)4 p

Perustelee, miksi liikemäärä säilyy lähes: törmäys on lyhyt ja autojen väliset voimat ovat paljon suurempia kuin kitka, joten kitkan impulssi törmäyksen aikana on pieni. 1 p
Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $m_\text{B}v_\text{B} = (m_\text{A} + m_\text{B})v'$ ratkaistuna $v_\text{B}$:n suhteen 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $v_\text{B} \approx 14\,\text{m/s} \approx 50\,\text{km/h}$ kahdella merkitsevällä numerolla kuten liukumamatka ja kitkakerroin; myös $13{,}6\,\text{m/s} \approx 49\,\text{km/h}$ hyväksytään. 1 p
Johtopäätös vastaa kysymykseen ja perustuu aineistoon. Kertomus ei pidä paikkaansa: nopeus oli törmäyshetkellä selvästi yli $40\,\text{km/h}$, ja ennen jarrutusta vielä suurempi. 1 p

c)3 p

Lähtöyhtälö on oikea, ja kysytty suure on ratkaistu siitä ennen lukuarvojen sijoittamista. $F_\text{ka}\,\Delta t = m\,\Delta v$, josta $F_\text{ka} = \dfrac{m\,\Delta v}{\Delta t}$ 1 p
Vastauksessa on oikea yksikkö ja lähtötietoja vastaava tarkkuus. $F_\text{ka} \approx 4{,}5\,\text{kN}$ 1 p
Tuloksen järkevyys on arvioitu. Voima on noin $6{,}7$-kertainen kuljettajan painoon verrattuna. 1 p

d)3 p

Selittää hitaudella: selkänoja työntää vartaloa eteenpäin, mutta pää pyrkii jatkamaan entisellä nopeudellaan, kunnes niska vetää sen mukaan, jolloin niska taipuu taaksepäin. 1 p
Selittää, että lähellä oleva niskatuki antaa päälle saman nopeuden muutoksen yhtä aikaa vartalon kanssa, joten niskan ei tarvitse välittää suurta voimaa. 1 p
Perustelee impulssilla: nopeuden muutos on sama, mutta joustava selkänoja pidentää aikaa $\Delta t$, joten keskimääräinen voima $F_\text{ka} = m\,\Delta v : \Delta t$ pienenee. 1 p

e)2 p

Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Esimerkiksi kitka vaikuttaa jo törmäyksen aikana ja pienentää autojen yhteistä liikemäärää, joten todellinen $v_\text{B}$ on laskettua suurempi. 1 p
Oletus on nimetty, ja sen vaikutus tulokseen on perusteltu. Toinen oletus, esimerkiksi kitkakertoimen arvo tai pyörien lukkiutuminen koko matkan ajan, ja sen vaikutuksen suunta. 1 p

Itsearvioidut pisteet: 0 / 16 (16 kohtaa arvioimatta)

Pisteet ovat oma arviosi, eivät tarkistettu arvosana. Pisteytys on Ruukkilabran oma, ylioppilaskokeen hyvän vastauksen piirteiden mukaan laadittu, eikä se ole YTL:n virallinen.